Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs

Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs 1 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Puji dan syukur alhamdulillah saya panjatkan ke hadirat Allah Swt., yang mana senantiasa melimpahkan segala rahmat dan karunia-Nya sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul ini. Modul ini merupakan bahan ajar mata pelajaran matematika pada materi pola bilangan untuk siswa pada jenjang Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah kelas VIII semester ganjil dengan tujuan untuk membantu siswa dalam proses belajar matematika khususnya pada materi pola bilangan. Modul ini juga mengandung kurikulum 2013. Dan dalam modul ini disajikan uraian materi secara sederhana, efektif dan mudah dimengerti yang disertai dengan contoh dan latihan soal. Tujuan disusunnya modul ini untuk membantu siswa agar dapat menguasai konsep sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) secara mudah, utuh, dan menyenangkan. Disamping itu pula, modul ini dapat digunakan sebagai pedoman bagi orang tua agar dapat mendampingi anak dalam belajar di rumah. Pendekatan yang digunakan dalam modul ini adalah pendekatan PMR (Pendekatan Matematika Realistik). Penggunaan pendekatan ini dimaksudkan agar siswa tertarik untuk memahami isi modul, sehingga menstimulus siswa untuk lebih giat belajar secara mandiri. Penyusunan modul ini masih jauh dari kata sempurna dan masih terhitung sederhana. Masih terdapat banyak kekurangan di dalamnya. Oleh karena itu, penyusun sangat membutuhkan partisipasi dari pembaca agar dapat memberikan kritikan dan saran demi kesempurnaan modul ini. Penyusun mengucapkan banyak terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu dalam menyusun modul ini. Semoga modul ini dapat berguna bagi siapapun yang membacanya. Penyusun, Elika Putri Npm. 17160609907 2 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ........................................................................................... 2 DAFTAR ISI .......................................................................................................... 3 GLOSARIUM........................................................................................................ 4 PETA KONSEP..................................................................................................... 5 PENDAHULUAN .................................................................................................. 6 A. Identitas Modul ............................................................................................ 6 B. Kompetensi Dasar ........................................................................................ 6 C. Indikator Pembelajaran ................................................................................ 6 D. Petunjuk Penggunaan Modul ....................................................................... 7 E. Deskripsi Singkat Materi.............................................................................. 7 F. Materi Pembelajaran .................................................................................... 9 KEGIATAN PEMBELAJARAN 1 .................................................................... 10 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) .................... 10 A. Tujuan Pembelajaran .................................................................................. 10 B. Uraian Materi ............................................................................................. 10 C. Latihan Soal ............................................................................................... 16 KEGIATAN PEMBELAJARAN 2 .................................................................... 18 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) ............................................................................................................... 18 A. Tujuan Pembelajaran .................................................................................. 18 B. Uraian Materi ............................................................................................. 18 C. Latihan Soal ............................................................................................... 30 RANGKUMAN ................................................................................................... 31 EVALUASI .......................................................................................................... 32 REFERENSI ........................................................................................................ 34 3 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs GLOSARIUM Bidang Koordinat : Bidang yang dibentuk oleh sumbu horizontal dan sumbu vertikal, seringkali dinamai sumbu-X untuk garis horizontal dan sumbu-Y untuk garis vertikal. Grafik : Representasi visual yang digunakan untuk menunjukkan hubungan numerik. Koefisien : Bilangan di depan variabel. Konstanta : Bilangan tetap. Koordinat : Pasangan terurut suatu bilangan yang digunakan untuk menentukan suatu titik pada bidang koordinat. Ditulis (x, y). Persamaan Linear Dua Variabel : Kalimat matematika yang dinyatakan dalam bentuk ax + by = c, dengan a, b ≠ 0. Variabel : Huruf yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan. 4 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs PETA KONSEP SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Grafik Penyelesaain Ssitem Persamaan Linear Dua Variabel Metode Substitusi Penerapan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Metode Campuran (Eliminasi & Substitusi) 5 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs PENDAHULUAN A. Identitas Modul Mata Pelajaran : Matematika Kelas : VIII Alokasi Waktu : Judul Modul : Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) B. Kompetensi Dasar 3.5 4.5 Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dan penyelesaiannya yang dihubungkan dengan masalah konstektual. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel. C. Indikator Pembelajaran 1. Mendefinisikan sistem persamaan linear dua variabel (spldv). 2. Menentukan penyelesaian persamaan-persamaan linear dua variabel. 3. Membuat model matematika dari masalah sehari-hari yang berkaitan dengan sistempersamaan linear dua variabel. 4. Menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel. 6 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs D. Petunjuk Penggunaan Modul Modul ini dirancang untuk memfasilitasi siswa-siswi sekalian dalam melakukan kegiatan secara mandiri. Untuk dapat memahami materi sistem persamaan linear dua variabel ini dengan baik, ikutilah petunjuk penggunaan modul berikut. 1. Sebelum memulai mempelajari modul ini, berdoalah terlebih dahulu sesuai dengan kepercayaan masing-masing. 2. Pelajarilah uraian materi yang disediakan pada setiap kegiatan pembelajaran secara berurutan. 3. Perhatikan dan pahamilah contoh-contoh soal yang terdapat di dalam modul. 4. Kerjakan latihan soal yang telah disediakan 5. Jika kalian menemukan kendala dalam menyelesaikan latihan soal dalam modul ini, cobalah untuk melihat kembali uraian materi dan pahami contoh soal yang ada. 6. Cobalah untuk memecahkan masalah yang terdapat di dalam modul ini sebagai bentuk pemahaman kalian terhadap materi sistem persamaan linear dua variabel. E. Deskripsi Singkat Materi Dalam kehidupan sehari-hari, pasti kita tidak asing lagi dengan yang namanya alat-alat optik. Pernahkah kalian melihat alat-alat optik seperti, kacamata, lup (kaca pembesar), mikroskop, ataupun teleskop?Alat-alat optik tersebut menggunakan persamaan-persamaan matematika dalam pembuatan ataupun penggunaannya. Misalnya, agar benda-benda langit terlihat jelas saat kamu menggunakan teleskop maka teleskop tersebut harus dirancang sedemikian rupa, baik lensa ataupun jarak dari lensa ke matamu. Maka pada modul ini, kita akan membahas persamaan-persamaan tersebut. Sumber : Google.com 7 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs Diophantus ( 250 – 200 SM ) Diophantus dan Persamaan Linear Dua Variabel Persamaan linear dua variabel berkaitan erat dengan persamaan diophantine. Persamaan ini pertama kali dipelajari oleh seseorang bernama Diophantus yang menghabiskan hidupnya di Alexandria. Diophantus juga dikenal dengan sebutan “bapak aljabar”. Namun julukan itu kemudian disandang oleh Al-Khawarizmi tentunya. Dia merupakan seorang matematikawan Yunani yang bermukim di Iskandaria. Pada waktu itu Alexandria adalah pusat pembelajaran Matematika. Semasa hidupnya Diophantus terkenal karena karyanya yang berjudul Arithmetica. Arithmetica adalah suatu pembahasan analitis teori bilangan berisi tentang pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat persamaan. Persamaan-persamaan tersebut dikenal sebagai Diophantine Equation (Persamaan Diophantine). Persamaan Diophantine merupakan suatu persamaan yang mempunyai solusi yang diharapkan berupa bilangan bulat. Persamaan Diophantine tidak harus berbentuk persamaan linear, tetapi bisa saja persamaan kuadrat, kubik, atau lainnya selama mempunyai solusi bilangan bulat. Bentuk paling sederhananya adalah : ax + by = c a, b koefisien dan c konstanta bulat yang diberikan. Penyelesaian persamaan Diophantine adalah semua pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan ini. Sumber : https://id.m.wikipedia.org/wiki/Persamaan_Diophantus 8 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs F. Materi Pembelajaran Modul ini terbagi menjadi 2 kegiatan pembelajaran dan didalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, dan soal latihan. Kegiatan Pembelajaran 1 : Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Kegiatan Pembelajaran 2 : Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) 9 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs KEGIATAN PEMBELAJARAN 1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) A. Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari kegiatan pembelajaran 1 ini, siswa diharapkan mampu : 1. Memahami persamaan linear dua variabel (PLDV) 2. Memahami sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) 3. Menyebutkan perbedaan persamaan linear dua variabel dan sistem persamaan linear dua variabel. B. Uraian Materi 1. Persamaan Linear Dua Variabel Banyak masalah yang berkaitan dengan persamaan linear dua variabel. Namun, masalah bagaimana yang dapat dinyatakan dengan persamaan linear dua variabel? Bagaimana cara kita menuliskannya dengan persamaan? Maka perhatikanlah masalah berikut! MASALAH 1.1 Ari ingin membeli alat tulis berupa buku dan pensil. Dia merencanakan membeli sebanyak 8 buah alat tulis. Berapa banyak masing-masing buku dan pensil yang mungkin dibeli oleh ari ? Bagaimanakah cara menyajikan masalah 1.1 berikut? Untuk dapat memahami konsep persamaan linear dua variabel, maka lengkapilah dan jawablah beberapa pertanyaan berikut. 10 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs Tabel 1.1 Buku 0 1 2 Pensil 8 7 6 Berapa banyak masing-masing buku dan pensil yang dibeli Ari? Jika masingmasing banyak buku dan pensil adalah x dan y? Kemudian, dapatkah kalian menjabarkan persamaan yang menunjukkan bagaimana dua variabel yang terbentuk saling terkait? Dan setelah kalian menulis persamaan, apa yang membedakan persamaan diatas dengan persamaan linear satu variabel? Perhatikanlah bentuk-bentuk persamaan berikut ini. 4x + 2y = 10 8a – b = 16 6m + 3n = 12 5p – 2q = 10 r +s =8 6y + z = 18 Persamaan-persamaan tersebut mempunya dua variabel yang belum diketahui nilainya. Bentuk inilah yang yang dimaksud dengan persamaan linear dua variabel. Jadi, Persamaan Linear Dua Variabel adalah persamaan yang hanya memiliki dua variabel dan masing-masing variabel berpangkat satu. Maka bentuk umum dari PLDV adalah ax + by = c dengan a, b, c bilangan real dan a 0, b 0, dimana x dan y dinamakan variabel, a dinamakan koefisisen dari x, b dinamakan koefesien dari y, dan c dinamakan konstanta. 11 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs Perhatikan contoh soal dibawah ini! CONTOH SOAL 1.1 Athala membawa plastik yang berisi gula dan minyak. Berat plastik tersebut 12 kg. Ternyata, di dalam plastik tersebut terdapat tiga bungkus gula yang beratnya sama dan juga dua bungkus minyak yang beratnya sama. Tentukanlah berat satu bungkus gula dan satu bungkus tepung yang mungkin. Pembahasan : Variabel dari persamaan diatas dimisalkan g adalah banyak bungkus gula, dan m adalah banyak bungkus minyak. Sehingga, persamaannya menjadi 3g + 2m = 12. Persamaan 3g + 2m = 12 merupakan Persamaan Linear Dua Variabel. Persamaan ini terdapat dua variabel, yakni g dan m yang keduanya berpangkat satu. Perhatikan persamaan 3g + 2m = 12. Bagaimana cara kita menentukan penyelesaiannya? Penyelesaiaan persamaan linear dua variabel merupakan pasangan berurutan yang membuat persamaan menjadi benar. Penyelesaian dari persamaan 3g + 2m = 12 dapat ditentukan dengan menyubstitusikan (mengganti) nilai variabel dengan sebarang bilangan. Ingat, bahwa g menunjukkan banyak bungkus gula dan m menunjukkan banyak bungkus minyak. Untuk mencari berat satu bungkus gula, maka kita masukkan sebarang bilangan untuk variabel m. Perhatikan langkah-langkah berikut. Misalkan m = 3, maka 3g + 2(3) = 12 3g + 6 = 12 3g = 12 – 6 3g = 6 g=2 12 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs Jadi, salah satu penyelesaian dari persamaan 3g + 2m = 12 adalah (2, 3). Apakah persamaan tersebut hanya satu penyelesaian saja? Tentunya tidak. Cobalah kalian buat beberapa penyelesaian dari persamaan di atas! CONTOH SOAL 1.2 Sebuah mobil melaju dengan kecepatan rata-rata 25 km per jam. Buatlah persamaan, tabel, dan grafik yang menyatakan hubungan antara waktu dan jarak yang ditempuh mobil tersebut. Pembahasan : Untuk menyelesaikan masalah ini, kita bisa menggunakan rumus s = 25t, s menyatakan jarak dan t menyatakan waktu. Tabel yang terbentuk dari masalah diatas sebagai berikut. Tabel 1.2 Hubungan antara jarak dan waktu s = 25t Jarak ( s ) 1 2 3 4 s = 25( 1 ) s = 25( 2 ) s = 25( 3 ) s = 25( 4 ) 25 50 75 100 Pasangan Berurutan (t, s) (1, 25) (2, 50) (3, 75) (4, 100) 75 50 25 Jarak (km) 100 Waktu ( t ) 0 1 2 3 4 5 Waktu (jam) Gambar 1.2 Grafik jarak dan waktu yang ditempuh 13 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs 2. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) 3. MASALAH 1.2 Asyifa dan Asyura membeli alat tulis untuk mereka sendiri dan temantemannya. Mereka ,membeli di toko yang sama dan membeli barang dengan merek yang sama. Namun, permasalahannya, mereka lupa meminta struk pembelian. Bagaimana cara kita untuk membantu Asyifa dan Asyura untuk mengetahui harga satu buku dan satu pensil? Untuk itu perhatikan tabel berikut. Tabel 1.3 Banyak alat tulis dan harganya Pensil Buku Keterangan Asyifa membeli 5 pensil dan 5 buku seharga Rp25.000,00 Asyura membeli 3 pensil dan 6 buku seharga Rp24.000,00 14 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs Berdasarkan tabel diatas, maka kita misalkan a menunjukkan pensil dan b menunjukkan buku. Tulis persamaan yang menunjukkan harga barang yang dibeli oleh Asyifa. Rp25.000,00 = 5 pensil (a) + 5 buku (b) Tulis persamaan yang menunjukkan harga barang yang dibeli oleh Asyura. Rp24.000,00 = 3 pensil (a) + 6 buku (b) Perhatikan bahwa pada situasi yang dialami oleh Asyifa dan Asyura terdapat dua persamaan. Kumpulan dua (atau lebih) persamaan linear dua variabel disebut sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Sehingga, dua persamaan yang dimaksud adalah Rp25.000,00 = 5a + 5b Rp24.000,00 = 3a + 6b Setelah mengetahui apa itu sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV), maka kita dapat menuliskan bentuk umumnya, yaitu : { dengan a, b, c, d, p, dan r merupakan bilangan real. MARI KITA MENCOBA !! Setelah memahami materi diatas, mari kita lihat kembali Masalah 1.1 diatas. Cobalah untuk menyelesaikan masalah tersebut dengan menjawab pertanyaanpertanyaan yang telah disajikan pada masalah diatas. MARI MENGGALI INFORMASI !! Bentuklah kelompok bersama temanmu yang terdiri dari 4-6 orang, kemudian buatlah 5 contoh sistem persamaan linear dalam kehidupan sehari-hari !! 15 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs C. Latihan Soal Anak-anak untuk mengukur pemahaman konsep kalian terhadap sistem persamaan linear dua variabel maka kerjakanlah soal latihan berikut. 1. Diantara persamaan-persamaan berikut yang manakah yang merupakan persamaan linear dua variabel dan yang bukan persamaan linear dua variabel. Persamaan Merupakan PLDV Bukan merupakan Alasan PLDV 4x – 3y = 16 12 + 4q = 36 7k – 2 = 19 5y + 3z = 17 2. Sangga, Taufik, dan Adam merupakan teman SMP. Mereka berencana akan pergi berlibur bersama. Mereka telah menabung untuk pergi berlibur. Mereka menyajikan data untuk menunjukkan tabungan masing-masing sebagai berikut. Tabungan Taufik Tabungan Sangga Waktu (minggu) Jumlah (rupiah) Waktu (minggu) Jumlah (rupiah) 0 50000 0 0 2 65000 1 25000 4 80000 2 50000 6 95000 3 75000 8 110000 4 100000 16 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs Tabungan Adam Waktu (minggu) Jumlah (rupiah) 0 0 1 25000 2 40000 3 70000 4 95000 Manakah di antara ketiga data di atas yang dapat menyatakan persamaan linear dua variabel? Jelaskan. 3. Buatlah bidang kartesius yang memuat titik-titik dari himpunan penyelesaiaan 4x + 2y = 8. Hubungkan titik-titik tersebut dengan suatu garis. Berbentuk apakah garis yang kalian buat, garis melengkung ataukah garis lurus? 4. Lengkapi pasangan berurutan berikut sehingga menjadi penyelesaian dari persamaan. a. 9x + y = 22; (…., 4) c. 3y = 10 – 4x; (1,…) b. 2x + y = 4; (0, ….) d. 2x – y = 8; (…,–4) 5. Umur Rizka x tahun, sedangkan umur Zikran 3 kali umur Rizka. Jika jumlah umur mereka adalah 44 tahun. Tentukan: a. Model matematika dari soal tersebut b. Umur mereka masing-masing 17 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs KEGIATAN PEMBELAJARAN 2 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) A. Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari kegiatan pembelajaran 2 ini, siswa diharapkan mampu : 1. Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan metode grafik 2. Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi 3. Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan metode campuran (eliminasi dan substitusi) 4. Membuat model matematika dari masalah yang berkaitan dengan SPLDV 5. Menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan SPLDV B. Uraian Materi 1. Metode Grafik MASALAH 2.1 Ibu Meta memulai usaha sebuah kos-kosan. Selain itu, Ibu Meta juga menyediakan makanan bagi penyewa kos. Untuk itu, Ibu Meta menata kembali sebuah ruangan di rumah kosnya untuk dijadikan dapur dengan biaya yang dikeluarkannya Rp5000.000,00. Biaya untuk menyiapkan makanan Rp500.000,00 per bulan. Ibu Meta menyewakan Rp1.500.000,00 per bulan setiap kamarnya sudah termasuk fasilitas makan. a. Persamaan yang menunjukkan biaya yang dikeluarkan Besar Pengeluaran (P) = Rp500.000/Bulan × lama menyewa (x) + Rp5000.000 b. Persamaan yang menunjukkan pendapatan Besar Pendapatan (Q) = Rp1.500.000/Bulan × lama menyewa (x) Maka, kedua persamaan yang terbentuk adalah 18 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs P = 500.000x + 5.000.000 Q = 1.500.000x c. Gunakan kedua persamaan diatas untuk menentukan berapa bulan Ibu Meta menyewakan kamar sehingga uang dari penyewaan dapat menutupi biaya pengeluaran. Lengkapilah tabel berikut untuk melihat pengeluaran dan pendapatan pada beberapa bulan. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P Q d. Berapa bulan yang Ibu Meta butuhkan untuk menyewakan kamar kos sebelum impas? e. Gambarkanlah grafik kedua persamaan tersebut dalam bidang koordinat. Y 12.000 10.000 8.000 6.000 4.000 2.000 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Gambar 2.1 Grafik pengeluaran dan pendapatan sewa kamar kos Keterangan: satuan pada cumbu-Y adalah dalam puluhan ribu rupiah Untuk menyelesaikan masalah 2.1, maka perhatikanlah contoh soal berikut ini. 19 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs CONTOH SOAL 2.1 Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan { 𝑥−𝑦 𝑥 𝑦 dengan menggunakan metode grafik! (x dan y himpunan bilangan real) Pembahasan : Tentukan titik potong garis-garis pada SPLDV dengan sumbu-sumbu koordinat terlebih dahulu dengan mengisi tabel berikut. Tabel 2.1 2x – y = 2 Tabel 2.2 x + y = 4 X 0 1 x 0 4 Y -2 0 y 4 0 (x, y) (0, 4) (4, 0) (0, -2) (1, 0) 8 (x, y) 7 x–y=4 3 4 5 6 2x – y = 2 1 2 (2, 2) -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -4 -3 -2 -1 -4 -3 0 Gambar 2.2 Grafik penyelesaian Titik potong kedua garis adalah (2, 2). Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah (2, 2). 20 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs CONTOH SOAL 2.2 Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan { 𝑥−𝑦 𝑥− 𝑦 Pembahasan : − Tentukan titik potong garis-garis pada SPLDV dengan sumbu-sumbu koordinat terlebih dahulu dengan mengisi tabel berikut. Tabel 2.3 x – y = 2 Tabel 2.4 2x - 2y = -4 X 0 2 x 0 -2 Y -2 0 y 2 0 (x, y) (0, 2) (-2, 0) (0, -2) (2, 0) 6 7 8 (x, y) 4 5 2x –2 y = -4 1 2 3 x–y=2 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -4 -3 -2 -1 -4 -3 0 Gambar 2.3 Grafik penyelesaian Pada grafik diatas, dapat kita lihat bahwa kedua garis ternyata sejajar, sehingga tidak ada titik potong. Jadi, himpunana penyelesaiannya adalah himpunan kosong {}. 21 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs Setelah kita melihat contoh-contoh soal diatas, maka pada metode grafik himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel adalah koordinat titik potong dua garis tersebut. Jika garisnya tidak berpotongan di satu titik tertentu maka himpunana penyelesaiannya adalah himpunan kosong. 2. Metode Substitusi MASALAH 2.2 Perhatikan strategi yang Reza gunakan untuk menentukan harga tiap-tiap barang yang dibelinya. Rp56.000,00 Rp114.000,00 Jelaskan bagaimana cara Reza untuk menentukan harga sebuah topi dan sebuah kacamata? Berapa uang yang harus dibayarkan oleh Reza jika dia membeli selusin topi dan setengah lusin kacamata? Untuk menyelesaikan masalah 2.2 ini, maka perhatiakanlah penjelasan berikut. Setelah kalian memahami cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel menggunakan metode grafik. Terdapat cara lain dalam menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel yaitu dengan metode substitusi. 22 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs Untuk memahami penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan metode substitusi, coba perhatikan langkah-langkah berikut ini. Mari Kita Amati Perhatikan dua persamaan berikut. { − − Langkah 1 : Mengubah salah satu persamaan ke dalam bentuk x = … atau y = … menjadi y = 4 – 2x Maka kita ubah persamaan Langkah 2 : Masukkan (substitusi) y = 4 – 2x ke persamaan − Sehingga, − − − − − − − − − − − − − − − =3 Langkah 3 : Masukkan (substitusi) x = 3 ke y = 4 – 2x Sehingga, y = 4 – 2x y = 4 – 2(3) y=4–6 y = -2 Langkah 4 : Untuk memeriksa apakah x = 3 dan y = −2 adalah penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel, kita harus memeriksanya dengan mensubstitusi nilai x dan y ke dalam kedua persamaan tersebut. Jika x = 3 dan y = −2, maka − 4 = 4 (Benar) 23 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs Jika x = 3 dan y = −2, maka − − − − − − − (Benar) Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel adalah (3, − ). CONTOH SOAL 2.3 Fajar membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dengan harga Rp15.000,00, sedangkan Ariz membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dengan harga Rp18.000,00. Berapakah harga 4 kg mangga dan 5 kg apel? Pembahasan : Kita misalkan harga 1 kg mangga adalah m dan harga 1 kg apel adalah n. Harga 2 kg mangga dan 1 kg apel adalah Rp15.000,00, maka persamaannya adalah 2m + n = 15.000 (Persamaan 1) Harga 1 kg mangga dan 2 kg apel adalah Rp18.000,00, maka persamaannya adalah m + 2n = 18.000 (Persamaan 2) Maka sistem persamaan linear dua variabelnya adalah { − Ubah persamaan 1 menjadi − Substitusikan . ke dalam persamaan 2, sehingga − − − − − − 24 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs Kemudian subtitusikan ke persamaan − − − − Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel adalah (4.000, 7.000). Dengan kata lain, harga 1 kg mangga dan 1 kg apel masing-masing adalah Rp4.000,00 dan Rp7.000,00. Maka harga 4 kg mangga dan 5 kg apel adalah 4m + 5n = 4(4.000) + 5(7.000) = 16.000 + 35.000 = 51.000 Jadi, harga 4 kg mangga dan 5 kg apel adalah Rp51.000,00. CONTOH SOAL 2.4 Tentukan penyelesaian dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel { 𝑥 𝑥−𝑦 − 𝑦 Pembahasan : Karena persamaan 2 sudah terbentuk dalam persamaan x, maka − langsung disubstitusi ke persamaan 1. − − − − − − − − − − 25 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs Nilai y = 5 disubstitusikan ke persamaan 2. − − − Jadi, { penyelesaian − dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel adalah (1, 5). − 3. Metode Campuran (Eliminasi & Substitusi) Eliminasi berarti penghapusan dan substitusi memasukkan. Dengan demikian cara mencari penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan metode campuran adalah menghapus salah satu variabel dari Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) sehingga kemudian memasukkan nilai salah satu variabel yang telah ditemukan nilainya ke salah satu persamaan linear dua variabel tersebut. Untuk memahami cara mencari penyelesaian dengan menggunakan metode eliminasi perhatikan cara berikut. Mari Kita Amati 1. Perhatikan persamaan berikut. { − . Metode 1 Pengurangan Kurangkan persamaan pertama dengan persamaan kedua. − − − Kemudian substitusikan nilai y = −1 ke salah satu persamaan. Misal kita substitusikan ke persamaan 1. 26 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs − − − − Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel adalah (1, -1). 2. Perhatiakan persamaan berikut. { − Metode 2 Penjumlahan 6x x − =6 =1 Kemudian substitusikan nilai x = 1 ke salah satu persamaan. Misal kita substitusikan ke persamaan 2. − − Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear dua varaibel adalah (1, -1). Penggunaan kedua metode menghasilkan penyelesaian yang sama. Namun, tidak semua penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel didapat dengan langsung menggunakan metode pengurangan dan metode penjumlahan. Bagaimanakah maksudnya? Perhatikanlah langkah-langkah berikut. 27 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs Mari Kita Amati Perhatikan persamaan berikut. { − Langkah 1 : Ubahlah persamaan 2 sehingga koefisien x sama dengan koefisien x persamaan 1. − ×1 ×7 − Langkah 2 : Kurangkan kedua persamaan yang didapat seperti berikut. − − − Langkah 3 : Substitusikan nilai y yang di dapat ke salah satu persamaan awal. − Jadi, { penyelesaian dari sistem persamaan − linear dua variabel adalah (1, 5). CONTOH SOAL 2.5 Umur Desi 7 tahun lebih tua dari umur Fia. Sedangkan jumlah umur mereka 43 tahun. Berapakah umur mereka masing-masing …. 28 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs Pembahasan : Misal : Umur Desi = x tahun Umur Fia = y tahun Maka, x =7 + y x + y = 43 (persamaan 1) (persamaan 2) Kita ubah persamaan 1 menjadi x – y = 7. x–y=7 x + y = 43 – 2y = –36 y = 18 Substitusi nilai y = 18 ke persamaan 1. x–y=7 x – 18 = 7 x = 7 + 18 x = 25 Dengan kata lain, umur Desi adalah 25 tahun dan umur Fia adalah 18 tahun. Maka, penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel tersebut adalah (25, 18). MARI KITA MENCOBA !! Bentuklah kelompok bersama temanmu yang terdiri dari 4-6 orang. Setelah memahami materi diatas, mari kita lihat kembali Masalah 2.1 dan Masalah 2.2 diatas. Cobalah untuk menyelesaikan masalah tersebut dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan yang telah disajikan pada masalah diatas. Berdiskusilah bersama teman sekelompokmu!! 29 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs C. Latihan Soal 1. Sebidang tanah memiliki ukuran panjang 8 meter lebih panjang dari pada lebarnya. Jika keliling sebidang tanah tersebut adalah 44m2, tentukanlah: a. Ukuran panjag dan lebar sebidang tanah tersebut, b. Luas sebidang tanah tersebut, c. Jika tanah tersebut di jual dengan Rp85.000,00 per meter persegi, berapakah harga jual sebidang tanah tersebut? 2. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel 3. { − − berikut dengan menggunakan metode grafik. Selisih umur ayah dan anak perempuannya adalah 26 tahun, sedangkan lima tahun yang lalu jumlah umur keduanya 34 tahun. Hitunglah umur ayah dan anak perempuannya dua tahun yang akan dating. 4. Dalam pemutaran film disebuah bioskop hadir 250 penonton. Harga karcis di kursi bagian depan adalah Rp25.000,00 sedangkan harga karcis di kursi bagian belakang Rp15.000,00. Jika uang hasil pemutaran film tersebut jumlahnya ada Rp4.750.000,00, tentukanlah banyaknya penonton di kursi bagian depan dan banyaknya penonton di kursi bagian belakang. 5. Selisih uang Tyas dan Tiara adalah Rp3.000,00. Jika 2 kali uang Tyas ditambah dengan 3 kali uang Tiara adalah Rp66.000,00. Tentukanlah besarnya uang masing-masing dan jumlah uang Tyas dan Tiara. 30 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs RANGKUMAN 1. Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang mempunyai dua variabel dengan pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 1 (satu). Bentuk umum PLDV adalah ax + by = c, dengan a, b, dan c bilangan real dan a, b ≠ 0. x dan y dinamakan variabel, a merupakan koefisien x dan b koefesien y, serta c dinamakan konstanta. 2. Nilai x dan y yang memenuhi persamaan ax + by = c disebut himpunan penyelesaian (Hp) dari PLDV. 3. Grafik penyelesaian suatu persamaan linear dua variabel berupa titik atau garis lurus. 4. Apabila terdapat dua persamaan linear yang setiap persamaan tersebut mempunyai dua variabel, maka disebut sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Bentuk umum SPLDV adalah { dengan a, b, c, d, p dan q bilangan real. 5. Terdapat tiga metode untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel, yaitu metode grafik, substitusi, dan eliminasi. 6. Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan metodegrafik adalah titik potong dua grafik. 7. Metode substitusi dilakukan dengan menyatakan salah satu variabel dalam variabel lain kemudian menggantikannya (menyubstitusikan) pada persamaan yang lain. 8. Metode eliminasi dilakukan dengan menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel secara bergantian. 31 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs EVALUASI 1. Jumlah panjang dan lebar sebuah lapangan sepak bola adalah 240 m. Jika panjangnya lebih 50 m dari lebarnya, tentukan panjang dan lebar lapangan sepak bola tersebut. 2. Harga sepasang sepatu sama dengan empat kali harga sendal. Tasya membeli 2 pasang sepatu dan 3 pasang sandal dengan harga Rp275.000,00. Berapa harga sepasang sepatu dan sepasang sandal? 3. Harga 4 buah coklat dan 5 buah donat adalah Rp4.550,00. Sedangkan harga 2 buah coklat dan 3 buah donat adalah Rp2.550,00. Tentukanlah harga 5 buah coklat dan 1 buah donat. 4. Suatu proyek diselesaikan oleh 30 pekerja dalam 6 bulan. Jika proyek itu harus diselesaikan dalam 4 bulan. Tentukanlah berapa banyak pekerja yang harus ditambah? 5. Tama mempunyai sebuah tongkat yang akan digunakannya untuk mengambil sebuah bola di atap rumahnya. Namun tongkat yang dipakainya memiliki panjang 70 cm lebih pendek dari tinggi atap rumah. Supaya tongkatnya bisa sampai ke atap rumah, Tama perlu tongkat dengan panjang 2 kali panjang tongkat sebelumnya. Sehingga, jika di ukur panjang tongkat menjadi 30 cm lebih panjang ketimbang tinggi atap rumah. Nah tentukan berapa panjang tongkat dan berapa tinggi atap rumah supaya Tama bisa mengambil bola yang tersangkut di atap rumah? 6. Dalam lomba pacuan kuda, Kuda milikmu berada 3 meter di depan kuda milik lawanmu. Kudamu berlari dengan kecepatan rata-rata 2 meter per detik. Kuda lawanmu juga berlari dengan kecepatan 2 meter per detik. Sistem persamaan linear yang menyatakan situasi tersebut adalah y = 2x + 3 dan y = 2x. Apakah kuda lawanmu akan menyusul kuda milikmu? Jelaskan. 32 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs 7. Umur Ayah di tambah 2 kali umur Ryan sekarang adalah 66 tahun. Sedangkan 3 tahun lalu selisih umur Ayah dengan 3 kali umur Ryan adalah 7 tahun. Bagaimakah sistem persamaan linear dua variabelnya dan berapakah masing-masing umur Ayah dan umur Ryan sekarang? 8. Minggu ini, sebuah tempat rekreasi sedang dibanjiri oleh pengunjung yang ingin berekreasi bersama dengan keluarga atau teman-teman. Beberapa orang dewasa dan anak-anak sedang mengantri untuk membeli tiket masuk. Ada sebuah keluarga dengan dua orang dewasa dan tiga anak-anak membayar tiket dengan harga Rp425.000,00. Kemudian, ada empat orang dewasa dan dua anak-anak membayar tiket dengan harga Rp550.000,00. a. Berapakah harga satu tiket untuk orang dewasa dan satu tiket untuk anakanak? b. Berapakah yang harus dibayar untuk membeli tiket jika ada tiga orang dewasa dan tiga anak-anak? 9. Jumlah dua bilangan adalah 32. Jika diketahui selisih kedua bilangan tersebur adalah 16. Tentukanlah bilangan-bilangan yang dimaksud. 10. Di bawah ini adalah 3 tower yang memiliki tinggi berbeda dan tersusun dari dua bentuk yaitu bentuk segi-enam dan persegi panjang. Berapa tinggi tower c tersebut? (a) (b) (c) 33 Modul Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Kelas VIII SMP/MTs REFERENSI Agus, Nuniek Avianti. 2008. Mudah Belajar Matematika Untuk Kelas VIII. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional. As’ari, Abdur Rahman., Tohir, Mohammad., Valentino, Erik., Imron, Zainul., & Taufiq, Ibnu. 2017. Matematika Kelas VIII Semester 1. Cetakan ke-2. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. Marsigit., Erliani, Elly., Sugiman., & Dhoruri, Atmini. 2011. Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII. Jakarta : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Kementerian Pendidikan Nasional. Nugroho, Heru., & Meisaroh, Lisda. 2009. Matematika SMP Dan MTs Kelas VIII. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional. Nuharini, Dewi., & Wahyuni, Tri. 2008. Matematika Komsep dan Aplikasinya. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional. 34