İntuitivizm

Riyaziyyat fəlsəfəsində intuisionizm və ya neointuisionizm (preintuisionizmə qarşı) riyaziyyatın obyektiv reallıqda mövcud olduğu iddia edilən fundamental prinsiplərin kəşfindən daha çox insanların konstruktiv zehni fəaliyyətinin nəticəsi hesab edildiyi bir yanaşmadır. Yəni məntiq və riyaziyyat obyektiv reallığın dərin xassələrinin aşkar olunduğu və tətbiq olunduğu analitik fəaliyyət hesab edilmir, əksinə, obyektiv reallıqda mümkün müstəqil mövcudluğundan asılı olmayaraq daha mürəkkəb psixi konstruksiyaların həyata keçirilməsi üçün istifadə olunan daxili ardıcıl metodların tətbiqi hesab edilir.

Həqiqət və sübut

İntuisionizmin əsas fərqləndirici xüsusiyyəti onun riyazi ifadənin doğru olması üçün nə demək olduğunu şərh etməsidir. Brouverin ilkin intuisionizmində riyazi müddəanın həqiqəti subyektiv iddiadır: riyazi müddəa zehni konstruksiyaya uyğundur və riyaziyyatçı müddəanın doğruluğunu yalnız intuisiya ilə həmin konstruksiyanın doğruluğunu yoxlamaqla təsdiq edə bilər. Həqiqətin intuisiyaistik anlayışının qeyri-müəyyənliyi çox vaxt onun mənası ilə bağlı yanlış şərhlərə səbəb olur. Kleene intuisiyaistik həqiqəti realist mövqedən formal olaraq müəyyən etdi, lakin Brouwer realist/Platonçu mövqeyini rədd etməsini nəzərə alaraq, çox güman ki, bu rəsmiləşdirməni mənasız kimi rədd edəcək. Buna görə də intuisionist həqiqət bir qədər qeyri-müəyyən olaraq qalır. Bununla belə, intuisiyaist həqiqət anlayışı klassik riyaziyyatdan daha məhdudlaşdırıcı olduğundan, intuisiyaçı sübut etdiyi hər şeyin əslində intuisiya baxımından doğru olmasını təmin etmək üçün klassik məntiqin bəzi fərziyyələrini rədd etməlidir. Bu, intuisiya məntiqinin yaranmasına səbəb olur.

Sonsuzluq

İntuisionizmin müxtəlif formaları arasında sonsuzluğun mənası və reallığı ilə bağlı bir neçə fərqli mövqe var.

Potensial sonsuzluq termini sonsuz addımlar silsiləsi olan riyazi prosedura aiddir. Hər bir addım tamamlandıqdan sonra yerinə yetirilməli olan başqa bir addım həmişə qalır. Məsələn, sayma prosesini nəzərdən keçirək: 1, 2, 3, …

Faktiki sonsuzluq termini sonsuz sayda elementləri ehtiva edən tamamlanmış riyazi obyektə aiddir. Nümunə olaraq natural ədədlər çoxluğunu göstərmək olar, N = {1, 2, …}.

Cantorun çoxluqlar nəzəriyyəsinin tərtibində çoxlu müxtəlif sonsuz çoxluqlar var, onlardan bəziləri digərlərindən daha böyükdür. Məsələn, bütün həqiqi R ədədlərinin çoxluğu N-dən böyükdür, çünki natural ədədləri həqiqi ədədlərlə təkbətək uyğunlaşdırmaq üçün istifadə etməyə çalışdığınız hər hansı prosedur həmişə uğursuz olacaq: həmişə sonsuz ədəd olacaq. "qalan" real ədədlərin. Natural ədədlərlə təkbətək uyğunluqda yerləşdirilə bilən hər hansı sonsuz çoxluğa "sayılan" və ya "saylana bilən" deyilir. Bundan daha böyük sonsuz çoxluqların "sayılmayan" olduğu deyilir.

Kantorun çoxluq nəzəriyyəsi müasir riyaziyyatın ən ümumi təməli olan Zermelo-Fraenkel çoxluq nəzəriyyəsinin (ZFC) aksiomatik sisteminə gətirib çıxardı. İntuisionizm qismən Kantorun çoxluq nəzəriyyəsinə reaksiya olaraq yaradılmışdır.

Müasir konstruktiv çoxluq nəzəriyyəsi ZFC-dən sonsuzluq aksiomasını (və ya bu aksiomun yenidən işlənmiş versiyası) və natural ədədlərin N çoxluğunu ehtiva edir. Müasir konstruktiv riyaziyyatçıların əksəriyyəti hesablana bilən sonsuz çoxluqların reallığını qəbul edirlər (lakin əks nümunə üçün Aleksandr Esenin-Volpinə baxın).

Brouver faktiki sonsuzluq anlayışını rədd etdi, lakin potensial sonsuzluq ideyasını qəbul etdi.