Introducción a la Econometría PRES ENTACION La econometría como disciplina que forma parte de las matemáticas aplicadas, al utilizar conceptos matemáticos y estadísticos en la economía, ha resultado de gran utilidad para estos profesionistas en el estudio que suelen hacer sobre el comportamiento actual y futuro de los fenómenos económicos, así como para identificar y cuantificar las relaciones estructurales que éstos mantienen entre sí, al igual que para expresar matemáticamente sus teorías y para verificarlas con el instrumental que les proporciona la estadística. Así, este trabajo integra en forma sistematizada los conocimientos básicos sobre esta disciplina; de manera didáctica describe los conceptos teóricos y la aplicación de las técnicas mediante las cuales es posible: 1. Realizar el análisis estructural de las relaciones entre variables independientes y dependientes; 2. Estimar a partir de información histórica la evolución futura de ciertas variables; 3. Hacer planeación micro y macroeconómica; y 4. Evaluar la aplicación de políticas fiscales, de ingreso, monetarias, etc. Como se indicó, dichas técnicas se aplican en la presentación matemática y en la verificación de cierta teoría económica, ya que mediante el análisis funcional se establecen las relaciones entre un fenómeno y las causas que hipotéticamente lo determinan, relaciones que posteriormente se comprueban, preferentemente, mediante el uso de los métodos de la estadística inferencial. Una vez que se comprueba que existen estas relaciones, se puede decir que se está en condiciones de estimar el comportamiento futuro del fenómeno. Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 1 Introducción a la Econometría Este acervo de conocimientos es de gran utilidad para el ejercicio profesional de los economistas, que pueden constatar la veracidad y comportamiento futuro económicas. Debido a ello he puesto gran cuidado en la de las variables micro y macro elaboración de este libro, en su presentación y exposición didáctica, en la descripción de su alcance, de sus limitaciones y, por consiguiente, en el uso concreto que tiene en determinadas situaciones. Con este enfoque estimo que esta obra debe ser parte de la bibliografía básica que deben consultar los estudiantes y profesionales de la economía. Pienso que su consulta le permitiría a los primeros aprender los conceptos fundamentales de la econometría y, a los segundos, ratificar, refrescar y enriquecer los conocimientos suficientes para hacerlos competitivos en el mundo globalizado que nos ha tocado vivir, donde la constante es el cambio y la competencia entre las personas. Idealmente está escrito para autodidactas, sería una gran satisfacción alcanzar este objetivo; si no lo logro, pido disculpas y prometo perseverar en el mismo en un futuro próximo. Finalmente, aprovecho para agradecer a los profesores Alberto Reyes de la Rosa y Ekatherina Peregrina, que participaron activamente en la captura, presentación y revisión meticulosa de los ejemplos numéricos, en particular al profesor Alberto Reyes de la Rosa por la incorporación de materiales interesantes de otros autores y por su participación en la interpretación de los resultados y en el análisis de congruencia que deben guardar entre si los conceptos, así como en el diseño de casos en los que se ilustra la aplicación de los conocimientos econométricos básicos. La anterior ha permitido que el libro cuente con un mejor formato, que su lectura garantice la transmisión correcta del conocimiento, que se exponga con sencillez y sin perder el rigor técnico, es decir, que sea útil para el ejercicio docente, profesional y de investigación. Doctor Genaro Sánchez Barajas Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 2 Introducción a la Econometría Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 3 Introducción a la Econometría I. INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA I.1 Definición Econometría es la disciplina que en el ámbito económico mide las relaciones que existen entre un fenómeno bajo estudio y las variables que lo explican. La medición se hace con el instrumental matemático y las relaciones se verifican, generalmente, con las técnicas de la estadística inferencial. El fenómeno económico se estudia a través de la observación y su comportamiento, se registra preferentemente con datos cuantitativos (en ocasiones con cualitativos, expresados a través de variables llamadas categóricas, dicotómicas, ficticios o dummy). La matemática permite expresar su comportamiento a través de ecuaciones que pretenden describir determinada teoría económica, misma que en turno permite a la estadística indicar si es o no verídica. Así, una vez que se expresa la teoría económica en forma uniecuacional o multiecuacional, la estadística proporciona los métodos para corroborar sí se prueba o no con rigor técnico. 1 I.2 Propósito Con base en la definición, puede decirse que la econometría tiene tres propósitos fundamentales: 1. Hacer el análisis estructural de las relaciones económicas. 2. Predecir a partir de valores observados o históricos de ciertas variables económicas, su evolución futura. 3. Evaluar la aplicación de políticas microeconómicas (a nivel de empresa) y/o macroeconómicas (a nivel de los grandes agregados de un país). 1.3. Evol u ci ón y perspec ti vas de l a econ om et ría Algunos estudiosos como G.S. M addala (1996:2) comentan que en opinión de Stigler en 1699 se identifica a Charles Devenant como pionero en el área, puesto que hizo y publicó ese año el primer programa de demanda empírica; otros consideran que su origen está en los trabajos realizados en dicho siglo XVII por Sir William Petty, quien escribió en 1676 y luego publicó en 1690 su obra la aritmética política o más recientemente, en 1758, con la Tableau Économique elaborada por el célebre médico francés Francois Quesney. En opinión de Julián Pérez (1998) han existido las siguientes etapas evolutivas: i). Etapa I: Antecedentes, que comprende desde las primeras expresiones económicas a través de las matemáticas, hasta 1914. ii). Etapa II. Desarrollos iniciales; abarca desde la publicación de H. M oore de Economic Cycles: Their law and causes, obra que muchos especialistas catalogan como el primer trabajo econométrico formal, digamos hasta 1930. iii). Etapa III. Formalización. Se le llama así porque el 29 de diciembre de 1930 se fundó la Econometric Society en la ciudad norteamericana de Cleveland, a iniciativa de Charles Roos Ragnar Frisc y Irving Fisher; esta etapa llega hasta 1950. Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 4 Introducción a la Econometría iv). Etapa IV. Extensión, va desde la publicación de la monografía número diez de la Cowles Comissión, en la cual se presentan las normas básicas de la investigación econométrica, etapa que se prolongó hasta 1979. v. Etapa V. Diversidad de enfoques, la cual se inicia con la publicación del Time Series Análisis de Box & Jenkins, que brinda un nuevo enfoque ( modelos univariantes de series temporales, conocidos como modelos ARIMA ) para explicar mejor ( ya que los distintos modelos clásicos empezaron a fallar sistemáticamente en sus predicciones ) el comportamiento y relación de las variables económicas en un sistema económico internacional agobiado por la crisis petrolera, el abandono del patrón oro y el cambio del flujo financiero que ocasionaron altos niveles de inflación y desempleo en economías completamente desestabilizadas. Señala Julián Pérez que “en este contexto surgieron múltiples críticas a la modelización tradicional, representada por los grandes modelos macroeconómicos de ecuaciones simultáneas, que sirvieron como incentivo para el desarrollo de contrastes nuevos, especificaciones alternativas, y técnicas nuevas para abordar el análisis económico aplicado. Esta diversidad de planteamientos constituye el segundo de los factores diferenciadores que delimitan esta última etapa de la historia econométrica. En los umbrales del siglo XXI, el instrumental teórico sobre análisis econométrico ha sido fortalecido por un desarrollo exponencial de las tecnologías informáticas, las cuales han aportado poderosas herramientas computacionales que han permitido el uso de sistemas de resolución muy complejos en periodos muy cortos. Asimismo, los lenguajes de programación “amigables” han facilitado a los investigadores la posibilidad de generar sus propias herramientas de computo, lo que ha diversificado enormemente las posibilidades de aplicación teórica.” Finalmente es interesante indicar que dentro de la econometría moderna, en opinión de los profesores Luis M iguel Galindo y Horacio Catalán ( 2003) en la actualidad se analizan profusamente las propiedades estadísticas de las series utilizadas en el análisis económico, mediante el estudio de los temas de cointegración y de raíces unitarias, cuyo origen se localiza en los modelos ARIM A y en el concepto de regresión espúrea ( Granger & Newbold, 1974), así como también la relación entre la estructura temporal de las series de tiempo ( dinámica de corto plazo) y la presencia de un mecanismo de corrección de errores que captura las relaciones de largo plazo ( Davidson, Hendry, Srba y Yeo, 1978). Estos son los conocimientos frontera en el nuevo estado del arte econométrico, mismas bases que norman el contenido del curso sobre introducción a la econometría. 1.4 Los mod el os mac roe con ómi cos má s con oci dos 1.4.1. Norteamericanos, Se dice que en 1998 apareció publicado al mismo tiempo que se inauguró un sitio en Internet gratuito con la versión electrónica, el MM E para la economía de EEUU con el nombre de U S M odel, de Ray Fair, profesor de la universidad de Yale. Entre otras aplicaciones, es útil como simulador al contener información para crear escenarios en sectores claves como: los hogares, las empresas, el sector financiero, el sector gobierno federal, el sector gobierno local, y el sector externo. Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 5 Introducción a la Econometría 1.4.2. Los españoles Destacan el modelo Wharton –Universidad Autónoma de M adrid, (WUAM ), que existe desde 1981. También, el M odelo de investigación y simulación de la economía española (M OISSES) y, el que se publicó en 1994, intitulado: “M odelo de Aproximación Trimestral, M AT. 1.4.3. Los de M éxico Cronológicamente el que primero se conoció fue el M odelo UNAM de Ibarra ( Ibarra, 1970), le siguieron el modelo de Clavijo ( 1976), el modelo de planeación hacendaria ( 1979), el modelo de Ruffat, versión modificada del modelo de Beltrán ( 1981), el modelo Galileo ( 1983), el modelo MODEM del CIDE (1984), el modelo Aspe-Jarques (1985), el modelo Amiela-Huerta (1985), el modelo Ricardo Lago ( 1991) y el modelo Eudoxio ( 1995). 1.5. Con ceptos bá si cos Al ser la econometría la disciplina que expresa una teoría económica a través de las matemáticas y de verificarse con métodos estadísticos, es conveniente señalar que la expresión matemática adopta la forma de modelos. Al respecto, un modelo es una representación simplificada de la realidad expresada a través de símbolos matemáticos ( José Hernández, 1992:17). Cuando el modelo se relaciona con la economía, se habla de modelos económicos, que son representaciones simplificadas de cierto conjunto de relaciones económicas. Dentro de estos destacan los modelos econométricos, que se definen como modelos económicos que contienen las especificaciones necesarias para su aplicación empírica, es decir los modelos econométricos constituyen el marco dentro del cual se desenvuelven las investigaciones econométricas. Para su formulación se requiere metodológicamente de las siguientes etapas de trabajo: 1.- Evolución de la teoría o hipótesis. 2.- Especificaciones: es la exposición de la teoría económica con símbolos matemáticos, es decir, la definición del modelo econométrico dirigido a probar la teoría económica. 3.– Estimación: la determinación del valor numérico de los parámetros del modelo. 4.- Verificación: Es la aceptación o el rechazo de la teoría económica mediante el método de pruebas de hipótesis estadísticas. 5.- Predicción: Se evalúan relaciones estructurales y futuros resultados con base en el modelo establecido. 6.- Utilización del modelo para fines de control, formulación o evaluación de políticas. 1.- ES PECI FI CACI ON Ursicino Carrascal ( 2001) señala que el proceso de construcción de un modelo econométrico se inicia con la especificación de la relación a estimar y la formulación de un conjunto de hipótesis. Este procedimiento inicial que requiere selecciones entre distintas alternativas puede incurrir, sin embargo en errores. Por ello es conveniente someter al modelo elaborado y estimado a diversas pruebas estadísticas que permitan comprobar su validez y calidad antes de utilizarlo en el trabajo empírico. De ahí que se diga que un modelo se especifica cuando se definen las siguientes: Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 6 Introducción a la Econometría a)Variables: Endógenas: son las que explican el modelo y cuyo valor se determina dentro del mismo. Exógenas: son aquellas cuyos valores no los determina el modelo, son independientes, por consiguiente, influyen en el mismo pero no son influenciadas por el resto de las variables del modelo. Retardadas: son aquellas cuyos valores corresponden a momentos, años o periodos de tiempo pasado que influyen en las variables endógenas del presente; pueden ser endógenas o exógenas. Predeterminadas: son variables exógenas mas endógenas retardadas. Ficticias: Se usan para hacer análisis con variables cualitativas. Perturbación aleatoria: Es una variable aleatoria cuya inclusión se debe al hecho de que las relaciones económicas no se cumplen exactamente. Dicha inclusión, que confiere a los modelos el carácter estocástico, se justifica por las siguientes razones no excluyentes: 1.- Resumen de la influencia conjunta de las variables exógenas, que, por tener poca importancia, no son incluidas en el modelo de forma independiente. 2.- Recogen los errores de medida en la observación de las variables. 3.- Recogen la aleatoriedad inherente al comportamiento humano. Dicotómicas (ficticias, dummy y categóricas) son las variables cualitativas del modelo, expresan atributos, genero, raza, idioma etc. b).- Parámetros: Son coeficientes que acompañan a las variables en el modelo. Son magnitudes que permanecen constantes dentro de un fenómeno concreto y que, por esta razón, reciben el nombre de parámetros estructurales. En la teoría económica suelen tener ciertas restricciones para que ésta se cumpla, por ejemplo el signo para indicar que se cumple o no cierta relación entre las variables dependiente e independiente. c) Ecua ciones . Son relaciones matemáticas con las que se trata de expresar la forma en que aparecen relacionadas las variables y los parámetros que componen el modelo. M atemáticamente se clasifican así: Lineales: Cuando la forma funcional es lineal. No lineales: Cuando la ecuación es de cualquier otro tipo. Desde el punto de vista económico, las ecuaciones se clasifican en : De comportamiento: Recogen las acciones de los sujetos económicos. Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 7 Introducción a la Econometría Institucionales: Describen los efectos de orden jurídico, social y de la política económica sobre el fenómeno en estudio. Estructurales: Describen la composición del fenómeno bajo estudio. Identidad: Son las ecuaciones que expresan relaciones contables o identidades entre magnitudes económicas. d).- D at os : Los datos de las variables pueden corresponder a valores de una variable en el tiempo: series de tiempo, o a valores para diferentes individuos, grupos u objetos en un momento dado, llamados de corte transversal y que generalmente provienen de las encuestas. e).- Clas ifi cac ión o t ip o de modelos : Pueden clasificarse de diversas maneras, las más comunes son: i). Por el número de ecuaciones, es decir, pueden ser uniecuacionales o multiecuacionales, todo depende del número de ecuaciones con que se constituyan. ii). Por la forma de sus ecuaciones, pueden ser lineales cuando sus ecuaciones lo son, no lineales si alguna no lo es. iii). Por la relación entre el número de ecuaciones y el número de variables endógenas, se dice que es completo cuando coincide el número de ambas; es incompleto, cuando difiere dicho número. iv). Por el momento del tiempo a que se refieren sus valores: son estáticos o dinámicos. En el primer caso todas lasa variables están referidas al mismo instante de tiempo; en el segundo, cuando dentro del modelo se incorpora alguna variable retardada. 2.- ES TIMAC IÓ N C O ND IC IO N ES TÉC N IC AS PAR A LA C O NS TRUC C IÓ N Y O PER AC IÓ N D E MO D ELO S Mode l o li ne al s i mple : un ie cu aci on al 1.- Pre s e n taci ón : Como s eñala el p rofes or J os é H ernández A lons o ( op . cit ., 33), la relac ión económi ca más s enc ill a es la que s e es t ablec e ent re dos variabl es X eY med iant e una ecua ción l inea l E ST RU CT U RA L como la s i gui ent e: Yi = α + βX i + µ i D onde: Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 8 Introducción a la Econometría Yi : v ariab le endó gena, e xp licad a o dep endient e; X i : variab le e xó gena, e xp licat iva o indep endient e; µ i : p ert urbación aleat oria o e xp licac ión de los ef ect os que no e xp lica X i s obre Ŷi ; α y β: p arámet ros des conocidos cuy o valor es neces ario det erm inar ( es t imar ). El pr opós ito d e l a e conomet ría es es t imar va lores es t ruct urales ( d e α y β ) a p art ir de una s eri e de obs erv acion es o dat os mues t rales de l as variab les Yi , X i con i= 1,2,3,......,n, mediant e la s olución de un “ s is t ema de ecuaciones normal es ”, que p ermit e calcu lar las in có gnit as del s is t ema, es de cir, conocer los va lores de los p arámet ros p rop ues t os p or la relac ión Y= f(X ). D icho modelo (U rs ic ino, 2001) s e funda ment a en el cu mpl i mi en to de l as si gu i en tes h i pótesi s o su pu es tos cl ási cos: 1. Imp lícit as en l a es p ecifi cac ión de la ecu ación del mode lo es t á l a line alid ad de la re lac ión y la cons t ancia de los p arámet ros . 2. N o exis t en rela ciones l inea les e xa ct as ent re las variabl es e xp licat ivas o regr es oras , adem ás de que es t as no s on variabl es ale at orias . 3. Exis t e linea lidad e xact a ent re l as variab les s olo cuando la var iabl e indep endient e es t a elevada a la p ot encia 1 (G ujarat i, 1990:32) y s e excluy en 2 t érminos como x , x 2 ent re ot ros . D e las dos int erp ret aciones de line alid ad la de los p arámet ros es la más imp ort ant e en la t eoría de la regr es ión y s ignif ica qu e los p arámet ros es t án elevados a l a p rimera p ot encia. 4. Las p ert urbaciones aleat orias s on variables (aleat orias o es t ocás t icas ) indep endient es e igu alm ent e dis t ribuidas normales de med ia cero y ciert a varianz a. 5. N o exis t e aut ocorrelación (s on indep endient es ) ent re s i las p ert urbaciones aleat orias . µ i 6. T odas las p ert urbaciones aleat orias t ienen i gual vari anz a, i.e., h ay homocedas t icid ad, de l as µ i . 7. Exis t e cero covari anz a (cov) ent re la v ariab le e xp licat iva (X i ) y la vari able o p ert urbación aleat oria ( µ i ), es decir, no es t án correlacion adas , de maner a que s u s ignific anci a en la variab le dep endient e (Yi )es s ep arada y adit iva. Cuando X e µ i es t án correlac ionadas (p os it iva o ne gat iva ment e) es dif íci l ais lar l a inf luenci a ind ividua l de X i y de µ i s obre Yi (G ujarat i, 1990 :59). Es t a hip ót es is 7 s e cump le cuando Yi no es una variable ale at oria (ver hip ót es is 2), en cuy o cas o Cov(X i , µ i )= 0. A l res p ect o, conviene r ecordar que un a p ert urbación a leat oria o var iabl e es t ocás t ica es aquella que t oma cu alqui er valor en un con junt o de números p os it ivos o negat ivos , con una p robabilid ad dada. U p roces o es t ocás t ico es aquel que gener a res ult ados en un exp erim ent o, cada uno de ellos con una p robabilidad de ocurr enci a. En econo mía p uede s er la p roducción diaria de t ornillos , de ladril los ; el in gres o de las p ers onas en un mes , et c. donde cada uno de ellos t oma una p robabil idad de o currenc ia. Es p eranz a mat emát ica o valor es p erado es el valor medio o p romedio de una p oblación (que p ueden s er los res ult ados es t ocás t icos que gener a el e xp eriment o). Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 9 Introducción a la Econometría A s í, en el lanz am ient o de un dado que t ien e 6 car as : 1,2,3,4,5, y 6, s i hacemos e l exp erim ent o de l anz ar el dado una v ez , genera un p roces o es t ocás t ico, cuy a variabl e a leat oria s erá aque lla que t ome los v alores d e l as car as : 1,2,3,4,5, y 6 y cuy a p robabilidad de ocurren cia de c/u s er á P = 1/6, lu e go s i X = c ara o res ult ado p os ible; E= (Es p eranz a mat emát ica); P (P robabil idad) 1 1 1 1 1 1 E ( x i ) = (1) + ( 2) + (3) + (4) + (5) + (6) 6 6 6 6 6 6 1 2 3 4 5 6 21 E( xi ) = + + + + + = = 3.5 6 6 6 6 6 6 6 E(xi)= 3.5 que aunque no e xis t e, aun as í es e l valor es p erado en el e xp erim ent o. 8. El mode lo es t á bien es p ecifi cado. En economet ría la re lac ión line al s imp le ent re dos variables s e denomina m odelo lineal s im pl e, M LS. La es t ima ción p unt ual de los p arámet ros p oblaciona les α y β s e h ace p or el m é todo de m ínim os cuadr ados que minimiz a la s uma de los cuadrados de los res iduos , ∑e 2 i y que garant iz a ciert as pr opiedad es es t adís t icas de los es t imadores a y b, de los p arámet ros α y β, que as e guran la conf iabi lidad del p roces o de inferen cia ( a p art ir de una mues t ra s e es t iman o infieren los valores de los est imadores de los p arámet ros ). Se s up one que las pro pi e dade s de l os e s ti madore s as í obt enidos s on: que s on linea les , ins es gados , óp t imos , s uficient es , cons is t ent es y eficient es . A s í, la ecuac ión de re gres ión, que t oma va lores de una mu es t ra de valores de Yi e X i es : Ŷ= a+ bX + ei donde: a es es t imador de α b es es t imador de β Ŷes es t imador de Y ei es el es t imador de µ i ∑e El mét odo de mínimos cuadr ados , bas ado en los mínimos cuadrados ordin arios , M CO , minimiz a 2 i p ues t o que ei i = Yi - Ŷi = Yi -a-bX i . A p licando las condic iones de mini miz ación, s e d educe el “ s is t ema de ecu acion es normal es ”: ∑ y = na + b∑ x ∑ xy = a ∑ x + b ∑ x (1) 2 (2) cuy a res olución p ermit e obt ener los valores de las incó gn it as a y b Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 10 Introducción a la Econometría 2. Re pre s e n tati vi dad de l mode l o des cri pti vo En es t adís t ica des cr ip t iva s e ut iliz an dos medid as de dis p ers ión p ara conoc er e l grado d e ap roxi mac ión ( cap acid ad des crip t iva ) de la ecua ción de r e gres ión Ŷ= a+ bX + ei, ( que p roviene de una mues t ra) de los valores de los p arámet ros α y β.U na es la v arianz a de los res iduos , med ida d e dis p ers ión abs oluta, y ot ra es el coefic ient e de det erm inac ión, med ida de d is p ers ión r elativ a. 2.2 C on fi abili dad de l os e s ti madore s de l os paráme tros La es t imación p unt ual de los p arámet ros estru ctu ral e s del modelo : α y β, dada p or a y b, resp ect ivament e, que p rovienen de un a mues t ra, s e s up one que s on dos valores numéri cos que p uedan p rovienen de mues t ras dist int as disp onibles dent ro del marco mu es t ral y cuy o núm er o, de ést as últ imas , dep ende de s u s elección de acuerdo con la ap lic ación de l mét odo con o s in reemp laz o. As í s egún la mues t ra ut iliz ada, es el valor que s e obt ien e p ara a y b. P ara t ener una idea de las os cilac iones que p ueden p roducirs e en s us valor es al p as ars e de una mues t ra u ot ra, s e calcu lan l as varianz as de es t os dos es t imadores : a y b. 3.- Verificación de la teoría económica P ara ello s e re aliz a l a p rueba de hip ót es is s obre la s ignific ación es t adís t ica de los p arámet ros , en cuy o cálcu lo int ervienen s u vari anz as y ot ras medidas es t adís t icas que s e p res ent arán y us arán en la medid a que s e vay a avanz ando en el curs o de economet ría. 4.- Pre di cci ón U na vez obt enida la ecua ción de r e gres ión, qu e s e ha v erifi cado l a c alid ad de s us es t imadores y comp robado que des cribe ap rop iadament e la t eorí a econó mic a, e l inves t igador es t á en condic iones de vis ua liz ar el fut uro ( hac er p laneac ión) ap licando el mod elo uni ecua ciona l ( o mult iecua ciona l ) en la p roy ección de los valores , di gamos nec es arios p ara cons t ruir es cenarios económi cos fut uros de s u int erés . H e aquí el us o y alcan ce de los conoci mient os bás icos de l a econo met ría. Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 11 Introducción a la Econometría I I . CON CEPTO S Y EJERCI CO S PARA REFRES CAR O ACTU ALI ZAR LO S CO N O CIM I EN TOS NECESARIOS PARA CONSTRUIR MODELOS 2 y 3 I I .1Con ju n tos y n ú meros real e s D efi ni ci ón de con jun to: de manera s enc ill a diremos que un con junt o es un grup o de objet os ; digamos , p odemos decir que los números p ares ent re 3 y 15 es un conjunt o, los cua les s on 4,6,8,10,12,14, donde a c ada uno de es t os números s e l e llam a mi embro o e lem ent o del conjunt o. U n conjunt o s e es p ecific a lis t ando s us mie mbros , en cualqu ier ord en, dent ro d e llaves . E l conjunt o ant erior s e p one as í: { 4,6,8,10,12,14} , mis mo que p odemos ident ificar con la let ra A . A s í, decimos p or ejemp lo que un con junt o A es un s ubconjunt o de un conjunt o B ⇔ t odos los element os de A t ambién s on element os de B. Si A = { 6,8,10} y B = { 4,6,8,10,12,14} , ent onces A es un s ubconjunt o de B. A hora bien, ciert os conjunt os de números t ienen nombres es p ecial es . Los números 1,2,3,4,5, ....,et c. forman el con ju n to de l os e n te ros pos i ti vos o nú me ros n atu rale s = { 1,2,3,…} . Los p unt os s usp ens ivos indican qu e l a l is t a de ele ment os no t ienen f in, aun cu ando s abemos cual es s on los ele ment os del con junt o. P or ot ra p art e, los ent eros p os it ivos junt o con el cero y los ent eros negat ivos –1,-2,-3,-4.... forman el conjunt o de los ent eros = { ……-4,-3,-2,1,0,1,2,3,4,….} . Igua lment e, e l conjunt o de los núm er os r acionales , cons is t e en núm eros como 1/2 y 1/8, que s e p ueden es cr ibir como una raz ón ( coc ient e ) de dos ent eros , es decir, un número ra ciona l es aquel que p uede es cribirs e co mo p /q, donde p y q s on ent eros y q ≠ 0 y a que no s e p uede div idir ent re cero. Los nú meros 17/19, -3 /8 y –5/-3 s on raciona les ; e l ent ero 3 es rac ional y a que 3 = 3/1. T odos los ent eros s on racionales . Los números racion ales s e p ueden rep res ent ar mediant e núm eros de ci mal e s con me n su rabl e s ( con un número definido de cifras ), t al es como 3/4= 0.75 y 3/2 = 1.5 o mediant e de ci male s i n con me n su rabl e s pe ri ódi cos ( con un grup o de dígit os que s e rep it en indefinidament e), t ales como 2/3= 0.66666...., -4/11 = 0.3636....., y digamos 2/15 = 0.13333....., T ambién, los números que s e rep res ent an mediant e de ci male s i n con me ns u rabl e s n o pe ri ódi cos s e l l aman nú me ros i rraci on ale s . U n número irracional no s e p uede es cribir como un ent ero dividido ent re ot ro ent ero. Los números Π = 3.1416 y 2 s on irraciona les . Los dos , tan to l os n ú me ros raci on ale s como l os nú me ros i rraci on ale s forman e l con ju n to de l os n ú me ros re ale s . Est os números p ueden rep res ent ars e mediant e pu n tos e n u n a re cta y se l es ll aman coorde n adas . Ejemp lo: Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 12 Introducción a la Econometría −π -3 -1.5 -2 -1 1/2 0 1 π 2 2 3 I I .2 Ecu aci on es S i gni fi cado: una ecuación es un p lant eamient o que s eñala que dos expr es iones s on iguales : Cada una de las expr es iones s e llam a lado o m iem br o y est án s ep aradas p or el s igno de i gu aldad (= ). Ejemp los de ecu acion es : a).- x+ 2= 3 ; b).- y /y -5= 7 ; c).- w = 7-z 2 ; d).- x + 3x+ 2= 0 Vemos qu e cad a e cuac ión cont ien e cuando menos un a vari abl e , donde és t a s e rep res ent a genera lment e ( p ero no neces ari ament e ) p or las let ras finales de l alfabet o l at ino y s e de fi n e como aqu ell a l it eral qu e p uede t omar cua lquier va lor dent ro de un dominio o ran go qu e s e es p ecífic a p reviament e. D ecimos que las ecua ciones a) y b) s on ecu acion es en las var iabl es x y y, res p ect ivament e. La e cuac ión c) s e da en l as variab les w y z : En l a ecu ación a) x+ 2= 3, s e les l lam a con s tan te s a los números 2y 3 p or que s u valor es fijo. Es imp ort ant e decir que una ecua ción s iem pr e debe es tar defin ida; es decir, nunc a s e p ermit e que una vari able t en ga un va lor p ara e l cu al cualqu ier expr es ión d e l a ecuac ión res ult a indefin ida. A s í, en e l c as o de la ecua ción y /(y -5)= 7, la y no p uede s er 5 p or que p rovocaría que e l denom inador fuer a 0. P or ot ra p art e, s e entiende por re s ol ve r u n a e cu aci ón , el encont rar t odos los valores de s us variables p ara los cuales la ecuac ión s e verific a; a es t os valores los llam amos s ol u ci one s de l a e cu aci ón y decimos que la s at is facen. Cuando una let ra rep res ent a un número o cant idad des conocida en una ecua ción s e le deno mina i n cógn i ta. A s í, en las ecu ación a).- x+ 2= 3, la vari able x es l a incó gnit a; s ólo el v alor 1 p ara x s at is face l a ecua ción. A es t a s olución s e le l lam a raí z y cómo es una s ola s olución es cribi mos [1]. En c) w = 7-z es una ecuación con dos incó gnit as : w y z . U na s oluc ión es e l p ar de v alores : w = 4 y z = 3; no obs t ant e, exis t e una cant idad infin it a de s olu ciones ; i gual ment e, en d). X 2 + 3 x+ 2= 0, la r aíz o s olución es –2 p or que al s us t it uir x p or -2 s e verif ica la ecu ación : (-2) 2 + 3(-2)+ 2 =0 D erivado de lo ant erior ( con bas e en las s olu ciones encont radas ) t ambi én p odemos decir que una e cuac ión es un conjunt o de res t riccion es i mp ues t as a cualqui era de las vari ables que la int e gran. Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 13 Introducción a la Econometría F inalment e, es conven ient e dec ir que una e cuac ión debe res olv ers e p ara las incó gnit as ; di chas s oluc iones s on los v alores encont rados p ara las v ariab les que, a l s us t it uirlos en lugar de l a incó gn it a, s at is facen la ecua ción. Ecu aci ón l i ne al Una ecuación lineal en la variable x puede escribirse así: Ax+b=0 Donde a y b son constantes y a≠ 0. También se le denomina de primer grado por que el exponente o mayor potencia de la variable x es uno. Ecuación cuadrática U na ecuación cuadr ática en la v ar iable x podem os es cr ibir la de la s iguient e m aner a: 2 ax +bx + c=0. D onde a,b y c s on cons t ant es y a ≠ 0. es de s egundo gr ado dado que el e xp onent e má xi mo de l a vari able x es dos . En ge n e ral pode mos de ci r qu e , por e je mpl o: 3x + 4 = 0, es una e cuación line al de p rimer gr ado; 2 X + X + 12 = 0, es un a ecua ción cuadrát ic a de s e gundo gr ado cuy a curva s e l lam a p arábola. 3 – X = 0, es una ecuación cúb ica d e t ercer grado ; y X n X = 0, es una ecuación d e grado e-n és imo. I I .2. 1. S ol u ci ón de ecu aci on es Dado que por definición todas las ecuaciones expresan una igualdad del lado izquierdo con el lado derecho, todas las operaciones en uno de los lados, también deben realizarse del otro lado para que se mantenga la igualdad. Cualquier número puede sumarse o sustraerse de un lado de la ecuación, siempre y cuando el mismo número sea agregado o restado del otro lado. Simultáneamente ambos lados pueden multiplicarse o dividirse por el mismo número, ser elevados a la misma potencia o sacarles la raíz cuadrada a ambos lados. Cuando se resuelven las ecuaciones se debe tener cuidado con la remoción de los paréntesis y de las fracciones. Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 14 Introducción a la Econometría S ol u ci ón de ecu aci on es l in eal es a).- s i t enemos 3-5( 2X – 1 ) ( X – 3 ) = 43 – 10X 2 res olvemos 3 –5 ( 2X 2 – 5X – 3 ) = 43 –10X 2 3 –10X 2 + 25X + 15 = 43 – 10X 2 25X = 25 X = 1 b).- Sea 5X – 6 = 3X , s i s umamos -3X en los dos lados 5X – 6 + ( -3X ) = 3X+ (-3X ) 2X – 6 = 0 X = 3 c).- D igamos que 2( p + 4 ) = 7p + 2 2p + 8 = 7p + 2 2p = 7p + 2 – 8 -7p + 2p = -6 -5p = - 6 p = -6/-5 p = 6/5 d).- Si deci mos que la ecuac ión S = P + P rt es la fórmula p ara el valor S de una a nua l s imp le ( r ) durant e un p eriodo invers ión de un cap it al P a un a t as a de int erés de ( t ) años , ent onces , s i queremos conocer el c ap it al, des p ejamos P as í: S = P + P rt S = P ( 1 + rt ) P = S / 1 + rt S ol u ci ón de u n a ecu aci ón cu adráti ca ( 3 ) La gráf ica o curva d e l a fun ción cuadrát ic a Y = f (X ) = a x2 + b x + c = 0 s e denomina p arábol a, mis m a que t iene las s i guient es car act erís t icas . 1.2.3.4.- Cuando a es may or que 0, la curva abr e hac ia arr iba; Cuando a es menor qu e 0, la curva abr e hac ia ab ajo; El vért ice es ( - b/2a, f ( - b/ 2 a ) ) La ordenada en el or i gen ( int erc ep ción ) Y ) es c. Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 15 Introducción a la Econometría Vértice y y x x a>0 a<0 Vértice El p unt o en que la p arábola Y = ax2 + bx + c int ercep t a el eje Y, es el de la ordenada en el ori gen y s e obt iene cuando damos a x el va lor de 0. O s ea que las coordenadas de la int erc ep ción con el eje Y, s on ( 0, c ). 2 2 Así, si la ecuación cuadrática es Y = f ( x ) =ax +bx+c sustituyendo en, -x – 4x +12, vemos que a = -1, b = -4 y c = 12. Puesto que a es menor que 0, la parábola abre hacia abajo. La coordenada X del vértice es –b / 2a = -(-4) / 2 (- 1) = -2 . La coordenada Y es f( -2) = - (-2)2 – 4 ( - 2 ) + 12 = 16. Así, el vértice o punto más alto de la parábola es (-2, 16 ). Como c = 12, la ordenada en el origen (x= 0) es 12. 2 Para determinar las abscisas en el origen, se iguala Y a 0, es decir Y = -x -4x +12 y con ello determinamos el valor de x : 2 0 = -x - 4x + 12 0 = - ( x2 + 4x – 12 ) 0 = - ( x+ 6 ) ( x– 2 ) luego entonces X1 = -6; también, X2 = 2 Así tenemos el vértice en ( -2, 16), las intercepciones en ( -6,0 ) y ( 2, 0 ). Como el punto de intercepción al eje Y es ( 0, 12 ) denominado ordenada en el origen, está a dos unidades a la derecha del vértice, ( -2, 16 ), existe un punto a la izquierda del mismo con igual ordenada ( -4, 12 ), con el que se obtiene la simetría con respecto al vértice. Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 16 Introducción a la Econometría Vértice (-2,16) y 15 (-4,12) (0,12) 12 simetría 9 6 3 (-6,0) (2,0) 0 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 x 2 3 S ol u ci ón de ecu aci on es cu adráti cas u san do l a fórmu l a cu adráti ca 2 En la ecuación ax fórmula es: + bx + c = 0, donde a,b y c son constantes y a diferente de cero, entonces la X = -b ± b − 4ac / 2a exponente. ; nota, la b dentro del radical es al cuadrado, no pude poner el a).- Resolver 4x2 - 17x + 15 = 0 luego X = - (-17) ± (− 17 ) al cuadrado − 4(4)(15) las raíces son : X1 = 17+7 / 8 = 24 / 8 = 3 b).- Así, 3x2 - 5x = 2 3x2 - 5x – 2 = 0 X=5± Luego X1 = y aquí tenemos: a = 4; b = -17 y c = 15 / 2(4) = 17 ± 49 / 8 X2 = 17 – 7 / 8 = 10/8 = 5/4 a = 3, b = -5 y c = -2 25+24 / 6 = 5 ± 49 / 6 = 5 + 7 / 6 5+7/6 = 2 y X2 = 5-7/2 = -2/6 = -1/3 Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 17 Introducción a la Econometría Sistema de ecuaciones o ecuaciones simultáneas Cuando una situación se describe en forma matemática, en ocasiones se expresa por medio de un conjunto de ecuaciones. Al respecto, es importante decir que un conjunto de ecuaciones simultáneas se puede resolver normalmente con álgebra si el número de ecuaciones es igual al número de variables. Así para resolver dos variables se requieren dos ecuaciones; generalizando, resolver para n variables, significa que se requieren n ecuaciones. Sin embargo en ocasiones aun cuando el número de ecuaciones es igual al número de variables no se encuentra su solución. Lo anterior se ilustra con los siguientes ejemplos: Sistema de Ecuaciones Lineales i).- inconsistente : x-y = 2 ..............(1) el sistema es inconsistente por que es igual a 2 o 5 pero no x-y = 5 ..............( 2) ii).- Dependiente : 2x + 3y = 6 ......( 1 ) 6x + 9y = 18 .....( 2 ) hay una relación o dependencia de 1 a 3 de la ecuación uno a la dos, o viceversa. iii).- Independientes y consistentes: x + y = 5 ................( 1 ) x – y = 1 ...............( 2 ) Solo tienen solución los sistemas de ecuaciones que son ambas : independientes y consistentes, cuya solución puede ser por los métodos de 1.- eliminación ; 2.- sustitución y 3.- determinantes. 1.- Por eliminación de una variable por adición o sustitución 5x + 2y = -5 ...........( 1 ) -3x +4 y = 29 ................( 2 ) si multiplicamos ( ¡ ) por 2 : 10 x + 4 y = - 10 .............. ( 1 ) por 2 -3x + 4y = 29 ..................( 2 ) solución 13 x + 0 = - 39 x = -3 Comprobación: Sustituimos ( - 3 ) por X en ( 1) y tenemos 5 ( -3 ) + 2y = - 5 -15 + 2y = -5 y=5 Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 18 Introducción a la Econometría respuesta X = -3 ; Y = 5 2.- Por sustitución de una variable Ejemplo: 3x – 4y = 5 X + 7y = 10 .................( 1 ) ....................( 2 ) D e la segunda ecuación x = 10 – 7y, luego sustituyendo ( 10 – 7y ) por x en ( 1 ) tenemos: 3(10-7y) – 4y = 5............( 1 ) 30 – 21y – 4y = 5 30 – 25y = 5 30 – 5 = 25y 25 = 25y y=1 sustituimos 1 por y en ( 1 ): 3x – 4(1) = 5 x= 3 respuesta x = 3 ; y = 1 3.- Por determinantes Referencias: sabemos que una matriz se define como un arreglo rectangular de números y que una matriz cuadrada es aquella en que el número de “ renglones “ es igual al número de “ columnas “ : A cada matriz cuadrada A corresponde un sòlo valor conocido como su determinante A . 3.1.- Tipos de determinantes. Determinante de segundo orden, se define como : A = a11 a12 = a11a22 – a12a21 a21 a22 vemos que el valor de A 4 1 está dado por la diferencia de dos productos cruzados. Con números 5 = 4(3) – 5(1) = 7 3 determinante de tercer orden, se define en términos de determinante de segundo orden a11 a12 a13 A = a21 a 22 a 23 a31 a32 a33 Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 19 Introducción a la Econometría A = a22 a 23 a32 a33 a11 - a12 a21 a22 a21 a 23 + a13 a31 a33 a31 a32 ejemplo: 1 5 3 0 5 2 A = 2 0 5 = 1 -5 1 −2 −4 −4 1 −2 A 5 −2 + 3 2 0 −41 = ( 0-5 ) – 5 ( -4+20 ) + 3 ( 2 – 0) = -5+20 - 100 + 6 - 0 = -105 + 26 A = - 79 En general decimos que un determinante de orden n se define en términos del determinante de orden (n-1). Ejemplos: Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas para X e Y . 3x –4y = 5 x +7y = 10 X= 5 10 −4 3 −4 entre = 35 – ( -40 )/ 21 – ( -4) = 75 / 25 = 3 7 1 7 X=3 Para Y = 3 5 3 − 14 entre = 30 – 5 / 21- (-4 ) = 25/ 25 1 10 1 7 Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 20 Introducción a la Econometría Y= 1 Regla de Cramer Al método de resolver un par de ecuaciones lineales de dos incógnitas se puede extender al caso general de una ecuación con n incógnitas . Si A x = h La solución es X1 = A1 entre A Donde A es el determinante base o determinante de la matriz coeficiente A , y A1 representa el determinante de la matriz coeficiente A con el coeficiente de X1 reemplazado por la columna de las constantes h1 , h2 , h3........, hn. X2 = A2 entre A y en general Xj = Aj entre A Observe que cuando la matriz A es singular, es decir, A = 0 no se puede usar la Regla de Cramer. Ejemplo, encuentre los valores de las tres incógnitas (X, Y, Z ) de las siguientes ecuaciones usando la Regla de Cramer: x + y +z = 6 5x –y +27 = 9 3z +6y –5z = 0 los ponemos en notación matricial 1 1 1 5− 1 2 3 6 −5 x 6 y = 9 z 0 6 1 1 1 1 1 X = 9 − 1 2 entre 5 − 1 2 0 6 −5 3 6 −5 = 57/57 = 1 Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 21 Introducción a la Econometría 1 6 1 1 1 1 Y = 5 9 2 entre 5 − 1 2 = 114/57 = 2 3 0− 5 3 6 −5 1 1 6 1 1 1 Z = 5 − 1 9 entre 5 − 1 2 = 171/57 = 3 3 6 0 3 6 −5 Sistema no lineal, también llamado solución de ecuaciones simultáneas cuando al menos una de las ecuaciones es cuadrática. Un sistema de ecuaciones simultáneas de un tipo más complejo se puede resolver usando el método de sustitución, ejemplo: 2 X + 4y = 20 ...............(1) Y 2x = 8 .............(2) Sustituya ( 8+2x) por y en (2) en la primera ecuación: X2 + 4(8+2x) = 20 ............(1) X2 + 32 + 8x = 20 X2 + 8x +12 = 0 ( x+ 6 ) ( x+ 2 ) = 0 obtenemos ya sea x = -6 o x= -2 Si x = -6, la segunda ecuación se convierte en : Y -2(-6) = 8 ...........(2) Y +12 = 8 Y = -4 Cuando x = -2, la segunda ecuación se convierte en : Y -2(-2) = 8 ..............(2) Y +4 = 8 Y =4 Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 22 Introducción a la Econometría Respuesta: hay dos soluciones: ya sea x = -6 con y = -4 o también: x = -2, y = 4. Ejemplo 2: resolver el sistema X2 -2x + y -7 = 0 ........(1) 3x –y + 1 = 0 ............(2) despejando y en la segunda ecuación obtenemos : y = 3x + 1 .........................(3) sustituyendo en la (1) y simplificando: 2 X - 2x + ( 3x +1 ) -7 = 0 X2 + x -6 = 0 (x + 3 ) (x – 2 ) = 0 se obtiene X = -3 o bien X = 2 de la ecuación (3), cuando x = -3, tenemos y = -8 ; también, cuando x )= 2, y = 7. (2 y 3) II.3 El Concepto de una Función Como señalan E. Haeussler y R.S. Paul, el matemático G.W. Leibniz en el siglo XVII introdujo el concepto de Función dentro del vocabulario matemático; una función es un tipo especial de relación de entrada y salida, o dicho en otras palabras: insumo y producto. Definición: una función es una regla que asigna a cada número de entrada exactamente un número de salida. El conjunto de todos los números de entrada a los cuales se aplica la regla se le llama dominio de la función. Al conjunto de todos los números de salida se le llama ámbito o contradominio. Ejemplo, al invertir dinero a una tasa de interés, el interés I, (salida), depende del tiempo t ( entrada ) en que se invierte el dinero. Para expresar esta dependencia decimos: “ I es función de t “ . Así, supongamos que $ 100.00 producen interés simple a una tasa anual del 6%; escribimos: I= 100(i)t I= 100(0.06)t .............(1) D onde I s e exp res a en p es os y t en años . Si t = 1/2, obt enemos : I= 100(0.06)1/2...............(2) En este caso, en (2) se asigna a la entrada t el valor ½ y a la salida 3. En (1) se define la regla: el multiplicar t por 100(0.06). Dicha en otra forma t → I, también: t → 100(0.06)t. Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 23 Introducción a la Econometría De lo anterior observamos que el número de entrada t no puede ser negativo porque (-) no tiene sentido. Luego entonces el dominio consiste en todos los números no negativos, t ≥ 0. En la ecuación (2), cuando la entrada es ½, la salida es 3, es decir, es la parte del ámbito o contradominio. A la variable t que representa números de entrada para una función se le llama variable independiente y a la variable I que representa números de salida se le denomina dependiente, pues su valor depende del valor de la variable independiente; decimos que la segunda es función de la primera, en otras palabras, la salida es función de la entrada. Por costumbre se usa la letra f para represent ar reglas de funciones, pero si lo deseamos, podemos usar otras letras. En el caso anterior es cribimos I=f(t). Debe comentarse que f(t) no significa f multiplicado por t, sino que f(t) significa la salida que corresponde a t. Lo anterior lo podemos generalizar diciendo que gráficamente lo expresamos de la siguiente manera; digamos si 2 f(x)= x y si recordamos que una función es una correspondencia medi ante la cual se asigna exactamente un número de salida en el contradominio a solo uno de los números de la entrada del dominio, tenemos: 1 f 1=f(1) 2 4=f(2) x x 2 =f(x) I I .3:1.- Fu n ci on es espe ci al es Función cons tan te: U na función cons t ant e de la forma k(x)= c, en donde c es una cons t ant e, s e denomina función cons tante. Ejem plo: j( x)=3, el dom in io de j s on todos los núm er os r eales . 3 : “ las func iones cons t ant es p ert enecen a Como dic en E.F . H aeus s ler y R. S. P aul una clas e más amp lia de funcion es “ , denominadas funciones polinom ial es . En gen eral d eci mos que una func ión de l a s i guient e form a: F (x)= C n X n + C n - 1 X n - 1 + ........+ C 1 X 1 + C 0 , donde n es un número ent ero no negat ivo y Cn, C n - 1 ,......, C 0 s on const ant es con Cn ≠ 0 s e llaman función p olinomi al en ( x). A Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 24 Introducción a la Econometría n s e le l lam a grado de l a fu n ci ón y a cada C i, coe fic ient e. Lu e go f( x) = 4X 2 – 6X + 3 es una función p olinomi al de s e gundo gr ado con co efic ient e ini cia l 4; t ambi én : H (x) = 2-3X es una fun ción d e p rimer grado. En es t e cas o s e d ice que l a p rimera es una función cuadr ática y la s e gunda, función linea l. Con bas e en lo ant erior es que p odemos decir qu e en una ecua ción s e es t able ce un a relac ión p art icular ent re dos o m ás e xp res iones al gebrai cas . L as ecu acion es p ueden cont ener cualqu ier nú mero de v ariab les . Con l a t erminolo gía mat emát ic a s e e xp res a como Y=f(X). Se dic e que Y es función de X , es decir e l valor de Y dep ende del va lor que t ome X ; cuando s u valor dep ende de más de una v ariab le es cr ibimos : Y = f(x, z , h ). En es t e cas o el va lor de Y dep ende del v alor que t omen las vari ables ( x, z , h). Como p uede obs ervars e, lo ant erior p uede formal iz ars e y genera liz ars e p ara más variabl es que ll amar emos e xp licat ivas o ind ep endient es . I I .3:2.- Fu n ci on es expon en ci al es y l ogarítmi ca s I I .3.2.1.- Fu n ci on es expon en ci al es Es t as s e caract eriz an p or cont ener una cons t ant e (b) el evada a un e xp onent e x variabl e ( x), es dec ir, f(x) = b , donde b es may or que 0 y t ambién b es ≠ 1 , x es cualqui er núm ero re al; t ambi én de cimos qu e cu ando es may or que 1, l a curv a Y= b x as ciende de iz quierd a a dere cha, en ot ras p alabras , al aument ar x t ambién lo hac e y. Cuando 0 ≤ b≤ 1 , ent onces , en es e c as o la curva de Y= b x d es ciend e de iz quierd a a derecha, s e obs erva un comp ort amient o dist int o de la variable y al del cas o ant erior, es dec ir, al aum ent ar x, el v alor de la v ariab le y dis minuy e y t oma valores cercanos a 0. U n ejemp lo t íp ico del us o de una función exp onencia l es s u ap licación a los int eres es que gan a un cap it al invert ido durant e ciert o núm ero de años a una t as a d e ( 3) cuando: “ el int erés que int erés det erminada. H abl amos de i n te rés compu e s to p ercibe una s uma de dinero inv ert ida ( cap it al o mont o esp ecial ) s e reinvi ert e, de manera que es t e int erés t ambi én gan a int erés . Es dec ir, e l int erés s e com pone o conviert e en c ap it al y , p or ello, “ hay int erés s obre int erés “ . P or ejemp lo s up óngas e que s e inviert en $ 100dólares ( o cualquier ot ra unidad monet aria ) a la t as a de l 5% co mp ues t o anualment e. A l final del p rimer año, e l valor de l a invers ión es el c ap it al original ( $ 100) más el int erés generado p or es t e [100( 0.05) ] = 100 + 100(0.05) = $105.00 Es t a es la cant idad s obre la que s e genera int erés p ara el s egundo año. A l final del s egundo p eriodo anual, el va lor de la invers ión es el cap it al que s e t enía al fina l Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 25 Introducción a la Econometría del p rimer año, ( $105 más el int erés p roducido p or es a cant idad 105+ 105(0.05) = $110.25. [105(0.05)] = A s í, el cap it al s e incre ment a en 5% cada año. Los $110.25 rep res ent an el cap it al original, m ás t odo el i n te ré s acu mul ado; s e le den omin a mon to acu mul ado o mon to compu e s to. La diferencia ent re el mont o comp ues t o y el cap it al origina l s e denomina i n teré s compu e sto .A s í, el int erés co mp ues t o aquí es 110.25 – 100.00= 10.25 . En t érminos m ás genera les , s i s e invi ert e un cap it al P a una t as a de 100r p or cient o comp ues t o anualment e ( p or ejemp lo, al 5%r es ( 0.05), el mont o comp ues t o des p ués de un año s erá P + P r o bien P ( 1 + r ) . A l final del s egundo año, e l mont o comp ues t o es 2 P (1+ r) + P [(1 + r) ] = P (1+ r) + [1 + r] = P (1+ r) Es ta op eración cont inúa. D es p ués de t res años , e l mont o co mp ues t o es P (1+ r) 3 . En gen eral, e l mon to compu es to S de un cap it al P al final de n años , a la t as a de r 2 .........(1) comp ues t a anualment e, es t á dado p or S = P ( 1+ r ) P or cons iderar imp ort ant e dist inguir las ecua ciones de int erés comp ues t o de las de i n te ré s si mple , diremos que ( 2 ) ca lcula mos és t e últ imo, cuando “ el dinero es invert ido a int erés s imp le, los p agos de int erés s on hechos cada añ o sob re l a i n versi ón ori gi n al . P or cons igu ient e s i P p es os s on invert idos a una t as a de r p or t años , el valor d e la invers ión, A, al f inal d el p eriodo, s erá: A = P + P rt Ejemp lo: Calcul e el valor d e una invers ión de $ 500.00 des p ués 3 años s i el int erés s imp le s e p aga anua lment e a un a t as a anual d el 5%. A = P + P rt A = 500 + ( 500*5/100*3) A = 575 p es os I I .4 Fu n ci on es Expl íci tas e I mpl íci tas. Cualquier fun ción que es de la for ma Y=f(X) es cono cido co mo una func ión exp líc it a de Y. Claram ent e s e ve que el valor de Y dep ende del valor de X , y decimos que mi ent ras que X es una var iabl e ind ep endient e, Y es una var iabl e dep endient e. Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 26 Introducción a la Econometría En ciert os cas os no s e dis t ingue con cl aridad la re lac ión funcion al ent re las variabl es dep endient e e indep endient e. P or ejemp lo, 2x2 + 3xy + y 2 = 0, es una función de la form a f( x, y )= 0 conociéndos e como un a función imp lícit a. En ocas iones una función e xp lícit a p uede, p ero no s iemp re, derivars e de funciones 2 imp lícit as s imp les , p or eje mp lo, la función imp líc it a 2 x + 3y – 8 = 0, p roduce dos funciones e xp lícit as : Y = 8− 2X2 X = 3 4− 3Y 2 I I .5 El Ran go o domi ni o de u n a Vari abl e P ara much as funcion es de la for ma Y = f(X) la v ariab le indep endient e X p uede t ener cualqui er valor ne gat ivo, c ero o p os it ivo. En t ales cas os decimos que el r an go o dominio de l a variab le X es el con junto de todos los núm er os enter os . Ejemp los de es t e t ip o de funciones s on: Y = 3x 2 Y = 2x - 5 Y = x3 - 3 x2 + 3 x - 1 En ot ros cas os des eamos lim it ar el ran go d e l a var iabl e ind ep endient e. P or e jemp lo la función Y = X . Si Y es un número real X debe t ener un valor p os it ivo. En est e cas o X s e limit a al rango d e números p os it ivos . El rango o do minio es t á det erminado cu ando X > 0. Si el movi mient o de l a var iabl e indep endient e s e res t ringe a c iert o ran go, ent onces s e deben fij ar los lí mit es s up eriores e inferiores de l ran go. A s í, s i nos int eres an t odos los valores de x ent re x= a, y x= b, el ran go es a< x< b o hablando más es t rict ament e a≤ x≤ b donde x p uede s er i gual a cua lquier a de los límit es o es t os cont enida a el los . En funciones a l gebra icas s e s up one que las var iabl e es cont inua cu ando p uede dividirs e o fra ccion ars e, y es dis cret a cuando no s e p uede dividir o fr acc ionars e. I I . 6 Si metría 3 La s imet ría forma p art e del anális is s obre el comp ort amient o gráfico de las ecuac iones . A s í p or ejemp lo: 2 1.- Si t enemos la e cuac ión Y= X y s i le damos va lores a X de –1,0 y 1, obt enemos p ara Y los va lores 1,0 y 1, res p ect ivament e. S i graf ica mos es t os valores obs ervamos que la p art e o p orción que es t á del lado iz quierdo d el eje de las “ y ” es el es p ejo o ima gen s obre s obre e l ej e “ y ” de la p art e que s e halla a l lado dere cho del m is mo, y vicevers a. Con lit era les dir emos que s i ( X 0 ,Y0 ) es cua lquier p unt o en la curva, ent onces el p unt o ( -X 0 ,Y0 ) t ambién es t á en la curva, p or lo que decimos que es una cu r va s i mé tri ca con re s pe cto al e je “y”. Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 27 Introducción a la Econometría y = x2 y = x2 y 9 7 5 3 1 x -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 D efi ni ci ón : U na curva es s imét rica con resp ect o al eje “y ” la curva cuando (X 0 ,Y0 ) t amb ién qued a. ⇔ (-X 0 ,Y0 ) queda en 2.- D e manera comp lem ent aria p odemos decir que s i t enemos la e cuac ión X = Y2 p odemos p robar la s imet ría con res p ect o al eje “ x”, dando valores a Y, di gamos : 1,0 y 1, en cuy o c as o X t oma los valor es 1,0 y 1, que a l graf icar los obt enemos un a curva en la que v emos qu e a cad a p unt o en ell a, con coorden adas (X 0 ,- Y0 ) corres p onde ot ro p unt o en la mis ma curva con coordenad as (X 0 , Y0 ). x = y2 y 2 1 0 x 0 1 2 3 4 -1 -2 Lue go ent onces dec imos que una curv a es s imét ric a con res p ect o al eje d e las “ x” ⇔ ( X 0 , - Y0 ) es t á en la curva cuando ( X 0 , Y0 ) t amb ién lo es t á. 3.- Cuando t enemos Y= X 3 y le damos valor es a X de –1,0 y 1, obt enemos p ara Y los valores de –1, 0 y 1 y 8 6 4 2 (1,1) 0 -2 (-1,-1) -1 -2 x 0 1 2 -4 -6 -8 Sá nchez Barajas Pro fesor Genaro 28 Introducción a la Econometría en es t e cas o s e dice que la curva es s imét ric a con res p ect o al “ origen”p orque s i el p unt o ( X ,Y ) es t á en la curva, ve mos que el p unt o con coordenadas ( -X , -Y ) t ambién lo es t á ; en cons ecu enci a, el s e gment o de rect a qu e une los p unt os (X ,Y) y ( -X ,-Y) es bis ecado p or el ori gen. D efinic ión: una curva es s im ét rica con res p ect o al “ origen ” ⇔ el p unt o (-X ,-Y) es t á en la curva cuando e l p unt o (X ,Y) t ambién lo es t á. I I .7 Rectas, Pa rábol as y S i st ema s 3 I I .7.1 Rectas Se p ueden rep res ent ar en forma convenient e muchas rela ciones ent re cant idades mediant e re ct as . U na caract erís t ica d e una r ect a es s u incl inac ión. P or eje mp lo en el s i guient e di a gram a la re ct a L 1 t iene una may or inclina ción que la re ct a L 2 , el lo s ignif ica qu e L 1 t iene may or inclin ación con res p ect o al eje hor iz ont al y 300 L1 250 200 150 100 50 0 L2 0 1 2 3 X 4 P ara medir la incl inac ión de un a rect a s e ut il iz a el con cep t o de Pe n di en te . A s í s i t enemos los p unt os (2, 1) y (4, 5) p odemos t raz ar la rect a L. Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 X Se obs erv a que la coordenad a x au ment a de 2 a 4 y la coorden ada Y au ment o 1 a 5. La t as a p romedio de vari ación d e Y con res p ect o a x es l a raz ón: Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 29 Introducción a la Econometría Cambio → en → Y cambio → vertical 5 −1 4 = = = =2 Cambio → en → X cambio → horizontal 4 − 2 2 El l o í n di ca qu e para ca da au me n to u n i tari o e n X s e ti en e un au me n to de 2 u n i dade s en Y. Por e l l o l a re cta as cie n de de i z qui e rda a de re ch a. S e di ce qu e l a pe n di e n te de l a re cta es 2. D e fi ni ci ón : Sean (X 1 y Y1 ) y (X 2 y Y2 ) dos p unt os s obre una rect a en donde X 1 = X 2 , la p endient e de la re ct a es el núm ero dado p or: Y − Y1 cambiovertical m= 2 = (1) X 2 − X1 cambio horizontal N o s e define la p endient e de una rect a vert ical, p ues X 1 = X 2 denominador en (1) es cero. t al que el Y 150 (x 2, y 2) 100 (x1 , y1) 50 0 X 0 0,5 1 1,5 2 D onde x1 = x2 P ara una re ct a horiz ont al, dos p unt os cualquiera t iene Y1 = Y2 , p or lo que e l numerador en (1) es cero; y deci mos que m = 0 Y (x1,y1 ) 150 (x2 ,Y2 ) 100 50 X 0 0 1 2 3 4 Y1 = Y2 Con bas e en lo ant es e xp ues t o p odemos res umir dici endo que : Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 30 Introducción a la Econometría FO RMAS D E EC U AC IO N ES D E R EC TAS Y-Y1 = m(X -X 1 ) Y= mX + b A x+ By + C= 0 X=0 Y= b F orma p unt o- p endient e F orma p endient e-int ercep ción”Y ” F orma line al gen eral Rect a vert ical Rect a horiz ont al I I .7.1.1Ejerci ci os: 1.- Encont rar la ecuac ión de la re ct a que t iene p endient e 2 y p as a p or (1,-3). Sabe mos que m= 2 y que (X 1 , Y1 )= (1,-3), ut iliz ando la forma p unt o-p endient e, es cribimos Y-(-3)= 2(X -1), res olviendo t enemos : Y+ 3= 2X -2, lue go ll e gamos a la forma line al gen eral 2X - Y-5= 0. 2.- H allar la ecua ción d e l a re ct a que p as a p or los p unt os (-3,8) y (4,-2). A quí t enemos que m= -2-8/4-(-3)= -10/7 s i t omamos las coordenad as del p rimer p unt o (-3.8) como (X 1 ,Y1 ) en la form a p unt o-p endient e, es cribi mos Y-8= -10/7 [ X − (− 3) ], hac iendo op erac iones t endremos lo s igu ient e: Y-8= -10/7(X + 3) 7Y-56= -10X -30 o bien 10X + 7Y+ 26= 0 A hora, s i es co gemos las coord enadas d el s e gundo p unt o (4,-2) como (X 1 , Y1 ) t ambién ll e gamos a l mis mo r es ult ado. 3.- Cuando t enemos e l p unt o (0,b) decimos que un a re ct a cort a el ej e “ Y” y s e denomina i n te rce pci ón Y; as imis mo indic amos que b es l a ordenad a en e l ori gen. y y = mx+b pendiente m (0,b) x Si conoc emos la p endient e (m) y la ordenada en el ori gen (b) de una rect a, la ecuac ión es : Y -b= m(X -0), Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 31 Introducción a la Econometría Si des p ejamos Y t enemos Y= mX + b, l lam ada forma p endiet e-int erc ep ción “ y ”. Ejempl o econ ómi co: Sea X = q = cant idad ; Y = p = p recio lue go s i (2, 4)= (q 1 , , p 1 ) (6, 1)= (q 2 , p 2 ) t enemos que m= 1 − 4 = −3 = − 3 6− 2 4 4 p 10 (2, 4 ) 5 (6, 1) q 0 -5 0 5 10 15 -5 ello s i gnif ica qu e p or cada aum ent o unit ario en q, ocas ion a una dis m inución d e ¾ en P . En res umen p odemos decir qu e una re ct a: 1.2.3.4.- T iene T iene T iene T iene p endient e p endient e p endient e p endient e cero, cuando la re ct a es horiz ont al; indefinid a, cuando la re ct a es vert ical ; p os it iva, cuando la r ect a as ci ende de iz quierda a d erecha. negat iva, cuando la re ct a des ciend e de iz quierd a a dere cha. La ecu ación d e una re ct a con p endient e 3 y ordenada en el or i gen -4 es : Y = mx + b Y = 3x + (-4) Y = 3x - 4 Aplica ciones : U n fabricant e dis p one de 100 kilos de mat erial con e l que p uede p roducir dos p roduct os , A y B, que requieren de 4 y 2 kilos de mat erial p or unidad, res p ect ivament e. Si X y Y denot an A y B, ent onces t odos los niveles de p roducción es t án dados p or los cambios de X y Y que s at is facen la ecu ación : 4x + 2y = 100 en donde x, y ≥ 0. D es p ejando Y, s e obt ien e la forma p endient e-ordenada en el or i gen Y = -2 x + 50 donde m= -2 indic ando l a t as a d e var iac ión d el n ivel de p roducción de B con res p ect o al nivel de p roducción de A , as í s i fabricamos una unidad más de A , s e Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 32 Introducción a la Econometría requieren 4 kilos más de mat eria l, lo que d aría p or res ult ado 4/2= 2 un idades menos de B. P or cons i gui ent e al aument ar X en una unid ad, Y dis m inuy e en 2 unid ades . P ara t raz ar s u gráfica de Y= -2 x+ 50 p uede ut iliz ar la int ercep ción y (0, 50) y s i cuando x= 10, y = 30, t enemos : p 50 (0, 50) 40 30 (10, 30) 20 10 q 0 Us o de l a s u matori a ∑ 0 5 10 15 ∑ n Como s e us ar á mu cho, s ab emos que con p rop iedad s e es crib e i= 1 donde i= 1,2,...n, y que n = t amaño de la mues t ra; s in e mbar go, en lo s uces ivo y p or mot ivos p ráct icos s imp lement e s e es cribir á ∑ , s in que s e olvid e s u rep res ent at ividad ap rop iada. Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 33 Introducción a la Econometría I I I . I LU S TRACIÓ N D E LA CO NS TRU CCI ÓN D E M OD ELO S APLI CAN D O LO S CO N CEPTO S BÁS I COS EXPU ES TO S : M ED I AN TE EL AN ÁLI S I S D E REG RES I ÓN Y CO RRELACI Ó N ( 5 ) , Co n ba se e n lo s co n c ept o s y sup ue sto s bá sic o s a nt e s ex p ue sto s, ah or a e st a mo s e n c o n dic ion e s de in ic ia r su a p lic a c ió n a l á m bito e c o no m étr ico, e s de c ir , lo s ut iliz a r e mo s p a r a e xp r e sa r y de sa r ro lla r la t er m ino lo gía y m ét o do s de e st a disc ip lin a a p lic a da a la c ie n c ia e co nó m ic a, me dia nt e la co n st r uc c ió n de m o de lo s. . E m p e za r e mo s c on la a p lic a c ió n de l c o nc e pto de f un c ió n en e l ám bito de la r e gr e sió n y c o r r e lac ión . Re gre s i ón es la es t imación de una v ariab le d ep endient e, con una ecua ción p or e l mét odo de míni mos cuadrados . L a ecu ación s e d enomin a de re gr es ión: Y = f(x). La co rre l aci ón es la det erminación del grado d e rela ción que e xis t e ent re dos variabl es p or medio del co efic ient e de corr ela ción (r). I I I .1 M odel o Li n eal Si mpl e.M LS ( 1 5) La re gres ión y correlación s on s imp les cuando s olament e s e manejan dos variab les y es múlt ip le cuando s e man eja más de dos vari ables . La e cuac ión de re gres ión p uede corres p onder a dif erent es formas fun ciona les (linea l, cuadr át ica, e xp onenci al, lo garít mic a) et c. La s e le cci ón de l a forma fun ci on al ade cu ada se obti en e u ti liz an do el di agrama de di s pe rs i ón : Y X Es t o nos índica la dis t ribución qu e t ienen las v ariab les , s i t ien en l a form a ant erior, inmedi at ament e s e ve que el a jus t e o ecuac ión a m anej ar es lin eal. P ero s i t iene la s iguient e forma, ent onces la ecu ación a man ejar es cuadr át ica o de s egundo grado. Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 34 Introducción a la Econometría Y X Y X El mét odo de es t imación de Y var iabl e dep endient e, a p art ir de X variable indep endient e, s e denomina “ mínimos cuadrados ”, p orque es t á demos t rado que la s uma de las diferen cias ent re los valores rea les y los obs ervados es un mínimo, es decir: Yˆ = a + bX Y X h valores rea les Valores observados Las “e cu aci on es n ormale s ” s e obtie ne n as í : Si def inimos Q como un míni mo, t enemos Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 35 Introducción a la Econometría Q = ∑ (Yi − a − bX i ) hacemos 2 ∂Q = 0 ⇒ ∑ 2(Yˆi − a − bX i )(− 1) = 0 ∂a 2∑ (Yˆi − a + bX i )(−1) = 0 − 2∑ (Yˆi − ∑ a + b∑ X i )(− 1) = 0 − 2∑ Yi + 2∑ a + 2b ∑ X i = 0 ∑Y = na + b∑ X i dividimos ent re dos y hacemos i s i dividimos ent re n Y = a + bX A hora ∂Q = 0 ⇒ 2∑ (Yi − a − bX i )(− X i ) ∂b ∑ (2Y − 2a − 2bX )(− X ) − 2∑ Y X + 2 a∑ X + 2b∑ X i i i ∑Y X i i i 2 =0 = a∑ X i + b ∑ X 2 dividimos ent re 2 y hacemos i ∑Y = na + b∑ X ∑ X Y = a∑ X + b ∑ X i A s í las ecuac iones norma les p ara hall ar a y b s on: i (1) i i i i 2 i (2) A hora bien, en el c as o de l a corre lac ión los va lores del coefi cient e os c ilan ent re 0, 1 y -1. Cuando r t iende a cero, s e dice qu e hay una nula re lac ión o corre lac ión ent re X y Y. Cuando r t iende a uno, s e dice que hay una fuert e relación o correla ción ent re X y Y, t al que X es una buena variable e xp licat iva de Y. Es decir, p odemos exp licar e l comp ort amient o de Y bas ándonos en el comp ort amient o de X . En est e cas o s e dice que a med ida que aument a X , Y t amb ién lo h ace. G ráficam ent e: Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 36 Introducción a la Econometría Y y=f(x) X Igua lment e cuando r t iende a -1, t ambién hay una fuert e correlación ó relac ión ent re X y Y, p or lo que la p rimera s irve p ara exp licar ó det erminar ade cuada ment e los cambios en Y. P ero en es t e cas o a med ida que X au ment a Y d is minuy e. G ráficam ent e: Título del eje y=f(x) Título del eje Ejemp lo del cál culo de l coef icient e de correl ación r. Se d es ea es t imar el grado d e relac ión que e xis t e ent re la cir cula ción mon et aria y el nive l gener al de p recios . xy r= ∑ ∑x ∑ y , ,2 Años ∑x n ,2 C ir cu la ció n M o n et ar ia ( X) 100 .0 112 .3 145 .0 179 .8 276 .9 364 .4 1 178 .4 199 8 199 9 200 0 200 1 200 2 200 3 T otal x= donde x , = x − x , y y , = y − y , i = N iv el Gr al . d e Pr e cio s ( Y) 100 .0 103 .4 107 .3 127 .7 164 .0 202 .4 804 .80 117840 . = 196.40 6 x, = x − x y, = y − y - 96.4 - 84.1 - 51.4 - 16.6 80. 5 168 .0 y= ∑x i n - 34.1 3 - 30.7 3 - 26.8 3 - 6.43 29. 87 68. 27 = x’ * y’ ( x’ ) 2 329 0.4 5 258 4.6 7 137 9.2 3 106 .79 240 4.2 7 114 68. 80 212 34. 22 929 2.9 6 707 2.8 1 264 1.9 6 275 .56 648 0.2 5 282 24. 00 539 87. 54 804.80 = 134.13 6 Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas ( y, ) 2 116 5. 0 8 944 .54 720 .03 41. 39 892 .02 466 0.3 4 842 3.3 9 37 Introducción a la Econometría r= ∑x y ∑ x ∑ y' , r= , ,2 21234.22 = .9957 (53987.54 ) (8423.3933) 2 P or lo t ant o r= .9957 lo cua l s i gnif ica que hay una gr an re lac ión o correl ación ent re X (circula ción monet aria), y Y (niv el genera l de p recios ), a medid a que au ment a X , aument a Y t al que s i gr afic amos los dat os ant eriores obt enemos una curva con p endient e p os it iva. G ráficam ent e: Y=f(x) Título del eje 1996 1998 2000 2002 2004 Título del ej e La forma funcion al Y=f(x) p uede t ener la for ma func ional cuadr át ica cuy a e cuac ión es : Y=a+bx+ cx 2 , e xp onencia l Y= ab x et c. En cu alqui er cas o, s e l e ll ama “ ecuac ión de re gres ión” y los valores de los p arámet ros s e det erminan con las “ ecuac iones normales ”. El n ú me ro de e cu aci one s n ormal es vi e ne dado por e l n ú me ro de paráme tros a de te rmi n ar. En el cas o de la ecuación line al los p arámet ros a det erminar s on “ a” y “ b” luego s e nec es it an dos ecua ciones norm ales l as cua les s on: ∑ y = na + b∑ x ∑ xy = a ∑ x + b ∑ x (1) 2 (2) En cas o de Y= a+ b x+ c x2 , las e cuac iones s on: ∑ y = na + b∑ x + c ∑ x ∑ xy = a ∑ x + b ∑ x + c ∑ x ∑ x y = a∑ x + b∑ x + c∑ x 2 2 2 2 (1) 3 3 (2) 4 Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas (3) 38 Introducción a la Econometría En el c as o de un p olinomio: Y=a +bx+cz +dQ ent onces neces it amos 4 ecu acion es : ∑ y = na + b∑ x + c ∑ z + d ∑ Q ∑ xy = a ∑ x + b ∑ x + c ∑ xz + d ∑ Qx ∑ zy = a ∑ z + b ∑ xz + c ∑ z + d ∑ Qz ∑ Qy = a ∑ Q + b∑ xQ + c ∑ zQ + d ∑ Q (1) 2 (2) 2 (3) 2 (4) Ejemp lo adi ciona l: Añ o ( x) Pr o d u cció n d e T r ig o ( y) 1 2 3 4 5 6 T o t al x2 1 3 2 6 7 4 23 y2 1 4 9 16 25 36 91 1 9 4 36 49 16 115 x *y 1 6 6 24 35 24 96 ŷ 1.6 2.5 3.4 4.3 5.2 6.1 23. 0 e = y − yˆ - 0.6 0.5 - 1.4 1.7 1.8 - 2.1 0.0 DIAGRAMA DE DISPERSION Existe una relación de caracter lineal. Y X 0 10 20 30 La ecua ción de re gres ión a man ejar s erá : Y= a+ b x. P ara encont rar a y b us amos las ecuac iones norma les : ∑ Y = N a+b∑ X 2 ∑ YX =a∑ X+b∑ X Sus t it uy endo: 23 = 6a + 21b 96 = 21a + 91b Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 39 Introducción a la Econometría a = 96-91b/21 = 23-21b/6 = 576-546b = 483-441b = 93 = 105b de donde : 93 b= = 0.8857 , s us t it uy endo en 105 b ∑ x + n∑ a = y que es i gual a (0.8857)*21+ 6a = 23 quedando 6a= 23-18.5997= 4.4003 a = 4.4003/6 = 0.7333 as í a = 0.7333 lue go la ecua ción de r e gres ión s erá Y = 0.7333+ 0.8857X . Con ello p odemos es t imar ó c alcu lar los valor es de Y en función de las var iac iones de X . S i de se amos e s ti mar Ŷ , e n ton ces si s abe mos que X re pre s e n ta l os añ os : Ŷ 1 Ŷ 2 Ŷ 3 Ŷ 4 Ŷ 5 Ŷ 6 =0.8857(1) =0.8857(2) =0.8857(3) =0.8857(4) =0.8857(5) =0.8857(6) + + + + + + 0.7333=1.6 0.7333=2.5 0.7333=3.4 0.7333=4.3 0.7333=5.2 0.7333=6.1 Como es t o es una es t imación p odemos cal cular el error es t ándar de la ( es t imación). σˆ = ∑ ( y − yˆ ) n−2 2 e = y − yˆ -0.6190 0.4952 -1.3905 1.7238 1.8381 -2.0476 0.0000 σˆ = (13.1047 ) = 6−2 3.2761 e 2 = ( y − ŷ )2 0.3832 0.2453 1.9334 2.9715 3.3786 4.1927 13.1047 x 21 x = ∑ i = = 35 . n 6 Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 40 Introducción a la Econometría lue go σ 2 ∑ ( y − yˆ ) = n−2 = 3.2761 x , = xi − x y , = yi − y -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 r= ∑x y ∑x ∑ y , , ,2 2 Y = 2 -2.83 -0.83 -1.83 2.17 3.17 0.17 = (x ')2 x ' y' 7.0833 1.2500 0.9167 1.0833 4.7500 0.4167 15.5000 6.25 2.25 0.25 0.25 2.25 6.25 17.50 ∑x i n = 23 = 3. 83 6 ( y' )2 8.0278 0.6944 3.3611 4.6944 10.0278 0.0278 26.8333 15.50 = r = 15.50 = 0.7152 (17.50) (26.8333) 21.6698 P or lo t ant o r= 0.7152 que es e l coef ici ent e de correl ación a p art ir del cua l calcu lamos e l coef ici ent e de det ermin ación R 2 = (.7152) 2 = 0.5116. 6 La fórmul a de S. Sh ao es : El coef ici ent e de det ermin ación R 2 ∑e =1 − ∑y D on de : σ σ 2 y 2 2 2 yx ,R 2 ∑ yˆ = ∑y ( y − yˆ ) =∑ n ( y − y) =∑ 2 n R2y x=1− = 2 2 , R2 = R2y x= 1− σ 2 yx σ 2y Varianza exp licada Varianza total 2 = 13.1048 = 2.1841 6 26.8333 = 4.4722 n 2.1841 = 1 − 0.4884 = 0.5116 4.4722 D e aquí en ad elant e us are mos R 2 y x , p ara calcu lar r y x = coefici ent e de corre lac ión. Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 41 Introducción a la Econometría I I I .1.1 O tros M étodos d e Es ti maci ón I I I .1.1.1 M étodo de M omen tos para O bt en er l os Pará met ro s a y b Si con el m ét odo de míni mos cuadrados Yˆi = a + bX i ent onces ei = res iduos = variabl e al eat oria, t al que ei = Yi − Yˆi = Yi − a − bX i ,lue go las dos “ ecuac iones normales ” p ara obt ener a y b s e obt ienen con bas e en algun as de las hip ót es is 1 p lant eadas ; as í recordando que E (e i ) = ∑ e i = ∑ e i = 0 y que n 1 cov( xi , e i ) = 0 = ∑ X i ei = ∑ X i ei = 0 n A s í: i) ∑ ei = 0 ó ∑ (Yi − a − bX i ) = 0 (1) ∑xe =0 ó ∑X (Yi − a − bX i ) = 0 Sabi endo que ∑ a = na , las ecua ciones (1) y (2) t ambién s e p ueden es crib ir de l a s igui ent e maner a: ∑Yi = na + b∑ X i .............................(1) ii) ∑X Y i i i i i (2) = a∑ X i + b ∑ X i2 ....................(2) Su s olución p ermit e obt ener los valor es de a y b, cuy o valor es id ént ico al obt enido con el mét odo de mín imos cuadr ados . S i quere mos s imp lificar la obt ención de a y b res olvamos s imult áne ament e l as ecua ciones (1) y (2). A s í: n ∑ X iYi − ∑ X i ∑ Yi b= 2 n ∑ X i2 − (∑ X i ) a = Yi − bX i T ambién s i hacemos x i = X i − X i e y i = Yi − Yi t enemos b = obt iene i gual, es decir a = Yi − bX i . ∑x y ∑x i 2 i i ; el p arámet ro a s e I I I .1.1.2 M étodo de Parti ci paci ón de l os Resi du os para O bten er l os Paráme tro s a y b, así como el Coefi ci en te de D et er mi n aci ón . Como s eñala el p rofes or G .S. M addala (1996:79) s i en las ecuaciones norma les s us t it uimos el valor de a de l a ecua ción (1) en l a ecua ción (2), a p art ir de la ecuac ión en que Yi = a + bX = a + bX , t enemos que ∑Y X = ∑ X (Y − bX ) + b∑ X ∑Y X = nX (Y − bX ) + b∑ X i i i i i 2 i ......................(3) 2 i Con es as referenc ias , ahora s e d efinen las s i guient es S `s S YY = ∑ (Yi − Yi ) 2 = ∑ Yi 2 − nYi 2 S XY = ∑ ( X i − X i )(Yi − Yi ) = ∑ X iYi − nX iYi Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 42 Introducción a la Econometría as í como S XX = ∑ ( X i − X i ) 2 = ∑ X i2 − nX 12 La ecu ación (3) s e p uede denot ar co mo bSX X = SX Y obt eniéndos e b = S XY as í como S XX a = Yˆ − bXˆ A hora bien p ara obt ener el coeficient e de det ermina ción (r 2 ), recordemos que los res iduos es t imados s on ei = Yi − a − bX i , mis mos que s at is facen ∑ ei = 0 y ∑ X i ei = 0 Si denot amos l a s uma de cuadrados res idu ales con R S S donde RSS = ∑ (Yi − a − bX i )2 [ ] = ∑ Yi − Yi − b( X i − X i ) = ∑ (Yi − Yi )2 + b 2 ∑ ( X i − X i )2 + 2b∑ (Yi − Yi )(X i − X i ) 2 = S YY + b 2 S XX − 2bS XY S S2 P ues t o que b = XY , s e t iene RSS = SYY − XY = SYY − bS XY S XX S XX Si e xp res amos SY Y como T SS= Suma de Cuadrados T ot al, t ambién a bSX Y con ES S como la s um a de cu adrados e xp licad a, dec imos que: T SS = ES S + RSS. (T ot al)= (Exp licada)(res idu al) 2 = coefici ent e de det erm inac ión de X en Y = A hora s i denot amos con rXY 2 1 − rXY = ESS y TSS RSS 2 2 decimos que rXY exp lica el efe ct o de X en Y y que 1 − rXY es la TSS p rop orción no e xp licad a p or X , o en ot ras p alabras , és t e ú lt imo ind ica l a p rop orción del efect o de ot ras variab les en Y, dis t int as a X . D erivado de lo ant erior 2 S XY bS 2 2 rxy t ambién s e obt iene as í : rXY = = XY S XX SYY SYY En es t a forma ahor a s e cuent a con nuevas fórmu las p ara obt ener el coefi cient e d e det erminac ión. II I.1.1.2 O tros Mé todos de Es ti maci ón : Exis t en ot ros como el de M áxima Veros im ilit ud, M ínimos Cuadrados de P rimera y Se gunda Et ap a, et c. cuy a ilus t ración no s e hace en es t e libro. Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 43 Introducción a la Econometría Practi ca N ú me ro I Nombre del alumno:_____________________________________________________________ 1. Indique que s i gnif ica y p ara que s irve: a) El aná lis is de re gr es ión s imp le; Se us a p ara p robar hip ót es is s obre la relación ent re una variab le dep endient e Y, y una vari able indep endient e, X , y p ara p ronós t ico, que cont ras t a con el an ális is d e regr es ión múlt ip le en e l que hay más de una v ariab le ind ep endient e. b) El aná lis is de re gr es ión lin eal Sup one que hay una relac ión lin eal ent re X y Y. c) El dia gr ama d e dis p ers ión. Su fin es det erm inar p or ins p ección ocular la re lac ión funcion al ent re X y Y. 2. Es t ablez ca la r ela ción genera l ent re e l cons umo Y, y el in gres o d is p onible X , con: a) F orma line al e xact a o det ermin is t ica; Yˆi = a + bX i b) F orma es t ocás t ica; Yˆi = a + bX i + ei c) ¿P or qué s e s up one que l a m ay oría de los va lores obs ervados de Y no caen e xact ament e s obre una líne a rect a? P orqué hay ot ras variables exp lic at ivas omit idas que t ambién t ienen efect o en Y; p or errores de medición d e Yi y p or la aleat oried ad inher ent e a la conduct a humana. 3. Con el mét odo de m ínimos cuadrados ord inarios , p ara es t imar los va lores p oblacionales de α y β con los valor es mues t rales de a y b di ga: a) ¿P orqué s e us a és t e mét odo? D a la lín ea re ct a óp t ima que minim iz a las difer enci as de Yi con Ŷi b) ¿Q ué pr opiedades t ienen los es t imador es a y b? P roduce es t imadores con p rop iedades de ins es gabil idad, efic ienc ia, s ufi cien cia y cons is t encia. c) ¿P or qué s e miden v ert ical ment e las des vi acion es ? P orque t rat amos de exp licar movim ient os en Yi que s e miden en el eje v ert ical. Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 44 Introducción a la Econometría d) ¿P orqué no s imp lem ent e s e t oman l a s uma de las des vi acion es s in elevar las al cuadrado ? P or que s u s uma es igu al c ero. e) ¿P orqué no t omars e la s uma d e las des vi acion es abs olut as ? P or que s u s uma no es un mínimo. 4. i)Es t ablez ca la diferen cia ent re a y b p or un lado, y α y β p or el ot ro; en una p oblación infin ita, α y β s on los p arámet ros de la lín ea d e re gres ión verdadera p ero des conoc ida en t ant o que a y b s on los p arámet ros d e l a líne a de re gres ión es t imad a conoc ida. ii) Es t ablez ca l a difer enci a ent re µ i y ei , es decir que s i gnif ica µ i y ei ? µ i es el t érmino de p ert urbación aleat orio, error es t ocás t ico en la relación verdadera p ero des conocid a en una p oblación infinit a ent re X i y Yi , mient ras que ei = Yi − Yˆi iii) Es criba las ecu acion es p ara las r ela ciones verdad eras en el univers o y es t imadas con la mues t ra ent re X e Y. P ara la verd adera : Yi = α + βX i + µ i P ara la es t imad a: Yˆi = a + bX i + ei 5. Con los s iguient es dat os a)hallar los valores de a y b; b)rep res ent ar gráf ica ment e la l ínea de r e gres ión y mos t rar las des viaciones de cada Yi de l corres p ondient e Ŷi . Int erp rét elas . a) P ara hal lar a y b t enemos : Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 45 Introducción a la Econometría XiYi Año Y=Consumo X=Ingreso 1 102 114 11,628 2 106 118 12,508 3 108 126 13,608 4 110 130 14,300 5 122 136 16,592 6 124 140 17,360 7 128 148 18,944 8 130 156 20,280 9 142 160 22,720 10 148 164 24,272 11 150 170 25,500 12 154 178 27,412 Suma 1,524 1,740 225,124 Media 127 145 2 Xi 12,996 13,924 15,876 16,900 18,496 19,600 21,904 24,336 25,600 26,896 28,900 31,684 257,112 n = 12, ∑Yi = 1,524,Y = 127, ∑ X i = 1,740, X = 145, ∑ X i Yi = 225,124, ∑ X i2 = 257,12 b= n ∑ X iYi − ∑ X i ∑ Yi n ∑ X i2 − (∑ X i ) 2 = (12)(225,14) − 1,740)(1,524) 49,728 = = 0.86 57,744 (12)(257,112) − (1,740) 2 a = Yi − bX i = 127-(0.86*145)= 127-124.70= 2.30 Lue go la ecua ción de r e gres ión: Yˆi = 2.30 + 0.86 X i b)P ara ello obt ene mos 2 p unt os cuales quiera s obre la l ínea d e re gres ión, d i gamos Cuando X i = 114, Ŷi = 2.30+ (0.86*114)= 100.34 Cuando X i = 178, Ŷi = 2.30+ (0.86*178)= 155.38 Yˆ = 2. 30 + 0. 86 X i CONSUMO Y 160 140 120 100 100 120 140 160 180 INGRESO X Coment arios :__________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 46 Introducción a la Econometría I I I .2 Regresi ón y Cor rel aci ón n o Li n eal , Cu adráti ca o Paraból i ca 7 En es t e cas o el comp ort amient o de Y, como r es ult ado de los c ambios en X , no es linea l, p or lo que l a ecu ación de re gr es ión s erá: Y= a + bx+ c x2 y p ara encont rar a, b, c, las ecu acion es line ales s erán : ∑ y = na + b∑ x + c ∑ x ∑ xy = a ∑ x + b ∑ x + c ∑ x ∑ x y = a∑ x + b∑ x + c∑ x 2 2 2 2 (1) 3 3 (2) 4 (3) Ejemp lo: E xis t en 8 vendedores y s e des ea exp licar o es t imar s us volúmenes de vent as en función de s u exp eriencia a cumul ada. P ara el lo s e regis t ran s us vent as (Y), y el número de años de t rabajo (X ). Y=f(x) O bs ervar la s i guient e t abla : Ven d ed o r A B C D E F G H T o t al Ven t as ( Y) 9 6 4 3 3 5 8 2 40 Exp er i en ci as en añ o s ( X) 6 5 3 1 4 3 6 2 30 X2 36 25 9 1 16 9 36 4 136 X3 216 125 27 1 64 27 216 8 684 X4 1,2 96 625 81 1 256 81 1,2 96 16 3,6 52 X* Y 54 30 12 3 12 15 48 4 178 X2 * Y 324 150 36 3 48 45 288 8 902 Sus t it uy endo los res ult ados de la t abla ant erior en las ecuac iones t enemos lo s igui ent e: 8a+30b+136c=40 30a+136b+684c=178 136a 684b+3652c=902 Res olviendo el s is t ema de ecuac iones p or el mét odo de cram er, e l res ult ado es : 2 Y=3.5914-0.9127X+0.2842 X . La cual nos p ermit e es t imar las vent as ( Ye ) en función de los años de e xp erienci a (X) d e los vendedor es . D e es t a manera ŷ es igu al: Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 47 Introducción a la Econometría Y 1 = 3.5 914- 0.9 12 7( 6) + 0.2 84 2( 6) 2 = 8.34 64 Par a A Y 2 = 3.5 914- 0.9 12 7( 5) + 0.2 84 2( 5) 2 = 6.13 29 Par a B Y 3 = 3.5 914- 0.9 12 7( 3) + 0.2 84 2( 3) 2 = 3.41 11 Par a C Y 4 = 3.59 14- 0 .91 27( 1) + 0.28 42( 1) 2 = 2. 96 29 Par a D Y 5 = 3.5 914- 0.9 12 7( 4) + 0.2 84 2( 4) 2 = 4.48 78 Par a E Y 6 = 3.59 14- 0 .91 27( 3) + 0.28 42( 3) 2 = 3. 41 11 Par a F Y 7 = 3.59 14- 0 .91 27( 6) + 0.28 42( 6) 2 = 8. 34 64 Par a G Y 8 = 3.59 14- 0 .91 27( 2) + 0.28 42( 2) 2 = 2. 90 28 Par a H La es t imación es buena y nos s irve p ara calcul ar las vent as de los vendedores y t ambién p ara calcular los coefi cient es de correla ción y de det erminación, p ara es t o neces it amos hac er los s i guient es cá lculos : ŷ 8.3464 6.1329 3.4111 2.9629 4.4878 3.4111 8.3464 2.9028 40 e = ( y − yˆ ) 0.6536 -0.1329 0.5889 0.0371 -1.4878 1.5889 -0.3464 -0.9028 0.0 e 2 = ( y − yˆ ) 2 0.4272 0.0177 0.3468 0.0014 2.2135 2.5246 0.1200 0.8150 6.4662 (Y − Y ) (Y − Y )2 4 1 -1 -2 -2 0 3 -3 0 16 1 1 4 4 0 9 9 44 S u s ti tu ye n do l os re s ul tados de l a tabl a an te ri or e n l a si guie n te s e cu aci one s : σ yx = σ 2y = ∑ ( y − ˆy )2 = n 6.4662 2 = 0. 8082 lue go σ y x = 0.8082 8 ∑ (Y − Y ) = 44 = 5. 5 n σ 2yx como: R y x = 1 − σ 2y 8 2 P or lo t ant o t enemos que R 2y x = 1-(.8082/5.5)= .8530, lo cual índica que el 85.3% de los camb ios en Y s e d eben a var iac iones en X . D icho en ot ras p alabras e l 2 coefic ient e de det ermina ción r y x , , nos índica el p orcent aje de cambio que t ien en Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 48 Introducción a la Econometría las vent as como res ult ado de los años de exp erien cia d e los vendedores . Conoc ido R 2 y x , , p odemos calcular el co efic ient e de corr ela ción r y x . En es t e cas o: r yx = R 2 yx = 0.8530 = .9235 Lo cual rev ela que hay una alt a correla ción o rela ción p os it iva ent re X y Y, de t al forma que p odemos ut iliz ar a (X ) años de e xp erien cia como v ariab le indep endient e o e xp licat iva d e l as vent as (Y); no s e t iene que recurrir a bus car ot ra variable indep endient e o exp lic at iva de Y, di ga mos quiz á los p recios (Z ). I I I .3 MO D ELO LI N EAL G EN ERAL O M U LTI PLE ,M LG . Para con st ru i rse se u sa l a Regre si ón y Cor rel aci ón M úl ti pl e ( 7) M uchas veces neces it amos e xp licarnos los camb ios de Y en func ión de var ias variabl es . En es t e cas o s e ap lican el an ális is de r e gres ión y correla ción mú lt ip le. P or ejemp lo: El c as o ant erior las vent as Y p odemos exp lic arlas no s olam ent e en función de los años de e xp erienc ia s ino t ambi én en fun ción, di gamos de las calif ica ciones que obt ien en los vend edores en s us curs os de act ualiz ac ión qued ando la función Y=f(X 1 , X 2 ). Si hac emos que Y= X 1 , t endremos que Y=f(X 1 , X · 3 ). D onde X 1 = vent as , X 2 = años de exp erien cias ; X 3 = ca lifi cac iones de los vend edores . En es t e cas o la e cuac ión de re gr es ión s erá: X1 =a+ bX2 +c X3 , y p ara encont rar a, b, c; nec es it amos res olver e l s i guient e s is t ema de ecua ciones : ∑Y = na + b∑ X + c ∑ X ∑YX = a∑ X + b∑ X + c ∑ X X ∑YX = a∑ X + b ∑ X X + c ∑ X 1 (1) 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 (2) 2 2 (3) El co efic ient e de d et ermina ción lo denom inare mos p or: R cambios en X 1 , , s e deb en a l as varia ciones de X 2 y X 3 Ven d ed o r A B C D E F G H T o t al Ven t as ( Y) 9 6 4 3 3 5 8 2 40 Exp er i en ci as en añ o s ( X 1 ) 6 5 3 1 4 3 6 2 30 C alif ica ció n ( X2 ) 3 2 2 1 1 3 3 1 16 Y2 81 36 16 9 9 25 64 4 24 4 X1 2 X2 2 36 9 25 4 9 4 1 1 16 1 9 9 36 9 4 1 136 38 Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 2 123: indic ando que los Y* X 1 54 30 12 3 12 15 48 4 178 Y* X 2 27 12 8 3 3 15 24 2 94 X1 * X2 18 10 6 1 4 9 18 2 68 49 Introducción a la Econometría Sus t it uy endo los res ult ados de la t abla ant erior en e l s i s te ma de e cu aci one s te ne mos : 8a+ 30b+16c= 40 30a+136b+68c=178 16a+ 68b+38c= 94 Res olviendo e l s is t ema p or el mét odo de Cram er nos queda: Yˆ = − 0.4545 + 0.7273X 1 + 1.3636 X 2 P or lo cual p odemos es t imar las vent as : Ŷ1 = -0.4545+0.7273(6)+1.3636(3)= 8.0000 para A Ŷ2 = -0.4545+0.7273(5)+1.3636(2)= 5.9091 para B Ŷ3 = -0.4545+0.7273(3)+1.3636(2)= 4.4545 para C Ŷ4 = -0.4545+0.7273(1)+1.3636(1)= 1.6364 para D Ŷ5 = -0.4545+0.7273(4)+1.3636(1)= 3.8182 para E Ŷ6 = -0.4545+0.7273(3)+1.3636(3)= 5.8182 para F Ŷ7 = -0.4545+0.7273(6)+1.3636(3)= 8.0000 para G Ŷ8 = -0.4545+0.7273(2)+1.3636(1)= 2.3636 Para H (Y − Yˆ ) Ŷ 8.0000 5.9091 4.4545 1.6364 3.8182 5.8182 8.0000 2.3636 40.0000 1.0000 0.0909 -0.4545 1.3636 -0.8182 -0.8182 0.0000 -0.3636 0.0000 ∑ (Y − Yˆ ) (Y − Ŷ ) 2 1.0000 0.0083 0.2066 1.8595 0.6694 0.6694 0.0000 0.1322 4.5455 (Y − Y ) (Y − Y )2 4 1 -1 -2 -2 0 3 -3 0.0 16 1 1 4 4 0 9 9 44 En es t e cas o el error es t ándar de es t imac ión s erá σ 123 = n 2 = 4.5455 = 0.5682 p or lo que σ2 1 2 3 = 0.5682 8 D e manera s i mil ar el coefi cient e de d et ermina ción: Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 50 Introducción a la Econometría R 2 123 σ 21 = σ 2 123 = 1− 2 σ 1 ∑ (Y − Y )2 n = 0.5682 2 44 = .8966 = 5.5 lue go t endremos R 123= 1 − 5.5 8 Indicando que el 89.66 % de los camb ios en Y se deben a los cambios de X 1 y X 2 . R123= R 2123 = 0. 8966 =0.9468, Igualment e el coefi cient e d e corr elación ser á: revelando que hay una fu ert e correlación o relación p osit iva ent re Y, X 1 , X 2 . Por lo que p odemos ut ilizar X 1 , X 2 p ara exp licar adecu adament e a Y. Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 51 Introducción a la Econometría I V. BAN D AS O I N TERVALO S D E CO N FI AN ZA. Se const ruy en p ara “asegurar” con ciert a p robabilid ad de que los v alores r eal es u observados se hallen d ent ro de un int ervalo dado. S i Yˆ = a + bx Ŷ : es el valor est imado con los p arámet ros a y b así como con los cambios que exp eriment e X. Luego l a banda de conf ianza: Yˆ ± sb̂ zα cuando se manej a l a p oblación ó muest ras gr andes; Yˆ ± sb̂ t α , cuando se manejan mu est ras p equeñas. Donde t α y zα : p robabilidad fij ada ap rioríst icament e. I V.1 Cal i dad o Bon dad de l os Esti madore s8 ¿Cómo det erminamos si los est imadores a$L yL b$ de los p arámet ros p oblacional es a y b (en el caso de que manej emos una r elación lineal donde y =a+bx) son los adecuados o ap rop iados ?; dicho en ot ras p alabras, ¿De qué manera los p rincip ios est adíst icos de est imación p ueden ap licarse al análisis de regr esión? Los valores de a$ y b$ encajan en la nat uraleza de los p romedios o medi as. Es p osible que nin gún valor de y sea i gu al al de y$ (ningún p unt o observado en el diagrama de disp ersión cae dent ro de l a l ínea de t endenci a calcu lada), p ero los valores de y$ p ueden est ar cercanos d e los de y . Puest o que se esp era que hay a errores en t odas las est imacion es, es necesar io med ir la cant idad de error e inferir a p art ir de ella el gr ado de conf ianza que se p uede at ribuir a los est imadores. Primero cal cular emos el error est ándar del coeficient e de regr esión, b$ . Est e concep t o es similar en si gnifi cado al del error est ándar de la medi a descrit o ant es, cuando usamos la información d e l a mu est ra p ara est imar l a media de la p oblación. Designar emos el error est ándar del co eficient e de regr esión con Sb$ , su cuadrado viene dado p or la fórmu la: n∑ y − 2 2 s b$ = (∑ y ) { 2 ( )  n xy − x y ∑ ∑ ∑ − 2  n x2 − ∑ ∑x  (n − 2) n∑ x 2 − ( ∑ x ) ( 2 } ) 2     donde gr ados de lib ert ad i gual a n-k; k es el número d e p arámet ros. M ás adelant e observaremos que h ay similit ud d e l as lit erales y p or consigu ient e d e las cant idades ent re p arént esis de est a fórmula con las que se usan p ara calcular a$ y b$ , p or el mét odo de Cramer. Para encont rar S bˆ , simp lement e le sacamos raíz a est a cant idad, así: Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 52 Introducción a la Econometría S Cont inuando est imadores, aleat orios e dist ribuidos cant idad b = S 2 bˆ con el desarro llo del p rocedi mient o p ara verifi car l a calidad d e los record emos que hemos sup uest o que los errores e = (Y − Yˆ ) son indep endient es. Ahora haremos un sup uest o adicional; que est án normalment e. Así, si la dist ribución de los error es es normal, l a $ t = b −b S$ b sigue l a dist ribución t con (n-2) grados de l ibert ad. El número d e grados de libert ad es el número d e observaciones menos dos deb ido al número de p arámet ros muest rales ( a$ y b$) que han sido p reviament e det erminados, con los dat os de la muest ra, lo cu al si gn ifica en el an álisis de regresión qu e el número de observaciones menos el nú mero d e p arámet ros calcul ados, con los dat os de la muest ra y usados ( a$ y b$) p ara obt ener cada Y$ , con s ti tu ye n l os grados de l i be rtad, cu yo val or s i rve para me jorar l a e s ti maci ón de b con bˆ . Obviament e si t uviér amos n observ acion es y n const ant es, no habría “errores” p orque cada valor Y$ sería i gu al al valor r eal Y . En gen eral, en la medid a que sea menor el número de const ant es, may or será la lib ert ad dejad a a las dif erencias adicion ales. Así, t es la medid a de la difer enci a ent re el coefi cient e emp írico y el co eficient e hip ot ét ico de la p oblación, t omando en cuent a la v ariación de los dat os de l a muest ra. La t es út il p ara est ablecer lí mit es de confi anza y p ara p ruebas de signif icación. El p rocedimi ent o usual es real izar una p rueba de sign ificanci a, es decir, p robar la signif icación est adíst ica del coefi cient e p oblacional b. Si no hay una relación lineal ent re X y Y en l a p oblación, ent onces b=0. La hip ót esis nula a p robar es qu e b=0, p ara ello se escoge un niv el de si gnif ican cia, usual ment e es del 5% y se rep resent a con α . Si rechazamos l a hip ót esis, decimos que el coefi cient e b es signif icat ivo est adíst icament e, y es si gnifi cat ivament e difer ent e de 0. Si acep t amos la hip ót esis nula, ent onces b no es si gnifi cat iva y p robablement e no hay relación lineal ent re X y Y en la p oblación. Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 53 Introducción a la Econometría Ejem plo: Y X2 X 5 -4 -6 -2 5 -15 -8 10 -1 -10 ΣY=-26 Y2 XY Y$ 10 100 50 25 -4 16 16 16 4 16 -24 36 1 1 -2 4 16 256 80 25 -10 100 150 225 -12 144 96 64 13 169 130 100 5 25 -5 1 -6 36 60 100 ΣX= 17 ΣX 2 =863 ΣXY=551 ΣY 2 =596 3.3227 -6.6674 -0.9588 -3.0995 7.6042 -10.9489 -12.3761 5.4635 -0.2452 -8.0946 e = (Y − Yˆ ) 1.6773 2.6674 -5.0412 1.0995 -2.6042 -4.0511 4.3761 4.5365 -0.7548 -1.9054 e2 2.8132 7.1152 25.4141 1.2089 6.7821 16.4112 19.1502 20.5799 0.5698 3.6306 103.6751 Si l a ecu ación d e regresión en la p oblación es Y=a+b x. La solución se obt ien e con el mét odo de Cramer: a$ = ∑ x * ∑ y − ∑ x* ∑ xy n * ∑ x − ( ∑ x) b$ = 2 2 2 ∑ xy − ∑ x * ∑ y n * ∑ x − (∑ x ) n* 2 2 sust it uy endo los valores en cad a ecu ación nos qued a: a$ = (863)( − 26) − (17)( 551) (10)(863) − (17) 2 = (10)(551) − (17)(− 26) 5952 −31805 = − 38131 . b$ = = = .7136 8341 8341 (10)(863) − (17) 2 Luego la ecuación de r egresión p ara est imar Y=a+bx ser á $ Y$ = a$ + bx es decir: Y$ =-3.8131+0.7136x (  n xy − x * y ∑ ∑  ∑ − 2  n ∑ x 2 − ∑ x ) Para saber si hay una relación l ineal ent re X y Y usamos: n∑ y − 2 S 2 b$ = ( ∑ y) { 2 ( n − 2) n∑ x 2 − (∑ x ) ( 2 } ) 2     donde los gr ados de lib ert ad es i gual a n-k; k es el número d e p arámet ros. sust it uy endo: Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 54 Introducción a la Econometría [(10) * (551) − (17)(− 26)] 2  (10) * (596) − (26) −   (10)(863) − (17) 2  1037  = = = 0015 . Lluego 2 66728 − 8 10 863 17 () ( ) ( ) 2 S 2 b$ { } . Sb$ = S 2 b$ = 0.0155 = 01245 Ensegu ida se est ablece Ho. b=0 y Ha: b ≠ 0 ; dado que n ≤ 30 p robamos con t donde bˆ − b 0.7136− 0 t = = = 5.7317 b S 0.1245 bˆ Dado est e valor emp írico d e t , nuest ra t area final es esco ger l a t t eórica ( o d e t ablas como le ll aman ot ros aut ores ) con un nivel de significación al cual p robaremos la hip ót esis nula de que b=0. Sup óngase que esco gemos el 5% d e signif icación, con n-2=10-2=8 grados de libert ad, la t abla indica que t α = ± 2.306, cuy a int erp ret ación es que p odemos esp erar un valor p osit ivo o negat ivo de b t an grand e como 2.306 si la hip ót esis es ciert a, es decir, sí el coefi cient e de l a p oblación es cero. Podemos esp erar una diferencia ent re cero y el emp írico b$ , que es el r esult ado de l a sel ección aleat oria de la mu est ra, p ero est a diferencia no p uede ser t an grande como p ara conducir a valor es de t que exced en de 2.306 (p osit ivos o negat ivos). Ahora bien nuest ra t emp írica es mucho más grand e que 2.306, p or ello rechazamos la hip ót esis nula que b=0 (que no hay relación l ineal ent re X y Y en la p oblación) y acep t ando la hip ót esis alt ernat iva, Ha de que b≠0. Deci mos que nu est ro coeficient e de regr esión es signifi cat ivo a un nivel de sign ificación del 5%. Si la t emp írica hubiera sido menor que 2.306, d iríamos que el coefi cient e d e regresión b$ =0.7136 no sería si gnifi cat ivo. La d iferen cia ent re b$ y cero sería p equeña. En est e caso se dice que hay relación lineal p orque se rechazó que b=0; en concret o, acep t amos la bondad o cal idad de las est imaciones, acep t ando Ha. Gráficament e lo ant erior se i lust ra así: H 0 :b=0 con α =5% y n-2=8 grados de lib ert ad t enemos t α = ±2.306 ; Ha =b ≠ 0 llamado punto crítico para aceptar o rechazar H0 Aceptamos Ha Aceptamos Ha Rechazamos Ho Rechazamos Ho -2.306 b +2.306 Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas tα 55 Introducción a la Econometría rechazamos H 0 p orque t α < t bˆ luego b es dif erent e de cero, h ay una difer enci a signif icat iva que no p uede at ribuirse ala selección al eat oria d e l a mu est ra, s ino a los v alor es de la v ar iable exógena X expl icando la v ar iable endógena Y. Por ot ra p art e p ara calcu lar los lí mit es o band as de confianza, se p art e del razonamient o de que al gunos p arámet ros p oblacion ales se p ueden est imar calcu lando el int ervalo o banda de confianza en t orno al valor del est imador; si el valor hip ot ét ico del p arámet ro est a cont enido dent ro del int ervalo, se acep t a la hip ót esis; si no, se rechaza. Ahora bien si el n ivel d e sign ificación es de 5%, el lo equival e al error de excluir el valor correct o del p arámet ro p oblacional del int ervalo de confi anza. Por ello l a p robabilidad de inclu irlo en el int ervalo d e confianza es de 95%. Decir que b$ es significat ivo al 5% de nivel de si gnifi cación, es decir que l a p robabilidad es de 95%, que los li mit es de confi anza incluy en o cont engan el verd adero p arámet ro p oblacional. Los limit es de confianza se p ueden calcular p ara un coeficient e de confi anza del 95% sust it uy endo el valor t eórico de t α =± 2.306 p or el valor emp írico 0.7136 − b tb = = 5.7317 resolviendo l a ecu ación p ara b obt enemos: 0.1245 a) 0.7136-b=+2.306(0.1245)=0.2871 b=0.7136-0.2871=0.4265 = Límit e inferior b) 0.7136-b=-2.306(0.1245)=-0.2871 b=0.7136 + 0.2871=1.0007 = Límit e sup erior Int erp ret ación: Los límit es que co mp renden el coef ici ent e verdad ero de l a p oblación (b) a un nivel de p robabilid ad del 95% son: 0.4265 y 1.0007 C omparaci ón de S con σˆ bˆ Sabemos que (Y − Yˆ ) = 103.64 = 3.5999 σˆ = ∑ n−2 2 10 − 2 y que Sb$ = 0.1245 Se v e qu e σˆ = 3.5999 > Sbˆ = 0.1245 p or que est e ú lt imo est ima b a p art ir de t ant o que el p rimero es may or p orque est ima Y a p art ir de Y$ . b$ , V. PRU EBA D E S I G N I FI CACI O N D E (R) 8 . Coefici ent e de correlación: Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 56 en Introducción a la Econometría r n−2 luego t rabajando con los dat os de la t abla 1 − R2 2 Se p rueba que r=0 e índ ica qu e X no exp lica a Y. Se hace con l a fórmula t= ant erior y sabiendo que n=10; r=0.897 y R =0.805 t enemos 0.897(2.37 ) 0897 . 8 t= = = 574 . . 0.442 1 − 0805 . Puest o que con α =5% y 8 grados de libert ad la t abl a di ce que t α = ± 2.306 rechazamos la hip ót esis que r=0 y decimos que r es signifi cat ivo con α =5%; que x exp lica el 80% d e los cambios en Y, el 20% rest ant e los exp lican ot ras variab les denot adas p or “ ei ”. De est a p rueba de hip ót esis se derivan dos p rop iedades: 1.-A medida que r crece es más p robable que sea si gnifi cat iva. 2. Est e valor de t =5.74 es igual al d e t =5.74 cuando p robamos b$ p orqué la hip ót esis de que b=0 imp lica la hip ót esis que r=0. VI . PRO PI ED AD ES D E LO S ES TIM AD O RES 8 La infer enci a que hacemos de una mu est ra sobre una p oblación est adíst ica en ciert o sent ido p asa a t ravés de la dist ribución de much as muest ras o de una muest ra más grand e, aún cuando observamos una sola muest ra de un t amaño fijo det erminado. En ot ras p alabras, la bondad o calidad de un est imador obt enido de una muest ra es evaluad a p arcialment e en t érminos de lo qu e se esp era que suced ería si mu chas muest ras est uvieran disp onibles o si el t amaño de mu est ra p udiera aument arse a nuest ro ant ojo. Hay cuat ro p rop iedades que d ebe t ener un buen est imador (o t ambi én l lamado “est adíst ica” muest ral). 1. In s e s gado . Una p rop iedad deseada en un est imador es que est e sea insesgado. Un est imador insesgado es aquel que su valor p romedio o esp erado es igu al al valor verdadero, del p arámet ro p oblacional. Gráficament e9 : Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 57 Introducción a la Econometría 2. C on si s te n te . Una segunda p rop iedad deseada en un est imador es que est e sea consist ent e. Una “est adíst ica” consist ent e es la que se acer ca al valor d el p arámet ro p oblacional a medid a que au ment a el t amaño de l a muest ra. Aquí va la gráf ica Vemos que cuando n crece bˆ se acerca a b y que cuando n se acerca al inf init o en el lí mit e, la d ist ribución de bˆ cae sobre b. 3. Efi ci e n te . Una “est adíst ica” eficient e es aquell a que t iene l a varianza mínima ent re t odos los est imadores p osibles. En t érminos del grado, mient ras más efici ent es es una “est adíst ica” más p equeña es la var ianza de su dist ribución. Aquí va la gráf ica 4. S u fi ci en te . Una “est adíst ica” o est imador suficient e es aquel que cont ien e t oda la información disp onible de la muest ra que usamos p ara inferir al p arámet ro p oblacional. Las sigu ient es cuat ro fi guras se resumen en la si gu ient e forma. Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 58 Introducción a la Econometría Al resp ect o es imp ort ant e señalar que en la act ual inv est igación emp írica en economí a a menudo debemos cont ent arnos con que los est imadores que p osean una o más de est as p rop iedades, pero n o todas el l as. Sup oniendo que hay más de un mét odo p ara est imar un p arámet ro, un est imador det erminado se consider a sup erior con resp ect o a ot ras si p osee más p rop iedades que los ot ros. De gran imp ort ancia es que sea inses gado y consist ent e8 . Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 59 Introducción a la Econometría Curso de introducción a la econometría: Facultad de Economía de la UNAM Dr. Genaro S ánchez Barajas : Primer examen parcial. Nombre del alumno………………………………………………………calif_______ I.-Conteste con un si o un no las siguientes 10 preguntas: 1.- La econometría expresa y mide las relaciones entre Ye X: Si______;No______ 2.- Los modelos multiecuacionales son los únicos que se usan: SI____;NO______ 3.-La covarianza mide la relación univoca entre Y e X: SI_______;NO____________ 4.- El valor del coeficiente de determinación entre -1,0 y +1:SI_____;NO__________ 5.-La variable dicotómica expresa cuantitativamente un atributo: SI_____;NO______ 6.- Una variable retardada es estática en el tiempo: SI_______;NO___________ 7.-La variables aleatoria también se llama estocástica: SI_____;NO__________ 8.- Todas las perturbaciones aleatorias tienen la misma varianza: SI____;NO_____ 9.- El método de mínimos cuadrados no produce la variación mínima en los estimadores con respecto a los parámetros que estiman: SI_____:NO____ 10.-El diagrama de dispersión ayuda a identificar la forma funcional: SI______;NO____ Cada respuesta cuenta medio punto, es decir, en total 5.0 puntos II.-Resuelva el siguiente ejercicio e interprete los resultados principales: los coeficientes de la ecuación, los de correlación y determinación. Suponga que el consumo (Y) y el ingreso (X) para los últimos 4 años (en millones de pesos) son los siguientes: Año 1 2 3 4 (Yi) (Xi) 3 4 5 8 5 6 8 9 Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 60 Introducción a la Econometría Se desea probar la hipótesis de que el consumo en México depende de las variaciones que experimenta el ingreso, ¿ es cierto? Este ejercicio cuenta cinco puntos, es decir, 5.0 Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas 61