Схема Бернуллі

Проводяться $n$ дослідів, у кожному з яких може відбутися певна подія («успіх») з імовірністю $p$ (або не відбутися — «невдача» — з імовірністю $q=1-p$). Завдання — знайти ймовірність отримання рівно $m$ успіхів у цих $n$ дослідах.

Розв'язок:

$P_{n}(m)=C_{n}^{m}p^{m}(1-p)^{n-m}$ (формула Бернуллі).

Кількість успіхів — випадкова величина, яка має біноміальний розподіл.

Визначення

Для застосування схеми Бернуллі мають виконуватись такі умови:

• Кожне випробування має рівно два результати, умовно звані успіхом і невдачею.
• Незалежність випробувань: результат чергового експерименту не повинен залежати від результатів попередніх експериментів.
• Ймовірність успіху повинна бути сталою (фіксованою) для всіх випробувань.

Розглянемо стохастичний експеримент з двоелементним простором елементарних подій. Одну назвемо «успіхом», позначимо «1», іншу — «невдачею», позначимо «0». Нехай імовірність успіху $0<p<1$, тоді ймовірність невдачі $1-p=q$.

Розглянемо новий стохастичний експеримент, який полягає в $n$-разовому повторенні цього найпростішого стохастичного експерименту.

Зрозуміло, що простір елементарних подій $\Omega$, який відповідає цьому новому стохастичному експерименту буде $\left\{\Omega =(a_{1},...,a_{n})|a_{i}={\overline {0,1}},i={\overline {1,n}}\right\rbrace$ (1), $N(\Omega )=2^{n}$. За $\sigma$-алгебру подій ${\mathcal {A}}$ візьмемо булеан простору елементарних подій $P(\Omega )$ (2). Кожній елементарній події $\omega \in \Omega$ поставимо у відповідність число $p(\omega )=p^{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}q^{n-\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$. Якщо в елементарній події $\omega$ успіх спостерігається $k$ разів, а невдача — $(n-k)$ разів, то $p(\omega )=p^{k}q^{n-k}$. Нехай $A_{k}=\{\omega \in \Omega |\sum _{i=1}^{n}a_{i}=k\},k={\overline {0,n}}$, тоді $P(A_{k})=\sum _{\omega \in A_{k}}P(\omega )=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}$. Також є очевидною нормованість імовірності: $\sum _{\omega \in \Omega }P(\omega )=\sum _{k=0}^{n}\sum _{\omega \in A_{k}}P(\omega )=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}=(p+q)^{n}=1^{n}=1$.

Поставивши у відповідність кожній події $A\in {\mathcal {A}}$ числове значення $P(A)=\sum _{\omega \in A}P(\omega )$ (3), ми знайдемо ймовірність $P:{\mathcal {A}}\to \mathbb {R}$. Побудований простір $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$, де $\Omega$ — простір елементарних подій, визначений рівністю (1), ${\mathcal {A}}$ — $\sigma$-алгебра, визначена рівністю (2), P — імовірність, визначена рівністю (3), називається схемою Бернуллі для $n$ випробувань.

Набір чисел $P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k},k={\overline {0,n}},n\in \mathbb {N}$ називається біноміальним розподілом.

Узагальнення (поліноміальна схема)

Звичайна формула Бернуллі застосовна на випадок, коли за кожного випробування можлива одна з двох подій. Формулу Бернуллі можна узагальнити на випадок, коли за кожного випробування відбувається одна і тільки одна з $k>2$ подій з імовірністю $p_{i}(i=1,2,...,k)$, де $p_{1}+...+p_{k}=1$. Ймовірність появи $m_{1}$ разів першої події, $m_{2}$ — другої і $m_{k}$ раз k-ї знайдемо за формулою:

$P_{n}(m_{1},m_{2},...,m_{k})={\frac {n!}{m_{1}!m_{2}!...m_{k}!}}{p_{1}}^{m_{1}}{p_{2}}^{m_{2}}...{p_{k}}^{m_{k}}$,

де $n=m_{1}+m_{2}+...+m_{k}.$

Теореми

В особливих умовах (за досить великих чи досить малих параметрів) для схеми Бернуллі використовують наближені формули з граничних теорем: теорема Пуассона, локальна теорема Муавра — Лапласа, інтегральна теорема Муавра — Лапласа.

Джерела

• Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Послідовність випробувань (схема Бернуллі) [Архівовано 17 листопада 2020 у Wayback Machine.]