Radicale doppio

Si definisce radicale quadratico doppio ogni espressione della forma:

{\sqrt {a+{\sqrt {b}}}},

oppure

{\sqrt {a-{\sqrt {b}}}}.

I radicali doppi si trovano nelle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado, anche se furono studiati già da Euclide nel X Libro dei suoi Elementi.

Proprietà

Talvolta è possibile trasformare un radicale doppio in una somma di due radicali. Si consideri per esempio la prima forma: ci si propone di trovare due numeri $x$ e $y$ tali che:

{\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}={\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}.

Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:

a+{\sqrt {b}}=x+y+{\sqrt {4xy}}.

Quest'uguaglianza è sicuramente verificata se si pone:

\left\{{\begin{matrix}x+y=a\\4xy=b\end{matrix}}\right.

cioè:

\left\{{\begin{matrix}x+y=a\\xy={\dfrac {b}{4}}\end{matrix}}\right.

Le soluzioni di questo sistema simmetrico sono le radici dell'equazione quadratica

t^{2}-at+{\dfrac {b}{4}}=0.

Risolvendo quest'equazione si ottiene

t={\dfrac {a\pm {\sqrt {a^{2}-b}}}{2}},

e quindi:

x={\dfrac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}\,,\,y={\dfrac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}.

Si ottiene così l'identità cercata:

{\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}={\sqrt {\dfrac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}+{\sqrt {\dfrac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}.

Analogamente si può ottenere:

{\sqrt {a-{\sqrt {b}}}}={\sqrt {\dfrac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}-{\sqrt {\dfrac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}.

D'altronde è facile verificare che queste identità sono realmente verificate (a patto che $a$ , $b$ ed $a^{2}-b$ siano positivi).

Si noti come il secondo membro sia in generale una somma di radicali doppi, perciò l'identità è effettivamente utile solo se $a^{2}-b$ è un quadrato perfetto. Ad esempio:

{\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}={\sqrt {\dfrac {3+{\sqrt {3^{2}-5}}}{2}}}-{\sqrt {\dfrac {3-{\sqrt {3^{2}-5}}}{2}}},

e, semplificando e razionalizzando, si ottiene:

{\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}={\dfrac {{\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}}{2}}.

Invece il radicale doppio ${\sqrt {3+{\sqrt {2}}}}$ non si può semplificare, dal momento che $3^{2}-2=7$ non è un quadrato perfetto.

Esempio di "quadrato perfetto razionale". Dato che $5,5^{2}-10=4,5^{2}$ in quanto $5,5^{2}-4,5^{2}=(5,5+4,5)(5,5-4,5)=10$ , si ha:

{\sqrt {5,5-{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}}}={\sqrt {{\dfrac {11}{2}}-{\sqrt {10}}}}={\sqrt {\dfrac {11-2{\sqrt {10}}}{2}}}={\dfrac {\sqrt {10-2{\sqrt {10}}+1}}{\sqrt {2}}}={\dfrac {\sqrt {({\sqrt {10}}-1)^{2}}}{\sqrt {2}}}={\dfrac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}-1}{\sqrt {2}}}={\sqrt {5}}-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}={\dfrac {{\sqrt {20}}-{\sqrt {2}}}{2}}.

Ramanujan scoprì che

x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\cdots }}}}}}

,

ad esempio

{\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.

,

ha soluzione 3 che si ottiene ponendo x = 2, n = 1, e a = 0.^[1]

Esempi

Per calcolare un radicale quadratico doppio, quando è possibile, è conveniente in termini di tempo e chiarezza trasformare il radicando in una potenza ad esponente pari: