Surface minimale de Catalan

En géométrie différentielle, une surface minimale de Catalan est une surface minimale qui a été étudiée par Eugène Charles Catalan en 1855^[1].

{\begin{aligned}x(u,v)&=a(2u-\sin(2u)\cosh(2v))\\y(u,v)&=a(1-\cos(2u)\cosh(2v))\\z(u,v)&=4a\sin(u)\sinh(v).\end{aligned}}

Si l'on pose $r=\sinh(v)$ dans la paramétrisation ci-dessus, on obtient :

{\begin{aligned}x(u,v)&=a(2u-(1+2r^{2})\sin(2u))\\y(u,v)&=a(1-(1+2r^{2})\cos(2u))\\z(u,v)&=4ar\sin(u).\end{aligned}}

Les lignes avec le paramètre $r=r_{0}$ fixé, se projettent sur le plan $xOy$ en des trochoïdes.
Les lignes avec le paramètre $u=u_{0}$ fixé, sont des paraboles.
La section de la surface par le plan $xOy$ (c'est-à-dire $r=0$ ) est une cycloïde.

Liens externes

(en) Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt (de) et Friedrich Sauvigny (de), Minimal Surfaces, vol. 1, Berlin, Springer, coll. « Grundl. math. Wiss. » (n^o 339), 2010, 692 p. (ISBN 978-3-642-11697-1, lire en ligne), p. 171 sq.

↑ E. Catalan, « Mémoire sur les surfaces dont les rayons de courbures en chaque point, sont égaux et les signes contraires », C. r. hebd. séances Acad. sci., vol. 41, 1855, p. 1019-1023 et 1155 [lire en ligne].
↑ (en) Alfred Gray, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Boca Raton, CRC Press, 2^e éd., 1997, p. 692-693 (« Catalan's Minimal Surface »).

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