Teorema di Cauchy-Hadamard

In matematica, in particolare in analisi complessa, il teorema di Cauchy-Hadamard o formula di Cauchy-Hadamard, il cui nome è dovuto a Augustin-Louis Cauchy e Jacques Hadamard, descrive il raggio di convergenza di una serie di potenze.

Fu pubblicato nel 1821 da Cauchy, ma rimase relativamente sconosciuto fino a quando Hadamard lo riscoprì.^[1] La prima pubblicazione di Hadamard del teorema risale al 1888.^[2]

Il teorema

Data una serie formale di potenze in una variabile complessa $z$ della forma:

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}

con $a,c_{n}\in \mathbb {C}$ , il raggio di convergenza di $f$ nel punto $a$ è dato da:

{\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }{\big (}|c_{n}|^{1/n}{\big )}

dove $\limsup$ denota il limite superiore, cioè il limite dell'estremo superiore dei valori della successione dopo la posizione n-esima per n che tende a infinito. Se i termini della successione sono illimitati in modo che il limite superiore è ∞, allora la serie di potenze non converge vicino ad $a$ , mentre se il limite superiore è 0 allora il raggio di convergenza è ∞, ovvero la serie converge in tutto il piano complesso.

Dimostrazione

Si assuma senza perdita di generalità che $a=0$ . Si vuole mostrare che la serie di potenze $\sum c_{n}z^{n}$ converge per $|z|<R$ e diverge per $|z|>R$ .

Sia $|z|<R$ e $t=1/R$ diverso da zero e infinito. Per ogni $\epsilon >0$ esiste solo un numero finito di $n$ tale che:

{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\geq t+\epsilon

Si ha che $|c_{n}|\leq (t+\epsilon )^{n}$ per tutti i $c_{n}$ eccetto un numero finito di essi: quindi la serie $\sum c_{n}z^{n}$ converge se $|z|<1/(t+\epsilon )$ .

D'altra parte, per $\epsilon >0$ si ha $|c_{n}|\geq (t-\epsilon )^{n}$ per infiniti $c_{n}$ , in modo che se:

|z|=1/(t-\epsilon )>R

si nota che la serie non può convergere in quanto il suo n-esimo termine non tende a 0. Il caso in cui $t$ è zero o infinito segue con facilità.^[3]

Caso di più variabili complesse

Sia $\alpha$ un multi-indice (una n-upla di interi), con $|\alpha |=\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}$ . Allora $f(x)$ converge con raggio di convergenza $\rho$ (che è un multi-indice) alla serie di potenze:

$\sum _{\alpha \geq 0}c_{\alpha }(z-a)^{\alpha }:=\sum _{\alpha _{1}\geq 0,\ldots ,\alpha _{n}\geq 0}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}(z_{1}-a_{1})^{\alpha _{1}}\ldots (z_{n}-a_{n})^{\alpha _{n}}$

se e soltanto se:

$\lim _{|\alpha |\to \infty }{\sqrt[{|\alpha |}]{|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}}=1$

Una dimostrazione può essere trovata in Introduction to Complex Analysis Part II - Functions in several Variables di B.V.Shabat.

Note

^ Umberto Bottazzini, The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer-Verlag, 1986, pp. 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0..
^ J. Hadamard, Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable, in C. R. Acad. Sci. Paris, vol. 106, pp. 259–262..
^ Serge Lang, Complex Analysis: Fourth Edition, Springer, 2002, pp. 55–56, ISBN 0-387-98592-1.Graduate Texts in Mathematics

Bibliografia

(EN) L. Hörmander, An introduction to complex analysis in several variables , North-Holland (1973) pp. Chapt. 2.4

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Cauchy-Hadamard, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) E.D. Solomentsev, Cauchy-Hadamard theorem, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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[1] Umberto Bottazzini, The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer-Verlag, 1986, pp. 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0..

[2] J. Hadamard, Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable, in C. R. Acad. Sci. Paris, vol. 106, pp. 259–262..

[3] Serge Lang, Complex Analysis: Fourth Edition, Springer, 2002, pp. 55–56, ISBN 0-387-98592-1.Graduate Texts in Mathematics

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