Moment hybnosti

Moment hybnosti je vektorová fyzikální veličina, která popisuje dynamicky rotační pohyb tělesa. Určuje se vzhledem k bodu nebo ose otáčení. Moment hybnosti bývá také označován jako kinetický moment, impulsmoment nebo točivost (starší literatura).

Značení

• Symbol veličiny: $\mathbf {L}$ , někdy také $\mathbf {b}$
• Jednotka SI: kilogram krát metr na druhou za sekundu, značka jednotky: kg·m²·s⁻¹

Definice

Hybnost $p$, moment hybnosti $L$, moment síly $\tau =M$, průvodič $r$ a síla $F$

Moment hybnosti $\mathbf {L}$ hmotného bodu vzhledem k počátku soustavy souřadnic je určen vektorovým součinem jeho průvodiče $\mathbf {r}$ a hybnosti $\mathbf {p}$,

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$.

Vztah k momentu síly

Vyjdeme-li ze vztahu $\mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F}$ pro moment síly, pak lze provést následující úpravu

$\mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=\left(\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} (m\mathbf {v} )}{\mathrm {d} t}}\right)+\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times m\mathbf {v} \right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {r} \times m\mathbf {v} )={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}$,

kde $\mathbf {r}$ je polohový vektor, $\mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}$ je rychlost, $m$ je hmotnost (hmotného bodu), $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ je hybnost, $\mathbf {M}$ je moment síly, $\mathbf {L}$ je moment hybnosti, $\mathbf {F}$ je síla. Při výpočtu bylo využito skutečnosti, že vektorový součin $\mathbf {v} \times m\mathbf {v}$, tzn. v rovnici člen $\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times m\mathbf {v} \right)$, je roven nule, a proto jej můžeme k rovnici bez obav přičíst. Tím bylo možno následně použít vzorec pro derivaci vektorového součinu.

Předchozí vztah lze slovně popsat tak, že změna momentu hybnosti vzhledem k danému bodu $O$ je co do velikosti i směru rovna momentu síly (vzhledem k témuž bodu), který na hmotný bod působí.

V soustavě hmotných bodů platí pro $i$-tý hmotný bod podle vztah $\mathbf {M} _{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}$. Z vlastností momentu síly pak plyne

$\mathbf {M} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {M} _{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {L} _{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}$,

kde $\mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {L} _{i}$ představuje celkový moment hybnosti.

Vztah k plošné rychlosti

Vztah mezi plošnou rychlostí $\mathbf {w}$ a momentem hybnosti je

$\mathbf {L} =m\mathbf {w}$,

což souvisí s platností druhého Keplerova zákona.

Vztah k momentu setrvačnosti

Při kruhovém pohybu lze rychlost vyjádřit jako $\mathbf {v} =\mathbf {\omega } \times \mathbf {r}$. Moment hybnosti soustavy $n$ hmotných bodů vzhledem k těžišti lze pak vyjádřit vztahem

$\mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}\left[\mathbf {r} _{i}\times m_{i}(\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} _{i})\right]$

kde $\mathbf {r} _{i}$ označuje polohu $i$-tého hmotného bodu s hmotností $m_{i}$ vzhledem k těžišti a $\mathbf {\omega }$ je úhlová rychlost pohybu tělesa kolem osy rotace jdoucí těžištěm.

Použitím dvojnásobného vektorového součinu dostaneme

$\mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[r_{i}^{2}\mathbf {\omega } -(\mathbf {\omega } \cdot \mathbf {r} _{i})\mathbf {r} _{i}\right]$

Moment hybnosti tělesa vzhledem k těžišti má tedy dvě složky. První má směr úhlové rychlosti, tedy směr osy rotace, druhá má ale jiný směr. Moment hybnosti tedy obecně nemá směr rotační osy. Označíme-li složky úhlové rychlosti $\mathbf {\omega }$ vzhledem k libovolné soustavě souřadnic s počátkem v těžišti a pevně spojené s tělesem jako $\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z}$ a složky průvodiče $\mathbf {r} _{i}$ jako $x_{i},y_{i},z_{i}$, můžeme předchozí vztah rozepsat do složek. Z vyjádření momentu setrvačnosti $J$ pak lze získat

$L_{x}=\omega _{x}J_{x}-\omega _{y}D_{xy}-\omega _{z}D_{zx}$

$L_{y}=\omega _{y}J_{y}-\omega _{z}D_{yz}-\omega _{x}D_{xy}$

$L_{z}=\omega _{z}J_{z}-\omega _{x}D_{zx}-\omega _{y}D_{yz}$

kde $J_{i}$ jsou momenty setrvačnosti k $i$-té ose a $D_{ij}$ jsou deviační momenty.

Pokud vztáhneme složky momentu hybnosti k soustavě souřadnic totožné s hlavními osami centrálního elipsoidu setrvačnosti, deviační momenty vymizí, a složky momentu hybnosti vzhledem k hlavním osám budou

$L_{1}=J_{1}\omega _{1}$

$L_{2}=J_{2}\omega _{2}$

$L_{3}=J_{3}\omega _{3}$

Pokud se těleso otáčí kolem osy, která je totožná s jednou z hlavních os setrvačnosti nebo kolem pevné osy, jsou složky úhlové rychlosti k osám kolmým k rotační ose nulové a moment hybnosti lze zapsat jako

$\mathbf {L} =J\mathbf {\omega }$

Moment setrvačnosti je možno brát jako symetrický tenzor druhého řádu podle formule

$J_{\kappa \lambda }=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[r_{i}^{2}\delta _{\kappa \lambda }-r_{\kappa }r_{\lambda }\right]$

(řecké indexy označují tři složky tenzorů, symbol $\delta _{\kappa \lambda }$ označuje Kroneckerovo delta ). Moment hybnosti tělesa je potom možno vyjádřit ve tvaru

$L_{\kappa }=\sum _{\lambda =1}^{3}J_{\kappa \lambda }\omega _{\lambda }$

a rotační energii tělesa ve tvaru

$E={\frac {1}{2}}\sum _{\kappa ,\lambda =1}^{3}J_{\kappa \lambda }\omega _{\kappa }\omega _{\lambda }$

Moment hybnosti tedy nemusí být nutně rovnoběžný s osou rotace, ale pokud nepůsobí vnější síla, zachovává svou velikost a směr. Naopak okamžitá osa rotace může vykonávat složitý precesní pohyb.

Rotační impuls

Pro časový účinek momentu síly můžeme v analogii s impulsem síly získat vztah pro impuls momentu hybnosti (rotační impuls) $\mathbf {b}$

$\mathbf {L} -\mathbf {L} _{0}=\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {M} \mathrm {d} t=\mathbf {b}$

Pokud je silový moment $\mathbf {M}$ po celou dobu působení stálý, je možné předchozí výraz zjednodušit na tvar

$\mathbf {L} -\mathbf {L} _{0}=\mathbf {M} (t-t_{0})$

Vlastnosti

Moment hybnosti má při rotačním pohybu podobný význam jako hybnost při pohybu přímočarém. Podobně jako je hybnost součinem hmotnosti a rychlosti v případě translačního pohybu, tak je moment hybnosti (tenzorovým) součinem momentu setrvačnosti a úhlové rychlosti v případě rotačního pohybu.

Pro celkový moment hybnosti izolované soustavy platí jeden z nejdůležitějších fyzikálních zákonů, zákon zachování momentu hybnosti. Pokud je celkový moment vnějších sil působících na soustavu nulový, tak se její celkový moment hybnosti zachovává. Platí například pro pohyb v poli centrální síly, jako v případě planet obíhajících okolo Slunce (2. Keplerův zákon).

Součet momentů vnitřních sil

Součet momentů vnitřních sil v soustavě je roven nule, protože:

1. Dva body na sebe působí silou přitažlivou nebo odpudivou (tzn. má směr shodný se směrem jejich spojnice)

2. Působí-li bod A na bod B, pak bod B působí na bod A silou stejně velikou, ale opačně orientovanou

Uvažme tedy vzoreček pro moment sil v soustavě hmotných bodů: $\mathbf {M} _{i}$ je moment hybnosti $i$-tého bodu. Mezi $i$-tým a $j$-tým bodem působí síla $\mathbf {F} _{i,j}=-\mathbf {F} _{j,i}$. Celkový moment vnitřních sil je $\sum \mathbf {M} _{i}=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times \sum _{j}\mathbf {F} _{i,j}=\sum _{i}\sum _{j}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i,j}$. Uvažujme nyní pouze interakci $i$-tého a $j$-tého bodu: $\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i,j}+\mathbf {r} _{j}\times \mathbf {F} _{j,i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i,j}-\mathbf {r} _{j}\times \mathbf {F} _{i,j}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\times \mathbf {F} _{i,j}$,

kde $\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}$ je spojnice $i$-tého a $j$-tého bodu. Dle prvního předpokladu na sebe tyto body působí silou, která je s jejich spojnicí rovnoběžná. A jak známo, vektorový součin rovnoběžných vektorů je roven nule.

Moment hybnosti v kvantové mechanice

V kvantové mechanice je moment hybnosti vždy kvantován. Výsledkem měření jedné komponenty momentu hybnosti (impulsmomentu) mohou být pouze násobky redukované Planckovy konstanty. Kvantován je i kvadrát momentu hybnosti.

Zcela novou vlastností je spin částic, vnitřní moment hybnosti určité částice. Na rozdíl od orbitálního impulsmomentu, který byl zmíněn výše, může nabývat komponenta spinu i poločíselných hodnot.

Při zavedení kvantového impulsmomentu vyjdeme z principu korespondence, kvantový impulsmoment je tedy definován takto:

$\mathbf {\hat {L}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\hat {p}}$

Z komutačních relací pro souřadnici a impuls $[{\hat {X}}_{k},{\hat {P}}_{l}]=i\hbar \delta _{kl}$ lze odvodit komutační relace pro impulsmoment:

$[{\hat {L}}_{k},{\hat {L}}_{l}]=i\hbar \varepsilon _{kln}{\hat {L}}_{n}$

Z těchto komutačních relací již plyne kvantování impulsmomentu. Pro vlastní vektory kvadrátu impulsmomentu a jeho třetí komponenty platí:

$\mathbf {{\hat {L}}^{2}} |lm\rangle =\hbar ^{2}l(l+1)|lm\rangle$

${\hat {L}}_{3}|lm\rangle =\hbar m|lm\rangle$

Kde $l$ je nezáporné celé nebo polocelé číslo. Pro určitou hodnotu $l$ může kvantové číslo $m$ nabývat pouze hodnot $-l,-l+1,\ldots ,l-1,l$, tedy celkem $2l+1$ hodnot.

Související články

• Hybnost
• Moment setrvačnosti
• Zákon zachování momentu hybnosti
• Rotační pohyb
• Orbitální moment hybnosti (záření)

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu moment hybnosti na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo moment hybnosti ve Wikislovníku

Autoritní data	BNF: cb119820349 (data) GND: 4150572-4 LCCN: sh85005144 NLI: 987007294057705171