Análisis Matemático para Modelización de Estructuras Tensadas

MUCTA – Máster en Construcción y Tecnologías Arquitectónicas Trabajo de Fin de Máster Análisis matemático para modelización de estructuras tensadas Autora: Caroli Machado Rebouças Tutora: María Eugenia Rosado María Madrid, 02 de Julio 2014 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID MÁSTER EN CONSTRUCCIÓN Y TECNOLOGÍAS ARQUITECTÓNICAS ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA MODELIZACIÓN DE ESTRUCTURAS TENSADAS Por: Caroli Machado Rebouças Arquitecta y Urbanista Caroli Machado Rebouças Arquitecta y Urbanista ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA MODELIZACIÓN DE ESTRUCTURAS TENSADAS Trabajo presentado en cumplimiento a las exigencias del Máster en Construcción y Tecnologías Arquitectónicas, MUCTA, bajo Dirección-Coordinación del Prof. Alfonso García Santos, Catedrático de la Universidad Politécnica de Madrid. Tutora: María Eugenia Rosado María Madrid, Julio de 2014 MARÍA EUGENIA ROSADO MARÍA, profesora del departamento de Matemática Aplicada de la Escuela Técnica Superior de Arquitectura de la Universidad Politécnica de Madrid, en su calidad de director del Trabajo de Fin de Máster de Dª Caroli Machado Rebouças, tras su dirección y la lectura detallada del texto definitivo CERTIFICA que el Trabajo de Fin de Máster, titulado "Análisis matemático para modelización de estructuras tensadas", cumple con todos los requisitos administrativos y académicos para ser sometida a su defensa ante la correspondiente comisión que se nombre al efecto. Madrid, 02 de Julio de 2014 ____________________________ Fdo. María Eugenia Rosado María "«Less is more» es algo que he aprendido en su esencia, originalmente y auténticamente, no apenas de la manera que es comprendido en los E.U.A., i.e. en los términos de la forma estilística. Como arquitecto tendría que subscribir de cualquier forma para la idea de reducción. «Less is more» - esta frase me fascina: construir menos con menos material, menos hormigón y, usando menos energía; construir utilizando los recursos disponibles: tierra, agua, aire. Hoy, mis objetivos son los mismos de antes: construir en cercanía con la naturaleza y hacer un gran hecho con menos; observar críticamente y conscientemente aún en la fase de dibujo. Es mejor construir nada que construir demasiado!". Frei Otto Complete Works: Lightweight Construction Natural Design. p.57. RESUMEN El presente trabajo trata del aspecto formal de las estructuras tensadas, analizando y describiendo los métodos de cálculo para la etapa de búsqueda de forma con sus ventajas e inconvenientes. Los métodos de cálculo detallados en este estudio son el Método de la Rigidez Transitoria, el Método de Densidad de Fuerza y la Relajación Dinámica. Para aumentar el entendimiento del trabajo, hemos estudiado la parametrización de curvas y superficies y la evolución de los sistemas CAD. Con la evolución de los sistemas CAD surgen los software basados en elementos finitos, que significan un avance en el campo de las estructuras tensadas. Hemos revisado algunos de los software de diseño existentes en el mercado y discutimos sus limitaciones. Todo lo estudiado y analizado en este trabajo lo hemos aplicado al caso concreto de la superficie de Costa (Costa's Surface) que representa una Superficie Mínima, mostrando, a partir de este estudio, que todavía existe un campo amplio de investigación. Palabras-clave: Búsqueda de forma, Estructuras Tensadas, Método de Densidad de Fuerzas, Método de Relajación Dinámica, Método de la Matriz Transitoria, Software de diseño, Programas de CAD. INDICE INTRODUCCIÓN..................................................................................................................................................................08 1. CAPITULO I: OBJETIVOS, JUSTIFICACIÓN Y METODOLOGÍA DE TRABAJO.........................................................10 1.1. OBJETIVOS....................................................................................................................................................11 1.2. JUSTIFICACIÓN.............................................................................................................................................11 1.3. METODOLOGÍA DE TRABAJO......................................................................................................................13 2. CAPÍTULO II: ANTECEDENTES....................................................................................................................................15 2.1. INTRODUCCIÓN.............................................................................................................................................16 2.2. INVESTIGACIONES ACTUALES EN EL TEMA.............................................................................................23 3. CAPÍTULO III: PARAMETRIZACIÓN DE CURVAS Y SUPERFICIES...........................................................................33 3.1. INTRUDUCCIÓN.............................................................................................................................................34 3.2. EVOLUCIÓN HISTÓRICA...............................................................................................................................35 3.3. PARAMETRIZACIÓN DE CURVAS Y SUPERFICIES....................................................................................38 3.3.1. CURVAS DE BÉZIER....................................................................................................................39 3.3.2. CURVAS B-SPLINE.......................................................................................................................41 3.3.3. CURVAS B-SPLINE RACIONALES...............................................................................................43 3.3.4. SUPERFICIES DE BÉZIER...........................................................................................................44 3.3.5. SUPERFICIES B-SPLINE..............................................................................................................45 3.3.6. SUPERFICIES B-PLINE RACIONALES (NURBS)........................................................................46 3.4. SOFTWARE QUE UTILIZAN LAS CURVAS Y SUPERFICIES MENCIONADAS EN ESTE CAPÍTULO...........................................................................................................................................................................48 4. CAPÍTULO IV: MÉTODOS DE CÁLCULO DE ESTRUCTURAS TENSADAS...............................................................52 4.1. INTRODUCCIÓN.............................................................................................................................................53 4.2. MODELIZACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS ELEMENTOS CONSTRUCTIVOS DE ESTRUCTURAS TENSADAS..........................................................................................................................................................................57 4.2. MÉTODO DE LA RIGIDEZ TRANSITORIA.....................................................................................................60 4.3. MÉTODO DE DENSIDAD DE FUERZAS.......................................................................................................61 4.4. MÉTODO DE RELAJACIÓN DINÁMICA.........................................................................................................64 5. CAPÍTULO V: SELECCIÓN DE SOFTWARE ................................................................................................................67 5.1. INTRODUCCIÓN.............................................................................................................................................68 5.2. WINTESS3......................................................................................................................................................72 5.3. MPANEL SHAPE DESIGNER.........................................................................................................................76 5.4. GRASSHOPPER + KANGAROO....................................................................................................................77 5.5. EASY TECHNET.............................................................................................................................................79 5.6. FORMFINDER SOFTWARE...........................................................................................................................80 5.7. PATTERNER...................................................................................................................................................81 5.8. SURFACE FORM (HORST BERGER) ...........................................................................................................81 5.9. SOFISTIK........................................................................................................................................................81 5.10. KURVENBAU (ERIK MONTCRIEFF) ...........................................................................................................82 5.11. TENSILEDRAW / MEHLER...........................................................................................................................83 5.12. TENSIL@........................................................................................................................................................83 5.13. MAPLE..........................................................................................................................................................84 5.14. ALGUNAS DE LAS LIMITACIONES ENCONTRADAS EN LOS PROGRAMAS DE MODELIZACIÓN DE ESTRUCTURAS TENSADAS..............................................................................................................................................85 5.15. CONCLUSIONES..........................................................................................................................................86 6. CAPÍTULO VI: EJEMPLOS APLICADOS.......................................................................................................................88 6.1. INTRODUCCIÓN.............................................................................................................................................89 6.2.AUSTRALIAN WILDLIFE HEALTH CENTRE..................................................................................................90 6.3. PARQUE PARA LOS JUEGOS OLÍMPICOS DE MÚNICH, ALEMANIA………………………………..…….110 6.4. POSIBILIDAD CONSTRUCTIVA Y COMPLEJIDAD MATEMATICA EN DIFERENTES MATERIALES DE CONSTRUCCIÓN..............................................................................................................................................................116 7. CAPÍTULO VII: CONCLUSIONES GENERALES.........................................................................................................122 BIBLIOGRAFIA ANEXOS Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 8 INTRODUCCIÓN Tras haber estudiado la asignatura de "Fundamentos Matemáticos de las Estructuras Tensadas" del Máster en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid (M.U.C.T.A.), nos hemos dado cuenta de algunas limitaciones en el proceso diseño de ese tipo de estructuras. Dos de ellas, quizá las más importantes a nuestro criterio, son: 1) El hecho de que los software de dibujo existentes en el mercado son de código cerrado (esto es, el código fuente no se encuentra disponible al usuario), lo que nos impide entender por completo su funcionamiento. 2) La imposibilidad de importar directamente superficies paramétricas al software especializado en el dibujo y cálculo de estructuras tensadas. Tradicionalmente el diseño de estructuras tensadas ha seguido un camino diferente al del cálculo de estructuras tradicional debido básicamente a que necesitan un tratamiento especializado. Las posibilidades arquitectónicas para la configuración final están sujetas a la condición de que la forma sea físicamente viable; esto es, que la estructura esté en equilibrio (BARNES, 1999). En este tipo de estructuras en las que las tensiones son tangentes a la superficie, la forma está determinada por la fuerza y recíprocamente. Dicho proceso de búsqueda de forma con fuerzas en equilibrio en un entorno fijado con respecto a cierto estado de tensiones preestablecido se denomina usualmente búsqueda de forma (form finding). Desde mediados del siglo XX, y con los avances computacionales de las últimas décadas, la investigación se ha centrado en desarrollar métodos numéricos para el diseño de estructuras tensadas (tanto textiles como de redes de cables) y se han desarrollado distintos métodos de búsqueda de forma. Los primeros métodos se dedicaban básicamente a estructuras de redes de cables y últimamente se han extendido a métodos de elementos de superficie para estructuras de membrana (BREW; LEWIS, 2007). Considerando que podemos modelizar una membrana a través de redes de cables, algunos programas computacionales dedicados al búsqueda de forma de estructuras tensadas textiles utilizan esta técnica teniendo en cuenta que se ha modelizado la membrana como una red de cables y por tanto utilizando los métodos de búsqueda de forma dedicados a membranas de cables. Este es el caso de los programas que hemos analizado en este trabajo (e.g. Wintess3, MPanel, Easy Technet y Grasshopper + Kangaroo). El avance que se ha tenido a lo largo de los años con la llegada de los ordenadores culminó en la reducción de los tiempos de cálculo y diseño de estructuras tensadas que consisten en la búsqueda de forma, el cálculo no lineal y los patrones de corte. Esa evolución ha resultado en los software de elementos finitos, pero no podemos asegurar si todos los programa utilizan los mismos métodos de cálculo, los mismos alcances, herramientas y fiabilidad para el diseño de esas estructuras. Además, al estudiar la asignatura de "Diseño y Construcción con Superficies Textiles Tensadas" del máster M.U.C.T.A. y tener un primer contacto con una aplicación de elementos finitos, el Wintess3, percibimos la dificultad de partir de formas/superficies matemáticas existentes, como las superficies mínimas, y trabajar a partir de ellas. Eso demuestra que en los programas de elementos finitos no podemos hacer algo tan simple como trabajar con curvas o superficies parametrizadas (como en las aplicaciones CAD, diseño asistido por ordenador), alejando los conocimientos matemáticos de la arquitectura. Este trabajo tiene como objetivo principal estudiar las posibilidades de modelización de las superficies tensadas con los programas informáticos de dibujo y detectar sus alcances y limitaciones. Todo ello basado, fundamentalmente, en los métodos matemáticos para definición y búsqueda de la forma de este tipo de estructuras. Para analizar en más profundidad las limitaciones que podrán encontrarse en esas aplicaciones, estudiamos los métodos matemáticos existentes en los que se basan los programas y proponemos algunas soluciones a las deficiencias encontradas. Posteriormente, sugerimos nuevas líneas de investigación en el tema. En el Capítulo I trazamos los objetivos, justificación y metodología del estudio. 08 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 8 En el Capítulo II, con un breve repaso sobre los antecedentes de las estructuras tensadas y su evolución tanto constructiva como formal. Posteriormente, nos centramos en buscar y elegir los artículos científicos más representativos y que aporten la mayor cantidad de contenido para nuestro tema de trabajo. Pasada esta primera etapa de familiarización con el tema, en el Capítulo III, describimos en detalle la parametrización de curvas y superficies (utilizadas la mayoría de las aplicaciones CAD), ya que entender el comportamiento de curvas y superficies Bézier, Splines y NURBS es fundamental para poder manipularlas de una manera adecuada desde cualquier aplicación CAD. Además, las aplicaciones gráficas casi siempre necesitan modelar objetos presentes en el mundo real, y por consiguiente se hace necesario poder generar curvas y superficies de una forma más exacta que una simple sucesión de segmentos rectos, que muchos de los objetos que existen en el mundo real presentan formas continuas y suaves, y no pueden asemejarse a formas poligonales (BALDASANO, 2011). La mayoría de aplicaciones de CAD están basadas en este tipo de curvas y superficies. El usuario de estas aplicaciones podrá tener un mayor control sobre lo que está representando si conoce las propiedades de estas. En el caso de las estructuras tensadas se debe tener una destacada experiencia y control del programa para dibujar el tipo de membrana deseado, sea en programas CAD (utilizando la parametrización de curvas y superficies) o de elementos finitos (utilizando los métodos de cálculo para equilibrio de la estructura). Por tanto, en el Capítulo IV estudiamos los métodos de cálculo más utilizados para la modelización y análisis de estructuras tensadas y, en el Capítulo V, buscamos los software existentes en el mercado, identificando sus recursos gráficos, diferencias entre unos y otros y sus limitaciones. En la mayoría de las estructuras, la configuración de referencia es conocida, ya que esta no depende de las tensiones internas ni interferencias externas (como viento, nieve, cargas sísmicas etc.), que son al principio desconocidas, y que deben ser determinadas. La resolución de este problema (denominado problema de equilibrio inicial) es el paso previo a la obtención de la respuesta (ya sea estática o dinámica) de una estructura tensada frente a una acción exterior. Para resolver este problema habrá que diferenciar los parámetros especificados por el diseñador y los que son tratados como incógnitas, este son: la topología de la estructura, las cargas externas, la geometría de la estructura y la distribución de fuerzas internas. Las cargas externas pueden complicar el problema de equilibrio inicial, por lo que se suele asumir que los miembros de la estructura no tienen peso y que ninguna carga actúa en los nodos. No obstante, para obtener una solución completa, las fuerzas externas estarán presentes en muchas de las ecuaciones utilizadas en los métodos que tratan del equilibrio de la estructura. Para buscar la forma, analizar y calcular la estructura hemos tenido en cuenta los métodos de cálculo que se utilizan para estas etapas y los hemos detallado en este trabajo. Los métodos que elegimos fueron el Método de la Rigidez Transitoria, el Método de Densidad de Fuerzas y el Método de Relajación Dinámica. Finalmente destacar que en el Capítulo VI, antes de las conclusiones, aplicamos los conocimientos adquiridos para dibujar la superficie de Costa (Costa's Surface), mostrada en la asignatura de "Complejidad Formal y Posibilidad Constructiva en la Arquitectura" del máster M.U.C.T.A.. La superficie de Costa es una superficie mínima con parametrización conocida de funciones de variable compleja, por tanto, con un grado de dificultad elevado para representarla. Aún así, dibujamos dicha superficie en el Maple, la hemos exportado a través de Rhinoceros y AutoCAD un programa de elementos finitos, el Wintess3, y hemos analizado el proceso de fabricación y construcción. Este ejemplo nos ha servido para destacar las posibles dificultades que aparecen cuando se trabaja con superficies no clásicas. 09 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 1. CAPÍTULO I: OBJETIVOS, JUSTIFICACIÓN Y METODOLOGÍA DE TRABAJO 10 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 1. OBJETIVOS, JUSTIFICACIÓN Y METODOLOGÍA DE TRABAJO 1.1. OBJETIVO GENERAL Estudiar las posibilidades de modelización de las superficies tensadas en los programas informáticos de dibujo y detectar sus alcances y limitaciones. Todo ello basado, fundamentalmente, en los métodos matemáticos para definición y búsqueda de la forma de este tipo de estructuras. 1.1.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Estudiar la parametrización de curvas y superficies y los métodos de cálculo existentes en los que se basan los programas para dibujo, análisis y cálculo de estructuras textiles tensadas. 2. Identificar las limitaciones de los programas de 3D actuales para definición de la forma en estructuras tensadas. 3. Proponer soluciones a las deficiencias encontradas en los programas de manipulación de estructuras tensadas como futuras líneas de investigación. 1.2. JUSTIFICACIÓN Con la rápida expansión y popularidad de las estructuras tensadas en el mundo, se hizo conveniente revisar y actualizar los requisitos de análisis apropiados para su construcción. Paralelamente ha habido un aumento de las aplicaciones y posibilidades de este tipo de estructuras a través de la evolución de los materiales y técnicas de construcción, donde ha sido impulsado de forma natural un aumento correspondiente del número de arquitectos e ingenieros interesados en explotar este campo. Sin embargo, estos profesionales se vieron sin conocimientos técnicos especializados y sin la experiencia necesaria para tener éxito en la realización de proyectos de estructuras tensadas (FORSTER; MOLLAERT, 2004). En este tipo de estructuras, las posibilidades arquitectónicas para desarrollar una forma también se ven limitadas por la necesidad de establecer una forma físicamente posible. Junto con la cantidad de tensión previa instalada, hay que tener en cuenta la magnitud de la estructura, la distribución de tensiones, deformaciones con la aplicación de cargas, desplazamientos, etc. Muchos de los primeros desarrollos en la arquitectura textil se basaban en modelos físicos y utilizaban las pompas de jabón (para superficies mínimas), tejido elástico y alambre. Se utilizaron modelos físicos exactos para obtener patrones de corte, y también para proporcionar formas iniciales para posterior análisis de cargas en el ordenador (WAKEFIELD, 1999: 681). Aunque se siguen utilizando modelos físicos, en particular, por los arquitectos e ingenieros, las principales etapas de diseño son ahora enteramente realizadas por ordenador. El cálculo de estructuras tensadas se basa en el método de elementos finitos. Esto implica la elección de un modelo numérico para crear una biblioteca de elementos estándar y a continuación, calcular la respuesta de este modelo en diferentes condiciones de carga (WAKEFIELD, 1999: 681). Para seleccionar un método de análisis y el software adecuado hay que pensar que el diseño de estructuras tensadas no debe verse limitado por el software disponible. Hay una serie de puntos clave a tener en cuenta al seleccionar las herramientas adecuadas: controlar adecuadamente las superficies tensadas durante la definición de la forma, la orientación básica del tejido durante la etapa de armar/formar la estructura, la disponibilidad de una biblioteca 11 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid de diferentes tipos de elementos en el software utilizado, una revisión detallada de los métodos de análisis numéricos para estructuras tensadas que se han dado en otros lugares; los patrones y juntas y, el conocimiento del método utilizado, dónde el ingeniero debe tener una clara comprensión del software y sus limitaciones. Hace quince años, como mencionó Wakefield, el más común de los métodos utilizados para encontrar soluciones de equilibrio de una membrana era el método de Relajación Dinámica y el Método de Gradiente Conjugado (WAKEFIELD, 1999: 684). El primero ha ganado mayor aceptación para el análisis de estructuras tensadas debido a su evidente analogía física y a la facilidad de aplicación de los controles y las limitaciones necesarias. Estos métodos comentados anteriormente todavía se realizan de forma manual, aunque no sea lo más común, fundamentalmente por matemáticos profesionales. La mayoría de los programas informáticos de diseño asistido por ordenador no manejan los cálculos matemáticos necesarios para definir formas arquitectónicas. Existen aplicaciones informáticas de dibujo (las de elementos finitos) que permiten obtener formas de equilibrio de estructuras tensadas pero, la mayoría de ellas, son complicadas de manejar y se centran en la fase de análisis del modelo, quedando la parte estructural condicionada a la forma de la membrana. Hay que añadir a esto que la interacción con el usuario es muy deficiente, dado que el arquitecto raramente entiende cómo se llega a la forma matemática de la estructura, no disponiendo de la flexibilidad necesaria para poder plantear diferentes alternativas de manera sencilla en la fase de diseño. Todavía es difícil traducir una forma estructural creada en una que se pueda construir tanto matemáticamente de manera virtual como física. Los programas de ordenador para dibujo 3D no vinculan, en la mayoría de los casos, la posibilidad de trabajar desde la fórmula matemática de la superficie y lo que se ve es una serie de lagunas en los programas que están por rellenar. Estas lagunas pueden ser: 1. posibilidad de crear formas imposibles o poco estables, 2. el conocimiento matemático visto como no esencial, 3. los programas muchas veces no reconocen formatos de archivos que vienen de otras aplicaciones etc. La observación de las formas que adoptan las estructuras tensadas hace que se empleen técnicas basadas en el ajuste de superficies paramétricas para la representación de las mismas. El hecho de que las estructuras tensadas adopten formas de equilibrio tiene, como ventaja, que las superficies no presentan discontinuidades en su curvatura, lo que las hace ideales para poder ser fácilmente representadas mediante superficies paramétricas (POTTMANN et al., 2007). De esta manera se pueden combinar aspectos geométricos con aspectos estructurales para llegar, así, a la forma de equilibrio deseada. De hecho, los aspectos geométricos serían la "razón" de la arquitectura. Uno proyecta con el corazón y luego habrá que construir con ciencia: “Ars sine Scientia nihil est”, decía el arquitecto parisiense Jean Vignot, que en 1398 fue consultado por el consejo de constructores de la catedral de Milán. Una composición arquitectónica debe ser geométrica, pero esta geometría ha de ser una concepción consciente, no una mera red de líneas. El hecho de que los puntos de un trazado se escojan entre las intersecciones de líneas de un diagrama no basta para hacer que un plano sea “geométrico”, es necesario que el diagrama y la elección tengan un sentido. En nuestros días son muy pocos los arquitectos que reúnen a la vez las figuras del artista, del geómetra y del calculista. Hoy los cálculos se dejan para el geómetra y el ingeniero, el verdadero técnico en el manejo de estructuras. Esta organización es del todo eficaz, pero resta una oportunidad a la unidad orgánica del resultado. El criterio generalmente aceptado es el de la adaptación al fin, que comprende la solidez y la economía. De esta manera, este trabajo intenta identificar estas lagunas existentes, estudiar ejemplos en diversos programas informáticos y proponer las distintas soluciones que podrán mejorar el proceso de búsqueda de la forma de las estructuras tensadas. 12 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 1.3. METODOLOGÍA DE TRABAJO Introducción Antecedentes Investigaciones Actuales en el Tema Parametrización Curvas y Superficies Métodos de cálculo de Estructuras tensadas Limitaciones de los programas Selección de Software de diseño existentes para cálculo de estructuras tensadas Conclusiones Ejemplos Aplicados Conclusiones Generales Futuras líneas de investigación en el tema El trabajo estará definido por un capítulo de antecedentes, dónde se abordarán los temas más importantes que definieron las bases de las estructuras tensadas, sus limitaciones a lo largo de los años, entre otros. Además, se hará un repaso de los principales artículos científicos en el tema, enfatizando las problemáticas y lagunas que aún existen en el ámbito de la arquitectura textil. Es importante también hablar de los conceptos básicos de las estructuras tensadas, en lo que se refiere a la parte matemática, objeto de este trabajo y también el variado software de cálculo y diseño de estas estructuras, identificando sus puntos fuertes y débiles. A parte del capítulo de antecedentes, se desarrollarán otros cuatro que son la parte fundamental de este trabajo. La intención es definir la importancia de las matemáticas en la modelización de estructuras tensadas. Para ello, se estudiarán las curvas y superficies paramétricas y los métodos de cálculos de estructuras tensadas que son primordiales en la etapa de la búsqueda y definición de la forma de las membranas. En el Capítulo V se estudiarán los programas utilizados para modelización de estructuras tensadas y en el Capítulo VI se hará un estudio aplicado a formas arquitectónicas existentes, explicando sus partes matemáticas y cómo han sido parametrizados. Finalmente, se definirán las conclusiones del trabajo y las futuras líneas de investigación en el tema. 13 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid BIBLIOGRAFÍA CAPÍTULO I • FOSTER, B.; MOLLAERT, M. Arquitectura Textil: guía Europea de diseño de las estructuras superficiales tensadas: Munilla-Lería, Madrid, España, 2009. • POTTMANN, Helmut. et al. Architectural Geometry. Bentley Institute Press. 1ª edición, 2007. • WAKEFIELD, D.S. “Engineering analysis of tension structures: theory and practice”. Engineering Structures 21, 1999, Pages 680-690. 14 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 2. CAPÍTULO II: ANTECEDENTES 15 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 2.1. INTRODUCCIÓN La historia de las culturas nómadas va estrechamente ligada al uso de materiales ligeros como envolvente de sus cobijos: yurtas, tipis, jaimas, toldos de caravanas zíngaras, etc.; materiales que evolucionaron desde el uso de pieles al de textiles. Con ese mismo espíritu pero con ambiciones espaciales mayores surgieron las carpas de circo en el siglo XIX, que a diferencia de las tiendas de los pueblos nómadas, presentaban una complejidad estructural mayor que permitía izar y tensar con rapidez y eficacia enormes envolventes de lona (TECTÓNICA nº36, 2012). Desde que el hombre aprendió a anudar y tejer fibras naturales, formando así las primeras cuerdas, las ha utilizado para construir estructuras. En un principio, éstas tan solo servían como herramientas de caza y pesca, pero posteriormente comenzaron a utilizarse con fines constructivos. Así, antiguas civilizaciones como la vikinga o la egipcia construían barcos provistos de redes para soportar y fortalecer sus velas; y las civilizaciones china e inca construyeron los primeros puentes colgantes para mejorar sus comunicaciones. No obstante, es con el Renacimiento cuando empiezan a sucederse los hitos científicos referentes a las estructuras de cables de mano de los más conocidos físicos y matemáticos de la historia (TECTÓNICA nº36, 2012). En el siglo XV, Leonardo da Vinci había empezado a preguntarse cómo se comportaría un cable en tensión y, ya en alguno de sus trabajos, pueden encontrarse los primeros bocetos de una catenaria. En 1615, Beeckman1 diseñó un puente colgante suponiendo que la curva que éste adoptaba era una parábola. Esta solución innovadora no fue ampliamente conocida hasta que, dos siglos después, volviera a ser descubierta por el ingeniero suizo Fuss2, a quien se encargó que diseñara un puente sobre el río Neva en San Petersburgo. Incluso Galileo afirmó en su "Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno à due nuove scienze", publicado en 1638, que la forma que debe adoptar una cadena al ser colgada entre dos puntos debe ser parabólica (SUCH, 2008). A mediados del siglo XVII el astrónomo, físico y matemático holandés Christian Huygens ya sabía que Galileo estaba equivocado, aunque no conocía aún la solución al problema. En 1690 Jacob Bernoulli3 publicó "Acta Eruditorum", documento en el que se explica por primera vez el concepto de integral. Para mostrar la potencia de la nueva herramienta de cálculo, Jacob propuso utilizarla para resolver definitivamente el problema al que Galileo no supo dar la solución correcta. Este reto fue resuelto, finalmente, por tres personas: el matemático, médico y filólogo suizo, Johann Bernoulli (hermano de Jacob), Leibniz4 y Huygens (SUCH, 2008). Bernouilli y Leibniz aplicaron el cálculo diferencial, por aquel entonces recién descubierto, y Huygens, por su parte, utilizó un método gráfico. Los hermanos Bernoulli además formularon la ecuación diferencial de equilibrio de una cadena sometida a diferentes estados de carga. Huygens fue quien le dio el nombre de catenaria a la curva. También se le llamó funicular, basado en la denominación latina para cuerda (SUCH, 2008). 1 Isaac Beeckman ‐ fue un matemático, físico, médico y filósofo Holandés. Nicolas Fuss ‐ fue un destacado matemático de su época, de origen suizo. 3 Jacob Bernoulli ‐ matemático y científico suizo. 4 Gottfried Leibniz ‐ uno de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII, inventor del cálculo infinitesimal independiente de Newton. 2 16 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid Evolución formal de las estructuras tensadas Como hemos visto anteriormente, las primeras representaciones de estructuras tensadas son las tiendas hechas de pieles de animales o materiales entramados que fueron usadas a lo largo de la historia y han sido utilizadas por todo el mundo, particularmente en sociedades nómades que necesitan de coberturas portátiles. Ejemplos de tiendas pasadas incluyen las tribus de nativos americanos (FIGURA 01), los abrigos mongoles (FIGURA 02), la "black tent" utilizada por los nómades del Sahara, Arabia y Irán (FIGURA 03). FIGURA 01: TIENDAS DE LAS TRIBUS DE NATIVOS AMERICANOS. Fuente: Google Imagen FIGURA 02: EJEMPLO DE TIENDA MONGOL Fuente: Google Imagen 17 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 03: EJEMPLO DE TIENDA "BLACK TENT" UTILIZADA POR LOS NÓMADES DEL SAHARA, ARABIA Y IRÁN. Fuente: Google Imagen Ha habido poco desarrollo formal y constructivo de las tiendas entre el tiempo de los Romanos y el siglo XIX, en parte por causa de la carencia de demanda, y principalmente por causa de la carencia de avances en la manufactura de cables, tejidos y conexiones resistentes. Sin embargo, después de la revolución industrial ha habido una demanda por tiendas grandes (utilizadas para el entretenimiento de poblaciones, como los circos) y por materiales de gran resistencia, con producción en masa y relativamente barata. FIGURA 04: EJEMPLO DE CIRCO DEL SIGLO XIX. Fuente: Google Imagen En todos los ejemplos enseñados hasta ahora, las membranas eran relativamente oscilantes y la estabilidad era derivada de una combinación de cables entrelazados y de coberturas muy leves. Una nueva era comenzó después de la Segunda Guerra Mundial con el desarrollo de varios tipos de membranas estructurales, de las cuales los beneficios son variados, fundamentalmente en términos de luminosidad y flexibilidad. La estabilidad ya no es asegurada solamente por el peso, pero también por el proyecto, teniendo en cuenta curvaturas añadidas de pretensiones inducidas. Dos acontecimientos fueron cruciales en el desarrollo de las tenso-estructuras: 1. El arquitecto Frei Otto en 1957 funda el Centro de Desarrollo de Estructuras Ligeras en Berlín y, 2. en 1964 la creación del famoso Instituto de Estructuras Ligeras en la Universidad de Stuttgart. 18 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 05: UNO DE LOS PRIMEROS PROYECTOS DE FREI OTTO, UN PEQUEÑO PABELLÓN MUSICAL PARA LA EXPOSICIÓN NACIONAL DE JARDINES - KASSEL, ALEMANIA, EN 1955. Fuente: Google Imagen A partir de este momento la evolución formal se mescla a los avances en los métodos de cálculo para equilibrio de la estructura tensada, teniendo en cuenta su no linealidad. En aquellas fechas (1955), los tejidos disponibles para Frei Otto permitían solamente dimensiones limitadas de estructuras con corta expectativa de vida. Hoy, como resultado de avances técnicos en la tecnología textil, hay ejemplos de construcciones de dimensiones impresionantes (FIGURA 06). FIGURA 06: AEROPUERTO INTERNACIONAL DE DENVER-DENVER INTERNACIONAL AIRPORT (D.I.A), COLORADO, EUA. ARQUITECTOS PÉREZ, FENTRESS BRADBURN, LEO A. DALY. Fuente: Google Imagen Aunque las posibilidades de aumentar las dimensiones de las estructuras tensadas, se nota que esa dimensión está caracterizada por una forma que se repite diversas veces, lo que demuestra la dificultad de los métodos de cálculo en calcular estructuras demasiado grandes. Estructuras de gran envergadura provocan una lentitud muy grande en los programas de cálculo existentes aún hoy (véase Capítulo IV para un mejor entendimiento de los métodos y cómo influyen en la forma y sus dimensiones). El versátil sistema denominado de estructura tensada ha conseguido adeptos de renombre internacional como los son el arquitecto canadiense Frank Gehry, el arquitecto polaco-estadounidense Daniel Libeskind, el inglés Michael Wilford, los japoneses Tadao Ando, Arata Isozaki, el francés Paul Andreu, y los dos mayores exponentes modernos de estas estructuras: el español Santiago Calatrava y el inglés Nicholas Grimshaw. 19 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid La mayor ventaja de poder cubrir grandes superficies en este tipo de arquitectura es que la membrana para estos propósitos de estabilización, está siempre en una condición de tensión. Para proveer a la cubierta textil de estabilidad, es indispensable aplicar una pre-tensión, siempre teniendo en cuenta de darle una forma que no colapse. Sólo por tensión opuesta o biaxial puede alcanzarse la firmeza estática requerida de la membrana. Para evitar roturas de la membrana, no deben diseñarse ángulos o dobleces amplios. Cuanto más grande sea el nivel de deformación de la membrana, menos fuerzas de pre-tensión deben aplicarse. Con relación a las curvaturas, las estructuras tensadas en doble curvatura pueden ser clasificadas en sinclásticas y anticlásticas. Las curvaturas sinclásticas poseen siempre el mismo signo. Por ejemplo, una esfera, un globo inflable o cúpula semiesférica. Las anticlásticas tienen curvaturas de signo opuesto, como en el caso de paraboloide hiperbólico. FIGURA 07A – SUPERFÍCIE ANTICLÁSTICA. FIGURA 07B – SUPERFÍCIE SINCLÁSTICA. Fuente: VANDENBERG, 1996, p.15. La forma que adopta la tela tensada es la de una superficie anticlástica. La tela tensada tiene doble curvatura y los centros de curvatura de cualquier punto de su superficie están en lados opuestos de ésta (Figura 8a). De este modo una posible carga vertical de nieve se contrarrestaría con la tensión superior existente en las direcciones PA y PB. Asimismo, una carga de viento vertical proveniente del inferior se compensaría con la tensión existente en la dirección PC y PD (FIGURA 08). FIGURA 08: (A) SUPERFICIE ANTICLÁSTICA, (B) EQUILIBRIO DE FUERZAS EN UN PUNTO P DE LA TELA. Fuente: SANCHEZ, Javier. 2006 20 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid Por lo tanto se deduce que la forma que adopta una estructura tensada no viene dada por consideraciones geométricas como pueden ser, las superficies regladas o matemáticas. La configuración final está basada en la posición de equilibrio alcanzada por la tela tensada como resultado de sus tensiones internas, las cargas externas a ésta, como viento y nieve, y las restricciones de borde dadas por los mástiles y anclajes de la estructura. El proceso mediante el cual se determina la forma de equilibrio de la tela tensada se denomina form finding. En el capítulo 3 de esta memoria se presentan diversos métodos numéricos que permiten obtener esta forma de equilibrio. Con relación a la geometría constructiva, por lo general, casi todas las estructuras tensadas tienen formas mixtas derivadas de uno o más diseños estructurales típicos. El principal reto que el diseñador afronta es la posibilidad de variaciones en la exploración/desarrollo de estas formas primitivas hasta encontrar el diseño arquitectónico final deseado. A continuación les enseñamos algunos de los tipos de estructuras tensadas existentes, dónde se puede ver la posibilidad formal y constructiva de esa técnica. FIGURA 09: PARABOLOIDES HIPERBÓLICOS (HYPAR) - SILLAS DE MONTAR Fuente: Google Imágenes y elaboración propia. 21 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 10: TIENDAS CÓNICAS O MULTI-CÓNICAS-NORMALES ("UMBRELLAS" - SOMBRILLAS) O INVERTIDAS (COPAS). Fuente: Google Imagen FIGURA 11: CON EL APOYO DE LOS ARCOS - INTERNA O EXTERNA Fuente: Google Imagen FIGURA 12: ONDULADAS O PLEGADAS Fuente: Google Imagen 22 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid Como se ha podido ver en las imágenes anteriores, hubo una evolución considerable en los aspectos formales y constructivos a partir del año 1950. Por ese motivo el siguiente apartado intenta encontrar las publicaciones científicas que hicieron parte de ese avance y analizar cuáles son las limitaciones que aún se encuentran en ese campo. 2.2. INVESTIGACIONES PRINCIPALES Y ACTUALES EN EL TEMA Después del breve repaso sobre los antecedentes de las estructuras tensadas y su evolución tanto constructivamente como formalmente, nos centraremos en buscar, a través de artículos científicos publicados, la evolución de los métodos matemáticos para equilibrar la membrana en la etapa de la búsqueda de forma en ese tipo de estructuras. Actualmente la investigación sobre este tema es muy activa y se publica mucho. Hemos buscado los primeros artículos imprescindibles para el avance de la tecnología de la arquitectura textil y, a posteriori, buscamos los artículos, instituciones y profesionales que tratan y aportan más en el tema actualmente. El primer artículo elegido fecha del año 1972 y se denomina: 1. “Structural design of roofs over the sports arenas for the 1972 Olympic Games: some problems of prestressed cable net structures”. March 1972, Pages 113-119. Professor Dr. Ing. Fritz Leonhardt and Dr. Ing. J. Schlaich. Es importante empezar con ese artículo porque se destacan los problemas que se tenían en las construcciones de estructuras tensadas en aquella fecha, algo que fue mejorando según veremos en los demás artículos elegidos. El texto hace alusión a una estructura pionera en su tipo (véase Capítulo VI sección 6.3.), para lo cual fue necesario, debido a su complejidad, el desarrollo de nuevas técnicas constructivas y tecnologías que permitiesen su construcción. En efecto, la estructura de cables pretensados proyectada para los Juegos Olímpicos de 1972, es una de las más grandes del mundo y nació de la idea de cubrir los diferentes campos deportivos, con una gran carpa traslúcida, en lugar de levantar edificaciones separadas. Es gracias a este concepto que Behnisch & Partner5 ganan el primer premio para dicho proyecto, pero para lograr construirlo tuvieron que recurrir al apoyo de varios expertos, entre los cuales estaba Frei Otto, ya que la propuesta original presentaba muchas complicaciones que imposibilitaban la construcción. Las dificultades eran por ejemplo: 1. no se generaba curvatura suficiente en los espacios alejados de los mástiles, 2. era difícil predecir la forma final de la cubierta, 3. las medidas reales para su construcción eran tomadas de maquetas físicas, 4. problemas de compatibilidad de materiales, para que la deformación de uno no comprometiera la estructura, ya que es una red de cables, 5. problemas para tener una precisión en el trabajo de obra, ya que, otra vez, una sucesión de imprecisiones podría comprometer toda la estructura y 6. necesidad de mano de obra calificada para ese sistema constructivo específico y expertos calculistas (era un nuevo sistema constructivo y esa mano de obra calificada todavía no existía). Como hemos visto, existían muchos problemas para lograr la estabilización de la membrana y los cálculos deben ser de una gran precisión, los cuales, antes de la llegada de los ordenadores, resultaban muy difíciles - aunque hoy tampoco es completamente preciso - y se requería mucho tiempo para realizarlos. Sin embargo, con el uso de los ordenadores para equilibrar la membrana se ha reducido considerablemente ese tiempo, aunque para grandes estructuras el proceso se vuelve más lento y se necesita ordenadores muy potentes. 5 Günter Behnisch & Partner fue el grupo que diseñó la forma para el estadio que albergaría los Juegos Olímpicos de 1972 en Múnich, Alemania. 23 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid Para la construcción de la Arena de Juegos Olímpicos de 1972, muchos métodos de cálculo fueron desarrollados para garantizar la precisión requerida para que no hubiese deformaciones que afectaran el conjunto de la estructura. Uno de estos métodos ha sido el Método de Densidad de Fuerza, como se describe en el segundo artículo que hemos elegido, del año 2000: 2. “A history of the principal developments and applications of the force density method in Germany 19701999.” IASS-IACM 2000. Fourth International Colloquium on Computation of Shell & Spatial Structures, June 5-7, 2000, Pages 1-13. Lothar Gründig, Erick Moncrieff and Peter Singer and Dieter Ströbel. El artículo hace una pequeña introducción sobre la situación antes del 1970, donde menciona las primeras estructuras hechas por el hombre (tiendas de campaña) y que poco se sabe sobre el modelado analítico de su comportamiento deformado. Existe una interacción inherente entre la geometría y distribución de la tensión en redes de cables pretensados y membranas textiles y, esta relación entre la geometría y las fuerzas hace que sea imposible diseñar tales estructuras como las convencionales. Cuándo en 1967 se construyó el Pabellón Alemán de la Expo de Montreal, ninguna técnica analítica práctica de solución estaba disponible para determinar la forma de la red de cables, patrones de corte y comportamiento bajo carga externa. En aquél momento la única manera de que el diseño y la realización de tales redes fuera concebida era a través del uso de modelos físicos. Encontrar una forma viable requiere la determinación de una figura de equilibrio de las fuerzas interiores y cargas de la estructura. Esto típicamente resulta en una superficie doblemente curvada (anticlástica). Como las superficies doblemente curvadas no son desarrollables (esto es, no se pueden desarrollar en un plano), la generación de patrones de corte precisos para la fabricación es un problema para este tipo de superficies. Finalmente la estructura será sometida a grandes deflexiones bajo la actuación de cargas, lo que significa que los métodos de análisis tendrían que ser capaces de hacer dichos cálculos. Para diseñar la cubierta de red de cables para el estadio de Juegos Olímpicos de Múnich, Frei Otto construyó modelos físicos precisos que estaban destinados a ser la fuente de la información para todos los datos relevantes. Linkwitz6 propone medir los modelos de forma precisa aplicando métodos fotogramétricos de rango cercano, lo que permitiría una simultánea determinación del modelo 3D sin tocarlo. Sin embargo, se dio cuenta que los modelos no eran de ninguna manera, lo suficientemente precisos para obtener el patrón de corte para una red de cables igual hecha en acero. En 1971 Linkwitz y Schek7 descubrieron una nueva formulación de la figura de equilibrio de fuerzas, la formulación fuerza-densidad. Se dieron cuenta de que esto era más apropiado para resolver el problema, sobre todo el de encontrar una buena geometría inicial. Con el fin de resolver los numerosos problemas abiertos asociados con pretensado en todo el intervalo estructuras, se estableció un grupo de investigación interdisciplinario de la Universidad de Stuttgart financiado por la Fundación Alemana de Investigación. Esta se llama SFB 64 Lightweight Structures Group8. Luego, el artículo describe el desarrollo histórico del Método de Densidad de Fuerza (Force Density Method, FDM), (véase Capítulo IV, sección 4.4. de este trabajo donde se describe detalladamente dicho método), técnicas para la búsqueda de forma analítica, análisis estático y la determinación de los dibujos del taller de las estructuras ligeras desde 1970 hasta la actualidad. Una particular atención se dirige a los principales trabajos realizados en la Universidad del 6 Klaus Linkwitz juntamente con Hans-Dieter, encargados de la fotogrametría y cálculos matemáticos para el Estadio de los Juegos Olímpicos de Múnich en 1972. 7 Linkwitz, K. and Schek, H.J. A new method of analysis of prestressed cable networks and its use on the roofs of the Olympic Game Facilities at Munich. IABSE, Amsterdam, 1972. 8 SFB 64 Lightweight Structures Group - grupo de estructuras ligeras de la Universidad de Stuttgart, Alemania. 24 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid Instituto de Stuttgart para la Aplicación de Geodesia en Ingeniería Civil (IAGB); en la Universidad Técnica de Berlín de Instituto de Geodesia y Geomática; y dentro de la empresa de software especializada TechNet GmbH9. La atención se centra en el cálculo de las redes de cable pretensados mecánicamente y membranas, superficies mínimas y construcciones neumáticamente pretensadas. En un tercero artículo, con fecha en 1999, se habla también de la evolución de los cálculos para lograr equilibrar las membranas y cita que lo importante no es el método de cálculo que utilices, sino la experiencia del diseñador de membranas con el método. Que este sepa completamente como manejarlo para evitar problemas en la forma final. El artículo es: 3. “Engineering analysis of tension structures: theory and practice”. Engineering Structures 21, 1999, Pages 680-690. D.S. Wakefield En 1999, menciona Wakefield, que el más común de los métodos utilizados para encontrar soluciones de equilibrio de una membrana era el Método de Relajación Dinámica (DR) y el Método de Gradiente Conjugado (GCM), (WAKEFIELD, 1999: 684). El primero ha ganado la mayor aceptación para el análisis de estructuras tensadas debido a su evidente analogía física y la facilidad de aplicación de los controles y las limitaciones necesarias (véase Capítulo IV, sección 4.5). Al referirnos a la Relajación Dinámica, hay una serie de artículos que abordan el tema, por ejemplo, el que citamos seguidamente, publicado en 2002: 4. “A simple Technique for controlling element distortion in dynamic relaxation form-finding of tension membranes.” Computers and Structures 80, 2002, Pages 2115-2120. Department of Civil Engineering, University of Wales, Swansea, UK. R.D. Wood. En este artículo, como nos adelanta el título, se discute una técnica simple para el control de la distorsión de la malla durante el proceso de búsqueda de forma de membranas cuando se utiliza Relajación Dinámica (DR). Trata de la búsqueda de forma y los métodos que se utilizan más comúnmente para que la malla se equilibre en este proceso, que son la relajación dinámica, el método de densidad de fuerza y el análisis estático geométrico no lineal. Explica las diferencias entre cada uno de ellos y se centran en las distorsiones, como mejorarlas. Según el autor, por la simple introducción de elementos de refuerzo artificiales, que tienen viscosidad, pero sin elasticidad, entre los nodos en una malla triangular, se pueden generar fuerzas que restringen la tendencia de la malla a distorsionarse. El resultado es una solución de búsqueda de forma que previene el colapso de los elementos y mantiene una densidad de malla que es adecuada para el análisis de carga viva. En el siguiente texto, del año 2003, publicado un año después del artículo anterior también versa sobre el Método de Relajación Dinámica, como veremos a continuación: 5. “A study of the stabilizing process of unstable structures by Dynamic Relaxation Method.” Computers and Structures 81, March 2003, Pages 1677-1688. Department of Architectural Engineering, College of Engineering, IN-HA University, South Korea. Sang-Eul Han and Kyoung-Su Lee 9 TechNet GmbH - empresa creada por la Universidad de Berlín y la Universidad de Stuttgart y que crearon el programa EASY para diseño de estructuras tensadas. <www.technet-gmbh.com/> 25 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid En este trabajo los autores discuten el proceso de estabilización de las estructuras inestables, estudiadas mediante el Método de Relajación Dinámica. Llaman al proceso de aplicación de fuerza interna en las estructuras inestables como: proceso de estabilización de estructura inestable. Mencionan que el comportamiento inicial de las estructuras inestables, tales como cables, estructuras neumáticas o red de cables, son inestables debido a que no hay ninguna rigidez interna inicial. El Método de Relajación Dinámica es la técnica de minimización de la energía que busca el estado de equilibrio estático a través del método de iteración por simple vector. Como uno de los procesos de estabilización, el análisis de la forma en el modelo de enlace fue introducido por Hangai y Kawaguchi10. Utilizaron el Método de la Matriz Inversa generalizada para llevar a cabo análisis de la forma de investigación donde el estado estable de las estructuras se puede encontrar al minimizar su potencial energético. El proceso de minimización de la energía potencial se podría lograr mediante el trazado de desplazamientos de cuerpo rígido de estructuras inestables a través de la matriz de equilibrio rectangular. Debido a que el Método de Relajación Dinámica no necesita ensamblar la matriz de rigidez tangencial de la estructura durante cada iteración del proceso de estabilización, el esfuerzo computacional y el tiempo de ejecución en la CPU puede ser reducido y eso ha sido comprobado en el artículo (el Método de Relajación Dinámica puede reducir significativamente el tiempo de cálculo, ya que no requiere de la Matriz de Rigidez Tangencial y sólo utilizan el principio de la energía para encontrar el estado de equilibrio de las estructuras. Además, supera efectivamente la singularidad numérica en los puntos de límite de manera que es eficiente para el proceso de estabilización). La técnica de integración de diferencias finitas se utiliza para integrar la ecuación de equilibrio dinámico para el estado de equilibrio estático. Se presentaron algunos modelos numéricos que confirmaron la eficacia y la aplicabilidad del Método de Relajación Dinámica para el análisis de membrana y su proceso de estabilización. El siguiente artículo seleccionado, del año 2007, ya se habla del Método de Densidad de Fuerza, que es el que viene siendo utilizado en la gran mayoría de los programas de estructuras tensadas hoy día: 6. "A multi-step force–density method and surface-fitting approach for the preliminary shape design of tensile structures". Engineering Structures, Volume 29, Issue 8, August 2007, Pages 1966-1976. Javier Sánchez, Miguel Ángel Serna and Paz Morer Este artículo, escrito por Javier Sánchez y los co-directores de su tesis doctoral, Miguel Ángel Serna y Paz Morer, tiene por objetivo presentar un nuevo método para el proyecto conceptual de estructuras tensadas. Este método combina un análisis estructural con un abordaje de ajuste de superficies para obtener formas preliminares de estructuras tensadas en tiempo real. El artículo expone que actualmente existe una falta de herramientas en los ordenadores que sean adecuadas para los diseñadores que se ocupa de la búsqueda de forma de estas estructuras. Interfaces gráficas simples son necesarias para que el diseñador pueda variar la forma de la membrana y del ambiente a su alrededor, en tiempo real, para que se pueda obtener diferentes alternativas de diseño rápidamente. El documento presenta un Método de Densidad de Fuerza de múltiples pasos, que permite la posibilidad de formas de equilibrio obtenidas con la distribución de tensión suave. Además, la utilización de superficies paramétricas (NURBS) para representar estructuras tensadas ofreció una contribución significativa para el objetivo del trabajo en tiempo real. Fue construida una aplicación informática para probar los métodos propuestos y a lo largo del artículo y de la tesis son señalados a través de diferentes ejemplos. 10 Hangai Y., Kawaguchi K. and Oda K. Self-equilibrated stress system and structural behaviours of truss structures stabilized by cable tension, International Journal of Space Structures, 7(2), 91-99, 1992. 26 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid El séptimo artículo elegido trata de las superficies mínimas (esto es, la forma mínima que adquiriría una membrana con un borde fijo) en las construcciones arquitectónicas: 7. "Minimal surfaces for architectural constructions". FACTA UNIVERSITATIS. Architecture and Civil Engineering Vol. 6, nº 1, 2008, Pages 89 - 96. University of Niš, Serbia. Ljubica S. Velimirović, Grozdana Radivojević, Mica S. Stanković and Dragan Kostić Como hemos mencionado antes, se utilizamos jabón y alambre para hacer las pompas de jabón, la naturaleza resuelve la pregunta matemática de encontrar una superficie de mínima superficie dado un límite determinado. Entre todas las posibles superficies las pompas de jabón encuentran una con la menor superficie. El artículo, sin embargo, menciona que problemas matemáticos profundos se encuentran detrás de la teoría. La teoría de las superficies mínimas es una rama de las matemáticas que ha sido intensamente desarrollada, sobre todo recientemente. Sobre la base de esta teoría podemos investigar las membranas en las células vivas, los fenómenos capilares, la química de polímeros, la cristalografía. Las superficies mínimas también se aplican en la arquitectura. A pesar del hecho de que parece que la película de jabón resuelve fácilmente problema matemático de encontrar superficie mínima para la curva de contorno, los intentos de resolver algunos problemas básicos, así como a dar descripción de superficies mínimas, era un trabajo duro en matemáticas hace más de 200 años. Los principales campos de las matemáticas que contribuyen a la teoría de la superficie mínima son la geometría diferencial, el análisis complejo, la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales y el cálculo de variaciones. En los últimos tiempos, como en muchas otras áreas, un gran progreso se hizo mediante el uso de computadoras. Uno de los primeros usos de los ordenadores fue para el análisis de estructuras, usando teorías que se han desarrollado continuamente desde el siglo XVI. Las superficies mínimas son extremadamente estables como objetos físicos, y esto puede ser una ventaja en muchos tipos de estructuras. Desde el punto de vista de las posibilidades de dibujar algunas superficies a través de ordenadores, los arquitectos se interesaron en adaptar esas formas adaptarlos a las estructuras, tanto interior como exterior. Los dos siguientes artículos que vamos a tratar son de la 6ª Conferencia Internacional de Computación de Acero y Estructuras Espaciales de la Universidad de Cornell, Ithaca, NY, USA: 8. “Simplified computer-aided form-finding procedures applied to light weight structures.” IASS-IACM 2008. Proceedings of the 6th International Conference on Computation of Shell and Spatial Structures. 28-31 May 2008, Cornell University, Ithaca, NY, USA. Juan Gerardo Oliva Salinas and Eric Valdez Olmedo En este artículo se muestran los programas geométricos simplificados desarrollados para determinar la forma de casos concretos de red de cables, así como de construcciones de tiendas de campaña. El desarrollo de estos programas de ordenador se basa en el conocimiento y la aplicación de la geometría analítica adecuada, mientras que algunos algoritmos especiales basados en el modelado electrónico simplificado de las membranas que aplican los programas de ordenador como AutoCAD y Excel, fueron aplicados y discutidos. Se dedican en mostrar la eficiencia y la exactitud de los programas informáticos y algoritmos desarrollados especialmente para estos fines. Mencionan, además, que los ordenadores ofrecen herramientas poderosas para el diseño y análisis de estructuras ligeras, que en el campo del diseño arquitectónico, hoy en día es posible aplicar la realidad virtual para 27 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid prácticamente cualquier forma concebida y diseñada por el arquitecto o diseñador estructural. Sin embargo, la construcción de modelos físicos sigue siendo muy útil para los arquitectos activos en ese campo, así como para los estudiantes; pero sólo para obtener suficientes parámetros para evaluar los aproximadamente definitiva formas de la estructura. En el texto, describen brevemente un programa en concreto que es el GEOG (Geometry of Grid Shells). En ese programa ellos consiguen generar una superficie de traslación donde la generatriz y la directriz son catenarias. Desafortunadamente, como dicen en el texto, muchos de los programas informáticos para esos fines son muy caros y los estudiantes o la mayor parte de los arquitectos no pueden adquirir el software apropiado. 9. “On the development of general purpose computational program for nonlinear analysis of soft/hard structures.” IASS-IACM 2008. Proceedings of the 6th International Conference on Computation of Shell and Spatial Structures. 28-31 May 2008, Cornell University, Ithaca, NY, USA. SeungDeog KIM. Este artículo trata de las estructuras espaciales, donde estas tienen que ser analizadas considerando la no linealidad geométrica, y el problema no lineal es muy sensible a las condiciones iniciales. La eficacia de un programa de ordenador para este caso, depende de la posibilidad de convergencia y la velocidad en el procedimiento no lineal. Diseñadores estructurales utilizan una variedad de programas de usos múltiples y de análisis estructural comerciales para diseñar diferentes tipos de edificios. Desafortunadamente, en el campo de las estructuras espaciales no podemos encontrar un programa útil común para cubiertas de gran envergadura. La mayoría de las empresas o laboratorios de diseño de estructuras espaciales lo hacen mediante el uso de un programa creado por ellos mismos, programas no probados. Esta falta de verificación pública del programa se traduce en estructuras potencialmente inseguras. Este estudio introduce NASS, abreviatura de análisis no lineal de estructuras espaciales - un nuevo programa de análisis no lineal en desarrollo. NASS, la primera de su tipo, está siendo desarrollado para ambas estructuras blandas y duras para obtener soluciones no lineales y para dirigir un programa computacional de propósito general. Utilizando ejemplos, las habilidades NASS se han probado tanto en estructuras blandas como en duras. Más adelante, en el año de 2013, se vuelve a hablar de los métodos matemáticos para definición de la forma. En el artículo siguiente se habla de la búsqueda de forma de estructuras a compresión usando el Método de Relajación Dinámica: 10. "Form-finding of compressive structures using Prescriptive Dynamic Relaxation." Original Research Article Computers and Structures, Volume 132, February 2013, Pages 65-74. Princeton University. Serguei Bagrianski and Allison B. Halpern El trabajo presenta una adaptación del Método de Relajación Dinámica para la búsqueda de la forma de estructuras a compresión de poca deformación que pueden ser usadas para lograr los requisitos específicos del proyecto tales como longitudes de los elementos prescritos. Entramados novedosos y elementos triangulares son desarrollados para permitir grandes deformaciones en la etapa de búsqueda de forma, mientras anticipa el comportamiento de la pequeña deformación de la estructura realizada. Las funciones de forzamiento son formuladas para permitir la prescripción de la longitud del elemento utilizando una nueva técnica iterativa denominada Relajación Dinámica Prescriptiva (PDR). Estudios de caso de una parte de una cáscara de hormigón y un puente de acero peatonal ilustran el potencial para el uso de la PDR para lograr soluciones estructurales económicas y consideradas con el medio ambiente. 28 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid El siguiente artículo, también del 2013, habla de los métodos matemáticos y compara el análisis 2-D y el Método de Densidad de Fuerzas para equilibrar las estructuras de membranas: 11. "Comparación entre el análisis 2-D y el Método de la Densidad de Fuerzas (discreto) para el equilibrio en estructuras de membrana." Informes de la construcción, Volume 65, 531. Páginas 349-358, julio-septiembre 2013. G. Viglialoro, J. Murcia y F. Martínez. El artículo trata de un análisis sobre el problema del equilibrio de una membrana y propone una comparación entre el conocido Método de la Densidad de Fuerzas, discreto y unidimensional (1-D), que aproxima la superficie de la membrana mediante una red espacial de cables, y el método continuo y bidimensional (2 -D) sobre la propia superficie. Se remarca una limitación fundamental del Método de Densidad de Fuerzas, que reside en no poder fijar los esfuerzos a priori en su utilización. Los esfuerzos sólo pueden ser calculados cuándo el proceso de la búsqueda de forma haya terminado. No es posible establecer una correspondencia directa entre los esfuerzos deseables para la membrana y la forma de ésta. Por otro lado, el análisis continuo 2-D implica un problema diferencial de contorno para un cierto tensor de esfuerzos dado, cuya solución representa la forma de la membrana, esta vez íntimamente relacionada con el tensor previamente fijado. Aunque el Método de la Densidad de Fuerzas sigue siendo indudablemente muy práctico y oportuno, se comprobará que el análisis continuo bidimensional no solo es más preciso y general sino que es más fiable para las estructuras en las que es preciso controlar previamente los esfuerzos en todo punto, especialmente en aquellos casos en los que la membrana es el mismo tablero de una estructura portante (por ejemplo, una pasarela). Una vez resumido el Método de la Densidad de Fuerzas, el artículo plantea el problema continuo del equilibrio de membrana y define un proceso de comparación entre ambos métodos, analizándolo por medio de ejemplos concretos. Para finalizar, el último artículo publicado en el mes de junio de 2014, trata del Método de Densidad de Fuerza no lineal para la búsqueda de forma de superficie mínima en estructuras de membrana: 12. Nonlinear force density method for the form-finding of minimal surface membrane structures. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Volume 19, Issue 6, June 2014, Pages 20712087. K. Koohestani En este artículo, se desarrolla un enfoque alternativo para la búsqueda de forma de la superficie mínima en la membrana (incluyendo las membranas de cable) usando modelos discretos y el método no lineal de densidad de fuerza. La viabilidad de los modelos discretos mencionados para la búsqueda de forma se estudió a través de dos métodos de solución, incluyendo un método de iteración de punto fijo y el Método de Newton-Raphson con retroceso. Se ha sugerido una versión híbrida de estos métodos como una estrategia de solución efectiva. Los ejemplos de la formación de ciertas superficies mínimas conocidas se presentan mientras que los resultados obtenidos se comparan y contrastan con las soluciones analíticas con el fin de verificar la exactitud y la viabilidad de los métodos sugeridos. 29 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid CONCLUSIÓN CAPÍTULO II Como hemos visto al estudiar algunos artículos seleccionados, con la llegada del ordenador se avanzó mucho en el ámbito de diseño de las estructuras tensadas. Se consiguió la precisión necesaria (aún son aproximaciones) para conseguir equilibrar la membrana en la etapa de búsqueda de forma y calcular la estructura final y, consecuentemente, aceleró el proceso de cálculo y diseño. Aún así, pasados casi medio siglo, no existe un programa de uso común a las empresas y laboratorios que se dedican al diseño de esas estructuras de membrana. Cada uno crea su programa, lo que hace que no sean verificados públicamente y que el resultado sean estructuras potencialmente inseguras. Todavía es difícil definir el método adecuado y más rápido para calcular la estructura tensada en la etapa de búsqueda de forma y con la actuación de las cargas internas y externas. Aún así, hemos visto, según los artículos, que los métodos que más se utilizan y estudian son: el Método de Densidad de Fuerza (utilizado en la mayoría de los programas existentes) y el Método de Relajación Dinámica, que se mostró eficaz y más rápido para cálculo de grandes estructuras, no exigiendo demasiado del ordenador. 30 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid BIBLIOGRAFIA CAPÍTULO II • ARQHYS. Historia de las estructuras con membrana tensada. < http://www.arqhys.com/construccion/historiaestructuras-tensada.html>. Acceso 14/11/2013 • BAGRIANSKI, Serguei and HALPERN, Allison B. "Form-finding of compressive structures using Prescriptive Dynamic Relaxation." Original Research Article Computers and Structures, Volume 132, February 2013, Pages 65-74. Princeton University. • GRÜNDIG, Lothar; MONCRIEFF, Erick; SINGER, Peter and STRÖBEL, Dieter. “A history of the principal developments and applications of the force density method in Germany 1970-1999.” IASS-IACM 2000. Fourth International Colloquium on Computation of Shell & Spatial Structures, June 5-7, 2000, Pages 1-13. • HAN, Samg-Eul and LEE, Kyoung-Su. “A study of the stabilizing process of unstable structures by Dynamic Relaxation Method.” Computers and Structures 81, March 2003, Pages 1677-1688. Department of Architectural Engineering, College of Engineering, IN-HA University, South Korea. • KIM, SeungDeog. “On the development of general purpose computational program for nonlinear analysis of soft/hard structures.” IASS-IACM 2008. Proceedings of the 6th International Conference on Computation of Shell and Spatial Structures. 28-31 May 2008, Cornell University, Ithaca, NY, USA. • KOOHESTANI, K. Nonlinear force density method for the form-finding of minimal surface membrane structures. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Volume 19, Issue 6, June 2014, Pages 20712087. • LEONHARDT, Fritz and SCHLAICH, J. “Structural design of roofs over the sports arenas for the 1972 Olympic Games: some problems of prestressed cable net structures”. March 1972, Pages 113-119. • PAULETTI, Ruy Marcelo de Oliveira. Anotaciones sobre el proyecto y el análisis de las estructuras tensadas. Entre Rayas, nº 88, Abril 2011. • SALINAS, Juan Gerado Oliva and OLMEDO, Eric Valdez. “Simplified computer-aided form-finding procedures applied to light weight structures.” IASS-IACM 2008. Proceedings of the 6th International Conference on Computation of Shell and Spatial Structures. 28-31 May 2008, Cornell University, Ithaca, NY, USA. • SÁNCHEZ, Javier; SERNA, M. A. and MORER, Paz. "A multi-step force–density method and surface-fitting approach for the preliminary shape design of tensile structures". Engineering Structures, Volume 29, Issue 8, August 2007, Pages 1966-1976. • SCIENCEDIRECT. Scientific Database offering Journal Articles and Book Chapters. <http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S021313151300059X>. Acceso en: 04/06/2014 • SUCH, Miguel Taboada. Métodos de generalizados para el cálculo estático de estructuras de cables y simulación de la interacción dinámica catenaria pantógrafo según la norma europea EN50318. 2008. 31 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid • TECHNICA. <http://www.technica.com.br/site/query_result.php?var=tensor>. Acceso en: 03/01/2014 • TENSINET. Arquitectura Textil. Guía Europea de Diseño de las Estructuras Superficiales Tensadas. Editorial Munilla-Lería, Edición Española de Abril 2009. • TENSOR. Estruturas Especiais e Tecnologia. <http://tensorestruturas.com/informacoes-tecnicas/> Acceso en: 13/04/2014 • VELIMIROVIĆ, Ljubica S. et al. "Minimal surfaces for architectural constructions". FACTA UNIVERSITATIS. Architecture and Civil Engineering Vol. 6, nº 1, 2008, Pages 89 - 96. University of Niš, Serbia. • VIGLIALORO, G. at al. "Comparación entre el análisis 2-D y el Método de la Densidad de Fuerzas (discreto) para el equilibrio en estructuras de membrana." Informes de la construcción, Volume 65, 531. Páginas 349-358, julioseptiembre 2013. • WAKEFIELD, D.S. “Engineering analysis of tension structures: theory and practice”. Engineering Structures 21, 1999, Pages 680-690. • WOOD, R.D. “A simple Technique for controlling element distortion in dynamic relaxation form-finding of tension membranes.” Computers and Structures 80, 2002, Pages 2115-2120. Department of Civil Engineering, University of Wales, Swansea, UK. 32 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 3. CAPÍTULO III: PARAMETRIZACIÓN DE CURVAS Y SUPERFICIES 33 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 3.1. INTRODUCCIÓN En este capítulo vamos a estudiar la parametrización de curvas y superficies y su modelado, con lo cual obtendremos una visión general del área de modelado geométrico, el cual es un campo muy amplio dentro de la informática gráfica. Lograr entender el comportamiento de este tipo de curvas y superficies es fundamental para poder manipularlas de una manera adecuada desde cualquier aplicación CAD. Gran parte de los objetos que existen en el mundo real presentan formas continuas y suaves, y no pueden asemejarse a formas poligonales. Las aplicaciones gráficas casi siempre necesitan modelar objetos presentes en el mundo real, y por consiguiente se hace necesario poder generar curvas y superficies de una forma más exacta que una simple sucesión de segmentos rectos. La necesidad de representar curvas y superficies viene por dos vías: 1. para modelar objetos existentes (coches, personas, montañas, etc.), en donde una descripción matemática del objeto puede no estar disponible. Sin duda, podemos usar para modelar las coordenadas de los infinitos puntos del objeto, lo cual no es nada viable. También se pueden representar utilizando esferas, planos u otras primitivas sencillas, más fáciles de describir matemáticamente, pero continuaríamos sin conseguir una representación adecuada. 2. Para modelar algo que aún no exista físicamente, por ejemplo cuando se está diseñando un nuevo proyecto de vivienda o escultura. Para crearlo, el usuario puede ir esculpiendo interactivamente, o bien especificar su descripción matemática, o dar una descripción aproximada y luego retocarla (BALDASANO, 2011). La mayoría de aplicaciones de CAD están basadas en este tipo de curvas y superficies. El usuario final de estas aplicaciones podrá tener un mayor control sobre lo que está representando si conoce las propiedades de estas. En el caso de las estructuras tensadas se debe tener una destacada experiencia y control del programa para dibujar el tipo de membrana deseado, sea en programas CAD (utilizando la parametrización de curvas y superficies) o de elementos finitos (utilizando los métodos de cálculo para equilibrio de la estructura). En este sentido de equilibrio de la estructura, la configuración final está basada en la posición de equilibrio alcanzada por la tela tensada como resultado de sus tensiones internas, las cargas externas a ésta, como viento y nieve, y las restricciones de borde dadas por los mástiles y anclajes de la estructura, no en consideraciones geométricas como pueden ser las superficies regladas o matemáticas. El proceso mediante el cual se determina la forma de equilibrio de la tela tensada se denomina form-finding (búsqueda de la forma). En este capítulo se presentan los comandos de curvas y superficies necesarios para representar gráficamente estas estructuras, que son: • • • Curvas y Superficies de Bézier Curvas y superficies B-spline Curvas y Superficies B-spline racionales (N.U.R.B.S.) 34 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 3.2. EVOLUCIÓN HISTÓRICA Hace algo más de dos décadas, casi todos los dibujos se ejecutaban usando lápiz y papel. Si hubiese cambios era necesario borrar y volver a dibujar. Si el cambio era importante, se repetía el dibujo por completo. Si un cambio afectaba a otros documentos se tenía que buscar a mano en cada uno de ellos y modificarlos. El CAD (diseño asistido por ordenador) ha modificado este método de trabajo, facilitando la forma en se llevan a cabo las tareas de diseño. Ha evolucionado de una herramienta de dibujo 2D a dibujo 3D y actualmente a la realidad virtual (RV). Los beneficios fueron muchos, no sólo el de la obtención de una potente herramienta de dibujo que permite mejorar la calidad y la productividad, sino que también se obtienen otros beneficios. En paralelo al desarrollo de las aplicaciones de CAD, se han desarrollado también otras de simulación, modelización y manufactura de productos. Esta evolución ha ido paralela al aumento de la capacidad de proceso y a la facilidad de uso de los ordenadores, avanzando notablemente desde la llegada de los PCs. Evolución histórica de los sistemas CAD El CAD ha constituido una grande evolución para el sector de la ingeniería, la arquitectura y la construcción, porque, además de otras utilidades, eliminó la necesidad de dibujar los planos a mano, permitiendo también incorporar los cambios con facilidad. El CAD ha alterado la naturaleza de elaboración manual de perspectivas 3D que no eran interactivas y consistían en técnicas de dibujo lentas y laboriosas, ampliando el alcance y la definición del proceso de diseño (BALDASANO 1989, DE COS 1998). A continuación se presenta una breve historia del CAD, desde la década de los años 50, cuando apareció el primer programa gráfico, hasta la década de los 90: "Antes de 1970. El primer CAD data de los años 50 para las Fuerzas Aéreas de USA. El primer sistema de gráficos, el SAGE (Semi Automatic Ground Environment) un sistema de defensa aérea, que fue empleado para visualizar datos de radar, fue desarrollado en colaboración con el MIT (Massachutes Institute of Technology). En los 60, los sistemas CAD se utilizaron para diseñar espacios interiores de oficinas. En 1968 estaban ya disponibles los sistemas CAD 2D (muy básico, tal y como lo entendemos hoy en día). Estos sistemas funcionaban en terminales de grandes ordenadores (mainframes). Años 70. A principios de esta década varias compañías empezaron a ofrecer sistemas de diseño/dibujo automatizado. Muchos de los productos y firmas más conocidas en la actualidad tuvieron sus inicios en este periodo. Algunos de estos nombres incluyen CATIA y CADLink. Podían encontrarse ya algunas capacidades 3D en programas de cálculo de sistemas HVAC (Heating, Ventilation and Air Conditioning). A finales de los 70, un sistema típico de CAD consistía en un mini-ordenador de 16 bits con un máximo de 512 Kb de memoria y de 20 a 300 Mb de disco duro. Años 80. Autodesk entra en escena con el objetivo de crear un programa de CAD que funcione sobre un PC. En poco tiempo Autocad llegó a ser el programa más popular de CAD. Muchos otros programas de compañías diversas siguieron la misma senda. Durante esta década, los programas de CAD se utilizaban básicamente para desarrollos de ingeniería. Empiezan a desarrollarse los sistemas GIS (Geographical Information Systems). 35 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid Años 90. Se generalizan las visualizaciones en 3D. Autocad versión 12 se convierte en el programa de CAD sobre Windows más vendido. A mediados de los 90 aparecen muchos programas de CAD para una gran variedad de usos y aplicaciones. A finales de los 90 mucha gente utiliza ya los programas de CAD de forma habitual, pero hay todavía una gran lucha por atraer la atención de los usuarios. Se desarrollan programas mejores para satisfacer las necesidades crecientes de la industria. Se desarrollan también muchos programas sencillos de CAD. Los programas de CAD 3D abundan en el mercado. Se ofrecen soluciones a segmentos verticales aportando soluciones específicas para cada uno de ellos (construcción, ingeniería civil, mecánica y fabricación, etc.)" (BALDASANO, 1989) La Realidad Virtual (RV) Es una ciencia cuya finalidad es obtener una apariencia de realidad que posibilite al usuario tener la sensación de hacer parte de ella, como si pudiera estar presente en ese nuevo entorno creado. Para que eso sea posible, se hace necesario el empleo de ordenadores y otros dispositivos, y, se consigue gracias a la generación por ordenador de un conjunto de imágenes que son apreciadas por el usuario a través de un visor. Se pueden utilizar también artefactos como gafas, trajes, guantes etc. que equipados con sensores diseñados para simular la percepción de diferentes estímulos, intensifican la sensación de realidad. Su aplicación, aunque centrada inicialmente en el terreno de los videojuegos, se ha extendido a otros muchos campos, como la medicina, arquitectura o las simulaciones de vuelo (GÁLVEZ, 2004). La RV nos introduce en un mundo tridimensional. La diferencia es que se deja de mirar por una pantalla de ordenador y se pasa a estar dentro del escenario virtual. Permiten realizar los procesos de distribución en planta de forma tridimensional, incorporando y comprobando los resultados del diseño y pudiéndolo modificar interactivamente. Todo ello también es extensible al desarrollo de productos (GÁLVEZ, 2004). La Realidad Aumentada (RA) Es una tecnología que mejora o aumenta la visión del usuario con relación al mundo real a través de información adicional generada por un modelo informatizado. La realidad aumentada añade información al mundo real del usuario. A diferencia de la RV, donde el usuario se encuentra sumergido en un mundo artificial, la RA permite a los usuarios la interacción de manera natural con un mundo que es mezcla de virtual y de real. Los sistemas de realidad virtual introducen el mundo real al ordenador, mientras que en la realidad aumentada el ordenador es llevado al mundo real del usuario (BALDASANO et al, 2011). No obstante, este tipo de aplicaciones impone unos requerimientos muy exigentes. Para poder combinar modelos con realidad hace falta que estos modelos sean muy precisos. Esta mezcla realista requiere que los objetos que se introducen en la escena real se comporten de una manera muy realista. Para conseguir esta realidad la RA precisa una descripción muy detallada del escenario físico (BALDASANO et al, 2011). 36 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 13: EJEMPLO DE REALIDAD AUMENTADA Fuente: Google Imágenes Integración vertical de aplicaciones de diseño En el campo del CAD, el conjunto de aplicaciones capaces de realizar o ayudar a la realización del diseño completo de un producto se llama integración vertical. Combinar aplicaciones informáticas para lograr terminar un diseño era imposible o muy difícil en el pasado, dado que no podían trasladar modelos, datos, etc. de una aplicación a otra. De esta forma, el arquitecto tenía que rediseñar muchas veces para avanzar desde el diseño conceptual hasta la fabricación del objeto diseñado. Esto se puede ver muy bien en los programas actuales para estructuras tensadas, dónde en el Wintess3, por ejemplo, es posible combinar las fases de búsqueda de forma, cálculo y patronaje en un mismo programa. Las aplicaciones "llaves en mano" demuestran un intento de una manera de integración de aplicaciones, porque consisten en aplicaciones estrechamente integradas (cómo el Wintess3, el EasyTechnet, MPanel etc), en donde el análisis por elementos finitos, el diseño e incluso la gestión de la base de datos de ingeniería y arquitectura se añaden a un CAD concreto, con el fin de crear un conjunto de herramientas de diseño. Conclusión Como hemos podido ver en el recurrir del texto se produce una rápida sustitución de las mesas de dibujo por las pantallas de los ordenadores debido a la creación de los sistemas de CAD. Ello se debe esencialmente a dos razones: 1) los programas se hacen más potentes y más fáciles de usar de forma simultánea, y 2) el precio, tanto del PC como del programa CAD entra en un umbral de accesibilidad. Los sistemas de dibujo asistido por ordenador ayudan a obtener proyectos más precisos, mejor dibujados y más fáciles de modificar, mejorando así la productividad del proyecto y del profesional. Se ha avanzado en la gestión y comunicación de la información y de los conocimientos, en la visualización 3D y se ha revolucionado los colores. Además, generan flujos de información a otras fases del proyecto, facilitando cada etapa del trabajo y son parte fundamental de las empresas de arquitectura e ingeniería donde constituyen un capital tecnológico. Aún así, las realidades virtuales y aumentadas presentan nuevas oportunidades de avanzar en la capacidad creativa del hecho de proyectar y en simular a escala virtual lo proyectado. Ello debería llevarnos a escoger y definir mejor las soluciones adoptadas, y a integrar las nuevas exigencias (seguridad, medio ambiente, etc.) del hecho de proyectar. 37 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 3.3. Parametrización de curvas y superficies Las curvas y superficies B-splines racionales y no-racionales (NURBS) y sus antecedentes, curvas y superficies de Bézier, son las más utilizadas en los programas gráficos de CAD. Como las NURBS son curvas y superficies paramétricas, repasaremos brevemente la descripción paramétrica de las curvas y superficies. En particular, las superficies de revolución y las generadas por desplazamientos se suelen ver con frecuencia en los dibujos de mallado para estructuras tensadas y por tanto las veremos con poco más de detalle (ROGERS, 2001). En matemáticas las curvas y superficies se representan implícita ó paramétricamente. Cada una de estas maneras de representar matemáticamente las curvas y superficies tiene sus ventajas y sus desventajas; por ejemplo, las representaciones implícitas de la forma F(x,y)=0 y F(x,y,z)=0 para curvas planas y superficies respectivamente, dependen del sistema de referencia elegido (esto es, dependen de los ejes coordenados). Y aunque la representación paramétrica es muy útil algunas operaciones con curvas y superficies son más difíciles; por ejemplo determinar la intersección de dos superficies, calcular la distancia de un punto a una curva. En la representación paramétrica de una curva las coordenadas de los puntos de la curva vienen dadas en función de un parámetro t: x=f(t), y=g(t), z=h(t). Por ejemplo, el segmento que contiene a los puntos P1=[a1,b1,c1] y P2=[a2,b2,c2] admite la siguiente representación paramétrica: x=a1+(a2-a1)t, y=b1+(b2-b1)t, z=c1+(c2-c1)t, donde el parámetro t toma los valores de 0 a 1. En la representación paramétrica de una superficie las coordenadas de los puntos de la superficie vienen dadas en función de dos parámetros u y v: x=f(u,v), y=g(u,v), z=h(u,v). Fijada una parametrización de una superficie obtenemos dos familias destacadas de curvas contenidas en la superficie que son las “curvas isoparamétricas” obtenidas al fijar uno de los parámetros; por ejemplo, fijando el parámetro u=u0 tenemos la curva: x=f(u0,v), y=g(u0,v), z=h(u0,v) que sabemos que está contenida en la superficie (ROGERS, 2001). Superficies de Revolución Una familia muy conocida de superficies es la por revolución, la cual consiste en girar una curva plana alrededor de un eje. En la figura siguiente se representa una superficie cónica obtenida al girar un segmento de recta alrededor del eje z. Cada pundo de la superficie obtenida es función de dos parámetros: el ángulo de rotación y el parámetro de la curva que se gira alrededor del eje. En la figura anterior un punto del segmento t (contenido en el plano x = 0) viene dado por P(t) = [0, y(t),z(t)], y, el punto de la superficie obtenido al girar dicho punto un ángulo θ viene dado por P(t,θ) = [y(t)senθ, y(t)cosθ, z(t)]. 38 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid Superficies generadas por desplazamientos Superficies generadas por desplazamientos se obtienen al mover una curva a lo largo de un camino. Las superficies de rotación, vistas anteriormente, son un caso particular de superficie por desplazamiento. Sea C(t) un punto arbitrario de la curva que vamos a trasladar y sea M(s) el camino a lo largo del que se va a desplazar la curva C(t). Un punto genérico de la superficie obtenida al trasladar C(t) a lo largo de M(s) viene dado por P(t,s)=C(t)+M(s)-OP0, donde P0 es el punto de intersección de C(t) y M(s), véase la siguiente figura. Una vez obtenida una representación paramétrica de la curva ó superficie se puede operar con ella (girarla, trasladarla, calcular rectas y planos tangentes, curvaturas, etc…). Por tanto, el primer paso para trabajar con curvas y superficies suele ser encontrar una parametrización "adecuada" de la curva ó superficie. De hecho muchas curvas y superficies no se pueden representar analíticamente y tienen que representarse “a trozos”. …). En particular, para curvas y superficies trazadas a mano alzada el problema reside en encontrar una parametrización. Dicho problema fue resuelto en los años 60, de manera paralela, por Pierre Bézier y Paul de Casteljau, ambos ingenieros de la industria automovilística. La idea se basa en el hecho de que fijados los extremos de la curva y unos vectores tangentes en dichos extremos se puede obtener una parametrización de la curva. Pierre Bézier desarrolló una técnica para indirecta e intuitivamente especificar y controlar estos datos. El resultado fueron las curvas y superficies de Bézier que fueron seguidas por las curvas y superficies B-splines y finalmente por las NURBS en el proceso de búsqueda de mayor flexibilidad y precisión. 3.3.1. CURVAS DE BÉZIER La curva de Bézier emplea como mínimo tres puntos para su definición, llegando hasta "n" puntos ordenados llamados puntos de control que determinan el polígono de control que va a determinar la curva. La curva de Bézier cumple las siguientes propiedades: • • • Los vectores tangentes en los extremos de la curva tienen la misma dirección que el primer y último segmento del polígono de control. La curva está contenida en la envolvente convexa del polígono de control. La curva es invariante por transformaciones afines. Describiremos brevemente el caso de una curva de Bézier definida por cuatro puntos de control {B0,B1,B2,B3}, ya que es una de las más comúnmente utilizadas. En este caso la curva de Bézier obtenida es una cúbica. Empezamos conectando los puntos de control: B0 a B1, B1 a B2 y B2 a B3, obteniendo así el polígono de control. Haciendo una interpolación linear en cada lado de este polígono, tenemos los puntos B01, B02 y B03. Estos puntos se 39 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid conectan de nuevo entre sí en el proceso de interpolación, generando dos puntos más. Continuando el proceso, uniendo estos dos puntos y encontrando su punto medio, obtenemos finalmente el punto por donde la curva deberá pasar (ANTUNES, 2008). Este proceso describe el llamado "algoritmo de Casteljau" y con él obtenemos una parametrización polinómica de la curva. Dicha parametrización se puede expresar como sigue: donde P(t) es el vector de posición de los puntos de la curva y las funciones Jn,i(t) se denominan funciones de Bézier o de Bernstein, forman la llamada base de polinomios de Bernstein y vienen dadas por: Dependiendo de los puntos de control podemos obtener distintas curvas que pueden presentar cúspides e incluso formar "loops". La figura de abajo ilustra distintas posibilidades ofrecidas por la curva de Bézier. 40 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid Algunas de las limitaciones que podemos encontrar en las curvas de Bézier son las siguientes: 1. El número de vértices en el polígono de control fija el orden del polinomio resultante que parametriza la curva. 2. Debido a la naturaleza global de la base de Bernstein un cambio en uno de los vértices afecta a toda la curva. 3. Hay curvas que no admiten una parametrización polinómica y por tanto, no se pueden describir como curvas de Bézier. 3.3.2. CURVAS B-SPLINE Las curvas B-splines desarrolladas en 1967 por Schoenberg10, son, hasta hoy, los tipos más populares utilizados en computación gráfica. Las curvas B-splines (de Basis spline) son un tipo de curvas que no poseen las deficiencias de las curvas de Bézier y en cierta manera las generalizan. Las curvas B-spline vienen definidas por una base llamada base B-spline que contiene a la base de Bernstein como un caso particular. El comportamiento no global de las curvas B-spline se debe al hecho de que cada nodo Bi está asociado con una única función base. Por tanto, cada nodo interviene en la forma de la curva sólo en un rango de los valores del parámetro donde su función base asociada no se anula. La base B-spline permite cambiar el orden de la curva resultante sin cambiar el número de nodos en el polígono de control (C.DE BOOR, 1972). Una curva B-spline viene dada por: donde Bi son los puntos de control y las Ni,k(t) son las funciones base B-spline normalizada. Para la i-ésima función base B-spline de orden k, las funciones base Ni,k(t) están definidas por las fórmulas de recursión de Coz-de Boor; esto es, y donde xi es la componente i-ésima de un vector de nodos que satisfacen la relación xi ≤ xi+1. Si xi+1-xi es un valor constante, la curva obtenida se dice uniforme. En las B-Splines uniformes los intervalos tienen la misma longitud, y, por tanto, las funciones de la base son copias trasladadas. 10 Isaac Jacob Schoenberg fue un matemático rumano que descubrió las splines: "Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions, Quart. Appl. Math., vol. 4, pp. 45–99 and 112–141, 1946." 41 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid En el ejemplo de la siguiente imagen la curva está definida por cuatro puntos de control y cuatro funciones base y se muestra cómo mover el punto P4 sólo afecta a los tramos Q4 y Q5 de la curva, manteniendo el tramo Q3 intacto. Las curvas B-spline satisfacen las siguientes propiedades: 1. Una curva B-spline tiene continuidad C0 (posicional), C1 (de la primera derivada) y C2 (de la segunda derivada). La continuidad C2 está en garantizada en el hecho de compartir puntos de control por tramos de curva adyacentes. 2. La curva generalmente sigue la forma del polígono de control. 3. Es invariante por transformaciones afines. 4. La curva está contenida en la envolvente convexa del polígono de control. 5. Exhibe control local (puntual). 42 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 3.3.3. CURVAS B-SPLINE RACIONALES NO UNIFORMES (N.U.R.B.S.) Las curvas B-spline racionales nos provee de una herramienta eficaz de representar las formas analíticas más comunes (rectas, planos, cónicas, curvas libres, cuádricas, superficies de formas libres) usadas en los programas gráficos de CAD. Actualmente las curvas y superficies NURBS (NonUniform Rational B-spline) son la descripción más común en los programas gráficos (ROGERS, 2001). Una curva NURBS es una curva es la proyección de una curva B-spline (no-racional) definida en el espacio proyectivo de dimensión 3 al espacio afín de dimensión 3; esto es, proyección del espacio 4-dimensional de coordenadas homogéneas al espacio 3-dimensional (ROGERS, 2001). Por tanto, las curvas NURBS vienen dadas por funciones racionales, esto es, como cociente de funciones polinómicas. donde son los puntos de control del polígono, una curva B-spline no-racional en el espacio proyectivo de dimensión 4. La proyección de en el espacio afín nos da la siguiente curva B-spline racional: donde Bi son la proyección de los puntos de control y: en el espacio afín (esto es, los nodos para la curva NURBS) son las funciones B-splines racionales. Las curvas NURBS son una generalización de las curvas B-spline y por tanto satisfacen las mismas propiedades geométricas que las B-splines. Las NURBS satisfacen además alguna propiedad más restrictiva como, por ejemplo, la invariancia por transformaciones proyectivas; esto es, cualquier transformación proyectiva se aplica a la curva NURBS aplicando dicha transformación a sus puntos de control (ROGERS, 2001). Por tanto, las curvas NURBS son útiles por varias razones: 1. Son invariantes bajo transformaciones afines, así como de perspectiva: operaciones de rotación y traslación se pueden emplear en las curvas y superficies NURBS aplicándolas a sus puntos de control. 2. Ofrecen una estructura matemática común para figuras analíticas estándar (por ejemplo, cónicas) y figuras de forma libre. 3. Proporcionan flexibilidad para diseñar una gran variedad de figuras. 4. Reducen el consumo de memoria al almacenar figuras (en comparación con métodos más sencillos). 5. Pueden ser evaluados rápidamente por algoritmos numéricamente estables y precisos. 43 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 3.3.4. SUPERFICIES DE BÉZIER Las superficies de Bézier se definen de manera análoga a como se definen las curvas de Bézier. En este caso partimos de una malla de control. La parametrización de la superficie de Bézier viene dada por: donde Bi,j son los vértices de la malla de control y las funciones Jn,i(u), Jm,j(v) son los polinomios de Bernstein (ya descritos en el caso de las curvas de Bézier). Los índices n,m indican el número de vértices en el polígono de control en las direcciones de los parámetros u y v, respectivamente. La malla de control se puede dar por tanto como una matriz de orden (n+1)x (m+1) cuyas entradas son los vértices Bi,j (ANTUNES, 2008). Las siguientes figuras muestran una malla de control y su correspondiente superficie de Bézier y cómo varía la superficie de Bézier cuando se modifica la posición de uno de los puntos de su malla de control. A continuación se enumeran las propiedades de las superficies de Bézier (que obviamente son análogas a las propiedades de las curvas de Bézier): 1. El grado de la superficie en cada una de las dos direcciones es igual al número de vértices de control en dicha dirección menos uno. 2. La superficie sigue la forma de la malla de control. 3. La malla de control coincide con la superficie solamente en los puntos de control de las esquinas de la malla. 4. La superficie está contenida dentro del dominio convexo de la malla de control. 5. Cada una de las curvas borde de la superficie de Bézier es a su vez una curva de Bézier. 6. La superficie de Bézier es invariante por transformaciones afines. Algunas de las limitaciones que podemos encontrar en las curvas de Bézier son las siguientes: 1. El número de vértices en el polígono de control fija el orden del polinomio resultante que parametriza la curva. 2. Debido a la naturaleza global de la base de Bernstein un cambio en uno de los vértices afecta a toda la curva. 3. Hay curvas que no admiten una parametrización polinómica y por tanto, no se pueden describir como curvas de Bézier. 44 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 3.3.5. SUPERFICIES B-SPLINE Análogamente a lo que sucede en las curvas paramétricas, las superficies B-splines tienen más grados de libertad que las superficies de Bézier. Las superficies tipo B-spline se pueden utilizar para describir formas variadas como carrocerías de automóviles, fuselajes de aviones, cascos de buques y otras superficies que requieran un control más preciso. En el caso de las superficies B-spline además de la malla de control se necesita un vector nodal asociado a cada una de las direcciones. Los índices n+1 y m+1 representan el número de vértices de la malla de control en las direcciones u y v respectivamente. Asimismo, los valores k y l indican el orden de las funciones base B-spline en cada una de las dos direcciones de la superficie (C.DE BOOR, 1978). La parametrización de una superficie B-spline con malla de control Bij es la siguiente: donde Ni,k(u) and Mj,l(v) son las funciones base B-spline en las direcciones u y v respectivamente. Como ocurría en el caso de las curvas B-spline, la forma de las superficies B-spline está influida por los valores de los vectores nodales en cada dirección. Aunque es habitual utilizar el mismo tipo de vector nodal en cada dirección paramétrica, es posible utilizar, por ejemplo, un vector nodal periódico en una dirección y un vector nodal abierto en otra. La figura de abajo muestra la superficie resultante al combinar curvas abiertas con curvas periódicas con malla de control cerrada en dicha dirección. Del mismo modo que las curvas B-spline tenían la propiedad de poder modificar de manera local el polígono de control sin que esto afectase a toda la curva, en las superficies paramétricas ocurre lo mismo. La Figura de abajo muestra la variación de la malla de control en la zona central y la influencia de esto en la superficie resultante. 45 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid Al tener las mismas funciones base que las curvas B-spline, las propiedades son muy similares a las de éstas: 1. El orden máximo en cada dirección paramétrica, (k, l), está dado por el número de vértices de control en dicha dirección. 2. Si el número de puntos de control es igual al orden en cada dirección paramétrica, la superficie B-spline se reduce a una superficie de Bézier. 3. La superficie está contenida en un dominio convexo formado por la unión de todos los subdominios convexos formados por k, l vértices adyacentes de la malla de control. 4. El grado de la superficie en cada dirección paramétrica es el orden menos uno. 3.3.6. SUPERFICIES B-SPLINE RACIONALES NO UNIFORMES (NURBS) Como ya se ha comentado en la introducción de este capítulo las superficies B-spline racionales (NURBS) son la base para el modelado de superficies en los programas gráficos de CAD. La mayoría de las superficies clásicas así como muchas superficies trazadas a mano alzada se pueden representar por superficies NURBS. Por tanto, dicha descripción de la superficie con un gran control local y global de la forma buscada es ampliamente utilizada por los programas gráficos de CAD. Las superficies de B-spline (no-racionales) son un caso particular de NURBS. Al igual que en las curvas NURBS, las superficies NURBS incorporan las coordenadas homogéneas o factores de peso que aportan un grado de libertad más respecto a las superficies B-spline no racionales. La construcción es análoga a la de las curvas NURBS y con ella obtenemos una parametrización de la superficie de la siguiente forma (ROGERS, 2001): donde Bi,j son los vértices de la malla de control y Ri,j(u,v) son las funciones base B-spline racionales. Las propiedades de las superficies NURBS, análogas a las de las curvas NURBS, son las siguientes: 1. La suma de los valores de las funciones base racionales para cualquier valor de u,v es siempre uno. 46 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 2. El valor de la función base racional es positivo y mayor que cero para cualquier parámetro u,v. 3. El máximo orden de la superficie NURBS en cada dirección es igual al número de vértices de la malla de control en dicha dirección. 4. Para pesos con valores wi,j=0, la superficie está contenida en un dominio convexo formado por la unión de todos los subdominios convexos formados por k, l vértices adyacentes de la malla de control. 5. Si el número de vértices de control es igual al orden en cada una de las direcciones paramétricas y los vectores nodales son uniformes y abiertos, la superficie B-spline coincide con la superficie de Bézier. 47 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 3.4. SOFTWARE QUE UTILIZAN LAS CURVAS Y SUPERFICIES ESTUDIADAS EN ESTE CAPÍTULO La gran mayoría de los software gráficos disponibles en el mercado utilizan los conceptos de las curvas y superficies de Bézier, B-splines y NURBS en función de la gran versatilidad de este tipo de representación para curvas. Entre ellos destacamos el AutoCAD, Rhino, 3Ds max, Grasshopper y el Adobe Illustrator. En ellos se puede trabajar con más facilidad en la generación de mallas para las superficies tensadas y son los que utilizamos más detenidamente para este trabajo, como se puede ver en los siguientes ejemplos: FIGURA 14: CURVAS BÉZIER EN ADOBE ILLUSTRATOR Fuente: Elaboración Propia FIGURA 15: CURVAS SPLINES EN EL PROGRAMA AUTOCAD Fuente: Elaboración Propia 48 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 16: CURVAS Y SUPERFICIES NURBS EN EL PROGRAMA EN 3DS MAX. APLICACIÓN DEL MODIFICADOR "LATHE SURFACE" Y POSTERIOR ROTACIÓN EN DISTINTOS EJES FORMANDO LAS FIGURAS QUE VEMOS EN LAS IMÁGENES A CONTINUACIÓN: Fuente: Elaboración Propia Como podemos percibir en las imágenes anteriores, es posible crear superficies desde aplicaciones CAD, pero la ausencia de barreras físicas que impone la realidad, obligan al usuario a entender que dos objetos que se ven iguales en la pantalla del ordenador no necesariamente son la misma cosa. Una línea recta puede ser un algoritmo que define una recta, una curva con todos sus puntos alineados en una dirección o tal vez una elipse que vista desde un ángulo determinado puede parecer una línea recta. También puede darse el caso de que debajo de esa línea existan líneas u objetos en otros planos dentro del espacio tridimensional que no se ven por el tipo de vista elegido, como se puede ver en los siguientes ejemplos: 49 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid Es por ello fundamental comprender adecuadamente lo que se está realizando para obtener el resultado deseado, porque los diferentes objetos creados se comportan de manera distinta aunque se vean iguales. Estos conceptos son especialmente importantes si se quiere trabajar en un entorno tridimensional, ya que cada objeto se comporta de una forma determinada de acuerdo a sus características iniciales y si el usuario no entiende bien cuáles son las propiedades de dicho objeto, es posible que no pueda realizar correctamente una determinada acción. En el mundo de las tres dimensiones hay que entender bastante bien cómo es el mundo real, cómo está formado geométricamente, cómo se construyen los objetos y cómo éstos interactúan con su entorno. En muchos casos éstos son complementarios a los conocimientos propios del oficio de arquitecto (DE COS, 1998). El uso de la informática no se reduce al dibujo y a la representación de un proyecto, hay muchas otras formas de aplicar esta tecnología en el desarrollo de un proyecto arquitectónico, como por ejemplo las matemáticas, la física y la geometría. 50 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS CAPÍTULO III • ANTUNES, Liane R. Maggioni Silva. Curvas de Bézier. <http://www2.ic.uff.br/~aconci/Bezier.htm>. 2008 • BALDASANO, J.M. Influencia de la Informática en el Proceso de Proyectar. V Encuentro Nacional de Proyectos de Ingeniería, UPV. Valencia, 20-21-Septiembre, 1989. • BALDASANO et al. DISEÑO ASISTIDO POR ORDENADOR (CAD). EVOLUCION Y PERSPECTIVAS DE FUTURO EN LOS PROYECTOS DE INGENIERIA. <http://www.unizar.es/aeipro/finder/INGENIERIA%20DE%20PRODUCTOS/BF04..htm>. 2011. • C. DE BOOR. On calculating with b-splines. Jour. Approx Theory, Vol. 6: pages 50–62, 1972. • C. DE BOOR. A Practical Guide to Splines. Springer-Verlag, New York, 1978. • DE COS, M. Teoría General del Proyecto. Ingeniería de Proyectos. Editorial Síntesis. Madrid, 1998. • GÁLVEZ Mozo, A. (2004) Posicionamientos y puestas en pantalla. Un análisis de la producción de sociabilidad en los entornos virtuales. Barcelona: UAB, 2004 • ROGERS, F. David. A Introduction to NURBS with Historical Perspective. Academic Press, San Diego, USA, 2001. 51 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 4. CAPÍTULO IV: MÉTODOS DE CÁLCULO DE ESTRUCTURAS TENSADAS 52 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 4.1. INTRODUCCIÓN Tradicionalmente el diseño de estructuras tensadas ha seguido un camino diferente al del cálculo de estructuras tradicional debido básicamente a que necesitan un tratamiento especializado. Las posibilidades arquitectónicas para la configuración final están sujetas a la condición de que la forma sea físicamente viable; esto es, que la estructura esté en equilibrio. En este tipo de estructuras en las que las tensiones son tangentes a la superficie, la forma está determinada por la fuerza y recíprocamente. Dicho proceso de búsqueda de forma con fuerzas en equilibrio en un entorno fijado con respecto a cierto estado de tensiones preestablecido se denomina usualmente búsqueda de forma (form finding). Desde mediados del siglo XX, y con los avances computacionales de las últimas décadas, la investigación se ha focalizado en desarrollar métodos numéricos para el diseño de estructuras tensadas (tanto textiles como de redes de cables) y se han desarrollado distintos métodos de búsqueda de forma. Los primeros métodos se dedicaban básicamente a estructuras de redes de cables y últimamente se han extendido a métodos de elementos de superficie para estructuras de membrana. Teniendo en cuenta que podemos modelizar una membrana a través de redes de cables, algunos programas computacionales dedicados al búsqueda de forma de estructuras tensadas textiles utilizan dichos programas considerando que se ha modelizado la membrana como una red de cables y por tanto utilizando los métodos de búsqueda de forma dedicados a membranas de cables. Este es el caso de los programas que hemos analizado en este trabajo (e.g. Wintess3, MPanel, Easy Technet y Grasshopper + Kangaroo). Al hablar de métodos numéricos de cálculo, surge el tema al que nos dedicamos para este trabajo, el de programas de elementos finitos que se utilizan para equilibrar las estructuras tensadas en la fase de cálculo estructural y que haremos una breve introducción para situarnos en el tema. Métodos de los Elementos Finitos El método de los elementos finitos (MEF) ha adquirido una gran importancia en la solución de problemas ingenieriles, físicos, etc., ya que permite resolver casos que hasta hace poco tiempo eran prácticamente imposibles de resolver por métodos matemáticos tradicionales (CARNICERO, 2011). Esta circunstancia obligaba a realizar prototipos, ensayarlos e ir realizando mejoras de forma iterativa, lo que traía consigo un elevado coste tanto económico como en tiempo de desarrollo. El MEF permite realizar un modelo matemático de cálculo del sistema real, más fácil y económico de modificar que un prototipo. Sin embargo no deja de ser un método aproximado de cálculo debido a las hipótesis básicas del método. Los prototipos, por lo tanto, siguen siendo necesarios, pero en menor número, ya que el primero puede acercarse bastante más al diseño óptimo (CARNICERO, 2011). 53 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 17: ANÁLISIS NO LINEAL CON GRANDES DEFORMACIONES UTILIZANDO ELEMENTOS FINITOS Fuente: <w3.mecanica.upm.es>. Acceso: 18/04/2014 El método de los elementos finitos como formulación matemática es relativamente nuevo, aunque su estructura básica es conocida desde hace bastante tiempo, en los últimos años ha sufrido un gran desarrollo debido a los avances informáticos. Han sido precisamente estos avances informáticos los que han puesto a disposición de los usuarios gran cantidad de programas que permiten realizar cálculos con elementos finitos. Sin embargo, el manejo correcto de este tipo de programas exige un profundo conocimiento no solo del material con el que se trabaja, sino también de los principios del MEF. Sólo en este caso estaremos en condiciones de garantizar que los resultados obtenidos en los análisis se ajustan a la realidad. En la práctica el MEF constituye un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales. La solución obtenida por MEF es sólo aproximada, coincidiendo con la solución exacta sólo en un número finito de puntos llamados nodos. En el resto de puntos que no son nodos, la solución aproximada se obtiene interpolando a partir de los resultados obtenidos para los nodos, lo cual hace que la solución sea sólo aproximada debido a ese último paso (CARNICERO, 2011). El MEF convierte un problema definido en términos de ecuaciones diferenciales en un problema en forma matricial que proporciona el resultado correcto para un número finito de puntos e interpola posteriormente la solución al resto del dominio, resultando finalmente sólo una solución aproximada. El conjunto de puntos donde la solución es exacta se denomina conjunto nodos. Dicho conjunto de nodos forma una red, denominada malla formada por retículos. Cada uno de los retículos contenidos en dicha malla es un "elemento finito". El conjunto de nodos se obtiene dividiendo o discretizando la estructura en elementos de forma variada, que pueden ser superficies, volúmenes y barras (CARNICERO, 2011). Desde el punto de vista de la programación algorítmica modular las tareas necesarias para llevar a cabo un cálculo mediante un programa MEF se dividen en: • • "Preproceso, que consiste en la definición de la geometría, generación de la malla, las condiciones de contorno y asignación de propiedades a los materiales y otras propiedades. En ocasiones existen operaciones cosméticas de regularización de la malla y precondicionamiento para garantizar una mejor aproximación o una mejor convergencia del cálculo. Cálculo, el resultado del preproceso, en un problema simple no-dependiente del tiempo, permite generar un conjunto de N ecuaciones y N incógnitas, que puede ser resuelto con cualquier algoritmo para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Cuando el problema a tratar es un problema no 54 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid • lineal o un problema dependiente del tiempo a veces el cálculo consiste en una sucesión finita de sistemas de N ecuaciones y N incógnitas que deben resolverse uno a continuación de otro, y cuya entrada depende del resultado del paso anterior. Postproceso, el cálculo proporciona valores de cierto conjunto de funciones en los nodos de la malla que define la discretización, en el postproceso se calculan magnitudes derivadas de los valores obtenidos para los nodos, y en ocasiones se aplican operaciones de suavizado, interpolación e incluso determinación de errores de aproximación." (CARNICERO, 2011) El método de los elementos finitos supone, para solucionar el problema, el dominio discretizado en subdominios denominados elementos. El dominio se divide mediante puntos (en el caso lineal), líneas (en el caso bidimensional) o superficies (en el tridimensional), de forma que el dominio total en estudio se aproxime mediante el conjunto de porciones (elementos) en que se subdivide. Los elementos se definen por un número discreto de puntos, llamados nodos, que conectan entre si los elementos. Sobre estos nodos se materializan las incógnitas fundamentales del problema. En el caso de elementos estructurales estas incógnitas son los desplazamientos nodales, ya que a partir de éstos podemos calcular el resto de incógnitas que nos interesen: tensiones, deformaciones, etc. A estas incógnitas se les denomina grados de libertad de cada nodo del modelo. Los grados de libertad de un nodo son las variables que nos determinan el estado y/o posición del nodo (CARNICERO A., 2011). Por ejemplo si el sistema a estudiar es una viga en voladizo con una carga puntual en el extremo y una distribución de temperaturas tal y como muestra la figura: el discretizado del dominio puede ser: Los grados de libertad de cada nodo serán: · Desplazamiento en dirección x · Desplazamiento en dirección y · Giro según z · Temperatura El sistema, debido a las condiciones de contorno: empotramiento, fuerza puntual y temperatura, evoluciona hasta un estado final. En este estado final, conocidos los valores de los grados de libertad de los nodos del sistema 55 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid podemos determinar cualquier otra incógnita deseada: tensiones, deformaciones, etc. También sería posible obtener la evolución temporal de cualquiera de los grados de libertad. Planteando la ecuación diferencial que rige el comportamiento del continuo para el elemento, se llega a fórmulas que relacionan el comportamiento en el interior del mismo con el valor que tomen los grados de libertad nodales. Este paso se realiza por medio de unas funciones llamadas de interpolación, ya que éstas ‘interpolan’ el valor de la variable nodal dentro del elemento. El problema se formula en forma matricial debido a la facilidad de manipulación de las matrices mediante ordenador. Conocidas las matrices que definen el comportamiento del elemento (en el caso estructural serán las llamadas matrices de rigidez, amortiguamiento y masa, aunque esta terminología ha sido aceptada en otros campos de conocimiento) se ensamblan y se forma un conjunto de ecuaciones algebraicas, lineales o no, que resolviéndolas nos proporcionan los valores de los grados de libertad en los nodos del sistema (CARNICERO A., 2011). Para este capítulo, nos centraremos en la exposición de los métodos de análisis de estructuras tensadas que utilizan dichos programas. La idea es aclarar cuatro puntos desde el punto de vista de la modelización de estructuras tensadas: 1) Modelización de la membrana como una red de cables. 2) Ecuaciones de equilibrio en la red de cables. 3) Destacar que son estructuras geométricamente no-lineales. 4) Los métodos numéricos más comunes para la resolución de estructuras geométricamente no-lineales son: a. Método de la Rigidez Transitoria o de la Matriz de Rigidez (Stiffness Matrix Method, SM) (Siev and Eidelman, 1964; Haug and Powell, 1972; Argyris et al., 1974; Tabarrok and Qin, 1992). b. Método de Densidad de Fuerza (Force Density Method, FDM) (Linkwitz and Schek, 1971) c. Método de Densidad de Fuerza de pasos múltiples con ajuste de fuerza (Multi-step force-density method with force adjustment, MFDF) (Sánchez et al., 2007; Maurin and Motro, 1997) d. Método Geométrico de Rigidez (Geometric stiffness method, GSM). (Haber and Abel, 1982; Bletzinger and Ramn, 1999; Nouri-Baranger, 2002,2004; Pauletti and Pimenta, 2008) e. Estrategia de Referencia actualizado con mapeado homotópico (Updated Reference strategy with Homotopy mapping, URSHM) (Bletzinger and Ramm, 1999) f. Relajación Dinámica (Dynamic Relaxation, DR) (Barnes, 1977; Barnes, 1988; Barnes, 1999) g. Sistema de muelles y partículas (Particle Spring System, PS) (Kilian and Ochsendorf, 2005) (D. VEENENDAAL; P. BLOCK, 2012) Para este trabajo sólo vamos a estudiar tres de ellos, que son los más comunes: 1. Método de Rigidez Transitoria, 2. Método de Densidad de Fuerza, 3. Relajación Dinámica. 56 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 4.2. MODELIZACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS ELEMENTOS CONSTRUCTIVOS DE ESTRUCTURAS TENSADAS La forma final de la estructura depende de una serie de parámetros que se dividen en dos grandes grupos: los parámetros intrínsecos, que se basan en las propiedades de la membrana o de la red de cables (geometría, masa o elasticidad), y, los parámetros circunstanciales, que dependen del estado en que se encuentre el sistema (fuerzas externas). El comportamiento viene establecido por un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, donde en los casos más sencillos se puede obtener una solución analítica. No obstante, en una realidad de mayor complejidad donde no es posible obtener una solución analítica se aplican métodos numéricos para obtener una solución numérica (CAPASSO et al, 1993). En la mayoría de las estructuras, la configuración de referencia es conocida, ya que esta no depende de las tensiones internas ni interferencias externas (como viento, nieve, cargas sísmicas etc.), que son al principio desconocidas, y que deben ser determinadas. La resolución de este problema constituye lo que se denomina problema de equilibrio inicial y es el paso previo a la obtención de la respuesta (ya sea estática o dinámica) de una estructura tensada frente a una acción exterior (LEONARD, 1987). Para resolver este problema habrá que diferenciar los parámetros especificados por el diseñador y los que son tratados como incógnitas, este son: la topología de la estructura, las cargas externas, la geometría de la estructura y la distribución de fuerzas internas. Las cargas externas pueden complicar el problema de equilibrio inicial, por lo que se suele asumir que los miembros de la estructura no tienen peso y que ninguna carga actúa en los nodos. No obstante, para obtener una solución completa, las fuerzas externas estarán presentes en muchas de las ecuaciones utilizadas en los métodos que tratan del equilibrio de la estructura. El problema del equilibrio inicial es un problema estático puro, por lo que no es necesario introducir ecuaciones dinámicas. Sin embargo, algunos métodos como, por ejemplo, el Método de Desplazamiento no Lineal, utilizan ecuaciones cinemáticas para solucionar el problema y requiere que algunas propiedades del material sean especificadas, aunque no necesariamente sean las propiedades reales, ya que se pueden usar propiedades ficticias para controlar la solución de la configuración de referencia (LEONARD, 1987). Para que no haya equívocos vamos a referirnos a los elementos que componen la estructura tensada de la siguiente manera: Superficie y membrana les caracterizamos en el continuo, como el todo de la estructura, como un tejido. La malla y la red de cables tenemos que verlas en su modo discreto, dónde se encuentran los elementos que se van a calcular y conformar la forma final. 57 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid Los cables, por ejemplo, son elementos que constituyen la red de cables y son elementos lineales muy flexibles (esto es, no presentan rigidez a la flexión) capaces de soportar cargas externas con el sólo desarrollo de fuerzas axiales de tracción. Cuándo tenemos un cable cruzado, su comportamiento se da si suponemos un sistema formado por un cable tensor (verde en el gráfico) y un cable portante (rojo en el gráfico) cruzado con el cable tensor. Dichos cables se disponen de manera que al someter a tracción el cable tensor se llegue a un estado de equilibrio. En una red de cables el comportamiento general de esta es muy similar a las de estructura de membrana. De hecho, el tejido de membrana puede ser entendido como una red de cable de malla muy fina. En general se considerarán estructuras tensadas de tipo mixto en las que tenemos membranas y cables. Para lograr la forma apropiada y equilibrada de la estructura tensada, habrá que entender que esta posee un comportamiento geométricamente no-lineal. El término lineal se suele usar para describir las características tensióndeformación del material. Las estructuras que obedecen una relación de carga-desplazamiento lineal se caracterizan automáticamente por una relación tensión-deformación lineal para el material (Ley de Hooke). En el caso de estructuras de cables, por ejemplo, se puede suponer que el material se comporta de manera linealmente elástica y sin embargo el comportamiento de la estructura es, en general, geométricamente no-lineal, a menos que se supongan niveles muy altos de pre-tensado para limitar las deflexiones. Una estructura tensada se comporta de una manera no-lineal; esto es, incluso cuando se trabaja dentro de unos límites de elasticidad las deflexiones pueden ser tan grandes que los cambios en la geometría resultante deben tenerse en cuenta (BARNES, 1999). La principal herramienta para el análisis de la estructura es un modelo matemático, esto es, fórmulas que relaciones las cargas externas con la tensión interna y las deformaciones de la estructura. El modelo a considerar dependerá de los diferentes tipos de estructura, aplicaciones de cargas y condiciones de contorno (BARNES, 1999). El diseño de las estructuras tensadas ligeras requiere una total integración de las habilidades tanto arquitectónicas como ingenieriles. Esto es debido a que es necesario entender la interacción entre la forma de la estructura y el patrón de cargas que se quiere desarrollar. El comportamiento de las ecuaciones no-lineales que describen la forma de la membrana pretensada y consecuentemente el comportamiento bajo la aplicación de cargas no se puede resolver con métodos convencionales aplicables a estructuras "lineales". Por tanto, el análisis tensióndesplazamiento tiene que llevarse a cabo usando procedimientos numéricos iterativos. 58 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid Ejemplo: estructura de dos barras. Consideramos dos barras elásticas articuladas en el centro y en los soportes y separadas por una distancia 2b. La longitud inicial de las barras es aplicar una carga P viene dado por donde y la longitud en el estado actual después de es la extensión de cada barra. Con este ejemplo vemos que para grandes desplazamientos la relación carga-desplazamiento es no-lineal mientras que para desplazamientos pequeños la expansión se puede truncar a primer orden. A continuación se describen los diferentes métodos que han sido utilizados por diferentes autores para predecir el comportamiento de los cuerpos cuando sobre ellos actúan fuerzas externas. Este comportamiento depende de una serie de parámetros que se dividen en dos grandes grupos: los parámetros intrínsecos, que se basan en las propiedades del cuerpo o sistema que se estudia (geometría, masa o elasticidad), y, por otro lado, parámetros circunstanciales, que dependen del estado en que se encuentre el sistema (velocidad, fuerzas externas o posición). El comportamiento viene establecido por un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, donde su solución es analítica en los casos más simples. No obstante, en una realidad de mayor complejidad donde se trabaja con aproximaciones, normalmente se aplican métodos numéricos de integración, como el método de elementos finitos (tratado en capítulo anterior), elementos de contorno, métodos espectrales, etc. Al utilizar el método numérico es posible encontrar solución al problema de búsqueda de forma y equilibro de las membranas de estructuras tensadas. En la mayoría de estructuras, la configuración de referencia es conocida, ya que esta no depende de las tensiones internas ni interferencias externas (como viento, nieve, cargas sísmicas etc.), que son al principio desconocidas, y que deben ser determinadas. La resolución de este problema constituye lo que se denomina problema de equilibrio inicial y es el paso previo a la obtención de la respuesta (ya sea estática o dinámica) de una estructura tensada frente a una acción exterior (MARSDEN;HUGHES, 1994). Para solucionar este problema habrá que diferenciar los parámetros especificados por el diseñador y los que son tratados como incógnitas, este son: la topología de la estructura, las cargas externas, la geometría de la estructura y la distribución de fuerzas internas . Las cargas externas pueden complicar el problema de equilibrio inicial, por lo que se suele asumir que los miembros de la estructura no tienen peso y que ninguna carga actúa en los nodos. No obstante, para obtener una solución completa, las fuerzas externas estarán presentes en muchas de las ecuaciones utilizadas en los métodos que tratan del equilibrio de la estructura (MARSDEN;HUGHES, 1994). El problema del equilibrio inicial es un problema estático puro, por lo que no es necesario introducir ecuaciones dinámicas. Sin embargo, algunos métodos como, por ejemplo, el método de desplazamiento no lineal, utilizan ecuaciones cinemáticas para solucionar el problema y requiere que algunas propiedades del material sean especificadas, 59 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid aunque no necesariamente sean las propiedades reales, ya que se pueden usar propiedades ficticias para controlar la solución de la configuración de referencia. En los siguientes apartados de este capítulo se realizará un resumen de los métodos que se utilizan para la fase de búsqueda de forma y análisis estático de las estructuras tensadas, resaltando sus ventajas e inconvenientes. 4.3. MÉTODO DE RIGIDEZ TRANSITORIA El método presupone dependencia lineal de las deflexiones respecto a las fuerzas que actúan en la estructura. En el caso más sencillo que consiste en una estructura con un único elemento, la relación carga-desplazamiento se puede describir por una ecuación escalar Kδ = P donde K es la rigidez axial, dada como una fuerza por unidad de longitud del elemento, y el desplazamiento δ coincide con el alargamiento del elemento. Para un alargamiento elástico, la rigidez K es igual a la rigidez elástica Ke. En el caso de tener más elementos estructurales la relación carga-desplazamiento de puede escribir como el siguiente sistema lineal de ecuaciones: Kδ = P, donde δ es el vector de desplazamiento nodal, K=(aij) con aij es la fuerza por unidad de longitud de la estructura que une el nodo i-ésimo con el j-ésimo, es la matriz global de rigidez y P es el vector de cargas. La matriz de rigidez de cada elemento contribuye a formar la matriz de rigidez global donde los elementos comparten nodo. Para resolver el sistema de ecuaciones anterior se utiliza el método numérico de la matriz de rigidez que describimos brevemente a continuación. Si k denota el paso iterativo correspondiente a la configuración geométrica actual xk de la estructura respecto de la cual se calcula la matriz de rigidez Kk entonces el vector de desplazamiento en el paso k-ésimo es: y la nueva posición de los nodos es: donde es, es la nueva matriz de rigidez y . Si el desplazamiento es grande entonces consideramos es el vector de cargas internas. La diferencia entre ; esto representa el vector de fuerzas residual. El vector de fuerza residual da la siguiente corrección ó incremento del vector de desplazamiento δ: Este incremento en el vector de desplazamiento sirve para actualizar la geometría de la estructura. Se vuelve a calcular la matriz de rigidez que con los nuevos residuos generan un nuevo incremento de desplazamientos. Se repite el proceso iterativamente hasta que Rk+ → 0, en el que se alcanza el estado de equilibrio. La limitación del método es que presupone una relación lineal entre fuerzas y desplazamientos. 60 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 61 4.3. MÉTODO DE DENSIDAD DE FUERZAS La principal característica del Método de Densidad de Fuerzas (Force Density Method, FDM) propuesto por H. J. Schek en los años 1971 (VEENENDAAL; BLOCK, 2012) se encuentra en la prescripción de un coeficiente de densidad de fuerza, una relación entre fuerza y largo del cable, para cada elemento de cable. Al considerar dicha relación predefinida fuerza/longitud las ecuaciones de equilibrio del sistema que son no-lineal y por tanto, difíciles de resolver, se convierten en un sistema lineal. La solución del sistema lineal de equilibrio se puede obtener por métodos numéricos ya que al trabajar con una gran cantidad de datos e incógnitas (coordenadas de los nodos en la red de cables) la obtención de la solución por métodos analíticos es muy lenta computacionalmente. Breve descripción del método El Método de densidad de fuerzas (FDM) se basa en la utilización de un sistema de ecuaciones lineales para el equilibrio de una red de cables pretensados bajo una relación predefinida fuerza/longitud. Si tenemos una red de cables en las que se conocen las posiciones de los puntos adyacentes a un nodo Pi y las tracciones en los cables a lo largo de los tramos adyacentes. La incógnita del problema es la posición final de dicho nodo, en el que actúa una fuerza externa fi. En el proceso de búsqueda de forma se busca obtener una superficie con una "pre-tensión" determinada y una discretización de la superficie también determinada. Por tanto, esta información inicial puede venir dada en los parámetros de densidad de fuerza que denotamos qi = ti / li, 1 ≤ i ≤ 4. La gran ventaja del Método de Densidad de Fuerzas es la introducción del parámetro q que se define como densidad de fuerzas en cada cable. Si q es constante entonces las ecuaciones de equilibrio se convierten en ecuaciones lineales: Para una estructura general de n nodos y m elementos (cables, varillas, aristas...) las ecuaciones de equilibrio a lo largo de la dirección del eje x para el nodo i-ésimo que está conectado con los nodos j-ésimos, 1 ≤ j ≤ n, son: donde xi es el vector de posición del nodo i-ésimo, fi es el vector de fuerzas en el nodo i-ésimo, tij es la tracción en el tramo ij y lij es la distancia entre los nodos i-ésimo y j-ésimo; esto es, . Estas ecuaciones no son lineales. Al introducir las densidades de fuerzas (cuyos valores se deben conocer a priori) qij = tij / lij, obtenemos el siguiente sistema lineal: Formulación matricial del método de densidad de fuerzas Consideramos una estructura general de n nodos y m elementos (cables, varillas, aristas...); esto es, una malla M con n nodos [N1,…,Nn] y m barras bk = (1-t)Ni + tNj, con 0 ≤ t ≤ 1, que denotaremos bk=[i,j], 1 ≤ k ≤ m. Tenemos M = {N(M), B(M)} con: N(M) = {1,…,n}, B(M) = {b1,…,bm}. Nótese que se trata de un grafo dirigido de vértices {1,…,n} y aristas {b1,…,bm}. Para dicho grafo consideramos su matriz llamada matriz de incidencia o conectividad. Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid Entonces la ecuación se escribe como sigue: siendo la matriz de densidad de fuerzas, el vector fuerza nodal en la dirección el vector columna de todas las componentes x de los nodos. Análogamente se obtienen las ecuaciones de equilibrio en las direcciones y y z. Si las coordenadas de k nodos son conocidas (k < n) entonces el sistema se puede escribir como sigue: siendo xu, xf los vectores de las abscisas de los nodos incógnita y los nodos conocidos respectivamente, y . El problema se reduce al resolver el siguiente sistema de ecuaciones: junto con las ecuaciones análogas para los ejes y, z. En el problema de búsqueda de forma, la fuerza exterior es nula y además si los esfuerzos son de tracción; esto es, qij > 0, la matriz es definida positiva y por tanto, invertible. El problema tiene una única solución: El sistema de equilibrio es muy disperso (esto es, la matriz tiene muchos ceros) y se puede resolver eficientemente con el método numérico del Gradiente conjugado (véase, por ejemplo, Iserles A., A first course in the numerical analysis of differential equations (2ed., CUP, 2009). Capítulo 14). Análisis del método de densidad de fuerzas Es uno de los métodos más utilizados en el diseño de estructuras tensadas, siendo sus características más importantes, según Javier Sierra (2006): 1. Calidad de las formas de equilibrio obtenidas para el diseño de superficies de estructuras tensadas 2. Rapidez en la generación de configuraciones de equilibrio 3. Fiabilidad, que garantiza solución para todo tipo de especificaciones 4. Flexibilidad, que permite realizar fácilmente modificaciones en el estado tensional de la tela. 62 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid Este método ha sido desarrollado con la intención de ofrecer al usuario una herramienta simple, eficiente y segura para la resolución del problema de la determinación de la configuración inicial de equilibrio de estructuras de membrana (MAURIN & MOTRO, 1998). El método de la densidad de fuerza se puede resumir de la siguiente manera: 1. Las variables que el ingeniero debe especificar son la topología estructural y las condiciones de contorno. 2. Las incógnitas del problema son la geometría de la estructura y la distribución de fuerzas internas. 3. Algunas de las restricciones adicionales del método son que se encuentra limitado a elementos cable rectos y la densidad de fuerza ha de estar fijada para cada elemento. Ventajas e Inconvenientes 1. La forma depende del mallado utilizado, en particular del tipo de elemento empleado (triangular, cuadrangular, pentagonal, ...) y de la distribución de los nodos en el dominio. 2. La convergencia depende del proceso de refinamiento de la malla. En general, el método de densidad de fuerzas es un método exacto y consistente que, en un simple paso, permite obtener posiciones de equilibrio. La selección del material y estudiar el comportamiento de la tela ante cargas externas sería el siguiente paso, requiriendo su estudio de otras técnicas no lineales que no son objeto de estudio del presente trabajo, pero que fueron tratadas al inicio de este capítulo. 63 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 4.4. MÉTODO DE RELAJACIÓN DINÁMICA El Método de Relajación Dinámica creado por A. Day (DAY, 1965). Sin embargo, M. R. Barnes es el investigador que más posee publicaciones en este tema, donde se destacan BARNES (1975), BARNES (1980), BARNES (1984), BARNES (1988a), BARNES (1988b), BARNES & WAKEFIELD (1988) y BARNES (1994). Posteriormente a éste, W. J. Lewis ha publicado trabajos importantes, de los cuales se destacan LEWIS (1993) e LEWIS (1998). BARNES (1975) hizo un breve histórico del desarrollo del método y sus aplicaciones. BARNES & WAKEFIELD (1988) e BARNES (1988) describen una metodología basada en el Método de Relajación Dinámica con amortiguamiento cinético para la determinación de la configuración inicial de equilibrio, de los patrones de corte y del análisis estructural sometido a acciones. Comentan que el abordaje con amortiguamiento cinético garantiza la estabilidad de la estructura porque grandes modificaciones locales (tales como, geometría del contorno y tensiones especificadas) son rápidamente disipadas a toda la superficie de la estructura. Estos autores presentan también ejemplos ilustrados de proyectos con este abordaje. Los posteriores desarrollos del método y sus aplicaciones son presentados en BARNES (1994) e LEWIS (1993). Según BARNES (1994), a pesar de que no hubiera ningún libro publicado sobre el método, la Relajación Dinámica ya había sido detalladamente estudiada en tesis de doctorado defendidas en Inglaterra. El Método de Relajación Dinámica soluciona la no linealidad geométrica del problema utilizando técnicas de análisis dinámico para la resolución del mismo. Breve descripción del método El Método de Relajación Dinámica (Dynamic Relaxation, DR) está basado en la discretización de una superficie en el que la masa de la estructura se supone concentrada en puntos dados (nodos) de la superficie. Vamos a considerar el método de relajación dinámica con amortiguamiento viscoso. La ecuación del movimiento del nodo j-ésimo para un sistema discretizado es la siguiente: donde Pj es el vector de cargas externas en el nodo j-ésimo, δj (resp. ) es el vector de desplazamiento (resp. velocidad, aceleración) del nodo j-ésimo, K es la matriz de rigidez, Mj es la masa del nodo y C es el coeficiente de amortiguamiento viscoso. Consideramos la fuerza residual nodal dada por viene por tanto dado por la siguiente ecuación: .El movimiento del sistema y está producido por las fuerzas "out-of-balance". La ecuación anterior se puede aproximar por diferencias finitas centradas que exponemos brevemente. Considerando la aceleración como variación de la velocidad sobre el intervalo de tiempo y la velocidad como media sobre el mismo intervalo de tiempo, las fuerzas residuales en incremento de tiempo nΔt (donde n denota el intervalo de tiempo en el que las variables se van a calcular) vienen dadas por: 64 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid De la ecuación anterior obtenemos la ecuación de recurrencia para las velocidades: donde I denota la matriz identidad de orden 3. Por tanto, el desplazamiento en tiempo n+1 viene dado por: El proceso iterativo consiste en un uso repetitivo de las dos ecuaciones anteriores. El proceso termina cuando las fuerzas residuales se aproximan a cero. La fuerzas residuales en el esquema iterativo toman la forma . Nótese que cuando C=0 (caso del amortiguamiento cinético) la ecuación de recurrencia para las velocidades se reduce a: En resumen, la base del método es la descripción paso a paso, para pequeños incrementos de tiempo, del movimiento de cada nodo de una estructura hasta que, debido a un amortiguamiento artificial, esta repose en equilibrio estático (BARNES, 1994). En la determinación de la configuración inicial de equilibrio, el cálculo es iniciado a partir de una estructura con de forma inexacta y arbitraria, la cual está sometida al movimiento causado por la imposición de un estado de tensión. En el análisis de la estructura sometida a las acciones, el cálculo es iniciado a partir de la estructura en la configuración inicial de equilibrio, la cual repentinamente queda sometida al movimiento causado por las acciones (BARNES, 1994). Utilizando una matriz de rigidez concentrada en los puntos (lumped stiffness) de una malla de diferencias finitas, el sistema de ecuaciones de equilibrio es solucionado por relajación dinámica sucesiva de fuerzas desequilibradas (LEWIS, 1993). En la forma original del Método de Relajación Dinámica se aplicó amortiguamiento proporcionales al resultado de las velocidades nodales y de las componentes de la masa (amortiguamiento viscoso), obteniendo así, más rápidamente, la convergencia con menor modo de vibración de estructura (BARNES, 1994). Sin embargo, debido a las grandes alteraciones de geometría de la estructura, controles adicionales a veces son necesarios para garantizar la convergencia del método. Un procedimiento empleado es el denominado amortiguamiento cinético (Kinetic damping). Este consiste en la imposición de las componentes de velocidades nulas, cuando fuera detectado un mayor aumento local en la energía cinética de la estructura en movimiento (sin amortiguamiento). El cálculo de la estructura es reiniciado a partir de la geometría actual, repitiendo el procedimiento descrito durante nuevo (usualmente decreciente) piso en la energía cinética. Cuando se disipe la energía cinética, el equilibrio estático de la estructura es alcanzado (BARNES, 1994). El cálculo de estructuras de membrana, el Método de Relajación Dinámica con Amortiguamiento Cinético es empleado en las fases de determinación de la forma, en la definición del patrón de corte y en el análisis estático de la estructura sometida a las acciones (BARNES, 19988; BARNES & WAKEFIELD, 1988). Ventajas e Inconvenientes El principal reto al implementar este método reside en la selección adecuada de los valores de la masa, en el coeficiente de amortiguamiento viscoso y en los incrementos de tiempo. En caso de que estos valores no se elijan correctamente puede provocar inestabilidad, siendo la convergencia lenta y llegando, incluso, a no converger (SIERRA, Javier, 2006). 65 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid BIBLIOGRAFÍA CAPÍTULO IV • BARNES, Michael R.. Form Finding and Analysis of Tension Structures by Dynamic Relaxation, Journal International Journal of Space Structures, 14, Number 2, 1999. • BREW, J. S.; LEWIS, W. J. Tension membranes modelled by curvi-linear bicubic splines, Internat. J. Numer. Methods Engrg. 72, 2007. • CARNICERO, Alberto López. Curso introductorio al método de los elementos finitos. Apuntes internos ICAI: <http://goo.gl/HkXKya>. 2011. • CAPASSO, M. MAJOWIECKI, V. PINTO. Le tensostrutture a membrana per l'architettura. Ed. Maggioli, 1993. • D. VEENENDAAL, P. BLOCK.. An overview and comparison of structural from finding methods. • FOSTER, B.; MOLLAERT, M.. Arquitectura textil: Guía europea de diseño de las estructuras superficiales tensadas, Ed. Munila-Lería, 2009. • HERNÁNDEZ-MONTES, E; JURADO-PIÑA, R. y BAYO, E.. Topological Mapping for Tension Structures, J. Struct. Eng., (2006), 970--977. • LEONHARD, J. William.. Tension Structures: Behavior and Analysis, McGraw-Hill, 1987. • LEWIS, W. J.. Tension structures: form and behaviour, Ed. Thomas Telford, 2003. • LINKWITZ, K.. About formfinding of double-curved structures, Eng. Struct. 21 (1999) 709-718. • MALERBA, P. G.; PATELLI, M.; QUAGLIAROLI. An Extended Force Density Method for the form finding of cable systems with new forms. March 13, 2012. • MARSDEN, J. E.; HUGHES, Thomas J. R.. Mathematical foundations of elasticity, Dover Publications, Inc., New York, 1994. • MAURIN & MOTRO. The surface stress density method as a form-finding tool for tensile membrane, Engrg. Struct. 20 (1999) 712–719. • RIVAS Zaragüeta, A. J.. Tipos estructurales suspendidos de cables, Tesis, Universitat Politècnica de Catalunya. Escola Tècnica Superior d'Arquitectura de Barcelona, 1973. • VIGLIALORO, G.. Análisis matemático del equilibrio en estructuras de membrana con bordes rígidos y cables. Pasarelas: forma y pretensado, Tesis doctoral, Universitat Politécnica de Catalunya, Barcelona, 2006. • WAKEFIELD, D. S.. Engineering analysis of tension structures: theory and practice, Bath, Tensys Limited, 1999. 66 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 5. CAPÍTULO V: SELECCIÓN DE SOFTWARE 67 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 5.1. INTRODUCCIÓN Para seleccionar un método de análisis y el software adecuado hay que pensar que el diseño de estructuras tensadas no debe verse limitado por el software disponible. Hay una serie de puntos clave a tener en cuenta al seleccionar las herramientas adecuadas, como por ejemplo: • • • • • • controlar las superficies tensadas durante la definición de la forma, la orientación básica de la malla durante la etapa de armar/formar la estructura, la disponibilidad de una biblioteca llena de tipos de elementos en el software utilizado, una revisión detallada de los métodos de análisis numérico para estructuras tensadas que se han dado en otros lugares; los patrones y juntas y, el conocimiento del método utilizado, dónde el ingeniero debe tener una clara comprensión del software y sus limitaciones. El ingeniero, en este caso, sería el profesional de la rama de estructuras tensadas, denominado, ingeniero de membranas. Independientemente del software elegido, la decisión final del método de cálculo con el que trabajar recae en el ingeniero, ya que debe ser la que él entienda mejor y con la que se sienta más cómodo. Con el poder cada vez mayor de los ordenadores para reducir los costes, la relativa eficiencia de cada método de solución se está convirtiendo en algo irrelevante. Lo primordial es la eficiencia general de la herramienta informática cuando se integra en el proceso de diseño (WAKEFIELD, 1999: 681). En resumen, los puntos clave en la selección de software de análisis de ingeniería de estructuras tensadas, son: que no se debe colocar ningún tipo de limitaciones en el proceso de diseño, que este debe tener una analogía física clara, y, lo más importante, ser plenamente comprendido por el ingeniero. El uso de software “black box"12 debe ser evitado (WAKEFIELD, 1999: 681). Los programas elegidos para analizar y explicar en este apartado son: 1. WINTESS3 2. MPANEL 3. GRASSHOPPER + KANGAROO 4. EASY TECHNET Además, hablaremos brevemente de los siguientes software que hemos encontrado y que también se usan en el proyecto de estructuras tensadas, pero que no son tan conocidos y extendidos como los previamente citados: 5. FORMFINDER GmbH 6. PATTERNER 7. SURFACE FORM (HORST BERGER) 8. SOFISTIK 9. KURVENBAU (ERIK MONTCRIEFF) 10. RHINO – FORTEN 11. TENSILEDRAW / MEHLER 12. TENSIL@ 13. MAPLE 12 Black Box ‐ en castellano "caja negra" es el tipo de software dónde no se controlan todas sus variantes. 68 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid En los programas mencionados anteriormente, el Método de Densidad de Fuerza (Véase Capítulo IV sección 4.3) es sin duda el método más utilizado actualmente en el campo profesional, debido a la rapidez y a la posibilidad de seguir con la fabricación (del diseño a la fabricación por control numérico). Sin embargo, al elegir un método de cálculo preferido, uno tiene que darse cuenta de la posibilidad de cometer graves errores al no apreciar formas imposibles o de muy baja resistencia que en pantalla aparecen como perfectamente válidas. Por este motivo el ingeniero de membranas tiene que conocer en profundidad el método que va a aplicar en la creación de sus estructuras. Luego, el resultado obtenido dependerá de la calidad del software y sobre todo de la calidad del usuario del software. En la imagen de abajo mostramos dos formas con los mismos puntos fijos, pero que sin embargo adquieren geometrías distintas. Ello implica que el diseñador tenga la capacidad de elegir la mejor estructura, la más estable. Formas por simulación Existen diversas formas de que un programa informático busque una forma tensada. De hecho cada uno puede inventar la suya, pero lo cierto es que la mayoría de los programas (también WinTess3) recurren a una de estas dos: 1. Densidad de fuerza - explicado en el capítulo anterior. 2. Deformación por fuerza aplicada: En este método se trata de simular la deformación de una malla muy deformable (imaginemos una malla formada por gomas elásticas), a la que se le aplican cargas. Si estas cargas son puntuales (aplicadas a un solo punto) obtendremos formas con vértices o cúspides, mientras que si las cargas se aplican superficialmente podremos obtener formas neumáticas. Uno de los inconvenientes de este método es que se trata de un cálculo no lineal, por lo tanto más lento que el anterior, pero reproduce fielmente lo que podemos experimentar con un maqueta deformable: 69 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 18: FORMA OBTENIDA APLICANDO UNA PRESIÓN A TODOS LOS PUNTOS DE LA MALLA Fuente: http://tecno.upc.edu/wintess/manual/ FIGURA 19: MALLA OBTENIDA APLICANDO UNA CARGA INCLINADA EN EL CENTRO Fuente: http://tecno.upc.edu/wintess/manual/ Los expertos valoran el uso del software teniendo en cuenta varios aspectos. Por ejemplo, según Dieter Ströbel, creador de Technet13: “sólo un software especializado es capaz de cumplir con las exigencias de la Arquitectura Textil” y según Andrew Askwith, creador de Meliar Design14: “El software de diseño de membranas tiene que cumplir dos funciones: ayudar al diseñador a crear la forma, visualizar y revisar su diseño de manera rápida y precisa; y cuidar de los aspectos mundanos del diseño de membrana, tales como el patronaje, el refuerzo de las esquinas, la prestación de las costuras. Un buen software ayuda a un diseñador sin tomar el mando.” Es decir, el software es una herramienta que ayuda al diseñador y, al mismo tiempo, le ahorra tiempo: “es muy útil en el diseño de membranas debido a la enorme cantidad de cálculos necesarios para lograr esta clase de proyectos. Desde un punto de vista práctico, permite ahorrar mucho tiempo, evitar muchos errores y lidiar con una enorme cantidad de datos.”, declara Olivier Dufour, presidente de Esmery Caron15. Es también una plataforma que aumenta las posibilidades de los proyectos ya que “permite estudios entretenidos con formas libres y superficies” argumenta Charles Duvall de DUVALL DESIGN16. En esta misma línea se 13 Technet GmbH ‐ empresa fundada en 1989, creadora del software Easy Technet. Meliar Design ‐ empresa que trabaja con estructuras ligeras hace más de 20 años. Creó el software MPanel. 15 Esmery Caron ‐ empresa para soluciones arquitectónicas en membrana fundada en 1897. 16 DUVALL DESIGN ‐ http://www.duvalldesign.com/ 14 70 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid muestra Sergio Leiva, creador de Z3RCH17: “Para poder lograr la geometría correcta que quieres construir y también para ampliar tus límites un poco más allá”. FIGURA 20: DIBUJO ESTRICTURA TENSADA Fuente: Elaboración Propia Los expertos coinciden en que una de las principales características que debe tener el software de diseño de membranas es el form finding. Las tres principales características son: una o más técnicas de búsqueda de forma basada en una teoría que aúne geometría y estrés; el análisis no lineal FEA18 para grandes desplazamientos y material no lineal y un módulo de patrones ya que permitirá al usuario crear una capa "no urbanizable" a través de una serie de cortes o curvas geodésicas y generar patrones planos ensamblados y pretensados in situ, de manera que la geometría diseñada presenta muy pocos errores. Es necesario destacar la gran cantidad de características y herramientas que ofrecen los diferentes software, como por ejemplo: • Capacidad de representación del entorno, • Flexibilidad en el procedimiento de búsqueda de la forma – adaptación de búsqueda de la forma, • Capacidad para crear y diseñar todo tipo de estructuras de apoyo con las propiedades del material, • Patrones precisos con herramientas de compensación flexibles, • Detalle y diseño de las conexiones, • Presentación eficaz y de calidad. Aunque evidentemente los diferentes software especializados han contribuido al avance de las estructuras de membrana, como toda herramienta informática evoluciona continuamente. En este sentido algunos campos aún no se han desarrollado suficientemente, en especial el diseño de estructuras hinchables y las de bajo coste no está bien desarrollado, principalmente por la falta de conocimiento de la mucha distorsión que el tejido puede aguantar sin flaquear. Aun así también destacan las nuevas tendencias en el software de diseño de membranas, que van en consonancia, muchas veces, con las del mercado. El software puede hacer cambios en la geometría en operaciones a tiempo real, cuando, por ejemplo, los puntos elevados “virtuales” se levantan o los cables valle se tensan toda la geometría tridimensional cambia al mismo tiempo. Otro punto importante a destacar es la capacidad de comunicarse con 17 18 Z3RCH ‐ http://www.z3rch.com/. Ingeniería estructural y arquitectura textil. FEA ‐ siglas en inglés de Finite Element Analysis (Análisis por Elementos Finitos) 71 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid otras aplicaciones de CAD y FEM en el formato original y evitar la pérdida de información utilizando formatos libres como los archivos DXF19. 5.2. WINTESS El Wintess3, creado en 1981 como parte de la tesis doctoral de Ramón Sastre, es un programa muy completo aunque con algunas limitaciones - que puede ejecutarse en tres estados diferenciados: 1. Búsqueda de la forma 2. Cálculo de la estructura 3. Patronaje y detalles constructivos Ejecutar estas tres tareas es como tener tres programas en uno solo, todo ello con una interface muy intuitiva, fácil de usar. Además se puede utilizar en tres idiomas: catalán, español e inglés. El lenguaje de programación evolucionó con el tiempo, llegando finalmente a REAL Studio (antes llamado Real Basic) que es el software usado actualmente. A la llegada de Windows (aproximadamente en 1992) el programa pasó a llamarse WinTess (QuickBASIC), WinTess2 (Visual Basic) y finalmente WinTess3 al adoptar REAL Studio y la biblioteca gráfica abierta OpenGL. Para el análisis de búsqueda de forma el software trabaja con el método de densidad de fuerza. Sin embargo para los métodos de cálculo, el programa Wintess3 clasifica las estructuras según barras. Aunque las estructuras de membrana tienen un componente continuo, el hecho de que los tejidos no sean isótropos (más bien son ortótropos) dificulta mucho la elección del elemento finito con las características adecuadas. Además el comportamiento del elemento cuando está sometido a compresión (arrugado) no es nada fácil de implementar (MANUAL WINTESS). Actualmente, con la popularización de las membranas isótropas (ETFE, por ejemplo), el método de los elementos finitos (MEF) se hace útil en algunos casos y han pensado en reactivarlo en el programa, pero de momento no está activo. Así pues, hasta el momento, WinTess3 es un programa que analiza estructuras tensadas solamente a partir de barras. Para analizar la membrana, ésta se descompone en una malla. La elección de la malla es importante, tanto el tipo (triangular, cuadrada, radial, ...) como su densidad. En segundo lugar, podemos considerar la forma en que se desarrolla el cálculo no lineal. Siempre existirá un proceso iterativo que encuentre el equilibrio de la estructura sometida a determinadas cargas. Ahora bien, este proceso se puede realizar con distintos métodos, como por ejemplo: • • • • 19 Métodos Matriciales (y entre ellos diferentes métodos de aproximación a la solución final) Relajación Dinámica Densidad de Fuerza etc. DXF ‐ Drawing Exchange Format. Es un archivo de intercambio para modelos de CAD. 72 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid WinTess3 puede utilizar diferentes métodos, aunque en la forma estándar solamente tiene activado el método matricial. Este es el más rápido en encontrar la solución pero tiene el inconveniente de que para estructuras complejas (matriz de rigidez muy grande) el método se vuelve lento, exige ordenadores con grandes prestaciones y aun así, puede volverse inestable. Por lo tanto deberemos controlar el tamaño de la matriz de rigidez de la estructura para obtener resultados rápidos y fiables. En resumen, este software está pensado para encontrar formas, aplicar cargas, analizar las deformaciones y tensiones y obtener las bases y los patrones de la membrana, como se pueden ver en las imágenes siguientes: FIGURA 21: FORM FINDING (BÚSQUEDA DE FORMA) Fuente: Elaboración Propia FIGURA 22: REACCIONES Fuente: Elaboración Propia 73 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 23: PATRONES EN LA MEMBRANA Fuente: Elaboración Propia FIGURA 24: CIMENTACIÓN Fuente: Elaboración Propia 74 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 25: RENDER Fuente: Elaboración Propia FIGURA 26: CARGAS Fuente: Elaboración Propia 75 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 27: PATRONES Fuente: Elaboración Propia 5.3. MPANEL SHADE DESIGNER El software MPanel Shade Designer incorpora un conjunto de herramientas de diseño en una interfaz fácil de usar para ayudar a los diseñadores de estructuras tensadas. MPanel funciona dentro de AutoCAD o Rhinoceros como una barra de herramientas flotante, y manipula el diseño de CAD propuesto haciendo una relajación inicial de la malla y también de los paneles de la producción final para cortar los patrones y fabricarlos. Además de funcionar como una barra 76 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid de herramientas dentro de otros programas, existe en versión software completo, propio de la empresa Meliar Design y se puede pedir la versión de prueba. Una vez predefinida la forma en los programas de CAD, el MPanel calcula la estabilidad y deformación de la membrana a través del método de Relajación Dinámica. MPanel fue desarrollado para ayudar a los diseñadores de estructuras tensadas, pero funciona igual de bien en otros proyectos, tales como tiendas de campaña, toldos, stands de exposición, y estructuras inflables. FIGURA 28: INTERFACE DEL SOFTWARE MPANEL SHADE DESIGN Fuente: http://www.meliar.com/MPanel_Shade_Designer/Using_Sketchup.html 5.4. GRASSHOPPER + KANGAROO Las potencialidades de esta herramienta paramétrica crea flexibilidad y la rápida adaptación del diseño, en el proceso de diseño y del form finding. Kangaroo es un motor de física en vivo para la simulación interactiva, 77 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid optimización y búsqueda de la forma directamente dentro de Grasshopper, que a su vez se puede usar dentro del Rhinoceros. O sea, trabajan estos tres software juntos o Kangaroo + Grasshopper/Rhino. Su capacidad hace posible incorporar distintos tipos de información y datos que controlan el proyecto a varios niveles estructurales y geométricos. El programa hace la relajación de la malla a través del método de la Relajación Dinámica. Cabe destacar que es una herramienta para búsqueda de forma que acopla algoritmos matemáticos dentro de la herramienta de dibujo CAD. Sin embargo, las demás etapas necesarias para estudiar la incidencia de cargas en la estructura y patrones de corte, ya no es posible realizarlas en esa misma aplicación. Habrá que exportarla a otra que lo haga para terminar el proceso de proyecto de la estructura de membrana. FIGURA 29: EJEMPLO DE PROCESO DE RELAJACIÓN DINÁMICA INTERACTIVA UTILIZANDO KANGAROO Fuente: http://www.grasshopper3d.com/video/kangaroo-interactive-dynamic 78 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 5.5. EASY TECHNET La empresa Technet se crea en 1989, en Berlín, Alemania. Tiene sus orígenes en la Technische Universität Berlin y desarrolla herramientas de software para el diseño y análisis de estructuras tensadas y fotogrametría entre otras. Technet comercializa dos productos: Cadisi y Easy, con diferentes módulos, para el diseño y análisis de estructuras tensadas. Cadisi se distribuye de manera gratuita y permite visualizar formas de equilibrio de estructuras tensadas. Utiliza el método de densidad de fuerza para la obtención de la forma de equilibrio (form finding). Aunque el entorno de trabajo y la interacción con el usuario se podría mejorar, Cadisi es una de las herramientas actuales más sencillas de utilizar para obtener formas de equilibrio. Las formas generadas no se pueden exportar a ningún formato neutro, de manera que se puedan leer con otros sistemas de CAD. Easy es una suite totalmente completa de módulos de software para el diseño completo de estructuras ligeras. El diseño de formas libres, análisis estático y cálculo de patrones de corte de membranas textiles y láminas de ETFE son compatibles con el sistema Easy. Easy se distribuye en cinco módulos diferentes: 1. EasyForm 2. EasySan 3. EasyCit 4. EasyBeam 5. EasyVol EasyForm es una extensión de Cadisi y permite obtener formas de equilibrio de estructuras tensadas mediante el método de densidad de fuerza, siendo posible exportar los modelos creados a DXF. EasySan permite llevar a cabo un análisis tensional no-lineal de la forma de equilibrio obtenida con EasyForm. Se obtiene un mapa tensional de la estructura tensada. Una vez que la forma de la estructura tensada ha sido validada desde el punto de vista tensional, es necesario calcular los patrones de corte de la tela. El módulo EasyCut permite generar dichos patrones de manera automática. Mediante el EasyBeam, es posible realizar un análisis estructural de los elementos rígidos de la estructura (mástiles, apoyos, etc.) y dimensionarlos a la vez que se analiza la tela tensada. El módulo EasyVol se utiliza para el análisis de estructuras de tipo neumático y permite calcular posiciones de equilibrio cuando aparecen restricciones volumétricas. EasyForm es capaz de leer los resultados del Software Formfinder de Formfinder Software GmbH, Austria. 79 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 5.6. FORMFINDER SOFTWARE Formfinder, creado en 2003 por el austríaco Robert Wehdorn-Roitmayr es un software de diseño que tiene la ventaja de ser fácil de manejar. Las diferencias entre el software Formfinder y el Easy son los siguientes: • El software Easy de TechNet es una herramienta de ingeniería. El diseño de formas libres, el análisis estático y la siguiente generación de patrones de corte está garantizada por el software. El sistema Easy es un conjunto totalmente completo de módulos de software para el diseño completo de estructuras ligeras. • Software Formfinder se centra en el diseño arquitectónico, el software proporciona un sistema de gestión del conocimiento basado en las herramientas de base de datos para proyectos, tipologías, materiales de construcción, los detalles y la estimación de costos. El software Formfinder genera un diálogo productivo entre el cliente, el arquitecto, el planificador estructural y el fabricante de los materiales utilizados. Los sistemas Formfinder y Easy funcionan con algoritmos de búsqueda de forma 100% idénticos. O sea, trabaja también con el método de Densidad de Fuerza. Formfinder Software GmbH y TechNet GmbH son socias en el desarrollo. Incorpora el estudio solar, de lluvia, la estimación de costes y herramientas de análisis. Además posee una base de datos con una gran cantidad de proyectos realizados. 80 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 5.7. PATTERNER La aplicación Patterner está distribuida por la compañía MKDoc Ltd, localizada en Sheffield, UK. Esta aplicación, a través del método de Relajación Dinámica permite trabajar con mallas de superficies 3D y generar patrones de corte de dichas superficies. Es posible exportar e importar información a formato DXF y también bajar una versión demo de la aplicación. Patterner se vende inicialmente para el diseño y fabricación de carpas y membranas/estructuras de fábrica. Sin embargo, las herramientas de creación y manipulación de dibujo de gran alcance proporcionadas hacen útil para cualquier persona la construcción de formas 3D complejas. El desarrollador de Patterner, Bruno Postle, tiene algunos enlaces útiles en su página web, incluyendo una lista de fabricantes, muchos de los cuales son clientes aeronautas (<http://www.patterner.co.uk/). 5.8. SURFACE FORM (HORST BERGER) Esta aplicación es "reciente" (noviembre del 2005), y ha sido desarrollada por Horst Berger, profesor de arquitectura e ingeniería del City College New York. El objetivo de esta aplicación es obtener de manera sencilla formas de equilibrio de estructuras tensadas, por lo que se utiliza en la fase de diseño conceptual y el método de cálculo utilizado es el de Densidad de Fuerza. No realiza ningún tipo de análisis, ni genera patrones de la tela. La distribución y el uso son gratuitos. 5.9. SOFISTIK La aplicación Sofistik, comercializada por Sofistig AG, empresa localizada en Nuremberg, Alemania, es una herramienta de elementos finitos utilizada para el análisis estructural. Dispone de varios módulos genéricos de análisis estructural , dinámico, térmico, CFD y módulos específicos para el diseño de estructuras metálicas, puentes, túneles y membranas. El módulo de membranas permite encontrar formas de equilibrio de estructuras tensadas y obtener estados tensionales de la tela. FIGURA 30: ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE MEMBRANAS. SOFISTIK Fuente: Sofistik. (<www.sofistik.com>) 81 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid Sofistik dispone de un modulo especifico para la generación de los patrones de corte de telas a partir de la forma de equilibrio. FIGURA 31: GENERACIÓN DE PATRONES DE CORTE. Fuente: Sofistik. (<www.sofistik.com>) 5.10. KURVENBAU (ERIK MONTCRIEFF) La aplicación Kurvenbau, desarrollada por el arquitecto Erik Moncrieff (Berlín, Alemania) aún no se encuentra disponible. Es una herramienta orientada al diseño conceptual de estructuras tensadas que permite obtener formas de equilibrio mediante el método de Densidad de Fuerza. Es posible obtener una versión demo donde se describen las funcionalidades de esta aplicación. Dispone de un entorno de usuario aparentemente sencillo de utilizar y la salida gráfica es muy realista, permitiendo al usuario interactuar fácilmente con la estructura. FIGURA 32: IMÁGENES DEMO DE LA APLICACIÓN Fuente: <www.kurvenbau.com> 82 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 5.11. TENSILEDRAW / MEHLER Mehler TensileDraw es un software, o mejor, un plug-in completamente integrado y compatible con AutoCAD y Rhino. Utiliza el Método de Relajación Dinámica para relajar la malla y crear la forma de la superficie. Puede simular la distribución de tensiones fuerza bien equilibrada en la membrana sin complicar la exportación de archivos y problemas de compatibilidad relacionados. La aplicación puede calcular estructuras de formas complejas hechas en tela gracias a la generación de urdimbre y trama de malla debido al comportamiento ortotrópico del material de tela. FIGURA 33: GENERACIÓN DE FORMA Fuente: <http://www.me-c.it/video/mehler/tensiledraw.swf> 5.12. TENSIL@ Tensyl, creada por Buro Happold hace más de veinte años a través de su experiencia en la búsqueda de forma de las estructuras. Con un equipo innovador detrás de esta aplicación, están continuamente desarrollando y apoyando Tensyl para habilitar soluciones en una amplia gama de estructuras complejas. También se personaliza el software para adaptarse a las necesidades del proyecto. Ya se trate de un problema de interoperabilidad, las nuevas restricciones de la solución, o las rutinas de generación de modelos, Tensyl está en constante evolución para resolver la nueva y amplia gama de problemas que pueden surgir. 83 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid Aplicación creada en Visual C++ usando Windows y OpenGL, incluyendo la interfaz gráfica y pre y postprocesador y con CAD. Es un programa de búsqueda de forma y análisis no lineal de estructuras de membrana y red cable utilizando el método de Relajación Dinámica. Incluye la funcionalidad tela-patrón, el modelo de control y herramientas de inspección de diseño, las rutinas de generación de la geometría. El software es capaz de determinar la forma más eficaz para la tela, cable de red, neumática, y sistema estructural no lineal bajo restricciones dadas. Tensyl está disponible en una plataforma de PC y cuenta con una interfaz al estilo de la realidad virtual en 3D, lo que permite al usuario crear, analizar e interrogar modelos. FIGURA 34: EJEMPLO DISEÑO DE ESTRUCTURA TENSADA EN TENSYL Fuente: <http://api.ning.com/files/IUtmZR-ucJhzDbpFvPKXNSRZqRCNN62mqH4NLZxlmmkmemE8JhTxN5t0BPPZ*apcsfOVB0WkhY4-K0SuuZgcCrjp1zRV*W6/Tensylpic.png> 5.13. MAPLE Maple es un programa de cálculo simbólico y constituye un ambiente informático para la computación de expresiones algebraicas, permitiendo el diseño de gráficos a dos o tres dimensiones. Su desarrollo empezó en 1981 por el Grupo de Computación Simbólica de la Universidad de Waterloo, en Waterloo, Canadá. No se caracteriza como una aplicación de estructuras tensadas, pero cualquier usuario avanzado puede programar con el Maple la parametrización de superficies y distintos métodos de cálculo de estructuras tensadas. En nuestro caso, la ventaja de usar el Maple es crear formas matemáticas parametrizadas que luego se han podido exportar a Rhinoceros gracias al plug-in (Enlace_Maple_Rhinoceros.rhp) desarrollado por el profesor Antonio Casas Pérez, de la Universidad Politécnica de Madrid. 84 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 5.14. ALGUNAS DE LAS LIMITACIONES ENCONTRADAS EN LOS PROGRAMAS DE MODELIZACIÓN DE ESTRUCTURAS TENSADAS La limitación más importante a nuestro parecer, es que los software no poseen código abierto, lo que les constituye como aplicaciones caja negra (que se utilizan sin saber todas sus condicionantes) y no se pueden verificar públicamente. Además, podemos destacar los siguientes inconvenientes: 1. Muchas veces al importar un archivo DXF al software de cálculo para el análisis no lineal, la malla se distorsiona o no se importa con todas sus características. 2. La imposibilidad de atraer la malla a bordes alabeados. Dichos programas se limitan al caso de membranas cuyas curvas borde sean curvas planas paralelas al plano X, Y. 3. La falta de comunicación con programas matemáticos, como Maple, Matlab, Mathematica, etc. Al no haber una herramienta que permita al usuario programar la superficie desde un programa cómo estos y luego exportarla a otro programa para analizar las cargas y calcular los patrones, el resultado puede ser empobrecedor. De ahí vemos la importancia de la matemática en el campo arquitectónico. 5.15. CONCLUSIONES En definitiva, después de elegir y analizar algunas aplicaciones de cálculo de estructuras tensadas, hemos descrito un conjunto de funcionalidades o especificaciones que deberían incluir las herramientas de diseño para ser realmente válidas en la fase de concepción de formas. Para su determinación, basta con ponerse en el lugar del usuario que interactúa con la aplicación, y citar sus necesidades: • • • • • • • Interface sencilla: el usuario ha de sentirse cómodo con el entorno de trabajo. Para ello es necesario que pueda realizar operaciones de giro, zoom, traslación, etc. directamente con el ratón. Entrada de datos: la entrada de datos ha de ser sencilla, de manera que el usuario pueda variar el contorno de la tela tensada de modo intuitivo, añadiendo o eliminando vértices o elementos fijos mediante simples movimientos de ratón. Manipulación de la forma: la aplicación ha de permitir al usuario interactuar en tiempo real con la estructura que está generando. Para ello ha de permitir variar los grados de libertad de la tela arrastrando cada vértice y obtener directamente la nueva forma de equilibrio. Estado tensional: el usuario ha de poder modificar de manera sencilla los valores asignados a las tensiones de los cables en los bordes o a las tensiones internas de la tela y obtener así la nueva forma de la estructura tensada en tiempo real mientras modifica dichos valores. Entorno: para dimensionar y ajustar la forma de la tela tensada es necesario disponer del entorno que rodea a la estructura, como puede ser edificios, paisaje, trazados de suelo o volúmenes colindantes representados de manera esquemática. En todo momento se tendrán referencias para situar y dimensionar la estructura respetando las proporciones y la escala. Boceto 3D: el diseñador ha de encontrar la herramienta ágil para crear bocetos 3D y representar la idea que tiene en la cabeza de manera rápida y sencilla. Formato de ficheros: se ha de destacar la importancia de que la aplicación pueda exportar la geometría generada a formatos neutros como DXF, IGES o STEP, para poder utilizarlos posteriormente en otras aplicaciones. 85 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid • Plug-ins: una propiedad interesante de la aplicación sería su capacidad de formar parte de alguna ya existente de las que se utilizan habitualmente para diseño arquitectónico (Autocad, Rhino, etc…). De este modo se podría incorporar en forma de plug-in, pudiendo disponer de todas las funcionalidades que se acaban de citar dentro de un entorno de trabajo que sea familiar al usuario. En la medida en que una herramienta incorpore estos requisitos, podría decirse que la aplicación es eficaz. La realidad es que muchos arquitectos no utilizan estructuras tensadas por no tener conocimiento y experiencia en dicho campo. Esto les lleva a delegar en manos de profesionales o consultores especializados dichas labores. Es preciso, por lo tanto, acercar este tipo de herramientas al arquitecto o diseñador de manera que puedan generar de modo sencillo las formas de la estructura tensada. En cuanto al análisis específico de los diferentes software queremos destacar especialmente RHINO – FORTEN por ofrecer un enorme abanico de posibilidades, especialmente efectivo en el form finding y el cálculo de todo tipo de estructuras. En cuanto a EASY / TECHNET subrayan en que se puede trabajar con todos los parámetros de manera que facilita la creación de cualquier tipo de estructura de membrana. De FORMFINDER recalcamos que es una excelente herramienta para el prediseño y las presentaciones, con muchas plantillas y una gran base de datos. Y sobre TENSILEDRAW / MEHLER y KANGAROO nos parece especialmente interesante que se trabaje dentro de AutoCAD y que sea gratuito. MPANEL / MELIAR permite al usuario una gran flexibilidad en el diseño para lograr la curvatura y la estética deseada. De SOFISTIK se debe aclarar que aunque no se centra en las estructuras de membrana también se puede usar para diseñarlas ya que es un magnífico software para la ingeniería. Finalmente, de TENSYL @ podemos destacar que el software es capaz de determinar la forma más eficaz para la tela, red de cables, neumática, y sistema estructural no lineal bajo restricciones dadas. 86 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid BIBLIOGRAFIA CAPÍTULO V • EASY TECHNET. http://www.technet-gmbh.com/index.php?id=651&L=1 • FORMFINDER: http://www.formfinder.at/main/downloads/tutorials/ • SANCHEZ, Javier. 2006. <www1.ceit.es/estructuras/Tesis-02%20Javier%20Sanchez.pdf> • TECHNET GMBH, (2000), Easy, User manual for integrated surface structure design software, technet GmbH, Maassenstr. 14, D-10777 Berlin, Germany, http://www.technet-gmbh.com • TENSINET. Arquitectura Textil. Guía Europea de Diseño de las Estructuras Superficiales Tensadas. Editorial Munilla-Lería, Edición Española de Abril 2009. • WINTESS3. http://blogwintess.blogspot.com/2012/07/buscando-formas.html • WINTESS3. http://tecno.upc.edu/wintess/manual/ Páginas Webs: • • • • • • • • • • • • • • • http://www.editorialespazio.com/es/noticias/detalle/85 https://www.youtube.com/watch?v=Ys9Bd9wl4cc http://www.meliar.com/MPanel_Shade_Designer/Using_Sketchup.html http://www.structureflex.com.au/MPanelSoftware.php http://meliar-design.software.informer.com http://specialtyfabricsreview.com/articles/1011_gi4_sail_software.html http://aeronaut.org/index.php?option=com_content&view=article&id=97&Itemid=96 http://www.meliar.com/MPanel_Shade_Designer/Using_Sketchup.html http://fabricarchitecturemag.com/articles/0708_rv1_mpanel.html http://www.meliar.com/MPanel.htm http://www.meliar.com/Formfinding_Tuts.htm http://www.formfinding.net/items/Software/20121103%[email protected]%3BvTclFF_DensForce_v1.0 _%28Preliminary_Description%29/text.html http://docs.mcneel.com/rhino/5/help/en-us/commands/mesh.htm http://www.patterner.co.uk/ http://www.mehler-texnologies.com/EN/software.php?pid=37 87 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 6. CAPÍTULO VI: EJEMPLOS APLICADOS 88 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 6.1. INTRODUCCIÓN En este capítulo reproducimos una superficie mínima, la superficie Costa, en un programa de elementos finitos y vemos las posibilidades para diseñarla, calcularla y generar patrones de corte para su posterior fabricación. Tomamos como ejemplo un edificio ya construido y basado en esa superficie en su concepción, el Centro de Vida Salvaje Australiano (Australian Wildlife Heath Centre). Otro ejemplo de obra arquitectónica donde podemos ver todo lo estudiado en este trabajo es el Parque Olímpico de Múnich, realizado para los Juegos Olímpicos de 1972. Fue una estructura pionera para su época por sus dimensiones y, aunque es un ejemplo textil, constituye una red de cables, también tratado en este estudio. Además de reproducir la superficie de Costa y analizar el Estadio para los Juegos Olímpicos de Múnich, nuestro estudio también se centra en buscar las posibilidades constructivas en el arte digital y complejidad matemática en los diferentes materiales de construcción. Eso es importante porque hemos hablado de los software de dibujo y cálculo para estructuras tensadas y podemos ver los avances tecnológicos en otros materiales de construcción y dibujo en otros materiales para familiarizarnos con lo que se puede hacer hoy día y proponer para la arquitectura textil. Buscamos una analogía entre la arquitectura biológica y las matemáticas, o sea, las formas que encontramos en la naturaleza y su traducción matemática hasta llegar a los programas informáticos y que podamos diseñarlas. 89 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 6.2.AUSTRALIAN WILDLIFE HEALTH CENTRE Este es un excelente ejemplo de innovación de diseño en el área de geometrías/matemáticas complejas y en la arquitectura, incorporando superficies mínimas en la etapa de diseño y búsqueda de forma a través del conocimiento matemático. La arquitectura contemporánea está llena de formas retorcidas que tienen como su desafortunado origen, una metáfora en modelos matemáticos, como la cinta de Moebius o geometrías fractales. Este edificio, sin embargo, utiliza este tipo de modelos de forma inteligente para generar riqueza espacial, material y los resultados del patrón. FIGURA 35: UBICACIÓN DEL CENTRO DE VIDA SALVAJE AUSTRALIANO Fuente: Google Imágenes 90 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 36: ENTRADA DEL HEALESVILLE SANCTUARY (HEALESVILLE, AUSTRALIA), UN CENTRO VETERINARIO PARA LA FAUNA INDÍGENA AUSTRALIANA, INAUGURADO A FINALES DE 2006 Fuente: http://www.mvsarchitects.com.au/doku.php?id=home:projects:australian_wildlife_centre FIGURA 37: VISTA DE LA CUBIERTA TENSADA Y LOS PATRONES. Fuente: http://www.mvsarchitects.com.au/doku.php?id=home:projects:australian_wildlife_centre 91 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 38: IMÁGENES INTERIORES DE LA ESTRUCTURA Fuente: http://www.mvsarchitects.com.au/doku.php?id=home:projects:australian_wildlife_centre El Centro de Vida Salvaje de Australia es un edificio muy singular, tanto en su función como en su forma. El edificio ha sido diseñado para que los visitantes del Santuario de Healesville pudieran tener un estrecho contacto con los veterinarios y sus pacientes, aprendiendo, de ese modo, a comprender mejor cómo se cuidan los animales australianos heridos. Desde un espacio central los visitantes pueden presenciar el diagnóstico de los animales, el trabajo del laboratorio, ver a los animales que se operarán, y verlos recuperarse y volver a la salud. Una rica experiencia multimedia interpretativa permite a los visitantes tener un profundo conocimiento de cómo los animales se lesionan y toda la gama de actividades involucradas en su cuidado. 92 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 39: PLANTA Y FOTO REFERENCIADA Fuente: http://www.mvsarchitects.com.au/doku.php?id=home:projects:australian_wildlife_centre El AWC (Australian Wildlife Centre - centro de vida salvaje) se organiza alrededor del espacio de la galería pública, donde las caídas de techo y curvas (estructura de color dorada en el edificio) proporcionan un punto central de las actividades de los alrededores y exposiciones, asemejándose a los ventrículos del corazón. La forma del techo, representada por una parte de la superficie Costa, también está diseñado para funcionar como una "chimenea solar ", eliminando el aire caliente del interior para proporcionar ventilación pasiva al espacio de la galería, por lo que se elimina la necesidad de aire acondicionado. Construida a partir de una membrana tensada de oro brillante, la estructura es visible desde el paisaje circundante. El AWC ha sido galardonado con el Premio Institucional 2006 RAIA William Wardell y el Premio de Diseño 2008 de la Premier de Arquitectura Cultural. 93 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 40: IMÁGENES DE LA ESTRUCTURA Fuente: http://www.mvsarchitects.com.au/doku.php?id=home:projects:australian_wildlife_centre El edificio tiene dos zonas bien diferenciadas: la zona exterior, rodeada de una pared con dibujos en blanco y negro siguiendo patrones aparentemente aleatorios, generados por ordenador mediante un autómata celular, y, surgiendo del techo del edificio, una estructura dorada - una superficie de Costa - que hace las funciones de techo, pared, conducto de ventilación de la chimenea solar, patio y claraboya. FIGURA 41: PARED EXTERIOR Y TECHO DORADO Fuente: http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14097:la-superficie-decosta-del-healesville-sanctuary&catid=111:otros 94 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid La superficie Costa creada sirve como una forma contemporánea de una cúpula iluminada por claraboyas, dando a los visitantes la sensación de que están fuera, mientras que en realidad son dentro - la alineación con el concepto básico del santuario - y que es un lugar de observación de animales en su hábitat natural. Es importante destacar que el espacio central es de color dorado para alejarla de la exploraciones formales en blanco y colores puros de escultores como Jean Arp y de las estructuras de tela del mismo color de diseñadores de estructura ligeras. Para entender mejor este proyecto, procederemos a describir la superficie Costa y modelizarla en un programa de elementos finitos, el Wintess3. La superficie de Costa es una superficie mínima descubierta en 1982 por el matemático brasileño Celso José da Costa; topológicamente, es un toro privado de tres puntos y consta de dos catenoides finales y un plano final (WEBER, 2001). Hasta esta fecha las únicas superficies mínimas conocidas eran el catenoide (Leonhard Euler, 1760), el helicoide (Jean Baptiste Meusnier, 1776) y el plano. En la figura de abajo podemos apreciar cómo el toro se transforma en la superficie Costa. FIGURA 42: TRANSFORMACIÓN DEL TORO EN LA SUPERFICIE COSTA Fuente: http://www.macalester.edu/academics/mscs/multimedia/invisiblehandshake/ La superficie Costa es un objeto tridimensional que posee algunas particularidades matemáticas y es una de las superficies mínimas. En 1984, dos años después de su descubrimiento, J. Hoffman, D. Hoffman y W. W. Meeks consiguieron crear su imagen computacional. 95 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 43: SUPERFICIE COSTA EN SECCIÓN Y VISTA TOTAL Fuente: BURRY, 2010 Para lograr encontrar la superficie mínima Costa, el material utilizado en los primeros trabajos fue la pompa de jabón, que resultó ser útil para la construcción de la teoría matemática sobre estas superficies. La mezcla de agua y jabón y el anillo que se usa para liberar las burbujas en el aire se pueden usar para explicar lo que son superficies mínimas. Partiendo de un anillo plano, la película que se forma en el anillo es la más sencilla de las superficies mínimas: el plano. La segunda, el catenoide, se obtiene cuando separamos dos anillos inmersos en la mezcla jabonosa. La tercera, el helicoide, se obtiene si deformamos el anillo en forma de hélice. Las formas que la película va a adquirir en el espacio son las superficies mínimas, o las superficies de menor área que cubre un determinado borde fijo, en ese caso, el anillo. La nueva superficie descubierta en 1982 por Costa, tuvo una gran repercusión en el mundo de las matemáticas ya que daba una solución más a un problema antiguo (búsqueda de superficies mínimas). A partir de su descubrimiento fue posible desarrollar técnicas que permiten hoy la solución de muchos otros problemas en el área de superficies mínimas. El trabajo ha dado origen a una serie de investigaciones, teoremas y nuevos problemas matemáticos, que ha culminado también en el desarrollo de la computación gráfica. La dificultad fue entonces representar gráficamente esta superficie en un programa de uso específico de estructuras textiles tensadas, intentando reproducir la forma utilizada en el Centro de Vida Salvaje. Nos dimos cuenta entonces de la imposibilidad de reproducir la figura empezando por un mallado único en el programa Wintess3. Pensamos en parametrizar la estructura dividiéndola en tres partes, pero sin deformar la forma mínima que adquiere: 96 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 44: SUPERFICIE COSTA DIVIDIDA EN TRES UTILIZANDO EL SOFTWARE MAPLE PARA LOGRAR DIBUJARLA EN EL WINTESS3 Fuente: TRAIZET, 2008 Desde el programa de cálculo simbólico Maple, obtenemos la superficie de Costa en tres trozos, como se puede visualizar en las figuras anteriores y a continuación. 97 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 45: SUPERFICIE COSTA PARAMETRIZADA EN MAPLE Planta Parte Superior Planta Parte Médio Planta Parte Inferior Fuente: TRAIZET, 2008 (<http://www.lmpt.univ-tours.fr/~traizet/>) FIGURA 46: DOMINIO DE LOS TRES TROZOS DE LA PARAMETRIZACIÓN DE LA SUPERFICIE DE COSTA Planta Parte Superior Planta Parte Médio Fuente: TRAIZET, 2008 (<http://www.lmpt.univ-tours.fr/~traizet/>) Planta Parte Inferior 98 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 47: PARTE SUPERIOR EN PERSPECTIVA Y VISTA FRONTAL Fuente: TRAIZET, 2008 (<http://www.lmpt.univ-tours.fr/~traizet/>) FIGURA 48: PARTE SUPERIOR EN PERSPECTIVA Y VISTA FRONTAL Fuente: TRAIZET, 2008 (<http://www.lmpt.univ-tours.fr/~traizet/>) FIGURA 49: PARTE SUPERIOR EN PERSPECTIVA Y VISTA FRONTAL Fuente: TRAIZET, 2008 (<http://www.lmpt.univ-tours.fr/~traizet/ >) 99 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid Después de obtener la representación paramétrica de la superficie dividida en tres trozos, hemos procedido a exportar la figura a una aplicación CAD, porque el Wintess3 no reconoce el formato creado en Maple. Vimos que es posible trasladarla al Rhinoceros a a través de un plug-in que crea una barra de herramientas dentro del programa y se conecta directamente a Maple. Una vez en Rhinos cerramos las líneas que conforman los bordes de la superficie para encontrar las coordenadas. FIGURA 50: IMPORTACIÓN DE LA SUPERFICIE COSTA EN RHINOCEROS Fuente: Elaboración Propia Como podemos ver en la imagen anterior, una vez que dentro de Rhinos se importa la superficie Costa creada en Maple, el mallado no se reconoce por completo, generando huecos en este. Lo mismo ocurre cuando se exporta del Rhinos al Wintess3. La solución entonces fue transformar los bordes de cada parte de la figura y transformarlos en polilíneas cerradas. De esta manera se logra, una vez dentro del Wintess3, importar esas polilíneas como líneas auxiliares, que mantienen los puntos de las coordenadas. FIGURA 51: POLILINEAS CERRADAS EN COLOR ROJO Fuente: Elaboración Propia. 100 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 52: POLILÍNEAS EN COLOR NARANJA CON TODOS LOS PUNTOS DE COORDENADAS DE LA SUPERFICIE. LAS FIGURAS MUESTRAN CÓMO SE VA ATRAYENDO LA MALLA POCO A POCO HACÍA CADA NUDO DE BORDE. Fuente: Elaboración Propia. FIGURA 53: SUPERFICIE FINALIZADA EN EL PROGRAMA WINTESS3 Fuente: Elaboración Propia. 101 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid Una vez construidas las tres partes de la superficie en el Wintess3 podemos unirlas formando un único objeto y proceder al cálculo no lineal con los efectos de cargas externas e internas en la estructura y posteriormente el corte de patrones. Además, podemos comparar la superficie creada en el Wintess3 mediante el método de densidad de fuerzas para búsqueda de forma y la creada en Maple. FIGURA 54: SUPERFICIE COMPLETA DESPUÉS DE UNIDAS LAS TRES PARTES Fuente: Elaboración Propia A continuación haremos una breve demostración de cómo se procedería con el cálculo no lineal dentro del Wintess3 para lograr construir la estructura del Australian Wildlife Health Centre (Centro de Vida Salvaje). FIGURA 55: SUPERFICIE COSTA EN DOS PARTES COMO SE UTILIZA EN EL CENTRO DE VIDA SALVAJE, EN AUSTRALIA. Fuente: Elaboración Propia. La imagen superior presenta la superficie Costa únicamente con dos partes de ésta porque fue cómo lo hicieron para el Centro de Vida Salvaje. Procederemos entonces a los cálculos y análisis de viento, drenaje, soleamiento, ratios, reacciones, momentos, peso propio, patrones etc. 102 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 56: ANÁLISIS DRENAJE Fuente: Elaboración Propia. FIGURA 57: ELECCIÓN DEL TIPO DE TELA Y SUS CARACTERÍSITCAS Fuente: Elaboración Propia. FIGURA 58: ELECCIÓN DIRECCIONES DE VIENTO, CARGA DE NIEVE Y TIPO DE EDIFICIO. Fuente: Elaboración Propia. 103 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 59: DIMENSIONADO PIEZAS, ESTRUCTURAS RÍGIDAS (LINEALES) Fuente: Elaboración Propia. FIGURA 60: PROCESO ITERACTIVO PARA EQUILIBRAR LA ESTRUCTURA MEDIANTE CÁLCULO MATRICIAL. Fuente: Elaboración Propia. FIGURA 61: REACCIONES Fuente: Elaboración Propia. 104 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 62: RATIO Fuente: Elaboración Propia. FIGURA 63: MOMENTOS Fuente: Elaboración Propia. FIGURA 64: CARGAS DE VIENTO Fuente: Elaboración Propia. 105 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 65: CARGAS DE PESO PROPIO (Kg) Fuente: Elaboración Propia. FIGURA 66: SOLEAMIENTO Fuente: Elaboración Propia. FIGURA 67: CORTE DE PATRONES MEDIANTE LÍNEAS GEODÉSICAS Fuente: Elaboración Propia. 106 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 68: ANÁLISIS DE CALIDAD DE LOS PATRONES CREADOS Fuente: Elaboración Propia. FIGURA 69: PROCEDIENDO A LOS CORTES DE PATRONES PARA SU POSTERIOR FABRICACIÓN Fuente: Elaboración Propia. 107 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 70: SUPERFICIE FINAL Fuente: Elaboración Propia. Como hemos podido ver, después de un largo proceso de estudio matemático y familiarización con un nuevo programa, el Maple, para parametrización de curvas y superficies, nos dimos cuenta que únicamente a través de ese conocimiento adquirido hemos podido lograr diseñar y calcular la superficie Costa. De esa manera, hemos visto que es posible construirla en la realidad. Hoy día se valora ampliamente el conocimiento matemático, una vez que al aplicarlo sabiamente a un edificio, los resultados pueden ser sorprendentes. Otros ejemplos de la aplicación del conocimiento matemático para buscar formas existentes en la naturaleza y, aunque sean conocimientos básicos se pueden generar edificios bonitos y complejos formalmente, como por ejemplo la Opera House de Toyo Ito, Taiwan. FIGURA 71: THE TAICHUNG METROPOLITAN OPERA HOUSE, TOYO ITO Fuente: http://www.designboom.com/architecture/toyo-ito-taichung-metropolitan-opera/ 108 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid El proyecto de Toyo Ito consiste en una casa de Opera que tiene 5.799 metros cuadrados. Proyectado para la ciudad de Taiwan, es una estructura abierta que funde los espacios envueltos a los teatros en todas las direcciones, creando oportunidades para la apreciación y compresión entre el arte popular y de élite, entre el interior y el exterior. A continuación veremos el proceso de diseño empleado para la realización de la propuesta morfológica a través de esquemas con sus respectivas referencias. El volumen y la colocación de las respectivas zonas pueden variar de acuerdo a programas de esta manera se convierte en una forma libre, en una “red flexible”. Se alternan las zonas circulares A y B dentro de una red regulada mediante un patrón que responde a cada círculo para generar la deformación de esta cuadrícula “flexible” se hace por separado en cada piso, es cuando cada una de las zonas circulares están conectadas verticalmente, una continuidad de superficies curvilíneas se crean superficies curvilíneas continúan entre sí, tanto de forma vertical como horizontal. Esto da cuenta de la compleja estructura con espacios libres nacidos de reglas muy simples. 109 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 6.3. PARQUE PARA LOS JUEGOS OLÍMPICOS DEL 1972, MÚNICH, ALEMANIA La idea de este proyecto nace de un concurso promovido en 1965, cuando el presidente de Comité Olímpico de Alemania entre 1961-1992, Willi Daume, sugiere Munich como la ciudad a albergar los Juegos Olímpicos del verano de 1972. FIGURA 72: ESTRUCTURA PARA LOS JUEGOS OLÍMPICOS DEL 1972, MÚNICH Fuente: http://www.indac.org.br/parque_olimpico_munique_alemanha.php Con un concepto arquitectónico pionero, Behnisch & Partner ganan el primer premio para dicho proyecto, pero para lograr construirlo tuvieron que recurrir al apoyo de varios expertos, entre los cuales estaba Frei Otto, ya que la propuesta original presentaba muchas complicaciones que imposibilitaban la construcción. La estructura de cables pretensados proyectada para los Juegos Olímpicos de 1972, es una de las más grandes del mundo y nació de la idea de cubrir los diferentes campos deportivos, con una gran carpa traslúcida, en lugar de levantar edificaciones separadas. Representaba una estructura pionera en su tipo, para lo cual fue necesario, debido a su complejidad, el desarrollo de nuevas técnicas constructivas y tecnologías que permitiesen su construcción. Por ese motivo la hemos elegido para tratar en este trabajo, además de también representar una superficie mínima que explicaremos a continuación. Una de las dificultades que presentaba la propuesta original era por ejemplo, que no se generaba curvatura suficiente en los espacios alejados de los mástiles, lo cual era un peligro al existir potenciales fuerzas de viento y peso de la nieve, creándose el riesgo de provocar un sobresfuerzo en la estructura de dichos espacios. Una solución a este problema pudo haber sido colocar más postes que soporten la gran cubierta, pero las áreas internas se verían restringidas a nivel espacial y la estética del proyecto se vería afectada. Es así que la solución fue colocar los mástiles fuera de la superficie cubierta y dividir al techo en particiones más pequeñas. 110 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 73: CUBIERTA DE LOS JUEGOS OLÍMPICOS DE MÚNICH Fuente: http://www.indac.org.br/parque_olimpico_munique_alemanha.php Otra estrategia de diseño fue la de suspender mediante cables a la cubierta de los postes, en lugar de apoyarla sobre el tope de los mástiles, con el fin de obtener una mejor curvatura. Uno de los beneficios del empleo de estructuras tensadas, es que permite cubrir grandes distancias con un mínimo de material, tomando en cuenta que en tensión, los cables pueden ser cuatro veces más fuertes que el acero estructural, pero sus deformaciones son mayores, por ese motivo, una solución es cruzar cables transversales con una curvatura opuesta, creando una red paraboloide hiperbólica, dando gran resistencia a cargas (LEONHARDT; SCHLAICH, 1972). La forma final de la cubierta es difícil de predecir exactamente ya que factores como la distribución de la estructura, la geometría de la malla, tipo de borde, ángulo entre cables y bordes, y nivel de rigidez alteran toda la cubierta. El nivel de tensión de los cables dependerá de la geometría de la red, del nivel de nieve y carga muerta y de la fuerza del viento. La fuerza de pretensado aplicada influye considerablemente en la economía del proyecto. Si la tensión es excesiva, la cubierta se vuelve más cara y menos efectiva, mientras que en el caso opuesto, aumentaría su curvatura, por lo que el grado de estiramiento dependerá del nivel de fatiga del material y de las deformaciones máximas permitidas (LEONHARDT; SCHLAICH, 1972). Como se puede ver en esta cubierta, la amplia variedad de formas, es otra de las ventajas que ofrece el usar este tipo de estructuras. Por ejemplo, para la cubierta del estadio, se utilizaron nueve paraboloides hiperbólicos separados, que tienen un cable perimetral en el borde, mientras que para el techo de la arena atlética, las juntas están simplemente ancladas a bases de hormigón en el suelo. Por otro lado, para la cubierta de la piscina se utilizó una larga red suspendida de un solo mástil. El área total cubierta es de 75 000 m2. 111 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 74: FORMA DE LA CUBIERTA CON PARABOLOIDES HIPERBÓLLICOS Fuente: <tresiyo.com> Del punto de vista biológico, el proyecto del Parque Olímpico de Múnich posee una fuerte relación estructuras naturales producidas por las arañas, las telas. Estos ejemplos están dotados de una gran eficacia tecnológica natural y, por consecuencia, estructural. FIGURA 75: ESQUEMA ELUCITATIVO DE LA DISTRIBUCIÓN DE FUERZAS ENTRE LAS REDES DE LA CUBIERTA Fuente: http://cadernoteca.polignu.org/wiki/Tenso_estruturas FIGURA 76: DIBUJO DE LOS ESFUERZOS ESTRUCTURALES DE LA CUBIERTA Y LOS PILARES PORTANTES Fuente: http://cadernoteca.polignu.org/wiki/Tenso_estruturas 112 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid Si analizamos las cubiertas a nivel morfológico, constructivo y técnico, nos deparamos con la construcción de una tela de araña artificial, en la que los elementos que son naturales en la tela - seda, nudos y configuración estructural, que son sustituidos por elementos artificiales que ejecutan de forma casi idéntica las funciones naturales de ésta. Es una superficie mínima, la forma que adquiere en la naturaleza y luego es reproducida en formas arquitectónicas. Con relación al cálculo del proyecto, han sido creados diversos modelos de metal (alambre), de modo a comprender y calcular su comportamiento, como la configuración estructural necesaria para este proyecto. Estas maquetas han sido sometidas a extensos testes estructurales, posibilitando el estudio de la distribución y comprensión ejercida por las fuerzas estructurales. Las maquetas fueron realizadas a escala 1:125, hechas en fibra de poliéster, alambres para representar las redes y barras para los mástiles, con el fin de tener una idea del dimensionamiento de la estructura. Debido a que las medidas de cada elemento estructural prefabricado del prototipo eran extraídas de las maquetas, estas tenían que mantener una proporcionalidad exacta en elasticidad y geometría. FIGURA 77: EJEMPLO BIOLÓGICO DEL PRINCIPIO MORFOLÓGICO Y ESTRUCTURAL PRESENTE EN LAS CUBIERTAS DEL PARQUE OLÍMPICO. Fuente: http://cadernoteca.polignu.org/wiki/Tenso_estruturas FIGURA 78: MAQUETA FÍSICA DE ESTUDIO DE LA FORMA DE LAS CUBIERTAS DEL PROYECTO Fuente: PAREDES et al, 2011 113 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 79: MODELO ESTRUCTURAL UTILIZADO PARA MEDICIONES DE LA DISTRIBUCIÓN DE FUERZAS Fuente: PAREDES et al, 2011 FIGURA 80: MEDICÍON DE LAS FUERZAS EN LOS BORDES DE LA CUBIERTA Fuente: PAREDES et al, 2011 La realización de elementos prefabricados es estrictamente necesaria cuando se monta una estructura de tal magnitud, con tantas piezas individuales. Y la dimensión de estos elementos es el resultado de un cálculo preciso ya que se debe tomar en cuenta la deformación del material por el estiramiento al que será sometido, y al mismo tiempo considerar la distancia mínima necesaria para que se llegue a los puntos fijos. 114 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid Por esta razón, también es necesario tomar en cuenta la compatibilidad de los materiales, ya que al ser un sistema de redes, la deformación de un elemento genera consecuencias en el comportamiento del resto de componentes de la estructura, de tal manera que la precisión en el trabajo de obra es de primordial importancia, puesto que un pequeño error, podría provocar una sucesión de imprecisiones que terminaría comprometiendo toda la estructura (LEONHARDT; SCHLAICH, 1972). Sin embargo, esta precisión resulta difícil de lograr incluso con modelos informáticos avanzados, ya que para resolver la geometría de una porción de tres metros de ancho de la estructura tensada, se generan ecuaciones con 10 500 incógnitas (LEONHARDT; SCHLAICH, 1972). Por consiguiente, para el uso de este tipo de estructuras, además de requerir de mano de obra calificada en este sistema constructivo específico y expertos calculistas, es necesario considerar el tiempo extra que será requerido para la planificación de la obra. Y este adversidad fue uno de los obstáculos que se tuvo que sobrepasar para la construcción de las cubiertas de los Juegos Olímpicos de 1972, donde se empezó a hacer los trabajos de cimentación antes de tener datos precisos de la estructura tensada que soportaría las diferentes cubiertas. Existían muchos problemas de estabilización de la membrana y los cálculos, como hemos visto, deben ser de una gran precisión, lo que, antes de la llegada de los ordenadores, resultaban muy difíciles y se necesitaba mucho tiempo para realizarlos manualmente, lo que cambión con la llegada de los ordenadores, las aplicaciones CAD y las actuales aplicaciones de elementos finitos. FIGURA 81: ENTRADA DEL PARQUE OLÍMPICO DE MÚNICH Fuente: http://cadernoteca.polignu.org/wiki/Tenso_estruturas Cabe resaltar que la estructura mencionada en este apartado no es un estructura textil tensada, pero por hecho de ser una red de cables los cálculos se realizan de igual manera, cambiando únicamente las propiedades de deformación del material utilizado en el cálculo no lineal. 115 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 6.4. POSIBILIDAD CONSTRUCTIVA Y COMPLEJIDAD MATEMÁTICA EN DIFERENTES MATERIALES DE CONSTRUCCIÓN Al inicio de la era digital, la arquitectura empezó a familiarizarse con los programas introducidos en los procesos de diseño. Estas aplicaciones tienen una capacidad generadora de nuevos órdenes metodológicos, extendiendo las capacidades manuales del usuario en el campo de la producción, tanto de prototipos como de su construcción final. La situación estructural y arquitectónica actual está caracterizada por una serie de factores económicos, técnicos y sociales que han cambiado radicalmente el contexto en el que se desarrolla el trabajo de ingenieros y arquitectos con respecto a las épocas anteriores. En el pasado los avances estuvieron referidos a la aparición de nuevos sistemas estructurales y materiales, en la actualidad la escasez de este tipo de innovaciones ha permitido mejorar las propiedades de calidad, resistencia, durabilidad, control y condiciones de puesta en obra de los ya existentes elevando su potencial enormemente y permitiendo sugerir el desarrollo de nuevas soluciones formales (CÁCERES, 2011). El gran avance de la informática y el campo tecnológico que se produjo en la construcción comprende complejos sistemas computarizados de representación, cálculos, fabricación y montaje de piezas, que ha convertido a la computadora en un potentísimo asistente en el análisis, la concepción y la construcción de propuestas muy complejas. A este sobre dominio estructural se une el menor peso que cada día tienen los factores económicos vinculados a la estructura (CÁCERES, 2011). Generalmente, su eficiencia implica una mayor complejidad constructiva que conlleva a un incremento en el costo total pero que hoy en día representa una menor incidencia económica en comparación al total de la inversión, especialmente en relación al costo creciente del suelo edificable. Actualmente el diseño asistido está un paso más adelante ya que no se limita únicamente a la pantalla sino que los diseños se pueden ejecutar en escala real y lo podemos ver por ejemplo en R-O-B que es un robot creado por Gramazio & Kohler que extiende los procesos de prefabricación tradicionales de construcción. Está ubicado en un contenedor de carga modificado, ROB es una unidad de fabricación móvil que puede ser utilizado en cualquier parte del mundo, combinando las ventajas precisión, velocidad y complejidades geométricas que no podrían ser creadas manualmente. En la exposición "Explorations" de la 11 ª Bienal de Arquitectura de Venecia, ROB fabricó un muro de ladrillo de 100 metros de largo siguiendo una serie de algoritmos basados en la mutación de los patrones de adyacencia de cada uno de los 14.961 ladrillos que componen la totalidad de la pared. FIGURA 82: OBRA DE "ROB", ROBOT CREADO POR GRAMAZIO & KOHLER. Fuente: <www.dezeen.com> 116 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid FIGURA 83: OBRA DE "ROB", ROBOT CREADO POR GRAMAZIO & KOHLER. Fuente: <www.dezeen.com> Estamos inmersos en una época caracterizada por nuestra capacidad de integrar en el proyecto niveles de complejidad jamás imaginados. Ya sea para descubrir los patrones compositivos de la naturaleza y manejarlos a nuestra imaginación o simplemente para hacer uso del potencial tecnológico disponible. Arquitectos como Roland Snooks y K. Steinfeld intentan aplicar conceptos geométricos y matemáticos y patrones compositivos al campo de la arquitectura a través de sus investigaciones con múltiples agentes que interactúan de manera simple consigo mismos y con el entorno para generar comportamientos no predecibles y que resultan en traducciones espaciales que no son predecibles a priori y por tanto nuevas. FIGURA 84: ROLAND SNOOKS DESIGN STUDIO - VOLATILE TECTONICS Fuente: www.grasshopper3d.com Ante la forma tradicional de usar los programas informáticos, orientada a la estricta definición del proyecto con las herramientas visibles, el uso generalizado de SCRIPT (texto con instrucciones a ser seguidas), manipula los códigos que generan los comandos al uso del programa, permitiendo la introducción de variables, multiplicando así el potencial para construir complejidad, interacción y diferenciación. Además de la oportunidad de personalizar estos códigos, este 117 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid acercamiento en el software anticipa un uso con menos rechazo hacia la tecnología, donde todas las rutinas de diseño asistido se han logrado llevar a una nueva fase (CÁCERES, 2011). Para comprender los cambios actuales en los que se refiere a representación arquitectónica debemos conocer los conceptos de Fabricación Digital y Modelado que son procesos que fusionan la arquitectura con la industria de la construcción mediante la utilización de software 3D y máquinas CNC (Control Numérico Computadorizado). Son estas herramientas las que permiten a los diseñadores que la utilizan producir materialidad digital, más allá de la imagen en el monitor, y de realizar pruebas de la exactitud de los programas y líneas de los sistemas CAD. En la era actual de la arquitectura se comienzan a utilizar con más frecuencia los equipos de fresado y corte facilitan la fabricación para integrar el diseño asistido por computador a la industria de la construcción. Los diseñadores pueden proponer superficies complejas, donde son las propiedades de los materiales las que deben impulsar el diseño. La fabricación digital se concreta mediante máquinas controladas por computadoras. Cada máquina tiene su método propio de fabricación, por la que se produce un nivel lógico necesario para la fabricación de los objetos. Cuando se construye un modelo paramétrico, todas las relaciones entre funciones y geometrías primarias se establecen, por lo que permite la plena integración de las lógicas de fabricación, lo que después facilita su entendimiento para la máquina. Las técnicas de fabricación implican comprender qué procesos son los más adecuados para la construcción según el diseño específico. En la actualidad hay alrededor de 30 métodos de impresión utilizados. Son métodos de fabricación de aditivos, que se añaden material o se despliegan, usando diferentes tipos de materiales y procesos, el conocimiento del software es completamente necesario y además un nivel de comprensión intermedio o alto para poder operar las máquinas. 1 FACETADOS / TESSELLATING 2 RETORCIDOS / TWISTING 3 PLEGADOS / FOLDING 4 ACOSTILLADOS / SECTIONING 5 AÑADIDOS / ADDED 6 HIBRIDADOS / HIBRID 7 CONTORNEADOS / MAQUINADOS / CONTOURING 8 FORMADOS/MOLDEADOS/ FORMING Estas tecnologías son cada vez más accesibles, y apuntan a un futuro donde la personalización en masa y la industria manufacturera pueden ser alternativas reales a la producción en masa. FIGURA 85: PIEZA SIENDO MONTADA PARA SER ENVIADA A LA MÁQUINA DE PROTOTIPADO Fuente: CÁCERES, 2011. 118 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid En la fotografía se puede ver una pieza preparada para ser enviada a la impresora 3D. La piel exterior diseñada en el software de modelado luego se exportan hacia otro programa que se encarga de generar las coordenadas necesarias para la impresión con tecnología 3D para, de esta manera, optimizar el proceso de fabricación y correcto uso del material. La maqueta se fracciona en partes más pequeñas para poder manipular las piezas en forma individual y poder, realizar impresiones en paralelo. Luego de imprimir cada pieza es necesario dejar reposar las partes para que adquieran cierta resistencia antes de poder manipularla con total libertad. Se limpian las superficies y se prepararan para que se puedan adherir al resto de las piezas y así formar un único sólido FIGURA 86: APLICACIÓN DE RESINA EN LA PIEZA Fuente: CÁCERES, 2011. Luego, en el taller y con los equipos de protección adecuados, se aplica una resina la cual le confiere resistencia a las partes. En la fotografía se puede observar la pieza en escala 1:100 siendo tratada con los productos mencionados, es un trabajo artesanal el cual requiere práctica para poder tratar las piezas cerámicas. El último paso en la fabricación consiste en agregar todos los elementos internos que hacen al diseño de los espacios para luego poder cerrar las 2 piezas principales que conforman la piel exterior. Otro concepto aborda la arquitectura digital es el término "morfogénesis digital" y arquitectura generativa. Lo primero se refiere a un conjunto de métodos que utilizan los medios digitales para la creación de formas y la adaptación en lugar de la representación, con frecuencia se utiliza en una aspiración de expresar o de responder a los procesos del contexto donde se ubica. El segundo, la arquitectura generativa, puede ser más ampliamente definida como el empleo de un sistema generativo (como un conjunto de reglas del lenguaje natural, un programa informático, un conjunto de transformaciones geométricas, un diagrama, etcétera) en el proceso de diseño a través del cual emerge el diseño final. El sistema 119 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid generativo tiene diferentes grados de acción autónoma, que van desde un proceso totalmente automatizado a uno controlado paso a paso por un usuario. Este proceso consiste en el diseño del algoritmo ajustando los parámetros de partida y formas, dirigiendo el proceso de derivación y finalmente seleccionando la mejor variable. FIGURA 87: EJEMPLO 3D ARQUITECTURA GENERATIVA Fuente: CÁCERES, 2011. Una de las ventajas del diseño generativo hace hincapié a la metodología interactiva y abierta que las herramientas generativas nos proporcionan, logrando así una aproximación a los problemas del diseño. Esta posibilidad permite integrar, las complejidades inherentes a los contextos a los cuales el diseño se centra. Elementos prexistentes en el diseño como las restricciones ecológicas y urbanísticas, los factores culturales y sociales pueden, gracias a la tecnología de la información, ser aprovechados más fácilmente por todos. Los programas generativos relacionan los diseños con los procesos naturales, tanto en los aspectos constructivos (bioingeniería, bioarquitectura) en lo que se refiere a los aspectos formales. FIGURA 88: ALGORÍTIMOS GENERATIVOS USANDO GRASSHOPPER ZUBIN KHABAZI Fuente: Grasshopper tutorial, 2013. 120 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid BIBLIOGRAFÍA CAPÍTULO VI: • BURRY, Jane; BURRY, Marck. Mathématiques et Architecture, Actes Sud, 2010: <http://www.actessud.fr/catalogue/actes-sud-beaux-arts/mathematiques-et-architecture> • CÁCERES, L. D. Las tesinas de Belgrano. Arquitectura Digital como recurso educativo. 2011 • GRAY, A. Costa's minimal surface. In: Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica. 2nd ed. Boca Raton, FL : CRC Press, 1997. p. 747-757 • LEONHARDT, Fritz and SCHLAICH, J. “Structural design of roofs over the sports arenas for the 1972 Olympic Games: some problems of prestressed cable net structures”. March 1972, Pages 113-119. • MVS ARCHITECTS. Australian Wildlife Health Centre. Página Web: <http://www.mvsarchitects.com.au/doku.php?id=home:projects:australian_wildlife_centre> • PAREDES et al. Trabajo Colaborativo 9: Superficies Mínimas: El Estadio Olímpico de Múnich. Noviembre, 2011 • TRAIZET,Martin. Exploring the space of embedded minimal surfaces of finite total curvature. Experimental Mathematics 17:2, 205--221. Experimental Mathematics, Vol. 17, nº 2, 2008 <http://www.lmpt.univtours.fr/~traizet/maple.html> Páginas Web: • • • • • • • • • • • http://architectureau.com/articles/australian-wildlife-health-centre/ http://www.archello.com/en/project/australian-wildlife-health-centre# http://www.prandiano.com.br/html/m_aula2.htm http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14097:la-superficie-decosta-del-healesville-sanctuary&catid=111:otros http://es.wikiarquitectura.com/index.php/Pabell%C3%B3n_de_Jap%C3%B3n_Expo_2000_en_Hannover http://en.wikiarquitectura.com/index.php/Japan_Pavillion_Expo_2000_Hannover http://forum.originvision.com/?p=489 http://www.allisonrozwat.com/A-Study-Shigeru-Ban-s-Japanese-Pavilion http://www.designboom.com/architecture/toyo-ito-taichung-metropolitan-opera/ http://www.google.es/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCIQFjAA&url=https%3A%2F%2Frp.liu233w.com%3A443%2Fhttp%2Fww w.ub.edu.ar%2Finvestigaciones%2Ftesinas%2F595_Caceres.pdf&ei=h_mwU6yBPcfLPfTrgZgI&usg=AFQjCNHg 61MAiPwEa5cJ-_aZ2NJOyIq7kA&bvm=bv.69837884,d.ZWU http://wiki.ead.pucv.cl/index.php/Caso_Estudio_Estadio_Olimpico_de_Munich_/_Frei_Otto__Proyecto_Stuttgart_21_-_Sagrada_Familia_/A.Gaudi 121 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 7. CAPÍTULO VII: CONCLUSIONES GENERALES 122 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 7.1. CONCLUSIONES GENERALES Hace menos de un siglo que surgieron las estructuras tensadas y todavía hay mucho campo abierto en el que investigar. La bibliografía existente en el tema es muy extensa, con lo cual se debe tener mucho criterio al elegir artículos y bibliografía para estudiar. Hemos cumplido con los objetivos estipulados al principio del trabajo donde estudiamos matemáticamente las posibilidades de modelización de las superficies tensadas en los programas existentes, particularmente en la etapa de búsqueda de forma, detectando sus limitaciones. Al estudiar los métodos de cálculo en los que se basan los programas, destacamos tres de ellos como los más utilizados: Método de Densidad de Fuerzas, Método de Relajación Dinámica y el Método de la Matriz de Rigidez. Cada uno de ellos tiene sus ventajas e inconvenientes, como por ejemplo: 1. Método de Densidad de Fuerzas: No necesita predimensionado inicial; la forma depende del mallado utilizado, en particular del tipo de elemento empleado (triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.) y de la distribución de los nodos en el dominio. Y, la convergencia depende del proceso de refinamiento de la malla. 2. Método de Relajación Dinámica: Necesita predimensionado previo y el principal reto al implementar este método reside en la selección adecuada de los valores de la masa, del coeficiente de amortiguamiento viscoso y de los incrementos de tiempo. En caso de que estos valores no se elijan correctamente puede provocar inestabilidad, siendo la convergencia lenta y llegando, incluso, a no converger. 3. Método de la Matriz de Rigidez: La limitación del método es que presupone una relación entre fuerzas y desplazamientos. Es muy efectivo para pequeños desplazamientos, pero en el proceso de cálculo se vuelve más complejo si estos se aumentan, disminuyendo o anulando su efectividad. Al analizar los tres métodos en conjunto se entiende que el método de Densidad de Fuerzas es el mejor para la etapa de búsqueda de forma al no necesitar predimensionado inicial. Sin embargo, en un artículo publicado por los investigadores coreanos Sang-Eul Han y Kyoung-Su Lee en el año 2003 (ver Capítulo II sección 2.2., artículo 5) se comenta que debido a que el Método de Relajación Dinámica no necesita ensamblar la matriz de rigidez tangencial de la estructura durante cada iteración del proceso de estabilización, el esfuerzo computacional y el tiempo de ejecución en la CPU puede ser reducido: "...el método de relajación dinámica puede reducir significativamente el tiempo de cálculo, ya que no requiere de la matriz de rigidez tangencial y sólo utilizan el principio de la energía para encontrar el estado de equilibrio de las estructuras. Además, supera efectivamente la singularidad numérica en los puntos de límite de manera que es eficiente para el proceso de estabilización..." La técnica de integración de diferencias finitas se utiliza para integrar la ecuación de equilibrio dinámico para el estado de equilibrio estático. Se presentaron algunos modelos numéricos que confirmaron la eficacia y la aplicabilidad del método de relajación dinámica para el análisis de membrana y su proceso de estabilización. Al incorporar los métodos anteriormente citados en los software de diseño de estructuras tensadas, nos dimos cuenta de que para que se considere una aplicación eficaz de modelización se debe incluir una serie de funcionalidades o especificaciones, como por ejemplo: • Interfaz sencilla: el usuario ha de sentirse cómodo con el entorno de trabajo. Para ello es necesario que pueda realizar operaciones de giro, zoom, traslación, etc. directamente con el ratón. 123 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid • • • • • • • Entrada de datos: la entrada de datos ha de ser sencilla, de manera que el usuario pueda variar el contorno de la tela tensada de modo intuitivo, añadiendo o eliminando vértices o elementos fijos mediante simples movimientos de ratón. Manipulación de la forma: la aplicación ha de permitir al usuario interactuar en tiempo real con la estructura que está generando. Para ello ha de permitir variar los grados de libertad de la tela arrastrando cada vértice y obtener directamente la nueva forma de equilibrio. Estado tensional: el usuario ha de poder modificar de manera sencilla los valores asignados a las tensiones de los cables en los bordes o a las tensiones internas de la tela y obtener así la nueva forma de la estructura tensada en tiempo real mientras modifica dichos valores. Entorno: para dimensionar y ajustar la forma de la tela tensada es necesario disponer del entorno que rodea a la estructura, como puede ser edificios, paisaje, trazados de suelo o volúmenes colindantes representados de manera esquemática. En todo momento se tendrán referencias para situar y dimensionar la estructura respetando las proporciones y la escala. Boceto 3D: el diseñador ha de encontrar la herramienta ágil para crear bocetos 3D y representar la idea que tiene en la cabeza de manera rápida y sencilla. Formato de ficheros: se ha de destacar la importancia de que la aplicación pueda exportar la geometría generada a formatos neutros como DXF, IGES o STEP, para poder utilizarlos posteriormente en otras aplicaciones. Plug-ins: una propiedad interesante de la aplicación sería su capacidad de formar parte de alguna ya existente de las que se utilizan habitualmente para diseño arquitectónico (Autocad, Rhino, etc…). De este modo se podría incorporar en forma de plug-in, pudiendo disponer de todas las funcionalidades que se acaban de citar dentro de un entorno de trabajo que sea familiar al usuario. La realidad es que muchos arquitectos no utilizan estructuras tensadas por no tener conocimiento y experiencia en dicho campo. Esto les lleva a delegar en manos de profesionales o consultores especializados dichas labores. Es preciso, por lo tanto, acercar este tipo de herramientas al usuario de manera que puedan generar de modo sencillo las formas de la estructura tensada. Al intentar dibujar la superficie Costa (Costa's Surface) con un programa elementos finitos, como por ejemplo el Wintess3 (aprendido en el máster), nos hemos encontrado con la dificultad de su representación, ya que no se puede representar en un mallado único, lo que nos hizo tener que dividir la superficie en tres partes. La hemos parametrizado en el software Maple de cálculo simbólico y posteriormente la trasladamos al Rhinoceros, donde construimos las polilíneas con las coordenadas y las salvamos en DXF para importarlas al Wintess3. Una vez con las coordenadas marcadas en el Wintess3 a través de líneas auxiliares hemos procedido al proceso de "atraer la malla" hacía estas líneas importadas. Este proceso no nos funcionó una vez que hacía una polilínea alabeada es imposible atraer el mallado. Con esta limitación, la solución para lograr dibujar la superficie se hizo necesario marcar los bordes del mallados con la cantidad de coordenadas existentes en la línea auxiliar y punto a punto ir cambiando de coordenadas hacía las auxiliares. Un inconveniente que hemos encontrado es la imposibilidad de exportar la superficie creada en el Maple a un programa de elementos finitos de forma que se reconozca completamente el mallado. Por este motivo se hace necesario el conocimiento del arquitecto para parametrizar estas superficies y poder ajustarlas a las formas de equilibrio encontradas. Además de que los software no tienen el código fuente abierto y son verdaderas "cajas negras" (aplicaciones que no se sabe cómo han sido programadas para cada funcionalidad). Finalmente, destacamos que existen distintos problemas abiertos para futuras líneas de investigación que definimos a continuación. 124 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 7.2. FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN Dada la gran cantidad de técnicas y métodos que se exponen en el presente trabajo, no es difícil pensar en posibles líneas futuras de trabajo e investigación que amplíen estos. Se destacan las siguientes: • Incorporación de nuevas técnicas de parametrización en el proceso de diseño de la estructura y de ajuste superficies paramétricas a formas de equilibrio de membranas. • Desarrollo de plug-ins para importación de la forma parametrizada al programa de dibujo 3D. Al ser compatible evita importaciones que interfieren y deforman el mallado original creado. • Posibilidad de dibujar un mallado de borde continuo cerrado y alabeado. • Reducción del tiempo de creación de malla mediante técnicas automáticas de generación de mallados más rápidos y eficaces. Esto ayudaría a disminuir el tiempo total empleado en la generación de formas de estructuras tensadas. • Estudio de la influencia de la topología de la malla en la forma de equilibrio resultante, diferenciando el interior de la tela de los bordes de ésta. • Estudio de corte de patrones. 125 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid BIBLIOGRAFIA COMPLETA DEL TRABAJO • ANTUNES, Liane R. Maggioni Silva. Curvas de Bézier. <http://www2.ic.uff.br/~aconci/Bezier.htm>. 2008 • ARQHYS. Historia de las estructuras con membrana tensada. < http://www.arqhys.com/construccion/historiaestructuras-tensada.html>. Acceso 14/11/2013 • BAGRIANSKI, Serguei and HALPERN, Allison B. "Form-finding of compressive structures using Prescriptive Dynamic Relaxation." Original Research Article Computers and Structures, Volume 132, February 2013, Pages 65-74. Princeton University. • BALDASANO, J.M. Influencia de la Informática en el Proceso de Proyectar. V Encuentro Nacional de Proyectos de Ingeniería, UPV. Valencia, 20-21-Septiembre, 1989. • BALDASANO et al. DISEÑO ASISTIDO POR ORDENADOR (CAD). EVOLUCION Y PERSPECTIVAS DE FUTURO EN LOS PROYECTOS DE INGENIERIA. <http://www.unizar.es/aeipro/finder/INGENIERIA%20DE%20PRODUCTOS/BF04..htm>. 2011. • BARNES, Michael R.. Form Finding and Analysis of Tension Structures by Dynamic Relaxation, Journal International Journal of Space Structures, 14, Number 2, 1999. • BREW, J. S.; LEWIS, W. J. Tension membranes modelled by curvi-linear bicubic splines, Internat. J. Numer. Methods Engrg. 72, 2007. • BURRY, Jane; BURRY, Marck. Mathématiques et Architecture, Actes Sud, 2010: <http://www.actessud.fr/catalogue/actes-sud-beaux-arts/mathematiques-et-architecture> • CÁCERES, L. D. Las tesinas de Belgrano. Arquitectura Digital como recurso educativo. 2011 • CAPASSO, M. MAJOWIECKI, V. PINTO. Le tensostrutture a membrana per l'architettura. Ed. Maggioli, 1993. • CARNICERO, Alberto López. Curso introductorio al método de los elementos finitos. Apuntes internos ICAI: <http://goo.gl/HkXKya>. 2011. • C. DE BOOR. On calculating with b-splines. Jour. Approx Theory, Vol. 6: pages 50–62, 1972. • C. DE BOOR. A Practical Guide to Splines. Springer-Verlag, New York, 1978. • DE COS, M.Teoría General del Proyecto. Ingeniería de Proyectos. Editorial Síntesis. Madrid, 1998. • D. VEENENDAAL, P. BLOCK.. An overview and comparison of structural from finding methods. • EASY TECHNET. http://www.technet-gmbh.com/index.php?id=651&L=1 • FORMFINDER: http://www.formfinder.at/main/downloads/tutorials/ • FOSTER, B.; MOLLAERT, M.. Arquitectura textil: Guía europea de diseño de las estructuras superficiales tensadas, Ed. Munila-Lería, 2009. • GÁLVEZ Mozo, A. (2004) Posicionamientos y puestas en pantalla. Un análisis de la producción de sociabilidad en los entornos virtuales. Barcelona: UAB, 2004 126 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid • GRAY, A. Costa's minimal surface. In: Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica. 2nd ed. Boca Raton, FL : CRC Press, 1997. p. 747-757 • GRÜNDIG, Lothar; MONCRIEFF, Erick; SINGER, Peter and STRÖBEL, Dieter. “A history of the principal developments and applications of the force density method in Germany 1970-1999.” IASS-IACM 2000. Fourth International Colloquium on Computation of Shell & Spatial Structures, June 5-7, 2000, Pages 1-13. • HAN, Samg-Eul and LEE, Kyoung-Su. “A study of the stabilizing process of unstable structures by Dynamic Relaxation Method.” Computers and Structures 81, March 2003, Pages 1677-1688. Department of Architectural Engineering, College of Engineering, IN-HA University, South Korea. • HERNÁNDEZ-MONTES, E; JURADO-PIÑA, R. y BAYO, E.. Topological Mapping for Tension Structures, J. Struct. Eng., (2006), 970--977. • KIM, SeungDeog. “On the development of general purpose computational program for nonlinear analysis of soft/hard structures.” IASS-IACM 2008. Proceedings of the 6th International Conference on Computation of Shell and Spatial Structures. 28-31 May 2008, Cornell University, Ithaca, NY, USA. • KOOHESTANI, K. Nonlinear force density method for the form-finding of minimal surface membrane structures. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Volume 19, Issue 6, June 2014, Pages 20712087. • LEONARD, J. William.. Tension Structures: Behavior and Analysis, McGraw-Hill, 1987. • LEONHARDT, Fritz and SCHLAICH, J. “Structural design of roofs over the sports arenas for the 1972 Olympic Games: some problems of prestressed cable net structures”. March 1972, Pages 113-119. • LEWIS, W. J.. Tension structures: form and behaviour, Ed. Thomas Telford, 2003. • LINKWITZ, K.. About formfinding of double-curved structures, Eng. Struct. 21 (1999) 709-718. • MALERBA, P. G.; PATELLI, M.; QUAGLIAROLI. An Extended Force Density Method for the form finding of cable systems with new forms. March 13, 2012. • MARSDEN, J. E.; HUGHES, Thomas J. R.. Mathematical foundations of elasticity, Dover Publications, Inc., New York, 1994. • MAURIN & MOTRO. The surface stress density method as a form-finding tool for tensile membrane, Engrg. Struct. 20 (1999) 712–719. • MVS ARCHITECTS. Australian Wildlife Health Centre. Página Web: <http://www.mvsarchitects.com.au/doku.php?id=home:projects:australian_wildlife_centre> • PAREDES et al. Trabajo Colaborativo 9: Superficies Mínimas: El Estadio Olímpico de Múnich. Noviembre, 2011 • PAULETTI, Ruy Marcelo de Oliveira. Anotaciones sobre el proyecto y el análisis de las estructuras tensadas. Entre Rayas, nº 88, Abril 2011. • RIVAS Zaragüeta, A. J.. Tipos estructurales suspendidos de cables, Tesis, Universitat Politècnica de Catalunya. Escola Tècnica Superior d'Arquitectura de Barcelona, 1973. • ROGERS, F. David. A Introduction to NURBS with Historical Perspective. Academic Press, San Diego, USA, 2001. 127 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid • SALINAS, Juan Gerado Oliva and OLMEDO, Eric Valdez. “Simplified computer-aided form-finding procedures applied to light weight structures.” IASS-IACM 2008. Proceedings of the 6th International Conference on Computation of Shell and Spatial Structures. 28-31 May 2008, Cornell University, Ithaca, NY, USA. • SÁNCHEZ, Javier; SERNA, M. A. and MORER, Paz. "A multi-step force–density method and surface-fitting approach for the preliminary shape design of tensile structures". Engineering Structures, Volume 29, Issue 8, August 2007, Pages 1966-1976. • SCIENCEDIRECT. Scientific Database offering Journal Articles and Book Chapters. <http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S021313151300059X>. Acceso en: 04/06/2014 • TECHNET GMBH, (2000), Easy, User manual for integrated surface structure design software, technet GmbH, Maassenstr. 14, D-10777 Berlin, Germany, http://www.technet-gmbh.com • TECHNICA. <http://www.technica.com.br/site/query_result.php?var=tensor>. Acceso en: 03/01/2014 • TENSINET. Arquitectura Textil. Guía Europea de Diseño de las Estructuras Superficiales Tensadas. Editorial Munilla-Lería, Edición Española de Abril 2009. • TENSOR. Estruturas Especiais e Tecnologia. <http://tensorestruturas.com/informacoes-tecnicas/> Acceso en: 13/04/2014 • TRAIZET,Martin. Exploring the space of embedded minimal surfaces of finite total curvature. Experimental Mathematics 17:2, 205--221. Experimental Mathematics, Vol. 17, nº 2, 2008 <http://www.lmpt.univtours.fr/~traizet/maple.html> • VELIMIROVIĆ, Ljubica S. et al. "Minimal surfaces for architectural constructions". FACTA UNIVERSITATIS. Architecture and Civil Engineering Vol. 6, nº 1, 2008, Pages 89 - 96. University of Niš, Serbia. • VIGLIALORO, G.. Análisis matemático del equilibrio en estructuras de membrana con bordes rígidos y cables. Pasarelas: forma y pretensado, Tesis doctoral, Universitat Politécnica de Catalunya, Barcelona, 2006. • VIGLIALORO, G. at al. "Comparación entre el análisis 2-D y el Método de la Densidad de Fuerzas (discreto) para el equilibrio en estructuras de membrana." Informes de la construcción, Volume 65, 531. Páginas 349-358, julio-septiembre 2013. • WAKEFIELD, D.S. “Engineering analysis of tension structures: theory and practice”. Engineering Structures 21, 1999, Pages 680-690. • WINTESS3. http://blogwintess.blogspot.com/2012/07/buscando-formas.html • WINTESS3. http://tecno.upc.edu/wintess/manual/ • WOOD, R.D. “A simple Technique for controlling element distortion in dynamic relaxation form-finding of tension membranes.” Computers and Structures 80, 2002, Pages 2115-2120. Department of Civil Engineering, University of Wales, Swansea, UK. 128 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid Páginas Webs: • http://www.editorialespazio.com/es/noticias/detalle/85 • https://www.youtube.com/watch?v=Ys9Bd9wl4cc • http://www.meliar.com/MPanel_Shade_Designer/Using_Sketchup.html • http://www.structureflex.com.au/MPanelSoftware.php • http://meliar-design.software.informer.com • http://specialtyfabricsreview.com/articles/1011_gi4_sail_software.html • http://aeronaut.org/index.php?option=com_content&view=article&id=97&Itemid=96 • http://www.meliar.com/MPanel_Shade_Designer/Using_Sketchup.html • http://fabricarchitecturemag.com/articles/0708_rv1_mpanel.html • http://www.meliar.com/MPanel.htm • http://www.meliar.com/Formfinding_Tuts.htm • http://www.formfinding.net/items/Software/20121103%[email protected]%3BvTclFF_DensForce_v1.0 _%28Preliminary_Description%29/text.html • http://docs.mcneel.com/rhino/5/help/en-us/commands/mesh.htm • http://www.patterner.co.uk/ • http://www.mehler-texnologies.com/EN/software.php?pid=37 • http://architectureau.com/articles/australian-wildlife-health-centre/ • http://www.archello.com/en/project/australian-wildlife-health-centre# • http://www.prandiano.com.br/html/m_aula2.htm • http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14097:la-superficie-decosta-del-healesville-sanctuary&catid=111:otros • http://es.wikiarquitectura.com/index.php/Pabell%C3%B3n_de_Jap%C3%B3n_Expo_2000_en_Hannover • http://en.wikiarquitectura.com/index.php/Japan_Pavillion_Expo_2000_Hannover • http://forum.originvision.com/?p=489 • http://www.allisonrozwat.com/A-Study-Shigeru-Ban-s-Japanese-Pavilion • http://www.designboom.com/architecture/toyo-ito-taichung-metropolitan-opera/ • http://www.google.es/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCIQFjAA&url=https%3A%2F%2Frp.liu233w.com%3A443%2Fhttp%2Fww w.ub.edu.ar%2Finvestigaciones%2Ftesinas%2F595_Caceres.pdf&ei=h_mwU6yBPcfLPfTrgZgI&usg=AFQjCNHg 61MAiPwEa5cJ-_aZ2NJOyIq7kA&bvm=bv.69837884,d.ZWU • http://wiki.ead.pucv.cl/index.php/Caso_Estudio_Estadio_Olimpico_de_Munich_/_Frei_Otto__Proyecto_Stuttgart_21_-_Sagrada_Familia_/A.Gaudi 129 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid ANEXOS ANEXO 01 - COORDENADAS UTILIZADAS PARA DISEÑAR LA SUPERFICIE COSTA Costa Superior Coordenadas "Círculo" Superior ‐ se consigue atraer la malla. "Círculo Inferior" ‐ posee 24 nodos con las siguientes coordenadas X, Y y Z: 1. ‐4.9999223822739998 0.7537390589714 ‐0.6054825186729 2. ‐5.1089464575049996 0.7397515773773 ‐0.6081975698471001 3. ‐5.2124873399730003 0.698136806488 ‐0.616151034832 4. ‐5.3054422140120003 0.6302569508553 ‐0.6286883354187 5. ‐5.3835335671899998 0.53828394413 ‐0.6445579528809 6. ‐5.4438214898109996 0.4251435697079 ‐0.6618094444275 7. ‐5.4852664172649996 0.2944175302982 ‐0.6776638627052 8. ‐5.5087835192680004 0.1507325470448 ‐0.6889635920525 9. ‐5.5162968635559997 0.0000000000000065 ‐0.6930714845657 10. ‐5.5106359720229996 ‐0.1312799751759 ‐0.6899545192718 11. ‐5.4930730760099999 ‐0.2578821182251 ‐0.6811793446541 12. ‐5.4503498971460003 ‐0.4088632166386 ‐0.6640382409096 13. ‐5.3836438950859998 ‐0.5381310582161 ‐0.6445954442024 14. ‐5.2127120941880003 ‐0.6980118155479 ‐0.6161715388298 15. ‐5.0002520158600001 ‐0.753739118576 ‐0.6054825782776 16. ‐4.7877728790039997 ‐0.6980929970741 ‐0.6161692142487 17. ‐4.6167994737629998 ‐0.5382902026176 ‐0.6445860266685 18. ‐4.5150626301769998 ‐0.2945164770086 ‐0.6776683330536 19. ‐4.4839962720870004 ‐0.0002277968887874 ‐0.693085372448 20. ‐4.5149667561050002 0.2940993309021 ‐0.6777159571648 130 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 21. ‐4.6165834963319998 0.5379723906517 ‐0.6446259617805 22. ‐4.7059487104419997 0.6402629017830001 ‐0.6268965005875 23. ‐4.8136418461800003 0.7114067077637 ‐0.6136329174042 24. ‐4.9049702212210002 0.7430602312088001 ‐0.6075522303581 Costa Medio Coordenadas "Círculo" Superior ‐ Igual que el caso anterior (mismas 24 coordenadas) "Círculo Medio" ‐ posee 71 nodos con las coordenadas X, Y y Z. "Círculo Inferior 1" ‐ posee 16 nodos con las coordenadas X, Y y Z. "Círculo Inferior 2" ‐ posee 16 nodos con las coordenadas X, Y y Z. "Círculo Medio" : 1. ‐5.46499016881 ‐2.038827180862 ‐1.1651965379710001 2. ‐5.288947343826 ‐2.0769803524019999 ‐1.160249710083 3. ‐5.1101749613880001 ‐2.0971357822419998 ‐1.1576498746870001 4. ‐4.9303630888459997 ‐2.0991911888120001 ‐1.157396435738 5. ‐4.75120870769 ‐2.083050012588 ‐1.1594880819319999 6. ‐4.5744102597239999 ‐2.0489091873169998 ‐1.1639271974559999 7. ‐4.4016233086590004 ‐1.9970667362209999 ‐1.1707147359850001 8. ‐4.2344526052470002 ‐1.9280147552489999 ‐1.179846167564 9. ‐4.0782442688940002 ‐1.8444141149519999 ‐1.19100356102 10. ‐3.9302533864970002 ‐1.7456939220429999 ‐1.2043358087539999 11. ‐3.791680216789 ‐1.632417559624 ‐1.2197808027270001 12. ‐3.6636132001880002 ‐1.505513072014 ‐1.2372022867200001 13. ‐3.5472022294999999 ‐1.3659837245940001 ‐1.2563524246219999 14. ‐3.4432663917539998 ‐1.2146803140639999 131 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid ‐1.2768743038179999 26. ‐3.331401824951 1.009754180908 ‐1.3036528825760001 37. ‐4.8681929558519998 2.0955975055690002 ‐1.1578538417819999 27. ‐3.418804049492 1.1742599010470001 ‐1.2822737693790001 38. ‐5.0436134114859996 2.1000144481660001 ‐1.157282590866 28. ‐3.5194832086560002 1.328419685364 ‐1.261481404305 39. ‐5.2186372876169997 2.087060451508 ‐1.1589430570599999 29. ‐3.6327823400499999 1.471055626869 ‐1.2419375181200001 40. ‐5.3917057812209999 2.0569310188290002 ‐1.1628386974330001 19. ‐3.1310437917709999 ‐0.3209613263607 ‐1.369984507561 30. ‐3.7578990459439998 1.6012315750120001 ‐1.224054098129 41. ‐5.5612527132030003 2.0099222660059999 ‐1.1689702272419999 20. ‐3.1132662296300002 ‐0.1243450641632 ‐1.377439141273 31. ‐3.8938857316969999 1.718061089516 ‐1.208088755608 42. ‐5.7257685065270003 1.9463341236110001 ‐1.1773347854609999 21. ‐3.1113052368159999 0.07378233969212 ‐1.3783189058300001 32. ‐4.0396537184719996 1.8206200599669999 ‐1.194201588631 43. ‐5.883799731731 1.8666567802430001 ‐1.1879225969310001 22. ‐3.1249607801439998 0.271005243063 ‐1.3724664449690001 33. ‐4.1938448548320002 1.908149123192 ‐1.182486176491 44. ‐6.0340169668200003 1.771566987038 ‐1.20070707798 23. ‐3.1542702913279999 0.4650395810604 ‐1.3606606721879999 34. ‐4.3552819490430004 1.9798833131789999 ‐1.172979474068 45. ‐6.1749863624570001 1.661834955215 ‐1.215614557266 24. ‐3.1986316442490001 0.653878569603 ‐1.3442037105560001 35. ‐4.5224829614160003 2.0353317260739998 ‐1.1657022237779999 46. ‐6.3057168722150001 1.538195967674 ‐1.2325453758239999 25. ‐3.2578425407410001 0.8359001874924 ‐1.3247066736219999 36. ‐4.6939584612849998 2.0740022659299999 ‐1.1606606245040001 47. ‐6.4251527786249998 1.4017544984820001 ‐1.251274585724 15. ‐3.352371454239 ‐1.0527043342589999 ‐1.298179149628 16. ‐3.275279164314 ‐0.8811284899712 ‐1.3194228410719999 17. ‐3.2123768329620002 ‐0.7010827064514 ‐1.339451313019 18. ‐3.164135813713 ‐0.5138438344002 ‐1.356829047203 132 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 48. ‐6.5322625637050002 1.2532833814619999 ‐1.271482110023 56. ‐6.8623346090319997 0.3692593276501 ‐1.3669255971909999 49. ‐6.6263695955279998 1.0938915014270001 ‐1.292640924454 57. ‐6.8838191032409997 0.1733713895083 ‐1.3759255409240001 50. ‐6.7070149183270003 0.9245479106903 ‐1.3139835596080001 58. ‐6.8898216485979997 ‐0.02460031583906 ‐1.3784596920009999 51. ‐6.7402176856990001 0.835518181324 ‐1.3242070674899999 59. ‐6.8799914121630001 ‐0.2222703695297 ‐1.374250411987 52. ‐6.7734204530720001 0.7464884519577 ‐1.334430575371 53. ‐6.7993829250340001 0.6536961197853 ‐1.343515992165 54. ‐6.8253455162050001 0.5609037876129001 ‐1.3526014089580001 55. ‐6.8438400030139999 0.4650815725327 ‐1.3597635030749999 60. ‐6.8537515401839997 ‐0.4220789968967 ‐1.3634865283969999 61. ‐6.8113952875140003 ‐0.6168751716614001 ‐1.347523570061 62. ‐6.7535693645480004 ‐0.8048258423805 ‐1.3280086517330001 63. ‐6.6805771589280001 ‐0.9844186306 ‐1.3066115379329999 64. ‐6.5929257869719997 ‐1.154439806938 ‐1.284695148468 65. ‐6.4912556409839999 ‐1.313566207886 ‐1.2633149623869999 66. ‐6.3762185573580004 ‐1.4608051776890001 ‐1.24317419529 67. ‐6.2486976385119997 ‐1.595132946968 ‐1.224740982056 68. ‐6.1097141504290002 ‐1.71537733078 ‐1.2083232402799999 69. ‐5.9604507088660004 ‐1.8206207752229999 ‐1.194087147713 70. ‐5.802333235741 ‐1.910107254982 ‐1.1821292638780001 71. ‐5.6366472244260004 ‐1.9830709695819999 ‐1.1724910736080001 133 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid "Círculo Inferior 1 (izquierda ‐ visión 0º)" : 1. ‐5.6469287276270004 0.4186299227307 ‐1.716873288155 2. ‐5.4942335486409997 0.3936086677144 ‐1.6330786943440001 3. ‐5.3652410507199999 0.3041628979276 ‐1.5435541868210001 4. ‐5.2796341180799997 0.1583229087422 ‐1.4689946174620001 ‐0.2053254462649 ‐1.4689946174620001 7. ‐5.3652410507199999 ‐0.3511654354503 ‐1.5435541868210001 8. ‐5.4942335486409997 ‐0.4406112052371 ‐1.6330786943440001 9. ‐5.6469287276270004 ‐0.4656324602534 ‐1.716873288155 5. ‐5.2497952282430003 ‐0.02350126876135 ‐1.43878865242 10. ‐5.799825787544 ‐0.4258962787559 ‐1.7852700948719999 6. ‐5.2796341180799997 11. ‐5.9293459057810001 ‐0.3284966565539 ‐1.8346720933909999 12. ‐6.0158838033680002 ‐0.1877238966395 ‐1.8641797304150001 13. ‐6.0462732315060004 ‐0.02350126876134 ‐1.8740578889849999 14. ‐6.0158838033680002 0.1407213591168 ‐1.8641797304150001 15. ‐5.9293459057810001 0.2814941190312 ‐1.8346720933909999 16. ‐5.799825787544 0.3788937412332 ‐1.7852700948719999 "Círculo Inferior 2 (derecha)" : 1. ‐4.3531657457349997 0.4422446489334 ‐1.7168277502060001 2. ‐4.2002785801889999 0.4025403857231 ‐1.78516304493 3. ‐4.0706713199619999 0.305124014616 ‐1.8345667123789999 4. ‐3.9840885400769999 0.1642434298992 ‐1.8641910552980001 5. ‐3.9536954164510001 0.0000000000000064 ‐1.8740603923800001 6. ‐3.9840885400769999 ‐0.1642434298992 ‐1.8641910552980001 7. ‐4.0706713199619999 ‐0.305124014616 ‐1.8345667123789999 8. ‐4.2002785801889999 ‐0.4025403857231 ‐1.78516304493 9. ‐4.3531657457349997 ‐0.4422446489334 ‐1.7168277502060001 10. ‐4.5059157311920002 ‐0.4172153770924 ‐1.6330485343929999 11. ‐4.6349829733370003 ‐0.3277410268784 ‐1.543533682823 12. ‐4.7206232845780001 ‐0.1818643510342 ‐1.468957543373 13. ‐4.7504691779610004 0.0000000000000065 ‐1.4387410879139999 134 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 14. ‐4.7206232845780001 0.1818643510342 ‐1.468957543373 15. ‐4.6349829733370003 0.3277410268784 ‐1.543533682823 16. ‐4.5059157311920002 0.4172153770924 ‐1.6330485343929999 Costa Inferior Coordenadas "Círculo Superior 2" ‐ posee 16 nodos con las coordenadas X, Y y Z. (igual anterior) "Círculo Superior 1" ‐ posee 16 nodos con las coordenadas X, Y y Z. (igual anterior) "Círculo Inferior" ‐ posee 68 nodos con las coordenadas X, Y y Z. "Círculo Inferior" : 1. ‐5.1175582185390001 1.553096413612 ‐2.8177311420439999 2. ‐4.9842561669650003 1.5569933652879999 ‐2.817841529846 3. ‐4.8510468304160002 1.5506395101549999 ‐2.8176314830779998 4. ‐4.6951473355289997 1.529934048653 ‐2.8169379234309999 5. ‐4.5419756174090002 1.4949700832370001 ‐2.8157160282140001 6. ‐4.3929169178010001 1.4462208747859999 ‐2.8140900135039999 7. ‐4.2493119835849997 1.384060382843 ‐2.8120894432069998 8. ‐4.1124866008760002 1.309055685997 ‐2.8097910881039998 9. ‐3.9836887121200002 1.2217737436289999 ‐2.8072376251220001 10. ‐3.8641571998600002 1.1229811906810001 ‐2.804514884949 11. ‐3.7550072669980001 1.0135284662249999 ‐2.801726341248 12. ‐3.657338023186 0.8944593071938 ‐2.7989943027500002 13. ‐3.5721114873889999 0.7668231725693 ‐2.7964229583739999 14. ‐3.5002253055570001 0.6317827701569 ‐2.7941052913669999 15. ‐3.442435026169 0.4905960261822 ‐2.7921411991120002 16. ‐3.399363517761 0.3446092903614 ‐2.7906200885770001 135 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid 17. ‐3.3714880943300001 0.1952362954617 ‐2.789611816406 18. ‐3.359129190445 0.04393769800664 ‐2.789158344269 19. ‐3.3624334335329999 ‐0.1077921912074 ‐2.7892773151400001 20. ‐3.3813523054119998 ‐0.2584663927555 ‐2.7899701595309998 21. ‐3.4156688451770001 ‐0.4065842330456 ‐2.7912046909330002 22. ‐3.4650148153310001 ‐0.5507197380066 ‐2.7929172515870002 23. ‐3.5288220643999999 ‐0.6894690990448 ‐2.7950415611269999 24. ‐3.606431484222 ‐0.8215491175651 ‐2.7974786758420001 25. ‐3.697004318237 ‐0.9457116723061 ‐2.8001329898830001 26. ‐3.799633741379 ‐1.0608454942700001 ‐2.8028969764710001 27. ‐3.9132839441299998 ‐1.1658487319949999 ‐2.805641412735 28. ‐4.0368704795839996 ‐1.259922623634 ‐2.8083124160769999 ‐1.4151945114140001 ‐2.8131186962129999 29. ‐4.1692003607750001 ‐1.3421976566310001 ‐2.8108038902280001 40. ‐5.8235904574389998 ‐1.346203565598 ‐2.810960054398 30. ‐4.3090432286259999 ‐1.4119099378590001 ‐2.8130061626430001 41. ‐5.9563494920729996 ‐1.2645535469060001 ‐2.8084771633150001 31. ‐4.4551105499270003 ‐1.4684929847720001 ‐2.8148624896999999 42. ‐6.080440878868 ‐1.1711053848270001 ‐2.8058323860169998 32. ‐4.6283652889109996 ‐1.5152125328320001 ‐2.8162293826670002 43. ‐6.1946467161180001 ‐1.0666307210920001 ‐2.803084611893 33. ‐4.7605509907009997 ‐1.5403902530669999 ‐2.817288637161 44. ‐6.2978379726410001 ‐0.9519982337952 ‐2.800301551819 34. ‐4.9171884506939998 ‐1.5551450252529999 ‐2.817810297012 45. ‐6.3891577720640003 ‐0.8282715082169 ‐2.7976777553560002 35. ‐5.0745510905979998 ‐1.555455803871 ‐2.8177919387819998 46. ‐6.4674533605580002 ‐0.6965910792351 ‐2.795227050781 36. ‐5.231260448694 ‐1.5415158271789999 ‐2.817333698273 47. ‐6.5319691896440002 ‐0.5581491589546 ‐2.7930657863619999 37. ‐5.3859142959120003 ‐1.5133208036420001 ‐2.8163881301879998 38. ‐5.5370975136759997 ‐1.4710558652879999 ‐2.8149547576899998 39. ‐5.6833781003950001 48. ‐6.5820513963699998 ‐0.4142672717571 ‐2.7913107872010001 49. ‐6.6172585487370004 ‐0.2663245201111 ‐2.7901022434230001 50. ‐6.6369190216060003 ‐0.1157521978021 136 Trabajo de Fin de Máster - Caroli Machado Rebouças M.U.C.T.A. - Máster Universitario en Construcción y Tecnología Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Madrid ‐2.7893373966219999 ‐2.7945489883420001 51. ‐6.6410491466519996 0.03595766052604 ‐2.7891893386839999 57. ‐6.4253540039060004 0.7709763050079 ‐2.7965342998499998 52. ‐6.6323291063310004 0.1642973423004 ‐2.7895388603210001 58. ‐6.3536781072619997 0.8794460892677 ‐2.7987325191500001 53. ‐6.6123619079590004 0.2914654910564 ‐2.7902486324310001 54. ‐6.5813812017439997 0.4165851771832 ‐2.7913396358489999 55. ‐6.5397422313689999 0.5387522578240001 ‐2.7928287982939999 56. ‐6.4875409603119998 0.6571587920189 59. ‐6.2729148864750002 0.9818596839905001 ‐2.8010213375089998 60. ‐6.1836612224580003 1.077494740486 ‐2.803323745728 61. ‐6.0866963863369996 1.1658420562739999 ‐2.8056719303130002 62. ‐5.9826076030730002 1.2463092803960001 ‐2.8079564571379998 63. ‐5.8720660209659998 1.3184156417849999 ‐2.810121297836 64. ‐5.7558475136759997 1.3815835714339999 ‐2.8120648860930002 65. ‐5.634699344635 1.435532689095 ‐2.8137876987460002 66. ‐5.5095852017400002 1.4798806905749999 ‐2.8152539730070001 67. ‐5.3810296356679999 1.5143516063689999 ‐2.8163821697240001 68. ‐5.2501029968259996 1.5388512611389999 ‐2.8172404766080001 137