Ristitulo

Ristitulo eli vektoritulo on kolmi­ulotteisessa euklidisessa avaruudessa $\mathbb {R} ^{3}$ määritelty kahden vektorin välinen laskutoimitus, jonka merkkinä käytetään vino­ristiä ×. Jos a ja b ovat kaksi eri­suuntaista vektoria, niiden ristitulo a × b on vektori, joka on molempia vastaan kohtisuorassa ja näin ollen kohti­suorassa niiden määrittämään tasoon nähden. Risti­tulolla on monia sovelluksia matematiikassa, fysiikassa, tekniikassa ja tietokoneohjelmoinnissa. Se on erotettava vektorien pistetulosta eli skalaari­tulosta.

Jos vektorit ovat saman- tai vastakkaissuuntaisia, toisin sanoen ne eivät ole lineaarisesti riippumattomia, tai jompikumpi niistä on nollavektori, ristitulo on nollavektori. Muussa tapauksessa vektorien ristitulo on itseisarvoltaan (eli pituudeltaan) yhtä suuri kuin sen suunnikkaan pinta-ala, jonka sivuina nämä vektorit ovat; erityisesti toistensa nähden kohti­suorien vektorien ristitulo on niiden pituuksien tulo. Ristitulo on anti­kommuta­tiivinen, toisin sanoen a × b = -b × a), ja se noudattaa osittelulakia vektorien yhteenlaskun suhteen, toisin sanoen a × (b + c) = a × b + a × c). Avaruus $\mathbb {R}$ varustettuna ristitulolla on algebra reaalilukujen kunnan yli. Se ei ole vaihdannainen eikä liitännäinen, mutta se on Lien algebra.

Pistetulon tavoin ristitulo riippuu euklidisen avaruuden metriikasta, mutta toisin kuin pistetulo, se riippuu myös avaruuden orientaatiosta eli kätisyydestä. Risti­tulon käsitettä voidaan yleistää monin tavoin; se voidaan tehdä kätisyydestä riippumattomaksi tulkitsemalla tulos pseudovektoriksi, tai kuinka monessa ulottuvuudessa tahansa voidaan vektorien ulkoista tuloa käyttää niin, että tuloksena on bivektori tai 2-muoto. Käyttämällä orientaatiota ja metristä struktuuria aivan samoin kuin tavan­omaisessa kolmi­ulotteisessa risti­tulossa voidaan n ulottuvuudessa muodostaa n - 1 vektorin tulo niin, että se on kohti­suorassa niitä kaikkia vastaan. Kuitenkin vain kolmessa tai seitsemässä ulottuvuudessa voidaan kahden vektorin ei-triviaali tulo määritellä niin, että tuloksena on vektori. Niistäkin vain kolmi­ulotteisessa avaruudessa ristitulo on yksikäsitteinen.

Ristitulovektorien suunnat oikean käden säännön mukaisesti

Määritelmä

Ristitulon suunnan määrittäminen oikean käden säännöllä.

Vektorien a ja b ristitulo on määritelty vain kolmi­ulotteisessa avaruudessa, ja se merkitään a × b. Fysiikassa käytetään joskus myös merkintää $a\land b$, mutta matematiikassa sitä vältetään käyttämästä, jottei se sekaantuisi ulkoiseen tuloon.

Ristitulo a × b määritellään vektorina c, joka on kohtisuorassa sekä a:ta että b:tä vastaan ja jonka suunta määräytyy oikean käden säännön mukaan ja joka pituudeltaan on yhtä suuri kuin sen suunnikkaan pinta-ala, jonka sivuina annetut vektorit ovat.

Ristitulo määritellään tällöin kaavalla

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin \theta \ \mathbf {n}$

missä $\theta$ on vektorien a ja b välinen kulma niiden määrittämässä tasossa (näin ollen se on aina 0°:n ja 180°:n välillä), $\left\|\mathbf {a} \right\|$ja $\left\|\mathbf {b} \right\|$ ovat vektorien a ja b pituudet ja n niiden määrittämää tasoa vastaan kohtisuorassa oleva yksikkövektori, jonka suunta määräytyy oikean käden säännön mukaan oheisen kuvan osoittamalla tavalla. Jos vektorit a ja b ovat saman- tai vastakkaissuuntaisia ( eli niiden välinen kulma on joko 0° tai 180°), seuraa määritelmästä, että niiden ristitulo on nollavektori 0.

Ristitulo a × b (pystysuorassa, violetti) muuttuu, kun vektorien a (sininen) ja b (punainen) välinen kulma muuttuu. Ristitulo on aina molempia vastaan kohti­suorassa, ja se on nollavektori, kun vektorit ovat yhden­suuntaisia, ja saa suurimman arvonsa $\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|$, kun ne ovat kohti­suorassa.

Sopimuksen mukaan vektorin n suunnan antaa oikean käden sääntö: jos oikean käden etusormi osoittaa vektorin a ja keskisormi vektorin b suuntaan, peukalo osoittaa vektorin n suuntaan oheisen kuvan mukaisesti. Tästä säännöstä seuraa, että risti­tulo on anti­kommuta­tiivinen. Toisin sanoen, jos vektorit a ja b vaihdetaan keskenään, risti­tulon suunta muuttuu vastakkaiseksi eli b × a = -(a × b). Niinpä jos oikean käden asentoa muutetaan siten, että etusormi osoittaa vektorin b ja keskisormi vektorin a suuntaan, osoittaa peukalo väistämättä päin­vastaiseen suuntaan kuin aikaisemmin.

Edellä esitetystä määritelmästä seuraa, että ristituloa käytettäessä koordinaatiston kätisyys on otettava huomioon. Jos poikkeuksellisesti käytetään vasenkätistä koordinaatistoa, vektorin n suunnan antaa vasemman käden sääntö ja se osoittaa päinvastaiseen suuntaan.

Tästä aiheutuu kuitenkin ongelma, sillä jos yksi mieli­valtainen vertailu­järjestelmä vaihdetaan toiseen, esimerkiksi peilauksessa, jolloin siirrytään oikea­kätisestä vasen­kätiseen koordinaatti­järjestelmään, ristitulon n suunta muuttuu. Tämän ongelma selviää, kun ymmärretään, ettei kahden vektorin risti­tulo ole aito vektori vaan pseudovektori, kuten jäljempänä tarkemmin selitetään.

Nimet

Sarrus’n säännön mukaan 3×3 -matriisin determinantti edellyttää matriisin lukujen kertolaskua leikkaavien lävistäjien suunnassa.

Vuonna 1881 Josiah Willard Gibbs ja hänestä riippumatta Oliver Heaviside, ottivat käyttöön sekä pistetulon että ristitulon käyttämällä edellisen merkkeinä pistettä, (a . b), jälkimmäisen merkkinä vinoristiä ("x") (a x b).

Vastaavia laskutoimituksia oli jo vuonna 1877 käyttänyt William Kingdon Clifford. Korostaakseen sitä, että toinen niistä antaa tuloksena skalaarin, toinen vektorin, hän antoi niille nimet skalaaritulo ja vektoritulo, joita edelleenkin yleisesti käytetään nimitysten pistetulo ja ristitulo ohella.

Siihen, että vektori­tulon merkiksi valittiin vinoristi (a × b) ja sitä alettiin nimittää ristituloksi, vaikutti toden­näköisesti se, että ristitulon a × b jokaista skalaarista komponenttia laskettaessa kerrotaan keskenään a:n ja b:n ne komponentit, jotka eivät vastaa toisiaan. Sitä vastoin pistetuloa a · b laskettaessa kerrotaan vektorien toisiaan vastaavat, yhden­suuntaiset komponentit. Kuten jäljempänä selitetään, risti­tulo voidaan esittää tietyn­laisen 3×3 -matriisin muodossa. Sarrus'n säännön mukaisesti tämä merkitsee, että matriisin lävistäjien suunnassa toisiaan seuraavat luvut kerrotaan keskenään.

Ristitulon laskeminen

Koordinaattimerkintä

Standardit kantavektorit (i, j, k, joille käytetään myös merkintöjä e₁, e₂, e₃) ja a:n vektorikomponentit (a_x, a_y, a_z, joille käytetään myös merkintöjä a₁, a₂, a₃)

Kolmi­ulotteisen avaruuden standardien kanta­vektorien i, j ja k ristitulot ovat oikea­kätisessä koordinaatistossa seuraavat:

${\begin{aligned}\mathbf {i} &=\mathbf {j} \times \mathbf {k} \\\mathbf {j} &=\mathbf {k} \times \mathbf {i} \\\mathbf {k} &=\mathbf {i} \times \mathbf {j} \end{aligned}}$

mistä ristitulon anti­kommuta­tiivi­suuden vuoksi seuraa:

${\begin{aligned}\mathbf {k\times j} &=-\mathbf {i} \\\mathbf {i\times k} &=-\mathbf {j} \\\mathbf {j\times i} &=-\mathbf {k} \end{aligned}}$

Ristitulon määritelmästä seuraa myös, että

$\mathbf {i} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \times \mathbf {k} =\mathbf {0}$ (nollavektori).

Voidaan osoittaa, että ristitulo noudattaa osittelulakia ja on lineaarinen, mikä tosin ei aivan mutkattomasti seuraa sen määritelmästä. Näiden ominai­suuksiensa sekä edellä lueteltujen kanta­vektorien risti­tulojen avulla voidaan laskea minkä tahansa kahden vektorin u ja v ristitulo. Jokainen vektori voidaan nimittäin esittää kolmen kohti­suoran komponentin summana, joista kukin on yhden kanta­vektorin suuntainen:

${\begin{aligned}\mathbf {u} &=u_{1}\mathbf {i} +u_{2}\mathbf {j} +u_{3}\mathbf {k} \\\mathbf {v} &=v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k} \end{aligned}}$

Ristitulo u × v voidaan näin ollen laskea osittelu­lain avulla:

${\begin{aligned}\mathbf {u} \times \mathbf {v} ={}&(u_{1}\mathbf {i} +u_{2}\mathbf {j} +u_{3}\mathbf {k} )\times (v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k} )\\={}&u_{1}v_{1}(\mathbf {i} \times \mathbf {i} )+u_{1}v_{2}(\mathbf {i} \times \mathbf {j} )+u_{1}v_{3}(\mathbf {i} \times \mathbf {k} )+{}\\&u_{2}v_{1}(\mathbf {j} \times \mathbf {i} )+u_{2}v_{2}(\mathbf {j} \times \mathbf {j} )+u_{2}v_{3}(\mathbf {j} \times \mathbf {k} )+{}\\&u_{3}v_{1}(\mathbf {k} \times \mathbf {i} )+u_{3}v_{2}(\mathbf {k} \times \mathbf {j} )+u_{3}v_{3}(\mathbf {k} \times \mathbf {k} )\\\end{aligned}}$

Tämä voidaan tulkita niin, että u × v hajotetaan yhdeksän yksin­kertaisemman ristitulon summaksi, joista jokaisen tekijät ovat kanta­vektorien i, j ja k suuntaisia. Jokainen näistä yhdeksästä risti­tulosta on helppo käsitellä, sillä ne ovat joko toistensa suuntaisia tai toisiinsa nähden kohti­suorassa. Tästä hajotelmasta saadaan edellä esitettyjen yhtälöiden avulla ja yhdistämällä saman­muotoiset termit:

${\begin{aligned}\mathbf {u} \times \mathbf {v} ={}&u_{1}v_{1}\mathbf {0} +u_{1}v_{2}\mathbf {k} -u_{1}v_{3}\mathbf {j} -{}\\&u_{2}v_{1}\mathbf {k} -u_{2}v_{2}\mathbf {0} +u_{2}v_{3}\mathbf {i} +{}\\&u_{3}v_{1}\mathbf {j} -u_{3}v_{2}\mathbf {i} -u_{3}v_{3}\mathbf {0} \\={}&(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\mathbf {i} +(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})\mathbf {j} +(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\mathbf {k} \\\end{aligned}}$

mikä merkitsee, että tuloksena saatavan vektorin kolme skalaarikomponenttia s = s₁i + s₂j + s₃k = u × v ovat

${\begin{aligned}s_{1}&=u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}\\s_{2}&=u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}\\s_{3}&=u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\end{aligned}}$

Sarakevektorien avulla sama tulos voidaan ilmaista myös seuraavasti:

${\begin{pmatrix}s_{1}\\s_{2}\\s_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}\\u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}\\u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\end{pmatrix}}$

Matriisimerkintä

Sarrus'n sääntö vektorien u ja v ristitulon määrittämiseksi

Ristitulo voidaan muodollisesti esittää myös determinanttina:

$\mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}$

Tämä determinantti voidaan laskea Sarrus'n säännön tai kofaktorikehitelmän avulla. Sarrus'n säännön avulla saadaan

$\mathbf {u\times v} =(u_{2}v_{3}\mathbf {i} +u_{3}v_{1}\mathbf {j} +u_{1}v_{2}\mathbf {k} )-(u_{3}v_{2}\mathbf {i} +u_{1}v_{3}\mathbf {j} +u_{2}v_{1}\mathbf {k} ).$

Jos sen sijaan käytetään kofaktori­kehitelmää ensimmäiselle riville, saadaan:

$\mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}u_{2}&u_{3}\\v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}u_{1}&u_{3}\\v_{1}&v_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {k}$

mistä ristitulovektorin komponentit saadaan suoraan.

Ominaisuuksia

Geometrinen merkitys

Kuvio 1. Suunnikkaan pinta-ala ristitulon itseisarvona

Kuvio 2. Kolmen vektorin määrittämä suuntaissärmiö

Kahden vektorin ristitulon itseisarvo on yhtä suuri kuin sellaisen suunnikkaan pinta-ala, jonka sivuina nämä vektorit ovat (katso kuvio 1):

$A=\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin \theta .\,\!$

Sellaisen suuntaissärmiön tilavuus V, jonka särmät ovat a, b ja c, voidaan laskea käyttämällä ristitulon ja pistetulon yhdistelmää, jota sanotaan skalaarikolmituloksi (katso kuvio 2):

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).$

Koska skalaarikolmitulo voi olla myös negatiivinen, suorakulmaisen särmiön tilavuus on skalaarikolmitulon itseisarvo. Esimerkiksi

$V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.$

Koska ristitulon itseisarvo on verrannollinen vektorien välisen kulman siniin, ristituloa voidaan käyttää kohtisuoruuden mittana samaan tapaan kuin pistetulo on yhden­suuntaisuuden mitta. Kahden yksikkövektorin ristitulon itseisarvo on 1, jos ja vain jos ne ovat koht­isuorassa, ja 0, jos ja vain jos ne ovat saman- tai vastakkais­suuntaisia. Samojen vektorien pistetulon laita on tässä suhteessa täsmälleen päin­vastoin.

Vektorien komponentti­esityksen avulla voidaan myös määrittää niiden välinen kulma. Niiden pistetulo antaa tämän kulman kosinin, joka voi olla positiivinen tai negatiivinen, kun taas risti­tulon itseisarvo antaa saman kulman sinin, joka on aina positiivinen.

Algebralliset ominaisuudet

Ristitulon kertominen skalaarilla. Vasemmalla: Vektori b hajotettuna a:n suuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin. Oikealla Kohtisuoran komponentin kertominen positiivisella reaaliluvulla r (jos se on negatiivinen, b:n ja ristitulon suunnat ovat päinvastaiset).

Ristitulon osittelulaki vektorien yhteenlaskun suhteen. Vasemmalla: Vektorit b ja c hajotettuna a:n suuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin. Oikealla: Yhdensuuntaiset komponentit häviävät ristitulossa, vain a:ta vastaan kohtisuorat komponentit jäävät jäljelle.

Kolmesta vektorista a, b ja c saadut kaksi yhdistettyä ristituloa eivät ole yhtä suuret. Kummassakin tapauksessa kaksi vektoria määrittää tason, kolmas on tason ulkopuolella ja voidaan hajottaa tason suuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin. Nämä komponentit voidaan muodostaa vektorin projektion ja rejektion avulla. Kolmitulo on tasossa ja kiertyy kuvan osoittamalla tavalla.

• Jos kahden vektorin ristitulo on nollavektori (toisin sanoen a × b = 0), joko ainakin toinen vektoreista on nolla­vektori, (a = 0 ja/tai b = 0), tai vektorit ovat saman- tai vastakkais­suuntaisia (a || b), jolloin niiden välisen kulman sini on nolla ($\theta$ = 0° tai $\theta$ = 180° ja $\sin \theta =0$).
• Vektorin ristitulo itsensä kanssa on nolla­vektori, toisin sanoen a × a = 0.
• Ristitulo on anti­kommuta­tiivinen:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} ).$

• Ristitulo noudattaa osittelulakia yhteen­laskun suhteen:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \times \mathbf {c} ),$

• Jos ristitulon jompikumpi tekijä kerrotaan skalaarilla, myös ristitulon arvo tulee kerrotuksi samalla skalaarilla:

$(r\mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times (r\mathbf {b} )=r(\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).$

• Ristitulo ei ole liitännäinen, mutta sille pätee Jacobin identiteetti:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} .$

Osoittelulaki, lineaarisuus ja Jacobin identiteetti osoittavat, että vektoriavaruus $\mathbb {R} ^{3}$ varustettuna vektorien yhteen­laskulla ja risti­tulolla on Lien algebra, tarkemmin sanottuna kolmi­ulotteisen reaalisen orto­gonaalisen ryhmän Lien algebra SO(3).

• Ristitulo ei noudata supistus­sääntöä: Vaikka a ei olisi nolla­vektori, yhtälöstä a × b = a × c ei seuraa, että b = c, vaan ainoastaan että:

${\begin{aligned}\mathbf {0} &=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-(\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} ).\\\end{aligned}}$

Ristitulon määritelmästä seuraa, että tällöin vektorien a ja b - c välisen kulman on oltava nolla eli niiden on oltava yhden­suuntaiset. Toisin sanoen ne liittyvät toisiinsa skaalaustekijällä t, eli

$\mathbf {c} =\mathbf {b} +t\mathbf {a} ,$

jollakin skalaariarvolla t.

• Jos a · b = a · c ja a × b = a × c jollakin vektorilla a, joka ei ole nollavektori, on b = c, sillä

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} )=\mathbf {0}$ and

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} -\mathbf {c} )=0,$

eli b - c on sekä vektorin a suuntainen että sitä vastaan kohtisuorassa, mikä on mahdollista vain, jos b - c = 0 eli b ja c ovat identtiset.

• Geometrisen määritelmän perusteella ristitulo on invariantti rotaatiossa akselin a × b ympäri. Kaavana:

$(R\mathbf {a} )\times (R\mathbf {b} )=R(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$, where $R$ on rotaatiomatriisi, jossa $\det(R)=1$.

Yleisemmin ristitulo noudattaa seuraavaa identiteettiä matriisimuunnoksissa:

$(M\mathbf {a} )\times (M\mathbf {b} )=(\det M)M^{-T}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$

missä $M$ on 3×3 -matriisi ja $M^{-T}$ sen käänteismatriisin transpoosi. Voidaan helposti nähdä, miten tämä kaava palautuu edelliseen, jos $M$ on rotaatiomatriisi.

Kahden ristitulon summalle pätee:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {d} =(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\times (\mathbf {b} -\mathbf {d} )+\mathbf {a} \times \mathbf {d} +\mathbf {c} \times \mathbf {b} .$

Differentioituminen

Differentiaali­laskennan tulosääntö pätee jokaiselle bilineaariselle lasku­toimitukselle ja näin ollen myös ristitulolle:

${\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dt}}$

missä a ja b ovat reaalimuuttujasta t riippuvia vektorifunktioita.

Kolmitulot

Ristituloa käytetään molempia kolmituloja muodostettaessa. Kolmen vektorin skalaarikolmitulo on määritelty seuraavasti:

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).$

Skalaarikolmitulo on itseisarvoltaan yhtä suuri kuin sellaisen suuntaissärmiön tilavuus, jonka sivut ovat a, b ja c, ja siinä esiintyvät vektorit voidaan vaihtaa keskenään mihin tahansa järjestykseen, joka on edellä esitetyn parillinen permutaatio. Seuraavat lausekkeet ovat näin ollen yhtä suuret:

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ),$

Vektorikolmitulo on vektorin ja toisen ristitulon tuloksen ristitulo, ja sen liittää pistetuloon seuraava lause:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).$

Vektorien järjestyksen muistamiseen tämän kaavan oikealla puolella olevassa lausekkeessa voidaan käyttää muistisääntöä "BAC miinus CAB". Tätä kaavaa käytetään fysiikassa vektoreilla suoritettavien lasku­toimitusten yksin­kertaistamiseen. Muuan vektorianalyysissä käyttö­kelpoinen, gradientteihin liittyvä erikois­tapaus on:

${\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-\nabla ^{2}\mathbf {f} ,\\\end{aligned}}$

missä $\nabla ^{2}$ on Laplacen operaattori vektoreille.

Myös seuraavat identtiset yhtälöt liittävät ristitulon skalaarikolmituloon:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\mathbf {a}$

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=\mathbf {b} ^{T}((\mathbf {c} ^{T}\mathbf {a} )I-\mathbf {c} \mathbf {a} ^{T})\mathbf {d}$,

missä I on identtinen matriisi.

Vaihtoehtoinen muotoilu

Ristitulon ja pistetulon yhdistää toisiinsa kaava

$\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.$

Tässä oikealla puolella on vektorien a ja b Gramin determinantti, vektorien määräämän suunnikkaan pinta-alan neliö. Tämä ehto määrittää ristitulon suuruuden. Sillä jos pistetulo on määritelty vektorien välisen kulman $\theta$ avulla:

$\mathbf {a\cdot b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,$

tämä yhtälö voidaan kirjoittaa uudestaan muotoon:

$\left\|\mathbf {a\times b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\left(1-\cos ^{2}\theta \right).$

Koska Pythagoraan lauseesta seuraa, että kaikilla kulmilla $\theta$ pätee

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.\!$,

saadaan tästä:

$\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left|\sin \theta \right|,$

mikä on ristitulon itseisarvo ilmaistuna kulman $\theta$ avulla ja yhtä suuri kuin vektorien a ja b määrittämän suunnikkaan pinta-ala.

Tämä vaatimus yhdessä sen kanssa, että ristitulo on kohti­suorassa tekijöihinsä a ja b nähden tarjoaa mahdollisuuden ristitulon vaihto­ehtoiseen määritelmään:

Lagrangen identiteetti

Yhteyttä

$\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\\end{bmatrix}}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.$

voidaan verrata toiseen yhteyteen, joka liittyy tämän yhtälön oikealla puolella olevaan lausekkeeseen, nimittäin Lagrangen identiteettiin,

$\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}\ ,$

missä a ja b voivat olla n-ulotteisia vektoreita. Tämä osoittaa, että Riemannin tilavuusmuoto pinnoille on sama asia kuin vektori­analyysin avulla laskettu tilavuus­alkio. Tapauksessa n = 3 nämä kaksi yhtälöä voidaan yhdistää niin, että saadaan vektorien ristitulon itseis­arvolle lauseke niiden komponenttien avulla:

$|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq 3}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}=(a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})^{2}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})^{2}\ .$

Sama tulos saadaan myös suoraan käyttämällä ristitulon komponentteja, jotka saadaan yhtälöstä:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\det {\begin{bmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}.$

Avaruudessa $\mathbb {R} ^{3}$ Lagrangen yhtälö on erikoistapaus normin multiplikatiivisuudesta kvaternioiden algebrassa: |vw| = |v||w|.

Se on myös erikois­tapaus toisesta kaavasta, jota sitäkin toisinaan sanotaan Lagrangen identiteetiksi ja joka samalla on kolmi­ulotteinen tapaus Binet'n-Cauchyn identiteetistä:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} ).$

Jos a = c ja b = d, tämä yksin­kertaistaa edellä esitettyä kaavaa.

Infinitesimaaliset generaattorit ja rotaatiot

Ristitulo kuvaa sopivasti rotaatioiden infinitesimaalisia generaattoreja avaruudessa $\mathbb {R} ^{3}$. Erityisesti jos n on yksikkövektori avaruudessa $\mathbb {R} ^{3}$ ja R(f,$\phi$,n) merkitsee rotaatiota origon kautta kulkevan, n:n määrittämän akselin ympäri kulman f verran (mitattuna radiaaneina, n:n kärjen suunnasta katsottuna vastapäivään), on

$\left.{d \over d\phi }\right|_{\phi =0}R(\phi ,{\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {x}}$

jokaiselle vektorille $x\in \mathbb {R} ^{3}$. Ristitulo n kuvaa näin ollen vektorin n ympäri suoritetun rotaation infini­tesi­maalista generaattoria. Nämä infini­tesi­maaliset generaattorit muodostavat Lien algebran so(3) rotaatio­ryhmässä SO(3), ja todetaan, että Lien algebra $\mathbb {R} ^{3}$ varustettuna ristitulolla on isomorfinen Lien algebran so(3) kanssa.

Vaihtoehtoisia tapoja ristitulon laskemiseksi

Muunnos matriisien kertolaskuksi

Vektorien ristitulo voidaan ilmaista myös antisymmetrisen matriisin ja vektorin tulona:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}$

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {b} ]_{\times }^{\mathrm {T} }\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}\,0&\,\,b_{3}&\!-b_{2}\\-b_{3}&0&\,\,b_{1}\\\,\,b_{2}&\!-b_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}$

missä yläindeksi ^T tarkoittaa matriisin transpoosia ja [a]_× määritellään seuraavasti:

$[\mathbf {a} ]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}.$

On huomattava, että [a]_× on kääntyvä matriisi, jossa a on sen oikean- tai vasemmanpuoleinen nollavektori.

Jos a itsekin on ristitulo,

$\mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d}$

saadaan

$[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }.$

Todistus korvausmenettelyllä

Ristitulon kehitelmä johtaa tulokseen $\mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d} ={\begin{pmatrix}c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}\\c_{3}d_{1}-c_{1}d_{3}\\c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}\end{pmatrix}}$ Tässä vasemmalla puolella oleva lauseke on yhtä suuri kuin $[\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}0&c_{2}d_{1}-c_{1}d_{2}&c_{3}d_{1}-c_{1}d_{3}\\c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}&0&c_{3}d_{2}-c_{2}d_{3}\\c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1}&c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}&0\end{bmatrix}}$ Toisaalta oikealla puolella oleva lauseke on, $\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}c_{1}d_{1}&c_{1}d_{2}&c_{1}d_{3}\\c_{2}d_{1}&c_{2}d_{2}&c_{2}d_{3}\\c_{3}d_{1}&c_{3}d_{2}&c_{3}d_{3}\end{bmatrix}}$ jonka transpoosi on $\mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}c_{1}d_{1}&c_{2}d_{1}&c_{3}d_{1}\\c_{1}d_{2}&c_{2}d_{2}&c_{3}d_{2}\\c_{1}d_{3}&c_{2}d_{3}&c_{3}d_{3}\end{bmatrix}}$ Yhtälön oikea puoli voidaan saattaa muotoon $\mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}0&c_{2}d_{1}-c_{1}d_{2}&c_{3}d_{1}-c_{1}d_{3}\\c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}&0&c_{3}d_{2}-c_{2}d_{3}\\c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1}&c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}&0\end{bmatrix}}$ Vertailu osoittaa, että yhtälön molemmilta puolilta saatiin sama matriisi.

Geometrisen algebran avulla tämä tulos voidaan yleistää korkeampiinkin ulottuvuuksiin. Erityisesti kaikissa ulottuvuuksissa bivektori voidaan samastaa anti­symmetristen matriisien kanssa, jolloin anti­symmetrisen matriisin ja vektorin tulo on ekvivalentti bivektorin ja vektorin tulon ensimmäistä astetta olevan osan kanssa. Kolmessa ulottuvuudessa bivektorit ovat vektorien Hodgen duaaleja, joten tulo on ekvivalentti ristitulon kanssa, kun bivektoria käytetään sen vektori­duaalin sijasta. Korkeammissa ulottuvuuksissakin tulo voidaan laskea, mutta bivektoreilla on enemmän vapausasteita eivätkä ne ole ekvivalentteja vektorien kanssa.

Esimerkiksi epipolaari­sessa geometriassa tämä merkintä on usein myös paljon helppo­käyttöisempi.

Ristitulon yleisistä ominaisuuksista seuraa välittömästi, että

$[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {a} =\mathbf {0}$   sekä   $\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {0}$

ja siitä, että [a]_× on antisymmetrinen, seuraa, että

$\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {b} =0.$

Edellä esitetty kolmitulon bac-cab -sääntö voidaan tämän merkinnän avulla helposti todistaa.

Kuten edellä todettiin, Lien algebra $\mathbb {R} ^{3}$ varustettuna ristitulolla on isomorfinen Lien algebran so(3), kanssa, jonka alkiot voidaan samastaa anti­symmetristen 3×3 -matriisien kanssa. Kuvaus a -> [a]_× on isomorfismi $\mathbb {R} ^{3}$:n ja so(3):n välillä. Tässä kuvauksessa 3-vektorien ristitulo vastaa anti­symmetristen 3x3 -matriisien kommutaattoria.

Indeksimerkintä tensoreille

Ristitulo voidaan vaihto­ehtoisesti määritellä Levi-Civita-symbolin e_ijk ja pistetulon $\eta ^{mi}$ avulla (joka orto­normaalin kannan tapauksessa on sama kuin $\delta ^{mi}$). Sen avulla vektori­merkintä voidaan muuttaa tensorien sovellukseksi:

$\mathbf {a\times b} =\mathbf {c} \Leftrightarrow \ c^{m}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\eta ^{mi}\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}$

missä indeksit $i,j,k$ vastaavat vektorin komponentteja. Tämä ristitulon luonnehdinta esitetään usein lyhemmin käyttämällä Einsteinin summaussääntöä

$\mathbf {a\times b} =\mathbf {c} \Leftrightarrow \ c^{m}=\eta ^{mi}\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}$

jossa toistetut indeksit arvojen 1...3 yli on laskettu yhteen. On huomattava, että tämä esitysmuoto on toinen muoto ristitulon antisymmetrisiin matriiseihin perustuvasta esitysmuodosta:

$\eta ^{mi}\varepsilon _{ijk}a^{j}=[\mathbf {a} ]_{\times }.$

Klassisessa mekaniikassa ristitulon esittäminen Levi-Civita-symbolin avulla voi tehdä mekaaniset symmetriat ilmiselviksi, kun fysikaaliset systeemit ovat isotrooppisia. Esimerkkinä voidaan mainita hiukkanen Hooken lain mukaisessa potentiaalissa, jossa se voi värähdellä kolmessa ulottuvuudessa; mikään näistä ulottuvuuksista ei ole millään tavalla erikois­asemassa, jolloin liikemäärämomentin ristitulo­esitys on symmetrinen tavalla, jonka Levi-Civita-esitys tekee ilmeiseksi.

Muistisääntö

Ristitulon määritelmän muistamiseen voidaan muistisääntönä käyttää sanaa "xyzzy".

Jos

$\mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c}$

missä:

$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}},\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}},\mathbf {c} ={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}$

on:

$a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}\,$

$a_{y}=b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z}\,$

$a_{z}=b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x}.\,$

Toinen ja kolmas yhtälö saadaan ensimmäisestä yksinkertaisesti kierrättämällä alaindeksit keskenään pystysuorasti, x -> y -> z -> x. Vaikeutena on luonnollisesti ensimmäisen yhtälön muistaminen, mihin on käytettävissä kaksi keinoa: on joko muistettava Sarrus'n skeeman kaksi relevanttia lävistäjää (ne, joissa 'i' esiintyy), tai on muistettava xyzzy-järjestys.

Koska Sarrus'n skeeman ensimmäinen lävistäjä on juuri edellä mainitun 3×3 -matriisin päälävistäjä, sanan xyzzy kolme ensimmäistä kirjainta on helppo muistaa.

Sovelluksia

Ristituloa sovelletaan monissa yhteyksissä, esimerkiksi laskennallisessa geometriassa, fysiikassa ja insinööri­aloilla. Seuraavassa mainitaan joitakin esimerkkejä sovelluksista.

Laskennallinen geometria

Ristituloa voidaan käyttää laskettaessa kahden ristikkäisen suoran etäisyys, toisin sanoen sellaisten suorien etäisyys kolmiulotteisessa avaruudessa, jotka eivät ole samassa tasossa.

Ristitulolla voidaan laskea myös kolmion tai monikulmion normaali, mitä usein tarvitaan tietokone­grafiikassa. Esimerkiksi monikulmion kiertyminen myötä- tai vastapäivään jonkin sen sisällä olevan pisteen ympäri voidaan laskea jakamalla se kolmioihin hieman pyörän puolien tapaan ja laskemalla puolien väliset kulmat yhteen, jolloin ristitulon avulla saadaan selville kunkin kulman etumerkki.

Tason laskennallisessa geometriassa ristitulon avulla voidaan määrittää kolmen pisteen $p_{1}=(x_{1},y_{1})$, $p_{2}=(x_{2},y_{2})$ ja $p_{3}=(x_{3},y_{3})$ määräämän kulman etumerkki. Se vastaa pisteparin $p_{1},p_{2}$ ja $p_{1},p_{3}$ määräämien, samassa talossa olevien vektorien ristitulon suuntaa, toisin sanoen lausekkeen $P=(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x_{3}-x_{1})$ etumerkkiä. Jos ristitulo on nolla, pisteet ovat samalla suoralla. Käytettäessä "oikeakätisestä" koordinaatti­järjestelmää nämä kolme pistettä muodostavat positiivisen pyörähdys­kulman kierrossa pisteen $p_{1}$ ympäri pisteestä $p_{2}$ pisteeseen $p_{3}$, mikäli lauseke on positiivinen, ja negatiivisen pyörähdys­kulman, jos lauseke on negatiivinen.

Ristitulon avulla voidaan laskea moni­tahokkaiden kuten tetraedrin tai suuntaissärmiön tilavuus.

Pyörimismäärä ja vääntömomentti

Hiukkasen pyörimismäärä $\mathbf {L}$ annetun akselin suhteen on:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,$

missä $\mathbf {r}$ hiukkasen paikkavektori origon suhteen ja $\mathbf {p}$ hiukkasen liikemäärä.

Samaan tapaan pisteeseen B vaikuttavan voiman momentti pisteen A suhteen on:

$\mathbf {M} _{\mathrm {A} }=\mathbf {r} _{\mathrm {AB} }\times \mathbf {F} _{\mathrm {B} }\,$

Mekaniikassa voiman momenttia sanotaan myös vääntömomentiksi ja merkitään $\mathbf {\tau }$

Koska paikkavektori $\mathbf {r}$, liikemäärä $\mathbf {p}$ ja voima $\mathbf {F}$ ovat kaikki aitoja vektoreita, sekä pyörimismäärä $\mathbf {L}$ että voiman momentti $\mathbf {M}$ ovat pseudo­vektoreita eli aksiaalisia vektoreita.

Jäykkä kappale

Ristituloa käytetään usein jäykän kappaleen kuvailuun. Jäykän kappaleen kahden pisteen O ja Q välinen etäisyys pysyy vakiona, ja niiden nopeuksien välinen riippuvuus kappaleen pyöriessä on:

$\mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}=\mathbf {\omega } \times \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)\,$

missä $\mathbf {r}$ on kunkin pisteen paikkavektori, $\mathbf {v}$ sen nopeus ja $\mathbf {\omega }$ kappaleen kulmanopeus.

Koska paikkavektori $\mathbf {r}$ ja nopeus $\mathbf {v}$ ovat aitoja vektoreita, kun taas kulmanopeus $\mathbf {\omega }$ on pseudovektori eli aksiaalinen vektori.

Lorentzin voima

Ristitulo esiintyy Lorentzin voiman lausekkeessa, joka osoittaa, kuinka suuri voima liikkuvaan sähkö­varaukseen $q_{e}$ vaikuttaa sähkö- ja magneetti­kentässä.

$\mathbf {F} =q_{e}\,\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$

Koska nopeus $\mathbf {v}$, voima $\mathbf {F}$ ja sähkökentän voimakkuus $\mathbf {E}$ ovat kaikki aitoja vektoreita, kun taas magneettivuon tiheys $\mathbf {B}$ on pseudovektori.

Muita sovelluksia

Vektorianalyysissä vektorikentän roottori määritellään muodollisesti nablan ja vektori­kentän ristitulona.

Ristitulon kirjoittaminen matriisien kertolaskun muotoon on epipolaarisessa geometriassa paljon käytetty toimenpide.

Ristitulo ulkoisena tulona

Ristitulo ja ulkoinen tulo. Punaiset nuolet ovat kohtisuorat yksikkövektorit sekä "niiden suuntainen" yksikköbivektori.

Ristituloa voidaan kuvata ulkoisen tulon käsittein. Tämä näkemys sallii ristitulon luonnollisen geometrisen tulkinnan. Ulkoisessa algebrassa kahden vektorin ulkoinen tulo (eli kiilatulo) on bivektori. Bivektori on suunnattu tasoalue pitkälti samaan tapaan kuin vektori on suunnattu jana. Kun on annettu kaksi vektoria a ja b, niiden bivektori $a\land b$ voidaan käsittää suunnatuksi suunnikkaaksi, jonka sivuina a ja b ovat. Ristitulo saadaan tällöin ottamalla bivektorista $a\land b$ Hodgen duaali, joka kuvaa 2-vektorit vektoreille:

$a\times b=*(a\wedge b)\,.$

Tämä voidaan käsittää suunnatuksi moni­ulotteiseksi alkioksi, joka on "kohtisuorassa" bivektoria vastaan. Vain kolmessa ulottuvuudessa tuloksena saadaan suunnattu jana, siis vektori, kun taas esimerkiksi neljässä ulottuvuudessa Hodgen duaali on kaksi­ulotteinen, siis toinen tasoalue. Niinpä vain kolmessa ulottuvuudessa vektorien a ja b ristitulo on bivektorin $a\land b$ kanssa duaalinen vektori: se on kohti­suorassa bivektoria vastaan, sen suunta riippuu koordi­naatiston kätisyydestä, ja se suuruudeltaan samassa suhteessa kohti­suoraa yksikkö­vektoria suurempi kuin $a\land b$ on yksikkö­bivektoria suurempi, täsmälleen niin kuin sen ominaisuudet on edellä kuvattu.

Ristitulo ja kätisyys

Kun muodostetaan mitattavien suureiden ristitulo, koordinaatti­järjestelmän kätisyyttä ei voida valita mielivaltaisesti. Kun kuitenkin fysiikan lait kirjoitetaan yhtälöiksi, koordinaatti­järjestelmän ja myös sen kätisyyden pitäisi olla mielivaltaisesti valittavissa. Jotta tästä ei koituisi ongelmia, on oltava tarkkana, ettei koskaan kirjoiteta sellaisia yhtälöitä, joiden molemmat puolet eivät käyttäydy samoin kaikissa muunnoksissa, jotka voivat tulla kysymykseen. Jos esimerkiksi yhtälön toisella puolella on kahden vektorin ristitulo, on otettava huomioon, että jos koordinaatti­järjestelmän kätisyyttä ei ole ennalta annettu, tulos ei ole (aito) vektori vaan pseudovektori. Tällöin yhteen­sopivuus­syistä yhtälön toisenkin puolen on oltava pseudo­vektori.

Yleisesti ristitulo voi olla joko aito vektori tai pseudo­vektori riippuen siitä, kumpaa tyyppiä sen tekijät ovat. Tuloksen tyyppi riippuu sen tekijöiden tyypeistä seuraavasti:

• vektori × vektori = pseudovektori
• pseudovektori × pseudovektori = pseudovektori
• vektori × pseudovektori = vektori
• pseudovektori × vektori = vektori.

Tästä seuraa myös, että ylempänä esitetyt ortonormaalin oikeakätisen karteesisen koordinaatiston yksikkö­vektorien i, j ja k ristitulot edellyttävät itse asiassa, että kaikki nämä kanta­vektorit ovat pseudo­vektoreita (ellei niiden ei sallita olevan eri tyyppiä, mitä yleensä ei sallitakaan), sillä i × j = k, j × k = i and k × i = j.

Koska ristitulo saattaa olla myös (aito) vektori, se ei välttämättä vaihda suuntaansa peilauksessa tason suhteen. Näin on asian laita, jos toinen ristitulon tekijöistä on (aito) vektori ja toinen pseudovektori (toisin sanoen kahden vektorin ristitulo) Esimerkiksi kolmen aidon vektorin vektorikolmitulo on aito vektori.

Yleistyksiä

On olemassa useita tapoja yleistää ristitulon käsite useampaan ulottuvuuteen.

Lien algebra

Ristitulo on yksi yksinkertaisimmista Lien tuloista, ja näin ollen sitä yleistyksiä Lien algebrat, jotka on aksiomatisoitu binääriksi tuloiksi, jotka toteuttavat multilineaarisuuden, ristikkäissymmetrian ja Jacobin identiteetin aksioomat. On olemassa monia Lien algebroja, ja niiden tutkimuksesta on tullut laaja matematiikan ala, Lien teoria.

Esimerkiksi Heisenbergin algebra antaa toisen Lien algebran mukaisen struktuurin avaruudelle $\mathbf {R} ^{3}.$ Tässä kannassa $\{x,y,z\},$ tulo on $[x,y]=z,[x,z]=[y,z]=0.$

Kvaterniot

Ristitulo voidaan esittää myös kvaternioiden termein, ja tämä onkin syynä siihen, miksi kirjaimia i, j ja k on alettu käyttää avaruuden $\mathbb {R} ^{3}$ standardien kantavektorien tunnuksina. Yksikkö­vektorit i, j ja k vastaavat "binäärisiä" (180 asteen) kiertoja vastaavien akselien ympäri. Näitä rotaatiota vastaavat "puhtaat" kvaterniot, joiden skalaari­osa on nolla ja joiden normi on 1.

Esimerkiksi edellä esitetyt yksikkö­vektorien i, j, and k ristitulot vastaavat täysin kvaternioiden i, j ja k kertolaskua. Yleensäkin jos vektori [a₁, a₂, a₃] esitetään kvaterniona a₁i + a₂j + a₃k, kahden vektorin ristitulo saadaan laskemalla vastaavien kvaternioiden tulo ja poistamalla tuloksesta reaaliosa. Tämä reaaliosa on toisaalta sama kuin samojen vektorien pistetulon vastavektori.

Samastamalla 'puhtaasti imaginaariset kvaterniot edellä selitetyllä tavalla $\mathbb {R} ^{3}$:n vektorien kanssa osoittautuu toisaalta, että vektorien ristitulo on puolet vastaavien kvaternioiden kommutaattorin arvosta.

Oktoniot

Seitsenulotteisten vektorien ristitulo voidaan muodostaa samaan tapaan kuin kolmiulotteistenkin käyttämällä oktonioita kvaternioiden sijasta. Se että muissa kuin kolmi- tai seitsenulotteisessa avaruudessa ei ole ei-triviaalia vektoriarvoista ristituloa, seuraa Hurwitzin lauseesta, jonka mukaan ainoat normitetut jakoalgebrat ovat 1-, 2-, 4- ja 8-ulotteiset.

Kiilatulo

Useammassa ulottuvuudessa ristitulolla ei ole suoranaista vastinetta, joka antaisi tulokseksi vektorin. On kuitenkin olemassa käsite kiilatulo, jolla on samantapaisia ominaisuuksia, paitsi että kahden vektorin kiilatulo ei ole tavallinen vektori vaan 2-vektori. Kuten edellä mainittiin, ristitulo voidaan tulkita kiilatuloksi kolmessa ulottuvuudessa käyttämällä Hodgen duaalia 2-vektorien kuvaamiseksi vektoreille. Kiilatulon Hodgen duaali antaa tuloksenaan (n - 2)-vektorin, joka on ristitulon luonnollinen yleistys missä tahansa määrässä ulottuvuuksia.

Kiilatulo ja pistetulo voidaan yhteenlaskemalla yhdistää geometriseksi tuloksi.

Antisymmetriset matriisit

Jos ristitulon edellytetään olevan binäärinen laskutoimitus, sen argumentteina on oltava tarkalleen kaksi vektoria. Jos sen tuloksen ei tarvitse olla vektori tai pseudovektori vaan sen sijaan matriisi, käsite voidaan yleistää kuinka moneen ulottuvuuteen tahansa.

Esimerkiksi mekaniikassa kulmanopeus voidaan tulkita joko pseudovektoriksi $\omega$ tai antisymmetriseksi matriisiksi eli ristikkäissymmetriseksi tensoriksi $\Omega$. Jälkimmäisessä tapauksessa jäykän kappaleen nopeuslaki saa muodon:

$\mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}={\Omega }\cdot \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)\,$

missä O määritellään muodollisesti kappaleen asemaan liittyvän pyörähdysmatriisin $R^{N\times N}$ avulla: $\Omega \triangleq {\frac {dR}{dt}}R^{\mathrm {T} }$. Kolmessa ulottuvuudessa pätee:

$\Omega =[\omega ]_{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-\omega _{3}&\,\,\,\omega _{2}\\\,\,\,\omega _{3}&0&\!-\omega _{1}\\\!-\omega _{2}&\,\,\omega _{1}&\,\,0\end{bmatrix}}$

Kvanttimekaniikassa pyörimismäärä eli liikemäärämomentti $L$ esitetään usein antisymmetrisenä matriisina tai tensorina. Tarkemmin sanottuna se on kappaleen paikan $\mathbf {x}$ ja liikemäärän $\mathbf {p}$ ristitulo:

$L_{ij}=x_{i}p_{j}-p_{i}x_{j}$

Koska sekä $\mathbf {x}$:llä että $\mathbf {p}$:llä voisi olla mielivaltainen määrä $N$ komponentteja, tämäntyyppinen ristitulo voidaan yleistää kuinka moneen ulottuvuuteen tahansa siten, että laskutoimituksen "fysikaalinen" tulkinta säilyy.

Asian laskennallisesta puolesta kerrottiin edellä osiossa #Vaihtoehtoisia tapoja ristitulon laskemiseksi.

Historia

Vuonna 1773 italialainen matemaatikko Joseph Louis Lagrange (alkuperäiseltä nimeltään Giuseppe Luigi Lagrancia) otti käyttöön sekä piste- että ristituloksi nykyisin nimitetyt lausekkeet tutkiessaan tetraedriä kolmessa ulottuvuudessa. Vuonna 1843 irlantilainen matemaattinen fyysikko Sir William Rowan Hamilton otti käyttöön kvaterniot ja niiden kertolaskun sekä samalla myös termit "vektori" ja skalaari". Jos [0, u] ja [0, v] ovat kaksi kvaternioita, joissa u ja v ovat $\mathbb {R} ^{3}$:n vektoreita, kvaternioiden tulo on [-u · v, u × v]. James Clerk Maxwell muotoili kuuluisat sähkömagnetismin yhtälönsä alun perin Hamiltonin kvaternioiden avulla, ja tästä ja muista syistä kvaterniot kuuluivat jonkin aikaa oleellisena osana fysiikan oppimäärään.

Vuonna 1878 William Kingdon Clifford julkaisi teoksensa Elements of Dynamic (Dynamiikan alkeet), joka aikanaan oli hyvin edistyksellinen. Siinä hän määritteli kahden vektorin tulon vektoriksi, joka oli suuruudeltaan yhtä suuri kuin sen suunnikkaan pinta-ala, jonka sivuina alkuperäiset vektorit ovat, ja suunta kohtisuorassa niiden muodostamaa tasoa vasten.

Englantilainen Oliver Heaviside ja Yalen yliopiston professori Josiah Willard Gibbs Connecticutissa olivat myös sitä mieltä, että kvaternioihin perustuvat laskenta­menetelmät olivat liian hankalia, ja niitä käytettäessä tuloksesta oli usein merkitystä vain sen skalaari- tai vektoriosalla. Niinpä he ottivat käyttöön sekä piste- että risti­tulon noin 40 vuotta kvater­nioiden käyttöön­oton jälkeen, mutta he saivat osakseen kiivasta vastustusta. Siihen, että uusi lähestymis­tapa lopulta hyväksyttiin, vaikutti paljolti sen tehokkuus, joka teki Heavisidelle mahdolliseksi yhdistää Maxwellin alku­peräisistä 20 sähkö­magnetismin yhtälöistä useita siten, että jäljelle jäivät vain ne neljä, joita nykyisinkin yleisesti käytetään.

Tästä kehityksestä pitkälti riippumatta ja saamatta omana aikanaan osakseen sanottavaa huomiota Hermann Grassmann kehitti geometrisen algebran, joka ei rajoittunut kahteen tai kolmeen ulottuvuuteen ja jossa ulkoisella tulolla oli keskeinen osa. Vuonna 1853 Grassmannin aikalainen Augustin-Louis Cauchy julkaisu tutkielman algebrallisista avaimista, joilla voitiin ratkaista yhtälöitä ja joilla oli samat kertolaskuominaisuudet kuin ristitulolla. William Kingdon Clifford yhdisti Hamiltonin ja Grassmanin algebrat Cliffordin algebraksi, jossa kahden vektorin tulona saatava bivektori kolmiulotteisten vektorien tapauksessa on vektorin kaltainen ja vastaa vektorien ristituloa.

Ristitulon nimen ja merkinnän otti käyttöön Gibbs. Alun perin ne esiintyivät hänen yksityisesti opiskelijoilleen laatimassa monisteessa Elements of Vector Analysis vuodelta 1881. Käsitteen käyttökelpoisuuden mekaniikassa pani merkille Aleksandr Kotelnikov. Gibbsin merkintä ja nimitys "ristitulo" tulivat yleiseen käyttöön sen jälkeen, kun hänen entinen oppilaansa Edwin Bidwell Wilson laati oppikirjan Vector Analysis. Wilson järjesteli Gibbsin luentojen aineiston uudelleen ja yhdisti siihen aineistoa Heavisideltä, Föppsiltä ja Hamiltonilta. Hän jakoi vektorianalyysin kolmeen osaan:

»Ensimmäisenä se, mikä koskee vektorien yhteenlaskua sekä piste- ja ristituloa. Toisena se, mikä koskee differentiaali- ja integraalilaskennan yhteyksiä skalaari- ja vektorifunktioihin. Kolmantena se, mikä sisältää teorian lineaarisista vektorifunktioista.»

Kirjassa määriteltiin kahdenlaiset vektorien kertolaskut, joista käytettiin seuraavia nimiä:

• kahden vektorin suora, skalaari- eli pistetulo
• kahden vektorin ristikkäinen, vektori- eli ristitulo.

Kirjassa käsiteltiin myös useita erilaisia kolmituloja sekä useamman kuin kolmen vektorin tuloja. Edellä mainittu kolmitulon laajennus oli myös mukana.

Katso myös

• Karteesinen tulo (tulojoukko)
• Pistetulo
• Skalaarikolmitulo
• Pseudovektori

Lähteet

• Florian Cajori: A History Of Mathematical Notations Volume II, s. 134. Open Court Publishing, 1929. ISBN 978-0-486-67766-8 Teoksen verkkoversio.
• E. A. Milne: ”2. luku, Vector Product”, Vectorial Mechanics, s. 11–31. Methuen Publishing, 1948.
• Edwin Bidwell Wilson: Vector Analysis: A text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs. Yale University Press, 1901. Teoksen verkkoversio.
• T. Levi-Civita, U. Amaldi: Lezioni di meccanica razionale. Bologna: Zanichelli editore, 1949. (italiaksi)

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I: Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

Aiheesta muualla

• Hazewinkel, Michiel (toim.): ”Cross product”, Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4 Teoksen verkkoversio.
• Cross product Wolfram MathWorld. Eric W. Weisstein.
• The Dot and Cross Procudts Eli Lansey.
• Cross product in N Dimensions – the doublewedge product (pdf) 2014. C.A. Gonano and R.E. Zich, Polytehcnic University of Milan.
• Real and Complex Products of Complex Numbers cut-the-knot.org.
• Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space (pdf) 2007. W. Cahan, University of California, Berkeley.