Rappresentazione di un segmento circolare, in cui:
R
{\displaystyle R}
è il raggio ,
c
{\displaystyle c}
è la lunghezza della corda (linea tratteggiata),
s
{\displaystyle s}
è la lunghezza dell'arco ,
θ
{\displaystyle \theta }
è l'angolo al centro che insiste sull'arco,
d
{\displaystyle d}
è l'altezza della porzione triangolare,
h
{\displaystyle h}
è la saetta , ossia l'altezza del segmento circolare in verde.
In geometria , un segmento circolare è una porzione di cerchio delimitata da una secante (o corda ). Una porzione di cerchio delimitata da due secanti parallele viene detto segmento circolare a due basi . Il segmento circolare viene anche detto segmento circolare a una base per distinguerlo da quello a due basi.
La corda o secante definisce due segmenti circolari, uno dei quali è contrassegnato in verde nell'illustrazione, mentre l'altro è in bianco.
L'area del segmento circolare è uguale alla differenza tra l'area del settore circolare definito da
θ
{\displaystyle \theta }
e l'area della porzione triangolare.
La lunghezza del raggio è uguale alla somma delle due altezze:
R
=
h
+
d
{\displaystyle R=h+d}
.
Per l'arco
s
=
R
⋅
θ
{\displaystyle s=R\cdot \theta }
, con
θ
{\displaystyle \theta }
espresso in radianti .
Per l'area si avrà:
A
s
g
=
1
2
R
2
(
θ
−
sin
θ
)
{\displaystyle A_{sg}={\frac {1}{2}}R^{2}\left(\theta -\sin \theta \right)}
. In alternativa si può usare questa formula che non fa uso di funzioni trigonometriche né dell'angolo
θ
{\displaystyle \theta }
ma solo di lunghezze:
A
s
g
=
R
(
s
−
c
)
+
c
h
2
{\displaystyle A_{sg}={{R\left(s-c\right)+ch} \over 2}}
.
Dimostrazione: l'area si ottiene come differenza tra l'area del settore circolare e del triangolo inscritto ossia:
1
2
R
2
θ
−
1
2
(
R
2
sin
θ
)
=
1
2
R
2
(
θ
−
sin
θ
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}R^{2}\theta -{\frac {1}{2}}(R^{2}\sin \theta )={\frac {1}{2}}R^{2}\left(\theta -\sin \theta \right)}
.
Per la corda (dal teorema della corda ):
c
=
2
R
sin
(
θ
2
)
{\displaystyle c=2R\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}
.
L'altezza della porzione triangolare è
d
=
R
cos
(
θ
2
)
{\displaystyle d=R\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)}
.
L'altezza del segmento è
h
=
R
−
d
=
R
(
1
−
cos
θ
2
)
{\displaystyle h=R-d=R\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}
.
Poiché per
α
∈
[
0
,
π
4
]
{\displaystyle \alpha \in \left[0,{\frac {\pi }{4}}\right]}
è possibile approssimare la funzione
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha }
utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor arrestato al 2° termine, ossia:
sin
α
≃
α
−
α
3
6
.
{\displaystyle \sin \alpha \simeq \alpha -{\frac {\alpha ^{3}}{6}}.}
Per
θ
∈
[
0
,
π
2
]
{\displaystyle \theta \in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]}
la lunghezza della corda
c
{\displaystyle c}
si approssima con la seguente formula:
c
=
2
R
sin
(
θ
2
)
≃
2
R
(
θ
2
−
θ
3
48
)
=
R
θ
(
1
−
θ
2
24
)
=
s
(
1
−
θ
2
24
)
,
{\displaystyle c=2R\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\simeq 2R\left({\frac {\theta }{2}}-{\frac {\theta ^{3}}{48}}\right)=R\theta \left(1-{\frac {\theta ^{2}}{24}}\right)=s\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{24}}\right),}
dunque
c
≃
s
(
1
−
θ
2
24
)
.
{\displaystyle c\simeq s\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{24}}\right).}
Analogamente, noti
c
{\displaystyle c}
e
s
{\displaystyle s}
è possibile ricavare
θ
{\displaystyle \theta }
e
R
,
{\displaystyle R,}
per
θ
∈
(
0
,
π
2
]
{\displaystyle \theta \in \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}
:
θ
≃
24
(
1
−
c
s
)
{\displaystyle \theta \simeq {\sqrt {24\left(1-{\frac {c}{s}}\right)}}}
R
=
s
θ
≃
s
24
(
1
−
c
s
)
.
{\displaystyle R={\frac {s}{\theta }}\simeq {\frac {s}{\sqrt {24\left(1-{\frac {c}{s}}\right)}}}.}
Segmento circolare in funzione dell'altezza h
Calcolo dell'area del segmento in funzione dell'altezza
h
{\displaystyle h}
.
L'area del settore è data da:
A
s
t
=
1
2
R
2
θ
;
{\displaystyle A_{st}={\frac {1}{2}}R^{2}\theta ;}
θ
=
2
arccos
(
R
−
h
R
)
;
{\displaystyle \theta =2\arccos \left({\frac {R-h}{R}}\right);}
A
s
t
=
R
2
arccos
(
1
−
h
R
)
.
{\displaystyle A_{st}=R^{2}\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right).}
L'area del triangolo isoscele è data dal prodotto del segmento
R
−
h
{\displaystyle R-h}
per la semicorda del settore circolare:
A
t
=
(
R
−
h
)
R
2
−
(
R
−
h
)
2
.
{\displaystyle A_{t}=\left(R-h\right){\sqrt {R^{2}-\left(R-h\right)^{2}}}.}
L'area segmento
A
s
g
{\displaystyle A_{sg}}
è data dalla differenza dell'area del settore e l'area del triangolo isoscele:
A
s
g
=
A
s
t
−
A
t
=
R
2
arccos
(
1
−
h
R
)
−
(
R
−
h
)
R
2
−
(
R
−
h
)
2
.
{\displaystyle A_{sg}=A_{st}-A_{t}=R^{2}\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right)-\left(R-h\right){\sqrt {R^{2}-\left(R-h\right)^{2}}}.}
L'area
A
s
g
{\displaystyle A_{sg}}
è una funzione trascendente di
c
{\displaystyle c}
e
h
{\displaystyle h}
, quindi non può essere espressa in termini algebrici. Ma si può affermare che man mano che l'angolo al centro diventa più piccolo (o alternativamente il raggio diventa più grande), l'area
A
s
g
{\displaystyle A_{sg}}
si avvicina rapidamente e asintoticamente a
2
3
c
h
{\displaystyle {\frac {2}{3}}ch}
. Se
θ
≪
1
{\displaystyle \theta \ll 1}
, allora
A
s
g
=
2
3
c
h
{\displaystyle A_{sg}={\frac {2}{3}}ch}
è sostanzialmente una buona approssimazione.
Quando l'angolo al centro si avvicina a
π
{\displaystyle \pi }
, l'area del segmento converge all'area di un semicerchio
π
R
2
2
{\displaystyle {\frac {\pi R^{2}}{2}}}
, quindi una buona approssimazione è:
A
s
g
≈
π
R
2
2
−
(
2
R
+
c
2
)
(
R
−
h
)
,
{\displaystyle A_{sg}\approx {\frac {\pi R^{2}}{2}}-\left({\frac {2R+c}{2}}\right)(R-h),\quad }
per
h
>
0
,
75
R
.
{\displaystyle h>0,75R.}
Calcolo della corda
c
{\displaystyle c}
in funzione dell'altezza:
c
=
2
R
2
−
(
R
−
h
)
2
.
{\displaystyle c=2{\sqrt {R^{2}-\left(R-h\right)^{2}}}.}
Calcolo dell'arco
s
{\displaystyle s}
in funzione dell'altezza:
s
=
R
θ
;
{\displaystyle s=R\theta ;}
s
=
2
R
arccos
(
1
−
h
R
)
.
{\displaystyle s=2R\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right).}