국소환

국소환(局所環, 영어: local ring)은 수학의 추상대수학 등에서 비교적 간단한 성질을 갖는 환의 일종으로, 기하학적으로 국소적인 정보를 담고 있다. 국소대수학(영어: local algebra)은 가환 국소환과 그 위의 가군을 다루는 가환대수학의 세부 분야이다.

정의

환 $R$ 에 대하여 다음 성질들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 국소환이라 한다.

극대 왼쪽 아이디얼이 유일하게 존재한다.
극대 오른쪽 아이디얼이 유일하게 존재한다.
자명환이 아니며, 임의의 $r,s\in R$ 에 대하여, $r$ 와 $s$ 둘 다 가역원이 아니라면 $r+s$ 또한 가역원이 아니다.
자명환이 아니며, 임의의 원소 $r\in R$ 에 대해 $r$ 가 가역원이거나, 아니면 $1-r$ 가 가역원이다. (즉, $R\setminus R^{\times }$ 는 양쪽 아이디얼을 이룬다.)
유한 개의 원소의 합이 가역원이면 그 합의 항들 중에 가역원이 있다. (이 경우 0개의 원소들의 합은 0이며, 따라서 0은 가역원이 아니며, 특히 1≠0이다.)

위의 성질들이 성립하면 유일한 극대 왼쪽 아이디얼과 극대 오른쪽 아이디얼 및 제이컵슨 근기가 전부 일치한다.

가환환에서는 좌우의 구분이 없으므로, 가환환이 국소환일 필요충분조건은 극대 아이디얼이 유일하게 존재하는 것이다.

일부 저자들은 국소환을 정의할 때 (왼쪽과 오른쪽 모두) 뇌터 환이어야 한다는 조건을 추가하고, 이 조건을 만족하지 않는 경우에 대해서는 “유사 국소환”이라 부르기도 한다. 이 글에서는 이를 적용시키지 않는다.

국소환 준동형

두 국소환 $(R,{\mathfrak {m}})$ , $(R',{\mathfrak {m}}')$ 사이의 국소환 준동형(영어: local homomorphism) $f\colon (R,{\mathfrak {m}})\to (R',{\mathfrak {m}}')$ 은 다음과 같은 함수이다.

$f\colon R\to R'$ 은 환 준동형이다.
$f({\mathfrak {m}})\subset {\mathfrak {m}}'$ 이다.

국소환들과 국소환 준동형들은 범주를 이룬다.

성질

(비가환일 수 있는) 국소환 $(R,{\mathfrak {m}})$ 에 대하여, 몫환 $R/{\mathfrak {m}}$ 은 항상 나눗셈환이다. 만약 $R$ 가 추가로 가환환이라면, 몫환 $R/{\mathfrak {m}}$ 은 체이다.

국소환은 다음 연산에 대하여 닫혀 있다.

국소환의 몫환은 국소환이다.
가환 국소환의 (유일한 극대 아이디얼에 대한) 완비화는 국소환이다.

가군

임의의 (비가환일 수 있는) 국소환 $R$ 위의 (유한 생성 가군이 아닐 수 있는) 사영 가군은 항상 자유 가군이다. 이는 어빙 커플랜스키가 증명하였다.

표수

가환 국소환의 표수는 0이거나 (1이 아닌) 소수의 거듭제곱이다. 구체적으로, 가환 국소환 $(R,{\mathfrak {m}},K)$ 가 주어졌을 때, $R$ 와 $K$ 의 표수는 다음 4가지 가운데 하나이다. 여기서 $p$ 는 임의의 소수를 뜻한다.

국소환 $R$ 의 표수	잉여류체 $K$ 의 표수	$R$ 에 포함된 체
0	0	$\mathbb {Q}$
p	p	$\mathbb {F} _{p}$
0	p	(없음)
p^k (k ≥ 2)	p	(없음)

$\operatorname {char} R=\operatorname {char} K$ 인 경우를 동표수 국소환(同標數-, 영어: equicharacteristic local ring)이라고 하며, 아니면 $(\operatorname {char} R,\operatorname {char} K)$ 형의 혼합 표수 국소환(영어: mixed characteristic local ring)이라고 한다. $R$ 가 동표수 국소환인 것은 $R$ 가 어떤 체를 부분환으로 포함하는 것과 동치이다.

분류

모든 가환 국소환은 완비화를 가하여 완비 국소환으로 만들 수 있으며, 뇌터 조건 아래 코언 구조 정리(영어: Cohen structure theorem)라는 분류가 존재한다.

가환 국소환 $(R,{\mathfrak {m}},K)$ 이 주어졌다고 하자. 이 경우, $R$ 의 ${\mathfrak {m}}$ 에서의 국소화 ${\hat {R}}$ 역시 국소환이다. 이렇게 얻어진 국소환을 가환 완비 국소환이라고 한다. $R$ 가 정칙환인 것은 ${\hat {R}}$ 가 정칙환인 것과 동치이다. $R$ 의 표수는 ${\hat {R}}$ 의 표수와 같으며, ${\hat {R}}$ 의 잉여류체는 $R$ 의 잉여류체 $K$ 와 같다.

가환 완비 국소환 $({\hat {R}},{\hat {\mathfrak {m}}},K)$ 의 계수환(영어: coefficient ring)은 다음 성질들을 모두 만족시키는 부분환 $C\subseteq {\hat {R}}$ 이다.

$(C,{\hat {\mathfrak {m}}}\cap C)$ 는 가환 완비 국소환이다.
$C$ 의 잉여류체 $C/({\hat {\mathfrak {m}}}\cap C)$ 의 사영 사상 ${\hat {R}}\to K={\hat {R}}/{\hat {\mathfrak {m}}}$ 아래의 상은 $K$ 이다.
$C/({\hat {\mathfrak {m}}}\cap C)=K$
$C\cap {\hat {\mathfrak {m}}}=(\operatorname {char} K)C$

계수환은 유일하지 않을 수 있다.

뇌터 가환 완비 국소환 $({\hat {R}},{\hat {\mathfrak {m}}},K)$ 가 주어졌을 때, 코언 구조 정리에 따르면 다음이 성립한다.

${\hat {R}}$ ${\hat {R}}$ 는 적어도 하나의 계수환 $C$ $C$ 를 갖는다.
- 만약 ${\hat {R}}$ 가 동표수 국소환이라면, $C\cong K$ 이게 놓을 수 있다.
만약 ${\hat {\mathfrak {m}}}=(r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})$ ${\hat {\mathfrak {m}}}=(r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})$ 이 $n$ $n$ 개의 원소 $r_{i}\in {\hat {R}}$ $r_{i}\in {\hat {R}}$ 로 생성되는 유한 생성 아이디얼이라면, ${\hat {R}}\cong C[[x_{1},\dots ,x_{n}]]/{\mathfrak {a}}$ ${\hat {R}}\cong C[[x_{1},\dots ,x_{n}]]/{\mathfrak {a}}$ 가 되는 $C[[x_{1},\dots ,x_{n}]]$ $C[[x_{1},\dots ,x_{n}]]$ -아이디얼 ${\mathfrak {a}}\subseteq C[[x_{1},\dots ,x_{n}]]$ ${\mathfrak {a}}\subseteq C[[x_{1},\dots ,x_{n}]]$ 이 존재한다.
- 특히, 만약 ${\hat {R}}$ 가 뇌터 환이라면 ${\hat {\mathfrak {m}}}$ 은 유한 생성 아이디얼이며, 위 조건이 성립한다.
- 특히, 만약 ${\hat {R}}$ 가 추가로 동표수 정칙 국소환이라면, ${\hat {R}}\cong C[[x_{1},\dots ,x_{n}]]$ 이다.

여기서

$C[[x_{1},\dots ,x_{n}]]$ 은 $C$ 계수의 $n$ 개의 변수에 대한 형식적 멱급수환이다.

예

가환환 $R$ 의 임의의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R$ 에서의 국소화 $R_{\mathfrak {p}}$ 는 국소환이다.

모든 나눗셈환은 국소환이다. (이 경우 영 아이디얼은 유일한 진 왼쪽 아이디얼이자 진 오른쪽 아이디얼이다.)

비가환 국소환의 예

(비가환환일 수 있는) 환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R}M$ 의 자기 사상환 $\operatorname {End} (_{R}M)$ 이 국소환이라면, $M$ 은 분해 불가능 가군이다. 반대로, 만약 $_{R}M$ 이 유한한 길이를 가지며 분해 불가능 가군이라면, 자기 사상환 $\operatorname {End} (_{R}M)$ 은 (비가환환일 수 있는) 국소환이다.

양의 표수 $p>0$ 의 체 $K$ 및 p-군 $G$ 가 주어졌을 때, 군환 $k[G]$ 는 국소환이다.

반례

체 $K$ 위의 2×2 행렬환 $\operatorname {Mat} (2;K)$ 은 유일한 (극대) 양쪽 아이디얼 $\{0\}$ 을 가지지만, 극대 왼쪽 아이디얼 또는 극대 오른쪽 아이디얼은 유일하지 않으며, 따라서 국소환이 아니다.

응용

대수기하학에서는 (가환) 국소환들이 자주 등장하며, 이는 보통 가환환을 소 아이디얼에서 국소화하여 얻어진다.

국소환을 아핀 스킴으로 여기면, 자리스키 위상에서 극대 아이디얼들은 닫힌 점들에 대응하므로, 국소환은 정확히 하나만의 닫힌 점을 포함하는 아핀 스킴이다. 즉, 이 점의 근방 위의 함수환으로 여길 수 있다. 실제로, 일반적 스킴을 임의의 점 (소 아이디얼)에서 국소화하면, 그 점 근방만의 정보를 담고 있는 국소환을 얻는다. 즉, 국소환은 자리스키 위상에서의 스킴의 줄기에 해당한다. 마찬가지로, 니스네비치 위상에서의 줄기는 헨젤 국소환이며, 에탈 위상에서의 줄기는 순 헨젤 국소환이다.

역사

국소환의 개념은 볼프강 크룰이 1938년에 독일어: Stellenring 슈텔렌링^[*](위치환)이라는 명칭으로 도입하였다.^[1] "국소환"이라는 명칭은 오스카 자리스키가 도입하였다.^[2]

코언 구조 정리는 어빈 솔 코언이 도입하였다.^[3] (코언의 논문이 집필되었을 당시 "국소환"(영어: local ring)이라는 용어는 항상 뇌터 국소환을 의미하였다.)

역사적으로, 1960년대 이전까지는 "국소환"이라는 개념에는 왼쪽 뇌터 환이자 오른쪽 뇌터 환이어야 한다는 조건이 첨가되었으며, 뇌터 조건을 만족시키지 않는 경우 "준국소환"(영어: quasilocal ring)이라는 이름으로 불렸다. 그러나 1960년대부터 뇌터 조건이 생략되었다.

각주

↑ Krull, Wolfgang (1938년 1월). “Dimensionstheorie in Stellenringen”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 1938 (179): 204–226. doi:10.1515/crll.1938.179.204.
↑ Zariski, Oscar (1943). “Foundations of a general theory of birational correspondences”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 53 (3): 490-542. doi:10.1090/S0002-9947-1943-0008468-9.
↑ Cohen, Irvin Sol (1946). “On the structure and ideal theory of complete local rings”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 59: 54–106. doi:10.2307/1990313. ISSN 0002-9947. MR 0016094.

Serre, Jean-Pierre (2000). 《Local algebra》. Springer Monographs in Mathematics (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-04203-8. ISBN 978-3-642-08590-1. ISSN 1439-7382.

같이 보기

외부 링크

“Local ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Local ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Local ring”. 《nLab》 (영어).
“Local ring”. 《Commalg》 (영어). 2016년 4월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 21일에 확인함.
“Noetherian local ring”. 《Commalg》 (영어). 2016년 4월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 21일에 확인함.
“Regular local ring”. 《Commalg》 (영어). 2016년 4월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 21일에 확인함.
“Generalized local ring”. 《Commalg》 (영어). 2016년 4월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 21일에 확인함.
“Local Noetherian domain”. 《Commalg》 (영어). 2016년 4월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 21일에 확인함.
“Local Cohen-Macaulay domain”. 《Commalg》 (영어). 2016년 4월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 21일에 확인함.
“Definition: local ring”. 《ProofWiki》 (영어). 2012년 5월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 5월 18일에 확인함.

“Characterisation of local rings”. 《ProofWiki》 (영어). 2015년 6월 19일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 5월 18일에 확인함.

[1] Krull, Wolfgang (1938년 1월). “Dimensionstheorie in Stellenringen”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 1938 (179): 204–226. doi:10.1515/crll.1938.179.204.

[2] Zariski, Oscar (1943). “Foundations of a general theory of birational correspondences”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 53 (3): 490-542. doi:10.1090/S0002-9947-1943-0008468-9.

[3] Cohen, Irvin Sol (1946). “On the structure and ideal theory of complete local rings”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 59: 54–106. doi:10.2307/1990313. ISSN 0002-9947. MR 0016094.

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[2]

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