Morfologia matematica

Una figura (in blu), con la sua dilatazione (in verde) e la sua erosione (in giallo).

La morfologia matematica (brevemente MM) è una teoria ed una tecnica per l'analisi delle forme geometriche. Solitamente si applica nell'elaborazione digitale delle immagini (computer grafica), ma anche in grafi, e nella geometria solida.

Storia

La Morfologia matematica è nata nel 1964 dal lavoro collaborativo di Georges Matheron e Jean Serra, alla École des mines di Parigi, in Francia. Nel 1968 fu fondato a Fontainebleau, (Francia) da École des mines il centro di morfologia matematica diretto da essi.

I primi anni hanno lavorato sulle immagini binarie trattate come insiemi e generate da un grande numero di operatori e tecniche binarie: Trasformazione hit-or-miss, espansione (o dilatazione), erosione, apertura, chiusura, granulometria, assottigliamento, scheletrizzazione, bisettore condizionale ed altri.

Operatori di base

Gli operatori di base sono invarianti alla traslazione e sono: erosione, dilatazione, apertura e chiusura. Nel seguito E indica uno spazio euclideo o una griglia discreta.

Erosione

L'erosione di un'immagine binaria A eseguita dall'elemento B è definita da:

$A\ominus B=\{z\in E|B_{z}\subseteq A\}$,

dove B_z è la traslazione di B grazie al vettore z, ad esempio, $B_{z}=\{b+z|b\in B\}$, $\forall z\in E$.

Espansione

La espansione, da alcuni autori chiamata anche dilatazione, di un'immagine binaria A eseguita dall'elemento B è definita da:

$A\oplus B=\bigcup _{b\in B}A_{b}$.

L'espansione è commutativa, ovvero: $A\oplus B=B\oplus A=\bigcup _{a\in A}B_{a}$.

L'espansione può anche essere ottenuta con: $A\oplus B=\{z\in E|(B^{s})_{z}\cap A\neq \varnothing \}$, dove B^s è la rotazione simmetrica di B, ovvero $B^{s}=\{x\in E|-x\in B\}$.

Bibliografia

• P. Soille. “Morphological Image Analysis”. Springer ed., 1999.

Voci correlate

• Potatura (morfologia)
• Scheletro morfologico
• Granulometria (morfologia)
• Trasformazione hit-or-miss
• Elemento strutturale
• Apertura (morfologia)
• Trasformazione top-hat

Altri progetti

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• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su morfologia matematica

Collegamenti esterni

• Morfologia matematica, unict.it (PDF), su dmi.unict.it.
• Morfologia matematica da Fondamenti di Elaborazioni di Immagini, unibo.it (PDF), su bias.csr.unibo.it.
• (EN) Corso di Morfologia matematica in inglese, spagnolo e francese, su cmm.ensmp.fr. URL consultato il 27 giugno 2013 (archiviato dall'url originale il 15 maggio 2011).
• (EN) Centro di Morfologia matematica, Parigi Scuola di Mines
• (EN) Storia di Morfologia matematica Archiviato il 4 marzo 2011 in Internet Archive., di Georges Matheron e Jean Serra
• (EN) Chiusura, su homepages.inf.ed.ac.uk.
• (EN) Modulo Pymorph per Python, su pythonhosted.org.