Equazione di Gross-Pitaevskij
In meccanica statistica e in fisica della materia condensata, l'equazione di Gross-Pitaevskij (GPE, dal nome di Eugene P. Gross[1] e Lev Petrovič Pitaevskij[2]) descrive lo stato fondamentale di un sistema quantistico di bosoni identici, utilizzando l'approssimazione di Hartree-Fock e un modello di interazione a potenziale effettivo.
Introduzione
[modifica | modifica wikitesto]Un condensato di Bose-Einstein (BEC) è un gas di bosoni che si trovano nello stesso stato quantistico e che quindi possono essere descritti dalla stessa funzione d'onda. Una particella quantistica libera è descritta da un'equazione di Schrödinger a particella singola. L'interazione tra le varie particelle in un gas reale è presa in considerazione da un'adeguata equazione di Schrödinger a molti corpi. Nell'approssimazione di Hartree-Fock, la funzione d'onda totale del sistema di bosoni viene scomposta in un prodotto delle funzioni a singola particella ,
dove è la coordinata del -esimo bosone. Se la distanza media tra le particelle in un gas è maggiore della lunghezza di scattering (cioè nel cosiddetto limite diluito), allora si può approssimare il vero potenziale di interazione che caratterizza questa equazione con un potenziale effettivo. A una temperatura sufficientemente bassa in cui la lunghezza d'onda di de Broglie è molto più lunga della scala dell'interazione bosone-bosone,[3] il processo di scattering può essere ben approssimato dallo scattering a onda s (cioè nella scomposizione in onde parziali, ovvero si considera solo il termine corrispondente al potenziale a sfera rigida). In tal caso, l'Hamiltoniana del modello effettivo del sistema può essere scritta come:
dove è la massa del bosone, è il potenziale esterno, è la lunghezza di scattering a onda s bosone-bosone, e è la funzione delta di Dirac. Il limite diluito permette anche di trascurare le interazioni fra terne (o più) di bosoni (che porterebbero a termini di non linearità superiore).
Il metodo variazionale mostra che se la funzione d'onda a particella singola soddisfa la seguente equazione di Gross-Pitaevskij:
la funzione d'onda totale minimizza il valore di aspettazione del modello hamiltoniano con condizione di normalizzazione Pertanto, tale funzione d'onda a particella singola descrive lo stato fondamentale del sistema.
La GPE è un modello di equazione per la funzione d'onda a particella singola nello stato fondamentale in un condensato di Bose-Einstein. È simile nella forma all'equazione di Ginzburg – Landau ed è un caso particolare di "equazione di Schrödinger non lineare".
La non linearità dell'equazione di Gross-Pitaevskii ha la sua origine nell'interazione tra le particelle: quando si pone a zero la costante di accoppiamento dell'interazione nell'equazione di Gross-Pitaevskij, si ritrova l'equazione di Schrödinger per una particelle singola all'interno di una buca di potenziale.
Tale equazione è in grado di riprodurre molti fenomeni associati ai superfluidi, ma si deve tenere presente che, a causa del limite diluito, non può essere considerata una descrizione fedele dell'elio-4 superfluido (che infatti non è un condensato di Bose-Einstein vero e proprio).
Equazione
[modifica | modifica wikitesto]L'equazione ha la forma dell'equazione di Schrödinger con l'aggiunta di un termine di interazione. La costante di accoppiamento è proporzionale alla lunghezza di scattering a onda s di due bosoni interagenti:
- ,
dove è la costante di Planck ridotta e è la massa del bosone. La densità di energia è
dove è la funzione d'onda, o parametro d'ordine, e è il potenziale esterno (ad esempio una trappola armonica). L'equazione di Gross-Pitaevskij indipendente dal tempo, per un numero conservato di particelle, è
dove è il potenziale chimico. Il potenziale chimico si trova dalla condizione che il numero di particelle è correlato alla funzione d'onda da
Dall'equazione di Gross-Pitaevskij indipendente dal tempo, possiamo trovare la forma di un condensato di Bose-Einstein in vari potenziali esterni (ad esempio una trappola armonica).
L'equazione di Gross-Pitaevskiij dipendente dal tempo è invece:
Dall'equazione di Gross-Pitaevskij dipendente dal tempo possiamo invece studiare la dinamica del condensato di Bose-Einstein. È usata per trovare i moti collettivi di un gas intrappolato.
Soluzioni
[modifica | modifica wikitesto]Poiché l'equazione di Gross-Pitaevskij è un'equazione alle derivate parziali non lineari, è difficile trovare soluzioni esatte. Di conseguenza, le soluzioni devono essere solitamente trovate mediante un gran numero di metodi di approssimazione.
Soluzioni esatte
[modifica | modifica wikitesto]Particella libera
[modifica | modifica wikitesto]La soluzione esatta più semplice è la soluzione a particella libera, con ,
Questa soluzione è spesso chiamata soluzione di Hartree. Sebbene soddisfi l'equazione Gross-Pitaevskij, lascia un gap nello spettro di energia a causa dell'interazione:
Secondo il teorema di Hugenholtz-Pines,[4] un gas di Bose interagente non presenta una lacuna di energia (nel caso di interazioni repulsive).
Solitone
[modifica | modifica wikitesto]È possibile osservare solitoni unidimensionali in un condensato di Bose-Einstein e, a seconda che l'interazione sia attrattiva o repulsiva, si tratta di solitoni chiari o scuri. Entrambi i casi sono disturbi localizzati in una condensato avente una densità di base uniforme.
Se il BEC è repulsiva, ossia , allora una possibile soluzione dell'equazione di Gross-Pitaevskij è,
- ,
dove è il valore della funzione d'onda del condensato a , e è la lunghezza di coerenza (ovvero la lunghezza di guarigione,[3] vedi sotto). Questa soluzione rappresenta un solitone scuro, poiché c'è un'assenza di condensato in uno spazio con densità diversa da zero. Il solitone scuro è anche un tipo di difetto topologico, in quanto inverte i valori positivi e negativi attraverso l'origine, e ciò corrispondente a uno sfasamento di .
Per
dove si trova un potenziale chimico . Questa soluzione rappresenta un solitone chiaro, poiché c'è una concentrazione di condensato in uno spazio di densità zero.
Lunghezza di guarigione
[modifica | modifica wikitesto]La lunghezza di guarigione può essere intesa come la scala di lunghezza in cui l'energia cinetica del bosone è uguale al potenziale chimico:[3]
La lunghezza di guarigione fornisce la distanza più breve su cui può variare la funzione d'onda; deve essere molto più piccola di qualsiasi scala di lunghezza nella soluzione della funzione d'onda a particella singola. La lunghezza di guarigione determina anche la dimensione dei vortici che possono formarsi; è la distanza sulla quale la funzione d'onda recupera da zero al centro del vortice al valore medio (da cui il nome lunghezza "guarigione").
Soluzioni variazionali
[modifica | modifica wikitesto]Nei sistemi in cui una soluzione analitica esatta può non essere trovata, si può utilizzare un'approssimazione variazionale. L'idea di base è di definire un'ansatz variazionale per la funzione d'onda con parametri liberi, inserirla nell'energia libera e minimizzare l'energia rispetto ai parametri liberi dell'ansatz.
Soluzioni numeriche
[modifica | modifica wikitesto]Diversi metodi numerici, come i metodi di Crank-Nicolson[5] e quelli spettrali[6], sono stati utilizzati per risolvere la GPE. Esistono diversi programmi in Fortran e C per la sua soluzione nel caso di interazione di contatto[7][8] e di interazione dipolare a lungo raggio.[9]
Approssimazione di Thomas – Fermi
[modifica | modifica wikitesto]Se il numero di particelle in un gas è molto grande, l'interazione interatomica diventa dominate e quindi il termine di energia cinetica può essere trascurato nell'equazione di Gross-Pitaevskij. Questa è chiamata approssimazione di Thomas-Fermi.
In una buca di potenziale armonica (dove l'energia potenziale è quadratica rispetto allo spostamento dal centro), si ottiene un profilo di densità comunemente indicato come "parabola invertita".[3]
Approssimazione di Bogoljubov
[modifica | modifica wikitesto]Il trattamento di Bogoljubov dell'equazione di Gross-Pitaevskii è un metodo che trova le eccitazioni elementari di un condensato di Bose-Einstein. A tal fine, la funzione d'onda del condensato è approssimata dalla somma della funzione d'onda di equilibrio con una piccola perturbazione ,
- .
Questa forma viene allora inserita nell'equazione di Gross-Pitaevskij dipendente dal tempo e nella sua complessa coniugata, che vengono linearizzate al primo ordine in
Ponendo come:
si trovano le seguenti equazioni differenziali accoppiate per e considerando i termini con come componenti indipendenti
Per un sistema omogeneo, cioè per , si può ottenere dall'equazione all'ordine zero. Quindi assumendo che e siano onde piane con quantità di moto , si arriva allo spettro energetico
Per grandi , la relazione di dispersione è quadratica in come ci si aspetterebbe nel caso di eccitazioni di singole particelle non interagenti. Per i piccoli , la relazione di dispersione è invece lineare
con la velocità del suono nella condensato, noto anche come secondo suono. Il fatto che mostra, secondo il criterio di Landau, che il condensato è un superfluido, il che significa che se un oggetto viene spostato nel condensato a una velocità inferiore a s, non sarà energeticamente favorito a produrre eccitazioni, e quindi l'oggetto si muoverà senza dissipazione, che è la caratteristica fondamentale dei superfluidi. Sono stati condotti esperimenti per dimostrare questa superfluidità del condensato, utilizzando un laser blu altamente focalizzato.[10] La stessa relazione di dispersione si trova quando il condensato è descritta da un approccio microscopico utilizzando il formalismo della seconda quantizzazione.
Superfluido nel potenziale elicoidale rotante
[modifica | modifica wikitesto]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/10/Quatro_konical_spring_trapped_ensemle_okulov.jpg)
La buca di potenziale ottica potrebbe essere formato da due vortici ottici contropropaganti con lunghezze d'onda , larghezza effettiva e carica topologica :
dove . Nel sistema di coordinate cilindriche la buca di potenziale ha una'interessante geometria a doppia elica:[11]
In un sistema di riferimento rotante con velocità angolare , l'equazione di Gross-Pitaevskij dipendente dal tempo con potenziale elicoidale è la seguente:[12]
dove è l'operatore del momento angolare. La soluzione per la funzione d'onda del condensato è una sovrapposizione di due vortici materia-onda coniugati in fase:
La quantità di moto osservabile macroscopicamente del condensato è:
dove è il numero di atomi nel condensato. Ciò significa che l'insieme di atomi si muove in modo coerente lungo l'asse con velocità di gruppo (la cui direzione è definita dai segni della carica topologica e della velocità angolare ):[13]
Il momento angolare del condensato intrappolato in modo elicoidale è esattamente zero:[12]
La modellizzazione numerica dell'insieme di atomi freddi nel potenziale a spirale ha mostrato il confinamento delle singole traiettorie atomiche all'interno della buca di potenziale elicoidale.[14]
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ E. P. Gross, Structure of a quantized vortex in boson systems, in Il Nuovo Cimento, vol. 20, n. 3, 1961, pp. 454-457, Bibcode:1961NCim...20..454G, DOI:10.1007/BF02731494.
- ^ L. P. Pitaevskii, Vortex lines in an imperfect Bose gas, in Sov. Phys. JETP, vol. 13, n. 2, 1961, pp. 451-454.
- ^ a b c d (EN) C. J. Foot, Atomic physics, Oxford University Press, 2005, pp. 231-240, ISBN 978-0-19-850695-9.
- ^ N. M. Hugenholtz e D. Pines, Ground-state energy and excitation spectrum of a system of interacting bosons, in Physical Review, vol. 116, n. 3, 1959, pp. 489-506, Bibcode:1959PhRv..116..489H, DOI:10.1103/PhysRev.116.489.
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- ^ P. Muruganandam and S. K. Adhikari, Bose-Einstein condensation dynamics in three dimensions by the pseudospectral and finite-difference methods, in J. Phys. B, vol. 36, n. 12, 2003, pp. 2501-2514, Bibcode:2003JPhB...36.2501M, DOI:10.1088/0953-4075/36/12/310, arXiv:cond-mat/0210177.
- ^ D. Vudragovic, C Programs for the time-dependent Gross-Pitaevskii equation in a fully anisotropic trap, in Comput. Phys. Commun., vol. 183, n. 9, 2012, pp. 2021-2025, Bibcode:2012CoPhC.183.2021V, DOI:10.1016/j.cpc.2012.03.022, arXiv:1206.1361.
- ^ L. E. Young-S., OpenMP Fortran and C Programs for the time-dependent Gross-Pitaevskii equation in a fully anisotropic trap, in Comput. Phys. Commun., vol. 204, n. 9, 2016, pp. 209-213, Bibcode:2016CoPhC.204..209Y, DOI:10.1016/j.cpc.2016.03.015, arXiv:1605.03958.
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Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- C. J. Pethick e H. Smith, Bose–Einstein Condensation in Dilute Gases, Cambridge, Cambridge University Press, 2002, ISBN 978-0-521-66580-3..
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- J.F. Annett, Superconductivity, Superfluids and Condensates, collana Oxford master series in condensed matter physics, 2004.