완비 국소환

가환대수학에서 완비 국소환(完備局所環, 영어: complete local ring)은 극대 아이디얼에서 스스로의 완비화와 같은 국소 가환환이다.

정의

국소 가환환 $(R,{\mathfrak {m}},\kappa )$이 주어졌다고 하자. 이 경우 극대 아이디얼 ${\mathfrak {m}}$의 거듭제곱에 대한 몫환

$\dotsb \to R/{\mathfrak {m}}^{3}\to R/{\mathfrak {m}}^{2}\to R/{\mathfrak {m}}=\kappa$

을 취할 수 있으며, 이에 대한 완비화

${\hat {R}}=\varprojlim _{n\to \infty }{\frac {R}{{\mathfrak {m}}^{n}}}$

를 취할 수 있으며, 환 준동형

$\phi _{n}\colon R\to R/{\mathfrak {m}}^{n}$

으로부터 표준적인 환 준동형

$\phi _{\infty }\colon R\to {\hat {R}}$

이 존재한다. 만약 이 준동형이 전단사 함수라면(즉, 환의 동형 사상이라면), $R$를 완비 국소환이라고 한다. 이는 위상환을 이룬다.

보다 구체적으로, 다음 두 조건이 성립해야 한다.

• (하우스도르프 조건) $\textstyle \bigcap _{n=0}^{\infty }{\mathfrak {m}}^{n}=0$
• (완비성) 임의의 원소열 $r_{0},r_{1},r_{2},\dotsc \in R$에 대하여, 만약 $r_{i}-r_{i-1}\in {\mathfrak {m}}^{i}$라면, 충분히 큰 $i$에 대하여 $r=r_{i}=r_{i+1}=r_{i+2}=\dotsb$가 되는 $r\in R$가 존재한다.

성질

함의 관계

모든 완비 국소환은 헨젤 환이다.

모든 아르틴 국소 가환환은 (자명하게) 뇌터 완비 국소 가환환이다. 이 경우 충분히 큰 $n$에 대하여 ${\mathfrak {m}}^{n}=0$이다.

모든 뇌터 완비 가환환은 탁월한 가환환이다.

매틀리스 쌍대성

$(R,{\mathfrak {m}},\kappa )$가 뇌터 완비 국소환이며, $E$가 $\kappa$의 단사 껍질이라고 하자. 그렇다면, $R$ 위의 뇌터 가군의 범주 $\operatorname {NoetMod} _{R}$의 반대 범주와 아르틴 가군의 범주 $\operatorname {ArtMod} _{R}$ 사이에 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.

$D\colon \operatorname {NoetMod} _{R}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {ArtMod} _{R}$

$D\colon M\mapsto \hom _{R}(M,E)$

$D^{-1}\colon M\mapsto \hom _{R}(M,E)$

이를 매틀리스 쌍대성(영어: Matlis duality)이라고 한다.

특히, 뇌터 가군이자 아르틴 가군인 가군(즉, 길이가 유한한 가군)의 범주는 스스로의 반대 범주와 동치이다.

국소화 함자

임의의 국소 가환환 $(R,{\mathfrak {m}},\kappa )$에 대하여, 완비화를 통해 완비 국소환

${\hat {R}}=\varprojlim _{n\to \infty }{\frac {R}{{\mathfrak {m}}^{n}}}$

을 정의할 수 있다. 이는 국소환과 국소 준동형의 범주에서 완비 국소환과 국소 준동형의 범주로 가는 함자

${\hat {}}\colon \operatorname {LocCRing} \to \operatorname {compLocCRing}$

를 정의한다.

이 함자 아래, ${\hat {R}}$의 극대 아이디얼은

${\hat {\mathfrak {m}}}=\{(r_{1}+{\mathfrak {m}},r_{2}+{\mathfrak {m}}^{2},\dotsc )\in {\hat {R}}\colon r_{1}+{\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}\}$

이다. 그 잉여류체는 원래 국소환의 잉여류체와 표준적으로 같다.

$R/{\mathfrak {m}}\cong {\hat {R}}/{\hat {\mathfrak {m}}}$

이 함자 아래, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $R$가 뇌터 국소 가환환이다.
• ${\hat {R}}$가 뇌터 완비 국소환이다.

분류

코언 구조 정리(영어: Cohen structure theorem)에 따르면, 모든 뇌터 완비 국소환은 어떤 완비 정칙 국소환의 몫환으로 표현될 수 있다.

모든 완비 정칙 국소환은 완전히 분류되었다. 구체적으로, 완비 정칙 국소환의 목록은 다음과 같다.

• 어떤 자연수 $n\in \mathbb {N}$ 및 체 $K$에 대하여, 형식적 멱급수환 $K[\![x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]\!]$
  • 이 경우, 크룰 차원은 $n$이다.
• 어떤 자연수 $n\in \mathbb {N}$ 및 $p$-코언 환 $K$에 대하여, 형식적 멱급수환 $K[\![x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]\!]$
  • 이 경우, 크룰 차원은 $n+1$이다.
• 어떤 자연수 $n\in \mathbb {N}$ 및 $p$-코언 환 $K$에 대하여, 형식적 멱급수환의 몫 $K[\![x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]\!]/(p-x)$. 여기서 $x\in {\mathfrak {m}}^{2}\setminus (p)$이며, ${\mathfrak {m}}=(p,x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})$은 $K[\![x_{1},\dotsc ,x_{n}]\!]$의 유일한 극대 아이디얼이다.
  • 이 경우, 크룰 차원은 $n$이다.

여기서, 소수 $p$에 대하여, $p$-코언 환(영어: Cohen ring)은 완비 이산 값매김환 $(D,{\mathfrak {m}},\kappa )$ 가운데, $\operatorname {char} D=0$이며 $\operatorname {char} \kappa =p$이며 ${\mathfrak {m}}=(p)$인 것이다. 예를 들어, $p$진 정수환 $\mathbb {Z} _{p}$는 코언 환이다.

예

체 $K$에 대하여 형식적 멱급수환

$K[\![x]\!]$

은 완비 국소환이다. 또한, 소수 $p$에 대하여 $p$진 정수환 $\mathbb {Z} _{p}$는 완비 국소환이다.

완비 국소환이 아닌 환

$p$진수체 $\mathbb {Q} _{p}$의 대수적 폐포의 완비화 $\mathbb {C} _{p}$를 생각하자. 이 역시 대수적으로 닫힌 체이다. 이에 대응하는 값매김환(즉, $\mathbb {C} _{p}$에서 $p$진 값매김이 음이 아닌 정수인 원소로 구성된 부분환)의 극대 아이디얼 ${\mathfrak {m}}$은

$0\neq {\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}^{2}={\mathfrak {m}}^{3}=\dotsb$

을 만족시킨다. 따라서 이는 하우스도르프 조건을 만족시키지 못해 완비 가환환을 이루지 못한다.

역사

코언 구조 정리는 1946년에 어빈 솔 코언이 증명하였다.

외부 링크

• “Example of a non-Noetherian complete local ring”. 《Stack Exchange》 (영어). 
• Hochster, Melvin. “The structure theory of complete local rings” (PDF) (영어). 
• “Complete local ring”. 《Commalg》 (영어).