Equicontinuïtat

En anàlisi matemàtica, una família de funcions és equicontínua si totes les funcions són contínues i tenen una variació equivalent sobre un veïnat donat, en un sentit precís descrit. Concretament, aquest concepte s'aplica a famílies comptables, i, per tant, seqüències de funcions.^[1]

Explicació de l'equicontinuïtat

Siguin $(X,{\mathcal {T}})\,$ espai topològic, $(Y,d)\,$ espai mètric, i $x_{0}$ un punt a $X$ . Un conjunt $H$ de funcions de $X$ a $Y$ es diu equicontinu a $x_{0}$ si i només si per a tot $r>0,\exists A$ entorn de $x_{0}$ tal que $\forall f\in H,f(A)\subseteq B(f(x_{o}),r)$

En particular, si $H$ és equicontinu a $x_{0}$ , aleshores totes les funcions que pertanyen a $H$ són contínues a $x_{0}$ .

Direm que $H$ és equicontínua si ho és per a tot $x_{0}\in X$ .

Exemples

Si $H$ és una família finita de funcions contínues, aleshores és equicontínua.
Si $(X,{\mathcal {T}})\,$ és mètric i totes les funcions de $H$ són Lipschitz contínues amb una mateixa constant $K$ , aleshores $H$ és equicontínua.
Sigui $(X,d)\,$ espai mètric compacte, si $\{f_{n}\}$ és una successió de funcions contínues de $K$ a $\mathbb {R}$ uniformement convergent, aleshores $\{f_{n}\}$ és equicontínua.
Si $X,Y\subseteq \mathbb {R}$ , totes les funcions de $H$ són derivables, i existeix una constant $L>0$ tal que $\forall f\in H,\forall x\in X,|f'(x)|<L$ , aleshores es compleix que totes les funcions de $H$ són Lipschitz contínues de constant $L$ , i, per tant, $H$ és equicontinu.

Aquesta última propietat és una de les més utilitzades per verificar l'equicontinuitat d'una família de funcions.^[2]^[3]

Referències

↑ Springer. [Equicontinuïtat, p. 238, a Google Books General Topology] (en anglès), 1975, p. 238. .
↑ Alan F. Beardon, S. Axler, F.W. Gehring, K.A. Ribet : Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems. Springer, 2000; ISBN 0-387-95151-2, ISBN 978-0-387-95151-5; page 49
↑ Joseph H. Silverman : The arithmetic of dynamical systems. Springer, 2007. ISBN 0-387-69903-1, ISBN 978-0-387-69903-5; page 22

Bibliografia

Michiel Hazewinkel (ed.). Equicontinuity. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Reed, Michael & Simon, Barry (1980), Functional Analysis (revised and enlarged ed.), Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-585050-6.
Rudin, Walter (1987), Real and Complex Analysis (3rd ed.), Nova York: McGraw-Hill.
Schaefer, Helmuth H. (1966), Topological vector spaces, New York: The Macmillan Company

[1] Springer. [Equicontinuïtat, p. 238, a Google Books General Topology] (en anglès), 1975, p. 238. .

[2] Alan F. Beardon, S. Axler, F.W. Gehring, K.A. Ribet : Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems. Springer, 2000; ISBN 0-387-95151-2, ISBN 978-0-387-95151-5; page 49

[3] Joseph H. Silverman : The arithmetic of dynamical systems. Springer, 2007. ISBN 0-387-69903-1, ISBN 978-0-387-69903-5; page 22

[1]

[2]

[3]