魏尔施特拉斯分解定理(英語:Weierstrass factorization theorem)是指任意整函数
可以分解为如下无穷乘积的形式:
![{\displaystyle f(z)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3080c6207563d0e82cd48ff1c177161fdda9e7ff)
![{\displaystyle z^{m}e^{g(z)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb19ccb5ae3b4b136104654ddd8e2d8939f2b651)
![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d670edcde9837ac5a5c8b34e5ba72ee3c162fbe4)
![{\displaystyle (1-{\tfrac {z}{a_{n}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/857ae425357710f3725d616ef386ae619c720344)
![{\displaystyle e^{{\tfrac {z}{a_{n}}}+{\tfrac {1}{2}}({\tfrac {z}{a_{n}}})^{2}+{\tfrac {1}{3}}({\tfrac {z}{a_{n}}})^{3}+\cdots +{\tfrac {1}{h}}({\tfrac {z}{a_{n}}})^{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a474416ceaa3a80165e47b57302023a69c2a38)
其中
是另一整函数,
是上述无穷乘积收敛的最小整数,称为亏格。
是魏尔施特拉斯的基本因子。这种无穷乘积称为典范乘积。求解
的方法一般是两边同时取对数再求导数,这样右边就可以化为无穷级数形式,通过对比无穷级数理论中的相关结果得出
的形式。
英文为primary factors或是elementary factors。也有译为“主要因子”的版本。[1]
对于任意的
,基本因子
的定义如下:[2]
其中,级数
。
对于级数
,有如下性质。以下性质在后续引理的证明中会用到(主要是3.、4.与5.)。
的情况下,
可被展开为
。接着两边同时积分,可得
。所以
的极限可以表示为
。
- 因为
,所以
。
- 如果将
与
之间的差额定义为新的级数
。
- 利用2.与3.改写
的定义式:
。改写后的基本因子定义式
将会在后续引理的证明中用到。
- 将3.的关系写成级数形式:
。
利用以上性质,可以证明下面的重要引理。该引理在后续证明魏尔施特拉斯分解定理时有关键性作用。[2]
引理 (15.8, Rudin): 对于
,
成立。
证明:
时,
显而易见。所以只讨论
的情况。
i) 将引理左边的部分(不带绝对值)定义为一个新函数
。后续称此式为式
。
运用性质4.与5.改写式
:
将指数部分展开后可得(为了简洁,系数用字母
表示):
整理后可得,
可以用一个新的级数来表示:
。将系数统一用
(如
)来标注的话,
。
将该结果微分,可得:
ii) 将式
直接微分,可得
将指数部分展开可得。
结论1:比较i)与ii)的结果。比较
项可知,
。同样的方法比较后续项可知,
皆为正的实数。
iii) 基于
新设一个级数
。因为极点是一个可消极点,所以这也是一个整函数。计算
所以在给定的条件
下,运用绝对值不等式的基本性质和结论1:
即,
成立。引理(15.8)证明完毕。
- ^ Boas, R. P., Entire Functions, New York: Academic Press Inc., 1954, ISBN 0-8218-4505-5, OCLC 6487790 , chapter 2.
- ^ 2.0 2.1 Rudin, W., Real and Complex Analysis 3rd, Boston: McGraw Hill: 301–304, 1987, ISBN 0-07-054234-1, OCLC 13093736 .