Equazione diofantea quadratica

Un'equazione diofantea quadratica è un'equazione diofantea di secondo grado in cui almeno un'incognita è presente al secondo grado e nessuna a un grado più elevato del secondo.

Tali equazioni comprendono, tra le altre, l'equazione di Pell $x^{2}-Ny^{2}=1$ e la ricerca delle terne pitagoriche.

Somme di quadrati

Le equazioni

$x^{2}+y^{2}=n,$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=n,$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}=n,$

dove $n$ è un numero naturale, rappresentano il problema di rappresentare un intero positivo come somma rispettivamente di due, tre e quattro quadrati. Tale problema è stato studiato estesamente tra il XVII e il XVIII secolo, portando alla formulazione del teorema di Fermat sulle somme di due quadrati e del teorema dei quattro quadrati; quest'ultimo asserisce che ogni numero può essere scritto come somma di quattro quadrati (ovvero, in altri termini, che la terza equazione ha soluzioni per ogni $n$), mentre il primo che l'equazione è risolubile se e solo se $n$ è prodotto di numeri primi nella forma $4k+1$ e di quadrati di numeri primi nella forma $4k+3,$ nonché di una qualsiasi potenza di 2.

La seconda equazione ha invece soluzione se e solo se $n$ non è nella forma $4^{j}(8k+7)$ dove $j$ e $k$ sono numeri naturali qualsiasi. Tale affermazione fu congetturata da Legendre e dimostrata da Gauss nelle sue Disquisitiones Arithmeticae.

Forme quadratiche

Una forma quadratica è un'espressione di secondo grado omogenea. Anche in questo caso si richiede di trovare per quali $n$ è risolubile l'equazione

$ax^{2}+bxy+cy^{2}=n\qquad$ (dove $a$, $b$ e $c$ sono dei parametri)

o un suo equivalente con più di due variabili. La teoria di queste equazioni fu sviluppata inizialmente da Joseph-Louis Lagrange, e in seguito da Legendre e da Gauss.

L'equazione pitagorica e le sue generalizzazioni

L'equazione

$x^{2}+y^{2}=z^{2}$

rappresenta la traduzione algebrica del teorema di Pitagora: le terne $(x,y,z)$ (dette terne pitagoriche) possono essere considerate come i lati di un triangolo rettangolo. Si può dimostrare che tutte le soluzioni intere sono date dalle formule

$x=m(p^{2}-q^{2}),\qquad y=2mpq,\qquad z=m(p^{2}+q^{2}),$

al variare di $m$, $p$ e $q$ negli interi.

Per studiare le soluzioni della generalizzazione di questa equazione

$ax^{2}+by^{2}=cz^{2},$

dove $a$, $b$ e $c$ sono dei parametri intri non negativi, è necessario anche specificare delle condizioni per cui l'equazione è risolubile; in questo caso si dimostra che esistono condizioni necessarie e sufficienti per la risolubilità, ovvero che le congruenze

$bc\equiv \alpha ^{2}\mod a,\qquad ac\equiv \beta ^{2}\mod b,\qquad -ab\equiv \gamma ^{2}\mod c,$

siano tutte risolubili. Detto in altro modo, si deve avere che $bc$ sia un residuo quadratico modulo $a$, che $ac$ lo sia modulo $b$, e che $ab$ sia l'opposto di un residuo modulo $c$; usando il simbolo di Legendre le condizioni possono anche essere scritte

$\left({\frac {bc}{a}}\right)=\left({\frac {ac}{b}}\right)=\left({\frac {-ab}{c}}\right)=1.$

L'equazione di Pell

L'equazione di Pell è un'equazione nella forma

$x^{2}-Ny^{2}=1,$

o, più generalmente, nella forma

$x^{2}-Ny^{2}=M,$

dove $N$ è un parametro positivo ed $M$ è intero.

Si dimostra che se $M=1$ ed $N$ è libero da quadrati, allora l'equazione di Pell ha infinite soluzioni, calcolabili mediante l'uso della frazione continua di ${\sqrt {N}}$; se $M=-1,$ una condizione necessaria, ma non sufficiente, della risolubilità, è che $N$ sia rappresentabile come somma di due quadrati. Inoltre per ogni $M$, se l'equazione è risolubile, allora le soluzioni possono essere trovate esplicitamente mediante l'impiego della stessa frazione continua.

Bibliografia

• Harold Davenport, Aritmetica superiore: un'introduzione alla teoria dei numeri. Bologna, Zanichelli, 1994. ISBN 88-08-09154-6.