Affiner Unterraum: Unterschied zwischen den Versionen
Zeile 57: | Zeile 57: | ||
== Aufgaben == |
== Aufgaben == |
||
* Zeigen Sie, dass die nicht-leere Lösungsmenge eines inhomogene linearen Gleichungssystems eine affiner Unterraum ist. |
* Sei <math>A\in Mat(m\times n, \mathbb{K})</math> eine Sei <math>m\times n</math>-Matrix über dem Körper <math>\mathbb{K})</math>. Zeigen Sie, dass die nicht-leere Lösungsmenge <math>\mathbb{L}_{A,b}:=\left\{x\in \mathbb{K}^n \ \colon \ A\cdot x = b \right\}</math> eines inhomogene linearen Gleichungssystems <math>A\cdot x = b</math> mit <math>b\in \mathbb{K}^m</math> eine affiner Unterraum vom <math>\mathbb{K}^n</math> ist. |
||
* Auf einem Vektorraum <math>V</math> ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}</math>, ein Skalar <math>\lambda \in \mathbb{K} \setminus \{0\} </math> und ein Vektor <math>v\in V \setminus \{0_V\} </math> gegeben, Zeigen Sie, dass die Menge |
|||
::<math> M := \{x \in V \ \colon \ \langle v ,x \rangle = \lambda \}</math> |
|||
: ein affiner Unterraum von <math>V</math>, der kein Untervektorraum von <math>V</math> ist. Geben Sie einen Stützvektor <math>p \in V</math> und einen Untervektorraum <math>U</math>, für den <math> M = p+U</math> gilt. |
|||
* Erläutern Sie, wie man einen affinen Unterraum zusammen mit einem Skalarprodukt eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>V</math> in zwei Halbräume zerlegen kann! Welcher Zusammenhang besteht zum [[Kurs:Maschinelles Lernen|maschinellen Lernen]] und der Verwendung einer [[Kurs:Maschinelles Lernen/Klassifikation mittels Support Vector Machines|Support Vector Machine]] |
|||
== Dimensionsformel für affine Unterräume == |
== Dimensionsformel für affine Unterräume == |
Version vom 19. August 2024, 10:07 Uhr
Einleitung
Diese Seite zum Thema der affinen Unterräume kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
- (1) Zusammenhang zum Untervektorraum
- (2) Bezug zu Lösungsmengen inhomogener linearer Gleichungssysteme
- (3) Anwendungen von affinen Unterräumen
Lernvoraussetzungen
Die Lernressource zum Thema Affiner Unterraum hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind.
Inhaltliche Zielsetzung
Diese Lernressource behandelt einen affinen Unterraum eines Vektorraums.
In der linearen Algebra ist ein affiner Unterraum eines Vektorraums eine Teilmenge, die durch Verschiebung aus einem Untervektorraum hervorgeht. Ein solcher affiner Unterraum ist auch ein affiner Raum im Sinne der analytischen Geometrie.
Veranschaulichung
Die folgende Abbildung zeigt eine Ebene im dreidimensionalen -Vektorraum. Die blau markierte Ebene ist ein affiner Unterraum, der durch Verschiebung eines Untervektorraumes als Ursprungsebene um einen Stützvektor (rot) entsteht.
Bemerkung
Zu affinen Unterräumen eines affinen Punktraums siehe Definition eines affinen Raum.
Definition- Affiner Unterraum
Eine Teilmenge eines Vektorraums heißt affiner Unterraum, wenn es einen Vektor aus und einen Untervektorraum von gibt, sodass
gilt. In diesem Fall heißt auch Stützvektor von und der zugeordnete lineare Unterraum (der Verbindungsvektoren). ist durch eindeutig bestimmt; alle mit sind Stützvektoren von . Die Dimension von ist die Dimension von .
Ein eindimensionaler affiner Unterraum heißt affine Gerade. Ein zweidimensionaler affiner Unterraum heißt affine Ebene.
Hat der zu einem affinen Unterraum gehörige lineare Unterraum die Kodimension , so nennt man eine affine Hyperebene.
In der analytischen Geometrie wird gelegentlich auch die leere Menge als affiner Unterraum bezeichnet. Sie hat dann als affiner Raum die Dimension und ihr ist kein linearer Unterraum zugeordnet.
Anschauliche Betrachtung
Als Untervektorraum werde eine Ursprungsgerade im dreidimensionalen Vektorraum gewählt, für die gilt:
- mit
Als Vektor wird
gewählt. Dann ist der affine Unterraum eine Gerade, die um (also um eine Einheit in -Richtung) verschoben ist, mit der Gleichung:
- mit
Die auf diese Weise entstehende verschobene Gerade ist ein affiner Unterraum, aber kein Untervektorraum von , da sie den Nullvektor nicht enthält.
Aufgaben
- Sei eine Sei -Matrix über dem Körper . Zeigen Sie, dass die nicht-leere Lösungsmenge eines inhomogene linearen Gleichungssystems mit eine affiner Unterraum vom ist.
- Auf einem Vektorraum ein Skalarprodukt , ein Skalar und ein Vektor gegeben, Zeigen Sie, dass die Menge
- ein affiner Unterraum von , der kein Untervektorraum von ist. Geben Sie einen Stützvektor und einen Untervektorraum , für den gilt.
- Erläutern Sie, wie man einen affinen Unterraum zusammen mit einem Skalarprodukt eine Hilbertraum in zwei Halbräume zerlegen kann! Welcher Zusammenhang besteht zum maschinellen Lernen und der Verwendung einer Support Vector Machine
Dimensionsformel für affine Unterräume
Sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper und seien zwei affine Unterräume von .
Für den Fall, dass und nicht disjunkt sind oder einer der beiden Räume leer ist, gilt die Dimensionsformel:
Falls und jedoch disjunkt und nichtleer sind, lautet die Dimensionsformel
wobei aus der Darstellung (mit festem und dem zugeordneten linearen Unterraum von ) erhalten wird. Analog erhält man .
In beiden Fällen steht für den Verbindungsraum von und .
Eigenschaften
Da in der Definition eines affinen Unterraums auch gewählt werden kann, ist jeder Untervektorraum gleichzeitig affiner Unterraum. Ein affiner Unterraum ist genau dann ein Untervektorraum, wenn er den Nullvektor enthält.
Der Lösungsraum eines inhomogenen linearen Gleichungssystems in Variablen über dem Körper ist ein affiner Unterraum von , falls die Lösungsmenge nicht leer ist. Jeder affine Unterraum kann durch ein solches Gleichungssystem beschrieben werden. Alternativ kann ein affiner Unterraum auch als affine Hülle von Vektoren oder, wie direkt aus der Definition folgt, mit Hilfe eines Stützvektors und einer Basis des Untervektorraums angegeben werden.
Literatur
- Gerd Fischer: Lineare Algebra. ISBN 3-528-03217-0, S. 166 ff. (Auszug (Google)}).
- Siegfried Bosch: Lineare Algebra. ISBN 978-3-540-76437-3, S. 65 ff.
Seiteninformation
Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.
Wiki2Reveal
Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Wikipedia Authors' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.
- Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
- Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Affiner%20Unterraum
- siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.
Wikipedia2Wikiversity
Diese Seite wurde auf Basis der folgenden Wikipedia-Quelle erstellt: