GEOMETRIA ANALITICA

Enrique Cabrejas se dio cuenta de que las palabras españolas no eran tal y como las conocemos en la actualidad, no se refería en sus formas como todos podemos suponer sino a que fueron pensadas de otro y de distinto modo. Ni lo imaginan. Sí, lo que vemos como letras no son grafemas, unidades mínimas de escritura sino ideas. La ortografía española -según Cabrejas- es una escritura fonética, figurativa y también significada. Nuestros caracteres son ideogramas. ¡Asombroso! ¡Impensable! No obstante tiene lógica, las palabras son la representación de una lengua que es hablada aunque luego se transmita escrita. Averiguó que el diagnóstico dado para la lengua española es equivocado y la razón sencilla: Se le atribuye al latín nuestro alfabeto pero supo que no fue éste quien lo generó, por tanto tuvo que proporcionarlo otra lengua y entonces ¿cuál? Lo explica Cabrejas.

Nota: Usar procedimientos vectoriales para desarrollar los ejercicios. Evitar solo hacer uso de procedimientos algebraicos. 1. En cada uno de los ejercicios transfórmese la ecuación dada trasladando los ejes coordenados al nuevo origen a) xy + 3x − 2y − 7 = 0, O = (2, −3). b) 4x 2 + 9y 2 + 16x − 36y + 61 = 0, O = (−2, 3) c) 3xy + 15x − 6y − 31 = 0, O = (2, −5). 2. En cada uno de los ejercicios, por una translación de los ejes coordenados, transfórme la ecuación dada en otra que carezca de términos de segundo grado y términos de primer grado a) 4x 2 − 12y 2 + 12x − 3y − 10 = 0. b) 4y 3 − 24y 2 + 3x + 48y − 26 = 0. 3. ¿A qué punto debe trasladarse el origen para eliminar los términos lineales en cada una de las siguientes ecuaciones?¿Cuál es cada una de las ecuaciones transformadas? a) 9x 2 − 16y 2 + 90x + 192y − 495 = 0. b) xy + 8x − 7y − 59 = 0. c) 30xy + 24x − 25y − 80 = 0 4. En cada uno de los ejercicios, por una translación de los ejes coordenados, trans-fórme la ecuación dada en otra que carezca de términos de primer grado y término independiente a) 4x 3 − 24x 2 + 48x − y 2 − 2y − 33 = 0. b) 3y 3 − 36y 2 − 2x 2 + 144y − 194 = 0. c) 2x 3 − 12x 2 + 24x − y 2 − 2y − 17 = 0. d) y 3 − 12y 2 + 8x 2 + 16x + 48y − 56 = 0. 5. En cada uno de las siguientes problemas, se dan las ecuaciones de una curva en los sistemas XOY y X O Y. Hallar en cada caso, las coordenadas del nuevo origen a) 3xy − 5x + 3y − 8 = 0, 3x y + x − 3 = 0. b) 2x 2 + 2y 2 − 6x + 10y + 8 = 0, x 2 + y 2 + x + 3y = 0.

Ana Liska de Nuyens es una artista guatemalteca de origen checoslovaco, que dedica su obra al sentido de reconocimiento del potencial de cada persona. Este texto curatorial lo escribí por su muestra PERCEPCIONES DIVIDIDAS, que responde a los principios PSICOGEOMÉTRICOS TOTALMENTE.

Questo articolo si propone di indicare delle strategie alternative per determinare l'equazione cartesiana della retta tangente al grafico di particolari funzioni irrazionali (riconducibili alle coniche), senza utilizzare gli strumenti tradizionali del calcolo differenziale.

Este libro es el resultado del Proyecto Institucional de Uso de la Geometría Dinámica, el cual nace para dar continuidad e institucionalidad al proyecto nacional Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas, liderado por el Ministerio de Educación Nacional desde 2000 hasta 2002 y coordinado por la Universidad Industrial de Santander desde 2000 hasta 2008.

Este proyecto constituyó un experimento a gran escala del uso de la tecnología en la enseñanza de las matemáticas en secundaria. Profesores de colegio y universidad trabajaron en equipo para enfrentar los retos planteados por la introducción de las herramientas digitales. Como fruto de esa experiencia se identificaron múltiples transformaciones debido al impacto de esas herramientas: transformación de las concepciones y prácticas matemáticas; transformación de las relaciones entre los profesores y el saber; entre los alumnos y el saber; entre los alumnos y los profesores; transformación de las formas de organización de la clase y de las responsabilidades administrativas en la institución; y transformación del currículo de matemáticas, entre otras. Con el paso de los años el uso de la tecnología en algunos de los colegios participantes se abandonó. Los profesores formados no lograron multiplicar el conocimiento recibido al interior de las instituciones, y terminaron aislados de sus colegas de trabajo. Además, aunque los profesores capacitados aplicaron algunas actividades de clase con sus estudiantes, no lograron crear nuevas actividades que se ajustaran a los planes de área y de aula exigidos en las instituciones.

En respuesta a esas debilidades encontradas, el grupo de investigación Edumat-UIS formuló el Proyecto Institucional de Uso de la Geometría Dinámica, mediante el uso de la Ingeniería Didáctica como marco metodológico y la Teoría de las Situaciones Didácticas como marco teórico para el análisis de las actividades. El objetivo del proyecto se centró precisamente en la transformación curricular con base en que la incorporación de las tecnologías en el aula abre un conjunto de posibilidades en el campo de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, pero también nuevas necesidades de formación de los profesores de matemáticas pues esto exige el conocimiento de nuevas estrategias de enseñanza, diseño de materiales y nuevas relaciones de trabajo entre el profesor y su propia práctica docente.

Lógica, Números, Funciones, Conjuntos, propiedades de las operaciones entre conjuntos, cuantificadores,  números reales,  expresiones algebraicas, valor absoluto, Ecuaciones, Inecuaciones, Técnicas de conteo,  Teorema del Binomio, Sucesiones,  Trigonometría, Números complejos, Geometría plana, Semejanza y Congruencia, Circunferencia y circulo, Geometría del espacio, prisma, poliedro, área de poliedro, cuerpos de revolución, estadística descriptiva,  medidas de tendencia central y no central,  medidas de dispersión, media, mediana, moda,  probabilidades,  conjunto y probabilidad.

Constituye una representación visual de un objeto tridimensional en dos dimensiones, en la que los tres ejes ortogonales principales, al proyectarse, forman ángulos de 120º, y las dimensiones paralelas a dichos ejes se miden en una misma escala. Perspectiva Caballera: Es un sistema de representación que utiliza la proyección paralela oblicua, en el que las dimensiones del plano proyectante frontal, como las de los elementos paralelos a él, están en verdadera magnitud. Los ejes X e Z forman un ángulo de 90º, y el eje Y suele tener 45 Perspectiva Cónica: Sistema de representación que más se asemeja a la visión humana, es por esto por lo que es usado para dotar al dibujo de una sensación de realidad, ya que se logra una aparente profundidad que nos permite valorar la posición particular de cada for-ma en el espacio. Elementos: *PLANO DE CUADRO:Plano sobre el que se proyecta un sistema de líneas procedentes de un objeto para formar una imagen o dibujo. *LINEA DE HORIZONTE:Línea imaginaria que se halla delante nuestro y se encuentra justo al nivel de nuestros ojos. *LINEA DE TIERRA: Es la línea imaginaria donde se apoya el modelo a reproducir. Por lo que la distancia entre la línea de tierra y el punto de fuga será igual a la que existe entre el suelo. *PUNTO DE VISTA:Es el punto desde donde miramos. Se halla situado en el mismo plano que la línea del horizonte y a la misma altura que el punto de fuga.

1 Exercícios da Aula 1 2. Determine o ponto D, tal que CD ≡ AB, onde A = (−1, −1) e B = (2, 1 2). a. C = (1, −1). b. C = (0, − √ 2). c. C = (1, 2). d. C = (− √ 3, √ 3). Solução: a. C = (1, −1). Seja D = (d 1 , d 2), como CD ≡ AB, CD e AB são representantes do mesmo vetor v. Então as coordenadas de v são AB = (2 − (−1), 1 2 − (−1)) = (3, 3 2), mas também CD = (d 1 − 1, d 2 − (−1)). Segue que d 1 − 1 = 3 e d 2 + 1 = 3 2 , ou seja D = (4, 1 2). 3. Determine se os segmentos orientados AB e CD são equipolentes, onde: a. A = (0, 3), B = (3, 0), C = (1, 1), D = (−1, −1). b. A = (1, 1), B = (3, 1), C = (0, 1), D = (2, 1). c. A = (1, −3), B = (1 2 , − 1 3), C = (1, 0), D = (− 1 2 , 1). d. A = (1, −3), B = (1 2 , 1), C = (1, 0), D = (− 1 2 , 1). Solução: a. Os segmentos orientados AB e CD são equipolentes se o ponto médio de ADéADé igual ao ponto médio de BC. O ponto médio de ADéADé M AD = (0−1 2 , 3−1 2) = (− 1 2 , 1). O ponto médio de BCéBCé M BC = (3+1 2 , 0+1 2) = (2, 1 2). Sendo M AD = M BC , os segmentos orientados AB e CD não são equipolentes. b. Os segmentos orientados AB e CD são equipolentes se o ponto médio de ADéADé igual ao ponto médio de BC. O ponto médio de ADéADé M AD = (1+2 2 , 1+1 2) = (3 2 , 1). O ponto médio de BCéBCé M BC = (3+0 2 , 1+1 2) = (3 2 , 1). Sendo M AD = M BC , os segmentos orientados AB e CD são equipolentes. 4. Determine as coordenadas do ponto P , tal que OP = AB, onde: a. A = (1, −1), B = (3, 4). b. A = (− 3 2 , 1 2

1736-10 de abril de 1813), fue un matemático, físico y astrónomo italiano que después vivió en Prusia y Francia. Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en todo punto del intervalo abierto (a,b), entonces existe al menos un punto c donde f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a). H) f(x) es continua en [a,b] f(x) es derivable en (a,b)

Nella maggior parte dei libri di testo in adozione nei licei scientifici, le trasformazioni affini vengono trattate come un argomento a sé stante e ne viene confinata l'applicazione esclusivamente a limitate tipologie di problemi.[...] Questo articolo ha lo scopo di estendere, mediante alcuni esempi opportunamente scelti, il campo di applicabilità delle affinità al caso delle coniche. Reputo fondamentale proporre in classe alcuni di questi problemi, per mostrare come le trasformazioni del piano possano proficuamente "entrare in campo" in situazioni, a priori, del tutto sconnesse con il loro ambito tradizionale.

GJEOMETRIA ANALITIKE GJENDET:
Ne Tirane: tek LIBRI UNIVERSITAR
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Resumen El GeoGebra es un software diseñado principalmente para la enseñanza de la Matemática en cualquier nivel educativo, es de código abierto y es gratuito; pero que además puede ser utilizado en otras áreas del conocimiento como la Física y por supuesto para la enseñanza de la misma, en este caso particular para construcción de diagramas de cuerpo libre y como un complemento para la edición de imágenes, gracias a que con GeoGebra cuenta con elementos como vectores, circunferencias, rectas paralelas y demás objetos geométricos, que como es sabido también son indispensables en la Física, tanto para explicación de conceptos, resolución de problemas, así como para la edición de material didáctico. Abstract GeoGebra is a software designed primarily for teaching of Mathematics at any educational level, it is open source and free. Can also be used in other areas of knowledge such as Physics for the construction of free body diagrams and as a complement for image editing. GeoGebra has elements such as vectors, circumferences, parallel lines and other geometric objects, essentials in Physics for explaining concepts, solving problems, and editing teaching materials.

This paper objectively presents a provable construction of generating a length of magnitude  , as the geometrical solution for the ancient problem of doubling the volume of a cube. Cube duplication is believed to be impossible under the stated restrictions of Euclidean geometry, because the Delian constant  is classified as an irrational number, that was stated to be geometrically irreducible (Pierre Laurent Wantzel, 1837) [1]. Contrary to the impossibility consideration, the solution for this ancient problem is theorem  , in which an elegant approach is presented, as a  refute to the cube duplication impossibility statement. Geogebra software as one of the interactive geometry software is used to illustrate the accuracy of the obtained results, at higher accuracies which cannot be perceived using the idealized platonic straightedge and compass construction.

Materiales creados para los alumnos y los docentes de matemáticas del bachillerato de la Universidad Iberoamericana Tijuana, de 2007 a 2009.
1) El surgimiento de la geometría analítica
2) La recta
3) La circunferencia
4) La parábola
5) La elipse

The determination and projection of an oblique line by means of the Cartesian coordinates (X, Y, Z) of its ends, without the straight line passing by the origin (0,0,0), or defining the same straight line by means of the width, height, and depth of its ends, is a major question to find the true lenght of the straight line as well as the true angle of inclination in relation to the horizontal support plane [H] or isoplane XY. In descriptive geometry it is solved with an auxiliary elevation view, where the straight line and the angle of inclination are projected in true magnitudes. In Analytical Geometry we use the property of the directing cosines of the vector that passes through the Cartesian origin; and in the area of Calculus we use the application of a directional vector, which must be parallel to the straight line that contains the two points given with parametric equations. In short, there is no explicit formula for the straight line in a 3-D Cartesian coordinate system. The fundamental purpose of this study is to implement a methodology to find the true length of the oblique line as well as its slope in relation to the XY isoplane by the joint use of the differential rectangular displacements or delta (Δ) projected on the three Cartesian axes, which allow the design of new simple mathematical formulas based on the Pythagorean theorem and basic trigonometric functions. Keywords: True length and slope of a 3-D straight line, 3-D Cartesian coordinate system, Rectangular differential displacements, Pythagorean triangle 1. INTRODUCTION In Descriptive Geometry, it is frequently analyzed and studied the geometric and spatial relations, together with the theory of dihedral projection, to solve projective problems of various geometric objects; the user must apply the appropriate norms and theorems during the process of obtaining the auxiliary orthogonal views, until finding a graphical solution represented in a two-dimensional (2-D) plane or paper space [1]. For the representation of spatial objects, the creation of a broad variety of geometric shapes, the simple acts of abstracting, setting out, and analyzing a particular geometrical problem are part of an enriching experience to increase the level of imagination [2-6]. Undoubtedly, imagination and cogitation in the presence of a geometric problem allow us to establish conjectures or interesting experiments to expand new horizons of knowledge and research, with strong bonds with the sciences related to design, measurement, and construction, such as: Mathematics, Architecture, Engineering, Design, etc. [7-10]. AutoCAD [11-14] and similar software for drawing [15-17], give a high level of imagination on the development of the ability to create new three-dimensional (3-D) shapes and structures, facilitates the complex tasks of drawing auxiliary projections, constructive processes, and elaboration of dynamic virtual models. On the other hand, the process of dimensioning and of reading Cartesian coordinates is important to corroborate data of linear and angular magnitudes, which can be incorporated in mathematical and geometric formulas. These true magnitudes are used for the input of parametric data in the 3D Studio Max program [18], a powerful program that allows creating objects, to modify them, to map them, and to move them in real time; when incorporating a camera in the 3-D scene, it is possible to obtain renderings in image or video format. This dynamic digital experience allows the user-researcher to check the demonstrations and constructive processes that have been carried out and, consequently, may come to formulate conjectures or new ideas that can be implemented in future investigations. This study focuses on one of the most representative problems presented by an oblique line in a 3-D Cartesian coordinate system, which consists in determining the true length and slope in relation to the horizontal support plane, by using the differential rectangular displacements of their Cartesian coordinates, and establishing a connection with mathematics and trigonometry by designing novel simple formulas.

Indiscutiblemente las matemáticas constituyen una herramienta
esencial para el desarrollo de casi todas las áreas del
conocimiento: son fundamentales como soporte estructural
para el modelado de diversos fenómenos en ramas que van
desde la física, ingeniería, medicina, biología, estadística,
ciencias sociales, economía y ciencias afines. Esto se ve
reflejado en el aporte que prestan en la solución de diferentes problemas que de otra forma resultaría imposible resolver. Enfrentarse y buscar la solución a estos problemas, implica el conocimiento de los elementos necesarios para lograr tal objetivo. En este primer curso de Matemáticas se busca familiarizar al estudiante con parte de estos elementos básicos.

Inicialmente se introduce una breve descripción de la Lógica
Proposicional, Teoría de Conjuntos, como soporte necesario para la
Construcción de los Sistemas Numéricos, particularmente haciendo énfasis
en el conjunto de los números reales. Una correcta interpretación en
lenguaje matemático de las diversas variables que intervienen en la
solución de los diferentes problemas de aplicación requieren de una buena
Fundamentación Algebraica.

Así mismo esta interpretación matemática establece relaciones entre
las variables que deben representarse de forma conveniente: para esto se
presentan los conceptos de Función y de Ecuación y algunas de sus
diversas aplicaciones. En particular, el concepto de Matriz, como
herramienta para la solución de sistemas de ecuaciones lineales. En este
punto el estudiante está en capacidad de aplicar los conocimientos
adquiridos en la solución de problemas: en particular para las Ecuaciones
de Oferta y Demanda.

En muchos casos es necesario comparar el comportamiento de
diferentes variables. Lo anterior requiere, por lo general, la aplicación del
concepto de Desigualdad, tema del último UNIDAD TEMÁTICA
correspondiente al curso. Una adecuada preparación garantiza enfrentar
con éxito el camino que se requiere para lograr los objetivos propuestos:
un acercamiento a la matemática como herramienta básica para el
desarrollo de metas concretas.

TRACTRIZ. Descripción de esta curva con sus ecuaciones y características métricas. Especial porque relaciona las funciones hiperbólicas con las trigonométrica. Como cuerpo de revolución es denominada "pseudoesfera" porque tiene la misma superficie y volumen/2 que una esfera y curvatura constante negativa. Por sus propiedades ha sido utilizada en muchos estudios geométricos y diseños. Al final se estudia la tractriz polar, obtenida de forma similar pero barriendo una segmento recto constante sobre una circunferencia en lugar de una recta, siempre tangente a la curva.

Premessa 4
Il globo andante 7
L’orologio solare di Glauco de Mottoni 13
Il tracciato della linea meridiana in un documento
Di Silvestro II Papa 17
In ricordo di uno gnomonista: Giusto Bellavitis 27
Modo di fare con facilità grandissima gl’Orologi
a sole nelli muri… 35
Un orologio universale indipendente dalla
Meridiana 37
Storia degli orologi solari portatili e sulla
successione cronologica degli orologi rettilinei 39
Il fascino degli orologi equinoziali 69
L’orologio del Re Achaz e il miracolo di Isaia 77
L’orologio solare ad ore Italiche e Babiloniche
di Valentino Pini 91
L’orologio Meridiano 97
Curiosità gnomoniche dei Lumi: orologi portatili 101
Frammenti di orologi solari greco-romani
negli scavi archeologici 117
L’orologio sullo Zoccolo di Oddi Muzio 135
L’orologio orizzontale italico per via di numeri 139
Ampliamento al libro Storia della Gnomonica 143
Orologi solari greco-romani 145
Il solarium di Palestrina 159
Sciatericum Telescopicum 175
L’orologio astronomico di Lorentz-Grassi 178
L’orologio solare floreale 181