החוג המנוגד

באלגברה מופשטת ובפרט בתורת החוגים, החוג המנוגד (Opposite ring) של חוג נתון הוא חוג בעל אותו מבנה חיבורי, עם פעולת הכפל בחילוף המשתנים. המעבר לחוג המנוגד מעביר מודולים שמאליים לימניים, ולהפך, ובכך מראה שלשני המושגים יש אותה תאוריה.

הגדרה פורמלית

יהי חוג $(R,+,\cdot )$. נסמן ב-${R}^{op}$ את החוג $(R,+,*)$, בו פעולת הכפל * היא הפעולה $a*b=b\cdot a$, כלומר היפוך הפעולה של החוג $R$. בדיקה ישירה מראה שזהו חוג, המכונה החוג המנוגד של $R$.

אם $A$ היא אלגברה, אז ${A}^{op}$ נקראת האלגברה המנוגדת של $A$, והיא זו שמתקבלת משינוי מבנה החוג כמוסבר לעיל.

תכונות

$({R}^{op})^{op}=R$.

כל חוג אנטי-איזומורפי לחוג המנוגד שלו. חוג שיש לו אנטי-אוטומורפיזם הוא איזומורפי לחוג המנוגד. בפרט, חוג עם אינוולוציה איזומורפי לחוג המנוגד שלו. אם $R$ חוג קומוטטיבי, אז ${R}^{op}=R$.

לכל אלגברה $R$ מעל שדה $F$, יש הומומורפיזם $R\otimes _{F}R^{\operatorname {op} }\rightarrow \operatorname {End} _{F}(R)$ אל חוג האנדומורפיזמים. אם $R$ אלגברה פשוטה מרכזית, זהו איזומורפיזם, המראה ש(המחלקה של) החוג המנוגד מהווה את האיבר ההפכי בחבורת בראואר.

ראו גם

• מכפלה טנזורית
• חבורת בראואר