Přeskočit na obsah

Komplexní analýza

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Graf funkce f(x) = (x2 − 1)(x − 2 − i)2 / (x2 + 2 + 2i). Barva reprezentuje argument, a jas reprezentuje absolutní hodnotu (magnitudu, velikost).

Komplexní analýza je obor matematické analýzy, který zkoumá funkce komplexních čísel. Je užitečná v mnoha odvětvích matematiky, včetně oborů jako algebraická geometrie, teorie čísel, aplikovaná matematika; ale i ve fyzice, např. v oborech jako hydrodynamika, termodynamika, mechanické inženýrství a elektrotechnika.

Komplexní analýza se nejvíc zabývá analytickými funkcemi komplexních proměnných (nebo obecněji meromorfními funkcemi). Protože reálná i imaginární část každé analytické funkce musí splňovat Laplaceovu rovnici, komplexní analýza je široce aplikovatelná na dvoudimenzionální problémy ve fyzice.

Murray R. Spiegel napsal, že komplexní analýza je „jedním z nejhezčích a nejužitečnějších oborů matematiky“.

Mandelbrotova množina, fraktál.

Komplexní analýza má kořeny v 19. století i dříve. Zabývali se jí známí matematici jako Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass a mnoho dalších v 20. století. Komplexní analýza, zejména teorie konformních zobrazení, má mnoho fyzikálních aplikací a používá se i v analytické teorii čísel. V současnosti se stala velmi populární díky novým podnětům z komplexní dynamiky a díky obrázkům fraktálů produkovaných iterací holomorfních funkcí. Další důležitá aplikace komplexní analýzy je v teorii strun, která studuje konformní invarianty v kvantové teorii pole.

Komplexní funkce

[editovat | editovat zdroj]
3D model komplexní funkce

Komplexní funkce je funkce, kde nezávislá proměnná i závislá proměnná jsou obě komplexní čísla. Přesněji, komplexní funkce je funkce, u které definiční obor i obor hodnot jsou podmnožiny komplexní roviny.

Pro každou komplexní funkci lze nezávisle proměnnou i závisle proměnnou separovat na reálnou a imaginární část:

tj.

kde a je imaginární jednotka.

Složky funkce :

a

lze interpretovat jako reálné funkce dvou reálných proměnných a .

Základní koncepty komplexní analýzy se často představují rozšířením elementárních funkcí reálné proměnné (např. exponenciální funkce, logaritmická funkce a trigonometrická funkce) do komplexní domény.

Komplexní exponenciála

[editovat | editovat zdroj]
Komplexní exponenciála

Komplexní exponenciálu komplexní proměnné můžeme zavést pomocí komplexní funkce reálné proměnné :

následujícím způsobem:

,

pro jejíž derivaci platí:

Holomorfní funkce

[editovat | editovat zdroj]

Holomorfní funkce jsou komplexní funkce definované na otevřené podmnožině komplexní roviny, které jsou diferencovatelné. Komplexní diferencovatelnost má mnohem větší důsledky než obvyklá (reálná) diferencovatelnost.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Complex analysis na anglické Wikipedii.

Literatura

[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy

[editovat | editovat zdroj]