馮紐曼熵

量子統計力學入面，馮紐曼熵（英文：von Neumann entropy）係經典體系吉布士熵概念嘅拓展延伸。體系嘅馮紐曼熵係

$S{\dot {=}}-\mathrm {Tr} (\rho \ln \rho ),$

其中Tr表示求跡，$\rho$係體系嘅密度矩陣。

運用密度矩陣嘅本徵態向量分解表示

$\rho =\sum _{i}w_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|,$

可以得到：

$S=-\sum _{i}w_{i}\ln w_{i}.$

性質

馮紐曼熵有下列性質：

• $S=0\iff \rho$代表純態；
• $S=S_{\max }=\ln N\iff \rho$代表最大混合態，即係所有嘅$w_{i}$都等於$N^{-1}$，其中$N$係希爾伯特空間嘅維數；
• 對密度矩陣做酉變換，$S$唔變。
• 馮紐曼熵係密度矩陣嘅上凸函數：

$S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\,\rho _{i}{\bigg )}\,\geq \,\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\,S(\rho _{i}),\qquad \forall \lambda _{i}\geq 0,\sum _{i}\lambda _{i}=1;$

• 馮紐曼熵對獨立體系有加和性，即係：如果$A$同$B$係兩個獨立嘅體系，噉

$S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B}).$