Disequazione con il valore assoluto

Il grafico della funzione valore assoluto

In matematica una disequazione con valore assoluto è una disequazione del tipo $\left|f(x)\right|\gtreqless g(x)$, dove:

• $f$ e $g$ sono due funzioni qualsiasi.

Caso particolare: $g(x)$ funzione costante

Consideriamo prima di tutto il caso in cui $g(x)=k\in \mathbb {R}$ . Si ha pertanto $\left|f(x)\right|\gtreqless k$.

Le disequazioni di questo tipo si possono risolvere in maniera meccanica a seconda del valore di $k$, sfruttando il fatto che il valore assoluto di un numero è sempre maggiore o uguale a $0$.

k < 0

• $\left|f(x)\right|\leq k$

Non può mai capitare che il primo membro sia minore o uguale a un numero negativo. La disequazione è impossibile.

• $\ \left|f(x)\right|<k$

Non può mai capitare che il primo membro sia minore di un numero negativo. La disequazione è impossibile.

• $\left|f(x)\right|\geq k$

Il primo membro (nei punti dove è definito) è sempre maggiore o uguale di un numero negativo.

La soluzione è $\forall x\in D$, dove $D$ è il dominio di $f$.

• $\left|f(x)\right|>k$

Il primo membro (nei punti dove è definito) è sempre maggiore di un numero negativo.

La soluzione è $\forall x\in D$, dove $D$ è il dominio di $f$.

k = 0

• $\left|f(x)\right|<0$

Il primo membro non potrà mai essere minore di zero. La disequazione è impossibile.

• $\left|f(x)\right|\leq 0$

Le uniche soluzioni sono quelle che rendono il primo membro uguale a zero, quindi risolvere questa disequazione è equivalente a risolvere l'equazione $f(x)=0$.

• $\left|f(x)\right|>0$

Vanno bene tutti i valori tranne quelli che rendono nulla $f(x)$. Pertanto in questo caso bisogna risolvere $f(x)\neq 0$.

• $\left|f(x)\right|\geq 0$

Qualunque elemento del dominio è accettato: la soluzione è $\forall x\in D$, sempre con $D$ dominio di $f$.

k > 0

In questo caso ci si riporta a disequazioni senza valore assoluto:

• $\left|f(x)\right|<k$

È equivalente a $-k<f(x)<k$, cioè al sistema ${\begin{cases}f(x)>-k\\f(x)<k\end{cases}}$

• $\left|f(x)\right|\leq k$

È equivalente a $-k\leq f(x)\leq k$, cioè al sistema ${\begin{cases}f(x)\geq -k\\f(x)\leq k\end{cases}}$

• $\left|f(x)\right|>k$

È equivalente a $f(x)<-k\quad \vee \quad f(x)>k$

• $\left|f(x)\right|\geq k$

È equivalente a $f(x)\leq -k\quad \vee \quad f(x)\geq k$

Caso generale

In questo caso sia a primo membro che al secondo ci sono due funzioni di $x$, e il metodo risolutivo dipende dal segno di disuguaglianza presente tra di esse.

|f(x)| < g(x)

La disequazione è equivalente a ${\begin{cases}f(x)\geq 0\\f(x)<g(x)\end{cases}}\vee {\begin{cases}f(x)<0\\f(x)>-g(x)\end{cases}}$

o, in alternativa, a $-g(x)<f(x)<g(x)$

|f(x)| ≤ g(x)

La disequazione è equivalente a ${\begin{cases}f(x)\geq 0\\f(x)\leq g(x)\end{cases}}\vee {\begin{cases}f(x)<0\\f(x)\geq -g(x)\end{cases}}$

o, in alternativa, a $-g(x)\leq f(x)\leq g(x)$

|f(x)| > g(x)

La disequazione è equivalente a ${\begin{cases}f(x)\geq 0\\f(x)>g(x)\end{cases}}\vee {\begin{cases}f(x)<0\\f(x)<-g(x)\end{cases}}$

o, in alternativa, a $f(x)<-g(x)\vee f(x)>g(x)$

|f(x)| ≥ g(x)

La disequazione è equivalente a ${\begin{cases}f(x)\geq 0\\f(x)\geq g(x)\end{cases}}\vee {\begin{cases}f(x)<0\\f(x)\leq -g(x)\end{cases}}$

o, in alternativa, a $f(x)\leq -g(x)\vee f(x)\geq g(x)$

Presenza di più valori assoluti

$\left|x-1\right|+\left|2x+3\right|<2$

Nel caso siano presenti due o più valori assoluti è necessario aprire i valori assoluti secondo la definizione:

$\left|a\right|=\left\{{\begin{matrix}a&a\geq 0\\-a&a<0\end{matrix}}\right.$

Quindi nell'esercizio proposto i due valori assoluti diventano:

$\left|x-1\right|=\left\{{\begin{matrix}x-1&x\geq 1\\-(x-1)&x<1\end{matrix}}\right.$

e $\left|2x+3\right|=\left\{{\begin{matrix}2x+3&x\geq -{\frac {3}{2}}\\-(2x+3)&x<-{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\right.$

Si individuano pertanto gli intervalli dell'asse reale in cui gli argomenti dei valori assoluti mantengono il loro segno. In questo caso ci sono tre intervalli e in tali intervalli i valori assoluti vengono aperti:

${\begin{cases}x<-{\frac {3}{2}}\\-(x-1)-(2x+3)<2\end{cases}}\vee {\begin{cases}-{\frac {3}{2}}\leq x<1\\-(x-1)+(2x+3)<2\end{cases}}\vee {\begin{cases}x\geq 1\\(x-1)+(2x+3)<2\end{cases}}$

Le soluzioni dei tre sistemi vanno unite nell'insieme di soluzione della disequazione data in partenza.

Bibliografia

• Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.
• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 1), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1680-7.
• Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nuovo corso di geometria analitica e di complementi di algebra, Ghisetti e Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7.

Voci correlate

• Valore assoluto
• Disequazione algebrica