Descriptive Geometry

The paper addresses the issue of perpendicularity in axonometric projection, almost ignored by most of the Descriptive Geometry books for students in engineering and architecture. This problem is usually approached in an operational way, identifying lines and planes, perpendicular to each other, as a solution to metric problems, but outside of an accomplished theoretical treatment, which defines the necessary and sufficient conditions of perpendicularity. The more in-depth texts, at most, provide some general mention of that problem, indicating the high road in the application the polarity. On the basis of a student's intuition, our group has developed an unusual and interesting formulation of the perpendicularity condition, between straight line and plane, in isometric cavalier projection, precisely in "military axonometric projection". This condition completely disregards polar and anti-polar, rebatments of planes and switching in Monge method. Its geometrical proof, moreover, is very simple and the identification of the perpendicular to a generic plane requires only three steps. The formulated perpendicularity condition, moreover, is valid for any type of isometric cavalier projection; or rather when the projection plane coinciding with one of the reference's planes, and the projector is an oblique direction, inclined by 45° to the projection plane. Given the traditional difficulty of directly expressing the perpendicularity condition in axonometric projection, it is a very important result, not only because it allows simpler and faster graphical procedures, but mainly because it fills a real emptiness of the isometric model, offered in the courses for architects and engineers, which then appeared unfinished as completely independent model.

الجزء الاول من الفصل هذه المادة يتناول اولا المفاهيم الأساسية للهندسة الوصفية ، ومن ثم تطبيقاتها العملية من خلال طرق الإظهار المعمارية  المختلفة (إسقاطات عمودية, اكسنومتري, منظور),  وذلك من خلال استخدام أدوات الرسم التقليدية (مسطرة وفرجار). 
أما الجزء الثاني من الفصل فيتناول التطبيقات العملية  لمفاهيم الاظهار المعماري باستخدام ادوات الرسم والنمذجة الرقمية (اوتوكاد) .
الجزء الاول من الفصل يتناول المواضيع النظرية التالية:

Publikation der Dissertation "Fotografie und das Dispositiv Perspektive". Link zum Verlag: https://www.kulturverlag-kadmos.de/buch/perspektive-in-der-fotografie.html


Perspective in photography.
Studies on the naturalisation of the camera image, Berlin: Kadmos 2018. Publication of my Dissertation "Fotografie und das Dispositiv Perspektive" in German with an english summary and table of contents.


This book explores the significance of the tradition of linear perspective for the medium of photography. As a paradigmatic apparatus (in French: dispositif), perspective plays a central role in Western cultural traditions. In the pictorial tradition, perspective defines the iconic representation of a picture as a symbolic gaze through a window that confronts a reality. In perspective, the flat two-dimensional surface of a picture symbolizes a three-dimensional space, as well as a subject, in the form of a ‘natural’ gaze as the organizing instance of the pictorial space. It is here that the symbolic function of the perspectival apparatus emerges: The subject inside this structure claims a true and autonomous representation and interpretation of the world. Through such a claim, the holistic, theocratic world view was brought into question and multiple anthropocentric views with universal validity came into being. These formal and symbolic functions of perspective can also be traced within the medium of photography. Because of the special realism of photography, perspective was often understood as a natural and obvious effect of the camera. This belief strengthened confidence in the mechanical objectivity of photographic images. By contrast, this study does not take the neutrality and obviousness of perspective in photography for granted; instead, it tries to show that, in the medium of photography, perspective functions as a cultural substructure. On this basis, there were two questions that oriented the work. The first asks how perspective functions as an apparatus in photography, the second how perspective determines the iconic structure of the photographic index.
Prehistories of photography usually understood perspective as a fundamental historical origin of photography. Through the invention of linear perspective during the Renaissance, in around 1420, a long causal history was set in motion. As Heinrich Schwarz proposed, the realism that perspective introduced to painting was to culminate in the invention of photography in the 1830s. The first chapter of my work is a critical examination of such macro-historical interpretations of perspective. Through this I develop a different working method, one which was implied by some remarks of the scholars of perspective Erwin Panofsky and Hubert Damisch. The core of these remarks bears the idea that perspective was incorporated in the internal geometry of the photographic camera, or to put it in other words: The projection of light that takes place inside the camera works according to the system of perspective.

La Geometría Descriptiva es exacta; quizá por esto la vemos como ciencia y en ocasiones ha sido incluida entre las matemáticas. Pero no vio la luz en el silencioso gabinete de un sabio; nació entre la polvareda de las lonjas de los canteros y el fragor de los duelos de artillería. Muchas de las nociones centrales de la disciplina, como la proyección ortogonal o el abatimiento, no fueron concebidas en abstracto; por el contrario, tomaron forma empíricamente en manos de los artífices del último gótico y el Renacimiento. Gaspard Monge, profesor de Teoría del Corte de las Piedras en la Escuela de Ingenieros de Mezières, no hizo otra cosa que sistematizar este saber y acuñar la expresión que todavía lo designa. Una de estas nociones que han cristalizado lentamente, por prueba y error, es la de superficie reglada; todavía aludimos a la regla de los canteros cuando la nombramos. También es antigua la distinción entre regladas desarrollables y alabeadas o engauchidas, pero el conocimiento de las propiedades de estas superficies no avanzó sin esfuerzo; durante largo tiempo se intentó desarrollar las superficies alabeadas y labrarlas con ayuda de plantillas. Visto con los ojos de nuestra época, el empeño es absurdo; pero en la edad de oro de la cantería clásica, en un arco temporal que va de 1560 a 1730, se pusieron en práctica algunas soluciones ingeniosas al problema, tanto en España como en Francia. Por tanto, consideramos que puede tener interés analizar el tratamiento de las superficies regladas en algunos manuscritos españoles de cantería, como los de Alonso de Vandelvira y Ginés Martínez de Aranda, para comprender mejor la formación empírica, por acumulación de una lenta experiencia, de estos conceptos.

La letteratura scientifica che tratta l'evoluzione del metodo di rappresentazione prospettica prende in considerazione un ampio periodo che va dai primi trattatisti del Rinascimento sino alla prima metà del XIX secolo, trascurando però completamente gli avvenimenti degli ultimi centocinquant’anni. Ad oggi, l’opera più completa sul tema è il repertorio commentato dei trattati sulla prospettiva che Noël Germinal Poudra compone e pubblica nel 1864 dal titolo “Histoire de la perspective ancienne et moderne”, seguendo un percorso che muove dalle opere antiche sino ai trattati a lui contemporanei. Osservando gli attuali testi di geometria descrittiva si può notare come il metodo della prospettiva abbia subìto consistenti e importanti trasformazioni, nei procedimenti, nel lessico e nelle finalità, rispetto ai trattati del passato, ed è proprio di questa evoluzione, relativamente recente, che il presente studio si è occupato, prendendo in considerazione un consistente numero di contributi pertinenti, circa cento pubblicazioni, che hanno segnato la storia della prospettiva degli ultimi centocinquant’anni.
L’analisi dei testi esaminati ha messo in evidenza la permanenza, sino a tutta la prima metà del Novecento, della distinzione netta tra due diversi modi di teorizzare e praticare la prospettiva, quello matematico da una parte, e quello artistico e tecnico dall'altra. I matematici svilupparono infatti la prospettiva come proiezione centrale, esponendo i principi proiettivi a fondamento del metodo e risolvendo, sul piano puramente astratto, tutti i problemi grafici e metrici fondamentali, integrando in alcuni casi queste riflessioni con approfondimenti di carattere applicativo sui procedimenti prospettici classici. Di tutt'altra natura sono invece le trattazioni degli artisti che, con scopi completamente diversi, affrontarono il tema della prospettiva come illustrazione, costruita grazie ai procedimenti indiretti della trazione classica e per questo del tutto dipendente dal metodo delle proiezioni ortogonali, diffuso e noto anche in ambito accademico.

De todos los Sistemas de Representación, el Diédrico se considera básico para poder estudiar,
con posterioridad, los demás. Por este motivo, goza de un mayor peso específi co en el
programa de la asignatura de Geometría Descriptiva lo que conlleva, consecuentemente, una
mayor dedicación. No obstante, también se ha prestado especial interés al resto de sistemas para
estructurar, adecuadamente, el programa, pudiendo así, el alumno, conocer de forma completa
la asignatura.
Es esencial destacar que la realización de los ejercicios se produzca entendiendo, profundamente,
cada una de las construcciones realizadas y su correspondiente visión espacial. En
muchos casos, requerirá el repaso de conceptos previos de Geometría, siendo fundamental la
utilización de libros de consulta.
Los ejercicios se realizarán en los formatos y según las condiciones dispuestas en los enunciados
y los dibujos han de realizarse a lápiz sin borrar los trazados auxiliares.
En referencia a la notación empleada, los elementos del espacio aparecen con letra mayúscula
(Punto A, Recta R y Plano P), las proyecciones de los puntos con letra minúscula (llamamos a
a la proyección horizontal de A y a’ a su proyección vertical), las proyecciones de la recta también
con letra minúscula (r proyección horizontal de R, r’ proyección vertical de R), los abatimientos
entre paréntesis ((A) abatimiento del punto A). Cuando se trata de un punto A, B,… podemos
referirnos a sus proyecciones (a, a’), (b, b’),…
El presente documento se ha elaborado con la intención de ser una herramienta útil para
los estudiantes de carreras técnicas y, en general, para todos aquellos que se aventuran en el conocimiento
de la Geometría Descriptiva.

ورودی بقعۀ شیخ‌ عبدالصمد، در ضلع جنوبی و مجاور با دیوارۀ منارۀ رفیع سی و هفت متری آن واقع شده است. از این مدخل ابتدا به یک هشتی و از آنجا با عبور از شبستان کوچکی به مزار شیخ دسترسی می‌یابیم. این مقبره به‌وسیلۀ دالانی به یک دهلیز در مسجد مجاور متصل می‌شود. این سردر رفیع، مملو از کاشی‌های فیروزه و آبی لاجورد است که در ترکیب با خشت‌های پختۀ منقوش بدون لعاب معرق‌کاری شده‌اند؛ و فضایی مُلوّن و مَملو از آرامش و زیبایی را شکل داده‌اند. مقرنس‌کاری‌های زیر طاق ورودی که از کاشی‌های چند سانتی‌متری ریزنقشی با درایت و دقت عمل پُر شده‌اند در هارمونی کامل با کاشی‌کاری‌های نُغول‌ها (فرورفتگی‌های طاقچه‌مانند) و همنشینی با تراش‌های هندسی دقیق گره‌های موجود در این بخش قرار گرفته‌اند. کتیبه‌های معرق کاشی کوفی بنایی و ثلث بدون لعاب در زمینه‌ای از بافت کاشیکاری، ریتمی بصری را از پایین تا بالا در چرخشی اعجاب‌آور ایجاد کرده‌اند که بیننده با خیره‌شدن به آن یارای ورود به داخل بنا را نمی‌یابد. به نظر می‌رسد طراحان و استادکاران به سفارش بانیان بنا، به تناسب هرجا توانسته‌اند با قرار دادن نقش‌ونگاری نمادین، ارجاعاتی به مفاهیم اسلامی و گرایشات مذهبی یا المان‌های صوفیانۀ فرقۀ خود و شیخ نطنزی پرداخته‌اند.
تمرکز این بنا بر نقوش هندسی، توجه انسان را از جهان مادی به جهان صور محض معطوف می‌کند. یکی از نقوش پرتکرار هندسی به‌کار رفته در بنا «شمسه» است. شمسه در هنر اسلامی، مجموعه‌ای از اشکال هندسی است که از مرکز یک دایره شروع شده و همانند شعاع‌های خورشید به اطراف گسترده می‌شود؛ علاوه بر آن دایره، هم دربردارنده و هم زیرساخت چندضلعی‌های متنوع نیز به‌شمار می‌رود. نقش شمسه، نزد اهل تصوف و عرفان، نماد انوار حاصل از تجلیات قدسی و حقیقت نور خدا و احادیث است و از آنجا که نور نزد صوفیان به اعتبار حضور حق و فی‌النفسه وجود حق است، نقوش شمسه و ستاره می‌تواند استعاره‌ای از نور الهی باشد که بنیاد عرفان و حکمت شرق محسوب می‌شود

الاظهار المعماري هي الطريقة التي تمكن من رسم (ثنائي الابعاد) او نمذجة (ثلاثية الابعاد) ل بناء معين، سواء كان موجود بالفعل (من خلال عمليات المسح المعماري)  أو في مرحلة التصميم (من اجل تحقيق فهم أفضل للبناء المستقبلي.
لكون البنية المعمارية عمل معقد وممفصل بأبعاد فراغية كبيرة، على عكس غيرها من أشكال الفن مثل الرسم والنحت، فإنها لا تظهر للمشاهد بشكلها الكامل. الرسم الفني,مثلا, عُمل لكي ننظر اليه بالوقوف امامه , والنحت لكي ندور حوله، ولكن العمارة يمكن أن يكون لدينا في كل مرة انطباعات جزئية عنها. مثلا واجهة محددة، أو غرفة معينة، او صورة جوية. وفقط بواسطة جهد فكري يمكننا تقييم جميع اجزاء أي عمل معماري. ولذلك حلول الاظهار المعماري- سواء كانت يدوية أو رقمية- هي التالية:
• تقنيات، وذلك باستخدام الإسقاطات المتعامدة (او طريقة مونج)
• اسكتشات، من خلال الاظهار الفني
• نماذج ثلاثية الأبعاد رقمية أو مادية
لمواجهة هذه الصعوبات، هناك العديد من الاساليب للحصول على اظهار واضح للمبنى. ومن المؤكد ان اسلوب النمذجة المادية: أي خلق نموذج ثلاثي الأبعاد بمقياس رسم معين (1:100 أو 1:200 ... الخ) هو الاكثر مباشرة ووضوحا كوسيلة للتواصل مع المعنيين بمشروع المبنى، ولكن صعوبة وتكلفة التنفيذ تحول عن ذلك. وخصوصا في مراحل التصميم المختلفة، فكلما كبر مقياس النموذج كلما ازدادت تكاليفه وحرفية تنفيذه.
الأكثر شيوعا هي الاظهارات الرسومية، والتي، من خلال رموز وعلامات متفق عليها يتم الحصول على اظهارات لأي واقع سواء متعلق بتصميم معماري أو بتخطيط حضري. عملية اختيار ذلك النوع من الاظهار الذي يوضح بشكل افضل جوانب معينة من المشروع -مقارنة مع غيره من الاظهارات (منظور, اكسنومتري, مونج), هي في حد ذاتها عملية معرفية متخصصة. فمثلا من خلال استخدام الإسقاطات المتعامدة التي اخترعها غاسبار مونج، وبتطبيق الاتفاقيات المتعلقة، من الممكن اظهار أي حجم هندسي بشكل دقيق وموضوعي.

GJEOMETRIA ANALITIKE GJENDET:
Ne Tirane: tek LIBRI UNIVERSITAR
Ne Prishtine: tek Librari ARTINI.

Libri "GJEOMETRIA ANALITIKE" permban njohuri te bollshme teorike dhe nje liste te gjate  me Ushtrime te zgjidhura per cdo ceshtje te trajtuar.

Como ya hemos argumentado en alguna ocasión, consideramos básico un perfecto dominio
del Diédrico dentro de los Sistemas de Representación, como base para el resto.
Por todo ello, se antojaba imprescindible que, complementario al cuaderno de prácticas
que se editó el pasado curso de Ejercicios resueltos de Geometría Descriptiva, donde se abordaban
todos ellos, se hiciese un apartado exclusivo dedicándolo al Diédrico Directo, más aún
cuando son cada día más las carreras y disciplinas técnicas que apuestan por su enseñanza y, en
particular, las escuelas de Arquitectura.
Como ocurriera en el texto matriz, se han obviado las referencias teóricas, consciente el
autor de la multitud de bibliografía de calidad existente donde se pueden consultar y ampliar
los conocimientos, algo fundamental y previo a la realización de cualquier ejercicio, para que el
alumno o usuario del cuaderno se centre en la resolución de la práctica, razonando cada paso y
visualizándolo espacialmente.
Estos ejercicios deben ser realizados en los formatos y según las condiciones dispuestas en
los enunciados y a lápiz, sin borrar los trazados auxiliares.
En referencia a la notación empleada, se continúa con la indicada en textos anteriores,
de forma que los elementos del espacio aparecen con letra mayúscula (Punto A, Recta R y Plano
P), las proyecciones de los puntos con letra minúscula (llamamos a a la proyección horizontal
de A y a’ a su proyección vertical), las proyecciones de la recta también con letra minúscula
(r proyección horizontal de R, r’ proyección vertical de R), los abatimientos entre paréntesis
((A) abatimiento del punto A). Cuando se trata de un punto A, B,… podemos referirnos a sus
proyecciones (a, a’), (b, b’),…
Con el presente documento se completa el catálogo de ejercicios impartidos en las asignaturas
de las distintas enseñanzas técnicas, con la intención manifestada de ser una herramienta
útil para sus estudiantes así como todos aquellos que se vean inmersos en el estudio de estas
disciplinas.

Varie annotazioni di Choisy illustrano assai bene gli obiettivi e le ragioni dell’uso delle assonometrie nei suoi trattati. In tutte le opere le rappresentazioni che accompagnano il testo sono icastiche, essenziali, utili per descrivere gli elementi costitutivi e il funzionamento di un’architettura. I grafici permettono di confrontare contemporaneamente l’interno e l’esterno, la pianta e la sezione, il fronte e lo scorcio. In breve, la volumetria complessiva dell’oggetto rappresentato. Le assonometrie sono molte volte accompagnate da una scala grafica posta lungo l’asse più rilevante, oppure orizzontale e non parallela a nessun asse del disegno: circostanza che indica chiaramente la natura isometrica della rappresentazione.
Tutte le tavole finali, assai più dettagliate e complete, sono invece sempre regolate da scale grafiche disposte lungo gli assi, per consentire una sicura identificazione del tipo di assonometria e una corretta determinazione delle dimensioni delle singole parti che compongono l’architettura rappresentata.
Choisy nota ripetutamente che le assonometrie possiedono la stessa chiarezza espositiva della prospettiva, ma in più si prestano ad una semplice misurazione, funzione normalmente demandata alle projections. Ma, per comprendere completamente l’oggetto rappresentato in proiezione ortogonale è necessario disporre di due o più viste, spesso difficili da combinare mentalmente. Questa è la vera ragione dell’uso di assonometrie. Esse costituiscono un metodo di rappresentazione semplice e compiuto, comprendendo in un unico grafico più fronti dell’oggetto e permettendone una conoscenza esatta e immediata; ma anche duttile, potendo scegliere tra un’infinita varietà di configurazioni proiettive.
Analizzando le rappresentazioni presenti nelle opere di Auguste Choisy emerge la presenza di circa due terzi di assonometrie e un terzo di proiezioni ortogonali.
L’analisi tecnica delle rappresentazioni assonometriche mette in luce due caratteristiche notevoli: l’isometria dei grafici e l’uso non episodico di assonometrie oblique generiche. Ecco dunque il progetto: usare assonometrie con angoli generici, potendo scegliere di volta in volta lo scorcio migliore, mantenendo l’isometria lungo gli assi.

في مجال العمارة، الخطة هو نوع من أساليب الإظهار الهندسي.  يتم الحصول على خطة المبنى من خلال عملية قطع حجم المبنى بمستوي أفقي بحيث يكون ارتفاعه - بالنسبة لمستوى البلاط- متر او متر ونصف. وعلى اية حال يجب ان يكون ارتفاعه اكبر بقليل من ارتفاع برطاشة فتحات النوافذ. بعد عملية القطع, يتم اسقاط الجزء السفلي من المبنى - بالنسبة لمستوى القطع- على مستوى افقى الذي عادة ما يتطابق مع مستوى البلاط (الذي يسمى مستوى الاسقاط الاول). علما بأن الاسقاط يتم باتجاه عمودي على مستوى الاسقاط.
محتويات
• 1 تاريخ
• 2 الخطة في التصميم المعماري
• 3 في الهندسة الوصفية
• 4 في العمارة الإسلامية
o 4.1 مصطلحات لها علاقة
• 5 مصادروحواشي

Il secondo libro del De Prospectiva Pingendi, tratta la rappresentazione dei corpi solidi a partire da figure semplici come i prismi retti, fino ad arrivare a sistemi poliedrici più complessi che definiscono vari elementi architettonici quali colonne, edifici e superfici voltate. Tutte le costruzioni avvengono interamente all'interno dello spazio degradato codificato dall'Autore nel I libro, senza la necessità di ulteriori disegni di supporto. Si può parlare quindi di un vero e proprio metodo di rappresentazione. Nelle figure dei prismi retti, la prospettiva del poligono di base, inserito in un quadrato di riferimento (argomento affrontato nel I libro) costituisce il punto iniziale dell'intera costruzione. I passaggi seguenti definiscono l'altezza degli spigoli verticali del poliedro, misurando lo scorcio prospettico per mezzo di una proiezione su di un piano verticale impostato su di un lato del quadrato di base.
Lo studio qui presentato è un'indagine condotta per mezzo della rappresentazione matematica per definire alcune particolari caratteristiche delle prime figure del II libro, mettendo in luce alcuni caratteri fondamentali dello spazio prospettico definito da Piero della Francesca. La restituzione spaziale infatti evidenzia una anomalia della distanza principale che genera poligoni di base irregolari non più inscrivibili in circonferenze ma in ellissi. Tale incongruenza può essere risolta soltanto considerando un poligono regolare inscritto all'interno di un rettangolo (viene calcolata la giusta distanza principale affinché l'ellisse sul quadro possa considerarsi la prospettiva di un cerchio disposto sul geometrale) oppure un poligono irregolare inscritto in un quadrato. Risulta evidente quindi, un inconsapevole uso della distanza principale che lega poligoni con il quadrato di riferimento e che si manifesta in tutte le figure dei prismi rappresentati nei due codici autografi di Parma e Bordeaux. Ricordando che spesso nel trattato le figure hanno un carattere puramente evocativo piuttosto che dimostrativo di una certa idea, l’anomalia proiettiva ci fornisce utili indicazioni sulle modalità di lavoro dell’Autore, il quale, non disegnando interamente la costruzione ma copiandone una parte da un modello di riferimento, offre un esempio della operatività pratica tipica delle botteghe medievali.

[EN] Military engineering treatises and the curricula of such institutions as the Academy of Barcelona, the École Royale du Génie de Mézières and the École Polythecnique stress the role of art du trait or stereotomy, a graphical method for the formal control of ashlar masonry, based in double or multiple orthogonal projection. In the years of the French Revolution, such procedures morphed into Descriptive Geometry, a science that deals with a wide range of geometric problems, both practical and theoretical.
This chapter includes a synchronic presentation of these practices and a diachronic survey of its evolution from the Late Middle Ages to the Enlightenment, finishing with a discussion of the relevance of this field in treatises and didactic practice. Rather than its use in such military construction members as rere-arches, skew arches or stairways, the reason for the importance granted to stereotomy in military construction is to be found in its role in the education of the spatial vision of the engineer.

Ante el futuro de la enseñanza de la Geometría Descriptiva en las escuelas de Arquitectura y Arquitectura Técnica se adoptan diferentes posiciones que se pueden sintetizar en tres grupos. Algunos profesores parecen entender que el canon de la disciplina es inmutable, que determinados contenidos han formado parte de la Geometría Descriptiva desde la noche de los tiempos y que cualquier novedad es peligrosa. Otros, por el contrario, se muestran partidarios de la innovación, y pretenden acercar la enseñanza de la disciplina a las necesidades de las profesiones de arquitecto o Arquitecto Técnico; el guión de combate de este grupo es el llamado diédrico directo, que algunos juzgan más moderno o novedoso que el llamado diédrico clásico o de Monge. Por último, una tercera tendencia proclama la supresión pura y simple de la disciplina; el ordenador, dicen, resuelve todas las cuestiones geométricas que precisa el arquitecto sin emplear el arcaico recurso a la proyección.
En el contexto de este debate, creemos que puede ser interesante ofrecer un rapidísimo repaso a la formación del canon de la Geometría Descriptiva a lo largo de la Historia; es decir, examinar cuándo, gracias a quién y en función de qué intereses o concepciones culturales entran a formar parte de la disciplina esos saberes que “son Geometría Descriptiva”.

The determination and projection of an oblique line by means of the Cartesian coordinates (X, Y, Z) of its ends, without the straight line passing by the origin (0,0,0), or defining the same straight line by means of the width, height, and depth of its ends, is a major question to find the true lenght of the straight line as well as the true angle of inclination in relation to the horizontal support plane [H] or isoplane XY. In descriptive geometry it is solved with an auxiliary elevation view, where the straight line and the angle of inclination are projected in true magnitudes. In Analytical Geometry we use the property of the directing cosines of the vector that passes through the Cartesian origin; and in the area of Calculus we use the application of a directional vector, which must be parallel to the straight line that contains the two points given with parametric equations. In short, there is no explicit formula for the straight line in a 3-D Cartesian coordinate system. The fundamental purpose of this study is to implement a methodology to find the true length of the oblique line as well as its slope in relation to the XY isoplane by the joint use of the differential rectangular displacements or delta (Δ) projected on the three Cartesian axes, which allow the design of new simple mathematical formulas based on the Pythagorean theorem and basic trigonometric functions. Keywords: True length and slope of a 3-D straight line, 3-D Cartesian coordinate system, Rectangular differential displacements, Pythagorean triangle 1. INTRODUCTION In Descriptive Geometry, it is frequently analyzed and studied the geometric and spatial relations, together with the theory of dihedral projection, to solve projective problems of various geometric objects; the user must apply the appropriate norms and theorems during the process of obtaining the auxiliary orthogonal views, until finding a graphical solution represented in a two-dimensional (2-D) plane or paper space [1]. For the representation of spatial objects, the creation of a broad variety of geometric shapes, the simple acts of abstracting, setting out, and analyzing a particular geometrical problem are part of an enriching experience to increase the level of imagination [2-6]. Undoubtedly, imagination and cogitation in the presence of a geometric problem allow us to establish conjectures or interesting experiments to expand new horizons of knowledge and research, with strong bonds with the sciences related to design, measurement, and construction, such as: Mathematics, Architecture, Engineering, Design, etc. [7-10]. AutoCAD [11-14] and similar software for drawing [15-17], give a high level of imagination on the development of the ability to create new three-dimensional (3-D) shapes and structures, facilitates the complex tasks of drawing auxiliary projections, constructive processes, and elaboration of dynamic virtual models. On the other hand, the process of dimensioning and of reading Cartesian coordinates is important to corroborate data of linear and angular magnitudes, which can be incorporated in mathematical and geometric formulas. These true magnitudes are used for the input of parametric data in the 3D Studio Max program [18], a powerful program that allows creating objects, to modify them, to map them, and to move them in real time; when incorporating a camera in the 3-D scene, it is possible to obtain renderings in image or video format. This dynamic digital experience allows the user-researcher to check the demonstrations and constructive processes that have been carried out and, consequently, may come to formulate conjectures or new ideas that can be implemented in future investigations. This study focuses on one of the most representative problems presented by an oblique line in a 3-D Cartesian coordinate system, which consists in determining the true length and slope in relation to the horizontal support plane, by using the differential rectangular displacements of their Cartesian coordinates, and establishing a connection with mathematics and trigonometry by designing novel simple formulas.

This book deals with the general concepts in stereotomy and its connection with descriptive geometry, the social background of its practitioners and theoreticians, the general methods and tools of this technology, and the specific procedures for the members built in hewn stone, including arches, squinches, stairs and vaults, ending with a chapter discussing the open problems in this field. Thus, it can be used as a reference book in the subject, but it can also read as a compelling narrative on this subject, one of the main branches of pre-industrial technology. 

Construction in hewn stone requires the use of geometrical methods and tools to assure that individual stones, either blocks or voussoirs, fit with one another and conform to the general shape of walls, arches or vaults. During the Late Middle Ages and the Renaissance, such techniques and instruments were developed empirically by masons and architects. Later on, learned mathematicians and engineers introduced refinements in these procedures and this branch of knowledge, known as stereotomy, furnished much material to descriptive geometry, a science born with the French Revolution which provided the foundation for projective geometry.

Manuale del programma CARTESIO per la didattica e l'applicazione interattiva delle proiezioni geometriche e dei fondamenti del CAD.
CARTESIO è un programma, di uso gratuito, orientato alla didattica ed ha come utenti gli studenti degli ultimi anni della Scuola Media Superiore e dei primi anni dell’Università. Consente di comprendere la configurazione geometrica delle proiezioni (la disposizione del Quadro e del Centro di Proiezione rispetto agli Assi cartesiani), verificando immediatamente gli esisti grafici di ogni tipo di proiezione e confrontandoli tra loro, al variare dei parametri di costruzione. CARTESIO è inoltre propedeutico all’uso di programmi CAD poiché permette di applicare agli oggetti tutte le possibili trasformazioni geometriche 2D e 3D, controllando e verificando, anche in questo caso, gli effetti grafici e numerici sugli oggetti.

De todos los Sistemas de Representación, el Diédrico se considera básico para poder estudiar, con posterioridad, los demás. Por este motivo, goza de un mayor peso específico en el programa de la asignatura de Geometría Descriptiva y, por consecuencia, en el presente documento lo que conlleva una mayor dedicación. No obstante, también se ha prestado especial interés al resto de sistemas que estructuran el índice.
Se incluye un capítulo dedicado en exclusividad al Sistema Diédrico, más aún cuando son cada día más las carreras y disciplinas técnicas que apuestan por su enseñanza y, en particular, las escuelas de Arquitectura.
Continuando con la trayectoria de los textos origen, se han obviado las referencias teóricas, consciente el autor de la multitud de bibliografía de calidad existente donde se pueden consultar y ampliar los conocimientos, algo fundamental y previo a la realización de cualquier ejercicio, para que el alumno o usuario de este cuaderno se centre en la resolución de la práctica, razonando cada paso y visualizándolo espacialmente. Es por ello que, para facilitar esta labor, se incluye, complementario a la bibliografía de base, una bibliografía donde se comentan algunos de los textos de referencia de esta disciplina desde el punto de vista del autor y sin querer en ningún caso realizar una crítica ni tan siguiera somera de ninguno de ellos.
El presente documento se ha elaborado con la intención de ser una herramienta útil para los estudiantes de carreras técnicas y, en general, para todos aquellos que se aventuran en el conocimiento de la Geometría Descriptiva.

Attraverso ricostruzioni storiche e storiografiche il testo vuole dimostrare che le macchine per disegnare geometricamente (prospettografi, curvigrafi, …) si possano considerare di fatto come “teorie matematiche  in atto” fondate su un’immaginazione cinematica della geometria.

This essay focuses on the theories and the techniques of construction and representation of garments, starting from a historical research which aims at individuating specific operational modes that, across history, apparently never quit measuring the human body in order to define those geometrical rules that are able to control the free forms in motion of the subjects and of the garments that dress them.
Designers choose every time if it is the geometry of the human body, or that of the clothing, which dictates the design strategies. Thus, between the two-dimensional design of the paper pattern and the planar development of the surfaces of an outfit sculpted upon the body, the answers to the intersections can be found in the digital representation methods.

Le prospettive architettoniche sono un ponte che collega l’arte alla scienza, e la scienza all’arte; e questo ponte l’ha costruito la Storia.
Questa metafora è utile, perché descrive, in sintesi, le caratteristiche di un genere pittorico che è stato individuato nella letteratura artistica con vari nomi, da ‘secondo stile’ a ‘quadraturismo’, ma che non è mai stato studiato nella sua estensione. Si tratta di rappresentazioni di architettura che, sfruttando ora la prospettiva lineare, ora la prospettiva aerea e altri accorgimenti, inducono nello spettatore una percezione di profondità che ‘sfonda’ la compagine muraria, dilatando lo spazio che le ospita fino ai limiti dello sguardo. Basta questo per capire perché questi particolari soggetti dell’arte  pittorica abbiano tanto da dire a chi si occupa di scienza della rappresentazione e di storia della scienza: infatti non si possono raggiungere effetti illusionistici di sì grande potenza, senza una consapevolezza delle leggi della proiezione centrale e senza una conoscenza, quantomeno empirica, dei complessi meccanismi della percezione visiva. Perché, poi, questo ponte lo abbia gettato la Storia, è presto detto: le prospettive di soggetti architettonici sono già ben presenti a Ercolano e Pompei, nonché a Roma, nelle case di Augusto e di Livia e possono dirci molto sulle conoscenze ottiche e geometriche degli antichi. E sono ancora presenti in tutto il Medioevo, fino al Rinascimento, quando artisti-scienziati come Filippo Brunelleschi, Leon Battista Alberti e Piero della Francesca, esperimentano e teorizzano le leggi della ‘costruzione legittima’.
Da quel momento, Scienza e Prospettiva percorrono strade parallele, con un continuo scambio di conoscenze teoriche e sperimentali. La Prospettiva, con Guidubaldo del Monte, si svincola dai limiti di una veduta rigidamente assiale, consentendo all’occhio una libertà di movimento che permette di ‘sfondare’ visivamente non una sola parete alla volta, ma un intero spazio. La Scienza, con Keplero e Desargues, supera il limite del quinto postulato euclideo dichiarando l’esistenza di punti e rette ‘all’infinito’. Ancora la Prospettiva si appropria di questa conquista per utilizzare, consapevolmente, il punto di fuga come immagine dell’infinito e la degradazione apparente delle grandezze nelle ‘glorie’ che aprono verso il cielo le volte delle chiese barocche.
Le prospettive architettoniche non sono un fenomeno provinciale: esse, al contrario, sono diffuse in tutta Italia e in Europa. Quindi la trasversalità della Prospettiva, già verificata nell’immagine del ponte che si è data all’inizio, comprende il territorio, oltre alla Storia e alla cultura artistica e scientifica, in generale. Da ultimo occorre ricordare che le prospettive architettoniche non sono solo pitture, ospitate su pareti piane e o superfici curve voltate. Esistono, infatti, effetti di illusione prospettica che sono ottenuti per mezzo di strutture tridimensionali, come la Galleria di Palazzo Spada a Roma, attribuita a Francesco Borromini. Ed esistono, infine, effetti illusionistici di profondità che sono ottenuti per mezzo di una scansione delle facciate in intervalli prospettici, anziché regolari; dunque per mezzo di una struttura visiva monodimensionale.
Sorprende constatare, quindi, quanto poco sia valutato questo patrimonio, al punto che nemmeno i custodi e i proprietari, pubblici e privati, ne riconoscono l’importanza. Opere come gli affreschi di Agostino Tassi nella sala dei ricevimenti di Palazzo Lancellotti, una delle illusioni prospettiche più coinvolgenti del panorama romano, sono oggi ridotti a cornice per banchetti e inaccessibili ai visitatori che non siano ospiti di quei festeggiamenti. Altre si trovano in stato di abbandono. Di altre ancora si ignorava l’esistenza e chissà quante ancora sono dimenticate sotto improvvide scialbature. È perciò evidente come il primo obiettivo degli studi che questo volume presenta sia quello di costruire un repertorio delle prospettive architettoniche in Italia.
Un secondo obiettivo, più modesto ma anche più immediato, è quello di dimostrare, anche solo per gli effetti di una ampia carrellata di immagini, quanto ricco e suggestivo sia il paesaggio del quale ci occupiamo.
Un terzo obiettivo, mirato alla conservazione, è quello di documentare le prospettive dei vari tipi ai quali sopra si è fatto cenno, con le tecniche più avanzate di rilevamento, che vanno dalla scansione laser alla fotografia in alta risoluzione. Un quarto obiettivo è quello di svelare i segreti delle prospettive dal punto di vista della scienza della rappresentazione. Come sono state progettate? Come è stato riportato il disegno sulle grandi superfici da affrescare? Da quale punto di osservazione (o da quali punti) debbono essere guardate al fine di ottenere il migliore effetto di ‘sfondamento’ della compagine muraria? La costruzione prospettica è corretta o non lo è? E, se non lo è, perché evoca comunque una forte sensazione di profondità?
Nel primo esame di un buon numero di casi di studio si è potuto constatare che esistono sempre due chiavi di lettura per queste opere. La prima è di natura geometrica, nel senso che, applicando, in un procedere inverso, le fasi della costruzione prospettica, si può ricostruire nello spazio a tre dimensioni l’architettura rappresentata. La seconda chiave è di natura squisitamente architettonica, nel senso che i caratteri di regolarità geometrica, di simmetria e di proporzione delle strutture architettoniche ne consentono la ricostruzione nello spazio anche indipendentemente dal processo geometrico. Ad esempio: se la prospettiva
raffigura un colonnato, è chiaro che la trabeazione sarà orizzontale e perpendicolare all’asse delle colonne, gli intervalli tra le stesse saranno sensibilmente eguali, e gli archi e le volte, se vi sono, saranno per lo più a sesto circolare e così via. Ebbene, queste due chiavi di lettura possono essere perfettamente coerenti (come nel caso di alcune opere di Andrea Pozzo) oppure possono essere in contrasto l’una con l’altra (come nel caso di molte opere di Agostino Tassi). In quest’ultimo caso è l’architettura, sempre e comunque, che prevale nel contrasto, perché l’architettura ha un potere evocativo dello spazio che è più potente di quello della sola prospettiva lineare. La riprova di questo meccanismo percettivo è data dall’esperimento della camera distorta, nota come Camera di Ames (Ames e Kilpatrick, intorno al 1950). In questo esperimento, un osservatore viene invitato a guardare una stanza la cui forma è stata distorta in modo che i vertici della stanza reale e deformata e quelli di una virtuale stanza di forma regolare siano allineati con l’occhio dell’osservatore. Ebbene, quest’ultimo crede di vedere una stanza regolare anche quando la presenza di altri indizi palesemente dimostrerebbero il contrario: ad esempio due persone di eguale statura che sono entrate nell’ambiente e che appaiono, ora, l’una gigantesca e l’altra incredibilmente piccola.
Questo effetto, evidentemente già noto in modo del tutto empirico agli artisti delle prospettive architettoniche, viene sfruttato con varie finalità che vanno dalla semplificazione del processo di costruzione
del dipinto, all’ampliamento della zona dalla quale si può godere lo sfondamento illusorio dello spazio che ospita la prospettiva. Un altro aspetto degli studi che sono presentati in questo volume riguarda l’analisi dei trattati di prospettiva. Questi trattati sono stati quasi sempre scritti ‘per gli artisti’ o segnatamente per la realizzazione degli sfondati prospettici, come nel caso di Andrea Pozzo. E tuttavia non sono stati ancora studiati come premessa teorica ad applicazioni che si esprimono nella libertà e nella suggestione delle pitture murali. Infine, alcuni saggi affrontano il problema della valorizzazione del patrimonio delle prospettive architettoniche, sviluppando tecnologie che ne consentono la lettura, la comprensione e la divulgazione.

Resumo: Este artigo é o relatório resultante de uma intervenção realizada numa turma do 11o ano de Artes Visuais, no âmbito da disciplina de Geometria Descritiva A. Esta atividade teve como objetivo o desenvolvimento das capacidades criativas do aluno e da sua própria construção do saber na área do desenho projectual, através da realização de um projeto que englobasse vários campos artísticos como o design, as artes plásticas, a cenografia, a ilustração ou a arquitetura.
Palavras chave: Geometria Descritiva, Desenho, projeto, criatividade, áreas profissionais artísticas.
Abstract: This article is the report resulting from an intervention performed in a class of the eleventh grade of Visual Arts within the discipline of Descriptive Geometry-A. This activity aimed to the development of creative abilities of the student and their own construction of knowledge in the area of project design, through a project that would include various artistic fields such as design, plastic arts, scenography, illustration or architecture.
Keywords: Descriptive Geometry, Drawing, project, creativity, artistic professional fields.

We tend to think about technology as the application of abstract science to practical problems, but sometimes the inverse is true, as in the case of modern orthogonal projections, which originated empirically in mediaeval workshops and only after a long historical process gave birth to abstract projective geometry. However, this evolution is marked by strong transformations in the media of knowledge transmission, the social groups that control these forms of knowledge, and the very nature of this branch of knowledge. This article charts these transformations, and also serves as an introduction to the eight articles in this special issue of the the NNJ which examime particular issues raised by these historical processes, such as rib vaults by Juan de Álava, the use of ovals at the Escorial, the surbased vault at Arles town hall, staircases in the treatise of Juan de Portor y Castro, axonometric drawing in stonecutting treatises, Frézier’s treatise on stereotomy as an antecedent to Monge’s Descriptive Geometry, Monge’s studies on developable ruled surfaces, and Jules Maillard de la Gournerie’s criticisms on Monge’s system.

نظرية الظلال هي فرع من فروع الهندسة الوصفية، تستخدم في تمثيل ظلال الأجسام بالنسبة لمصدر ضوء لاتهائي(الشمس) او نهائي (شمعة). ظل جسم K على سطح J هي منطقة محددة ومغلقة وناتجة من تقاطع أشعة الضوء المتماسة للجسم K و السطح J.

يمكن تعريف نظرية الظلال بالدراسة التي تسمح، عندما يثبت مصدر ضوء, بإنشاء، من خلال سلسلة من الإنشاءات الهندسية، الظل الذاتي (Shade) والساقط (Shadow) لشكل ما [1]

تم التأكيد ان الهندسة الوصفية يجب أن تؤخذ في الاعتبار من وجهتين نظر. الأولى باعتبارها وسيلة للوصول إلى تحديد بدقة النتائج المرجوة، وهذه هي الطريقة التي كانت تستخدم في قطع الحجارة والنجارة. من جهة ثانية، فهي وسيلة إظهار للكيانات الهندسية. في هذه الحالة تحديد الظلال هي ميزة مساعدة.