Einstein-modell

A Debye-modellből és az Einstein-modellből számolható, hőmérsékletfüggő hőkapacitás összevetése.

A szilárdtestfizikában és statisztikus fizikában alkalmazott Einstein-modell segítségével a szilárdtestek fajhőjének klasszikus leírásából adódó ellentmondások oldhatók fel. A kvantummechanikán alapuló modell az alábbi két főbb feltevésen alapul:

• a rács minden atomja független, háromdimenziós harmonikus oszcillátorként viselkedik, és
• minden oszcillátor azonos frekvenciával rezeg.

Bár a modell nem veszi figyelembe a hosszúhullámú rezgések hatását (melyek a rácsban terjedő hanghullámoknak illetve hosszúhullámú fononoknak felelnek meg), viszont kellőképpen pontos közelítést ad a szilárdtestek fajhőjére magasabb hőmérsékleten. A kísérletek azt mutatják, hogy a szilárdtestek fajhője a hőmérséklet csökkenésével csökken, 0 K hőmérsékleten pedig eltűnik. A klasszikus modell ezt nem képes megmagyarázni, míg az Einstein-modell egyes esetekben pontos leírást ad a fajhő hőmérsékletfüggésére.

Kapcsolat a klasszikus modellel

Ma klasszikus fizikaként emlegetett, a zömében 20. század előtti fizikai felfogásokból álló világkép egyik komoly ellentmondása volt, hogy a szilárdtestek fajhője nem követi a Dulong–Petit-szabályt. Utóbbi a kinetikus elméletből az ekvipartíció tételének felhasználásával a teljes energiára az alábbi kifejezést vezeti le:

$E=3Npk_{B}T$.

Ebből a hőkapacitás a definíció alapján:

$C_{V}={\frac {\partial E}{\partial T}}=3Npk_{B}$.

Ebből az egyatomos szilárd test moláris hőkapacitása $C_{V}=3pR$, ahol $R$ az egyetemes gázállandó. A kifejezés tehát láthatóan nem hőmérsékletfüggő végeredményt ad.

Albert Einstein 1907-ben azt javasolta, hogy a rácsrezgéseket a Planck-féle kvantum-hipotézisnek megfelelően szintén kvantált mennyiségnek képzeljük ez, azaz hogy a rácsrezgések frekvenciája csak diszkrét kvantumokban változhat. Így a rácsrezgés energiája is kvantált: $\varepsilon _{n}=nh\nu$, ahol $n$ egész szám, $h$ a Planck-állandó, $\nu$ pedig a frekvencia. A statisztikus fizikából ismert ${\textstyle Z=\sum _{n}e^{-\varepsilon _{n}/k_{B}T}}$ állapotösszeggel és a szokásos $\beta =1/k_{B}T$ jelöléssel egy adott módus energiaátlaga ${\textstyle \langle \varepsilon \rangle =-{\frac {d}{d\beta }}\ln {Z}}$. A rácspontokban harmonikus oszcillátorokat képzelt el, melyekre ez az energiaátlag:

$\langle \varepsilon \rangle ={\frac {k\nu }{e^{h\nu /k_{B}T}-1}}$.

Einstein továbbá feltette, hogy minden atom egymástól független oszcillátor, melynek rezgése egységesen $\nu _{E}$, azaz a diszperziós relációban a frekvencia hullámszámtól való függetlenségét látjuk. A rácsban $Np$ darab atom van, melyek egyesével 3 független irányban képesek rezgésre, így a rács teljes belső energiája $E=3Np\langle \varepsilon \rangle$. Einstein a fajhőt ebből származtatta:

$C_{V}={\frac {\partial E}{\partial T}}=3Npk_{B}\cdot \left({\frac {\hbar \omega _{E}}{k_{B}T}}\right)^{2}\cdot {\frac {e^{\hbar \omega _{E}/k_{B}T}}{(e^{\hbar \omega _{E}/k_{B}T}-1)^{2}}}=3Npk_{B}\cdot F_{E}\left({\frac {\hbar \omega _{E}}{k_{B}T}}\right)$,

ahol ${\textstyle F_{E}(x)={\frac {x^{2}e^{x}}{(e^{2}-1)^{2}}}}$ az Einstein-függvény.

Bár az Einstein-modell eredményei pontosabban egyeznek a kísérletekkel, mint a klasszikus számítás, viszont érvénye csak a magasabb hőmérsékletű rácsokra terjed ki. Újabb, alacsony hőmérsékletű mérések rámutattak, hogy a modell azon feltevése, hogy a rács atomjai független és azonos frekvenciájú oszcillátorok, nem vezet helyes eredményre a fajhővel kapcsolatban, ugyanis figyelmen kívül hagyja a hosszúhullámú, akusztikus módusoknak megfelelő, könnyen gerjeszthető rácsrezgéseket.

Források

• Sólyom Jenő: A modern szilárdtest-fizika alapjai I: Szerkezet és dinamika. Budapest: ELTE Eötvös Kiadó. 2009. ISBN 9789632840970  
• Charles Kittel: Bevezetés a szilárdtest-fizikába. Budapest: Műszaki Könyvkiadó. 1981.