עקביות (לוגיקה)

במתמטיקה ובלוגיקה, עקביות (או קונסיסטנטיות, קוהרנטיות) של מערכת מסוימת פירושה שמערכת זו היא נטולת סתירות. בלוגיקה מתמטית, תורה עקבית היא כזו שלא נובעת ממנה טענה והיפוכה. בתורות לא עקביות אפשר להוכיח כל טענה (משום שמהנחות שקריות נובעת כל מסקנה שהיא), ולכן נחשבת עקביות למעלה הכרחית בכל תורה ראויה.

כדי להוכיח שמערכת היא עקבית, מספיק למצוא מודל שמקיים את כל האקסיומות של המערכת. מודל עבור תורה $A$ הנבנה במסגרת של תורה $B$ מוכיח עקביות יחסית – אם $B$ עקבית, אז גם $A$ כזו. מודלים כאלו ידועים עבור גאומטריות שונות (למשל, שתי הגרסאות הלא-אוקלידיות של גאומטריית המישור הן עקביות ביחס לגאומטריית המישור האוקלידית), וגם עבור מערכות אקסיומטיות שונות לתורת הקבוצות.

לכל מערכת אקסיומות עקבית יש מודל (משפט השלמות של גדל, 1930). ישנן תורות שבמסגרתן לא ניתן להראות עקביות. דוגמה לכך היא תורת המספרים. כדי להוכיח עקביות של מערכות כאלה יש להפעיל כלים מתמטיים סבוכים יותר ולהסתמך על תורות אחרות. משפט האי-שלמות השני של גדל קובע שלא ניתן להוכיח את העקביות של תורה אריתמטית אפקטיבית (שהיא עקבית), במסגרת התורה עצמה.

ראו גם

• תורה (לוגיקה מתמטית)

קישורים חיצוניים

• עקביות, באתר MathWorld (באנגלית)