רציפות (פילוסופיה)

המושג "רציפות" מתאר באופן אינטואיטיבי דבר מה שאין בו הפסקות וניתן לחלוקה אינסופית. מושג זה יכול לחול על המציאות הפיזיקלית (הנתפסת בחושים) ועל מושגים מופשטים.
מושג הרציפות מעלה בעיות תפיסה קשות, משום שהוא דורש למעשה תפיסה של אינסוף. סוגיית הרציפות מעסיקה אנשי מדע מאז העת העתיקה ועד ימינו.

מושג הרציפות במתמטיקה

העת העתיקה

ערך מורחב – מתמטיקה ביוון העתיקה

רעיון הרציפות הופיע כבר בתחילת הפילוסופיה היוונית, אצל הפילוסוף אנכסגורס, אולם ההתמודדות העיקרית איתו נערכה על ידי מתמטיקאים. עם זאת, בעת העתיקה לא הייתה הבחנה ברורה בין מדע ופילוסופיה.

האסכולה הפיתגוראית פיתחה תורה שלמה סביב מספרים במאה החמישית לפני הספירה. הפיתגוראים האמינו כי המתמטיקה שלהם מתארת את העולם או שהיא זהה עם העולם. באותה עת, עסקו הפיתגוראים רק במספרים הנקראים כיום מספרים טבעיים (...1,2,3), ובשברים (מנה של שני מספרים טבעיים). הם נקלעו למבוכה כאשר ניסו לחשב את אורך היתר של משולש ישר-זווית שאורך כל אחד מניצביו הוא 1. אורך היתר במשולש זה הוא 2√. מספר זה אינו טבעי ואף אינו רציונלי (אינו ניתן להצגה כשבר). הפיתגוראים החליטו להתעלם ממספרים אלו, הנקראים כיום מספרים אי-רציונליים. כיום אנו יודעים שהישר הממשי (המכיל מספרים טבעיים, רציונליים ואי-רציונליים), הוא התגלמותה של הרציפות.

הפילוסוף זנון הציג התמודדות מעמיקה יותר עם הרציפות. מטרתו הייתה להוכיח את הטענה של רבו, פרמנידס, כי לא קיימת כלל חלוקה בעולם. לצורך כך ניסה זנון להראות באמצעות פרדוקסים כי גם חלוקה אטומית (בדידה) וגם חלוקה אינסופית (רציפות) מביאות לסתירות לוגיות. מנקודת מבט מודרנית, ניתן לסייג ולומר כי זנון הראה כי שתי צורות החלוקה הללו גורמות לקשיים אינטואיטיביים (בניגוד לסתירות לוגיות).

טענתו של זנון כנגד הרציפות הייתה כי כאשר מחלקים קו לאינסוף, יכולות להתקבל שתי תוצאות: האחת, שהקו מורכב מגדלים מאוד קטנים. השנייה, שהקו אינו מורכב מגדלים כלל. אם הקו מורכב מגדלים כלשהם, הרי שהוא לא רציף, אלא אטומי (בדיד). אם הקו אינו מורכב מגדלים כלל, אז כיצד הוא קיים? למרות שהפרדוקסים של זנון זכו לפתרונות מתמטיים כעבור כ-2,500 שנה, הקושי האינטואיטיבי נותר בעינו עד היום: כיצד ייתכן שאוסף נקודות חסרות גודל יוצר קו בעל גודל? כיצד ייתכן שיש מספרים שעצם הגדרתם היא תהליך אינסופי?

למרות הקושי האינטואיטיבי, כבר בתקופה זו פיתח ארכימדס חישוב המשתמש בחלוקה אינסופית, על מנת לחשב את שטח העיגול. ארכימדס הניח כי העיגול מכיל אינסוף משולשים צרים לאינסוף, ולכן אפשר לחשב את שטחו על בסיס הנוסחה לחישוב שטחו של משולש. ארכימדס הניח, אם כך, שניתן לעבוד עם המושג "קטן עד אינסוף", אולם טרם היו בידיו הכלים המתמטיים להגדיר זאת.

העת החדשה

בסוף המאה ה-17 וראשית המאה ה-18 המשיכו לייבניץ וניוטון את דרכו של ארכימדס ופיתחו חשבון המסוגל לחשב, בין היתר, את שטחן של צורות עקומות: חשבון אינפיניטסימלי. גם כאן נדרשה חלוקה אינסופית. הפעם הציב החישוב גם קשיים לוגיים. במהלך החישוב הופיע מושג האינפיניטסימל - "גודל קטן לאין סוף", שדרך ההתייחסות אליו הייתה כפולה: בראשית החישוב התייחסו אליו כגדול מאפס, ובהמשך החישוב התייחסו אליו כשווה ממש לאפס.

בתקופה זו עדיין היה קשר חזק יחסית בין המתמטיקה לפילוסופיה. ניוטון, ובעיקר לייבניץ, התייחסו בכתביהם למושג הרציפות האינטואיטיבי. לייבניץ ניסה להסביר מדוע לדעתו קיימת רציפות בטבע, כפי שהיא קיימת במתמטיקה. הפילוסוף ג'ורג' ברקלי ביקר את שיטותיהם של ניוטון ולייבניץ:

"אין לכנות את הדבר מדע, כאשר אתה מגשש כסומא בארובה ומגיע אל האמת מבלי לדעת כיצד, ובאילו אמצעים... המחבר הדגול של שיטת הפלוקציות [ניוטון] חש בקושי הזה, ולפיכך הכניס בהן מידה הגונה של הפשטה ושל מטפיזיקה גאומטרית... הוא השתמש בפלוקציות כדרך שמשתמשים בפיגום של בניין, שלבסוף מסולק או נפטרים ממנו..."

— תולדות החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, האוניברסיטה הפתוחה, 1978, עמ' 18

הקושי הלוגי שהתעורר בחשבון האינפיניטסימלי גרם למתמטיקאים לעבור מעיסוק בגאומטריה לעיסוק בהגדרות לוגיות ובתורת המספרים.
הפתרון העיקרי שניתן בתחום החשבון האינפיניטסימלי היה החלפת המושג "גודל קטן עד אין סוף" במושג גבול. מושג הגבול מביע את הרעיון המופיע במושג "גודל קטן עד אין סוף", אולם ניסוחו המתמטי אינו יוצר קשיים לוגיים, מפני שהגבול שם נקודת גבול לאינסוף המתכנס ובכך שם סוג של סוף (גבול), או נקודת עצירה לאינסוף, או במילים אחרות, הופך את הרציפות לדבר המורכב מאובייקטים בדידים קטנים כרצוננו אך סופיים (אפסילון - epsilon).

הפתרון העיקרי שניתן להגדרת המספרים האי-רציונליים, היה פיתוחה של תורת הקבוצות. קנטור פיתח מושגים ושיטות שבהן אין "תהליך אינסופי" (אינסוף פוטנציאלי) אלא קבוצות אינסופיות (אינסוף אקטואלי). בצורה זו ניתן להגדיר בכלים סופיים מהו מספר אי-רציונלי.

פתרונות אלו מאפשרים למתמטיקה המודרנית לעבוד עם גדלים אינסופיים. עם זאת, יש הטוענים שנותרו קשיים לוגיים עד היום במתמטיקה, בעיקר בגלל העבודה עם גדלים אינסופיים (בנושא זה, ראו ספרו של ארנון אברון, "משפטי גדל ובעיית יסודות המתמטיקה").

כמו כן, פתרונות אלו עקפו את השאלות העמוקות בדבר אפשרות חלוקתו האינסופית של הרצף, וטיבם של גדלים קטנים לאינסוף. שאלות אלה הופרדו מן המתמטיקה והוכרזו כעניין לפסיכולוגיה, או לפילוסופיה, שאין לו נגיעה בעבודת המתמטיקאי. אך למעשה, רעיונות אלה נותרו חבויים באקסיומות שעליהן נשענים מושגי המספר והגבול.

מאחר שהמתמטיקה נפרדה מן הפילוסופיה, המתמטיקאים אינם עוסקים בשאלות כגון: "כיצד ניתן לתפוס שאוסף נקודות חסרות גודל יוצרות קו בעל גודל?" או "כיצד ניתן לתפוס תהליך אינסופי?"

האם הטבע רציף?

רציפות בפיזיקה

עד העת החדשה הייתה שאלת הרציפות בפיזיקה שאלה תאורטית בלבד. חלק מן המדענים והפילוסופים (כמו דמוקריטוס) סברו כי הטבע מורכב מיחידות סופיות ובדידות בשם "אטומים", וחלק סברו אחרת. שאלות אלו הפכו לנחלתה של הפיזיקה הנסיונית, עם פיתוחן של תאוריות חדשות במאה ה-19 ומכשירים חדשים במאה ה-20.

המכניקה הקלאסית, שפותחה על ידי ניוטון בסוף המאה ה-17, הכילה בתוכה כמה הנחות יסוד אודות הטבע. בין היתר, היא הניחה כי ניתן להבדיל בין חומר, הנתפס בחושים, לבין אנרגיה, שאיננה נתפסת בחושים. על בסיס זה ניסתה הפיזיקה הקלאסית להסביר את חוקי התנועה של עצמים חומריים, כמו תנועתם של כדורי ביליארד המתנגשים זה בזה. גישה זו גרמה לפיזיקאים להניח כי ניתן למצוא תשובה לשאלת הרציפות על ידי חלוקה של החומר ליחידות הקטנות ביותר.

במהלך המאה ה-19 הועלו תאוריות שונות בנוגע למבנה האטום, ובתחילת המאה ה-20 החל להתברר מבנהו. מצד אחד נתגלה כי האטום מכיל חלקיקים יסודיים יותר כמו אלקטרונים, פרוטונים וקווארקים. מצד שני, התצפית בחלקיקים אלו נתגלתה כבעייתית גם בגלל גודלם וגם בגלל התנהגותם. אם בסוף המאה ה-19 סברו הפיזיקאים שיוכלו לתאר את תנועת החלקיקים כשם שמתארים תנועת כדורי ביליארד, הרי שבמהלך המאה ה-20 התברר כי זוהי משימה בלתי אפשרית.

מאז פרסום תורת היחסות, לא מתבצעת אותה הבחנה חדה בין חומר לאנרגיה. מאז פרסום עיקרון אי הוודאות של הייזנברג, נראה כי בכל מקרה לא ניתן לחשב את תנועתם של חלקיקים משום שעצם התצפית משפיעה על תנועתם. מאמצע המאה העשרים לערך, החלה להתקבל תאוריה המכונה מכניקת הקוונטים, הטוענת שהחלקיקים אינם בהכרח בדידים, אלא שלעיתים הם בדידים ולעיתים הם גלים. תאוריה זו מקבלת גם את ההנחה שלא ניתן לצפות את תנועתם של החלקיקים על פי חוקי הפיזיקה הקלאסית, אלא לכל היותר ניתן לשער אותה על ידי סטטיסטיקה.

מכל האמור לעיל משתמע כי הפיזיקה טרם הגיעה להסבר ברור ומקובל בנוגע למבנה החומר ותנועתו, או אפילו בנוגע לפירוש המושג "חומר". במצב זה, שאלת הרציפות בטבע נשארה מעורפלת מתמיד.

עמדותיהם של פילוסופים בנוגע לרציפות בטבע

במהלך העת החדשה העסיקה סוגיית הרציפות בטבע כמה פילוסופים בולטים. סעיף זה דן בפילוסופים שפעלו לפני הפיזיקה הקוונטית.
בהכללה גסה, ניתן לומר שפילוסופים המאמינים שיש ביכולתנו לתפוס את הרציפות בשכל, מאמינים גם כי היא קיימת בטבע. גישה זו שייכת לאסכולה הנקראת ריאליזם.

דקארט טען כי הטבע רציף מהסיבות הבאות:

"וכן אנו מכירים שלא יוכל להיות שקיימים מיני אטומים, שהם חלקי חומר שמטבעם אינם נחלקים... אפילו אם תדמה בנפשך קטנים בכל מידה שתרצה... נוכל לחלק במחשבה כל אחד מהם לשניים או לרבים הקטנים מהם, וכך אנו מודים שהם ניתנים לחלוקה. שהרי אין אנו יכולים לחלק דבר במחשבה אלא אם כן אנו מכירים בו שהוא ניתן לחלוקה. על כן, אם סבורים אנו שהוא אינו נחלק, דעתינו סותרת את הכרתינו. ואפילו אם נשער שרצה הבורא לעשות שיהיו בחומר חלקיקים כאלה שאינם נחלקים לקטנים מהם, עדיין אין אלו ראויים לשם בלתי נחלקים. שהרי אפילו עשאם כך, שאין ביד כל יצור נברא לחלקם, ודאי שלא יכול הבורא ליטול מיד עצמו את היכולת לחלקם, שהרי לא יוכל להיות שהוא ממעט את כוח עצמו."

— שמואל סמבורסקי, המחשבה הפיזיקאלית בהתהוותה, ביאליק, ירושלים, 1972, עמ' 240

לייבניץ טען אף הוא כי הטבע רציף:

"חושבני שאמת היא שהחומר (ואפילו כל חלק וחלק של החומר) מחולק למספר חלקים גדול יותר משאפשר לדמות. ועל כן אומר אני לעיתים קרובות שכל גוף וגוף, כל כמה שיהא קטן, הוא עולם של יצורים שאין קץ למספרם. וכך איני מאמין שיש אטומים, כלומר חלקים של חומר, קשים בתכלית הקשיות או בעלי מוצקות שאי אפשר להתגבר עליה."

— שמואל סמבורסקי, המחשבה הפיזיקאלית בהתהוותה, ביאליק, ירושלים, 1972, עמ' 44

לעומתם, ניוטון היה זהיר יותר:

"בחלקיקים שנשארים בלא פירוד יכולה רוחינו להבחין בחלקים הקטנים מהם עוד, כפי שהוכח באופן מתמטי. אולם האם החלקים שכך הם מובחנים ועדיין אינם מחולקים יכולים על ידי כוחות הטבע להיות מחולקים למעשה ומורחקים זה מזה, אין אנו יכולים לומר בוודאות. בכל זאת, לו הייתה בידינו הוכחה של ניסוי אחד בלבד, שאיזה חלקיק בלתי מחולק אמנם התחלק בשבירת גוף קשה ומוצק, היינו יכולים ללמוד בתוקף הכלל הזה שגם החלקיקים שאינם מחולקים וגם המחולקים ניתנים לחלוקה ולהפרדה בפועל עד אין סוף".

— שמואל סמבורסקי, המחשבה הפיזיקאלית בהתהוותה, ביאליק, ירושלים, 1972, עמ' 302

האם אנו מסוגלים לתפוס רציפות?

תפיסה חושית לעומת תפיסה שכלית

ניתן לחלק את יכולת התפיסה האנושית לתפיסה חושית ולתפיסה שכלית. הגישה הפילוסופית המדגישה את התפיסה החושית נקראת אמפיריציזם, בעוד הגישה המדגישה את התפיסה השכלית נקראת רציונליזם. מאחר שאין לאדם יכולת לתפוס את הרציפות (כלומר גדלים קטנים עד אין סוף) בחושים, הרי שפילוסופים אמפיריציסטים נוטים לטעון שהמושג אינו רלוונטי. לעומתם, פילוסופים רציונליסטיים נוטים לטעון כי יש ביכולתנו לתפוס רציפות בשכל.

עמדותיהם של פילוסופים בנוגע לתפיסת רציפות

ג'ון לוק, כנציג מובהק של האמפיריציזם, טען כי אין ביכולתנו לתפוס רציפות:

"מכיוון שלעולם אי אפשר למחשבותינו, בשום שיעור של חומר, להגיע עד החלוקה האחרונה, נדמה שיש לנו אינסוף גם בזה... ובכל זאת איננו יכולים לקבל... על ידי החלוקה, את מושג הגוף הקטן עד אינסוף, מכיוון שמושגינו מן האינסוף הוא מושג גדל ובורח, ההולך קדימה בלי שום גבול ושם מעצור".

— שמואל סמבורסקי, המחשבה הפיזיקאלית בהתהוותה, ביאליק, ירושלים, 1972, עמ' 312

גם דייוויד יום, כאמפיריציסט, טען כי אין ביכולתנו לתפוס רציפות:

"כושר השגתה של הרוח מוגבל הוא ולעולם לא תוכל להגיע אל השגה מלאה ונאותה של האינסוף... המושג שאנו יוצרים לנו מאיכות סופית כלשהי, אינו ניתן להתחלק עד אינסוף, אלא אפשר לנו, על ידי הבחנות והפרדות נאותות, לפרק מושג זה למושגים נחותי מידה, שיהיו פשוטים ובלתי מתחלקים לחלוטין... הדמיון מגיע לידי מינימום, ואפשר לו להעלות לפני עצמו מושג שממנו לא יוכל עוד להשיג שום חלוקת משנה, מושג שאי אפשר להפחיתו בלי לאיינו כליל. כשהנך מדבר באוזני על חלק האלף ועל חלק עשרת האלפים של גרגר חול, יש לי מושג מובחן ממספרים אלו ומשיעוריהם השונים, אולם הדמויות שאני יוצר ברוחי כדי לצייר לי את הדברים עצמם, אינן נבדלות זו מזו כלל."

— יום, דוד: מסכת טבע האדם, תרגום: יוסף אור, מאגנס, ירושלים, 1954, עמ' 46

לעומתם, לייבניץ טוען שאין צורך בתפיסה חושית על מנת לתפוס רציפות:

"לא אוכל לקנות לי דמות של מצולע בעל אלף צלעות, וצריך שיהיו חושיו של אדם ודמיונו דקים יותר ומאומנים יותר כדי שיבחין בדרך זו בינו ובין מצולע שיש לו צלע אחת פחות מכן. אולם דעת היצירים הגאומטריים, ממש כדעת המספרים, אינה תלויה בדמיון, אף על פי שהדמיון מסייע לה. ומתמטיקאי יכול לדעת בדיוק את מהותו של מתושע או מעושר, מפני שהאפשרות בידו לבנותם ולבחון אותם, אף אם לא יוכל להבחין ביניהם על פי מראה עיניו... פילאלתס - כלום אפשר להכחיש שכאשר מדברים אנו על התחלקות החומר עד אינסוף, הנה אף על פי שיש לנו מושגים ברורים על ההתחלקות, אין לנו מן החלקיקים אלא מושגים עמומים מאוד ומטושטשים מאד? כי הריני שואל: אם ייקח אדם גרגר אבק קטן ביותר שראה מימיו, כלום יהא לו מושג מובחן כל שהוא שבעזרתו יבחין בין חלק עשרת האלפים ובין חלק המיליון של גרגיר זה? תיאופילוס – כאן שוב מוחלפים המושג והדמות, ופלא בעיני שמערבבים אותם במידה כזו. כי העניין אינו בכך שתהא לנו דמות של זעירות יתירה כל כך. היא בלתי אפשרית על פי המבנה הקיים של גופנו..."

— גוטפריד וילהלם לייבניץ, מסות חדשות על שכל האדם, תרגום: יוסף אור, ירושלים, תשכ"ז, עמ' 270

לקריאה נוספת

• ארנון אברון, ‏משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה, סדרת אוניברסיטה משודרת, בהוצאת משרד הביטחון – ההוצאה לאור, 1998.
• שבתאי אונגורו, ‏מבוא לתולדות המתמטיקה, סדרת אוניברסיטה משודרת, בהוצאת משרד הביטחון – ההוצאה לאור, 1989.
• בנו ארבל, קיצור תולדות המתמטיקה, מופ"ת, 2005.
• דייוויד יום: מסכת טבע האדם, תרגום: יוסף אור, מאגנס, ירושלים, 1954
• ג'ון לוק: מסה על שכל האדם, תרגום: יוסף אור, מאגנס, ירושלים, תשל"ב
• גוטפריד וילהלם לייבניץ: השיטה החדשה, תרגום: יוסף אור, ירושלים, תרצ"א
• גוטפריד וילהלם לייבניץ, מסות חדשות על שכל האדם, תרגום: יוסף אור, ירושלים, תשכ"ז
• שמואל סמבורסקי, המחשבה הפיזיקאלית בהתהוותה, מוסד ביאליק, ירושלים, 1972
• תולדות החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, האוניברסיטה הפתוחה, 1978