체
k
{\displaystyle k}
자명환 이 아닌 아르틴 국소환
(
A
,
m
)
{\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}
벡터 공간 으로서 유한 차원이며, 이러한 환의 (유일한) 극대 아이디얼
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
멱영원 이다. 특히, 이러한 환
A
{\displaystyle A}
완비 국소환 이다. 이러한 가환환은 항상 다음과 같은 꼴로 나타내어진다.
A
=
k
[
x
1
,
x
2
,
…
,
x
m
]
/
(
x
1
n
1
,
x
2
n
2
,
…
,
x
m
n
m
,
p
1
,
p
2
,
…
,
p
r
)
{\displaystyle A=k[x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{m}]/(x_{1}^{n_{1}},x_{2}^{n_{2}},\dotsc ,x_{m}^{n_{m}},p_{1},p_{2},\dotsc ,p_{r})}
p
1
,
…
,
p
r
∈
k
[
x
1
,
…
,
x
m
]
{\displaystyle p_{1},\dotsc ,p_{r}\in k[x_{1},\dotsc ,x_{m}]}
p
i
(
0
,
0
,
…
,
0
)
=
0
∈
k
∀
i
∈
{
1
,
…
,
r
}
{\displaystyle p_{i}(0,0,\dotsc ,0)=0\in k\qquad \forall i\in \{1,\dotsc ,r\}}
m
=
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
m
)
⊊
A
{\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{m})\subsetneq A}
또한,
A
{\displaystyle A}
스펙트럼
Spec
A
{\displaystyle \operatorname {Spec} A}
위상 공간 으로서 한원소 공간 이다. 예를 들어, 체
k
{\displaystyle k}
k
[
x
]
/
(
x
2
)
{\displaystyle k[x]/(x^{2})}
극대 아이디얼 은
m
=
(
x
)
{\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x)}
체
k
{\displaystyle k}
LocArt
(
k
)
{\displaystyle \operatorname {LocArt} (k)}
LocArt
k
{\displaystyle \operatorname {LocArt} _{k}}
i
:
k
→
A
{\displaystyle i\colon k\to A}
k
{\displaystyle k}
정의역 으로, 어떤 국소 아르틴 가환환
(
A
,
m
)
{\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}
공역 으로 하는 환 준동형 가운데,
k
→
A
→
A
/
m
{\displaystyle k\to A\to A/{\mathfrak {m}}}
동형 사상 을 이루는 것이다.
LocArt
k
{\displaystyle \operatorname {LocArt} _{k}}
(
A
,
m
A
,
i
A
)
→
(
B
,
m
B
,
i
B
)
{\displaystyle (A,{\mathfrak {m}}_{A},i_{A})\to (B,{\mathfrak {m}}_{B},i_{B})}
환 준동형
f
:
A
→
B
{\displaystyle f\colon A\to B}
f
∘
i
A
=
i
B
{\displaystyle f\circ i_{A}=i_{B}}
이 범주 에서,
(
k
,
m
k
=
(
0
)
,
id
k
)
{\displaystyle (k,{\mathfrak {m}}_{k}=(0),\operatorname {id} _{k})}
영 대상 을 이룬다. 이 범주에서, 두 대상
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
곱
A
×
LocArt
(
k
)
B
{\displaystyle A\times _{\operatorname {LocArt} (k)}B}
곱집합 과 다르며, 구체적으로
(
A
,
m
A
,
i
A
)
×
LocArt
(
k
)
(
B
,
m
B
,
i
B
)
=
{
(
a
,
b
)
∈
A
×
Set
B
:
i
A
−
1
(
a
+
m
A
)
=
i
B
−
1
(
b
+
m
B
)
}
{\displaystyle (A,{\mathfrak {m}}_{A},i_{A})\times _{\operatorname {LocArt} (k)}(B,{\mathfrak {m}}_{B},i_{B})=\{(a,b)\in A\times _{\operatorname {Set} }B\colon i_{A}^{-1}(a+{\mathfrak {m}}_{A})=i_{B}^{-1}(b+{\mathfrak {m}}_{B})\}}
이다. (여기서
×
Set
{\displaystyle \times _{\operatorname {Set} }}
곱집합 을 뜻한다.) 이 위의 가환환 구조는 가환환 의 직접곱
A
×
CRing
B
{\displaystyle A\times _{\operatorname {CRing} }B}
부분환 으로서 주어진다.
보다 일반적으로, 세 대상
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
A
→
f
C
←
g
B
{\displaystyle A{\xrightarrow {f}}C{\xleftarrow {g}}B}
올곱
A
×
C
B
=
{
(
a
,
b
)
∈
A
×
Set
B
:
f
(
a
)
=
g
(
b
)
}
{\displaystyle A\times _{C}B=\{(a,b)\in A\times _{\operatorname {Set} }B\colon f(a)=g(b)\}}
이 존재한다.[ 1] :209
이 범주에서, 대상
A
=
k
[
x
]
/
(
x
2
)
{\displaystyle A=k[x]/(x^{2})}
A
×
A
≅
k
[
x
,
y
]
/
(
x
2
,
y
2
,
x
y
)
{\displaystyle A\times A\cong k[x,y]/(x^{2},y^{2},xy)}
이다. 표준적인 환 준동형
A
×
A
→
A
{\displaystyle A\times A\to A}
(
a
+
b
x
+
c
y
)
↦
(
a
+
(
b
+
c
)
x
)
{\displaystyle (a+bx+cy)\mapsto (a+(b+c)x)}
을 통해, 이는 군 대상 을 이루며, 이는 아벨 군 대상이다.
두 국소 아르틴 가환환
(
A
,
m
)
{\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}
(
A
′
,
m
′
)
{\displaystyle (A',{\mathfrak {m}}')}
환 준동형
f
:
A
→
A
′
{\displaystyle f\colon A\to A'}
이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 작은 농화 (-濃化, 영어 : small thickening )라고 한다.
전사 함수 이다.
ker
f
{\displaystyle \ker f}
A
′
{\displaystyle A'}
주 아이디얼 이다.
(
ker
f
)
m
′
=
0
{\displaystyle (\ker f){\mathfrak {m}}'=0}
이에 따라,
ker
f
{\displaystyle \ker f}
A
/
m
{\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}
벡터 공간 이다. 예를 들어, 체
k
{\displaystyle k}
n
{\displaystyle n}
k
[
x
]
/
(
x
n
+
1
)
→
k
[
x
]
/
(
x
n
)
{\displaystyle k[x]/(x^{n+1})\to k[x]/(x^{n})}
은 작은 농화이다.
두 국소 아르틴 가환환 사이의 모든 전사 환 준동형 은 (유한 개의) 작은 농화들의 합성으로 표현될 수 있다.
체
k
{\displaystyle k}
LocArt
(
k
)
{\displaystyle \operatorname {LocArt} (k)}
집합 과 함수 의 범주
Set
{\displaystyle \operatorname {Set} }
함자
F
:
LocArt
(
k
)
→
Set
{\displaystyle F\colon \operatorname {LocArt} (k)\to \operatorname {Set} }
가 주어졌다고 하자.
그렇다면,
LocArt
(
k
)
{\displaystyle \operatorname {LocArt} (k)}
환 준동형
B
→
A
←
C
{\displaystyle B\to A\leftarrow C}
올곱 의 보편 성질 에 의하여 함수
g
:
F
(
B
×
A
C
)
→
F
(
B
)
×
F
(
A
)
F
(
C
)
{\displaystyle g\colon F(B\times _{A}C)\to F(B)\times _{F(A)}F(C)}
가 표준적으로 존재한다.
이에 대하여, 다음과 같은 조건들을 가할 수 있다.
(H0) 집합
F
(
k
)
{\displaystyle F(k)}
한원소 집합 이다.
여기서
F
(
k
)
{\displaystyle F(k)}
(H1) 만약
C
→
A
{\displaystyle C\to A}
g
{\displaystyle g}
전사 함수 이다.
(H2) 만약
A
=
k
{\displaystyle A=k}
C
=
k
[
x
]
/
(
x
2
)
{\displaystyle C=k[x]/(x^{2})}
g
{\displaystyle g}
전단사 함수 이다.
(H4) 만약
C
→
A
{\displaystyle C\to A}
B
→
A
{\displaystyle B\to A}
동형 사상 이라면,
g
{\displaystyle g}
전단사 함수 이다. (H0), (H1), (H2) 조건들을 만족시키는 함자
F
{\displaystyle F}
변형 함자 라고 한다. (만약 H0이 성립한다면, 이를 준변형 함자 영어 : pre-deformation functor 라고 한다.)
변형 함자
F
{\displaystyle F}
집합
F
(
k
[
x
]
/
(
x
2
)
)
{\displaystyle F(k[x]/(x^{2}))}
k
{\displaystyle k}
벡터 공간 구조를 정의할 수 있다.
α
v
=
F
(
σ
α
)
v
∀
α
∈
k
,
v
∈
F
(
k
[
x
]
/
(
x
2
)
)
{\displaystyle \alpha v=F(\sigma _{\alpha })v\qquad \forall \alpha \in k,\;v\in F(k[x]/(x^{2}))}
v
+
w
=
F
(
μ
)
g
−
1
(
v
,
w
)
{\displaystyle v+w=F(\mu )g^{-1}(v,w)}
여기서
σ
α
:
k
[
x
]
/
(
x
2
)
→
k
[
x
]
/
(
x
2
)
{\displaystyle \sigma _{\alpha }\colon k[x]/(x^{2})\to k[x]/(x^{2})}
σ
α
:
x
↦
α
x
{\displaystyle \sigma _{\alpha }\colon x\mapsto \alpha x}
는 국소 아르틴 가환환의 자기 사상 이며,
g
:
F
(
k
[
x
]
/
(
x
2
)
×
k
[
x
]
/
(
x
2
)
)
→
F
(
k
[
x
]
/
(
x
2
)
)
×
F
(
k
[
x
]
/
(
x
2
)
)
{\displaystyle g\colon F(k[x]/(x^{2})\times k[x]/(x^{2}))\to F(k[x]/(x^{2}))\times F(k[x]/(x^{2}))}
는 (H2) 공리에 따라 존재하는 전단사 함수 이며,
μ
:
k
[
x
]
/
(
x
2
)
×
k
[
x
]
/
(
x
2
)
→
k
[
x
]
/
(
x
2
)
{\displaystyle \mu \colon k[x]/(x^{2})\times k[x]/(x^{2})\to k[x]/(x^{2})}
는
k
[
x
]
/
(
x
2
)
{\displaystyle k[x]/(x^{2})}
군 대상 구조이다.
이 경우, 벡터 공간
F
(
k
[
x
]
/
(
x
2
)
)
{\displaystyle F(k[x]/(x^{2}))}
F
{\displaystyle F}
접공간 (接空間, 영어 : tangent space )이라고 한다.
변형 함자
F
:
LocArt
(
k
)
→
Set
{\displaystyle F\colon \operatorname {LocArt} (k)\to \operatorname {Set} }
ComplLocNoeth
(
k
)
{\displaystyle \operatorname {ComplLocNoeth} (k)}
k
{\displaystyle k}
완비 국소환 이며 뇌터 가환환 인 것들의 범주라고 하자. 그렇다면, 임의의 완비 국소 뇌터
k
{\displaystyle k}
(
A
,
m
)
{\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}
F
^
(
A
)
=
lim
←
n
→
∞
F
(
A
/
m
n
)
{\displaystyle {\hat {F}}(A)=\varprojlim _{n\to \infty }F(A/{\mathfrak {m}}^{n})}
여기서 유한한
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
A
/
m
n
{\displaystyle A/{\mathfrak {m}}^{n}}
함자
F
^
:
ComplLocNoeth
(
k
)
→
Set
{\displaystyle {\hat {F}}\colon \operatorname {ComplLocNoeth} (k)\to \operatorname {Set} }
를 정의한다.
이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
F
^
{\displaystyle {\hat {F}}}
표현 가능 함자 이다.(H4)가 성립하며, 접공간이 유한 차원
k
{\displaystyle k}
벡터 공간 이다.
변형 함자의 개념은 1968년에 존 마이클 슐레싱어(영어 : John Michael Schlessinger )가 도입하였다.[ 1]
![{\displaystyle A=k[x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{m}]/(x_{1}^{n_{1}},x_{2}^{n_{2}},\dotsc ,x_{m}^{n_{m}},p_{1},p_{2},\dotsc ,p_{r})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d142a1f1df1048aa0551c17c7e6b9d50dbac944)
![{\displaystyle p_{1},\dotsc ,p_{r}\in k[x_{1},\dotsc ,x_{m}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6209916ea334343b5aa4efb7b29d38851e587145)
![{\displaystyle k[x]/(x^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152b7c94aa6b8a03eb284cc318ae1cfc2164b8cf)
![{\displaystyle A=k[x]/(x^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8beea67e7aaa0de04987982ca91adedbe83cfd81)
![{\displaystyle A\times A\cong k[x,y]/(x^{2},y^{2},xy)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ffda3173bfbb6ace6033f2b3dd86f2b2a3d228)
![{\displaystyle k[x]/(x^{n+1})\to k[x]/(x^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d660174496a3888b02dc341726dd6183247aae2c)
![{\displaystyle C=k[x]/(x^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8157b26fe09f58edad5a001a975d1f883b465251)
![{\displaystyle F(k[x]/(x^{2}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4293a5facdd32d0fb68663b7d6f54242ec68b8f7)
![{\displaystyle \alpha v=F(\sigma _{\alpha })v\qquad \forall \alpha \in k,\;v\in F(k[x]/(x^{2}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74892fde8929ab8f72d66ff47b1d29c940848923)
![{\displaystyle \sigma _{\alpha }\colon k[x]/(x^{2})\to k[x]/(x^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbee5a757434e3542e8aafddc334317cd85651dc)
![{\displaystyle g\colon F(k[x]/(x^{2})\times k[x]/(x^{2}))\to F(k[x]/(x^{2}))\times F(k[x]/(x^{2}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/755ff60e567f904084fa1fbd2b5e8fd513289070)
![{\displaystyle \mu \colon k[x]/(x^{2})\times k[x]/(x^{2})\to k[x]/(x^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0172338f97354bbb70ae356d7659cfbb4d75f1)
