∂

∂
Mathematische Zeichen
Arithmetik
Pluszeichen	+
Minuszeichen	−, ⁒
Malzeichen	⋅, ×
Geteiltzeichen	:, ÷, /
Plusminuszeichen	±, ∓
Vergleichszeichen	<, ≤, =, ≥, >
Wurzelzeichen	√
Prozentzeichen	%
Analysis
Summenzeichen	Σ
Produktzeichen	Π
Differenzzeichen, Nabla	∆, ∇
Prime	′
Partielles Differential	∂
Integralzeichen	∫
Verkettungszeichen	∘
Unendlichzeichen	∞
Geometrie
Winkelzeichen	∠, ∡, ∢, ∟
Senkrecht, Parallel	⊥, ∥
Dreieck, Viereck	△, □
Durchmesserzeichen	⌀
Mengenlehre
Vereinigung, Schnitt	∪, ∩
Differenz, Komplement	∖, ∁
Elementzeichen	∈
Teilmenge, Obermenge	⊂, ⊆, ⊇, ⊃
Leere Menge	∅
Logik
Folgepfeil	⇒, ⇔, ⇐
Allquantor	∀
Existenzquantor	∃
Konjunktion, Disjunktion	∧, ∨
Negationszeichen	¬

Das ∂ (sprich: Del) ist ein mathematisches Symbol, das hauptsächlich für die partielle Ableitung ${\tfrac {\partial }{\partial x}}$ und das partielle Differential $\partial f$ benutzt wird. Es hat die Unicodenummer U+2202.^[1]

Namen

Der geläufigste Name des ∂ ist Del,^[2]^[3] was allerdings im Englischen auch den Nabla-Operator bezeichnet. Daher gibt es weitere Namen für das Symbol, u. a. partielles d,^[4] im Englischen Dabba^[5] oder Jacobidelta,^[6] sowie einfach d.^[7] Dann ist es allerdings sprachlich nicht mehr von der totalen Ableitung zu unterscheiden.

Verwendungsgeschichte

So wie das Integralzeichen eine spezielle Form des langen s darstellt, ist das ∂ eine spezielle kursive Schreibweise des ds. Zuerst verwendet wurde es 1770 vom französischen Mathematiker Nicolas de Concordet als Symbol für das partielle Differential.^[6]

„Dans toute la suite de ce Memoire, dz & ∂z désigneront ou deux differences partielles de z, dont une par rapport a x, l'autre par rapport a y, ou bien dz sera une différentielle totale, & ∂z une difference partielle.“

„Im weiteren Verlauf dieser Abhandlung bezeichnen dz & ∂z entweder zwei partielle Differentiale von z, davon einer in Bezug auf x, der andere in Bezug auf y, oder dz ist ein Gesamtdifferential & ∂z ein partielles Differential.“

– Antoine-Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet: Memoire sur les Equations aux différence partielles, 1773^[8]

Adrien-Marie Legendre verwendete es 1786 erstmals für die partielle Ableitung.^[6]

„Pour éviter toute ambiguité, je représenterai par ∂u/∂x le coefficient de x dans la différence de u, & par du/dx la différence complète de u divisée par dx.“

„Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, werde ich durch ∂u/∂x den Koeffizienten von x im Differential von u & durch du/dx das totale Differential von u geteilt durch dx darstellen.“

– Adrien-Marie Legendre: Memoire sur la manière de distinguer les maxima des minima dans le Calcul des Variations, 1786^[9]

Legendre stellte die Verwendung später ein. Carl Gustav Jacob Jacobi nahm sie 1841 wieder auf und verbreitete das ∂ weitreichend.^[6]

„Sed quia uncorum accumulatio et legenti et scribenti molestior fieri solet, praetuli characteristica d differentialia vulgaria, differentialia autem partialia characteristica ∂ denotare.“

„Da jedoch die Anhäufung von Haken für das Lesen und Schreiben noch mühsamer ist, bevorzuge ich die üblichen d charakteristisch für gewöhnliche Differentiale, für partielle Differentiale ist charakteristisch ∂ angegeben.“

– Carl Gustav Jacob Jacobi: De determinantibus Functionalibus, 1841^[10]

Anwendungen

${\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y)$ ist die partielle Ableitung von $f$ nach $x$ . Man braucht sie, wenn eine multivariable Funktion nach einer Variablen differenziert werden soll, um anzugeben, nach welcher.

${\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {x} }}={\frac {\partial (f_{1},f_{2},\cdots ,f_{m})}{\partial (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}}={\begin{pmatrix}{\cfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\cfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\cfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\cfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}$
nennt man die m×n-Jacobimatrix von $f$ nach $x$ (Matrix der partiellen Ableitungen der von n Variablen abhängigen m-dimensionalen Funktion $f$ ).

Neben partieller Ableitung, partiellem Differential und Jacobimatrix wird das ∂ auch in der Topologie als Rand einer Menge, in der homologischen Algebra als Grenzoperator in einem Kettenkomplex oder einer DG-Algebra und in der Dolbeault-Kohomologie als das komplex Konjugierte des Dolbeault-Operators über einer komplexen Differentialform verwendet. In der Linguistik benutzt man das ∂ für Präsuppositionen eines Satzes.^[11]

Kodierung

Kodierung in Unicode, HTML und LaTeX
Zeichen	Unicode		Bezeichnung	HTML			LaTeX^[12]
Zeichen	Position	Bezeichnung	Bezeichnung	hexadezimal	dezimal	benannt	LaTeX^[12]
∂	`U+2202`	partial differential	Partielles Differential	∂	∂	∂	`\partial`
𝛛	`U+1D6DB`	mathematical bold partial differential	Mathematische fette partielle Ableitung	𝛛	𝛛		`\mbfpartial`
𝜕	`U+1D715`	mathematical italic partial differential	Mathematische kursive partielle Ableitung	𝜕	𝜕		`\mitpartial`
𝝏	`U+1D74F`	mathematical bold italic partial differential	Mathematische fettkursive partielle Ableitung	𝝏	𝝏		`\mbfitpartial`
𝞉	`U+1D789`	mathematical sans-serif bold partial differential	Mathematische serifenlose fette partielle Ableitung	𝞉	𝞉		`\mbfsanspartial`
𝟃	`U+1D7C3`	mathematical sans-serif bold italic partial differential	Mathematische serifenlose fettkursive partielle Ableitung	𝟃	𝟃		`\mbfitsanspartial`

Weblink

Wiktionary: del – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Quellen

↑ Unicode-Zeichen „∂“ (U+2202), Daten zum Symbol
↑ Introduction to partial derivatives, Khan Academy
↑ Prof. Stefan Kooths, Nicole Wägner: Formel-Übersicht, Abschnitt Operatoren und Funktionen. Business and Information Technology School, 2014.
↑ Malcolm Pemberton, Nicholas Rau: Mathematics for Economists: An Introductory Textbook. University of Toronto Press, 3. Ausgabe 2011. ISBN 1442612762. Zitat S, 270/271: „pronounced 'partial-dee-eff-by-dee-ex'“.
↑ M. Y. Gokhale, N. S. Mujumdar, S. S. Kulkarni, A. N. Singh, K. R. Atal: Engineering Mathematics-i. Nirali Prakashan, 1981, Abschnitt 10.5. ISBN 8190693549. Zitat S. 10.2: „we read it as dabba z by dabba x (or del z by del x)“.
↑ ^a ^b ^c ^d John Aldrich: Earliest Uses of Symbols of Calculus, Abschnitt partial derivative. Website Jeff Millers, Quelle für gesamte Verwendungsgeschichte.
↑ Richard A. Silverman: Essential Calculus with Applications. Courier Corporation, 1977; zweite Ausgabe 1989, S. 216. Dover Publications Inc, New York. ISBN 0486660974
↑ Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet: Memoire sur les Equations aux différence partielles. In: Histoire de L'Academie Royale des Sciences, Annee M. DCCLXXIII (1773). S. 151–178, Zitat S. 152.
↑ Adrien-Marie Legendre: Memoire sur la manière de distinguer les maxima des minima dans le Calcul des Variations. In: Histoire de l'Academie Royale des Sciences, Annee M. DCCLXXXVI (1786), Paris, M. DCCXXXVIII (1788). S. 7–37, Zitat Fußnote S. 8.
↑ Carl Gustav Jacob Jacobi: De determinantibus Functionalibus. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 22, 1841, S. 319–352, S. 393–438 im 1. Band der gesammelten Werke.
↑ Ljudmila Geist, Björn Rothstein: Kopulaverben und Kopulasätze: Intersprachliche und intrasprachliche Aspekte. Linguistische Arbeiten, Band 512. Hrsg. Walter de Gruyter, 2012, Erstausgabe 2007. Max Niemeyer Verlag, Tübingen. ISBN 3110938839. S. 154, Zitat: »„∂“ dient als Marker für Präsuppositionen«.
↑ Will Robertson: Symbols defined by unicode-math (Memento vom 10. August 2020 im Internet Archive), 31. Januar 2020

[1] Unicode-Zeichen „∂“ (U+2202), Daten zum Symbol

[2] Introduction to partial derivatives, Khan Academy

[3] Prof. Stefan Kooths, Nicole Wägner: Formel-Übersicht, Abschnitt Operatoren und Funktionen. Business and Information Technology School, 2014.

[4] Malcolm Pemberton, Nicholas Rau: Mathematics for Economists: An Introductory Textbook. University of Toronto Press, 3. Ausgabe 2011. ISBN 1442612762. Zitat S, 270/271: „pronounced 'partial-dee-eff-by-dee-ex'“.

[5] M. Y. Gokhale, N. S. Mujumdar, S. S. Kulkarni, A. N. Singh, K. R. Atal: Engineering Mathematics-i. Nirali Prakashan, 1981, Abschnitt 10.5. ISBN 8190693549. Zitat S. 10.2: „we read it as dabba z by dabba x (or del z by del x)“.

[Aldrich-6] John Aldrich: Earliest Uses of Symbols of Calculus, Abschnitt partial derivative. Website Jeff Millers, Quelle für gesamte Verwendungsgeschichte.

[7] Richard A. Silverman: Essential Calculus with Applications. Courier Corporation, 1977; zweite Ausgabe 1989, S. 216. Dover Publications Inc, New York. ISBN 0486660974

[8] Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet: Memoire sur les Equations aux différence partielles. In: Histoire de L'Academie Royale des Sciences, Annee M. DCCLXXIII (1773). S. 151–178, Zitat S. 152.

[9] Adrien-Marie Legendre: Memoire sur la manière de distinguer les maxima des minima dans le Calcul des Variations. In: Histoire de l'Academie Royale des Sciences, Annee M. DCCLXXXVI (1786), Paris, M. DCCXXXVIII (1788). S. 7–37, Zitat Fußnote S. 8.

[10] Carl Gustav Jacob Jacobi: De determinantibus Functionalibus. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 22, 1841, S. 319–352, S. 393–438 im 1. Band der gesammelten Werke.

[11] Ljudmila Geist, Björn Rothstein: Kopulaverben und Kopulasätze: Intersprachliche und intrasprachliche Aspekte. Linguistische Arbeiten, Band 512. Hrsg. Walter de Gruyter, 2012, Erstausgabe 2007. Max Niemeyer Verlag, Tübingen. ISBN 3110938839. S. 154, Zitat: »„∂“ dient als Marker für Präsuppositionen«.

[12] Will Robertson: Symbols defined by unicode-math (Memento vom 10. August 2020 im Internet Archive), 31. Januar 2020

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