梅森質數

梅森質數者，二之冪減一而得質數也。其式為二之某次冪減一（2ⁿ−1），某必質。此數得名於西洋梅森，實與希臘算學淵源有自。

今知此數僅五十有一，最鉅者為二之八千二百五十八萬九千九百三十三次冪減一，為已知最鉅質數。索梅森質數，昔恃人力，今賴籌算之器。始於一九五二年，西洋加州大學以籌算之器得五百二十一次冪者。其後，尋索不輟，屢有新得。

梅森質數與完全數密相關焉。希臘歐幾里得證：若二之某次冪減一為質數，則此數乘以二之某減一次冪為完全數。後世歐拉復證此為偶完全數之必要條件。

梅森數易驗其質性，蓋盧卡斯、萊默之法效率甚高。又便於籌算，故常用於生鉅質數及偽隨機數列。然梅森質數稀少，鉅梅森數難為因式分解，此其限也。

梅森質數之性質頗多。舉其要者：

一、若某為奇質數，則二之某次冪減一之因數必為二某之倍數加一。

二、梅森質數不能為維弗里希質數

三、若某與二某加一皆為質數，且某除以四餘三，則二某加一必為二之某次冪減一之因數。

論及梅森質數之無窮與布，猶未有定論。西洋學者猜想：梅森質數無窮，且其分布可預測。此為算學界未解之謎，頗堪深究。