« Anneau local » : différence entre les versions

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En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, un anneau local est un anneau commutatif possédant un unique idéal maximal^[1]. En géométrie algébrique, les anneaux locaux représentent les fonctions définies au voisinage d'un point donné.

Critères

Pour tout anneau A, les propriétés suivantes sont équivalentes :

A est local ;
ses éléments non inversibles forment un idéal (qui sera alors l'idéal maximal de A^[1] et coïncidera avec son radical de Jacobson) ;
ses éléments non inversibles appartiennent à un même idéal propre^[2] ;
pour tout élément a de A, soit a soit 1 – a est inversible^[1]^,^[2] ;
pour tout élément a de A, soit a soit 1 – a est inversible à gauche^[1]^,^[2] ;
il existe un idéal maximal M tel que pour tout élément a de M, 1 + a est inversible^[3].

Définitions

Le quotient d'un anneau local A par son unique idéal maximal s'appelle le corps résiduel de A.

Un homomorphisme d'anneaux locaux $f:A\to B$ est un morphisme d'anneaux qui envoie l'idéal maximal de $A$ dans celui de $B$ .

Remarque : Pour certains auteurs^[4], un anneau ayant un unique idéal maximal est appelé quasi-local, réservant ainsi le nom d'anneaux locaux aux anneaux quasi-locaux noethériens. Mais cette convention est peu répandue.

Exemples

Pour tout nombre premier p et tout entier n ≥ 1, l'anneau ℤ/pⁿℤ est local (d'idéal maximal constitué des multiples de p).
Plus généralement, un anneau non nul dans lequel tout élément non inversible est nilpotent est local^[5] (et l'idéal maximal est le seul idéal premier).
Les anneaux principaux locaux sont :
- les corps commutatifs (d'idéal maximal nul) ;
- les anneaux de valuation discrète, comme l'ensemble ℤ_(p) des rationnels de dénominateur non divisible par un nombre premier p fixé (d'idéal maximal pℤ_(p)).
Plus généralement, tout anneau de valuation est local.
L'anneau des germes des fonctions holomorphes à n variables à l'origine (0,…,0) est un anneau local dont l'idéal maximal est constitué des germes de fonctions holomorphes nulles à l'origine. On peut aussi remplacer les fonctions holomorphes par les fonctions de classe C^k pour un entier naturel fixé k.

Constructions

Le procédé de localisation fait apparaître de façon naturelle des anneaux locaux. En effet, si P est un idéal premier de A, alors le localisé A_P de A par rapport à la partie multiplicative A \ P est un anneau local, d'idéal maximal engendré par l'image de P dans A_P. L'exemple ℤ_(p) ci-dessus est la localisation de ℤ en l'idéal premier pℤ.

Le quotient d'un anneau local par un idéal propre est encore un anneau local.

Pour tout anneau local A et tout ensemble I, l'anneau A[[(X_i)_i∈I]] des séries formelles en les X_i et à coefficients dans A est local (d'idéal maximal engendré par les X_i et l'idéal maximal de A).

Propriétés

Dans un anneau local, tout idéal inversible est principal^[6].

Tout anneau intègre local et de Prüfer (en) est un anneau de valuation^[7].

Dans un anneau local, les seuls idempotents sont 0 et 1^[8].

Un anneau commutatif unitaire est appelé un anneau semi-local (en) s'il ne possède qu'un nombre fini d'idéaux maximaux. La somme directe d'un nombre fini d'anneaux locaux est semi-locale. Si $S$ est le complémentaire de la réunion d'un nombre fini d'idéaux premiers $P_{1},\ldots ,P_{n}$ dans un anneau commutatif unitaire $A$ , alors le localisé $S^{-1}A$ est semi-local. Ses idéaux maximaux sont les idéaux engendrés par les images des $P_{i}$ (on ne garde que les $P_{i}$ contenus dans aucun autre $P_{j}$ ).

Notes et références

↑ ^{a b c et d} N. Bourbaki, Algèbre (lire en ligne), chap. VIII, VIII.23.
↑ ^{a b et c} (en) Joachim Lambek, Lectures on Rings and Modules, AMS, 2009, 3^e éd. (1^re éd. 1966) (lire en ligne), p. 75.
↑ (en) Huishi Li, An Introduction to Commutative Algebra: From the Viewpoint of Normalization, World Scientific, 2004 (lire en ligne), p. 67.
↑ (en) Masayoshi Nagata, Local Rings, p. 13.
↑ (en) T. Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings, coll. « GTM » (n^o 131), 1991 (lire en ligne), p. 296, (19.3) Proposition (a).
↑ Jean-Pierre Serre, Corps locaux [détail des éditions], p. 21.
↑ (en) Eben Matlis, « Injective modules over Prüfer rings », Nagoya Mathematical Journal, vol. 15,‎ 1959, p. 57-69 (DOI 10.1017/S002776300000667X), p. 58.
↑ Lam 1991, p. 295, (19.2) Proposition (c).

Article connexe

Complétion (théorie des anneaux) (en)

Portail de l’algèbre

[Bourbaki-1] {a b c et d} N. Bourbaki, Algèbre (lire en ligne), chap. VIII, VIII.23.

[Labek-2] {a b et c} (en) Joachim Lambek, Lectures on Rings and Modules, AMS, 2009, 3^e éd. (1^re éd. 1966) (lire en ligne), p. 75.

[3] (en) Huishi Li, An Introduction to Commutative Algebra: From the Viewpoint of Normalization, World Scientific, 2004 (lire en ligne), p. 67.

[4] (en) Masayoshi Nagata, Local Rings, p. 13.

[5] (en) T. Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings, coll. « GTM » (n^o 131), 1991 (lire en ligne), p. 296, (19.3) Proposition (a).

[6] Jean-Pierre Serre, Corps locaux [détail des éditions], p. 21.

[7] (en) Eben Matlis, « Injective modules over Prüfer rings », Nagoya Mathematical Journal, vol. 15,‎ 1959, p. 57-69 (DOI 10.1017/S002776300000667X), p. 58.

[8] Lam 1991, p. 295, (19.2) Proposition (c).

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-En [[mathématiques]], un '''anneau local''' est un [[Anneau (mathématiques)|anneau]] commutatif possédant un unique [[idéal]] maximal.
+En [[mathématiques]], et plus particulièrement en [[algèbre commutative]], un '''anneau local''' est un [[anneau commutatif]] possédant un unique [[idéal maximal]]<ref name=Bourbaki>{{Ouvrage|auteur=[[N. Bourbaki]]|titre=[[Éléments de mathématique|Algèbre]]|numéro chapitre=VIII|url={{Google Livres|9q8xDGbjHckC|page autre=PR6-IA14}}|page=VIII.23}}.</ref>. En [[géométrie algébrique]], les anneaux locaux représentent les fonctions définies au voisinage d'un point donné.
+== Critères ==
-*Tout corps commutatif est un anneau local, d'idéal maximal <math>(0)</math>.
+Pour tout anneau ''A'', les propriétés suivantes sont équivalentes :
-*Pour tout nombre premier <math>p</math>, l'ensemble <math>\Z_{(p)}</math> des nombres rationnels dont le dénominateur n'est pas divisible par <math>p</math> est un anneau local; son unique idéal maximal est <math>p\Z_{(p)}</math>. Cet anneau est aussi principal, il correspond à une structure d'[[anneau à valuation discrète]].
+*''A'' est local ;
-* Plus généralement, le procédé de [[Localisation_(mathematique)|localisation]] fait apparaître de façon naturelle des anneaux locaux. En effet, si <math>P</math> est un idéal premier de <math>A</math>, alors le localisé <math>A_P</math> de <math>A</math> par rapport à la partie multiplicative <math>A \ P</math> est un anneau local, d'idéal maximal engendré par l'image de <math>P</math> dans <math>A_P</math>. L'exemple ci-dessus est la localisation de <math>\Z</math> en l'idéal premier <math>p\Z</math>.
+*ses éléments non [[inversible]]s forment un [[idéal]] (qui sera alors l'idéal maximal de ''A''<ref name=Bourbaki/> et coïncidera avec son [[radical de Jacobson]]) ;
-*Pour tout corps commutatif <math>K</math>, l'anneau <math>K[[X_1, \ldots, X_n]]</math> des séries formelles à coefficients dans <math>K</math> et à <math>n</math> variables est un anneau local dont l'idéal maximal est engendré par <math>X_1,\ldots, X_n</math>.
+*ses éléments non inversibles appartiennent à un même [[idéal propre]]<ref name=Labek>{{Ouvrage|lang=en|titre=Lectures on Rings and Modules|auteur=[[Joachim Lambek]]|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|date=2009|année première édition=1966|numéro d'édition=3|url={{Google Livres|dQjEsZFyFXQC|page=75}}|page=75}}.</ref> ;
+*pour tout élément ''a'' de ''A'', soit ''a'' soit 1 – ''a'' est inversible<ref name=Bourbaki/>{{,}}<ref name=Labek/> ;
+*pour tout élément ''a'' de ''A'', soit ''a'' soit 1 – ''a'' est [[Élément inversible à gauche|inversible à gauche]]<ref name=Bourbaki/>{{,}}<ref name=Labek/> ;
+*il existe un idéal maximal ''M'' tel que pour tout élément ''a'' de ''M'', 1 + ''a'' est inversible<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=An Introduction to Commutative Algebra: From the Viewpoint of Normalization|auteur=Huishi Li|éditeur=[[World Scientific]]|date=2004|url={{Google Livres|aAs8DQAAQBAJ|page=67}}|page=67}}.</ref>.
+== Définitions ==
-* Le quotient d'un anneau local par un idéal propre est encore un anneau local.
+Le quotient d'un anneau local ''A ''par son unique idéal maximal s'appelle le [[corps résiduel]] de ''A''.
-Un anneau commutatif <math>A</math> est un anneau local si, et seulement si le complémentaire dans <math>A</math> de l'ensemble des unités de <math>A</math> est un idéal de <math>A</math>. C'est alors l'unique idéal maximal de <math>A</math>.
+Un '''homomorphisme d'anneaux locaux''' <math>f : A\to B</math> est un [[morphisme d'anneaux]] qui envoie l'idéal maximal de <math>A</math> dans celui de <math>B</math>.
+'''Remarque''' : Pour certains auteurs<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Masayoshi Nagata]]|titre=Local Rings|passage=13}}.</ref>, un anneau ayant un unique idéal maximal est appelé quasi-local, réservant ainsi le nom d'anneaux locaux aux anneaux quasi-locaux [[anneau noethérien|noethériens]]. Mais cette convention est peu répandue.
-Le quotient d'un anneau local <math>A</math> par son unique idéal maximal s'appelle le '''corps résiduel''' de <math>A</math>.
+== Exemples ==
-Un '''homomorphisme d'anneaux locaux''' <math>f : A\to B</math> est un homomorphisme d'anneaux qui envoie l'idéal maximal de <math>A</math> dans <math>B</math>.
+*Pour tout [[nombre premier]] ''p'' et tout entier ''n'' ≥ 1, l'anneau ℤ/''p{{exp|n}}''ℤ est local (d'idéal maximal constitué des multiples de ''p'').
+*Plus généralement, un anneau non [[Anneau nul|nul]] dans lequel tout élément non inversible est [[nilpotent]] est local<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=A First Course in Noncommutative Rings|numéro dans collection=131|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|auteur=[[Tsit Yuen Lam|T. Y. Lam]]|date=1991|url={{Google Livres|2PwGCAAAQBAJ|page=296}}|page=296}}, (19.3) Proposition (a).</ref> (et l'idéal maximal est le seul idéal premier).
+*Les [[Anneau principal|anneaux principaux]] locaux sont :
+**les corps commutatifs (d'idéal maximal [[Idéal trivial|nul]]) ;
+**les [[Anneau de valuation discrète|anneaux de valuation discrète]], comme l'ensemble ℤ{{ind|(''p'')}} des [[Nombre rationnel|rationnels]] de [[dénominateur]] non [[divisible]] par un nombre premier ''p'' fixé (d'idéal maximal ''p''ℤ{{ind|(''p'')}}).
+*Plus généralement, tout [[Valuation#Anneau de valuation|anneau de valuation]] est local.
+* L'anneau des [[Germe (mathématiques)|germes]] des [[fonction holomorphe|fonctions holomorphes]] à ''n'' variables à l'origine (0,…,0) est un anneau local dont l'idéal maximal est constitué des germes de fonctions holomorphes nulles à l'origine. On peut aussi remplacer les fonctions holomorphes par les fonctions de classe C<sup>''k''</sup> pour un [[entier naturel]] fixé ''k''.
+== Constructions ==
-Un anneau commutatif unitaire est appelé un '''anneau semi-local''' s'il ne possède qu'un nombre fini d'idéaux maximaux. La somme directe d'un nombre fini d'anneaux locaux est semi-local. Si <math>S</math>. est le complémentaire de la réunion d'un nombre fini d'idéaux premiers <math>P_1,\ldots, P_n</math> dans un anneau commutatif unitaire <math>A</math>, alors le localisé <math>S^{-1}A</math> est semi-local. Ses idéaux maximaux sont les idéaux engendrés par les images des <math>P_i</math> (on ne garde que les <math>P_i</math> contenus dans aucun autre <math>P_j</math>).
+Le procédé de [[Localisation (mathématiques)|localisation]] fait apparaître de façon naturelle des anneaux locaux. En effet, si ''P'' est un [[idéal premier]] de ''A'', alors le localisé ''A{{ind|P}}'' de ''A'' par rapport à la partie multiplicative [[Différence ensembliste|''A'' \ ''P'']] est un anneau local, d'idéal maximal engendré par l'image de ''P'' dans ''A{{ind|P}}''. L'exemple ℤ{{ind|(''p'')}} ci-dessus est la localisation de ℤ en l'idéal premier ''p''ℤ.
+Le [[Anneau quotient|quotient]] d'un anneau local par un idéal propre est encore un anneau local.
+Pour tout anneau local ''A'' et tout ensemble ''I'', l'anneau {{R((X))|R=A|X=(X{{ind|i}}){{ind|i∈I}}}} des [[séries formelles]] en les ''X{{ind|i}}'' et à coefficients dans ''A'' est local (d'idéal maximal engendré par les ''X{{ind|i}}'' et l'idéal maximal de ''A'').
-{{Portail mathématiques}}
+== Propriétés ==
-[[Catégorie: Algèbre commutative]]
+Dans un anneau local, tout [[idéal fractionnaire|idéal inversible]] est [[idéal principal|principal]]<ref>{{Serre3}}, p. 21.</ref>.
+Tout [[anneau intègre]] local et {{Lien|trad=Prüfer domain|Anneau de Prüfer|texte=de Prüfer}} est un [[Valuation#Anneau de valuation|anneau de valuation]]<ref>{{Article|lang=en|auteur=Eben Matlis|titre=Injective modules over Prüfer rings|revue=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#N|Nagoya Mathematical Journal]]|vol=15|date=1959|p.=57-69|doi=10.1017/S002776300000667X}}, {{p.|58}}.</ref>.
+Dans un anneau local, les seuls [[idempotent]]s sont 0 et 1<ref>{{Harvsp|Lam|1991|p=295}}, (19.2) Proposition (c).</ref>.
+Un anneau commutatif unitaire est appelé un '''{{Lien|trad=Semi-local ring|anneau semi-local}}''' s'il ne possède qu'un nombre fini d'idéaux maximaux. La somme directe d'un nombre fini d'anneaux locaux est semi-locale. Si <math>S</math> est le complémentaire de la réunion d'un nombre fini d'idéaux premiers <math>P_1,\ldots, P_n</math> dans un anneau commutatif unitaire <math>A</math>, alors le localisé <math>S^{-1}A</math> est semi-local. Ses idéaux maximaux sont les idéaux engendrés par les images des <math>P_i</math> (on ne garde que les <math>P_i</math> contenus dans aucun autre <math>P_j</math>).
+== Notes et références ==
+{{Références}}
+== Article connexe ==
+{{Lien|trad=Completion (ring theory)|Complétion (théorie des anneaux)}}
+{{Portail|algèbre}}
+[[Catégorie:Algèbre commutative]]
 [[Catégorie:Anneau]]