Zobecněná hypotéza kontinua

Zobecněná hypotéza kontinua (označovaná často zkratkou GCH z anglického Generalized Continuum Hypothesis) je matematická hypotéza z oboru teorie množin, konkrétněji z oboru kardinální aritmetiky.

Formulace hypotézy

Zobecněnou hypotézu kontinua formuloval v roce 1908 Felix Hausdorff v následující podobě:

Pro každé ordinální číslo $\alpha \,\!$ platí:
$2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}$

Zobecněná hypotéza kontinua tedy v podstatě tvrdí, že neexistuje žádná mohutnost mezi kardinálním číslem $\aleph _{\alpha }$ a mohutností jeho potenční množiny $P(\aleph _{\alpha })=2^{\aleph _{\alpha }}$ .

Speciálně pro $\alpha =0\,\!$ dostáváme $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$ , což není nic jiného, než Cantorova hypotéza kontinua (CH), která tvrdí, že nejmenší nespočetnou mohutností je mohutnost kontinua, tj. množiny reálných čísel.

Řešení GCH

Kurt Gödel ukázal ve 40. letech 20. století, že GCH je bezesporná s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin (ZF) – to znamená, že v ZF nelze dokázat její opak. (Přesnější by bylo mluvit o relativní bezespornosti – pokud je bezesporná ZF, pak je bezesporná i ZF obohacená o GCH.)

K důkazu použil třídy tzv. konstruovatelných množin – jedná se vnitřní model teorie množin (pokud přijmeme navíc axiom konstruovatelnosti – tj. předpoklad, že všechny množiny jsou konstruovatelné), ve kterém lze dokázat GCH.

Zajímavým výsledkem z roku 1960 je, že z GCH vyplývá platnost axiomu výběru – to znamená, že teorie vzniklá ze ZF přijmutím GCH je přimejmenším stejně silná, jako ZFC.

Související články