Matématika

Euklides, matématikawan Yunani, abad kaping 3 SM, kados ingkang kalukisaken déning Raffaello Sanzio ing salebeting detail punika saking Sekolah Athena.

Matématika (basa Yunani: μαθηματικά-mathēmatiká, saking tembung μάθημα(máthema) ingkang tegesipun "sains, èlmu pangertosan, utawi sinau" ugi μαθηματικός (mathematikós) ingkang tegesipun "remen sinau") inggih punika studi besaran, struktur, ruwang, lan éwah-éwahan. Para matématikawan pados manéka pola, ngrumusaken konjektur énggal, lan yasa kaleresan liwat métodhe dhédhuksi ingkang kaku saking aksioma-aksioma lan dhéfinisi-dhéfinisi ingkang silih selaras.

Dhisiplin ingkang paling utami ing matématika dhasaripun inggih punika kabetahan kanggé pangétangan wonten babagan dedagangan, pangukuran siti, ugi pangétangan kanggé paramalan kadadosan astronomi. Tiga kabetahan punika limrahipun wonten gegandhènganipun kaliyan pambagéyan umum babagan matématika inggih punika: studi masalah struktur, ruwang lan éwah-éwahan.

Pangertosan ingkang prasaja saking matématika inggih punika ngèlmu étang utawi aritmatika, punika wujud pamahaman matématika ingkang paling dhasar.

Wonten pasulayan prakawis: punapa objèk-objèk matématika kados ta wilangan lan titik dhateng kanthi alami, utawi namung damelan manungsa. Satunggiling matématikawan Benjamin Peirce nyebat matématika minangka "èlmu ingkang nggambaraken simpulan-simpulan ingkang wigatos". Déné tiyang sanèsipun, Albert Einstein nélakaken bilih "satebihipun ukum-ukum matématika tegesipun kasunyatan, sadaya wau boten mesthi; lan satebihipun sadaya wau mesthi, sadaya wau boten tegesipun kasunyatan."

Langkung pangginaan panalaran logika lan abstraksi, matématika ngrembaka saking pancacahan, pangétangan, pangukuran, lan pangkajian sistematis dhumateng bangun lan pagerakan bendha-bendha fisika. Matématika praktis sampun dados kagiyatan manungsa milai wontenipun rekaman kaserat. Argumèntasi kaku sepindhah muncul ing salebetipun Matématika Yunani, mliginipun ing salebetipun karya Euklides, Èlemèn. Matématika tansah ngrembaka, upaminipun ing Cina nalika taun 300 SM, ing India nalika taun 100 M, lan ing Arab nalika taun 800 M, dumugi jaman Rénaisans, nalika pamanggihan énggal matématika silih interaksi kaliyan pamanggihan èlmiah énggal ingkang ngarah dhumateng paningkatan ingkang rikat ing salebetipun laju pamanggihan matématika ingkang teras dumugi sepriki.

Sapunika matématika dipun-ginakaken ing saindhenging donya minangka piranti wigatos ing manéka babagan, kalebet èlmu alam, tèknik, kadhokteran/mèdhis, lan èlmu sosial kados ta ékonomi, lan psikologi. Matématika terapan, cabang matématika ingkang nglingkupi panerapan pangertosan matématika dhumateng babagan-babagan sanès, ngilhami lan damel panggunaan pamanggihan-pamanggihan matématika énggal, lan sok-sok ngarah dhumateng pangembangan dhisiplin-dhisiplin èlmu ingkang sapenuhipun énggal, kados ta statistika lan téyori permainan. Para matématikawan ugi sinau ing salebetipun matématika murni, utawi matématika kanggé pakembangan matématika punika piyambak, tanpa wontenipun panerapan ing salebetipun pikiran, sanadyan panerapan praktis ingkang dados latar munculipun matématika murni kasunyatanipun asring kapanggih ing tembé wingking.

Ètimologi

Tembung "matématika" asalipun saking basa Yunani Kuna μάθημα (máthēma), ingkang tegesipun pangkajian, panyinaonan, èlmu, ingkang ruwang lingkupipun saya ciut, lan teges tèknisipun dados "pangkajian matématika", malah makaten ugi ing jaman kuna. Tembung sipatipun inggih punika μαθηματικός (mathēmatikós), gegandhèngan kaliyan pangkajian, utawi sregep sinau, ingkang langkung lebet tegesipun matématis. Sacara mirunggan, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), ing salebetipun basa Latin ars mathematica, tegesipun seni matématika.

Wangun jamak asring dipun-ginakaken salebetipun basa Inggris, kados ta ugi ing salebetipun basa Prancis les mathématiques (lan arang dipun-ginakaken minangka turunan wangun tunggal la mathématique), tegesipun wangun jamak basa Latin ingkang langkung nétral mathematica (Cicero), dhedhasar wangun jamak basa Yunani τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), ingkang dipun-ginakaken Aristotle, ingkang pertalan kasaripun ateges "sadaya prakawis ingkang matématis". Nanging, salebetipun basa Inggris, tembung bendha mathematics mundhut wangun tunggal manawi dipungunakaken minangka tembung kerja. Salebetipun rupa pirembagan, matématika asring dipunsingkat minangka math ing Amérika Lèr lan maths ing papan sanès.

Sajarah

Satunggiling quipu, ingkang dipungunakaken déning Inca kanggé nyathetaken wilangan.

Évolusi matématika sok-sok dipunpirsani minangka sadhèrètan abstraksi ingkang tansah tambah kathah, utawi tembung sanèsipun pawiyaran pokok masalah. Abstraksi awal, ingkang ugi lumampah dhumateng kathah kéwan, inggih punika prakawis wilangan: pranyatan bilih kalih apel lan kalih jeruk (minangka conto) gadhah gunggung ingkang sami.

Sasanèsipun mangertosi cara nyacah objèk-objèk fisika, manungsa prasajarah ugi nepangi cara nyacah besaran abstrak, kados ta wekdal — dinten, mangsa, taun. Aritmétika dhasar (lan, suda, ping, lan para) numuti kanthi alami.

Lampah salajengipun mbetahaken panyeratan utawi sistem sanès kanggé nyathetaken wilangan, upaminipun tali utawi senar mawi simpul ingkang dipunsebat quipu dipungunakaken déning bangsa Inca kanggé nyimpen data numerik. Sistem wilangan wonten kathah lan manéka jinisipun, wilangan kaserat ingkang sepindhah dipunkawruhi wonten ing salebetipun naskah warisan Mesir Kuna ing Karajan Tengah Mesir, Lembaran Matématika Rhind.

Sistem wilangan Maya

Panggunaan matématika paling kuna inggih punika ing salebetipun padagangan, pangukuran siti, panglukisan, lan pola-pola panenunan lan panyathetan wekdal lan boten naté ngrembaka wiyar dumugi taun 3000 SM mangajeng nalika tiyang Babilonia lan Mesir Kuna wiwit migunakaken aritmétika, aljabar, lan géomètri kanggé pangétangan pajek lan urusan kauangan sanèsipun, yasan lan konstruksi, lan astronomi. Pangkajian matématika ingkang sistematis ing salebetipun kaleresnipun piyambak dipunwiwiti nalika jaman Yunani Kuna antawis taun 600 lan 300 SM.

Matématika wiwit wekdal punika lajeng mawiyar, lan wonten interaksi migunani antawisipun matématika lan sains, nguntungaken kekalih pihak. Pamanggihan-pamanggihan matématika dipundamel salaminipun sajarah lan lumampah teras dumugi sapunika. Miturut Mikhail B. Sevryuk, ing wulan Januari 2006 terbitan Bulletin of the American Mathematical Society, "kathahipun makalah lan buku ingkang dipunlibataken ing salebetipun basis data Mathematical Reviews wiwit taun 1940 (taun sepindhahipun operasinipun MR) sapunika nglangkungi 1,9 yuta, lan nglangkungi 75 éwu artikel dipuntambahaken dhumateng basis data punika saben taun. Sapérangan ageng karya ing samodra punika isinipun téoréma matématika énggal sarta bukti-buktinipun."

Ilham, matématika murni lan terapan, lan èstètika

Sir Isaac Newton (1643-1727), satunggaling pamanggih kalkulus infinitesimal.

Matematika muncul nalika ngadhepi masalah-masalah ingkang rumit ingkang nglibataken kuantitas, struktur, ruwang, utawi éwah-éwahan. Awalipun masalah-masalah punika kapanggih ing salebetipun padagangan, pangukuran siti, lan salajengipun astronomi; sapunika sadaya èlmu pangertosan nganjuraken masalah-masalah ingkang dipunkaji déning para matématikawan, lan kathah masalah ingkang muncul ing salebetipun matématika punika piyambak. Upaminipun, satunggiling fisikawan Richard Feynman manggihaken rumus integral lintasan mékanika kuantum migunakaken gabungan nalar matématika lan wawasan fisika, lan téyori senar wekdal sapunika téyori èlmiah ingkang taksih ngrembaka ingkang gadhah upados manunggalaken sekawan gaya dhasar alami, teras kémawon ngilhami matématika énggal. Sapérangan matématika namung silih selaras ing salebetipun wewengkon ingkang ngilhami piyambakipun, lan dipuntrepaken kanggé mecahaken masalah lajengan ing wewengkon punika. Nanging asring ugi matématika dipunilhami déning bukti-bukti ing satunggiling wewengkon pranyata gadhah mupangat ugi ing kathah wewengkon sanèsipun, lan nggabungaken cawisan umum konsèp-konsèp matématika. Fakta ingkang ngédab-édabi bilih matématika "paling murni" asring malih dados gadhah patrapan praktis inggih punika ingkang Eugene Wigner sebat minangka "Kabotenèfèktifan Matématika boten kanalar ing salebetipun Èlmu Pangertosan Alam".

Kados ing sapérangan ageng wewengkon pangkajian, jeblugan pengertosan ing jaman èlmiah sampun ngarah dhumateng pangususan ing salebetipun matématika. Setunggal prabèntenan utami inggih punika ing antawisipun matématika murni lan matématika terapan: sapérangan ageng matématikawan musataken panlitènipun namung ing satunggal wewengkon punika lan sok-sok pilihan punika dipundamel saawal pakuliahan program sarjananipun. Sapérangan wewengkon matématika terapan sampun dipungabungaken kaliyan tradhisi-tradhisi ingkang silih selaras ing sanjawinipun matématika lan dados dhisiplin ingkang gadhah hak piyambak, kalebet statistika, risèt oprasi, lan èlmu komputer.

Tiyang ingkang gadhah minat dhumateng matématika asring ugi manggihi satunggiling aspèk èstètika tinentu ing kathah matématika. Kathah matématikawan pirembagan prakawis kaanggunan matématika, èstètika ingkang kasirat, lan kaéndahan saking lebetipun. Kaprasajanan lan kaumumanipun dipunregani. Wonten kaéndahan ing salebetipun kaprasajanan lan kaanggunan bukti ingkang dipunparingaken, upaminipun bukti Euclid inggih punika bilih wonten boten-kakinten kathahipun wilangan prima, lan ing salebetipun métodhe numerik ingkang anggun bilih pangétangan laju, inggih punika transformasi Fourier rikat. G. H. Hardy ing salebetipun A Mathematician's Apology ndungkapaken kapitadosan bilih panganggepan èstètika punika ing lebetipun piyambak, cekap kanggé nyengkuyung pangkajian matématika murni. Para matématikawan asring nyambut damel awrat manggihaken bukti téoréma ingkang anggun kanthi mirunggan, pamadosan Paul Erdős asring nggulet ing satunggil jinis pamadosan akar saking "Alkitab" ing pundi Gusti sampun nyerataken bukti-bukti karemenanipun. Kapopulèran matématika rékréasi inggih punika tetenger sanès bilih kabingahan kathah kapanggih nalika satunggiling tiyang saged mecahaken soal-soal matématika.

Notasi, basa, lan kakakuan

Leonhard Euler. Manawi satunggiling matématikawan ingkang kathah piyambak ngasilaken temuan sapanjangipun wekdal

Sapérangan ageng notasi matématika ingkang dipungunakaken sapunika boten kapanggih dumugi abad angka 16. Nalika abad angka 18, Euler gadhah tanggel waler dhumateng kathah notasi ingkang dipungunakaken sapunika. Notasi modhèren damel matématika langkung gampil kanggé para profésional, nanging para pamula asring manggihaken minangka satunggaling prakawis ingkang ngajrihi. Dumados pamadhetan ingkang langkung sanget: sakedhik lambang gadhah isi informasi ingkang sugih. Kados notasi musik, notasi matématika modhèren gadhah tata ukara ingkang kaku lan ndadosaken informasi ingkang mbok manawi awrat manawi dipunserataken miturut cara sanès.

Basa matématika saged ugi gadhah kesan awrat kanggé para pamula. Tembung-tembung kados utawi lan namung gadhah teges ingkang langkung présisi tinimbang ing salebetipun pirembagan sadinten-dinten. Sasanèsipun punika tembung-tembung kados ta kabikak lan lapangan maringaken teges mirunggan matématika. Jargon matématika kalebet istilah-istilah tèknis kados ta homomorfisme lan kaintegralaken. Nanging wonten alasan kanggé notasi mirunggan lan jargon tèknis punika: matématika mbetahaken présisi ingkang langkung saking sadrema pirembakan sadinten-dinten. Para matématikawan nyebat présisi basa lan logika punika minangka "kaku" (rigor).

Lambang kabotenkintenan ∞ ing sapérangan gaya sajian.

Kaku kanthi dhasar inggih punika prakawis bukti matématika. Para matématikawan kepéngin téorémanipun numuti aksioma-aksioma kanthi maksud panalaran ingkang sistematik. Pupunika kanggé nyegah "téoréma" ingkang salah pundhut, dipundhasaraken dhumateng pradugi kagagalan, ing pundi kathah conto naté muncul ing salebetipun sajarah subjèk punika. Tingkat kakakuan dipunajengaken ing salebetipun matématika tansah éwah sapanjangipun wekdal: bangsa Yunani ménginaken dalil ingkang kaprincèn, nanging ing wekdal punika métode ingkang dipungunakaken Isaac Newton kirang kaku. Masalah ingkang nèmpèl ing dhéfinisi-dhéfinisi ingkang dipungunakaken Newton bakal ngarah dhumateng munculipun analisis saksama lan bukti formal ing abad angka 19. Sapunika para matématikawan taksih teras adu argumèntasi prakawis bukti mawi bantuan-komputer. Amargi pangétangan ageng awrat sanget dipunpriksa, bukti-bukti punika mbok manawi kémawon boten cekap kaku.

Aksioma miturut pamikiran tradhisional inggih punika "kaleresan ingkang dados bukti makaten kémawon", nanging konsèp punika micu pasoalan. Ing tataran formal, satunggiling aksioma punika namung satunggal lèr senar lambang, ingkang namung gadhah makna kasirat ing salebetipun kontèks sadaya rumus ingkang katurunaken saking satunggiling sistem aksioma. Pupunika wujud tujuan program Hilbert kanggé nyèlèhaken sadaya matématika ing satunggiling basis aksioma ingkang kokoh, nanging miturut Téoréma kabotenjangkepan Gödel saben-saben sistem aksioma (ingkang cekap kiyat) gadhah rumus-rumus ingkang boten saged dipuntemtokaken; lan mila satunggiling aksiomatisasi pungkasan ing salebetipun matématika punika mokal. Sanadyan makaten, matématika asring dipunbayangaken (ing salebetipun kontèks formal) boten sanès kejawi téyori himpunan ing sapérangan aksiomatisasi, kanthi pangertosan bilih saben-saben pranyatan utawi bukti matématika saged dipunkemas dhumateng salebetipun rumus-rumus téyori himpunan.

Matématika minangka èlmu pangertosan

Carl Friedrich Gauss, nganggep piyambakipun minangka "pangéranipun para matématikawan", lan nélakaken matématika minangka "Ratunipun Èlmu Pangertosan".

Carl Friedrich Gauss nélakaken matématika minangka "Ratunipun Èlmu Pangertosan". Ing salebetipun basa aslinipun, Latin Regina Scientiarum, ugi ing salebeting basa Jerman Königin der Wissenschaften, tembung ingkang selaras kaliyan èlmu pangertosan ateges (lapangan) pangertosan. Cetha, punika ugi teges asli ing salebeting basa Inggris, lan boten wonten keraguan bilih matématika ing salebetipun kontèks punika inggih punika satunggiling èlmu pangertosan. Pangususan ingkang nyiutaken makna dados èlmu pangertosan alam inggih punika ing tembé wingking. Manawi satunggiling tiyang mriksani èlmu pangertosan namung winates ing donya fisika, mila matématika, utawi sakirang-kirangipun matématika murni, sanès èlmu pangertosan. Albert Einstein nélakaken bilih "satebihipun hukum-hukum matématika tegesipun kasunyatan, mila sadaya punika boten mesthi; lan satebihipun sadaya punika mesthi, sadaya punika boten tegesipun kasunyatan."

Kathah filsuf yakin bilih matématika boten kapalsukaken dhedhasar pacobèn, lan kanthi makaten sanès èlmu pangertosan per définisi Karl Popper. Nanging, ing salebetipun karya wigatos taun 1930-an prakawis logika matématika nedhaken bilih matématika boten saged dipunrédhuksi dados logika, lan Karl Popper nyimpulaken bilih "sapérangan ageng téyori matématika, kados déné fisika lan biologi, inggih punika hipotetis-deduktif: mila matématika mdados langkung caket dhumateng èlmu pangertosan alam ingkang hipotesis-hipotesisipun inggih punika konjektur (kintenan), langkung tinimbang minangka prakawis ingkang énggal." Para wicaksana bestari sanèsipun, sebat kémawon Imre Lakatos, sampun nerapaken satunggal vèrsi pamalsuan dhumateng matématika punika piyambak.

Satunggiling tinjauan alternatif inggih punika bilih lapangan-lapangan èlmiah tinentu (upaminipun fisika téorètis) inggih punika matématika kanthi aksioma-aksioma ingkang dipuntujokaken kados makaten saéngga silih selaras kaliyan kasunyatan. Faktanipun, satunggiling fisikawan téorètis, J. M. Ziman, ngajengaken pendhapat bilih èlmu pangertosan inggih punika pangertosan umum lan kanthi makaten matématika kalebet ing salebetipun. Ing sapérangan kasus, matématika kathah silih dundum kaliyan èlmu pangertosan fisika, sebat kémawon pangedhukan akibat-akibat logis saking sapérangan anggapan. Intuisi lan pacobèn ugi gadhah peran wigatos ing salebetipun parumusan konjektur-konjektur, ing matématika, ugi ing èlmu-èlmu pangertosan (sanèsipun). Matématika pacobèn teras tuwuh ngrembaka, ngèlingi kapentinganipun ing salebetipun matématika, salajengipun komputasi lan simulasi mainaken peran ingkang tansaya kiyat, ing èlmu pangertosan, ugi ing matématika, nglemahaken objèksi ing pundi matématika boten migunakaken métode èlmiah. Ing salebetipun bukunipun ingkang dipunterbitaken taun 2002 A New Kind of Science, Stephen Wolfram gadhah dalil bilih matématika komputasi patut kanggé dipunkedhuk kanthi empirik minangka lapangan èlmiah ing salebetipun hakipun/kaleresanipun piyambak.

Pendhapat-pendhapat para matématikawan dhumateng prakawis punika manéka macem. Kathah matématikawan rumaos bilih kanggé nyebat wewengkonipun minangka èlmu pangertosan sami kémawon kaliyan mandhapaken kadhar kapentingan sisih èstètikanipun, lan sajarahipun ing salebeting pitu seni liberal tradhisional; ingkang sanèsipun rumaos bilih pangabaian pranala punika dhumateng èlmu pangertosan sami kémawon kaliyan muter-muter paningal ingkang wuta dhumateng fakta bilih antarslira antawisipun matématika lan panerapanipun ing salebetipun èlmu pangertosan lan rékayasa sampun ngemudhiaken kathah pangembangan ing salebetipun matématika. Satunggal dalan ingkang dipunmainaken déning prabédan pojok paningalan punika inggih punika ing salebetipun pirembagan filsafat punapa matématika dipunripta (kados ing salebetipun seni) utawi kapanggih (kados ing salebetipun èlmu pangertosan). Punika wajar kanggé universitas manawi dipunpérang dhumateng salebetipun pérangan-pérangan ingkang nganthèkaken départemèn Èlmu Pangertosan lan Matématika, punika nedahaken bilih lapangan-lapangan punika dipunpriksani gadhah sekuthu nanging lapangan-lapangan punika boten kados kalih sisih keping dhuwit logam. Ing tataran praktisipun, para matématikawan limrahipun dipunklompokaken bebarengan para èlmuwan ing tataran kasar, nanging dipunpisahaken ing tataran akir. Pupunika wujud salah satunggil saking kathah prakawis ingkang dipunwigatosaken ing salebetipun filsafat matématika.

Bebungah matématika limrahipun dipunpiara supados tetep kapisah saking kasetaraanipun kaliyan èlmu pangertosan. Bebungah ingkang adiluhung ing salebetipun matématika inggih punika Fields Medal (medhali lapangan), dipunwiwitaken taun 1936 lan sapunika dipunslenggarakaken saben sekawan taunan. Bebungah punika asring dipunanggep setara kaliyan Bebungah Nobel èlmu pangertosan. Wolf Prize in Mathematics, dipunlembagaaken taun 1978, ngakeni mangsa prèstasi, lan bebungah internasional utami sanèsipun, Bebungah Abel, dipuntepangaken taun 2003. Pupunika dipunanugerahaken kanggé ruas mirunggan karya, saged wujud pangénggalan, utawi pangrampungan masalah ingkang misuwur ing saebetipun lapangan ingkang mapan. Satunggiling dhaftar misuwur kanthi isi 23 masalah kabikak, ingkang dipunsebat "masalah Hilbert", dipunkempalaken taun 1900 déning matématikawan Jerman David Hilbert. Pratélan punika nggayuh pasulangan ingkang ageng ing antawisipun para matématikawan, lan paling sakedhik sanga saking masalah-masalah punika sapunika kapecahaken. Satunggiling dhaftar énggal kanthi isi pitu masalah wigatos, asesirah "Masalah Bebungah Milenium", dipunterbitaken taun 2000. Pamecahan saben masalah punika bebungahipun US$ 1 yuta, lan namung satunggal (hipotésis Riemann) ingkang ngalami panggandhaan ing salebetipun masalah-masalah Hilbert.

Babagan-babagan matématika

Satunggiling sempoa, piranti étung prasaja ingkang dipungunakaken wiwit jaman kuna.

Dhisiplin-dhisiplin utami ing salebetipun matématika sepindhahipun muncul amargi kabetahan dhumateng pangétangan ing salebetipun padagangan, kanggé mahami gegayutan antarwilangan, kanggé ngukur siti, lan kanggé ngramal prastawa astronomi. Sekawan kabetahan punika kanthi kasar saged dipunkaitaken kaliyan pamérangan-pamérangan kasar matématika dhumateng salebeting pangkajian besaran, struktur, ruwang, lan éwah-éwahan (inggih punika aritmetika, aljabar, géomètri, lan analisis). Sasanèsipun pokok bahasan punika ugi wonten pamérangan-pamérangan ingkang dipunpisungsungaken kanggé pranala-pranala pangdhukan saking jantung matématika dhumateng lapangan-lapangan sanès: dhumateng logika, dhumateng téyori himpunan (dhasar), dhumateng matématika èmpirik saking manéka jinis èlmu pangertosan (matématika terapan), lan ingkang langkung énggal inggih punika dhumateng pangkajian kaku tumrap kabotenmethinan.

Besaran

Pangkajian besaran dipunawali déning wilangan, sepindhah wilangan asli lan wilangan bulat ("sadaya wilangan") lan operasi aritmetika ing ruwang wilangan iku, kang dipunasifataken ing salebetipun aritmetika. Sifat-sipat ingkang langkung lebet saking wilangan bulat dipunkaji ing salebetipun téyori wilangan, saking pundi dhatengipun asil-asil populèr kados ta Téoréma Pungkasan Fermat. Téyori wilangan ugi nyepeng kalih masalah boten kapecahaken: konjektur prima kembar lan konjektur Goldbach.

Amargi sistem wilangan dipunkembangaken langkung tebih, wilangan bulat dipunakeni minangka himpunan pérangan saking wilangan rasional ("pecahan"). Sauntawis wilangan pecahan wonten ing salebetipun wilangan réal, ingkang dipungunakaken kanggé nyawisaken besaran-besaran kontinu. Wilangan réal dipundadosaken umum dados wilangan komplèks. Pupunika jangkahan sepindhah saking jenjang wilangan ingkang beranjak nganthèkaken kuarternion lan oktonion. Kawigatosan dhumateng wilangan asli ugi ngarah dhumateng wilangan transfinit, ingkang damel formalipun konsèp pancacahan kabotenkintenan. Wewengkon sanès pangkajian punika inggih punika ukuran, ingkang ngarah dhumateng wilangan kardinal lan salajengipun ing konsèpsi kabotenkintenan sanèsipun: wilangan aleph, ingkang mungkinaken pabandhingan gadhah makna prakawis ukuran himpunan-himpunan ageng kabotenkintenan.

$1,2,3\,\!$	$-2,-1,0,1,2\,\!$	$-2,{\frac {2}{3}},1.21\,\!$	$-e,{\sqrt {2}},3,\pi \,\!$	$2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}\,\!$
Wilangan asli	Wilangan bulat	Wilangan rasional	Wilangan réal	Wilangan komplèks

Ruwang

Pangkajian ruwang awalipun mawi géomètri – khususipun, géomètri euclid. Trigonomètri madhuaken ruwang lan wilangan, lan nyakupi Téoréma pitagoras ingkang misuwur. Pangkajian modhèren prakawis ruwang damel saya umum gagasan-gagasan punika kanggé nganthèkaken géometri kanthi dimènsi langkung inggil, géomètri boten-euclid (ingkang gadhah peran wigatos ing salebetipun rélativitas umum) lan topologi. Besaran lan ruwang gadhah peran wigatos ing salebetipun géomètri analitik, géomètri diferènsial, lan géomètri aljabar. Ing salebetipun géomètri diferènsial wonten konsèp-konsèp buntelan serat lan kalkulus lempitan. Ing salebetipun géomètri aljabar wonten panjlasan objèk-objèk géomètri minangka himpunan pangrampungan pepadhan polinom, madhuaken konsèp-konsèp besaran lan ruwang, lan ugi pangkajian grup topologi, ingkang madhuaken struktur lan ruwang. Grup lie biyasa dipinpigunakaken kanggé ngkaji ruwang, struktur, lan éwah-éwahan. Topologi ing salebetipun kathah pacabanganipun mungkin dados wewengkon patuwuhan paling ageng ing salebetipun matématika abad angka 20, lan nganthèkaken konjèktur poincaré ingkang sampun lami wonten lan téoréma sekawan warni, ingkang namung "kasil" dipunbuktèkaken mawi komputer, lan dèreng naté dipunbuktèkaken déning manungsa kanthi manual.

Géomètri	Trigonomètri	Géomètri diferènsial	Topologi	Géomètri fraktal

Éwah-éwahan

Mahami lan njelasaken éwah-éwahan wujud téma biyasa ing salebetipun èlmu pangertosan alam, lan kalkulus sampun ngrembaka minangka piranti ingkang penuh-daya kanggé nylidhiki. Fungsi-fungsi muncul ing mriki, minangka konsèp wigatos kanggé njelasaken besaran ingkang éwah. Pangkajian kaku prakawis wilangan réal lan fungsi-fungsi mawi paéwah réal dipuntepangi minangka analisis réal, kanthi analisis komplèks lapangan ingkang setara kanggé wilangan komplèks. Hipotésis Riemann, salah satunggil masalah kabikak ingkang paling dhasar ing salebetipun matématika, dipunlukisaken saking analisis komplèks. Analisis fungsional musataken kawigatosan dhumateng ruwang fungsi (limrahipun kanthi dimènsi boten-kaétang). Setunggil saking kathah terapan analisis fungsional inggih punika mékanika kuantum. Kathah masalah kanthi alami ngarah dhumateng gegandhèngan antawisipun besaran lan laju éwah-éwahanipun, lan punika dipunkaji minangka pepadhan diferènsial. Kathah tandha-tandha ing alam saged dipunjelasaken migunakaken sistem dinamika; téyori kakacoan nambah tepat dalan-dalan ing pundi kathah sistem punika mamèraken prilaku déterministik ingkang taksih kémawon dèrèng kakinten.

Kalkulus	Kalkulus vèktor	Pepadhan diferènsial	Sistem dinamika	Téyori chaos	Analisis komplèks

Struktur

Kathah objèk matématika, saupami himpunan wilangan lan fungsi, mameraken struktur pérangan lebet. Sifat-sipat struktural objèk-objèk punika dipunslidhiki ing salebetipun pangkajian grup, glanggang, lapangan lan sistem abstrak sanèsipun, ingkang piyambakipun wujud objèk ugi. Pupunika wujud lapangan aljabar abstrak. Satunggiling konsèp wigatos ing mriki inggih punika vèktor, dipundadosaken umum dados ruwang vèktor, lan dipunkaji ing salebetipun aljabar linéar. Pangkajian vèktor madhuaken tiga wewengkon dhasar matématika: besaran, struktur, lan ruwang. Kalkulus vèktor miyaraken lapangan punika dhumateng salebetipun wewengkon dhasar kasekawan, inggih punika éwah-éwahan. Kalkulus tensor ngkaji kasetangkupan lan prilaku vèktor ingkang dipunrotasi. Sapérangan masalah kuna prakawis Kompas lan konstruksi garis lurus pungkasanipun kapecahaken déning Téyori galois.

Téyori wilangan	Aljabar abstrak	Téyori grup	Téyori orde

Dhasar lan filsafat

Kanggé mriksa dhasar-dhasar matématika, lapangan logika matématika lan téyori himpunan dipunkembangaken, ugi téyori kategori ingkang taksih dipunkembangaken. Tembung majemuk "krisis dhasar" njelasaken pamadosan dhasar kaku kanggé matématika ingkang mundhut papan ing dasawarsa 1900-an dumugi 1930-an. Sapérangan kabotensarujukan ngenani dhasar-dhasar matématika teras lumampah dumugi sapunika. Krisis dhasar dipunpicu déning sapérangan silang sengkéta ing wekdal punika kalebet kontrovèrsi téyori himpunan Cantor lan kontrovèrsi Brouwer-Hilbert.

Logika matématika dipingatosaken kanthi mapanaken matématika ing satunggiling rangka kerja aksiomatis ingkang kaku, lan ngkaji asil-asil rangka kerja punika. Logika matématika wujud griya kanggé Téyori kabotenjangkepan kaping kalih Gödel, manawi asil ingkang paling dipunriyayakaken ing donya logika, ingkang (kanthi informal) gadhah akibat bilih satunggiling sistem formal ingkang isinipun aritmetika dhasar, manawi swantun (maksudipun sadaya téoréma ingkang saged dipunbuktèkaken inggih punika leres), mila boten-jangkep (maksudipun wonten téoréma sajatos ingkang boten saged dipunbuktèkaken ing salebetipun sistem punika). Gödel nedahaken cara ngonstruksi, sembarang kempalan aksioma wilangan téorètis ingkang dipunparingaken, satunggiling pranyatan formal ing salebetipun logika inggih punika satunggiling wilangan sajatos-satunggiling kasunyatan téorètik, nanging boten numuti aksioma-aksioma punika. Mila, boten wonten sistem formal ingkang wujud aksiomatisasi sajatos téyori wilangan sapenuhipun. Logika modhèren dipunpérang dhumateng salebetipun téyori rekursi, téyori modhèl, lan téyori pambuktèn, lan magepokan caket kaliyan èlmu komputer téorètis.

$p\Rightarrow q\,$
Logika matématika	Téyori himpunan	Téyori kategori

Matématika diskrèt

Matématika diskrèt inggih punika nama jamak kanggé lapangan matématika ingkang paling migunani ing salebetipun èlmu komputer téoretis. Pupunika ngathèkaken téyori komputabilitas, téyori komplèksitas komputasional, lan téyori informasi. Téyori komputabilitas mriksa watesan-watesan manéka modhèl téoretis komputer, kalebet modhèl ingkang dipuntepangi paling gadhah daya-Mesin turing. Téyori komplèksitas inggih punika pangkajian traktabilitas déning komputer; sapérangan masalah, sanadyan kanthi téoretis karampungaken déning komputer, nanging cekap awis miturut kontèks wekdal lan ruwang, boten saged dipundamel kanthi praktis, malah kanthi cepetipun kamajengan piranti atos komputer. Pungkasanipun, téyori informasi musataken kawigatosan dhumateng kathahipun data ingkang saged dipunsimpen ing médhia ingkang dipuparingaken, lan mila sesambetan kaliyan konsèp-konsèp saupami pamadhetan lan éntropi.

Minangka lapangan ingkang rélatif énggal, matématika diskrèt gadhah sapérangan masalah kabikak ingkang kalebet masalah dhasar. Ingkang paling misuwur inggih punika masalah "P=NP?", salah satunggil Masalah Bebungah Milenium.

${\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}$
Kombinatorika	Téyori komputasi	Kriptografi	Téyori graf

Matématika terapan

Matématika terapan sesambetan kaliyan panggunaan piranti matématika abstrak kanggé mecahaken masalah-masalah konkrèt ing salebetipun èlmu pangertosan, bisnis, lan wewengkon sanèsipun. Satunggiling lapangan wigatos ing salebetipun matématika terapan inggih punika statistika, ingkang migunakaken téyori peluang minangka piranti lan marengaken panjlasan, analisis, lan paramalan tandha-tandha ing pundi peluang gadhah peran wigatos. Sapérangan ageng pacobèn, survey, lan pangkajian pangamatan mbetahaken statistika. (Nanging kathah statistikawan, boten nganggep piyambakipun minangka matématikawan, nanging minangka golongan sekuthu.) Analisis numerik nylidhiki métode komputasional kanggé mecahaken masalah-masalah matématika kanthi èfisièn ingkang limrahipun kalangkung amba kanggé kapasitas numerik manungsa; analisis numerik nglibataken pangkajian galat pamotongan utawi sumber-sumber galat sanès ing salebetipun komputasi.

• 
  Fisika matématika
• 
  Mékanika fluida
• 
  Analisis numerik
• 
  Optimisasi
• 
  Téyori peluang
• 
  Statistika
• 
  Matématika kauangan
• 
  Téyori permainan
• 
  Biologi matématika
• 
  Kimia matématika
• 
  Ékonomi matématika
• 
  Téyori kontrol

Pipalanda

Pipalanda punika akronim, cekakan saking tembung ping, para, lan lan suda. Tembung-tembung wau wujud sekawan saking operasi matématika dhasar wonten ing aritmatika ingkang asring kanggé sadinten-dinten. Urutanipun kedah kados makaten, dados manawi wonten operasi matématika ingkang wujud gabungan kedah dipunurut ping-pingan utawi paran lajeng panambahan utawi pangirangan.

• ping (tandha x) inggih punika operasi matématika kanggé ngepingaken (penskalaan satungan wilangan kaliyan wilangan sanèsipun.
• para (tandha:) inggih punika operasi matématika ingkang mbagi satunggiling wilangan kaliyan wilangan sanèsipun.
• lan (tandha +) inggih punika operasi matématika kanggé nambah satunggiling wilangan kaliyan wilangan sanèsipun.
• suda (tandha-) inggih punika operasi matématika kanggé nyuda satunggiling wilangan kaliyan wilangan sanèsipun.

Urutan salebeting ngayahi operasi matématika ingkang langkung pepak inggih punika dipunwiwiti wilangan ingkang wonten ing salebeting tandha kurung: () lan ingkang wonten ing salebeting tandha kurung kurawal: {}, dipunlajengaken urutan ping para lan suda.

Tuladha: {(10+2X3-6:2) + (9-4:2+5X1)}

Étangan dipunwiwiti kanthi ngétang kanthi urut kados kasebat ing ngandhap punika

• Salebeting tandha kurung ingkang kaping sepindhah:
  • 2X3=6 (ping)
  • 6:2=3 (para)
  • 10+6=16 (lan)
  • 16-3=13 (suda)
• Salebeting tandha kurung ingkang kaping kalih:
  • 5X1=5 (ping)
  • 4:2=2 (para)
  • 2+5=7 (lan)
  • 9-7=2 (suda)
• Étangan pungkasan, asil saking étangan ing salebeting tandha kurung sepindhah dipuntambah asil operasi matématika ing tandha kurung kaping kalih, dados: 13 + 2 = 15

Ugi pirsani

• Pratélan simbol matématika
• Dhéfinisi matématika
• Dyscalculia
• Pratélan topik matématika dhasar
• Pratélan topik matématika
• Mathematical anxiety
• Permainan matématis
• Modhèl matématika
• Masalah matématika
• Struktur matématika
• Matématika lan seni
• Lomba matématika
• Pendhidhikan matématika
• Portal Matématika
• Pola
• Filsafat matématika
• Abacus
• Balung Napier, Jangka sorong
• Garisan lan Kompas
• Pètungan biyasa
• Kalkulator lan komputer
• Basa pamrograman
• Sistem komputer aljabar
• Notasi prasaja Internèt
• Analisis statistik piranti alus
  • SPSS
  • SAS
  • R

Pranala njawi

• Preceptorial Archived 2011-01-29 at the Wayback Machine. Kumpulan matéri lan soal matématika SD, SMP, SMA
• Sajarah Matématika
• Buku-buku matématika bébas Kumpulan buku matématika bébas.
• Panerapan Aljabar SMA Archived 2021-03-09 at the Wayback Machine.
• Encyclopaedia of Mathematics ensiklopedia online saking Springer, Karya réferènsi pascasarjana kanthi langkung saking 8.000 irah-irahan, nyerahaken mèh 50.000 gagasan ing salebetipun matématika.
• Situs HyperMath ing Georgia State University
• Perpustakaan FreeScience Pérangan matématika saking pabukon FreeScience
• Rusin, Dave: The Mathematical Atlas Archived 2004-04-03 at the Wayback Machine.. Panduan wisata liwat manéka jinis matématika modhèren. (Ugi saged kapanggih ing mriki Archived 2006-10-06 at the Wayback Machine..)
• Polyanin, Andrei: EqWorld: The World of Mathematical Equations. Satunggaling sumber online ingkang musataken kawigatosan dhumateng fisika matématika aljabar, diferensial biyasa, diferensial parsial, integral, lan pepadhan-pepadhan matématika sanèsipun.
• Cain, George: Buku tèks Matématika Online sumadiya online kanthi bébas.
• Matématika lan Logika: Saarah matématika formal, gagasan-gagasan logis, linguistik, lan métodologis. Ing salebetipun Kamus Sajarah Gagasan.
• Riwayat Gesang Matématikawan. Arsip Sajarah Matématika MacTutor sajarah èkstènsif lan kutipan saking matématikawan misuwur.
• Metamath. Satunggiling situs lan satunggiling basa, ingkang damel formal matématika saking dhasar-dhasaripun.
• Nrich Archived 2012-01-01 at the Wayback Machine., satunggiling situs panampi bebungah kanggé para siswa kanthi yuswa wiwit gangsal taun saking Universitas Cambridge
• Taman Masalah Terbuka, satunggiling wiki saking masalah matématika kabikak
• Planet Math. Satunggiling ensiklopedia matématika online ingkang taksih dipunyasa, musataken kawigatosan dhumateng matématika modhèren. Migunakaken GFDL, mungkinaken silih gentos artikel kaliyan Wikipédia. Migunakaken pamrograman TeX.
• Sapérangan aplet matématika, ing MIT
• Weisstein, Eric et al.: MathWorld: World of Mathematics. Satunggiling ensiklopédia online matématika.
• Patrick Jones' Tutorial Video prakawis Matématika