六十五角形

正六十五角形

六十五角形（ろくじゅうごかくけい、ろくじゅうごかっけい、hexacontapentagon）は、多角形の一つで、65本の辺と65個の頂点を持つ図形である。内角の和は11340°、対角線の本数は2015本である。

正六十五角形

正六十五角形においては、中心角と外角は5.538…°で、内角は174.461…°となる。一辺の長さが a の正六十五角形の面積 S は

$S={\frac {65}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{65}}\simeq 335.95298a^{2}$

関係式

${\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{65}}+2\cos {\frac {32\pi }{65}}+2\cos {\frac {8\pi }{65}}={\frac {{\frac {{\frac {1+{\sqrt {13}}}{2}}+{\sqrt {\frac {35+{\sqrt {325}}}{2}}}}{2}}+{\sqrt {\frac {{\frac {65+{\sqrt {2925}}}{2}}-{\sqrt {\frac {715+{\sqrt {494325}}}{2}}}}{2}}}}{2}}\\&x_{2}=2\cos {\frac {4\pi }{65}}+2\cos {\frac {64\pi }{65}}+2\cos {\frac {16\pi }{65}}={\frac {{\frac {{\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}+{\sqrt {\frac {35-{\sqrt {325}}}{2}}}}{2}}+{\sqrt {\frac {{\frac {65-{\sqrt {2925}}}{2}}+{\sqrt {\frac {715-{\sqrt {494325}}}{2}}}}{2}}}}{2}}\\&x_{3}=2\cos {\frac {6\pi }{65}}+2\cos {\frac {34\pi }{65}}+2\cos {\frac {24\pi }{65}}={\frac {{\frac {{\frac {1+{\sqrt {13}}}{2}}-{\sqrt {\frac {35+{\sqrt {325}}}{2}}}}{2}}+{\sqrt {\frac {{\frac {65+{\sqrt {2925}}}{2}}+{\sqrt {\frac {715+{\sqrt {494325}}}{2}}}}{2}}}}{2}}\\&x_{4}=2\cos {\frac {12\pi }{65}}+2\cos {\frac {62\pi }{65}}+2\cos {\frac {48\pi }{65}}={\frac {{\frac {{\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}-{\sqrt {\frac {35-{\sqrt {325}}}{2}}}}{2}}-{\sqrt {\frac {{\frac {65-{\sqrt {2925}}}{2}}-{\sqrt {\frac {715-{\sqrt {494325}}}{2}}}}{2}}}}{2}}\\&x_{5}=2\cos {\frac {18\pi }{65}}+2\cos {\frac {28\pi }{65}}+2\cos {\frac {58\pi }{65}}={\frac {{\frac {{\frac {1+{\sqrt {13}}}{2}}+{\sqrt {\frac {35+{\sqrt {325}}}{2}}}}{2}}-{\sqrt {\frac {{\frac {65+{\sqrt {2925}}}{2}}-{\sqrt {\frac {715+{\sqrt {494325}}}{2}}}}{2}}}}{2}}\\&x_{6}=2\cos {\frac {36\pi }{65}}+2\cos {\frac {56\pi }{65}}+2\cos {\frac {14\pi }{65}}={\frac {{\frac {{\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}+{\sqrt {\frac {35-{\sqrt {325}}}{2}}}}{2}}-{\sqrt {\frac {{\frac {65-{\sqrt {2925}}}{2}}+{\sqrt {\frac {715-{\sqrt {494325}}}{2}}}}{2}}}}{2}}\\&x_{7}=2\cos {\frac {54\pi }{65}}+2\cos {\frac {46\pi }{65}}+2\cos {\frac {44\pi }{65}}={\frac {{\frac {{\frac {1+{\sqrt {13}}}{2}}-{\sqrt {\frac {35+{\sqrt {325}}}{2}}}}{2}}-{\sqrt {\frac {{\frac {65+{\sqrt {2925}}}{2}}+{\sqrt {\frac {715+{\sqrt {494325}}}{2}}}}{2}}}}{2}}\\&x_{8}=2\cos {\frac {22\pi }{65}}+2\cos {\frac {38\pi }{65}}+2\cos {\frac {42\pi }{65}}={\frac {{\frac {{\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}-{\sqrt {\frac {35-{\sqrt {325}}}{2}}}}{2}}+{\sqrt {\frac {{\frac {65-{\sqrt {2925}}}{2}}-{\sqrt {\frac {715-{\sqrt {494325}}}{2}}}}{2}}}}{2}}\\\end{aligned}}$

三次方程式の係数を求めると

${\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{65}}\cdot 2\cos {\frac {32\pi }{65}}+2\cos {\frac {32\pi }{65}}\cdot 2\cos {\frac {8\pi }{65}}+2\cos {\frac {8\pi }{65}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{65}}\\&=x_{3}+2\cos {\frac {2\pi }{13}}+2\cos {\frac {6\pi }{13}}+2\cos {\frac {8\pi }{13}}\\&=x_{3}+{\frac {-1+{\sqrt {13}}}{2}}\\&2\cos {\frac {2\pi }{65}}\cdot 2\cos {\frac {32\pi }{65}}\cdot 2\cos {\frac {8\pi }{65}}=x_{8}+2\cos {\frac {2\pi }{5}}=x_{8}+{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\\\end{aligned}}$

解と係数の関係より

$u^{3}-x_{1}u^{2}+(x_{3}+{\frac {-1+{\sqrt {13}}}{2}})u-(x_{8}+{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}})=0$

正六十五角形の作図

正六十五角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正六十五角形は折紙により作図可能である。

関連項目

• 五角形
• 十三角形