バーンズのゼータ函数

数学において、バーンズのゼータ函数とはE. W. Barnes (1901)によって導入されたリーマンゼータ函数の一般化である。この関数はさらに新谷のゼータ函数に一般化される。

定義

バーンズのゼータ函数は次のように定義される。

$\zeta _{N}(s,w|a_{1},...,a_{N})=\sum _{n_{1},\dots ,n_{N}\geq 0}{\frac {1}{(w+n_{1}a_{1}+\cdots +n_{N}a_{N})^{s}}}$

ここで、wとa_jは実部が正で、sの実部はNよりも大きいものとする。

全ての複素数sに解析接続可能であり、s = 1, 2, ..., Nにおいて単純極を持つ以外に特異点を持たない。特に、N = w = a₁ = 1のとき、リーマンゼータ函数となる。

参考文献

• Barnes, E. W. (1899), “The Theory of the Double Gamma Function. [Abstract”], Proceedings of the Royal Society of London (The Royal Society) 66: 265–268, doi:10.1098/rspl.1899.0101, ISSN 0370-1662, JSTOR 116064, https://jstor.org/stable/116064 
• Barnes, E. W. (1901), “The Theory of the Double Gamma Function”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character (The Royal Society) 196: 265–387, doi:10.1098/rsta.1901.0006, ISSN 0264-3952, JSTOR 90809, https://jstor.org/stable/90809 
• Barnes, E. W. (1904), “On the theory of the multiple gamma function”, Trans. Cambridge Philos. Soc. 19: 374–425 
• Friedman, Eduardo; Ruijsenaars, Simon (2004), “Shintani–Barnes zeta and gamma functions”, Advances in Mathematics 187 (2): 362–395, doi:10.1016/j.aim.2003.07.020, ISSN 0001-8708, MR2078341 
• Ruijsenaars, S. N. M. (2000), “On Barnes' multiple zeta and gamma functions”, Advances in Mathematics 156 (1): 107–132, doi:10.1006/aima.2000.1946, ISSN 0001-8708, MR1800255