Binomitodennäköisyys

Binomitodennäköisyys eli toistokoe on menetelmä, jota käytetään tilanteissa, jossa jokin koe toistetaan n kertaa toisistaan riippumattomasti, ja halutaan tietää, että mikä on todennäköisyys, että koe onnistuu täsmälleen k kertaa. Kokeelle on rajattu vain kaksi tulosmahdollisuutta, joko se onnistuu, tai epäonnistuu.

Lause

Jos koe, joka onnistuu todennäköisyydellä $p$ (ja epäonnistuu todennäköisyydellä $q=1-p$), toistetaan riippumattomasti $n$ kertaa, ja jos $X$ on onnistuneiden kokeiden määrä, niin

$P(X=k)={n \choose k}p^{k}q^{(n-k)},$

missä

${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}},$

jota kutsutaan binomikertoimeksi.

Esimerkkejä

1. Säkissä on neljä mustaa ja kuusi valkoista palloa. Säkistä otetaan satunnaisesti yksi pallo ja laitetaan se takaisin. Tämä toistetaan viisi kertaa. Millä todennäköisyydellä on nostettu täsmälleen kolme kertaa musta pallo?

Ratkaisu: Säkissä on siis yhteensä kymmenen palloa. Eli todennäköisyydellä $4/10=0{,}4$ nostettu pallo on musta. Vastaavasti valkoisen pallon todennäköisyys on $6/10=0{,}6$. Eli $p=0{,}4$ ja $q=0{,}6$. Nostokertoja on viisi kappaletta, joten $n=5$. Haluttiin tietää, että millä todennäköisyydellä on nostettu kolme kertaa musta pallo, eli $k=3$. Merkitään vielä $A=$"kolme mustaa ja kaksi valkoista palloa". Haluttu todennäköisyys on siis

$P(A)={n \choose k}p^{k}q^{(n-k)}={5 \choose 3}\cdot 0{,}4^{3}\cdot 0{,}6^{2}=10\cdot 0{,}064\cdot 0{,}360\approx 0{,}230.$

2. Olkoon koripallossa vapaaheiton onnistumisen todennäköisyys p = 80 % = 0,8. Epäonnistumisen todennäköisyys q on nyt
1 – p = 0,2. Lasketaan todennäköisyys sille, että viidestä (= n) heitosta ainakin kolme (= i) onnistuu. Vastaus saadaan yhdistämällä kolme tapausta (onnistuneita heittoja on kolme, neljä tai viisi):

$\sum _{k=i}^{n}{\binom {n}{k}}p^{k}q^{(n-k)}\approx 0{,}94=94\,\%$.

Katso myös

• Binomijakauma

Lähteet

• Ruskeepää, Heikki: Todennäköisyyslaskenta, luentomoniste, Turun yliopisto, Sovellettu matematiikka, 1996

• Honkala, Iiro: Kombinatoriikka, luentomoniste, Turun yliopisto, 2009

• Tuominen, Pekka: Todennäköisyyslaskenta I, 8. painos, Limes ry, 2007

• [1]

• [2]