שדה המספרים ה-p-אדיים

במתמטיקה, שדה המספרים ה-p-אדיים הוא שדה, שאבריו הם המספרים ה-p-אדיים. יש שדה $p$-אדי אחד לכל מספר ראשוני $p$, ומקובל לסמן אותו באות $\mathbb {Q} _{p}$. כל הרחבה סופית של שדה המספרים ה-$p$-אדיים נקראת "שדה $p$-אדי".

על שדה המספרים ה-$p$-אדיים מוגדרת הערכה בדידה, ההופכת אותו לשדה מקומי, שהוא בעל עוצמת הרצף, ואינו ניתן לסידור. לפי משפט אוסטרובסקי, כל שדה מקומי ממאפיין אפס (עם ערך מוחלט לא ארכימדי) הוא $p$-אדי לאיזשהו $p$.

את המספרים ה-$p$-אדיים פיתח קורט הנזל בתחילת המאה העשרים, והם הפכו במהירות לאחד הכלים ומושאי המחקר הבסיסיים באריתמטיקה המודרנית ובתורת השדות.

תכונות

כל מספר $p$-אדי אפשר לכתוב באופן יחיד בצורה $\sum _{i=-N}^{\infty }a_{i}p^{i}$ כאשר $N$ שלם, ו-$a_{i}\in \{0,1,\dots ,p-1\}$. החיבור והכפל מוגדרים כאילו היה מדובר בטורי חזקות במשתנה אחד.

אלגברה

המספרים מהצורה $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}p^{i}$ נקראים "שלמים $p$-אדיים"; כקבוצה, הם מרכיבים את חוג השלמים ה-p-אדיים $\mathbb {Z} _{p}$, שהוא תת-חוג מקומי וראשי (חוג ההערכה הדיסקרטית המתקבל מההערכה הדיסקרטית שתוצג בתת-הפסקה הבאה) של $\mathbb {Q} _{p}$; כדי לקבל את השדה די להפוך את האיבר $p$: $\mathbb {Q} _{p}=\mathbb {Z} _{p}[p^{-1}]$. חוג השלמים ה-$p$-אדיים הוא גבול הפוך של חוגי המנה $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$.

טופולוגיה

על שדה המספרים ה-$p$-אדיים מוגדרת הערכה דיסקרטית $\nu (\sum _{i=-N}^{\infty }a_{i}p^{i})=-N$ (בהנחה ש-$a_{-N}\neq 0$), וזו מגדירה ערך מוחלט לפי $|f|=p^{-\nu (f)}$ ומטריקה ($d(x,y)=|x-y|$), המגדירה טופולוגיה. תחת הטופולוגיה הזו, חוג השלמים ה-$p$-אדיים, שהוא כדור היחידה הסגור בשדה, הוא קבוצה קומפקטית, הומיאומורפית לקבוצת קנטור. השדה אינו קומפקטי, אבל הוא קומפקטי מקומית.

אריתמטיקה

שורשי היחידה ב-$\mathbb {Q} _{p}$ הם אלו שסדרם מחלק את $p-1$. כאשר $p$ אי-זוגי, לשלם רציונלי $a$ שאינו מתחלק ב-$p$ יש שורש $p$-אדי אם ורק אם יש לו שורש מודולו $p$ (כך למשל ${\sqrt {-1}},{\sqrt {11}},{\sqrt {19}}\in \mathbb {Q} _{5}$); עבור $p=2$ התנאי הוא שיהיה ל-$a$ שורש מודולו 8, ולדוגמה ${\sqrt {3}}\not \in \mathbb {Q} _{2}$. הלמה של הנזל מאפשרת לפתור משוואות פולינומיות בשדה המספרים ה-$p$-אדיים, ובאופן כללי יותר, לפרק פולינומים לגורמים, על ידי הרמה, כביכול, של הבעיה מן המנות הסופיות $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$.

בניגוד לשדה המספרים הממשיים, שיש לו הרחבה אלגברית אחת ויחידה - המרוכבים - לשדה המספרים ה-$p$-אדיים יש הרחבות אלגבריות מכל מימד, ומספרן (בכל מימד) סופי. אם $p$ אי זוגי יש בדיוק שלוש הרחבות ריבועיות, ולשדה המספרים ה-2-אדיים יש שבע הרחבות ריבועיות. מבין ההרחבות האלה, יש הרחבה לא מסועפת יחידה מכל מימד.

הסגור האלגברי ${\overline {\mathbb {Q} _{p}}}$ אינו שלם ביחס לטופולוגיה המושרה; את הסגור השלם מסמנים ב- $\mathbb {C} _{p}$, ושדה זה הוא סגור גם אלגברית וגם מטרית. מבחינה אלגברית (וללא המבנה המטרי), $\mathbb {C} _{p}$ איזומורפי לשדה המספרים המרוכבים, $\mathbb {C}$.

חבורת גלואה של כל הרחבה סופית של $\mathbb {Q} _{p}$ היא פתירה, ולכן חבורת גלואה האבסולוטית ${\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}_{p}/\mathbb {Q} _{p})$ היא פרו-פתירה.

ראו גם

• חוג האדלים
• משפט גרונוולד-ואנג