Схема Бернуллі
Проводяться дослідів, у кожному з яких може відбутися певна подія («успіх») з імовірністю (або не відбутися — «невдача» — з імовірністю ). Завдання — знайти ймовірність отримання рівно успіхів у цих дослідах.
Розв'язок:
Кількість успіхів — випадкова величина, яка має біноміальний розподіл.
Для застосування схеми Бернуллі мають виконуватись такі умови:
- Кожне випробування має рівно два результати, умовно звані успіхом і невдачею.
- Незалежність випробувань: результат чергового експерименту не повинен залежати від результатів попередніх експериментів.
- Ймовірність успіху повинна бути сталою (фіксованою) для всіх випробувань.
Розглянемо стохастичний експеримент з двоелементним простором елементарних подій. Одну назвемо «успіхом», позначимо «1», іншу — «невдачею», позначимо «0». Нехай імовірність успіху , тоді ймовірність невдачі .
Розглянемо новий стохастичний експеримент, який полягає в -разовому повторенні цього найпростішого стохастичного експерименту.
Зрозуміло, що простір елементарних подій , який відповідає цьому новому стохастичному експерименту буде (1), . За -алгебру подій візьмемо булеан простору елементарних подій (2). Кожній елементарній події поставимо у відповідність число . Якщо в елементарній події успіх спостерігається разів, а невдача — разів, то . Нехай , тоді . Також є очевидною нормованість імовірності: .
Поставивши у відповідність кожній події числове значення (3), ми знайдемо ймовірність . Побудований простір , де — простір елементарних подій, визначений рівністю (1), — -алгебра, визначена рівністю (2), P — імовірність, визначена рівністю (3), називається схемою Бернуллі для випробувань.
Набір чисел називається біноміальним розподілом.
Звичайна формула Бернуллі застосовна на випадок, коли за кожного випробування можлива одна з двох подій. Формулу Бернуллі можна узагальнити на випадок, коли за кожного випробування відбувається одна і тільки одна з подій з імовірністю , де . Ймовірність появи разів першої події, — другої і раз k-ї знайдемо за формулою:
- ,
де
В особливих умовах (за досить великих чи досить малих параметрів) для схеми Бернуллі використовують наближені формули з граничних теорем: теорема Пуассона, локальна теорема Муавра — Лапласа, інтегральна теорема Муавра — Лапласа.
- Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
- Послідовність випробувань (схема Бернуллі) [Архівовано 17 листопада 2020 у Wayback Machine.]