Radiaani

Kun kulman suuruus on 1 radiaani, niin ympyrän säde ja kulmaa vastaava ympyrän kaari ovat yhtä pitkät.

Radiaani (tunnus rad) on SI-järjestelmän mukainen tasokulman suuruuden mittayksikkö. Radiaani mittaa kulmaa kuten asteetkin, mutta kulman suuruus radiaaneissa sijoittuu välille $[0,2\pi ]$ toisin kuin asteissa, joiden määrä on välillä $[0,360]$, kun tarkastellaan positiivisia kulmia nollakulmasta täyteen kulmaan. Jos ympyrän kehältä valitaan tietty kaari, jonka pituus on $b$ ja ympyrän säde $r$, on kaarta vastaava keskuskulma $x$ radiaaneissa:

$x={\frac {b}{r}}$

Toisin sanoen, ympyrän kulman suuruus radiaaneina on sitä vastaavan ympyrän kaaren pituuden suhde ympyrän säteeseen. 1 radiaani on sen ympyräsektorin kulma, jota vastaavan kaaren pituus on säteen suuruinen, asteina noin 57°:

$1{\mbox{ rad}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi {\mbox{ rad}}}}(1{\mbox{ rad}})={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57{,}29577951^{\circ }$

Suora kulma on siten π/2 rad, oikokulma π rad ja täysikulma ympyrä, 2π rad.

Yleensä kulman yksikköä rad ei kirjoiteta näkyviin. Näin voidaan menetellä, koska kyseessä on dimensioton suure, kahden samanlaatuisen suureen suhde. Monet tärkeät kulmat ilmaistaan yleensä piin murto-osina, esimerkiksi $60^{\circ }={\frac {\pi }{3}}$ .

Radiaanin käyttö

Astelevy, jossa on myös radiaanit merkittynä asteiden rinnalle.

Radiaania käytetään kulmayksikkönä erityisesti korkeammassa matematiikassa, varsinkin differentiaali- ja integraalilaskennassa, sekä monissa fysikaalisissa sovelluksissa. Radiaanin hyödyllisyys asteeseen verrattuna käy ilmi esimerkiksi trigonometrisia funktioita derivoitaessa ja integroitaessa. Myös trigonometristen funktioiden sarjaesitykset saavat luontevan, yksinkertaisen muodon. Fysiikassa esimerkiksi kulmanopeuden ja kulmakiihtyvyyden yksiköt määritellään käyttämällä kulmayksikkönä radiaania, samoin jaksollisiin ilmiöihin liittyvät vaihekulmat, joilla on suuri merkitys esimerkiksi vaihtovirtatekniikassa.

Sen sijaan arkielämään radiaanin käyttö ei ole levinnyt, vaikka se opetetaan lukiomatematiikassa. Arkielämässä kulmayksikkönä käytetään tavallisimmin astetta, ja asteina ilmoitetaan myös esimerkiksi maantieteelliset pituus- ja leveyspiirit. Tärkein syy on siinä, että radiaanin käsite on varsin vaikea mieltää. Ympyrän kehä ei suinkaan ole tasaluku radiaaneja, vaan 2π, ja tärkeiden kulmien tarkat arvot on esitettävissä radiaaneina vain π:n murto-osina tai monikertoina. Mielivaltaisen kulman, joka ei ole suora-, oiko- tai täyskulma tai niiden tasamurto-osa, hahmottaminen radiaaneina on hyvin vaikeaa verrattuna asteisiin. Myös koneelliset laskutoimitukset radiaaneilla ovat hyvin hankalia toteuttaa, sillä laskukoneet ottavat syötteet sisään desimaaleina, ja tuloksena on myös desimaalilukuja, joiden muuttaminen takaisin π:n osiksi on varsin hankalaa.

Piiru

Radiaania lähellä oleva kulmamitta on asevoimissa tykistössä käytetty piiru. Määritelmän mukaan yksi piiru on ”sellaisen ympyräsektorin huippukulma, jonka pohjan kaaren pituus on yksi metri ja kyljen yksi kilometri”. Tällä määritelmällä yksi piiru on täsmälleen sama kulma kuin yksi milliradiaani. Ympyrässä on tällöin 6 283 piirua. Suomen asevoimissa, samoin kuin Venäjällä, käytetään kuitenkin likiarvoa täysiympyrä = 6 000 piirua. Tästä poiketen Nato jakaa ympyränkehän 6 400 piiruun (MIL, MilDot).

Aiheesta muualla

• Opetusvideoita radiaanista Opetus.tv-sivustolla