在數學中,考克斯特群是一類由空間中對超平面的鏡射生成的群。這類群廣泛出現於數學的各分支中,二面體群與正多胞體的對稱群都是例子;此外,根系對應到的外爾群也是考克斯特群。這類群以數學家哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特命名。
所謂考克斯特群,是一個群
寫成如下的表達式,即由滿足一些交互關係的生成元生成的群
![{\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d351823dfc3cc3241b16731504526e98d62bea2c)
其中
滿足
以及
對所有
。在此
意指
恆不等於單位元。
注意到
;若
,則
。且 m 滿足對稱性
。
令這組生成元為
。資料
稱為考克斯特群。方陣
稱為考克斯特矩陣。
有限考克斯特群的分類
設
為考克斯特群,可證明存在一個有限維實矢量空間
及其上的非退化雙線性形
(未必正定),使得
同構於正交群
的某個子群。由於
的元素均為二階,可視之為
中對某些超平面的鏡射。
利用
的展示,定義元素的長度如下:對
,定義其長度
為所有表法
中最短的
。由此可導出
![{\displaystyle \forall s\in S,\;\ell (ws)=\ell (w)\pm 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d836a039bb8d3ef95d93e48f6e72fac214418fb)
![{\displaystyle \ell (w^{-1})=\ell (w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0acc0ecd5ec4e8ad28103341bc1c2204e0f8af17)
- 對稱群
是考克斯特群。在此可取
為置換
;關係為
。
- 正多胞體的對稱:正多胞體的對稱群是有限考克斯特群。舉例明之:正多邊形的對稱群是二面體群,正 n 維單形的對稱群是前述的
,又稱為
型的考克斯特群。n 維超正方體的對稱群為
。正十二面體與正二十面體的對稱群是
。在四維空間中,存在三種特別的正多胞體──正二十四胞體、正一百二十胞體與正六百胞體,其對稱群分別是
。
可以由某些半正多胞體的對稱群得到。
- 仿射外爾群:仿射外爾群是無限群,但帶有一個正則阿貝爾子群,使得對應的商群是個外爾群。
一般而言,兩個群展示的同構與否是無法判定的。然而對考克斯特群則有一個簡單的判準,稱為交換條件。可以透過考克斯特-丹金圖分類有限考克斯特群。圖的構造方式為:
- 每個生成元對應到一個頂點。
- 若
,則頂點
之間有邊相連。
- 若
,則將邊標上
。
- Larry C Grove and Clark T. Benson, Finite Reflection Groups (1985), Graduate texts in mathematics, vol. 99, Springer.
- Paul Garrett, Buildings and Classical Groups (1997), Chapman Hall. ISBN 0-412-06331-X . PostScript 檔案下載 (页面存档备份,存于互联网档案馆) .
- James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups (1990), Cambridge studies in advanced mathematics, 29.