מכפלה מעורבת

מכפלה מעורבת (או מכפלה משולשת) היא פעולה הפועלת על שלושה וקטורים מהמרחב האוקלידי $\ \mathbb {R} ^{3}$ ומחזירה סקלר. המכפלה המעורבת מהווה דטרמיננטה למטריצה במרחב האוקלידי $\ \mathbb {R} ^{3}$. בערך זה נדון בעיקר במכפלה המעורבת במרחב האוקלידי $\ \mathbb {R} ^{3}$ וביישומיה בגאומטריה באנליזה וקטורית ובאלגברה ליניארית.

הגדרה

יהי ${\vec {a}}=\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{array}}\right],\ {\vec {b}}=\left[{\begin{array}{c}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{array}}\right],\ {\vec {c}}=\left[{\begin{array}{c}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{array}}\right]\in \mathbb {R} ^{3}$

המכפלה המעורבת היא המכפלה ${\vec {a}}\cdot \left({\vec {b}}\times {\vec {c}}\right)$
כלומר, מכפלה סקלרית של הוקטור ${\vec {a}}$ במכפלה הווקטורית של הוקטורים ${\vec {b}},{\vec {c}}$.

משמעות

תוצאת המכפלה המעורבת היא מספר אשר משמעותו הוא נפח המקבילון הבנוי על וקטורים ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$. נפח כאן הוא במשמעות שונה מעט מהמשמעות המקובלת שלו, כיוון שהערך של המכפלה המעורבת יכול להיות שלילי, בעוד שנפח נתפס לרוב כגודל חיובי בלבד. ניסוח מדויק יותר הוא שהגודל של המכפלה המעורבת שווה לנפח המקבילון הנוצר על ידי שלושת הווקטורים. סימן המכפלה (חיובי או שלילי) נקבע לפי סדר הווקטורים, כלומר, אם השלשה ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ היא שלשה ימנית או שלשה שמאלית. אם הווקטורים קו-פלנריים (כלומר שלושתם נמצאים על אותו מישור), אז המכפלה המעורבת מתאפסת, כיוון שבמקרה זה ה"מקבילון" המוגדר על ידם הוא שטוח ונפחו 0.

ניתן גם להסתכל על המכפלה המעורבת (ב $\mathbb {R} ^{3}$ ) בתור הדטרמיננטה של המטריצה המורכבת מהוקטורים ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$. לכן, מתכונות הדטרמיננטה ברור כי

${\vec {a}}\cdot \left({\vec {b}}\times {\vec {c}}\right)={\vec {c}}\cdot \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)={\vec {b}}\cdot \left({\vec {c}}\times {\vec {a}}\right)$

אך חילוף הסדר יהפוך את הסימן:

${\vec {a}}\cdot \left({\vec {b}}\times {\vec {c}}\right)=-{\vec {a}}\cdot \left({\vec {c}}\times {\vec {b}}\right)$

כמו כן מתקיים לכל זוג ווקטורים:

${\vec {a}}\cdot \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)=0$

מכפלה וקטורית משולשת (מעורבת)

ישנו סוג נוסף של מכפלה מעורבת המחזיר וקטור ולא סקלר; זוהי המכפלה הווקטורית המשולשת: ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})$. תוצאת המכפלה הווקטורית המשולשת היא:

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}){\vec {b}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}){\vec {c}}$

זהות שניתן לזכור גם בעזרת המנמוניקה "BAC − CAB". דרך אחת להוכיח זהות זאת היא באמצעות האפסילון של לוי-צ'יוויטה; כאן נוכיח זאת באמצעות שיטת הוכחה המתבססת על תהליך גרם-שמידט היות שהיא אינטואיטיבית יותר ומתבססת רק על הרעיון הגאומטרי של מכפלה פנימית.

הוכחה

נרשום כל אחד מהווקטורים ${\vec {b}},{\vec {c}}$ כסכום של רכיב מקביל ורכיב ניצב לוקטור ${\vec {a}}$:

${\vec {b}}={\vec {b\|a}}+{\vec {b\perp a}}$

${\vec {c}}={\vec {c\|a}}+{\vec {c\perp a}}$

ונקבל על סמך קיום חוק הפילוג במכפלות וקטוריות:

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {a}}\times (({\vec {b\|a}}+{\vec {b\perp a}})\times ({\vec {c\|a}}+{\vec {c\perp a}}))={\vec {a}}\times ({\vec {b\|a}}\times {\vec {c\|a}}+{\vec {b\|a}}\times {\vec {c\perp a}}+{\vec {b\perp a}}\times {\vec {c\|a}}+{\vec {b\perp a}}\times {\vec {c\perp a}})$

נבחין כעת כי המכפלה ${\vec {b\|a}}\times {\vec {c\|a}}$ שווה לאפס היות שהיא מייצגת מכפלה וקטורית של שני וקטורים בכיוון זהה (כיוון a). בדומה לכך, גם המכפלה ${\vec {a}}\times ({\vec {b\perp a}}\times {\vec {c\perp a}})$ שווה לאפס היות ששני הווקטורים בתוך הסוגריים נמצאים במישור הניצב ל-a - ולפיכך מכפלתם הווקטורית היא בכיוון a כך שהמכפלה המשולשת כולה מתאפסת אף היא. נשארנו לפיכך עם הביטוי:

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {a}}\times ({\vec {b\|a}}\times {\vec {c\perp a}}+{\vec {b\perp a}}\times {\vec {c\|a}})={\vec {a}}\times ({\vec {b\|a}}\times {\vec {c\perp a}})-{\vec {a}}\times ({\vec {c\|a}}\times {\vec {b\perp a}})$

כאשר המעבר האחרון נסמך על תכונת האנטי-חילופיות של המכפלה הווקטורית. כיוון שעבור שני וקטורים ${\vec {x}},{\vec {y}}$ בבסיס אורתונורמלי של מרחב תלת-ממדי מתקיים באופן כללי: ${\vec {x}}\times ({\vec {x}}\times {\vec {y}})=-{\vec {y}}$, נקבל שהביטוי באגף ימין של השוויון האחרון שקול ל-:

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}){\vec {b}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}){\vec {c}}$

כאשר במעבר האחרון (והמסכם) השמטנו חלק מהכתיב הפורמלי.

מ.ש.ל

ראו גם

• מרחב וקטורי
• מכפלה פנימית
• מכפלה וקטורית
• מכפלה סקלרית
• דטרמיננטה

קישורים חיצוניים

• מכפלה מעורבת, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.