Espace mesurable

Un espace mesurable (en théorie de la mesure), également appelé espace probabilisable^{[réf. nécessaire]} (en théorie des probabilités), est un couple $(X,{\mathcal {A}})$ où $X$ est un ensemble et ${\mathcal {A}}$ une tribu sur $X$. Les éléments de ${\mathcal {A}}$ sont alors appelés des ensembles mesurables de $X$.

Un espace mesurable est rarement utilisé seul : le plus souvent, il est complété d'une mesure $\mu$ en vue de construire un espace mesuré $(X,{\mathcal {A}},\mu )$.

Cas des probabilités

En théorie des probabilités, on utilise une terminologie spécifique. Un espace mesurable $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ est appelé un espace probabilisable, l'ensemble $\Omega$ est appelé l'univers et les éléments de la tribu ${\mathcal {A}}$ sont appelés événements.

L'espace probabilisable $(\Omega ,{\mathcal {A}})$, une fois complété d'une mesure de probabilité $P$ (c'est-à-dire une mesure telle que $P(\Omega )=1$) forme un espace probabilisé $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$.

Exemples

Si $X$ un ensemble quelconque :

• $\left(X,{\mathcal {P}}(X)\right)$, où ${\mathcal {P}}(X)$ est l'ensemble des parties de $X$ est un espace mesurable.
• $\left(X,\{\varnothing ,X\}\right)$ est un espace mesurable, où $\{\varnothing ,X\}$ est la tribu grossière.

Si $X$ est un espace topologique, $(X,{\mathcal {B}}(X))$, où ${\mathcal {B}}(X)$ est la tribu de Borel de $X$, est un espace mesurable.

Définitions alternatives

Certaines sources relativement anciennes proposent des définitions marginalement différentes : pour Paul Halmos, Measure Theory, Van Nostrand, 1950, p. 73, un espace mesurable est un ensemble muni d'un σ-anneau à unité ; pour Sterling Berberian, Measure and Integration, MacMillan, 1965, p. 35 c'est un ensemble muni d'un σ-anneau (sans condition d'existence d'une unité). Les relations entre les trois définitions sont exposées dans l'ouvrage de S. Berberian, p. 35-36.