Funkcionálanalízis

A funkcionálanalízis a matematikai analízis olyan részterülete, amely elsősorban olyan vektortereket vizsgál, melyek el vannak látva egy határértékhez köthető struktúrával, mint például skaláris szorzattal, normával vagy topológiával. Történelmileg a funkcionálanalízis kiindulópontja a függvényterek és a rajtuk definiált transzformációk (mint például a Fourier-transzformáció) tulajdonságainak elemzése volt. Ebből kiindulva vetődtek fel olyan kérdések, hogy funkcionálok és függvényterek közötti operátorok számára hogyan lehet általánosítani olyan fogalmakat, mint a folytonosság vagy a derivált. A modern funkcionálanalízist bevezető irodalom általában a topológiával ellátott vektorterek, főleg végtelen dimenziós terek, vizsgálatával foglalkozó területnek írja le.

A funkcionál szó a variációszámításból ered, melynek jelentése olyan függvény, melynek a változója is egy függvény. Ez a koncepció először Vito Volterra olasz matematikus által lett bevezetve 1887-ben, de a funkcionál kifejezés elsőként Jacques Hadamard 1910-as könyvében jelent meg. A funkcionálanalízis területét ezt követően olyan matematikusok bővítették ki, mint Fréchet, Lévy, Riesz, továbbá a Banach körül szerveződött Lwówi matematikai iskola tagjai.

Az analízisben fellelhető fogalmak általánosítása mellett a funkcionálanalízis a lineáris algebra, a mértékelmélet és a valószínűségszámítás bizonyos eredményeit is próbálja kiterjeszteni, kifejezetten végtelen dimenziós terekre. A függvényterek közötti operátorok vizsgálata különös fontossággal bír például differenciálegyenletek megoldásakor.

Topologikus vektorterek

Általánosságban, a funkcionálanalízis a topologikus vektorterek leírásával foglalkozik. Az egyik leggyakrabban alkalmazott feltétel, hogy a vektortér lokálisan konvex legyen, mely definiálható félnormák családjával. A lokálisan konvex topologikus vektortereknek egy jelentős alosztálya a Fréchet-terek osztálya. A funkcionálanalízis topologikus vektortereket illető fontosabb eredményei közé tartozik a Hahn–Banach-tétel, a Baire-tétel és a Banach–Steinhaus-tétel.

Normált-terek

A lokálisan konvex topologikus vektorterek legfontosabb alosztálya, továbbá időrendben az első struktúra, melyet a funkcionálanalízis kezdett vizsgálni, az olyan normált vektorterek valós vagy komplex számtestek felett, melyek teljesek, tehát melyekben minden Cauchy-sorozat konvergens. Az ilyen tereket Banach tereknek hívjuk. A Banach-terek egy fontos alosztálya a Hilbert-terek osztálya, ahol a normát egy skaláris szorzat indukálja. A Hilbert-terek rendkívül fontosak a kvantummechanika matematikai leírásában, a gépi tanulásban, a parciális differenciálegyenletek és a Fourier-analízis területén.

A funkcionálanalízis hasonlóan fontos területe a topologikus vektortereken definiált folytonos lineáris operátorok vizsgálata, mely segítségével természetes módon definiálhatóak C*-algebrák vagy egyéb operátoralgebrák.

Legfontosabb eredményei

A funkcionálanalízissel foglalkozó szakirodalom általában három tételt nevez meg a terület alappilléreinek: a Banach–Steinhaus-tételt, a Banach-féle nyílt leképezés tételt és a Hahn–Banach-tételt. Bizonyos szerzők a zárt gráftételt is a fundamentális tételek közé sorolják.

Banach–Steinhaus-tétel

A Banach–Steinhaus-tétel, vagy másképp az egyenletes korlátosság tétele kimondja, hogy egy folytonos és lineáris (tehát korlátos) operátorcsalád számára, melynek értelmezési tartománya egy Banach-tér, a pontonkénti korlátosság ekvivalens az egyenletes korlátossággal az operátornormában. A tételt először Banach és Steinhaus publikálta 1927-ben, viszont tőlük függetlenül Hans Hahn is bizonyította. A tétel pontos megfogalmazása a következő:

Legyen $X$ egy Banach-tér és $Y$ egy normált tér, $F$ egy korlátos operátorcsalád $X$ és $Y$ között. Ha minden $x\in X$-re teljesül

$\sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty$,

akkor

$\sup _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty$.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Functional analysis című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.