Granville Diferencial e Integral Granville (Port.)

[ l [ M[ NT0S Al O[ C Dlf[R[NCIAl [ INT[ TRADUZIDO DO INGLES POR J. ABDELHA Y PROFESSOR DA UNIV. DO BRASIL EDITORA CIENTIFICA RIO DE JANEIRO Ginn and Company Boston, New York, Chicago, London, Atlanta Dallas, Columbus, San Francisco COPYRIGHT BY GINN AND COMPANY OF BOSTON Direitos exclusivos da tradu<tao em lingua portug da Editora Cientifica, Spivak & Kersner Ltda., Rio de Ja SIR ISAAC NEWTON As altera~oes no texto desta edi~ao consistem em nos detalhes de algumas das demonstra~5es e discuss5 cimo de um capitulo sobre as Fun~5es Hiperbolicas. foi escrito, como os demais deste livro, com a preocup 10 claro e completo. Mim de ampliar 0 campo de apli tegrais duplas, foram introduzidas tambem as coor dricas. Os problemas foram, em geral, completamente r alguns aspectos, apresentam maior interesse e objetiv deills sao aplica~5es da matematica a Economia. Os fin dos capitulos trazem novos problemas destinados a nivel mais avan~ado. No texto figuram as respostas de muitos dos p omitidas 0 foram propositadamente afim de dar ao oportunidade de confiar-se em si proprio no controle d Os professores que desejarem as respostas omitidas p nicar-se com as editores. Os autores serao amplamente recompensados pelo se esta edi~ao tiver a acolhida generosa e quase uni sada ao livro do Granville, de~de que apareceu pela PERCEY F. WILLIAM SM R. L PREFAero DO TRADUTOR Procuramos manter na tradu~o as qualidades texto original um dos livros mais difundidos entre n de matematica. Esperamos, por isto, que 0 nosso sente um auxilio a mais para 0 estudante brasileiro Rio de Janeiro, maio de 1961. JOSE ABD GOTTFRIED WILHELM LEIBNlTZ CAPiTULO I. FORMULARIO Formulas da 8lgebra e geometria elementares, 1. Formu gonometria plana, 2. Formulas da geometria analitica pla mulas da geometria analitica do espa~o, 6. Alfabeto gr CAPiTULO II. VARIAVEIS, FUNQOES E LIMITES Variaveis e constantes, 9. Intervalo de uma variavel, 9 continua, 10. Fun~oes, 10. Variaveis dependentes e ind 10. Nota~ao de fun~oes, H. Impossibilidade da divisao H. Grafico de uma fun~ao; continuidade, 12. Limite d riavel, 13. Limite de uma fun~ii.o, 14. Teoremas sobre Fun~oes continuas e descontinuas, 15. Infinito, 16. Infini Teoremas relativos a infinitesimos e .limites, 20. CAPiTULO III. DERIVAQAO 23. Acrescimos, 23. Compara~lio de.acrescimo vada de uma fun~lio de uma variavel, 25. Simbolos para das, 26. Fun~oes derivaveis, 28. Regra geral de deriva~ terpreta~ao geometrica da derivada, 31. Introdu~ii.o, CAPiTtJLO IV. REGRAS DE DERIVAQAO Formulas de derivagao, 34. Derivada de uma constante, 3 de uma variavel em rela~ao a si propria, 35. Deriva~lio de 36. Derivada do produto de uma constante por uma fun~ riva~ii.o do produto de duas fun~oes, 37. Derivada do pr fun~oes, sendo n fixo, 38. Deriva~o de uma fun~ao co constante, 39. Deriva~o de um quociente, 39. Deriva~l fun~o de fun~o, 45. Derivagao da fun~ao inversa, 4 implicitas, 48. Derivac;lio das fungoes implicitas, 48. CAP!TULO V. VARIAS APLICAQOES DAS DERIVADAS Direglio de uma curva, 51. Equa~oes da tangente e norm gente e subnormal, 53. Maximo e minima de uma fun~ao, 57. Fun~oes crescentes e decrescentes, 61. Maximo e mini fun~ao, defini~oes, 62. Primeiro metodo para 0 exame de no que concerne a maximos e minimos, 64. Maximo e min f'(x) e infinita, 66. Aplicagoes dos maximos e minimos vada como velocidade de varia~ao, 77. Velocidade num I'etilineo, 79. CAPiTULO VI. DERIVAQAO SUCESSIVA E APLICAQO Definigao de derivadas sucessivas, 89. Derivagao sucessi goes implicitas, 90. Concavidade de uma curva, 92. Segu para 0 exame de maximos e minimos, 92. Pontos de inflex ~ado de curvas, 98. Aceleragao num movimento retilineo IX arc cos v, 128. Deriv~ao de arc tg 11, 129. Deriv~o de 130. Deriva<;ao de arc sec v e arc cossec v, 130. Derivad vers v, 132. CAPiTULO VIII. APLICAQoES A EQUAQOES PARAME EQUAQoES POLARES E RA1ZES Equa~oes parametricas de uma curva; coeficiente ang Equa~oes parametricas. Derivada segunaa, 143.Movimento velocidade, 144. Movimento curvilineo. Acelera<;oes compone Coordenadas polares. Angulo entre 0 mo vetor e a tang Comprimentos da subtangente polar e subnormal polar, zes reais das equa~oes. Metodos gr8.ficos, 155. Segundo m localiza~ao das raizes reais, 157. Metodo de Newton, 15 CAPiTULO IX. DIFERENCIAIS.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165. Defini~oes, 165. Aproxima~ao dos acresc diferenciais, 167. Erros pequenos, 167. Formulas para acha renciais das fun~oes, 170. Diferencial do arco em coordena gulares, 173. Diferencial do arco em coordenadas polares, locidade como rapidez de varia({8.o do arco, 178. Diferenc infinitesimos, 178. Ordem de infinitesimos, diferenciais de perior, 180. Introdu~ao, CAPiTULO X. CURVATURA. RAW E ClRCULO DE CURVA Curvatura, 182. Curvatura de um circulo, 183. Formulas pa vatura, coordenadas retangulares, 183. Formulas para a coordenadas polares, 186. Raio de curvatura, 187. Circulo tura, 188. Centro de curvatura, 193. Evolntas, 194. Pro aa evoluta, 198. Involutas, sua constru<;ao mecanica, 20 forma({8.o de derivadas, 203. CAPiTULO XI. TEOREMA DO VALaR MEDIO E SUAS APLI Teorema de Rolle, 208. Circulo osculador, 209. Ponto limite cessao de normais consecutivas, 211. Teorema do valor me da media), 212. Formas indeterminadas, 215. Forma inde ~, o 216. Forma indeterminada:::'-, 210. Forma indeter 00 0.00 , 220. Forma indeterminada 00 - 00, 221. Formas i nadas 0·, 1 "", 00°, '223. Teorema geral do valor medio, ximos e minimos pelo metodo analitico, 226. CALCULO INTEGRAL CAPiTULO XII. INTEGRAQKO; INTEGRAlS IMEDIATAS Integra.<{8.o, 230. Constante de integra<;io; integral indefin Integrais imediatas, 234. Formulas de integra.({8.o imediata ferenciais trlgonometricas, 262. Integra.~ao de expressOes V a2 -u2 ou V u' ± a2 por substitui({8.o trigonometrica, 2 "a<;[o por partes, 274. Comentarios, 280. Difereneial da area sob uma eurva, 293. Integral def CaIeulo de uma integral definida, 295. Mudan~a dos lim pondentes a uma mudan~a de variaveis, 296. CaIeulo de Area sob uma eurva dada por equa~oes parametricas, 2 sent~o geometriea de uma integral, 303. Integra~o ap regra do trapezio, 303. Regra de Simpson, 306. Troea 309. Deeomposi~o do intervalo de integr~o da integra 309. A integral definida como fun~ii.o dos limit'es de integr Integrais impr6prias. Limites infinitos, 310. Integrais fun,,3.o deseontinua, 312. CAPITULO XV. INTEGRAQAO COMO PROCESSO DE SOM 316. Teorema fundamental do eaIeulo integra monstra'<ii.o analitiea do teorema fundamental, 319. curvas planas; eoordenadas retangulares, 321. Areas planas, eoordenadas polares, 327. Volumes dos s6lidos de 330. Volume de um s6lido oeo de revolu"ii.o, 333. Comp uma curva, 336. Comprimento das curvas planas, coorden gulares, 339; Comprimento das eurvas planas, eoordenad 343. Areas das superficies de revolu~o, 346. S6lidos transversais conheeidas, 353. CAPITULO XVI. INTEGRAQAO FORMAL POR ARTIFtCI Introdu~o, 362. Integra,,3.o das fun"oes racionais, 362. por substitui"ii.o de nova variavel; integr~ por ra.ciona Difereneiais binomiais, 376. Condi"oes de integra"ii.o por z!U;lio da diferencial binomial, 379. Transforma"ao das d trigonometricas, 381. Outras substitui"oes, 383. CAPITULO XVII. FORMULAS DE REDUQAO. usa DE DE INTEGRAlS Int'rodU¢o, 387. F6rmulas de redu~o para diferenciais 387. Formulas de reduc:ii.o para diferenciais trigonomet Uso de tabelas de integrais, 398. Introdu~o, CAPfTULO XVIII. CENTROIDES, PRESSAO DE UM F OUTRAS APLICAQOES Momento de area; centr6ides, 404. Centr6ide de um s6lid luc:ii.o, 408. Pressii.o de um fluido, 410. Trabalho, 414. V de uma fun~o, 421. CALCULO DIFRERENCIAL E INTEGRA CAPITULO XIX. S~RIES......... . . . • . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . Definic:Oes, 427. Serie geometrica, 428. Series eonvergent gentes, 430. Teoremas Gerais, 431. Regra. do confronto, de D'Alembert, 437. Serie alterada, 439. Convergenci 440. Sumario, 440. Serie de potencias, 443. Serie binomia tro t'ipo de aerie de poteneias, 449. CAPITULO XX. DESENVOLVIMENTO EM S~RIE Serie de Maclaurin, 451. Operac:oes com series infinitas, ~o e integrac:io das series de poteneias, 462. F6rmu madas deduzidas da aerle de Maclaurin, 464. Serie de T Outra forma da serie de Taylor, 469. F6rmulas aproxima das da serie de Ta.ylor, 471. Equa!i8.o linear de segunda ordem com coeficientes consta Aplica~esl lei dos juros compostos, 505. Aplic~oes a da mecamca, 509. Equ~oes lineares de n-egesima or coeficientes consta.ntes, 516. CAPiTULO XXII. FUNQOES HIPERB6LICAS Seno e cosseno hiperMlicos, 524. Outras fuu!ioes hiperb6 Tabela de valores do seno, cosseno e tangente hiperMlic W, 528. Deriv ficos, 526. Fun~es hiperMlicas de v Rela!ioes com a hiperbole equillitera, 531. Fun!ioes hiper versas, 535. Derivadas (continu~8.o), 537. Linha telegr Integrais, 540. Integrais ( continn~iio ) ,546. A gude 549. Carta de Mercator, 553. Rel~oes entre fuu!ioes t tricas e fun~ hiperMlicas, 556. + CAPiTuLO XXITI. DERIVAQAO PARCIAL Fun!ioes de diveraas variaveis, continuidade, 561.. Deriv ciais, 563. Interpret~iio geometrica da derivada parcial, ferencial total, 568. Valor aproximado do·acrescimo, peque 571. Derivadas totais velocidades, 576. Mudan!ia de varia Deriva!;8.o das fuu!ioes implicitas, 580. Derivadas de or alta, 586. CAPiTULO XXIV. APLICAQoES DAS DERIVADAS P ARC Envolt6ria de uma familia de curvas, 591. Evoluta de u considerada como envolt6ria de silas normais, 595. Tangen normal a uma curva reversa, 597. Comprimento de arc curva reversa, 600. Reta normal e plano tangente a pedicie, 603. Interpreta!iao geometrica da diferencial t Outra forma para as equac;oes da tangente e do plano norm curva reveraa, 609. Lei da Media, 612. MlUimos e min func;oes de vanas variaveis, 613. Teorema de Taylor par de duas ou mals variaveis, 619. CAPiTULO XXI. INTEGRAlS MuLTIPLAS Integrac;ao parcial e sucessiva, 623. Integral dupla def terpreta!iao geometrica, 624. Integral dupla extendida a ur 630. Area plana como integral definida, coordenadas ret 631. Volume sob uma superficie, 635. Diretrizes para fo integral dupla com dadas propriedades, 638. Momento centr6ides, 638. Teorema de Pappus, 638. Centro de p um fluido, 642. Momento de inercia de uma area, 644. polar de inercia, 647. Coordenadas polares, area plana, blemas resolvidos com coordenadas polares, 652. Metodo achar a area das superficies curvas, 656. Volume por tripla, 662. Volumes com 0 uso de coordenadas cilindr CAPiTULO XXVI. CURVAS DE REFER~NCIA CAPiTULO XXVII. TABELA DE INTEGRAlS '1DICE CAPiTULO I FORMULARIO 1. - FOrIIlulas da algebra eleIIlentar e da g a comodidade do leitor, daremos nos § § 1 - 4 a de f6rmulas. Com~aremos pela algebra. (1) EQUA~AO DO SEGUNDO GRAU Az2 + Bx SOLUC;Io: 1. - Por fatora~: Fatora-ee zero fornece uma raiz. 0 primeiro membro e ca 2. - Completando 0 quadrado: Passa-se C para 0 seg de-se pelo coeficiente de :r?-, acrescenta-se a ambos os mem metade do coeficiente de x e extrai-se a raiz. 3. - x = Pela f6rmula - B ± YB2 - 4 AC 2A • Natureza das raizes. 0 binomio B2_4 AC sob mula chama-se descriminante. As duas raizes sao reais e iguais ou imaginarias, segundo 0 descrim tivo, zero ou negativo, respectivamente. (2) LOGARITMOS log ab = log a a + log b. log b = log a - log 9. log aft = n log a. _fir 1 log v a = - log a n n(n-1) (n-2) ... (n-r+2) n--r I r-1 a + (4) n! NUMEROS FATORIAIS. = In = 1.2.3.4 .. N as f6rmulas seguintes, da geometria elementar raio, a, altura, B, area da base e s, geratriz. (5) CiRcuLO. Comprimento da circunferencia = 1rr 2• (6) SETOR CIRCULAR. Area ~ r 2a, onde a do setor medido em radianos. (7) PRISMA. (8) PlRAMIDE. Volume Volume = ~ Ba. (10) = CONE CIRCULAR RETO. Volume 1rrs. Area total = 1rr (r 8). + f 1rr. ESFERA. (12) TRONCO DE CONE CIRCULAR RETO. = ~ 1ra (R2 Volume = + + Rr). Area lateral = 1rr = ~ 1rr 2a (11) r2 l = Ba. (9) CILINDRO CIRCULAR RETO. Volume ral = 21rra. Area total = 21rr (r + a). ral = Area da sup = 1rS (R Volu + r). 2. - Formulas da trigonometria. Muitas das llsadas. (1) MEDIDA DE ANGULOS. Ha. duas unidades Grau. ~ a medida de um lingulo que aubtende 1 . a 360 d a Cll'Cll Radiano. nf E cujo comprimento A • erenCla. a medida de um lingulo que sub igual ao do raio do arco. e 1 grau=I~O=O,0174 ... radiano; 1 radiano=I:0 = Da definiyao acima resulta Numero de radianos num angulo = areo sU ra Estas relayoes nos permitem mudar de uma uni (2) RELAQOES 1 1 ctgx = - - . secx·= - - ; c'6ss tgx ' cosx sen x cos x tgx = - - ; ctgx = - - . cos x sen x sen 2 x (3) Angulo -x 9O"-x 9O"+x 18O"-x 1800 +x 27O"-z 270"+x 36O"-x (4) + cos 2 X = 1; 1 + tg 2 X = sec 2 x; 1 + ctg 2 F6RMULAS DE REDUQAO AO PRIMEffiO QUA I Seno -sen cos cos sen -sen -cos -cos -sen x x z x x x x x Cosseno cos sen -sen -cos -cos -sen sen cos FUNQOES DE (x + y) = Tangente jCotangentej Se x x x z x x x x -tg x ctg x -ctg x -tg x tg x ctg x -ctg x -tg x + y) e (x - y) sen (x + y) = sen (x - y) = cos (x + y) = cos (x - y) = to' (x " I -otg x tg x -tg x -ctg x ctg x tg x -tg x -ctg x se co -co -se -se -co co se sen x cos y + cos x sen y sen x cos y - cos x sen y cos x cos y - sen x sen y cos x cos y + sen x sen y tg x + tg Y ' 1 - tg x tg y tg (x - y) = tg 1+ ~ x sen 2" = J I± " cos x x J 1+cos x x 2 ; cos 2" = ± " 2 ; tg 2" +t co sen 2 x =! - ! cos2x; cos 2 x =! (6) TEOREMAS DE ADI<{AO = 2 sen! (x + y) cos! (x - y sen x - sen y = 2 cos! (x + y) sen! (x - y sen x cos x + sen y + cos y = 2 cos! (x cos x - cos y = - 2 sen (7) + y) cos t (x - y t (x + y) sen t (x REM<{OES NUM TRIANGULO Lei dos senos a b ---= sen B = se sen A. Lei dos eossenos a 2 = b2 Formulas para area: K = tbc sen A . K= K = V s (s ta - a) (s - b) +c 2 be cos 2 - sen B sen C sen (B + C) 2 (8 - c), onde 8 = t (a 3. Formulas da geometria analitica plana portantes sao as seguintes. (2) ANGULO DE DUAS RETAS Para retas paralelas, ml = m2; para retas (ml m2 = - 1) (3) EQUA90ES DA RETA: Y - YI = m (x - Xl) Normal., Y Por dois pontos. Y - Yl X - Xl = mx + b. &gmentdria. (4) + By + C = AXI + BYI + C DISTANCIA DA RETA d = Ax 0 v!A'2+B2 (5) X RELA90ES ENTRE COORDENADAS RETANGUL = p cos 8, (6) Y = P sen 8, p = v'x 2 + y 2, 8 EQUA9AO DA CIRCUNFEF.:~JNCIA Centro (h, k). (7) EQUA90ES DA PARABOLA Vertice na origem. y2 x Vertice (h, k). 2 (y - k)2 (x - h)2 Eixo, eixo dos yy. = 2 px, =r,2 PY, foco (~ p, 0 foco (0, ~ p = 2 p (x - h), eixo Y = 2 p(y - k), eixo X Y = Ax 2 + C. Hipbbole com centro na origem e Jocos no eixo do x2 a y2 - 2 - - ' -2= 1 . b H ipbbole equilatera com centro na origem e com os ei por assintotas. xy = C. Veja tambem 4. 0 Capitulo X.xVI. ForInulas da geoInetria analitica do dOOas algumas das mais importantes. (2) LINHA RETA Cossenos diretores: cos a, cos (3, cos 'Y. Parametros diretores: a, b, c. Entao cos a cos (3. cos 'Y abc --=--=--. COS 2a + cos 2 (3 + cos 2 'Y = a cosa = - - ; = = = = = 2 ± b2 c2 ' va + + c cos'Y = ---;====== 2 ± b2 c2 va + + 1. e (3) DUAs RETAS Cossenos diretores: cos a, cos {3, cos 1'; cos a' Parametros diretores: a, b, c; a', b', e'. Se () = angulo das duas retas, + cos I' cos 1 aa' + bb' + ee' ----;;=======----;:====:= 2 va + b2 + e va'2 + b'2 + e cos () = cos a cos a' cos () = + cos {3 2 abc a' e' b' Retas paralelas. -=-=- Retas perpendiculares. (4) cos {j' aa' + bb' + ce' = O. EQUAQOES DA RETA C,OM PARAMETROS DIR PASSANDO POR (Xl' YI, Zl) Xl X - a Y - ?h b Z - Zl = ----. c (6) PLANO. Dado a plano Ax + By + Cz + D dentes A, B, C, sao as parametros diretores de um cular ao plano. Equar;iio de um plano passando por (Xl, YI, Zl) e ref.o, de parametros diretores A, B, C. (6) Dors PLANOS Equayoes: + By + Cz + D = 0, A'x + B'y + C'z + D' = O. Ax Parametros diretores da reta interse9ao: BC' - CB', CA' - AC', AB' - BA'. P (x, y, z) ao plano XY e as coordenadaa polares (p, (J) da sua projeliao (x, y, 0) s6bre 0 plano X Y sao chamadas coardenadas ciUndricas de P. As coordenadas cilindricas de P sao indiCadas por (p, (J, z). Se as coordenadas ~etangulares de P'S8,O x, y, z, tem-se, pelas definiyoes e pela figura x= p2 p cos (J, = x 2 + y2, y (J = p sen (J, z = z; T = arc tg JL . x (8) COORDENADAS ESFERICAS*. 0 raio vetor r de urn ponto P, 0 Angulo cP entre OP e 0 eixo OZ e 0 Angulo (J entre a projeliaO de OP sobre 0 plano XY e 0 eixo OX sao as chamadas coordenadas esjbicas de P. cP diz-se colatitude e 0, longitude. Escreve-se (r, cP, (J) para indicar as coordenadas esf6ricas de P. y Se x, y, z sao as coordenadas retangulares de P, tem-se: x r2 = = r sen cP cos 0, y x2 + y2 + Z2, = r sen:cP sen 0, 0= arc tg JL x z=rcos cP = alC 5. - Alfabeto grego. LETRAS NOMES LETRAS A a I K A K M J.L B r (3 'Y ,~ 0 E E Z r H 7J e f) Alfa Beta Gama Delta Epsilon Zeta Eta Teta L A N p E .,. 0 0 II 7r ,. NOMES Iota Kapa Lambda Mu Nu Csi Omicron Pi LETRA P p ~ as T 'T T v ep cP cp X X 'lr if; 11 w 7 Para um estudo das coordenadas ciUndricas e esMriCllll, consulta. S "New Analytic Geometry, Revised Edition" (Ginn and Company), pp. 32( VARIAVEIS, FUNCOES E LIMITE 6. - Variaveis e constantes. Quando numa gura urna grandeza a qual se pode dar um nUmero lores, diz-se que a grandeza e uma varidvel. Se figur com valor fixo, diz-se que ela e uma constante. Um todos os problemas, como 2,' 5, 0, etc., diz-se a1:J AB variaveis sao indicadas usualmente pelas U alfabeto, as constantes pelas primeiras. ABsim, na equaQao da reta x e y sao variaveis (coordenadas de um ponto m6v enquanto a e b sao constantes e representam, resp segmentos determinadoa pela reta sobre os eixos d No caso, dizemos que a e b sao constantes arbitrari tudo da reta podemos fixar valores quaisquer para o ABsim, valor absoluto de uma constante a sera in = 2";' 121. 0 simbolo la/le-se "valor 1-21 7. - Intervalo de uma variavel. Muitas veze apenas a uma parte do sistema de nllineros. Podem fazer a variavel tomar apenas os valores compreen b, incluindo ou nao urn ou ambos os nillneros a e b. o simbolo [a, b], sendo a menor do que b, para repr nu.rneros compreendidos entre a e b, eles inclusive, contrario seia estabelecido. 0 simbolo [a, b] le-se para b", ou simplesmente, "intervalo a b". 9 para x = a tomando sucessivamente todos os valores Isto pode ser ilustrado geometricamente pelo diagra Sobre a reta em que se fixou uma origem 0, ma tos A e B correspondentes respectivamente aos mlme quemos tambem 0 ponto P cora respondente a um valor da va0 riavel x. Evidentemente 0 in- 0 A tervalor [a, b) e representado pelo segmento AB. contlnuamente no intervalo [a, b), 0 ponto P descr AB se x cresce, ou 0 segmento BA se x decresce. 9. - Fun~oes. Quando duas vanaveis estao modo tal que 0 valor da primeira e conhecido quan da segunda diz-se que a primeira variavel e uma fun Praticamente em todos os problemas cientificos dezas e rela<;oes desta especie e na nossa experien nuamente encontramos situa<;oes ilustrando a depen grandeza da de outra. POI' exemplo 0 peso que u levantar depende da sua for9a, a distancia que um depende do tempo gasto no percurso. A area de fun<;ao do comprimento do lado, 0 volume de uma do seu diametro. 10. - Variaveis independentes e dependent variavel, a qual se padem atribuir valores arbitnlria". dentre os limites impastos pela natureza particul diz-se varidvel independente ou argumento. A pr aquela cujo valor e detennine-do quando se da 0 v independcnte, diz-se variavd de pendente ou funr;ao. Freqi"-cntemente, quando se consideram duas relacionad3.s, e-nos permitido fixar qual delus e a v dente; feita a e.scoiha, a troea de variavel independ precau<;oes nao e permitida. POl' exemplo, a area d e fun<;ao do lado, e reelprocamente, 0 ludo e fun<;ao func;oes, muda-se a primeira letra como em F (x), 1 No curso de um problema, um simbolo funcional lei de dependeneia entre a func;ao e a variavel. Nos ples esta lei toma a forma de uma serie de operac;oes a variavel. Neste caso, 0 simbolo funcional indic opel'ac;oes ou series de operac;oes aplicadas aos difere variavel. Assim, se 1 (x) = x 2 tem-se 1 (y) = - 9x y2 - 9 y + 14, + 14. Tem-se tambem 1 (b + 1)2 - 9 (b + 1) + 14 = b2 1 (0) = 0 2 - 9 . 0 + 14 = 14, j( -1) = (- 1)2 - 9( -1) + 14 = 1 (3) = 32 - 9 . 3 + 14 = - 4 1) = (b + 12. - hnp'lssibilidade da divisao par zero. dois numeros a e b e urn numero x tal que a = bx. resulta que a divisao pOl' zero e impassivel, pois s duto de b pOl' um numero qualquer e zero e pOl'tan se a =;6. 0 e x pode ser um nu.mero qualquer se a = O a 0' 0 0' sao, pois, impossiveis. Deve-se tel' cuidado nas divisoes. Dividir pOl damente conduz a absurdos, como 0 seguinte: Suponhamos Entao Subtraindo b2 , Fatorando Dividindo pOl' a - b, Mas, logo ou seja o a = b. ab = a 2 • ab - b2 = a 2 - b2 • b (a - b) = (a + b) (a b=a+b. a = b; b = 2 b. 1 = 2. absurdo proveio da divisao pOl' a - b = 0. j( -2). 3. Senda F (0) = sen 2 0 + cos 0, ache F (0), 4. Sendo} (x) = x 8 5. 6. 5 x 2 - 4 x + 20 mostre } (t + 1) = t 3 - 2 t 2 - 11 t + Sendo} (y) = y2 - 2 y + 6, mostre que } (y + h) = y2 - 2 y + 6 + 2 (y - 1) h'+ - Sendo} (x) = x 8 + 3 x, mostre que j (x + h) - j (x) = 3 (x 2 + 1) h + 3 xh 2 + h 1 x + h)-j ( 1> (z + 1) - 1 7. Sendo j (x) = - , mostre que j (x 8. Sendo 1> (z) = 4', mostre que 9. Se 1> (x) = a"', mostre que 1> (y) , 1> (z) == 1> I-x 10. Sendo 1> (x) = log 1 + x' mostre que 1> (y) 11. + 1> (z) = 1> ( i ::z)' Sendo j (x) = sen x, mostre que } (x SUGEST.A.O. + 2 h) - Use (6), p } (x) = 2 cos (x + h) sen h 30 13. - Grafico de uma fun!;;ao. ponhamos Considerem (1) Esta rela<;a.o da um valor de y para cada valor de x, isto e, y e dejinida para todos os valores da variavel independente. 0 conjunto de todos os pontos que satisfazem (1), uma parabola (vo figura), e chamado 0 grd}ico da fun98.0 x 2• Se x variar continuamente (§ 8) de x = a a x = b, y variara contlnuamente de y = a 2 a y :;: b2 e 0 ponto P (x, y) movimento continuo a por<;ii.o do grafico que vai do Consideremos a fun~ao - e ponhamos x 1 y= - . x . (2) Esta equa~ao da urn valor de y para cada valor de x, exceto x = 0 (§ 12). Para x = 0 a fun~ao niio edeJinida. 0 grMico, 0 conjunto de todos os pontos que satisfazem (2), e uma hiperbole equilatera (v. figura). Se x crescer contl intervalo [a, b1 que nao contenha x = 0, y decrescera de -1 a -1 e a b do ponto (a, 0 ., a ponto P (Xi y ) d escrevera ~) a (b, ~). Entao, "a por~ao d0 fun~ao ~ e todo valor de x, exceto x = 0". Estes exemplos ilustram 0 conceito de continu Uma defini~ao e dada no § 17. fun~ao. 14. - Limite de uma variavel. A ideia de aproximando-se de urn valor limite e dada em geom quando se estabelece a formula para a area do drculo a area de urn poligono regular de n lados inscrito no cir faz-se n crescer indefinidamente. A area variavel ten limite e este limite e definido como a area do circul a variavel v (a area) cresce constantemente e a difere onde a e a area do circulo, decresce tomando-se men mera prefixado a partir de urn certo valor de n, qualq ntimero prefixado ainda que muito pequeno. DeJini~iio. Diz-se que a variavel v tende a um ou que 0 limite de vel, se, dado urn ntimero posit ainda que muito pequeno, os valores sucessivos de v de l de modo tal que a diferenQa v - l seja, em valor a do que E. Escreve-se lim v = l. Usa-se, tambe'll, p a notayao v -+ l, que se Ie "v tende a l" (alguns auto tayao v l). !"oJ Se marcarmos sabre uma reta, como no § 8, 0 pondente ao limite l.J e a seguir 0 segmento de cen mento 2 E, entao os valores sucessivos tornados po a partir de urn certo momento, pontos do segmento 15. - Lim.ite de unta fun~ao. N as aplicac;o mente aparece e isto. Temos uma variavel v e um de v. A variavel independente v toma valores tende que examinar os valores da variavel dependente z determinar se z tende a um lim.ite. Se existe urna que lim z = a, entao se escreve lim ___I que se l~ z = a" "limite de z, quando v tende a l, e igual a 16. - TeoreIllas sobre IiIllites. No calculo d fun<;ao, podem-se aplicar os seguintes teoremas, cuja serao dadas no § 20. Suponhamos que u, v e w sao func;oes de uma lim u = A, lim v = B, lim w = ~ r-+G r-+G Tem-se, entao: (1) lim (u +v - w) = A +B - C. r-+G (2) lim (uvw) = ABC. :-+/J (3) '/J. A. _lim -v -- -B' se B nao e zero. Em palavras: 0 limite de uma soma algebrica, ou de um quociente e igual, respectivamente, a som duto ou quociente dos respectivos limites, jeita a res caso, de ser niio nulo 0 denominador. Consideremos alguns exemplos: Provar que lim (:z;2 1. ~2 + 4 x) 12. = sOLugA:O. A dada fun¢o e :1 soma de :z;2 e 4x; prim os limites destas fUD~oes. Por (2) , lim x 2 = 4, pois n2 = x x ~2 lim 4x = 4 lim x = 8. Por (4), ~2 Logo; por (1), a resposta 2. 0 e4+8 = 12. . z2-9 5 Prove que lim - - = - - . .-.2 z 2 4 + SOLUgA:O. Para ~2 CODsiderando denominador, lim (z %->2 0 numerador, lim (z2 - 9) = %->2 + 2) + 4. Logo, por (3), obte 17. -FW1~oes continuas e descontinuas. do § precedente, onde se mostrou que lim (x 2 ,.-+2 + 4x) = 12, observamos que a resposta e 0 valor da fun<;ao pa o limite da fun<;ao quando x tende a 2 e igual ao para x = 2. Diz-se que a fun<;ii.o e continua para ni<;ao geral e a seguinte. DEFINI<)AO. Uma fun<;ao j (x) diz-se continua limite da fun<;ao quando x tende a a e igual ao valo x = a. Em sUn bolos, se lim j (x) entao j (x) e continua "'- para x = =j (a), a. A fun<;ao diz-se descontinua para x = a se est satisfeita Pede-se a aten<;ao para 0 seguinte. TEOREMA. Se f (x) 000 e definida para x = a e s limf (x) = B, ....... entao f (x) sera cantinua para x = a se para x = a. 0 valor B for a Assim, a fun<;ao :1: 2 - 4 x-2 nao e definida para x = 2 (pois nao Maa para todo outro valor de x, x2 - e possivel a di 4 ---=x+2' x - 2 ora, logo lim (x _21 . hm _2 ' + 2) = 4; x2 - 4 --- = 4 x - 2 . Embora a fun9ao nao seja definida para x=2, se o valor 4 para x = 2, ela tornar-se-a. continua para Uma fun~ao f (x) diz-se continua num interoalo qua para todos os valores de x deste intervalo. * Freqiientemente devemos calcular 0 limite de u uma variavel v quando v tende a um valor a de um in a fun<;ii.o e continua. 0 limite e 0 valor da fun9ii.o 18. - Infinito (ex». Se v e uma vadavel tal numero qualquer, existe um valor de v maior que 0 dizemos que v tende a + ex>. Se existe um valor de • Neste livro consideraremos spenas B8 funcOes que sllo contlnuas em g pl\ra todos os va)ores de z, oom a possfve) excec~ de oertas valores i80lados, elido qu'e os n08808 resultados sio validos em gersl para 08 valores de z nO estudo e' contlnua. N&tes casos, v nao tende a urn limite como foi d A not8.9ao lim v = co, ou v - co le-se "v tende ao Tem-se, por exemplo lim z-+O 1. = x co, , quan d 0 x ten d e a ze ou seja -1 ten d e ao 1'nf'illltO x Do § 17 resulta que se lim f (x) = co , z-+O entao j (x) e descontinua para x = a. Uma fun<jao pode tender a um limite quando pendente tende ao infinito. Por exemplo, lim ~ = ~<DX O. Se a fun<j.ao f (x) tende a um limite A quando a nota<jao do § 17 e escreveremos lim j (x) = A. ~<D Alguns limites especiais ocorrem freqtientement abaixo. A constante c nao e zero. Formas abreviadas (de Limites lim (1) z--->O c = co lim - = co co 0 V lim cv (2) c co c. co co D-+<D V '(3) D-+<D co C co C • Semelbantemente, 0-+ + co 1~·8e "II tende a mais infinite/'. ll-Jo infinito". Esta nomenclatura ~ cOmoda; contudo. 0 leitor nAo deve esquecer qu utamente. um ndmero• - •• Dii.emoa que lim I (:z:) mero poaitivo 6 tal que <D. V(:z:)1 > k ae dado um numero k qualquer. pod para todo :z: 'do intervalo (ll - 5. II + seguinte ilustrara 0 metodo. . 2il-3r+4 Prove que lim --.", 5 x - r - 7 il Exemplo ilustrativo. Dividamos SOLU<;io. poMncia. de x. Temos: ~ numerador e denominador po 0 2il-3r+4 5x-x2-7il 3 4 2--+x il . 1 ~ -5 - -1- 7 r x o limite de cada termo do numerador ou denominador conte (4). Logo, por (1) e (3) do § 16, obtemos a resposta. Em Ihante, 0 primeiro passo 6, portanto, 0 seguinte. Dividir 0 numerador e denominador pela mais aUa poUnci ela Jigure no numerador ou no denominador. Se u e v sao funQoes de x, se lim u =- = A, lim v = 0, =- e se A nao e zero, entao , I,1m U - =- v Com a convenQao ~ B quando A nao e zero, = 00, = 00. ve-se que (3), § 16, Confronte tambem os § § Prove cada uma das igualdades abaixo. 5 - 2x 2 lim --.", 3x + 5x 2 ' 5-2r lun 3 x + 5:r;2 = DEMONSTRA<;io. ~., ~-~ [Dividindo o limite por (4), 0 2 5 Ii ~-2 :r;2 m --- . --.", l. +5 x numerador e denominador por x de cada termo do numerador e denominador Logo, por (1) e (3), § 16, obtemos a resposta.. X2 lim 4. 11-+0 5. lim 11-+'" 6. 3h + 2 xh + rh 2 3 2 lim (2 Z + 3 k)3 - 4 k z 2 z (2 z k)2 k-+O lim z-+'" lim z-+O n z-+'" 7. = 1. 8. ,4 y lun ~. 2 y3 V-+'" lim 6 x 3 2 x3 z-+'" - ao . =_ - bo an --. bll 1 = 2 4 lim 11. I 2x + alx 1 + ~'.'. + an + b1x,.-1 + + b,. aox" + alx 1 + ,., + an boXn + b1xn- + '. '. '. + bn ax + bx + C = O. dx i + ex +}x ax + /n;2 + C dx + ex +}x + (J aox" boxn n 10. + - -. 4 - 3 xh - 2 rh3 9. + h 3 xh 2 h3 = ~ , 2 2xh + 5h 2 3 4 lim 12. z-+'" lim 13. .-... 14. lim ex> 3 2 84 - a4 82 - a2 + h)n - (x lim lim 11-+0 + x2 x2 z-+2 16. x n = nx,.-l. (n - h .\-+0 15. = 2a 2• X - - 4 6 vx+hh DEMON8TRAQAO. forma indeterminada 5 =4"' v;- I = 2y';' A substitui9ao h = 0 nao dO. .g. (§ 12). limit 0 Deve-se, pois, transformar a conveniente, precisamente, racionalizar 0 numerador. como x+h-x Logo lim Vx+h-V;. = lim h k-+O 17. Sendo} (x) = 11-+0 x 2 , mostre que 1 ~ + ....." Bendo J (x) 19. " I 1m 1 = -;-, f (x + h->O Se j (x) 20. =:ca, mostre que h) - h J (x) 1 ache lim j (IX h->O + h) - j (x h 19. - Infinitesimo. Uma variavel v que ten um injinitesimo, ou urn infinitamente pequeno. Es lim v = ° ou v ---+ 0, e significa que os valores sucessivos de v se aproxi modo tal que a partir de dado momento 0 valor ab na-se e permanece menor do que urn n11mero qu ainda que muito pequeno. Se lim v = l, entao lim (v - l) = 0, isto e, a dije ridvel e seu limite e um injinitesimo. Reclprocam re~a entre uma varidvel e uma constante e um injin varidvel tende d constante. ° 20. - Teoremas relativos aos infinitesimos considera~oes a seguir, supoe-se que tOdas as vanave de ~ma mesma variavel independente e que tendem limites, quando esta variavel tende a um valor fixo E e tun D11mero positivo prefixado, tao pequeno qu mas nao zero. Demonstraremos primeiro quatro teoremas sob I. Uma soma algebrica de n injinitesimos e um in n um numero Jixo. Realmente, 0 valor absoluto da soma fica e pe do que E quando 0 valor absoluto de cada infinites E manece menor do que - . n menor que quando f, valor absoluto do infinitesi 0 f que - . lei III. 0 produto de n injinitesimos e um injinitesim numero jixo. Realmente, 0 valor absoluto do produto ficara menor que f, quando 0 valor absoluto de cada infinite manecer menor que a raiz n-egesima de f. IV. Se lim v = l e l e dijerente de zero, entao injinitesimo i por v e tambem um injinitesirrio. 0 q De fato, podemos escolher um nllinero positivo tal que Iv I se tome e permane<}a maior que e e • tome e permaneQa menor que ef. Entao 0 valor ab ciente se tomara e permanecera menor que f. Ill, DEMONSTRAQOEs DOS TEOREMAS DO § 16. Seja u - A = i, v - B = j, w - C = k. (1) Entao i, j, k sao funQoes de x e cada uma delas tende x ~ a, isto e, elas sao infinitesimos (§ 19). Das equaQ (2) u +v- w - (A +B - C) =i +j - o segundo membro e um infinitesimo pelo teorema pelo § 19, (3) lim (u x->o +v - w) = A De (1) deduzimos u = A + i, v=B AB de membro, obtemos (4) uv - AB = Aj Pelos teoremas I-III acima, logo (5) 0 lim uv "'....0 + j. +B - C. Multiplican + Bi + ij. segundo membro e u = AB. 22 VARIAVEIS, FUNQOES E L?lITES A demonstraQao se estende facilmente ao produto Finalmente, podemos escrever (6) u -; - A A B = B +i +j A - B Bi - Aj = B (B + j) o numerador Bi - Aj e um infinitesimo, pelos t Por (3) e (4), lim B (B + j) = B2; logo, pelo teorem membro de (6) e um infinitesimo, e portanto (7) Conseqiientemente as afirm~oes do § 16 estao de 21. - Introdu~ao. Vamos agora investigar 0 m func;ao muda de valor quando a variavel indepen problema fundamental do Calculo Diferencial e estab dida para a variac;ao da func;ao com precisao m investigando problemas desta natureza, lidando com variam com continuidade, que Newton* foi conduz dos principios fundamentais do Calculo, 0 mais cien instrumento do Mcnico moderno. 22. - AcrescUnos. Acrescimo de uma variave um valor numerico para outro e a diferenc;a entre es e 0 primeiro. Um acrescimo de x e indicado pelo s se l~ "delta x". Observe 0 leitor que 0 simbolo D.:x um produto e portanto nao e "delta vezes x". Um acrescimo pode, evidentemente, ser positivo e positivo se a variavel cresce, negativo se decresc mente, D.y indica urn acrescimo de y, D.rP indica um acrescimo de rP, D.J (x) indica urn acrescimo de J (x), et Se em y = J (x) a variavel independente x tom D.:x, entao D.y indicara 0 correspondente acrescimo (ou da varia.vel dependente y). o acrescimo D.y e, pois, a diferenc;a entre 0 val toma em x D.:x e 0 valor da func;ao em x. Por + • Isaac Newton (1642-1727) nasceu na Inglaterr&. Foi um bomem de Deeenvolveu a ci~naia do cAlculo sob 0 nome de Fluxions. Embora tenha d& nova ci~ncia po. volta de 1670, ""u primeiro trabalho sobre 0 aaounto com 0 titulo de "Philoeophiae N aturali8 Principia Mathematica". Eate f de Newton. D~e w- Laplace: """.A ""mpre uma obra proeminente ent atr 0 engenbo humano". V. fronteepfcio• •• Alguna autorea chamam um ac.tl8cimo negattvo de um decriacimo 23 Supondo que x cresc;a para x entao y cresce para y = = Supondo que x decresc;a para x entao 12, isto e, 144, e Lly = 9, Llx = 4 isto e, Llx y decresce para y = 81, e Lly = Neste exemplo, y cresce quando x cresce e y de decresce. Os correspondentes valores de Llx e Lly sinal. Pode acontecer tambem que y decresc;a q ou 0 contrario; em ambos os casos Llx e Lly terao s COInpara~ao 23. - de acrescimos. Conside (1) Tomemos um valor inicial para x e demos a este cimo Llx. Entao y recebera um acrescimo corres temos y + Lly = (x + Ll.'l:)2, au y + Lly = x 2 + 2x. Llx + (LlX Subtraindo (1), y = x2 --- - - -2 ---x . Llx + (Llx Lly = (2) abtemos 0 acrescimo Lly em termos de x e Llx. Para achar a razao entre os acrescimos, divid membros de (2) pOl' Llx; temos Se 0 valor inicial de x e 4, e evidente (§ 16) ~~=8. Observemos x e y quando 0 0 comportamento da razao entre acrescimo de x decresce. 4 4 4 4 4 4 4 5,0 4,8 4,6 4,4 4,2 4,1 4,01 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,1 0,01 25, 23,04 21,16 19,36 17,64 16,81 16,0801 16 16 16 16 16 16 16 9 7 5 3 0 0 Ve-se logo que D.y decresce quando D.x decresce ~ toma os valores sucessivos 9; 8,8; 8,6; 8,4; 8,2; 8 . d e 8 tanto quanto se tran d 0 que D.1I ~ se aprOXlIlla se toma D.x suficientemente pequeno. Logo D.y = 8 1· ~D.x . 24. - Derivada de Ulna fun!;ao de uma var niyao de derivada, fundamental no Calculo Diferencia Derivada de uma jun~ao e 0 limite da razao do acre para 0 acrescimo da varidvel independente, quando e a zero. Quando existe 0 limIte mencionado, diz-se que a vdvel ou que possui uma derivada. Derivada de uma funyao y = 1(x) (1) e, pois, 0 seguinte. Supondo que x tenha urn valor fixo, da-se a x ur entao a funyao y recebe urn acrescimo D.y, e se tern (2) y + D.y = j (x + D.x), ou seja, tendo (1) presente, '"!) D.y = j (x + D.x) - 1(x). que e a razao entre os acrescimos Ay e Ax. 0 lim quando Ax ~ 0 e, pol' definic;ao, a derivada de J (x) y, e se indica pelo simbolo : ' dy = lim dx ~ (A) Portanto J (x + Ax) - define a derivada de y (ou J (x) ) em De (4) obtemos tambem dy dx J (x) Ax rela~ao a x. , !J.y 11m - ~Ax Semelhantemente, se u e uma func;3.o de t, ent du Au = denv ' ad a d e u em re1aQ[ -d = I'1m -A t o At-+O t processo para se achar a derivada de uma f ou diJerencia~iio, deriv~iio 25. - Shnbolos para as derivadas. Como A meros, a razao !J.y &: e 0 quociente de Ay par !J.x, 0 simbolo dy dx ' contudo, nao representa um quociente; ele e 0 valor quando Ax tende a zero. Em muitos casos 0 simb como se fosse urn quociente e a razao disto sera v tenha-se presente, pOl'em, que, pOl' ora, deve ser tornado como um todo. ~ nAo e u podemos escrever : J' (x), = que se 1~ "derivada de y em re1a<;&0 a x igual a J simbo1o d dx eonsiderado como um todo, chama-se operador de d que uma funljao escrita a sua direita deve ser deriv a x. Assim, dy d ou dx y indica a derivada de y em re1al dx ~ J (x) indica a derivada de J (x) em rela<;&o d~ (2 x 2 + 5) indica a derivada de 2 x + 5 em y' e ums. o simbolo 2 forma abreviada para : D e usado . pOl' alguns autores ao in tanto, se y = 1 (x) . podemos escrcver y , = dy dx = d dx Y = d dx 1 (x) = D 1 (x) = l Deve-se observar que quando se faz &1: tende e nlio x, a varia-vel. 0 valor de x foi fixado de i em destaque 0 valor de x fixado de inicio - diga creve-se l ' (Xo) -- 1· ~ 1 (X o + &1:) - J (xo) &1: existem fun90es que sao continuas para um certo v e no entanto nao sao derivaveis para esse valor. T tudo, nao aparecem muito na matematica aplicad serao consideradas somente as jun~i5es que possuem todos os valores da varidvel independente salvo, event isolados da varidvel. ~7. - Regra geral de deriva~ao. Da definic va-se que 0 processo para a deriva9aO de uma fun9a siste em tomar os seguintes quatro passos distintos. REGRA GERAL DE DERIVA«AO* PRIMEIRO PASSO. valor da jun~iio, y + Substitui-se x por x + Ax e fly. SEGUNDO PASSO. Subtrai-se 0 dado valor da jun~ achando-se, assim, fly (0 acrescimo da jun~iio). TERCEIRO PASSO. Divide-se fly (acrescimo da (acrescimo da varidvel independente). QUARTO PASSO. Acha-se 0 limite do quociente q cimo da varidvel independente) tende a zero. Este lim o leitor familiarizar-se-a com esta regra aplicand m1mero de exemplos. Vamos aplica-Ia agora a tre detalhes. Observe-se que os teoremas do § 16 sao usados n tendo-se fixado 0 valor de x. Exemplo ilusttativo 1. Derivar 3 XZ SOLUQAO. de p6r Aplicando os sucessivos passos da Regra Ge + 5, y + l1y = 3 (z + I1z)2 + 5 = 3 XZ + 6z. I1z + 3. (l1z)2 + 5 y = 3 Primeiro passo. • Tamb~m + 5. XZ cbamada a regra dos quatro passos. Quarto passo. Fac;amos, no segundo membro, t.x-+O. Vem dy dx = 6 x. Resp. d Portanto y' = dx (3 r + 5) = 6 x. Exemplo ilustrativo 2. Derivar:z:3 - 2 x SOLUQAO. Ponhamos y = :z:3 - 2 x Primeiro passo. Segundo pa8so. y + t.y y + t.y = + 7. + t.x)3 - 2 (x + t.x) + 7 + 3 r. t.x+3x·(t.x)2+(t :z:3 + 3 r· t.x+3 X·(t.x)2+(t (x = :z:3 = =:z:3 t:.y = y 3 r·t.x+3 x(t.x?+(t.x Terceiro passo. t:.y = 3 x2 + 3 x • t.x t:.x Quarto passo. + (t.x)2 - 2. Fac;amos, no segundo membro, t.x-+O. dy dx = 3 r d + 7) Portanto y' = dx (:z:3 - 2 x Exemplo ilustrativo 3. SOLUQAO. + 7. - 2. Resp. = 3r - 2. Derivar ~2 . x Ponhamos y = -.£...2 • x Primeiro passo. y + C1y = Segundo passo. y + t. y c (x + t:.x)2 - (x +ct:.x)2 _ C y x2 t. _ y - (x . c + t.X)2 c - c . t.x( - ;2 = z2(:ll + ~~ =- c' X22(:)2 =- ~3C. Resp. (y, = d: (; ) PROBLEMAS Use a Regra Geral para derivar as fun90es aba Reap. R 1. y=2-3x. y'=-3. 2. y=mx+b. y'=m. J. y=ax 2 • y'=2 ax. .!.8=2t-t 2. 8'=2-2 t. 5. y=ex 3• y'=3 ex 2. 6. y= 3 x-x3 • y'=3-3x 2 • d d 1 12. y=I-2x' 0 d 13. P =0+ 14. = Ct + D' 2' d d At+B 8 x3 +1 d 15. Y = - - . d x 10. dp 2 dO = - (0+ 1)2 . 16. Y = x2 3 dy 6x dx =-(x2+2)2' 17. Y x d = x 2+ l' d y= -2- - . x +2 t d d + I' 2 9. p= f) +4 4 ds dt 11.8= - - . t ti . = - 1 +a 2' x2 dy dx 18. Y = 4-x2 . 26. 8 = 20. y=3x 2 -4x-5. 8 = at 2+bt+e. 21. u = 2 v3 27. Y 28. u 29. Y = 19 - 3 v2 • bx 2 + ex 24. = ax 3 + + d. P = (a - bO)2. 11 = (2 - x) (1 - 2 x). 25. Y = (Ax 22. 23. Y + B) (Cx + D). = v tangente a uma curva num ponto P da curva. Por P e por urn outro ponto Q da eurva (V. figura) tracemos uma reta PQ. Fazendo Q tender a P, movendo-se sobre a curva, a reta PQ girara em tomo de Pea sua posi~ao limite e a tangente em P. Seja y=j(x) (1) a equ~ao da curva AB. (V. figura). Derivemos (1) pela Regra Geral e interpretemos c tricamente pela figura. Escolhamos um ponto P (x, e urn segundo ponto Q (x + Llx, y + t:..y) pr6ximo sobre a curva. + Llx) PRIMEIRO PASSO. y + SEGUNDO PASSO. y + t:..y = j (x + Llx) y TERCEIRO PASSO. t:..y = j (x f (x) t:..y = f (x + t:..x) - j(x) = t:..y j (x Llx = = + Llx) Llx j (x) RQ = MN tg ang. RPQ = tg cf> = coeficiente angular da Vemos, pois, que a razao entre os acrescimos t:..y e t:. ficiente angular da reta que passa por P (x, y) e Q (x situados sobre 0 grafico de j (x). Examinemos 0 significado geometrico do QUA valor de x est8. fixado, logo P e um ponto fixo sobre a t:..x varia tendendo a zero, 0 ponto Q tambem va a t:;urva e tende a P. Conseqiientemente, a reta PQ logo, lim cP = Supondo que tg cP seja uma f T. t.z-+O (v. § 70), temos pois, QUARTO PASSO. dy dx = l' (x) = Obtivemos, assim, 0 = lim tg cP = tg T, &t--->O coeficiente angular da reta ta importante 0 valor da derivada na abscissa de u ao coeJiciente angular da tangente a cu TEOREMA. curva e igual Foi este problema da tangente q'ue conduziu Le berta do Calculo Diferencial. Exemplo ilustrativo. Achar os coeficientes angulares das bola y = z2 no vertice e no ponto onde x = ! . SOLU<;AO. (2) dy dx Derivando pela Regra Geral (§ 27), obtemo . = 2 x = coe f'lClente angular da tangente a (x, y) qualquer. Para achar 0 coeficiente angular da ta faz-se x = 0, 0 que da dy = 0 dx ' Conseqiientemente, a tangente no ve ciente angular igual a zero, isto e, e parai e, neste caso, coincide com ele. Para achar 0 coeficiente angular da P, onde x = !, substituamos em (2), x c!J!_ dx = 1 ' isto e, a tangente no ponto P faz um lingulo de 45 0 com 0 ei * Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716) nasceu em Leipzig, Con pars 0 des<:,Ilvolvimento de diversos ramos do saber. SU88 descobertae no C das pela revista Acta Eruditorum, de Leipzig, em 1684. Babe-se, contudo, qu msnuscritos sabre as IlFluxiona" de Newton e a.lguns &Cham que deles Lei id6;as. Considers-s. atualmente, ao que parece, que Newton e Leibnitz i independentemente urn do Qutro. PROBLEMAS Achar por derivayao 0 coeficiente angular e a in gente a cada uma das curvas abaixo, no ponto ind o resultado trayando a curva e a tangente. = x2 1. y 2. Y = 2x - 3. Y 4. Y == 3 5. Y - 2, onde x = 1. ~ 4 =x ---I ' x2, onde x = 3. onde x + 3x - = x3 - R = 2. x 3 , onde x = - 1. 3 x 2, onde x = 1. Ache 0 ponto sol:Yre a curva y = 5x - x 2 o da tangente e 45°. 6. Ache os pontos sobre a curva y = x 3 + x. e paralela a reta y = 4x. Resp.: (1,2) 7. Em cada um dos tres problemas seguintes ach de interseljao do dado par de curvas ; (b) 0 coefici inclina-9ao da tangente a cada curva; (c) 0 Angulo en em cada ponto de interseyao (v. (2), p. 3). 8. 9. Y = 1 - x 2• y = x2 Y = x 2, X - 11. y Y Ache = 6 + 8x - 1. + 2 = O. 0 Resp.: Angulo = arc tg 10. Y = x 2x + Angulo de interseyao entre as cu - x 3 nO ponto (3,3). REGRAS DE DERIVACAO 29. - Importancia da regra geral. A Regra va<;ao, dada no ultimo capitulo (§ 27), e fundament.a portante que 0 leitor esteja bern familiarizado com e sua aplicagao e em geral, mon6tona ou dificil; dai, 0 f regras particulares de derivagao, aplicaveis a dados t de llSO frequente no Clilcuio. E conveniente exprimir estas regras particula formulas, 0 que faremos, dando a seguir uma prim o leitor deve nao somente decorar cada uma das tambem ser capaz de estabelecer a correspondente re F6RMULAS DE DERIVA<;Ko* I de dx =0 dx II -= III -(u dx IV - V VI dx d d dx . 1. +v - (cv) d dx (uv) = du dx =- w) dt) c -. dx du = u dx 21 du + v dx d du - (v n ) = nv n - 1 dx dx !_Nestas f6rmu:as, u, dv dw + dx -. - -. dx . • e w sao func;oes derivaveis de 34 %. dv VIII IX _ dx ' sendo yuma fun<;ao d 1 du dx=ax' sendo yuma fungiio de x dy 30. Deriva!;ao de uxna constante. Uma fu o mesmo valor para eada valor da variavel independ e podemos indica-la por y=c A fun9iio niio muda de valor quando se da a !lx, isto e, !ly = 0, qualquer que seja Llx; logo, /1y = 0 Llx ' ou seja I ··'adc=o. x A derivada de uma constante e zero. o resultado era faeil de imaginar, pois a equa< senta uma reta paralela a OX e, portanto, de eo igual a zero. Ora, 0 eoeficiente angular e 0 val (§ 28); logo, esta e nula. 31. Seja Deriva~ao de uxna variavel em y = x. rela~ D..y = 1 TERCEIRO P ASSO. b.x QUARTO PASSO. du = 1 dx· . rL" . d." II . = 1. A derivada de uma varidvel em relw;iio a si prop Este resultado podia ser previsto facilmente, P angular da reta y = x e urn. 32. - Deriva~ao de Seja ulna SOlna. y +v - =u w. Pela Regra Geral, PRIMEIRO P ASSO. y + D..y = SEGUNDO PASSO. tly TERCEIRO PASSO. !J..y .6.x + D..u + v + D..v = D..u + tlv - tlw. D..u + I\u D..1O =. u t>x b.x - b.x . Ora (§ 24), lim tlu = du l' 6..v _ dv Jim D..w dx' ~ & - dx' ~ L.l.<: ~ D..x Logo, por (1), § 16. + QUARTO PASSO. dy d1L dx=dx III -(u+v - w) = d dx dv d10 dx-dx' dv -+-dx du dx A demonstrayao para a soma algebrica de ur qualquer de func;oes e amUoga. A derivada da soma algebrica de n junr;oes e ig b-rica da8 derivadas das parcelas, sendo n um inteiro p Pela Regra Geral, PRIMEIRO P ASSO. y + b.y = + b.v) = cv + c (v SEGUNDO PASSO. b.y = cb.v. TERCEIRO PASSO. b.y b. v &;=c&;· Logo, pOl' (4),§ 16, dy = c du . dx dx QUARTO PASSO. d IV -. (cv) dx dv c-· = dx A clerivada do produto de uma constante por um ao produto da const.ante pela den:vada da fu~ao. 34. - Deriva!Oao do produto de duas fun!O y = Seja Uti. Pela Regra Geral, y PRIMEIRO P ASSO. + b.y = (u + b.u) (v + b + u& + vb.u Feita a rnultiplicayao, tern-se + b.y = uv SEGUNDO PASSO. b.y = ub.v TERCEIRO PASSO. b.1.J ~ =u y + vb.u + b. b. v Llx b.u + v Llx + b Aplicando (2) e (4), § 16, notanda que lim b.u &.-.0 tanto, 0 limite do produto b.u QUARTO PASSO. ~ e zero, dy = u dv dx dx + v du dx vern . v~zes a derivada da segunda, mais a segunda JU7l{fio da primeira. 35. - Derivada do produto de n fun~oes, se feiro positivo fixo. Dividindo-se ambos os mem UV, tem-se du dv d d;" (uv) = dx + dx . uv u v Par isto, para urn produto de n fun90cs pode-se pOI' d ~ (V2 Va ..• v,.) Vt V2 ••• Vn -dVt dV2 Vl V2 dVt dV2 =dx+dx+ - = ax + dx va V.I ..• VII dl' dVa + dx + + d:l Va Vn Multiplicando ambos os membros POl' Vl V2 •.. V Vt d -a x (Vl V2 ..• Vn) = V2 dVl (V2 Va ... Vn) - d X + (UlI'a ... 36. - Deriva!;ao de uma fun!;ao com expoe A Regra da Potencia. Be os n fatores nc resu todos iguais a v, obtemos dv dx ---=n-· v VI d n dv (v ) = nv"-l . dx dx - Se v = x, tem-se: VIa Ate agora,. VI foi demonstrada somente para urn inteiro positivo. No § 65, contudo, mostrare mula e tambem valida para n qualquer. Este resu agora. A derivada de uma jun~ao com expoente constan poente vezes a jun~ao com 0 cxpoente diminuUio de um, da jun~ao. Esta e a chamada Regra da Polencia. 37. - Deriva!;ao de urn. quociente. Sej'a y= u v Pela Regra Geral, PRIMEIRO PASSO. y + u+ ~u v + ~v ~y = - - , - - - TERCEIRO P ASSO. Ay Ax = v (v + Au) Aplicando (1)-(4), § 16, QUARTO PASSO. du dv v- -udx dx dx= v2 dy du dx dv dx v- -uVII v2 A derivada de uma jra~ao e igual ao denominador do numerador, menos 0 numerador vezes a derivada tUM dividido pelo quadrado do denominador. Quando 0 denominador e constante, v = c, a V VII a dv de [ pois dx = d~ = o. ] Podemo.., tambem obter VII a de IV, como seg du .!!:...(~) = ~du = dx c cdx d:-c c A derivada do quociente de uma jun~iio por d derivada da jun~iio dividida pela constante. U'1W SOLu9AO. ~~ = d: (x3) = 31? Regp. [n=3] dy d • d d = - (ax' - bX"') = (ax') - - (bx2) dz dz dz dz SOLU9AO. - .) = ad- (x' ) - bd - (X" dz rlx 4ax3 - 2 b:z:. = Regp. 3. Y = x3'" SOLU9AO. + 5.. d ...JL dx d~· (x 3 ) dz = - + -dxd (5) 1 5. Y = (x 2 SOLu9AO. = 3"'" Z3. = 5' z 85 39 - + 3"7z' - -3'" + ~"4 -'" X 7. Regp. 3)5. - ~~ Resp. = 5 (z2 - 3)4 d: (r - 3) r- [v = 3, e n = 5.] = 5(r -3)4 . 2 x = 10 z(r - 3)4. Regp. Podiamos tel' desenvolvido a funQ8.o com a f6rm ((3), p. 1), e depois aplicado III, etc., mas 0 proces ferivel. . 6. Y = va 2 - x 2• ~ (a 2 _ • Quando aprendendo a derivar, limpl... 0 SOLU9AO. dy= dzdz r)i = ~ (a 2 2 x2)-1 ~ (a 2 dz - estudante deve fazer eserclciol or";. d • 7. + 2) V 1 + 5 x Y = (3 x _ SOLUQAO. • dy d d dx = (3 x2 + 2) dx (I + 5x2)i + (1 + 5x2); d [ll = 3x2 +2, e v = (1 +5x2);.J + 2) ! (1 + 5 x2)-; d~ = (3 x2 = (3 x2 (1 +5 x2)+(1 +5 x + 2) (1 + 5 x2)-; 5 x + 6 x (1 + 5 x 2); 2 = 5 x(3 x + 2) + 6 x VI + 5 x2 = 45 x3 + 16 ·~1+5x2 8. VI+5x2 + a2 x2 y= - - - va SOLUQAO. x2 2 - (a 2 dy dx - • x2)! ~ (a 2 dx - + x2) - (a 2 + x2) ~ dx ---~---=----,----- - a2 - 2 x(a 2 - x2 x2) + x (a 2 + x2) 3 (a2 [Multiplicando - x2)T numerador e denominador por (a 2 0 3 a 2 x ..:. x3 3 Rcsp. (a 2 - Xl)2 Prove que: 9. d (3 x 4 dx d - II. .!!:.(at S dt 12. (4 2 x 2 :-r- 8) = 12 x 3 + 3x 10. ax - - 2 x 3) = 3 - 6 x 2 5 bt3) = 5 at 4 . 3:.- (Z2 _ i!-.) _= dz 2 - 7 15 W. - z _ Z6 . 4 x. - x 15. .!.) 8.!. - .!. atd (.!. 2t3 -3ta =3"ta -2t 3. (.!.4 d 2x 16. dx de.!. x3 17. dx 18. 19. Y = 4 ~-) 3 Vt - 22. 24. = r= a Vax + vax' VI - F (x) = 25. Y = ' 26. i (0) . - 3 (a - ~ y. = 28. Y = ( a + x~ 29. Y = x 30. 8 = x2 = (2 - 50)6" . 27. Y ) 3. V a + bx. t Va 2 + t 2 • ) = - !. 4. ~ C _ • x2 1 dy d~ = 4 V; dt 2t Vt +~ 2 a dy = 2 = - l' (t) = dx Vax - dy dx V a 2x V 1 -V-;=l=-=2=:=0 18 t (2 - 3 - 3 F '(x) = - i' 1 + x V; a ds = _ -dO - 9 x. 1 Va 2 X - dr 20. V'4 4 3. 2 2 21. Y _.!. 2-.!. a 20. 8 = x = '2 a 3 ="3 x - + bx + cx X V; 2 -2- - V; . a + bt + ct .!! ( dx + 4: x _.!.) = ---2- (4 - 9x)"3 __ x __ a (a 2 (0) - X2 )2 = - _ _3_2 (2 - 50)i dy = 2b dx x2 dy = _ dx dy -dx ds dt (a _~). ~ (a + !.) X x3 2a + 3 bx = 2=--v/-a=+~b=x x2 va 2 +x 2 x x y= 2 va - x 2 dy 33. y= 34. = 35. r V3 - (}2 ' 4 tJ • _ ~I - ex I+cx' a2 +x 2 a2 - x 2 a2 dy = dx (a 2 dr 6 () - 10 ( dfJ V3 - -= (a dx -= 39. Y = V2px. dy dx 40. Y = .!!... va 2 a 41. Y = Cal - x I )"2 . x 2) 2 - d8 8- (2 dt x2 • %. 2 4 2 dy = • _ ~2 + 3t 2-3t' 38. • x 2 )"2 - dy = dx 36. y37. y= a dx = - 'x 2 va + 3 t)t p 11' = dy b2x -=-. dx a2y dy dx = _ ~/y . ., x Derivar as funl;(}es 42; J(x) = V2x + ~3x. 2-x + 2 x2 . 43. Y = 44. Y = Va---=bX' 1 47. Y =x 48. Y =x 49. 8 = x " . 45. 8= V~ t 50. Y = (x 51. Y V = ~ 53. Y = ..:;; + V;; x = (2 x). + (2x)l; x = 4. = V 9 + 4 x 2; X = 2. 54. Y 55. Y 56. y= 57. y= 58. Y 59. 60. = 64. 2 1 = 1 V25 - x 2 V16 = 3. ; X + 3x ; x = 3. x x V8 - x 2; x = 2. = X Z VI + x 3 ; x = Y = (4 - X 2)3; x = 3. Y X 61. Y 62. y= Z +2 =2- x2 ; x 2. = 2. V5-2x ;x 2x + 1 =!. 63. Y = xV 64. y = 15 J4 65. 38. - Deriva~ao de uma fun~ao de fun~ao. tas vezes que y, 800 inves de ser definida diretamente x, e dada como fun9ao de outra vanavel v, a qual fun9ao de x. Neste caso, y e uma fun9ao de x atrav mada uma JU~iio de Ju~iio. 2v Por exemplo, se y = 1 - v2 e entao y e uma fun9ao de fun9ao. Eliminando v, po y diretamente como fun9ao de x, mas, em geral, - nao - t:~ achar dy dx ' a elimin'8.9&0 0 melhor caminho. Se y = J (v) e II = cJ> (x), entao y e fun9ao de Por isto, dado urn acreacimo t::.x a x, II sera. acresci & e tambemy de um certo acreacimo !!J.y. Tend SEGUNDO PASSO. y+fly=j (v y TERCEIRO PASSO. + flv) v+flv=c/> = f(v) fly = j(v +flv) -j(v) fly flv = 11 =4> flv=4> --..,.-_--: f(v+flv)-f(v)* flv 4> flv fl:r. - Os primeiros membros mostram uma forma d acrescimo de cada fun9ao e 0 acrescimo da corresp e os segundos membros fornecem as mesmas razoes Antes de passar ao limite fa9amos 0 produto des escolheIido, para isto, as forrrias dos primeiros mem QUARTO PASSO. 1lx ~ 0; entao flv F~amos dade acima fornece dy (A) dy dv dx = dv . dx Isto pode ser escrito tambem sob a forma dy (B) -' = dx f' (v) 4>' (x) Se y = j (x) e v = c/> (x), a derivada de y em rel ao produto da derivada de y em 'relat;ao a v pela deri lat;ao a x. 39. - Deriva~ao das fun~oes inversas. Sej y = j (x) e suponhamos, 0 que sucedera com muitas das fun9 neste livro, que a equa9ao Y = j (x) permita exprim de y. x = c/> (y); • Supondo t.. ;>< 0 (N. T.). e a partir deIa construirnos (j> (y), costuma-se tam f (x) e a fU~fio direta e (j> (y) a Jun~fio inversa. Es e usada somente quando hi interesse em distinguir foi dada a principio. Assim, nos exemplos que s inicialmente as fun90es da primeira coluna, as co segunda sao as fun90es inversas. + = ±.yy y = x2 y = a"', x = log,. y. sen x,. x y = 1, x = arc sen Pela Regra Geral derrvemos, simultaneamente versas y = f (x) e x = (j> (y). Temos, sendo f:.x arbitnhio, y+.iy= f (x+f:.x) x+.1.'t= ( PASSO. y+.iy= f (x+&;) x + f:.x = (j PRIMEIRO PASSO. ~EGUNDO y TERCEJRO P ASSO. _ --:-_=~(j>:-,-(y = f(x ) x .iy= f(x+ tix) -f(x) f:.x = (j .iy f(x+f:.x)-f(x) f:.x= f:.x f:.x ( l1y = Tem-se, pois, multiplicando membro a membr f (x + f:.x) - f(x) . (j>(y + .iy) - f:.x PASSO. Fa9amos f:.x -. O. 6 derivavel, e se tem: QUARTO * Supondo t:..11 "" 0 (N. T.). (j> (y) l1y. Entao l1y (D) l' (x) = et>' ~y) . A· derivada da jun<;ao inversa de uma jun<;iio j (x verso da derivada de j (x). 40. - Fun!;oes implicitas. Quando uma relaQ dada por uma equaQao da forma j (x, y) = 0, diz-se junl;iio implicita de x. Por exemplo, a equaQao (1) x2 - 4y = 0 define y como nunQao implicita de x. Evidenteme define tambem x como funQao implicita de y. Algumas vezes e possivel exprimir uma das vari medio da outra, obtendo-se, assim, uma jurn;iio explic pIa, a equaQao (1) fornece Y 1 = -x2 4 ' au seja, y como fun9ao explicita de x. Em geral, au e impassivel ou entao muito complicado para u 41. Deriva!;ao das fun!;oes implicitas. Qu nida como funQao implicita de x, pode nao ser opor exp1icado no Ultimo parllgrafo, achar y em termos de x de y (isto e, exprimir y como funQao explicita de x, ou explicita de y). Neste caso, aplicamos a regra: Derivamos os membros da .jun<;ao de x e depois achamos 0 equa~iio dada, consid valor de daY x . Esta regra sera justificada no § 231. 86 val dentes de x e y que satisfazem a dada equaQao pod tuidos na derivada. · . dy d e Ap1lquemos a regra acuna para ach ar dx . (2 x 3 dy 7 xy6) dx - = y7 - 6 ~ - 6 x 2 dy y7 - 6 ax6 - 6 x 2y dx = 2 x3 - 7 xy6 Res o leitor deve observar que,em gerat, 0 resultad PROBLEMAS Obter : de carla uma das seguintes fun90es dy 6 u6 = --. dx V; Resp.- b-x a-u = a +u = b+x . : =(Jzu dy dx = +U 3. y 4. Y =uva2-u2, u=V1-x2. dy x( dx = V(a2 5. 15x=15y+5 y3+3,!/,. dy dx = 1 ~= vy+~y. dy -= dx I U (a 1 + y2 2 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. y2 = 2 px. + y2 = r2. b2x 2 + a 2y 2 = a 2b V~ + v'Y = v;,. 222 x3 + ya = a3. x 3 - 3 a-;;y + y3 = O. x2 2• 6ya 1 3ya + + 3 x2 13. z3 14. x +2V 15. x2 16. + av x' + 4 x 3 17. ax 3 - 3 b 18. ~; +~ Achar 0 coeficiente angular de cada uma das cu ponto dado. 22. x2-2~-y2=52;(8,2). 24. XLX~- + 25. Mostrar que as parabolas y2 = 2p x p2 e cortam-se ortogonalmente. 26. Mostrar que a cil'cunferencia x 2 +y2-12 e tangente a circunferencia x 2 + y2 + 2x + y = 10 27. Sob que angulo a reta y + 2 y2 = 28? = 2 x corta a c 28. Se f (x) e 1> (y) sao funr;oes inversas uma d que 0 grafico de 1> (x) pode ser obtido como segue o grafico de - f (x) e fazendo-o girar em volta da ori ante-horario, de um angulo de 90°. OUfROS 1. PROBLEMAS 0 vertice da parabola y2 = 2 px e0 centro o foco da parabola e um extremo de um dos eLxos prin A parabola e a elipse cortam-se ortogonalmente. A da elipse. Resp. 4 2. Uma circunferencia de centro em (2 a, 0) c mente a elipse b2x 2 + a 2y2 = a 2b2. Achar 0 raio da Resp. r 2 3. De um ponto P de uma elipse trar;am-se pelos focos. Prove que estas retas fazem angulos com a normal a elipse no ponto P. 4. Prove que a reta Bx b2x 2 + a 2y2 = a 2b2 se, e somente + Ay = SE', AB e tan B2a 2 + A 2b 2 = Ache a equar;ao da tangente a curva xm ponto qualquer. Prove que a parte dela compree eixos e dividida pelo ponto de contato na razao min. Resp. my I (x - X1) + nXl (y 5. 6. Se k e 0 coeficiente angular de uma t.ange 2 2 2 y b x - a 2 = a 2b2, provar que y = kx ± Va 2k 2 deJa e que 0 lugal' dos pontos de interser;ao das tan diculares e x 2 + y2 = a 2 - b2 • 42. - Dire~ao de uma curva. y Viu-se no = f (;x) e a equar;ao de uma curva (ver figura), entao dV j' . l d~ = coe tCtente angu ar da tangente d curva no ponto P (x, y). A direr;iio de uma curva em urn ponto qualquer e, por defini<;ao, a direr curva nesse ponto. Seja T = inclinar;ao da tangen ciente angular = tg T, e portanto ~~ = tg T = coeficiente angular da curva no p Em pontos como D, P, H, onde a dile9ao da ao eixo dos xx, ou seja, a tangente e horizontal, d1/ T = 0; port,anto -d' = O. x Em pontos como A, B, G, onde a direr;ao da dicular ao eixo dos xx, au sej a, a tangente e vert'i T = 90°; portanto dy dx 51 e infinita. (c) Achar os pontos onde a direc;ao da curva paralela a OX; (d) Achll.r os pontos onde T 45°; = (e) Achar os pontos onde a direc;ao da curva paralela a reta 2x - 3y = 6 (reta AB). ~~ SOLU9AO. Derivando, e 2 = x - e 2 x = tg T. (a) Para x = 1, tg T = 1 - 2 = - 1; logo T (b) Para x = 3, tg T = 9 - 6 = 3; T = logo = 135°. Re 71°34'. (c) Para T = 0, tg T = 0; logo :r? - 2 x = 0. Resolven obtemos x = ou 2. Substituindo na equac;ao da curva, acha ° 2 quando x = 2. x = 0, y = "3 horizontais. Logo, as tangentes em C. (0, 2) Resp. (d) Quando T = 45°, tg T = 1; logo :r? - 2 x = 1. Reso c;ao, obtemos x = 1 ± V2 = 2,41 e - 0,41, abscissas de do coeficiente angular da curva (ou tBngente) e a unidade. (e) Coeficiente angular da dada reta = obtemos x = 1 ± ~= ~ ; logo, :r? - 2 x = 2,29 e - 0,29, abscissas dos pont direc;ao da dada cUI'va (ou tangente) e paralela a reta AB. Como uma curva tern, em cada ponto, a mesma tangente a ela nesse ponto, 0 lingulo entre duas cur comum sera 0 lingulo entre as tangentes a elas ness Exemplo ilustrativo 2. Achar 0 Angulo de intersec;ao dos (A) x2 + y2 - 4 x = 1, (B) x2 + y2 - 2 y = 9. SOLU9AO. ResolvendQ (3, 2) e (1, - 2). 0 sistema, achamos que os pontos -d = - - , x y pelo § 41 x 1 - y' pelo § 41 Entiio, de (A), ml = ede (B), m2=-=-- dy dx Fazendo x = 3, y = 2, temos ml = - 2"1 = m2 =- 3 coef. ang. da tangente a (A) em = coef. A f6rmula para achar lares sao ml e m2 e 0 ang. da tangente a (B) em ( Angulo fJ entre duas retas cujos tgfJ = ml - m2 ml1n2 1 I -"2 tgf) = - - - - = 1; Substituindo, Este 43. - + +3 f} = 1+% e tambem 0 45°. Angulo de intersec;iio no ponto (1, - Equa~oes da tangente e norxnalj subt A equac;ao de uma reta passando pelo ponto (Xl, yJ e tendo 0 coeficiente angular m e norxnal. Y - YI = m (x - Xl) A (3), § 3 Se a reta e tangente a curva AB. no ponto P I (Xl YI) entao m e igual ao coeficiente angular da curva em (Xl, YI). Indiquemos este valo Entao, no ponto de contato PI (Xl, YI) a equa~ao da (1) Sendo a normal perpendicula,r a tangente, 0 co dela eo reciproco de ml com sinal trocado ((2), § 3 que a equa~ao da normal PIN e (2) 1 Y - YI = - -=-(x - Xl), UtI pois que essa reta passa pelo ponto de contato P j e a subnormal (= M N). No triangulo TPlM, tgr = Tnl MP l • = TM ' logo MP l Yl . TAf* = - - = - = compnmento da s (3) 1n l m1 MN No triangulo MP 1N, tg T = ml = lviPJ ; log MN* = mlMP l = m1Yl = comprimento (4) o comprimento da tangente (TP l ) e 0 compri (PlN) podem, pois, ser obtidos diretamente da urn deles e a hipotenusa de urn triangulo retangu tetos conhecidos. Quando 0 comprimento da subtangente ou s ponto de uma curva e canhecido, a tangent.e e a n canstruidas facilmente. PROBLEMAS 1. Achar as equac;oes da tangente e normal e da subtangE'nte, subnormal, tangente e normal, no ciss6ide y2 = 2 a - :r dy "d-; Fazendo x 3 ffll = a, y a3 - = 3 ail - x 3 = y (2 a - x)2 . a, temos a3 = a (2 a _ a)2 = 2 = coer. ang. da tangente. A substituic;:iio em (1) dll. y = 2 x - a, equac;:iio da tangente. A substituic;:iio em (2) d'a 2y +x = 3 a, equac;:iio da normal. • A eubtangente e eubnormal ello eegment09 orientados. Quando Te ubtangente 6 p09itiva; em c&SO contrArio. negativa. Convencllo semel crma!. + CPM)2 = e PN = VCMN)2 V4a 2 + a2 = a V5 = compri Achar as equaQoes da tangente e da normal no 2. Y = x 3 -3 x; (2,2). Y = 4. 5. Resp. 9x-y-16=0 2x + 1 3 _ x ; (,2 5). 7x-y-9=0, + y2 = 16; (3,2). y2 + 2 y - 4 x + 4 = 0; (1, -2). 2x'/ - xy Achar as equartoes da tangente e da norma no ponto (Xl, YI). Resp. b2XIX + a 2YlY = a 2b 2, a 2Ylx - b2XlY = XlY 6. + a 2y 2 = a 2b 2 7. Achar as equaQoes da tangente e da norm mentos da subtangente e da subnormal no ponto (X x 2 + y 2 = r2• Resp. XIX + YIY = r 2, XIY - YIX = Mostre que a subtangente a parabola y 2 = ao meio pelo vertice e que a subnormal e constant 8. Achar as equartoes da tangente e da normal e o da subtangente e da subnormal a cada uma das s nos pontos indicados. 9. ay = x 2; (a, a). Resp. 2 X - Y = a, X + 2 10. ) x 2 -4y 2 =9;(5,2. 11. 9 x 2 + 4 y2 = 72; (2,3). 12. xy 13. Achar a area do triangulo formado pelo eix + y2 + 2 = gente e a normal 5x-8y=9,8x+5 0; (3, -2). a curva y = 6X - x 2 no ponto (5, 14. Achar a area do triangulo formado pelo tangente e a normal a curva y2 = 9 - X no ponto 17. 18. Resp. Em (± 2,2), 5° 54'; em ( 2 Y = x , y2 - 3 y = 2 x. x 2 + 4 y 2 = 61, 2x 2 - y2 = 41. Achar os pontos de contato das tangentes ho ticais a cada uma das curvas seguintes. 19. y = 5 x - 2 x 2• 20. .3 y2 - 6 y - x = O. 21. x 2 + 6 xy 22. x 2 - 8 xy 23. x2 - 24. 169 x 2 + 25 y2 = Resp. Horizontal, ( Vertical, (-3 16. Horizontal, ( Vertical, (5, + 25 y2 = 81. 24 xy + 169 y2 = 25. + 10 xy + y2 = 144. Mostrar que a hiperbole x 2 - y2 = 5 e + 9 y2 = 72 cortam-se ortogonalmente. 26. Mostrar que 0 circulo x 2+y2=8ax e a ciss6 25. (a) sao ortogonais na origem; (b) cortam-se sob um Angulo de 45° em dois o figura no Capitulo XXVI). 27. Mostrar que as tangentes ao folium de Des 3 axy nos pontos onde ele encontra a parabola y lelas ao eixo dos yy (V. figura no Capitulo XXVI) = 28. Achar a eqU3.9aO da normal a parabola y faz urn Angulo de 45° com 0 eixo dos xx. 29. Achar as equ3.9oes das tangentes ao circ que sao paralelas a reta 3 x - 7 y = 19. 30. Achar as equa<;:oes das normais a hiperbo que sao paralelas a reta 2 x + 5 y = 4. 31. Achar as equa<;:oes das duas tangentes a e = 72 que passaro pelo ponto (4, 4). Resp. 2x + y = 33. Dada a hipocicl6ide Xl + Y3 = ai, most primento da poryao da tangente, em um ponto qua compreendido entre os ei."os coordenados e constan (V. figura no Capitulo XXVI). 34. Dma ~ola foi lanyada. A equayao da traje 2 e y = X - 1~0 xx e horizontal ; a unidade de comprimento e0 m e a bola foi atirada da origem. sob que angulo foi a bola atirada; (b) sob que an eontrara urn muro vertical situado a 75 metros d (c) se a bola cai sobre um telhado horizontal de 16 m qual 0 angulo de incidencia; (d) se atirada do cim de 24 metros de altura, qual 0 angulo de incidencl se atirada do cimo de uma coluna com declive de 45 de incidencia com 0 solo. ~ 35. 0 cabo de uma ponte pencil se prende Iem forma de parabola a dois pilares distantes entre si de 200 metros. 0 ponto mais baixo do c tros abaixo dos pontos de suspensao. Achar 0 ang e os pilares de suspensao. 44. - Mc'ixim.o e IIllniIIlo valores de UIIla fu Em urn grande numero de problemas pratico com funyoes que tern urn maximo valor ou lim mi importante saber que valor da variavel independ tal valor para a funyao. Suponhamos, POI' exemp achar as dimensoes do retangulo de area maxima en ser inscritos numa circunferencia de raio igual a 5 e urn circulo de raio 5, inscrevendo-se-lhe urn retan chamando de x uma das dimensoes desse retangulo, fornece ~ao. (1) A = x -vi 100 - x2 , tendo-se indicado com A a area do retangulo. • Pode existir mais de urn de cadI', como ae mostra no par§.grafo 4 valo [0, 10]. Qllando x toma extremos, a area e zero; qua zero para 10, a area cresce at depois decresce; podemos, poi a area sera maxima quando tangulo for igual a altura D advinhac;ao. Urn modo melh temente, desenhar 0 grafico examinar 0 comportamento deste. Facilita-nos 0 fico observar que pela natureza do problema, tanto x quanto (a) (b) os valores de x vaG de zero a 10 inclusive Construamos, pois, uma tabela de valoreS' e trac como na figura abaixo. Que nos ensina x ° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 grdfico? A. ° 9,9 19,6 28,6 36,6 43,0 48,0 49,7 48,0 39,6 0,0 (a) Se desenhado com cuidado, podemos achar area do retangulo correspondente a cada valor de x, primento da correspondente ordenada. Assim, quando x = OM = 3cm, entao A = MP = 28,6 em quadr.; (b) Ha uma tangente horizontal (RS). A o ponto de contato e maior que qualquer outra orde observaQao: um dos rttangulos inscritos tem uma dre qualquer outro rctul1()lllo inscrito. Em outras palavr ferir daqui que a func;ao definida pOl' (1) tern um valo a medida nao podemos calcular exatamente este val faze-Io facilmente com 0 calculo. Observamos qu gente e horizontal, logo ..'leu coeficiente angular e z (§ 42). POl'tanto, para achar a abscissa de T, ach da funQao A, pomo-Ia igual a zero e resolvemos a Assim, temos A = x (1) dA dx V 100 - 100 - 2 x 2 = VlOO - x 2 ' x 2, 2 100 - 2x = O VIOO - x 2 Resolvendo Substituindo, obtemos DE = VlOO - x 2 = 5 v Portanto 0 retangulo de alea maxima inscritiv ferencia e um quadrado de area A =.CD X DE = 5 o comprimento de HT V2 X 5 V2 = e, pois, 50. .50cm q Tomemos outro exemplo. Deve-8e construir um deira, sem tampa, com a capacidade de 108 cm3 • ser um quadradoj quais as dimensoes a se tomar p da caixa seja minimo. Seja x = comprimento do lado do quadrado base, em em, e y = altura da caixa. Como 0 volume da caixa e dado, podemos exprimir y em funQao de x como segue: 108 Volume=x 2y = J08; logo y = - 2 . X Area d~ base = x 2 em quadr. 432 Area das 4 faces = 4 xy = - - em quadr.; x = M (2) x2 + 432 . x M 250 x M 225 200 1 2 3 4 5 433 220 153 124 111 6 108 7 111 118 129 143 8 9 10 175 150 125 100 , 75 I I 50 25 0 I I I I , , I I I I I I I I ~ ~ I I I I I I 6 7 A formula (2) da a area de madeira necessaria pa da caixa. Tracemos 0 grafico da fun9ao (2), como Que nos ensina 0 grdjico? (a) Be tra9ado com cuidado, podemos medir a o pondente a qualquer comprimento (= x) do lado do e assim determinar a area de madeira necessaria. (b) Ha uma tangente horizontal (RS). A ord de contato T e menor que qualquer outra ordenada; lo va9ao: uma das caixas requer menos madeira que qua Em outras palavras, podemos inferir que a fUD9ao tern urn minimo valor. Vamos acha-lo, usando 0 vando (2), para obter 0 coeficiente angular em q temos dM 432 - - 2x-· dx x2 isto a, quando x = 6 tem-se a menor area de ma Substituindo em (2) vemos que esta area a M = 108 cm quadI'. o fato de que 0 minimo valor de M existe, ve o seguinte raciocinio. Se a base a muito peqnen ser muito grande e pOl' isto a area da madeira nec Fazendo a base crescer, deve decrescer a altura e deira decresce. Isto, pOl'am, acontece ata certo pon a base a excessivamente grande, 0 consumo de m muito grande. Portanto, M decresce de urn valo ate urn certo valor e depois deste torna a cresce outro valor muito grande. Resulta dai que 0 graf ponto "mais baixo", correspondendo, precisament que requerem menor area de madeira. Passaremos agora ao estudo detalhado do assu a maximos e minimos. 45. - y= Fun~oes crescentes e decrescentes. f (x) diz-se crescente, se y cresce (algebricamente) Diz-se decrescente, se y decresce (algebricamente) qu o grafico de uma fungao indica claramente se e decrescente. POl' exemplo, consideremos 0 grafico d Quando nos movemos sobre a curva da esquerd observamos que ela sobe, isto e, quando x cresce, cresce. Obviamentc,!1y e !1x tem 0 mesmo sinal. No grafico da Fig. b quando nos movemos sabre a curva da esquerda para a direita, observamos que ela desce, isto a, quando x cresce, a fun9ao decresce. Neste caso, !1y e !1:t tern sinais contrarios. * As demonstracOes dadas aqui dependem da intuiciio de assuntos de maximo e m!nimo sera leito no § 125. Yo o geom~trie8. 0 Quando nos movemos sobre a curva da esquerda para a direita, observamos que ela sobe ate alcanc;ar 0 ponto A, depois desce desde A ate B e sobe, de novo, a partir de B. Logo (a) de x= - ro a x= 1, ajuni;uo ecrescente; e decrescente; de x= 2 a x = + ro, a juni;M ecrescente. (b) de x = 1 a x = 2, a juni;ao (c) Em cada ponto, como C, onde a func;ao e cresc faz urn angulo agudo com 0 eixo dos xx. 0 coefi positivo. Em cada ponto, como D, onde a func;a a tangente faz urn angulo obtuso com 0 eixo y dos xx e, portanto, 0 coeficiente angular e negativo. Temos, pois, 0 seguinte criterio: vada vada e Uma juni;uo crescente quando sua deripositiva e decrescente quando a derinegativa. e e POI' (2) exemplo, derivando (1) acima, temos dy dx = l' (x) = 6 x 2 - 18 x + 12 = 6 (x - 1 Quando x < 1, l' (x) e positiva, logo j (x) e cr Quando 1 < x < 2, Quando x > 2, l' (x) j' (x) e negativa, logo j (x) e positiva, logo j (x) e cr ~stes resultados estao de acordo com as conclu das do exame do grafico. 46. - MaxiIno e minimo valores de uma f !;oes. Um maximo (valor) de uma func;ao j (x) e u Ciao - digamos j (x o) - maior que todos os valore toma quando x e suficientemente pr6ximo a x o• x = 2. o leitor deve observar que urn maximo (valor) mente 0 maior de todos os valores que a func;ao um mlnimo, 0 menor. Assim, na Fig. c ve-se que tem valores a eii)'eita de B que sao maiores que 0 m lores a esquerd· de A que sao menores que 0 mi Se j (x) e \I.~a func;ao crescente de x quando menor que a e decrcscent.e quando x 6 ligeirame isto e, se l' (x) muda sinal de + para - quando x POI' a, entao j (x) tern urn maximo quando x = continua, j' (x) se anula para x = a. Assim, no (Fig. c), l' (x) 6 positiva em C, l' (x) = 0 em A, em D. Contrariamente, sej (x) edecrescente quando Y x e ligeiramente menor que a e crescente quando x 6 ligeiramente maior que a, isto 6, se l' (x) muda do sinal - para 0 sinal + quando x cresce atravessando a, entao j (x) tern urn minimo ~t+ para x = a. Portanto, se continua, l' (x) deve ser nula para x = a. Assim, na Fig. c, l' (x) e negativa em D, l' (x) = 0 em B, l' (x) e positiva em Podemos, pois, estabelecer as condic;oes gerais minimo da func;ao j (x). j (x) e um maximo se l' (x) f (x) e um minimo se j' (x) = 0 e j' (x) muda do = 0 e l' (x) muda do Os valores da variavel satisfazendo a equac;a mam-se valores crUicos; assim, de (2), § 45, x = valores criticos da variavel para a func;ao cujo gr c. Os valores criticos determinam pontos de reto gente 6 paralela a OX. Para determinar 0 sinal da derivada em pontos particular ponto de retorno, substitui-se nela, prim varilivelligeiramente menor que a abcissa do ponto nao tem nem maximo nem minimo para 0 valor crit Tomemos, pOI' exemplo, a fun9aO (1) acima, § 45. (1) Y = Entao, como vimos (2) l' (x) f (x) = 2 x 3 = - 9 x2 + 12x - 6 (x - 1) (x - 2). Pondo-se l' (x) = 0, achamos os valores critic:o Examinemos primeiro x = 1; consideramos valores deste valor critico e exarninamos 0 segundo memb estes valores, no que diz respeito a varia9ao do si (confronte § 45). Quando x < 1, j'(x) = (-) (-) = +. Quando x > 1, j' (x) = (+) (-) = - . Logof (x) tem um maximo quando x = 1. Pelo quadro, este valor e y = j (1) = 2. Vejamos agora x = 2. Procedendo como antes, res de x pr6ximos do valor critico 2. Quando x < 2, l' (x) = (+) (-) = -. Quando x> 2, l' (x) = (+) (+) = +. Logo, f (x) tem um minimo quando x = 2. Pelo qua valor e y = f (2) = 1. Em suma, temos a seguinte regra pratica. 47. - Primeiro metodo para 0 exame de um que concerne a maximos e minimos. Regra PRIMEIRO PASSO. SEGUNDO PASSO. l'eais da equa9ao obtida. Achar a derivada da jun9aO. Igualar a derivada a zero e Estas raizes sao os valores crit TERCEIRO P ASSO. Considerando um' valor critic examinar a derivada, primeiro para os valores da varid menores* que 0 valor critico e depois para os ligeiram *. Aqui 0 termo "ligeiramente menor" signifiea qualquer valor eompre erltico considerado e 0 valor crltico que imediatamente 0 precede. c"'"" haja Dio existe, e qualquer valor menor que 0 valor crttico em exame, oode a f ~rmo Itligeiramente maior" signifies qualquer valor entre 0 valor crftico cOD diatamente 0 segue. c&80 este exista. Be n!o ~xiste. ~ qualquer valor maio and. a funQ!o oeia definida. No TERCEIRO como no § 46. PASSO e conveniente, muitas ve Exemplo ilustrativo 1. No primeiro problema resolvid mos, por meio do grMico do. funyao A = x .ylOO - x2 , que 0 retangulo de area maxima inscrito numa circunferenci 50 m 2 • lsto pode ser provado agora analiticamente pela acima. .ylOO - x2 . SOLUQAO. } (x) = x Primeiro Passo. }' (x) ... 100 - 2 Segundo Passo. x2 . .y100 - x2 Pondo j'(x) = 0, temos x = 5 .y2 = 7,07 , que e 0 valor crftico. Toma-se apenas 0 sinal positivo do ra tureza do problema, 0 sinal negativo nao tem sentido. Terceiro Passo. < 5 .y2, > 5 .y2, Quando x Quando x entao 2 x2 < 100, entao 2 x2 > 100, + Como 0 sinal do. derivada primeira muda de para maximo valor} (5 .y"2) = 5.y2 . 5 .y2 = 50. Resp. Exemplo ilustrativo 2. Examinar a funyiio (x - 1)2 (x cerne a maximos e millimos. SOLUQAO. } (x) = (x - 1)2 (x + 1)3. Primeiro Passo. }'(x) = 2 (x - 1) (x + 1)3 + 3 (x - 1)2 = (x - Segundo passo. Logo, (x - 1) (x ~ x = I, - I, 1) (x + 1)2 (5 x + 1) . + 1)2 (5 x-I) = 0. , sao os valores crfticos. Terceiro Passo. }'(x) = 5(x - 1) (x + 1)2(x- ~). Examinemos primeiro 0 valor crftico x = 1 (C -::;...A_ no. figura). Quando x < 1,}'(x) = 5 (_) (+)2(+) = - . Quando x> 1,j'(x) = 5(+) (+)2(+) = +. Logo, quando x = 1 a funyao tem um mlnimo } (1) = 0 Examinemos agora 0 valor crftico x = ~ (B, no. figura Portanto, quando x = denada de B) ~, Examinemos finalmente a funQiio tem um ma.ximo f ( 0 ~ valor critico x = - 1 (A na f Quando x < -l,f' (x) = 5 (-) (_)2 (-) = Quando x> - 1,f' (x) = 5 (_) (+)2 (-) = Consequentemente, quando x = - 1, a funQao nao tem minimo. 48. - Maxhno ou rn.inirn.o quando l' (x) e i continua. Consideremos 0 grafico da figura abaix G, 1 (x) e continua e tern urn maximo, mas 1 '(x) e Fig. d tangente em B e paralela ao eixo dos yy. Em E, 1 nimo e l' (x) e infinita. Na pesquisa dos maximos J (x), devemos, pois, incluir como valores crUicos os va os quais l' (x) e infinita, ou, 0 que e a mesma coisa, va fazendo (1) 1 l' (x) = O. o SEGUNDO PASSO da regra do paragrafo preced ser ampliado, devendo-se considerar tambem a eq outros passos nao sofrem modifica~ao. Na figura d acima, observe que J' (x) e tambern nao e nem maxima nem minima na absci maS a fun~ao 2b I'(x) = - ----=:...:--1- o 3 (x - C)3 1 1 3(x -- c)1I J'(x) = -2b Como x = c e um valor crftico no qual l' ~x) = 0, mas infinita, examinemos a funQao no que concerne a maxim.o x = c. Quando x < c, }' (x) = Quando x > c, l' (x) = - . + Logo, quando x = c = OM, a fun9ao tern urn =a = MP. PROBLEMAS Examine cada uma das seguintes fun90es no q maximos e minimos. + 9 x. Resp. 1. x3 2. 10 3. 4. 5. 2x3 3 x 2 12 x - 4. 3 x 2 x 2 - 15 x - 20. 2x 2 - x 4• 6. x4 7. 4 6x - 2 + 12x + + x 3x 2 - + 4 - x 2 + 1. 4 x 3 - 12 x 2• - 5x 4 • - 3x 9. x5 10. 3 x5 11. x' X = 0, d x = ± 1 x = 1, d 4x. - 8. 2x3 • x = 1, d x = 3, d X = 1, d x = -2,d Nem ma - 20 x 3• 2al x +-' x = -1, x = 0, d x = 2, d X = 0, d x = 4, d x = a, d 14. ax +a x2 Resp.: x = - a, da m 2 x = a, da max. x x+a 2 15. 16. x2 19. +a x + 2a x +a (2 + (l (2 + xF (1 - 20. b + c (x - a)l. 21. a - b (x - c)T. 22. (2 + x)3 (l-x)l. Resp.: 23. x (a x 2 2 2 17. 18. 2 2 2 X)2 X)2. x? ! x = a, da min. 1 N em max. nem 2 1 + X)2 (a - x = 1, da min. x = -1, da m x = - a., da m x = - ! a, da -1. d'a ma 3 a, X - X)3. x = a, da nenh 1 2 24. (2 x - a)T (x - a)T. = 3"2 a, d"a ma x = a, da min. x = ! a, da nen 25. x+2 x + 2x + 4' x = 0, da max. x = - 4, da m x2 + x = - 3, da m x = 1, da min. 26. 27. 2 X +4 x+l x2 + x + 4 x 2 + 2 x + 4' X x = - 2, da m x = 2, da min. x a- x a2 x = - - da m a - b' 30. 31. (a - X)3 x = a - 2x x2 xt a 4' da min. + x-I - X + 1 49. - Valores maximo e minimo. Probl ca~ao. Em muitos problemas devemos, primeiro dadas condic;oes, a func;ao cujos valores maximo e curam, como foi feito nos dois exemplos desenvo lsto, algumas vezes, e muito dificil. Nao ha regra todos os casos, mas em muitos problemas podemos seguintes Diretrizes gerais. (a) Na rel~ao que envolve as grandezas do pro destaque a Jun~ao cujos valores maximo ou minimo (b) Se a rela~ao contem mais de uma variavel, p mir em Ju~ao de uma unica delas todas as demais m as cond~oes dadas pelo problema; (c) Aplicamos para a Ju~iio obtida, de uma so jd, vista (§ 47) para achar os valores maximo e mini nos problemas prdticos e usualmente Jdcil dizer qual do dd um maximo equal dd um minimo, de modo que 00 sario aplicar 0 tcrceiro passo. (d) Tr~amos 0 grdJico da Ju~iio para controle o trabalho de achar m8.ximos e minimos pode ser simplificado com a ajuda dos seguintes principio tam logo do nosso estudo sobre 0 assunto. (a) Os valores maximo e minimo de uma JU~{io alternadamente. determinar;ao dos valores criticos de x pode-se, pois, fator constante. Quando c e negativa, cf (x) procamente. e maxima quando f (x) (c) Se c e uma constante, f (x) e c valores para os me81lws valores de x. + f (x) tem m PROBLEMAS Quer-se fazer uma caixa sem tampa de urn de lata, cnjo lado mede a, cortando-se dos cantos dOB iguais e depois dobrando convenientemente Qual deve ser 0 lado dos qnadrados cort·ados afim encerre 0 maximo volume? 1. BOLUgAO. Beja. z = lade do q = altura da enta~, a - 2 z = lade do o fundo da portanto V = (a - 2 x)2 z e Eata e a fun~ao cujo maximo se pro regra, § 47, temos dV Primeira Pa880. Segundo Pa880. cdticos z = dz = (a - 2 Z)2 - 4 z(a - 2 z) = a A resolu~o de a2 - 8 az + 12 z2 = 0 ~ e ~. 2 6 :f; evidente que x = ; deve dar um minimo, pois neste cortada nao !:'obrando material para fazer a caixa. 0 outro v fornece 0 "olume maximo 2a 3 27 ' como se pode comprovar pem Logo, 0 lado do quadrado a sar cortado de cada canto d do lado da lata. Deixa-se ao leitor neste, e nos problemas segu do grMico da iunr;ao. tente possivel? SOLUQAO. Se x = largura e y = profundidade, entao a v teni maxima resistencia quando a func;iio xy2 for um maximo. figura, y2 = d2 - x 2; logo, devemos examinar a fun9aO j (x) = X (d 2 Segundo Passo. maximo. ~ - 3:r? :r?) . - 2:r? Primeiro Passo. j'(x) = - + d2 - o. .'. = :r? x = = ~ - 3 :r? • d_ = valor V3 Portanto, se a viga for serrada de modo que Profundidade = e Largura = ~f do diametro do tronco, ~ do diametro do tronco, ela tera a maxima resistencia. 3. Qual a largura do retangulo de maXIma ar insllrito num dado segmento 0.1.1' de uma parabol Sugeswo. Se OC = h, BC = h-x e PP' = 2 y, entao a area do retangulo PDD'P' e Y 2 (h - x) y. Mas como Pesta sobre a parabola y2 =2 px, a func;ao a ser examinada e a j (x) = 2 (h - x) V2 px Resp. Largura = 2 "3 h. 4. Achar a altura do cone de maximo volume esfera de raio r. Sugestao. 1 Volume do cone = "37r:r?y. Mas :r? = BC X CD = y (2r - y) ; logo, a func;ao a ser examinada e f (y) = 7r "3 y2 (2r - y). Resp. Altura do c 5. Achar a altura do cilindro de maximo volum dado cone circular reto. Logo, a fun~ao a ser examinada Ii (y) = r y (h hi - y) Resp. 6. Qual 0 Cada urn dos tres lados de urn trapezio e comprimento do quarto lado para que a are 7. Qual a razao entre os lados de um terreno re dada para que ao mura-Io e a seguir dividi-Io em do paralelo a um dos lados, seja minimo 0 comprim muros. 8. Quais devem ser as dimens5es de um jardim 432 m 2 de area para que ao mura-lo gaste-se 0 m sabendo-se que 0 vizinho do lado paga a metade pelo sua propriedade. Resp. 18 9. Um fabricante de radio acha que pode ven por semana a p cruzeiros cada, onde 5x = 375 da prodUl~ao e (500 + 15 x + x~) cruzeiros. M obtem 0 maximo lucro quando a produc;ao e aprox 30 aparelhos por semana. t 10. Supondo-se no problema anterior que a rel seja x = 100 - 20 ~: ' mostrar que 0 maximo lucro e obtido quando aproximadamente 25 aparelhos por semana. 11. 0 fa Suponha-se no problema 9 que a relac;ao x2 = 2500 - 20p. Quantos instrumentos devem se produzidos semanal haja maximo lucro? x = v'a 3 a ({3 - b) - a 3a 2 -=---------'''---~-- No problema 9 suponhamos que incida sobr um imposto de t cruzeiros. 0 fabricante acrescent custo de produyao e determinaa produyao e 0 custo diyoes. 13. (a) Mostre que imposto. (b) 0 prevo cresce pouco menos q Exprima a receita proveniente do impasto t e determine t para que ela seja maxima. (c) Mostre que 0 preyo aumenta aproximadame quando vigora 0 imposto t determinado em (b). 0 custo total de produyao de x artigos pOl' cruzeiros, incluidos os impostos de t cruz o preyo (p cruzeiros) de venda de cada artigo e p = { que 0 imposto fornece a maxima receita quando que 0 aumento no prevo e sempre menor que 0 im 14. + bx + c) Nota. Nas aplica90es em Economia a, b, c, a e {3 sao 15. Uma siderurgica pode produzir X tonelada de baixo teor e y toneladas pOl' dia de avo de alto 40-5x . 10 _ x· Se 0 preyo no mercado do de balX que 0 de alto teor, mostrar que aproximadamente de baixo teor e a produyao diaria que fornece a ma 16. Uma companhia telefonica acha que tern lucro Hquido pOI' aparelho se tem 1 000 assinantes o tayao. Se ha mais de 1 000 assinantes, 0 lucro pOI' a de 20 centavos para cada assinante acima daquele nu assinantes dara 0 maximo lucro liquido? 17. 0 custo da manufatura de urn dado artig o numero de artigos que pode ser vendido varia 18. Qual deve ser 0 diametro de uma panela d capaeidade de 58cm3 , euja constI1l9ao requer 0 mini (a) se a panela nao tem tampa, (b) se tem tampa. Resp. (a) ~ 4~4 = 5,29 em; (b) ~ 2~2 19. A area lateral de urn cilindro circular cilindro corta-se urn hemisferio eujo diametro e ig ....1 eilindro. Aehar as dimensoes do eilindro para :e tante seja maximo ou minimo. Determinar se urn minimo. Resp. Raio = 1 em, altura = ~ 20. Dentre os retangulos de lados paralelos aos dos e inscritiveis na figura limitada pelas duas parab - x 2 , 6 y = x 2 - 12, achar a area do de maxima area Dois vertices de urn retfingulo estao sobr os outros dois sobre as retas y = 2 x e 3 x + y = valor de y sera maxima a area do retangulo? 21. 22. Uma base de um trapezio is6sceles e 0 diam culo de raio a e as extremidades da outra base estao ferencia do circulo. Achar 0 comprimento da outra e maxima. 23. Um retangulo e inscrito num segmento p um dos lados sobre a base do segmento. Mostrar q a area do r-etangulo de area maxima e a are 1 e V3' 24. A resistencia de uma viga retangular varia da largura e do quadrado da altura. Achar as dim mais resistente que pode ser constI1lida com um tr cuja se9ao transversa e uma elipse de semi-eixos a Resp. Largura = 2b ~ ~; altura ,. d b I ~ equagao a traJetona e uma a a t: y=m Ad' 26, .'"1. onde a origem e a ponto do qual a bola e langada e angular da curva na origem. Para que valor de m (a) a maxima distlneia sabre a mesmo nivel horizont altura sabre uma parede vert,ieal distante de 300 p Resp. Uma janela de perimetro p tern a forma d eneimado par urn triangulo retangular isosceles. 1uz pela janela e maxima, quando as lados do reta aos lados do tria-ngulo. 27. 28. Dada a soma das areas de uma esfera e ur que a soma dos seus volumes sera minima quando esfera for igual a aresta do cuba. Quando e que e dos volumes? Achar as dimens5es do maior retangulo ins 29. 2 ~ a2 ?/2 + -'" b =] 2 30. • Resp. a V Dentre todos as retangulos com base sabr e com dais vertices sabre a CUl'va de equagao y = figura no Capitulo XXVI), achar a de maxima are Re Achar a razao entre a area da menor elip circunscrita a urn retangulo e a area do retangulo. e1ipse e 7ra9, onele a e b sao as semi-eixos. 31. 32. 0,3 dais vertices inferiores de urn trapezia pontos (- 6, 0) e (6, 0). Os dais vertices superiore curva x 2 4 y = 36. Achar a area do maximo eondigoes. + 33. A distancia entre as centros de duas esfer respectivamente e c. Achar de que ponto P sabre a"2+bT 34. Achar as dimensoes do maximo paralelep quadrada que pode ser cortado de uma esfera de raio Resp. 35. Dada uma esfera de raio 6, calcular a alt dos seguintes s6lidos: (a) cilindro circular reto de maximo volume in (b) cilindro circular reto de maxima area t esfera; (c) cone reto de minimo volume circunscrito Resp. (a) 4 V3; (b Prove que uma barraca conica de dada c sita do minimo de fazenda quando a altura e y2 vez Mostre que quando a fazenda e estendida no chao 'culo do qual se cortou um setor de 1520 9'. Quanta saria para Uilla barraca de 10 pes de altura? Resp. 27 36. 37. Dado urn ponto sobre 0 eixo da parabola Mncia a do vertice, achar a abscissa do ponto so Re e 0 mais pr6ximo do ponto dado. 38. Achar sabre a curva 2 y ponto (4, 1). = x 2 0 ponto m 39. Sendo PQ 0 maior ou 0 menor segmento q (,lado do ponto P (a, b) a curva y = j (x), provar q perpendicular a tangente a curva em Q. 40. Vma f6rmula de eficiencia de urn parafu,so e onde () e 0 angulo de fric(,lao e h maxima eficiencia. 0 passo do parafuso Resp. 41. A distancia entre duas fontes de calor A doades a e b respectivamente, e l. A intensidade tot onde x e a distancia de P a A. Para que posic;ao de P sera mais baixa a temperatura? Resp. x = 42. A base inferior de um trapezio is6sceles e uma elipse; as extremidades da base superior sao p Mostrar que 0 maximo trapezio deste tipo e tal que da base superior e metade do da base inferior. 43. Dentre todos os triangulos is6sceles de ve inscritos na elipse b2x 2 a 2y 2 = a 2b 2 , achar a base xima. Resp + Achar a base e a altura do triangulo is6sce nima que circunscreve a elipse b2x 2 + a 2y2 = a 2b2 e c Resp. Altura 3 b lela ao eixo dos xx. 44. Seja P (a, b) um ponto do primeiro quadran P tracemos uma reta cortando os serni-eixos positivo pontos A e B respectivamente. Calcular os segmento sabre OX e OY nos seguintes casos: 45. (a) (b) (c) quando a area OAB e minima; quando 0 comprimento AB e minimo; quando a soma dos segmentos determi semi-eixos e minima; (d) quando a distancia de 0 a AB e max I Resp. 2 a, 2 b; (b) a (c) a + V"(;b, b + vab; 50. - Derivada relac;ao funcional COIDO 2 2 + aT b"3, b + aa (a) 2 (d) a +a b velocidade de varia!ra y = x2 (1) deu como razao entre os correspondentes acrescimos (2) Ay /1x=2x+Ax. Dizemos, entao, que a velocidade me<:lia de variac;a lac;ao a x, ou que a rapidez media de variac;ao de y e igual a 8,5 quando x cresce de x = 4 para x = 4, Em geral, a razao (A) ~; = velocidade (ou rapidez) media de variO{ lO{iio a x quando x varia de x a x + &:. Velocidade de varia~iio constante. Quando y = ax + b, !:J.y -=a !:J.x ' (4) temos isto e, a velocidade media de variac;ao de y em relac a a, coeficiente angular da reta (4), e constante. N mente neste, a variac;ao de y (= !:J.y), quando x var valor x para x + &: e igual ao produto da velocida a pelo acrescimo &:. Velocidade de variO{iio instantanea. Se 0 interva + &: decresce e !:J.x -+ 0 entao a velocidade media y em relac;ao a x neste intervalo tende a velocidade tantdnea de y em relO{iio a x. Logo, pelo § 24, (B) ~; = velocidade (ou rapidez) de varia~iio insta relO{iio a x para um dado valor de x. POl' exemplo, de (1) acima, (5) dy dx = 2x. Quando x = 4, a velocidade de variac;ao instan unidades pOl' unidade de variac;ao de x. 0 Mrmo e muitas vezes omitido em B. I nterpreta~iio geometrica. Tracemos, como na fi de (6) y = J(x). cidade de variar;ao instantanea quando x = OM e igual ao coeficiente angular da 0 tangente PT. Logo: A velocidade de variar;iio instantanea de y em P velocidade de variar;ao de y ao longo da tangente em P Quando x = Xo, a velocidade de variar;ao insta f (x), pOl' (6), e l' (xo). Se x varia de Xo para Xo + exata de y nao e igual a l' (xo) ~x, a nao ser que l' (x como em (4). Veremos mais tarde, contudo, q e aproximadamente igual a ~y quando ~x e suf queno. 51. Velocidade num movimento retilmeo nas aplicar;oes a velocidade de variar;ao em relar;ao ao tempo. Neste -:-~, $ A 0 caso esta, pOl' exemplo, a velocidade num movimento retiHneo. Consideremos 0 movimento retilineo de urn p reta AB. Seja s a distancia de P a urn dado ponto o - num dado instante t. A cada valor de t corr sir;ao de P e portanto uma distancia (ou espar;o) s. funr;ao de t e podemos escrever s Demos a t urn acrescimo (1) ~t; = f (t). entao s recebera urn ~; = velocidade media de P (quando 0 ponto se move de P para PI) no in ~t. Se P se move uniformemente (isto e, com tante), a razao acima tera 0 mesmo valor para todo in e e a velocidade em cada instante. v = dj' A velocidade num dado instante e a derivada da em rela~ao ao tempo, calculana nesse instante. p~o) Quando v e positiva, a distancia s e uma fun<;a e 0 ponto P se move na direr;ao AB. Quando v e ne fun<;ao decrescente de t e P se move na direr;ao BA Para mostrar que esta defini<;ao de velocidade com a que ja tinhamos intuitivamente, procuremos um corpo que cai, no fim de dois segundos. A experi~ncia mostra que urn corpo que cai liv sir;ao de repouso num vacuo perla da superficie da te ximadamente a lei (2) onde s = altura da queda em metros, t = tempo Aplicando a Regra Geral (§ 27) a fun<;ao (2), temo PRIMEIRO P ASSO. SEGUNDO PASSO. TEROEIRO PASSO. s + !1s = 4,9 (t + !1t)2 = !1s = 9,8 t . !1t ~s = 9,8 t ut 4,9 + 4,9 (!1t) + 4, 9!1t = ve no tem Fazendo t = 2, (3) 19,6 + 4,9 !1t = ve int po do que N ossa nor;ao intuitiva de velocidade nos diz lo .pode dar a velocidade no Jim de dais segundos, poi velocidade no fim de dois segundos e 0 . limite da quando At diminui tendendo a zero, no caso atual, 1 segundo, como resulta de (3). Assim, a no<;:ao de adquirimos com a experieneia, envolve :1 ideia de . -As = 19,6 m pOl' segund o. v = hm .0.1-+0 At 52. - Velocidades inter-relacionadas. Emm aparecem diversas variaveis, sendo cada uma delas tempo, relacionadas entre si pelas condiyOes do pr la90es entre as velocidades de variayB.o, em relayB.o variaveis sao obtidas pOl' derivayB.o. A regra abaixo e muito utH na resoluyB.o destes Trace uma jigura ilustrando dique por x, y, z, etc. as grandezas que variam com 0 PRIMEIRO PASSO. SEGUNDO PASSO. Obtenha 1lma rela~ao entre as em cada instante. TERCEIRO PASSO. QUARTO PASSO. Derive em rela¢o ao tempo. F~a uma lista dos dados e das SUbstitua as grandezas conheci que achou por deriv~ao (terceiro passo) e resolva a .obtida. QUINTO PASSO. PROBLBMAS 1. Um homem anda a razao de 5 milhas POl' a base de uma torre de 60 pes de altura. Com qu av,izinha do topo quando csta a 80 pes da base da SOLUl,;A:O. Aplicando a regra acima, Primeiro Passo. Tracemos a figura. Sejam x = diatAn e a base, y = distancia entre 0 homem e 0 tOpo da torre, Segundo Passo. Como temoa um triangulo retangulo, 11 = :r? + 3600. ~__...;;:x,--_~l di=yd M lsto signifiea que, em ea (Velocidade de varia9ao de y) = .::. vezes (velocidade de var y dx di x = 80, Quarto passo. = - 5 = - m i1ha 5 X 52 V Xl + 3600 . y = dy di = 100 = ? Substituindo em (1), Quinto Passo. dy 80 dt = = - 100 X 5 X 5280 pes por hor 4 milhas por hora. Resp. 2. Urn ponto move-se sabre a parabola 6 y = que quando x = 6 a abscissa cresce com a velocida segundo. Com que velocidade cresce a ordenada SOLU~AO. Desenhemo6 a parabola Primeiro Passo. Segundo Passo. Terceiro Passo. 6 y = Xl. 6 dy dt = 2 dx ou x dt ' (2) lsto signifiea que, em cada ponto do. parabola, (velocidade da ordenada) = ~ vezes (velocidade da ab y Quinto Passo. dx III x = 6. Quarto Passo. = 6Xl = 6. = 2 em por segundo. dy dt -- = ? Substituindo em (2), dy di = 6 "3 X 2 = 4 em por segundo. Resp. Do primeiro resultado notamos que no ponto P (6, 6) a o vezes mais rapidamente que a abscissa. que 0 raio cresce com a velocidade de 0,01 cm pOl' que velocidade de vaJ;ia<}ao cresce a area do prato tern 2cm? SOLUQAO. Entao Seja x = raio e y y = = area do prato. 7r:z? dy = 2 7rX dx . dt dt (3) POltanto, em cada instante a area do prato cresce, em em qua. rnais rapidamente que 0 raio em centfmetros. x = 2, dx & = 0,01, Substituindo em (3), ~ = 2 7r X 2 X 0,01 = 0,04 7r cm2 por segundo. A 12 pes de altura de urn passeio reto e h presa uma fonte de luz. Sobre 0 passeio e afastan com a velocidade de 168 pes pOl' minuto, caminha urn de altura. Com que rapidez varia 0 comprimento da som 4. SOLUQAO. Seja x = distiincia do rapaz de urn ponto si sob a luz Ley = comprimento da sombra do rapaz. Da figura, y : y + x = 5 : 12, L 5 y ="7 x . ~t:} '" 8 M F Derivando dy 5 dx &=7&; portanto, a rapidez com que varia 0 com bra sao os 5/7 da rapidez com que and pes por minuto. 5. Urn ponto move-se sobre a parabola y2 = 1 que sua abscissa cres<}a uniformemente na razao d gundo. Em que ponto crescem a abscissa e orden rapidez? 7. Faz-se a atraca~ao de urn barco cujo tom pes aba,ixo do myel do cais por urn cabo passando ilO assoalho do cais. 0 cabo e arrastado por urn gui de 8 pes pOl' minuto. Qual a rapidez com que se quando esta a 16 pes do cais? Resp. 10 8. Urn barco esta preso pelo cabo de urn gu 20 pes acima do myel em que 0 cabo se prende n afasta:"se 8 pes por segundo. Com que rapidez se d quando 0 barco esta a 30 pes do ponto diretamen guindaste? Resp. 6,66 pes p 9. Urna extremidade de uma escada ap6ia-se pendicular ao plano onde esta a outra extremidad carla e afastado da parede a. razao de 3 em por m ta-se: (a) Com que rapidez desce 0 topo da escada q a 14 em da parede; (b) quando 0 pe e 0 topo se m rapidez; (c) quando desce 0 topo a razao de 4 em p Resp. (a) em por minuto; (b) quando muro; (c) quando a 40 em do mur i 10. Urn navio dirige-se para 0 suI com a velo por hora; outro para 0 este com 8 km por hora. A gundo passa pelo ponto onde 0 primeiro estivera d Pergunta-se: (a) como variava ·a distincia entre e (b) como as 17 horas; (c) quando a distancia nao Resp. (a) Decrescendo 2,8 km.p.h.; (b) km.p.h.; (c) 15 h. 17 minutos. 11. por hora. 0 lado de urn triangulo equilatero mede a e Com que velocidade crescera a area do t Resp. ! a k V3 cm 2 po 12. A aresta de urn tetraedro regular mede 10 em por minuto. Com que velocidade crescera 0 volum 13. Se nurn determinarlo instante as dimensoe gulo sao a e b e variam com velocidades men respec trar que a area do retangulo varia com a velocidad paralelepipedo? 0 periodo (P seg.) de uma oseilaQao eomp dulo de eomprimento l pol. e dado pela formula Aehar a veloeidade com que varia 0 periodo em rela mento quando l = 9 pol. Por meio deste resultado damente a variaQao de P eausada pela val'iaQao d 9,2 pol. Resp. 0,054 seg por 15. 16. 0 diametro e a altura de urn cilindro reto determinado instante 10 em e 20 em· respeetivame metro ereseer 1 em pOl' minuto, como variant a al se seu volume permaneeer eonstante? Resp. Deereseera 4 em 17. 0 raio da base de urn cone cresce 3 em p altura decresce 4 em por minuto. Como variara cone quando 0 raio for igual a 7 em e a altura 24 e Resp. Crescera 967f" cm 2 18. Urn cilindro de raio r e altura h tern um hem eolocado em cada extremidade. Se r crescer t em pO devera h variar para manter 0 volume do curpo 0 me tante em que r e igual a 10 em e h igual a 20 em. 19. Deixa-se cair uma pedra num POQo e, t s outra. Mostrar que a distancia entre as pedras cre cidade de t.g pes por segundo. Urn balao contem 1000 pes cubicos de gas libras POl' polcgada quadrada. Se a pressao decres 0,05 libras por polegada quadrada por hora, com eresce 0 volume (use a lei de Boyle: pv = c). Resp. 10 pes eubicos pO 20. A lei adiabatiea para a expansao do ar e o volume observado num determinado instante, e 21. Se y = 4 x - x 3 e x cresce constantemente dade pOI' segundo, achar com que velocidade 0 coe da curva varia no instante em que x = 2. Resp. Decrescendo 4 unidades pO 22. 23. De uma torneira cai ligua em urn vaso de rica, com 14 em de diametro, it razao de 2 cm3 pOI' que velocidade esta a agua subindo: (a) quando ocu vaso? (b) quando comeya a transbordar? (0 volum esferico e 7T' r h 2 7T' h 3 , onde h e a altura do se f De urn balao esferico escapam 1 000 cm3 de No instante em que 0 raio e igual a 10 cm: (a) com o raio decresce? (b) com qun velocidade a superfici Resp. 200 cm 2 pO 24. 25. Se r representa 0 raia de uma esfera, S dV o volume, provar a rela9ao dt r dS 2 dt =- - . 0 leito de uma estrada de ferro forma com rodagem urn angulo de 600 • Uma locomotiva esta terse9ao e se afasta dela com a velocidade de 60 kIn automovel esta a 500 m da interse9ao e para eIa se di cidade de 30 km pOI' hora. Qual e a velocidade d distancia entre a locomotiva e 0 automovel? Resp. Cresce 15 km pOI' hora ou 15 V3 k 26. 27. Uma tina horizontal com 10 m de comprim se9ao vertical urn triangulo retangula isosceles. E de agua it razao de 8 m 3 pOI' minuto. Com que ve superficie da agua quando a mesma tern 2 m de pro R esp. 1 '5 m p 28. No problema 27, que volume de agua deve pOI' minuto para que 0 seu nivel suba m pOI' min. tem 3 metros de profundidade? t 29. Urn recipiente horizontal com 12 m de co como se9ao vertical, urn trapezio. 0 fundo deste m 30. No Problema 29, com que velocidade a agu rada do recipiente para que 0 seu rrivel baixe de 0,1 quando ela tern 3 m de profundidade? 31. A abscissa da interseoao com 0 eixo dos x gente ao ramo positivo da hiperbole xy = 4 creRce pOI' segundo. Seja B a intersec;ao da mesma tange dos yy. Achar a velocidade de B no fim de 5 segun que a abscissa da intel'sec;aO com 0 eixo dos xx parte Resp. - ~ unidades POI 32. Urn ponto P se move ao longo da parabola y que Sua abscissa cres9a na razao constante de k un gundo. A projec;ao de P sabre 0 eixo dos xx e M. cidade varia a area do tl'iangulo OMP quando Pesta o qual x = a? 3 _ /Resp. 4' k va unidades pOI' s OurROS PROBLEMAS Retangulos inscritos na area limitada pela pa e a sua corda focal perpendicular ao eixo e tais que ur esteja sempre sobre a corda focal, servem de base a retangulos cujas alturas sao sempre iguais as do la eixo dos xx. Achar 0 volume do maior desses paral 1. 4096 _ r Resp. 125 V 5 = 73,27. 2. Dentre as elipses simetricas em relac;ao ao nados, passando pelo ponto fixo (h, k) achar a de ar Resp. k 2x 2 + h 2y2 = 2 h A curva x 3 - 3 xy + y3 = 0 tern urn' trech quadrante simetrico em rela9ao a reta y = x. Tria tendo urn vertice comum na origem e bases sobre a r estao inscritos nesse trecho. Para que valor de a se angulo de area maxima. Resp. t (1 + V 13) = 2 4. De urn ponto P, do primeiro quadrante, s <.:urva· 11 = 'i - x 2 , tra90u-se uma tangente, que corto 3. Resp. Ordena 5. 0 custo da constrw;ao de urn edificio e $50 meiro pavimento, $52.500 para 0 segundo, $55.000 e assim sucessivamente. Outras despesas (terren cerces, etc.) importam em $350.000. A renda liquid pavimento e $5.000. Que numero de pavimentos maior rendimento neste investimento? 6. 0 COilsumo de urn artigo, que se vende aos q mente proporciong,l ao imposto que incide sobre e que 0 consumo e de ?n quilos quando 0 artigo nao e quando a taxa e de t cruzeiros pOl' quilo, achar a ta ;mpost-4 a cada quilo para se tel' a maxima renda Urn triangulo ABC e farmado POl' urna cor bola y = k x 2 e as tangentes AB e AC em cada extrem Se BC permanece perpendicular ao eixo da parabol do vertice com a velocidade de 2 unidades POl' se velocidade de variay3.o da area do triangulo quan esta a 4 unidades do vertice. 7. 8. Urn tanque cilindrico vertical de raio igual tern urn orificio de raio igual a 1 polegada em sua dade com a qual a agua contida no tanque escapa e mula v 2 = 2 gh, onde h e a profundidade da agua e da gravidade. Qual e a rapidez de variayao da ve Resp. Decresce l~g pes pOl'. segundo qu 9. Uma luz dista 20 pes de uma parede e esta centro de urn corredor que 6 perpendicular a pared com 6 pes de altura percorre 0 corredor eln dirC9ao velocidade de 2 pes pOl' segundo. Quando ele esta rede, com que velocidade a sombra de sua cabC9a rede? Resp. de t DERIVACAO SUCESSIVA E APLICA 53. Defini~ao de derivadas sucessivas. Vi vada de uma fun<;:5.o de x e tambem uma fun9ao d func;:ao pode tambem ser der:'vavel e neste easo a d vada primeira e ehamada derivada segunda. Sem derivada da derivada segunda ehama-se derivada t sueessivamente, a derivada da derivada (n - 1)-e derivada n-egesima. Por exemplo, se = 3 x4, y dy = 19 _. dx .t;-, OJ 3:... (dY) = dx dx 36 x 2 3:- [3:.(dU )] dx dx dx ' = 72 X, pte ' . N otar;fio. Os simbolos para as sueessivas deriv guintes: 3:... (dY) dx dx _dy - dx 2 2 ' 2y d (d dx ddx3 yc ) et --=3 dx~ , Para. y = j (x), as derivl1das sueessivas sao indiea dy d~ = y' = l' (x) ; d3y dx 3 = y"' = jlJ' (x) ; No exemplo dado aeima e mais eomoda a no y' = 12 xa, y" = 36 x 2 , y'" = 72 x, yIV = 72. 89 (1) Derivando em relac;ao a x (§ 41). dy 2 b2 x - 2 a 2y dx = 0, ou (2) Derivando de novo e 1embrando que y e func;ao Substituindo ~; pe10 valor dado em (2) a 2b2 y _ a 2b2x ( b~x ) a 2y b2 (b2x2 a4 y PROBLEMAS Verifique os resultados abaixo 1. Y = 3 x4 2. s= va -I- bt. 2 XZ - + 6 x. dO d-Y2 = 36 x d3s dt 3 = 8(a + 3. a bx y = a- b x' 4. U= va 2 + v 2. x2 = a+x' 2 '1 d y = dx 2 (a - d2u dv -= 2 (a 2 d 2y -= 2 (a dx 8. dxn dx 2 71 2 = d 4 ax. (x In + 1)n+! = 2y dx 2 d 2 y = _ ~. f1 dx 2 a 2y 3' d 11. 12. = d 2y 9. 10. 2 (- l)n dny 2 Y=x+l" ax 2 d 2y + 2 hxy + by2= 1. 13. dx 2 h 2 - a"b (hx + by)3 d 2y dx 2 = -11 d 2y 14. dx" = 2x 2 y4 - x 2y2 x 2y3 Nos exercicios 15 - 25 achar os valores de y' e 71" dados as variaveis. 15. 16. 71 = - a + _/; 2 Vax vax y = V 25 - 3 x; x = x + 9; _ /-- x" = = a. Resp. X Y' = 3. I x = 4. 17. Y 18. x 2 - 4 y2 = 9; x = 5, y = 2. 19. 20. x 2+4xy+y2+3=O; x = 2, y = - 1. y'=O y = (3 - X2)4; x = 1. 21. 71 = V VI + 2 x; 22. Y = vx2+4; x=2. 23. Y xV3 x-2; x=2. . y' = t x = 4. _3/-- = Y = 24. y2+2xy=16 25. X 3- xy 2+ y3= d 2'IJ Para as fun90es abalxo achar d;2 . 26. Y -= x 3 - - 3 x • 29. Y= x Va y de \UIla curva. Quando o ponto P (x, y) percorre iuna curva, 0 coeficiente x angular da tangente a o curva no ponto P varia. Quando a tangente esta abaixo da curva (Fig. a), nas proximidades de P, e concavo para cima; qua ests. acima da curva (Fig. b), 0 arco e concavo p Fig. a, 0 cocficiente a,ngular cresce quando P descr logo, l' (x) e uma funQao crescente de x. Por out b, quando P descreve 0 arco QB, 0 coeficiente ang l' (x) 13 uma funQao decrescente. No primeiro caso, 13 positiva, no segundo caso, degativa (§ 45). seguinte criterio para determinar 0 sentido da c ponto. o grdjico de y = j (x) e c6ncavo para cima se a de y em rela~ii.o a x e positiva e c6ncava para baixo e negativa. 56. - Segundo O1etodo para 0 exanle de O ninlos. Em A, na Fig. a do pars.grafo precedent cavo para cima e a ordenada tern urn maximo, i 1" (x) e positiva. Em B, na Fig. b, j' (x) = 0, 1" Podemos, entao, estabelecer condiQoes suficient e minimo valores de j (x) para valores criticos da segue: j (x) j (x) e um e urn mdximo se minimo se l' (x) = l' (x) = 0 e 1" (;/:) = Temos, pois, a seguinte regra prdtica para e minimos de uma funQao. PRIMEIRO PASSO. . nume ° e 1" (x) = nume Achar a derivada da 0 jun~ao. Igualar a derivada a zero e ach obtida (os valores criticos da varidvel). SEGUNDO PASSO. da equa~ii.o ex TERCEIRO PASSO. Achar a derivada segunda. Quando 1" (x) = 0 ou nao existe, 0 processo a bora possa haver, eventualmente, maximo ou minim neste caso, 0 primeiro metodo, dado no § 47, de Usualmente, 0 segundo metodo nao falha e, se 0 pr a segunda clerivada nao e muito longo ou mon6ton mente, 0 metodo mais comodo. Exempl0 ilustratiyo 1. Apliquemos 0 metodo acima no e encontrada no exemplo desenvolvido na pagina 60. j(x) = :r? J'(x) = 2x SOLUQXO. Primeiro Passo. + 432 x . _ 43; . x 432 2x - - 2 =0 x ' Segundo Passo. x = 6, valor crftico }"(x) = 2 Terceiro Passo. Quarto Passo. }"(6) = Logo + 864 z3 +. j (6) = 108, minimo valor Exempl0 ilustratiyo 2. Examinar x 3 - 3 :r? - 9 x maximos e minim08. Usar 0 segundo metodo SOLUQXO. J (x) Primeiro Passo. J'(X) = 3:r? - 6 x - 9 . = x3 - 3 :r? - 9 x + 5 no +5 . Segundo Passo. 3:r? - fix - 9 = 0 ; portanto, 08 valores crfticos sao x = - 1 e 3. Terceiro Passo. I"(x) = 6 x - 6. Quarto Passo. }"(- 1) = - 12. •• •J( - 1) = 10 = (ordenada de A) = ma 1"(3) = + 12.. ' . J (3) =0 - 22 (ordenada de B) = minimo val 1. +3x x 2. x3 3. 2 x3 4. 2 + 4. 3x - 3 ax 2 - x = - 2, 2. - +a + 12 x + 3 x 3• 2 (a> 0) 2 x 3• - x = 0, da x = - 1) x = 1, da x = 0, da x = a, mi x = 2, da x = - 1, - 3 -_. 3 - 12 x 5. 3x - 2x 2 6. 3 x4 7. x4 _. 4x 4 x2 - 4x 3 2 X + 2. + 4. 1 d" = 2, a - = = x = x = 0, da -. 1, 2, da 0, da x x x = ± 8. ax 10. +a x + 9 x + 27 x + 9. 12 x + 9 x 4 11. x 2 (x - 9. x 2 3 2 2 2 - 4F. 3 '2, X = x x 12. V2 = a, da = - a, o X-+ x 3 ];3. 13. Deve-se fazer uma caixa retangular com b 14. sem tampa. Achar 0 volume da maxima caixa qu com 1200 pes quadrados de material. Resp. -1000 p Deve-se construir um tanque. de base q tampa com capacidade para 125 m 3 de agu&'. Send pre90 do m 2 de material para as faces e de Cr$ 100,0 quais as dimensoes para que 0 pre90 seja minimo. Resp. Urn cubo d 15. Deve-se fazer urn canteiro com 800 m 2 e e seio com 3 m de largura ao longo de dois lados parale 16. murado ao lange de tres dos seus lados. Mostre qu o muro e minima quando 0 comprimento do lade dobro do comprimento do outro lado. Deve-se fazer uma tina de uma pe9a reta dobrando...ge as quinas de modo a que uma se9ao t lido obtido seja urn retangulo. Sendo 14 em a l qual deve ser a profundidade da tina para que tenh cidade. Re 18. 19. Uma janela formada pOl' urn retangulo triangulo equilatero tern 15 pes de perimetro. Ach da janela, sabendo que POl' ela passa 0 maximo de Resp. 0 retangulo tern 3,51 pes de largura e 2, 20. Uma esfera de madeira pesa w quilos. Q lindro circular reto mai.s pesado que se pode cortar R esp A geratriz de urn cone circular e uma d 21. Acbar a altura SPo 0 volume e maximo. Resp Uma lata de gasolina consiste de urn cilin 22. urn cone cuja altura = ~ do diametro. Mostre qu capacidade, tem-se 0 minimo de material necessa da lata quando a altura do cilindro e igual a altur 23. Dada a parabola y2 = 8 x e 0 ponto P ~6 achar as coordenadas dos pontos da parabola que ximam d.e P. Urn triangulo is6sceles tern 20 pes de base Quais as dimensoes do maximo paralelogramo inscr sabre a base do triangulo, se 0 angulo agudo do arc tg Resp. 24. t? 25. QueI' se caval' uma passagem do ponto A B, situado 200 pes abaixo e 600 pes a esquerda do 26. Uma folha de papel para cartaz deve cont drados. As margens superior e inferior devem ter 6 laterais 4 polegadas. Quais as dimensoes para que a seja maxima? Resp. 4,90 X Uma corrente eletrica atravessa uma bobi exerce uma for9a F s6bre urn pequeno ima cujo eixo passando pelo centro da bobina e perpendicular ao 27. fOl"l~a e dada por F da bobina e 0 ima. = x - - - - I i ' onde x e a distancia (r 2 + x 2)"i' Mostre que F e maxima para x 57. - Pontos de inflexao. Dm ponto de infle curva separa arcos de concavidades voltadas par,a trarias (V. § .55). N a figura abaixo, B e um ponto de inflexao. Q to que descreve uma curva passa por um ponto de in vada segunda muda de sinal e, se continua, deve anul logo, temos: (1) Nos pant08 de inflexao, j" (x) = 0 ° Entre as raizes da equa9ao 1" ex) = estao as pontos de inflexaQ.. Para determinar a dire9ao da c vizinhan9a de um ponto de inflexao, examine u sina meiro, para valores de x ligeiramente menores que ponto de inflexao e, depois, para os ligeiramente maio muda do sinal + para 0 sinal -, a concavidade e p querda e para baixo a direita; em y rio, a curva e concava para baixo para cima a direita. Na vizinhan9a de urn ponto o X concava para cima (como em A acima da tangente e num ponto onde a curva e canc (como em C), a curva fica abaixo da tangente. Cons num ponto de inflexao (como B), a tangente atravess SEGUNDO PASSO. Iguale J" (x) a zero e ache a aqua<;fio. TERCEIRO PASSO. Fixada uma destas rafzes, de J" (x),'" primeiro para valores ligeiramente menor depois para valores ligeiramente maiores. Se J," (x) ao, passar de um valor menor para um maior, entao Jlexao. Se 1" (x) = Se 1" (x) = +,.a curva e c6ncava para cima ~ e c6ncava a C'urvo· para baixo ,,- Algumas vezes e conveniente fatorar 1" (~) an Passo. Admite-se que l' (x) e 1" (x) ~ao continuas. A blema 2, abaixo, mostr.a como interpretar 0 caso 1"(x) sao ambas infinitas. PROBLEMAS Examinar as curvas seguintes no que conceme flexao e concavidade 1. Y = 3 x4 SOLU9AO. - 4 x 3 + l. J (x) = 3 x4 - +1• 4 x3 Primeiro PG880. 1" (x) = 36 r- - 24 x . Segundo PG880. 36 r- - 24 x = 0 • • 2 0 sao - aa raUles. I_ • • X = 3' e x = Terceiro PG880 1"(2) = 36 x (x - f) . Se x < o. 1" (x) = Be >x> O,}" (x) f Portanto, a curva ~ c6ncava para cima direita de x = 0 (A na figura). =- . a esquerda e c6 Quando 0 < x < 3'2 ,}"(:&) Quando x > 3' ' 2 o +. }"(x) = = - . +. • lato pod, set lelObrado fAcilmente se dissermos que um vasa modela esta e ,cr.c. a para cima, contem (+) lI.gu.. e quando e cOncava para ba A, cllncava para baixo entre A (0, 1) e B todo ponto a direita (i- ,¥r), e concav de B. 2. I~ ~ (y - 2)3 4). = (x - Primeiro Passo. y= dy dz =" dJy = dz 2 - Segundo Passo. Para z = 4, as derivadas primeira e seg dJy z<4'dz2 =+' Terceiro Passo. dJy z> 4, dz 2 = - . Podemos, pois, concluir que a tangente err; (4,2) e perpen =, que :\ esquerda de (4,2) a curva e cllncava para cima e a logo, (4, 2) e um ponto de IDnexiio. y = 4. y = 5 - 2x 5. y = 6. y = x 4• 8. x 2• Concava toda pa Coneava toda pa Coneava querda cima a Concava toda pa 36 x+ 25. Concaya querda cima a 1 9. Y = x +- . 1 x Resp. - x 2• x 3• y = 2 x3 - 3 x 2 - y = 24 x 2 - x 4• 58. - Tra!;ado de curvas. 0 metodo element curva cuja equa~ao e dada em coordenadas retan o leitor jli sabe, 0 de exprimir uma das variaveis nao ser possivel exprimir uma das variaveas em fu como no caso da equac;ao de uma curva algebrica superior ao segundo. Como e, usualmente, a forma que se quer, 0 calculo nos fomece meios mais podero recordado para a determinac;ao da forma de uma c derivada primeira fomece 0 coeficiente angular da ponto, a derivada segunda, a direc;3.o da concavidade valo. Combinados estes resultados, temos uma ide curva. Para ajuda ao estudante de como procede damos abaixo a RelJra para 0 trar;ado de curvas (em coordenadas r PRIMEIRO PASSO. Ache a derivada primeira; il ache as raizes reais da equar;iio obtida. Como as abs de maximo e minimo estiio entre estas raizes, examine-a SEGUNDO PASSO. Ache a derivada selJunda; il ache as raizes reais da equar;iio obtida. Como as abs de inflexiio estiio entre estas raizes, examine-as uma a TERICEIRO PASSO. Calcule as ordenadas corresp lores das raizes achadas nos dois primeiros passos. Cal quantos necessarios para dar uma boa ideia da forma um quadro como 0 que jizermos para 0 problema des QUARTO PASSO. lvE arque os pontos determinad curva passando por eles, valendo-.se, para isso, dos resu pelo quadro. Quando os valores das ordenadas calculadas melhor reduzir a escala sobre 0 eixo dos yy afim de trac;ado dentro dos limites do papel usado, mostr da curva. Deve-se usar papel quadriculado. Os r ser tabulados como nos problemas que resolvemos. valores de x devem seguir urn ao outro, crescend PROBLEMAS Trace as curvas seguintes, fazendo uso da reg tambem as equac;oes da tangente e da normal em inflexao. x = Segundo Passo. y" ,;" 6 x - 18 = Terceiro Passo. ~I 0 2 3 4 6 Quarto Passo. ao lado. 1/ I 1/ I +0 -7 13 11 9 29 -0 x = 1/" - - 0 + + + I Observ. mb. pt. de inf!o min. Marcando os pontos e tra9ando a curva Para achar as equR90es cia tangente e da normal no Pl (3, 11) use as f6rmulas (1), (2), § 43. Isto da 3 x + y = e 3 'V - :I: = 30 para a normal. 2. 3Y Resp. = x3 + 3 x2 - 9 X II. Max. (-1, !j)j min. (3, - !j)j ponto d tangente, 4 x+y-4=0; normal, x- 6 y = 12 - 24 x - 15 x 2 - 2 x3. Resp. Max. (- 1, W); min. (- 4, - t)j p ( Y 5 = x4 Resp. 19 - 2' 12)' - 8 x 2• Max. (0,0); min. (± 2, - 16); po 2 _ /-:- 80 (±"3 v 3, - g-). 5. y = 5 X-X'. Resp. 6. y= Resp. Max. Max. (1,4); min. (-1, -4); ponto d 6x x2 +3 (...13, V3); min. (3 . V3, - V3): po 3 (- 3, - 2)' (0,0), (3, 2)' y = a. y = +6x 4 +3x - Xl 2• 18. Xl. ay = x = x 2 (9 - x 2). 12. Y 13. y=2:l-6 -5x 2. 14. Y =3 15. Y = 16. 1/ 17. x6 - x5 - 5 21. Y 22. y= 23. x 2y = 24. x 3y + = x2 x 3• 5x 4. x(x 2 - 4)2. a4 ay = x 2 x· = +-.,' ( 59. - Acelera!;ao num movimento retiHneo finimos a velocidade de urn movimento retilinco c da distancia em relac;ao ao tempo. Pois bern, a a defini<Jao, a derivada da velocidade em rela~ao ao tem dv (A.) Acelera~iio = a = dt . De (C), § 51, obtemos (B) . pOlS v= ds dt' Tendo em vista os § § 45,47 e 56, podemos dize instante t = to: v v e crescente, se a > 0; e decrescente, se a < 0; = 0; tern urn maximo valor, se a < 0 e v = 0; v tem urn maximo (urn minimo) va,lor, se a = de + para - (de - a +) quando t passa por to. No movimento retilineo unifol'memente acelerad Assim, no caso da queda livre (por ac;ao da grav a = 9,80 m por segundo quadrada. Precisamente, s tern urn minimo valor, se a> 0 e v 8 ds v=-=98t dt " a = 9,8 = tempo em segundos. Achar a velocidade e a em cada instantej (b) no fim do primeiro segundo quinto segundo. t (1) SOLUQAO. (a) Derivando ou, de (C), § 51, s = 4,9t2 ds dt = 9,8 t, v = 9,8 t m. por segund (2) dv dt = Derivando de novo (3) ou, de (A) acima, 9,8, a = 9,8 m. por (seg.)2, que nos diz ser constante a acelera«;ao em queda livre; em velocidade cresce 9,8 em por segundo em cada segundo do (b) Para achar v e a no fim do primeiro segundo, faz-se Portanto v = 9,8 m por segundo, a = 9,8 m por (seg.? (c) Para achar v e a no fim do quinto segundo, faz-se v Logo = 49 m por segundo, a = 9,8 m por (seg.)2. Dadas as seguintes equa«;oes de movimento linear, ach cidade e acelera«;iio no instante indicado. 2. 3. 4. 5. Rcsp. s = 4, v = = 2. s = 224, v 8 = 120 t - 16 t = 4. x = 32, v = x = 32t-8t 2 j t = 2. y = 6t 2 -2t3 j t = l. y = 4, v = s = 4 t2 8. t +1 ; t = 2. 8 = 16 t 2 - 20 t + 4j y = 100 - 4 t - 8 t 2 j x _ /- 10. 6 tj t t 2j s=i 7. - 8 = v 5t+ 8 = ~3 t 10 _/- j v5t + 2; t t t t = 2 "3, v = 2. = 3. = 5. = 2. N as problema s3guintes achar a aceleragao no in 11. 12. v=80 -32 tj t=O. v=4t L lO;t=2. Rcsp. - 32. 6. 13. v= 15. 8 = 120t - 16t 2 • 16.8=3c 2t-t3 • 17.8=5t+ 18. UillJ. bola atirada verticalmente para ci gundo a lei. s = 80 t - 16 t 2 • Achar (a) a posi93.0 e a velocidade dep,ois de depois de 3 seg.; (b) qual a altura que atinge; (c) q quarto segundo. Se a equa9ao de urn movimento retilineo mostre que a acelera9ao e negativa e proporcional a cidade. 19. 20. A altura (8 em) alcan9ada em t segundos projetado verticalmente para cima com uma velocida seg. e dada pela f6rmula S = v1t - ! gt 2. Achar a maxima altura atingida pelo corpo. Supondo no problema precedente VI = achar: (a) a velocidade no fim de 4 seg. e no fim de tancia percorrida durante 0 quarto seg. e durante 0 21. 22. Um carro faz uma viagem em 10 min., gundo a lei s = 250 t 2 t4, onde t e medido em pes. Pergunta-se: (a) qual a distancia que percorre; cidade maxima; (e) qual a distancia percorrida qu vebcidade e a tingida. t Re8p. (a) 12.500 pes; (c) 6.9-14 pes. OUI'ROS (b) 1924 pes pO PROBLEMAS Trace a curva (4 - 2 x + x 2) y = 2 x - x 2 90es da tangente e da normal em cada ponto de infle Re8p. Mix. (1, Ponto de inflexao ( x - 2y = 0; normal, 2x + y = O. flexa~ (2, 0); tangent.c, x + 2 y 2x - y - 4 = O. 1. t). 104 DERIVAI;XO SUCESSIVA E APLICAQOES 2. UIIl..a certa curva (a tratoria) e tal que 0 cadlJ: tangente (distancia do ponto de contato a in eixo dos xx) e constante = c. Mostrar que (a) dy = dx ± Y Vc~_y2' 3. Determine k afim de que as normais no flexao da curva y = k (x 2 - 3)2 passero pela orige Resp. k DERIVACAO DAS FUNCOES TRANSCEN APLICACOES Consideraremos agora fun«oes como sen 2x, 3%, log (1 chamadas Jun~i5es +x 2 ), transcendentes. 60. - F6rxnuIas de deriva~ao; segunda list abaixo serao deduzidas neste capitulo, e, com as f6 compreendem todas as formulas de deriva9ao usada x dv d dx 1dv dx (In v) = -v- = -; dx . Xa .!!:.... (log v) = log e dv . XI XIa XII v dx dx d dv - (a-) = a-Ina - . dx dx dv d dx (e-) = e· dx . d - (u-) dx· du dx = vu--1 - dv + In u . u· -dx . dv ax XIII d -d (sen v) x XIV -(cosv) = - sen v - . XV XVI (In = cos v -,- . d dx dv d.'r. d () • du dx tg v = sec· v dx . d dv dx (ctg v) = - cossec 2 v dx . 105 XIX xx XXI XXII d dv dx (vers v) = sen v dx . d dx (arc sen V) = dv dx VI _ v 2 dv dx d -(arccosv).= - ax VI - dv d dx dx (arc tg v) = 1 v2 + v2 • dv XXIII XXIV XXV XXVI d -d (arc ctg v) x = dx 1 +v 2 dv dx d dx (arc sec v) = v d -d (arc cossec v) = VV2 _ 1 dv dx v VV~ - 1 dv d dx dx (arc versv) = V2 v _ v 2 • x 61. - 0 numero e. importantes limites e Logaritmos naturais. 1 (1) lim (1 ",-+0 + x)'X = 2,71828 .... Este limite se indica por e. Uma demonstra que 0 mencionado limite existe esta fora do alcan Contentar-nos-emos, por isto, em mostrar, graficam 1 do x - 0, a fun9B.O (1 + x)'X ( =y) toma valores pr6 isto ~e, e = 2,718 ... aproximadamente. I 10 5 2 1 0,5 0,1 0,01 0,001 I I 1,2710 1,4310 1,7320 2,0000 2,2500 2,5937 2,7048 2,7169 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 4,0000 2,8680 2,7320 2,7195 o fato expresso em (1) e usado no § G3. Quando x ~ + ex> , Y tende a 1; quando x ~ y tende a + ex>. As retas y = 1 e x = - 1 sao a No Capitulo XX veremos como se calcula 0 val numero qualquer de decimais. Logaritmos na~urais, ou neperianos, sao os que por base. Estes logaritmos t2m uma importancia em Matematica. Para distinguir entre logaritmos ritmos comuns usaremos a nota<}ao Logaritmo natural de v (base e) = In v Logaritmo comum de v (base 10) = lo POl' definiyao, 0 logaritmo natural de urn n6.m poen.te x na equayao (3) £z = N; isto e, x = In N . Se x = 0, N = 1 e In 1 = O. Se x = I, N = e Se x ~ - ex> , N ~ 0; escreveremos In 0 = - Ao estudante e familiar 0 uso das tabuas de log onde a base e 10. 0 logaritmo comum de urn nume ente y na equayao (4) 1011 = N, ou y = log N . Exprimamos a rela<}ao entre In N e log N. Tomemos em (3) os logaritrnos dos dois membr Temos, entao, por (2), p. I, x log Po = log N . Logo, obtemos 0 logaritmo natural de um numero logaritmo comum por log e . A equayao (A.) fomece log N = log e . ln N . (6) Logo, obte-m-se 0 logaritmo comum de um numero mu logaritmo natural por log e. Este multiplicador e ch (= M) dos logaritmos comuns. Pelas tabuas, log e = 0,4343 e l---.!- = 2,303. oge A equayao (A) fomece portanto In N (7) = 2,303 log N , o que permite construir uma ta,bua de logaritmos n de uma tabua de logaritmos decimais. 62. - Fun!;oes exponencial e logaritmica. y (1) = (e f!: chama-se fun~ao expone:ncial. 0 grafico dela e 0 d Ela e uma funyao crescente de x para todos os val veremos mais tarde, e continua em todos os pontos y De (1) resulta, por definic;a (2) . x = In y . As funyoes e'" e In y sao, pois, uma da outra (§ 39). Trocando riaveis em (2), temos (3) y = In x, na qual y e, agora, uma fun~iio logaritmica de x. funyao e 0 da figura abaixo. Ela nao e definida pa tivos de x nem para x = o. :f'; uma funr;ao crescente para todos os valores de x > 0 e continua para todos estes. valores, isto e, (§ 17), para todo valor a de x maior que zero, (4) - lim In x = In a . 63. ~ Deriva~ao de um logaritmo. Seja y=lnv. Derivando pela Regra Geral (§ 27), considera riavel independent-e, temos y PRIMEIRO PASSO. ~y = SEGUNDO PASSO. = In ( + j.y = In (v + In (v j.v) - In v v~ ~v ) In (1 + ~v). POl' (2) = ~y = TERCEIRO PASSO. ~v +~ _I_In (1 ~t' + ~v). V Nao podemos calcular 0 limite do segundo me em que esta, pelas regras do § 16, pois 0 denom a zero. Escrevamos, entao, a. equayao como segue ~y = l-. ~v v _v_ In (1 + ~v ~v) v [ Multiplicando por : ] POl' (2) A expressao que segue In esta na forma do segu D.v (2), § G1, com x = - . v . dy [ dv Quando Av--+O, -All II (1), § 61. 1 v 1 v - = -lne = - . QUARTO PASSO. . (1 -+ 0. Logo bm D.1I-+O All + -II Por (4), § 62, obtemos Q . )6.. resulta Como 0 que se quer e derivar In v em. relayao funyao de x, devemos usar a f6rmula (A), § 38, da d Substituindo 0 valor de dy do resultado do dv obtemos dv d dx 1 dv - (In v) = =- - . dx v vdx x A derillada do logaritmo natural de uma junr;{io e da junr;ao dividida pela junr;ao (ou, 0 l'eciproco da jun vada.) Como log v = log e In v, temos logo (IV, § 29 ..!!:..- (log v) = log e du , Xa dx 64. - Seja Deriva~ao v da fun~ao y = dx exponencial. a' Tomando os logaritmos em base e dos dois me lny=vlna. In y 1 v=--=--·lny. In a In a ou Derivando em relac;ao a y pela f6rmula X De (C), § 39, tratando-se de func;oes inversas dlJ dv - ' = lna· y ' ou (1) dy dv = In a . a'. Como v e uma func;ao de x e se quer derivar x, usamos a f6rmula (A), § 38. Obtemos, assim, Quando a = e, in a = In e = 1, e XI torna-se d dx - ((,") = Xla dv dx {j"-' A derivada de uma constante com expoente varidv duto do logaritmo natural da constante, pela constant varidvcl e pela derivada do expoente. 65. - Deriva~ao da fun~ao exponencial ge da Regra de Potencia. tra~ao y = un. Seja Tomando de ambos os membros os Iogaritmos In y = v In u , y = {joIn ". ou ( Derivando pela formula XI a, dy d = eO In" (v In u) dx dx . - = (joIn" ( - V -du + in u -dV) u dx = u" ( -V du u dx XII - d dx (u") = dx dV) . + In u -dx du dx VU1>-1 - + In u . u" -dd A. derivada de uma junr;ao com expoente varidve dos dois resultados que se obtem quando se deriva, p rando 0 expoente como constante (por VI) e depois consi como constante (por XI). Seja v igual a uma constante qualquer n; neste cas d du - (un) = nun-1 dx ax • a; (z2 + a) z2 +a dy SOLU9AO. dx = (v = = x2 +a Resp. 2x y = log - - . Exemplo ilusteativo 2. Derivar SOLU9AO. + a]. z2 2x 1+x2 Por (2), p. 1, tem08 + z2) . log e .!£ (1 + z2) 2 y = log 2 x - log (1 Donde dy dx = log e .!£ 2 x _ 2x dx l+x dx 1 = log e ( -; - 1 2X) = log e + ;1:2 ;I: p I-x (1 + Exemplo ilusteativo 3. Derivar y = a3:e'. SOLU9AO. -dy- = In a . aao: • - d (3 r'') dx dx = 6 x In a . a3:e'. y = be"'+:l:'. Exemplo ilusteativo 4. Derivar SOLu9AO. dy = b dx _~ dx (ec'+z') = bec'+Z' = Exemplo ilusteativo 5. SOLU9AO. Resp. .!£ (r? + z2) dx 2 bxe"'+:l:'. Resp. Derivar y = x"'" • ~; = e"'X''''-l d~ = e"'x""'-l = e"'x"'" (x) + x"'" In x ~ + x"'" In x (e"') . e'" (~ + In x). Resp. 66. - Deriva!;ao logaribnica. Na derivac;ao da ritmicas deve-se, antes de aplicar X e Xa, verificar sivel simplificar os calculos com 0 uso conveniente segue: ! In (1 y = ill. - d = Exemplo ilusttativo 2. SOLUQAO. (I I - il 1 - 2x "2 • 1 _ x2 Derivar 2 3 ) x = x2 _ l ' y = In ~ /1 + x Resp. 2 • "I-il Aplicando (2), p. 1, y = ! [In (1 (1 + x 2) d Donde dX dy 1 dx="2 Da! dy _.! [ dx- 2 d; + x 2) - In (1 - x 2)]. d _ dX (1 I+x2 - ill ] I-il x x 2x I+x I-x I-xi = - -2 + - -2 = - - . Na derivar;ao de uma funr;ao exponencial, especi de uma variavel com expoente variavel, 0 melhor c primeiro os logaritmos naturais da funr;ao e depois d o Exemplo Ilustrativo 5, § 65, e resolvido de modo como segue: Exemplo ilustrativo 3. Derivar y = :r;ex. SOLUQAO. Tomando os logaritmos naturais In y = eX In x. Derivando ambos os membros em rela9ii.o a x dy d dx -y = eX dx (In x) =e X , + In x dxd :!-+Inx.ex x (eX) ' Exemplo ilusttativo 4. Derivar y = (4:r? _ 7)2 + vr - 5 SOLUgAO. Tomando os logaritmos naturais + V:r? In. y = (2 Derivando ambos os membro em .!.- dy ydx + vx2 _ 5) = (2 dy = x (4 z2 dx rela~ii.o a x. x + In (4:r? _ 8 4x2 -7 7)2 + v:' -:- 5 [8 (2 _ - 5) In (4 :r? - 7) • 7) . --== V: + V~ + In (4 :r? - vz2- 4:r?-7 No caso de uma fUll<;.:ao contendo fatore$ e, algu veniente tomar os logaritmos naturais e aplicar (2) derivar. Assim, J (x - Exemplo ilustrativo 5. Derivar y = " 1) (x - 2) (x _ 3) (x _ 4) SOLugAO. Tomando os logaritmos naturais, In y = ! [In (x - 1) + In (x '- 2) - In (x - 3) - In Derivando ambos os membros em rela¢o a x. ~~~ ~ LC~1 + = X~2 - X~3 - X~ 2x 2 - 10 X + 11 (x - 1) (x - 2) (x- 3) (x - 4) , 2x 2 -lOx+11 dy ou dx = 1 1 8 (x -- 1)2 (x - 2)"2 (x - 3)2 (x PROBLEMAS Derive cada uma das fun90es abaixo: = (ax + b). 1. Y 2. y=ln(ax 2 +b). )n Resp. dy dx = dy dx = dy 3 -=dx x 5. y=lnx3 • 6. y = In3 x[ = (In X)3.] 7. Y = In (2 x 3 8. y = log"'::'· x x2 Y = 10 1 x2 3 x2 - dy = 3 dx dy -= dx 2 dy -=dx dy -= dx x dy dx = 9 . + 4). ? 9. + 10. y=lnV9-2x 2 • 11. Y = In (ax Va 12. J(x) = x In x. 13. i (x) 14. 8=ln 15. i (x) = x 2 In x 2 • 16. y = en",. 17. y = IOn",. dy dx = n 18. y = ("':'. du 19. Y =-. 20. 8= e 21. z = b2V • = In (x + viI + x ~a-+-bt. 2 ~'" VI a - bt dy -= dx .2 + x). 2 ). l' (x) = 1'(x) = d8 dj= a l' (x) = dy dx = n dx = 2 dy -=- dx ds 7ft = 2 dz dy = 2 -= dx 24. y=--' 25. Y 26. Y=~+I· 27. y = x 2e-::l'. 28. Y =2 29. e'" - e-::l' y= ez+e-:z' 30. 8=--' t2 31. j(x) X 32. "') . (e"-'" - -- e" (~ dy dx = e-::l' (2 x - dy dx =2 = In Vx 2 + 1 - + 1+ Racionalize primeiro x . x 0 Resp. y' =- e" dy ds = x.'" + 1)2· 1 ( J '(x) + 4 + e-"') (e'" -= dt -Vx 2 y 2~ -= dx -= dx In t 2 Sugutao. x dy ~-1 a = ~ + 1. dy dx = In (X2~). x2 2-4ln t3 = -2 VX + 2 denominador = x'" + In x). (1 ..,f;" 33. y=x..,f;". ' x -y = 34. s=(~Y· ~: = ( ~y (In ~ 35... = V2x + b V4+x 2 x V-1- x 36. y= 37. Y = xn (a . dy _ dx - y 1 1 [_x_ _1.+ dy _ y dx- [.!.!:-x + a+bx mb 2 + bx)m. 39. 0 [ = Y -;- + 3x + a 4 valor de : = In (i 2 + 2); x = 4. Y = log (4 x - 3).; x = 2. y - dy dx Nos exercicios 38-47 achar 38. 2V; . x";;~ y (2+lnx) x2 para X 0 d Re X 43. Y = 44. Y e2 X + 1; X = 1. = log V2f--4 Xj 45. Y= lOv;""j X x 46. Y =( 47. Y = = 5. = 4. ~ x3 ~2 d 2y Ache dx 2 para cada uma das seguintes funyoe = In ex. 48. y 49. Y = 50. y = x In x. 51. Y = e"" x- a y = In-X a 52. + (,fIoZ. 53. y es =-. x2 Derive as fun<}oes abaixo 54. 55. 56. 57. va 2 In x2 - X In Va 2 - x2 x 100' '" ~X2 + a fun~ao e v;"" In 59. 10' log 60. (ae)nz 61. 2' 8 2 • 62. (:)v; 2 x+a t In V2 t + 3 67. - A 58. • sen x. 0 grdjico de y (1) = sen x y ea da figura acima. (§ 2), de urn angulo. Cada valor de X ea medid sen (x + 27r) = sen x, isto e, quando 0 valor de x e acrescido de urn per y e repetido. A propried'ade de periodicidade tern a seguinte grMico da pagina anterior; a porf;ao da curva compr paralelas x = 0 e x = 27r (arco OQBRC da jigura) cada paralelamente a OX quer para a direita quer pa uma distdncia igual a um multiplo qualquer de 2 7r ainda parte do grajico da junf;ao na nova posi~{jo. 68. - TeoreIna. Antes de calcular a derivada e necessario provar que , sen x 1 1I m - - = (B) x -.0 ~--=~T ~ste limite nao pode ser c regras do § 16; devemos lan9al meios que nos fornecem a geom nometl'ia. Seja 0 0 centro de urn circulo de raio igual a gulo AOM medido em radianos. Como 0 raio e 1 Consideremos 0 al'co AM' = al'co AM e trace tangentes ao circulo em M e M' respectivamente. temos MM' < al'coMAM' < MT M'T + Ora, POl' trigonometria, 2senx < 2x < 2tgx. Dividindo pOl' 2 sen x, obtemos x 1 1<--<--· sen x cos x Daqui resulta, tomando os l'ecipl'ocos sen x x 1> - - > cosx. igualdade (B). E interessante notar, pelo grafico, 0 comportam sen x y=-.-' x A fun~ao nao e definida para x = O. Atribua valor 1 a fun\fao para x = O. Obtem-se, assim, u nida para todos os valores de x e continua para tod (Y. § 17). 69. - Deriva~ao de sen v. Seja y = sen v. Pela Regra Geral; § 27, considerando v como pendente, temos PRIME;RO PASSO 'y SEGUNDO PASSO + !::..y = sen (v + !::..v). !::..y = sen (v + !::..v) - s Para 0 ca,lculo do limite, no Quarto Passo, dev o segundo membro. Para isto, e mister usar a f6rm sen A - sen B = 2 cosl (A + B) sen 1(A A = v + !::..v, B = v. fazendo t (A + B) = v + 1 !::..v, 1 (11 - Entao B Substituindo, sen (v Logo + !::..v) - sen v = 2 cos (v !::..y + 1 !::..v) sen 1 D ~ 2 cos (v + ~v) sen ~v • QUARTO PASSO. dy dv =COSV. [pm,~( ~~~) -1, § Substituindo este valor de dy dx - o ~ .~~ (.+~ em (A.), § 38, dv dx = cosV-. d dx (sen v) XIII 68,' = cosv axdv . enunciado da regra correspondente fica a 70. - As outras fun!;oes trigonom.etricas. A definida e continua para todo valor de x. E peri6di 27r. 0 grafico de y = cosx obtem-se do grafico de sen x (§ 67), tomando-se a re eixo dos yy. o grafico de y = tgx (V. figura) mostra que a funyao tg x e desconHnua p infinito de valores da variavel independente x, pre x = (n + !) 7r, onde n indica urn ntimero inteiro po tivo. De fato, quan tende ao infinito. dade tg (7r + x) = a funyao iem 0 pe lores x = (n + !) .~ par um multi A funyao ctg e a segunda s6 quando x = n7r. Os valores de x estas fun~oes tendem ao infinito determinam assi nos gr8.fieos. . 71. - Deriv~ao de cos v Seja = cosv. y Por (3), p. 2, pode-se escrever y = sen ( ; - v) . Derivando pela f(>rmula XIII, dy dx = cos (~ 2 dv = - sen v dx v) 3:.. (~ - v) dx 2 . [POiS cos ( ; - tI) = sen tI, XIV 72. - - d dx (cos v) DelIlonstra~oes por (3), p. 2 dv = - sen v - . dx das f6rlIlulas XV-XI las podem ser facilmente obtidas exprimindo-se a f em termos de outras fun<}o~ cujas derivadas js. tenh e derivando. DEMONSTRAQAO DE XV. Seja Por (2), p. 2, pode-se escrever sen v y = cos v y = tgv cos 2 V dx dv cos 2 v dx + sen 2 dv dx v- dv dx dv = -= sec 2 v cos 2 v dx Usa . 3:-. ( ) _ xv 2 dv . . dx tg v - sec v dx . Para provar XVI-XIX, basta lembrar que XVI. ctgv 1 cos v 1 XVII. sec v = - - = --. tg v 1 sen v XVIII. cossec v = - - . XIX. verseno v = ve 73. - Observaf;Oes. Para a deduc;ao das f6Im necessario aplicar. a Regra Geral, § 27, apenas pa III V VII VIII IX d dx (u +v- du w) = dx d - (uv) dx = u- + V-. ~ dv + dx- dv dx du dx du dv vd;-ud;; (:) = v2 dy dy dx = dv dy dx dv dx· 1 = dx • dy dw dx . XIII dx. (sen v) = COll v dx . A dedu~ii.o das demais baseou-se nestas e d tambem todas as formulas de deriva~ii.o que ded pois, que a dedu~ii.o das formulas fundamentais d volve 0 ca.lculo de apenas dois limites de alguma d samente, = lim sen v ..-+0 1 V .!. e lim (1 +v)· = e. t>-+O PROBLEMAS Derivar as func;oes 1. y = sen ax 2 • dy d = cos ail - (ax 2) dx dx SOLuQlo. [v ... 2. a.:c2]. = 2 acos ar-. Resp. y=tg~. ~JL SOLUQAO. dx = sec 2 VI . [v = = - x~ (1 dx VI - - xl. t sec2 VI - x . (I-x)-t (- 1) sec 2 VI - x = - . Resp. 2 VI - x 3. Y = SOLUQAO. x)t cos3 x. Podemos tambem escrever Y = (cos X)3. ddY = 3 (cos x X)2 _ ~ dx (cos x) e n = 31. 3 C08 2 X ( - sen x) = - 3 sen x cos 2 x. Reap. [v = cos x = = sen nx . n (sen x)n-l -d (sen x) dx + aeon x cos nx dxd (nx) + + n sen nx senn- 1 x cos x n senn x cos senn- 1 t: (sen nx cos x cos nx sen x = n senn- 1 x sen (n 1) X. Re8p. = n 5. Y = sen ax. 6. y = 3 cos 2x. 7. + Resp. y' = a cos ax. y' = - s = tg 3 t. s' = 3 sec 2 3 t. 8. v u = 2ctg-· - 9. Y = 10. p = a cossec2 be. p' = ab cossec2 b 11. y = t sen2 x. 12. s= vcos 2 t. y' = sen x cos x. ds - sen2 dt = vcos2 13. P 14. y= 15. Y 16. J (0) = tg 0 - O. 17. = = 2 sec 4x. ~-- tg3 O. 4 ~ x cosx. sen 0 0 p=--' 6 sen 2 x du = - cossec 2 dv y' = 4sec4xtg dp sec 2 3 0 dO = (tg 3Oyi dy = - 2tgx dx .~ y' = cos X - x l' (0) = tg 2 O. dp 0 cos 0 dO = 02 18. Y = sen 2 x cos x. y' = 2 cos 2x co 19. Y y' = 20. y = In sen ax. = In y~os 2;1} y' = - tg2x. 21. Y = y' = eo" (a se~ 22. s = e-I cos 2 t. (;tu sen bx. a ctg ax. s' = - e- t (2 se 25. }(O) =sen (O+a) cos (O-a). }' (0) = cos 2 O. 26. } (x) = sen 2 (1r - x). 27. P = -} tgJ 0 - tg 8 28. Y = x· ell %. -dy = x· ell % (Ren - :1: 29. 7j = (cosx)%. y' = y (In cos x }'(x) = - 2 sen (1 + O. p'=tg40. ax Ache a derivada segunda de cada uma das func = d 2y -d = - lc 2 sen lex. 30. y 31. p = 32. u = 33. Y = :l.:.cos x. 34. sen x y=-x-' 35. s = et cos t. d 2s dt 2 = - 2 d sen t. 36. s = e-t sen 2 t. d 2s dt 2 = - 37. Y = ea sen bx. Ache dy dx sen lex. Resp. i .J x- d 2p cos 2 O. cos 2 8. dfj2 = - d 2u dv 2 = 2 sec 2 v tg v. tgv. d 2y -d' = - 2 sen x _. x 2 x d 2y 2 sen x - 2 x c dx 2 = x % e- t (3 sen 2 t d 2y = (P%[(a 2 -b 2 )sen dx 2 - para cada uma das func;:oes (x - y) 38. y = 39. ell = sen (x 40. cos y = ln (x CQS + V). + V). dy Resp. dx sen (x = sen (xcos (x dy = dx dy dx ell - cos 1 + (x x x sen 2 . ;x = Y = 43. Y = In cos x; x = 0,5. 44. Y = - ; x = - 0,5. 45. y = sen x cos 2 x; 46. y = in Vtgx; 47. y = c"senx; x = 2. 48. y = 10 eX cos 7rX; y' e'" x ,1'J = x = x Resp. y' = 1. y' y' i7r. y' x = 1. y' 5 e 2 sen - :z ,. x = 2. y' X 49. y' 2. 42. - 7rX X = 10 e sen 3 x; x = 1. 50. y 74. - Func;oes trigonom.etricas inversas. 10 y' y = sen x, (1) diz que "x e a medida de urn augulo em radianos c a y". Para urn angulo celltrico de urn circulo com x e tambfm igual ao arco interceptado (V. § 2). cscreve-se (2) x = arc sen y, Clue se Ie 'IX igual area seno y". LIma da outra (§ 39). As fun<;oes (1) e Como estamos hahituados a chamar de x a v denLe e de ?I a fun<;ao, faremos a troca destas letras as:-;im (3) y = arc sen x. Esb funliao e, pois, definida para todo valor de x \L1 to scja menor au igual a 1. Cjllf' f'11 t n Para a [un<;:1.o (3) usa-se muitas vezes a nota< e inconvenientf', pois pode ser tomacIa eomo s 1 a expressfio sen- I x. Urn valor de y satisfazendo (4) e y = -t7r, i. =t. sen 300 = Urn segundo valor e y = %7r, p = sen 1500 Para cada urn destes valul'us de U centar on subtmir urn multiplo qualquer de 27r. Lo valores de y satisjazendo (4) e ilim,:tado. Diz-se, enta arc sen x (V. figura) e de "infinitos valores". = o gd.fico de arc sen x (V. figura) mostra oem propricdade. Quando x = OM, y = lI1P 1 , lI1P 2 , M ... , MQt, MQ2' ... E perm:ssivel e aconsclhavel num grande numer problemas escolher um dos muitos valores de y. Esc lhemos, entiio, 0 valor entre - t 7r e t 7r, isto e, 0 m dos valores em valor absoluto. POl' exemplo, (5) arc sen t = -t7r, arc sen 0= 0, arc sen (-1) = - Com isto, a fungao arc sen x torna-se de urn 86 valor, (6) y = arc sen x, entao - t 7r ::=:; Y ::=:; No gnlfico limitamo-nos ao arco QOP. t 7r Do mesmo modo cada uma das outras fungoes inversas podem-se tornar de um so valor. Assim, p arc cos x, se y = arc cos x, toma-se 0 (7) ~ y ~ 7r • Par exemplo, arc cos 2'1 = "31 7r, arc cos ( -"2 1) ="32 7r, arc cos ( - 1) = De (6) e (7) obtemos a identidade (8) arc sen x + arc cos x = t 7r No grifico de arc cos x (V. figura), nos limitam ao arco QFtP. Definigoes cstabelecendo um unico valor para c uma das outras fungoes trigonometricas invel'sas sera 75. - Seja Derival;ao de arc sen v. y = arc sen v; dy portanto Como v e uma dy dx COS !I [ po:s , dy _ 1 dv - cos y fun<;ao de x, tem-se, pela (A), dv 1 cos y dv 1 VI - dx - v 2 dx . = VI - scn' y = VI - .', tcndo-se tornado 0 sin e positivQ para todo8 as valoree de :II entre - C0811 XX - d (arc sen v) = dx dy = dx Se y = arc sen x y' = , 1 VI - x e 0 arco QP da figura. 0 coeficiente an infinito em Q e P e iguala 1 em 0, A (y' > 0) no intervalo [- 1, 1]. + 76. - Deriva!;ao de arc cos v. Seja y entao = arc cos v; v = cos y. Derivando em rela<;ao a y pOl' XIV, 'dv dy - logo ~ Mas, como v 38, dando dy _ 1 dv - sen y e fun<;ao de x, isto pode ser subs dv dll dx - - seny; sen y dx - dv 1 VI - v2 dx sen y = VI - cos' y = VI-=-;:', tendo-se tornado 0 sinal [ pois sen 11 e positivo para todos 08 "'alores de y entre 0 e + 1T' Se y arc cos x, entao y' = = 1 - - /1 v - ., . Qu x' - 1 a + 1 (areo PQ da segunda figura da p:igina de 1r a 0 0/ < 0). 77. - Deriva~ao •. - •• arc tg v; entao (1) y (2) v = tg Y . = Seja de arc tg v. :1 ..- - - _,.:: A fungao (1) torna-se de um s6 valor se --- eseolhermos 0 minimo valor absoluto de y, isto e, um valor entre -! 1r e ! 1r, corresronden da figura. A...inda, quando v ~ - 00, U~ - ~ 1r; qu y ~! 1r. Ou, simbolieamente, (3) are tg (+ (0) = ~ 1r, are tg (- (0) = Derivando (2) em relagao a y pOl' XV, dv dy - = rly logo see 2 y', 1 -;;;; = sec~ Como v dando e fungao y de x, isto pode ser substituldo dy _ _ 1_ dx - sec~ y (sec'y =1 dv dx - 1 1 + v~ dv dx + tg'y = 1 + v'). dv XXII d dx -d (arc tg v) = -1- -2 , x +v A fun<;ao arc tg - forneee urn born x exemplo de fun<;3.o deseontinua. Vemo::>, limitanclo-nos a urn ramo do gnifico de 1 y = arc tg - , x que quando :1: tende a zero pela esquenh, y tende a x tende fl. zero peb direita, y tende n. +! 7r. Logo continua para x = 0 (§ 17). do 78. - Derivac;ao de arc ctg v. Seguinmetodo do l'iltimo p::mlgrafo, obtemos -- - - 0 XXIII rl - (arc ctg v) d:c = A dv d.r ---I v~ . + A func;5.o c de' um s6 valor se, sendo y = arc ctg v, 0 < y < 7r; 0 grMieo dela e, ncste easo, 0 areo AB da fi~ura. Tem-se tamhem que !I ~ 0 qnando v ~ + 00, y ~ 7r qua isto e, simbolit'amente, arc ctg (+ (0) 79. - 0; arc ctg (- (0) = = 7 Deriva!;ao de arc sec v e arc cossec v. Seja u= (1) arc set: I.'. Esta fun9:1o e dcfinida para todos os valores de entre - 1 e + 1. Para torna-b de llln s6 valor (v. escolha-se U entre 0 e! cscolha-sr II Cl~t re - 7r 7r (areo AB), quando v e C - 17r (art'o CD). quand Derivando em relayao a y pOl' XVII, n- ___ dv dy = sec y tg y; dy dv - logo 1 ~- --- (C), § 39 POI' sec y tg y Como v Ii fun<;8:o de x, tem-se, rjJL _ dx sec 11 =v e tg 11 :;e(; = = (A), § 38, a dv 1 dx= v~dx 1 y tg Y vsee'lI - 1 pOI' vv' - 1. tendo-se tom;do [ pais te: 'Y 6 positi\"o, para todos os va-Iores de y entre 0 e '2 0 sin e entre dli d .. d- (nI'CSecv) XXIV X Derivar;uo de arccossec v. entao = IIx Seja y = arc cossec V;. V = cossec y. Derivando em rela\ao a y pOl' XYIII e procedendo como acima, obtemos d -d (arc cossec u) XXV x dv 11.1' l'W-l A fun\ao y = arc cussec v e definida para todrJS exceto os compl'cendidos entre - 1 e + I, e Ii de m Para torna-Ia de Ilm s6 valor (v. figura acima), quando v quando v e positivo, escolhe-se y entre 0 e e negativo, escolhe-se y entre - 11" e t 1 -! Derivando ·em relac,:ao a Y pOl' XIX. dv dy - sen 71; 1 sen y d!l portanto dv Como v e func,:3.o de x, tcm-se, em virtude de (Ll d.1l dx rsen y l = VI - + dv dx - 1 sen y cos' V = VI do radical. pois sen u 1 V ~v - - (1 - vers 1/)' = V2. - v', e positivo para as "aloTrs de y riv dx tendo-so entre 0 dv dx d x XXVI v~ -1 (arc "crs v) PROBLEMAS Derive as seguintes 1. y func,:oe~ = arc tg ax 2 • d dy. SOLUl;AO. dx do 1 • (ar) + (ax2)2 [v = ax 2 ]. 2 ax 2. Y SOLUl;AO. Resp. arc sen (3 x -' -! x 3). dy. dx d 'x OX-4X3) d V'1-'(3x-4x3)~ [v = 3 x - 4 x3]. 3 - 12 x2 3 --=---. y'l - x~ R •. Dp.finida apenas para. as valores de l' entre 0 e 2 inclusive, e de ma tornsr a fun~!io de urn s6 Yalor, toma-se y como 0 menor area positivo cu ~. vesta entre 0 C 1r inclusive. Logo, limitamo-n08 ao area OP do graf X~+1 J(X +1)2_ 1 x-- 1 1 :02-1 [ (x 2 - x22 = V x 1) 2 x (x 2 - + - IJ . 1 (x2 + 1) 2x 1)2 2 +1 = - x2 4. 5. dl/ :l: Y = arc ccrj - Rcsp. -'- = dx a y = arc sec - x a rill x dy dx 6. y = arc dg - . a 7. Y = arc sec - 8. Y = arc 9. x = Vx 2 - - a a2 +x 2 dll . - 1 dx=~' (/71 dx 2 x. = X - 1 V4x 2 1 dy y';. Y = a:'c ::;en n. d:c = 1 x c~)ss('c - / .a, V dx dO dp = 2 Vx 2 10. e= II. y = x arc sen 2 x. -'- = 12. 2 Y = x u,rc cos x. -"- = 2x arc cos 13. f (11) = U Va 2 14. f (x) = 15. .) U v = a- arc sen -- - U Va 2 a 16. 11= are vcrsp2. V2 __ = du dx arc sen 2.e (/1/ dx + a- arc sen-Ua O? u· - V-a x + a arc sen -x a 2 - U a- - -u 2 V" p2 2 - - -u arc sen- . a -u 2 . 1'(U l' (x) dv d-u dv du a+r arctg--· 1 - ar 19. cP= 20. x = r arc vers - 21. Y = y' d¢ dr _/ - v 2ry - y2. r . 1 1 1 3'x3 arc tgx+6'ln (x 2+1) -6' x 2• N os problemas 22 - 27 achar 0 =- dx = dx = dy dy dy valor de dx pa de x. l. 22. y = x arc sen x; x = 23. y = x arc cos x; x. = - !. 24. y = arc tg x; x = 25. y 26. y= Resp. 1. _ x y = = .y; arc ctg : ; x = 4. arc sec 2 x. _ 1 _/ ,x-. vx . 2 x arc cossec V;; x = 2. Derivar as funyoes V;. 28. arc sen 29. 2 arc tg - . 30. x x arc cos 2' x . 33. arc 34. fl' 35. in 36. Ya arc ctg 2 x 31. x arc vel'S (1 - x). 32. 37. a arc PROBLEMAS Trace as CUI'vas abaixo e ache 0 coeficiente a ponto onde a curva corte os eixos de coordenadas. 1. Y = In 2. y x. = log x. Resp. Em (1,0), m Em (1,0), m Ache os angulos de interse<;fio de cada dos pares + 1), In (x + 3), = In (x = In (7 - 2 x) = In (5·- x~)_ 6. y 7. y = 8. y = sen x, y = cos x. 9. Y = tg x, 10. Y = cos x, y = sen 2 x. Y y y Resp_ Resp. 10 = ctg x. 5 Ache os pontos de maximo, de mJIllmo e de i C'urvas abaixo e trace 0 gr8.fico de cada uma delas. ~rill 11. y = x In x. 12. y = x In:/; . 13. y = In (R x - x 2). Max. (4, In 14. y = Min. ( - 1, Resp_ l\lln. (e, c); . ponto de inf xc"'. ponto de inflexfio 16. Um cabo telegr:ifico submarino consisie fills de cobre com uma capa de material isolante. razao do raio do nucleo para a espessur:1 da capa velocidade da sinaliza<;ao varia como x 2 In ~.r -:\l 1 cidade maxima se obtem C/uando x·= ------' . ,Ie 17. 18. de y = Qual {> 0 :,111nJIll0 valor de y = aek:r. + urrk: "\.che 0 ponto m,iximo e os pontos de inf e-:r.' e trace a Rrs7J. ~Iax. CUI'V;1. (0, 1); ponto;; de inflcxau ( ± ~ indicados, e desenhe as seguint.es curvas. 20. y = !x - sen x;. (0 a 271"). Min. (t71", - 0,3424); max. (1-71"", 3,48 Resp. pontos de inflexao (0,0), (71", = ! 71"), ( 2x - tgx; (0 a 71"). 21. Y 22. Max. (t 71", 0,571); min. (~71"", 5, pontos de inflexao (0,0), (71", 27 Y = tg x - 4 x; (0 a 71"). Resp. Min. (t 71", - 2,457); max. (j 71 pontas de inflexao (0, 0), (71", - 23. Y Resp. = 3 sen x Resp. 4 cosx; (0 a 271"). Max. (2,498, 5); min. (5,640, pontos de inflexao (0,927, 0), (4 + ccs 2 x; 24. y = x 25. Y 26. Y = 27. Y 28. Y = 29. Mostre que = sen 71"X - (0 a 71"). cos 71".1;; (0 a 2). ! x + sen 2 x; =x- ! 7rX (0 a 71"). 2 cos 2 x; (0 a 71"). + sen 7rX; 0 (0 a 2). maximo de y = a sen x + b co 30. Se 0 e 0 angulo que um Ieme de navio fa mostra-se tooricamente que 0 efeito girat6rio do leme sendo kuma constante. Para que valor de 0 e 0 leme Rcsp. :\i pa 31. ~llm c')IJo cnmco cheio de vinho me::-glll mente uma es[era de modo tal a causal' 0 maior tr Sabendo que a altura do capo e a e qne 0 il.ngnlo gera que a raio da esfera e n. sen a sen a cos 2 a + 32. Achar as dimens5es do eilinclro cle maXl pode ser inscrito numa esfera de raio igual a Gcm. 34. Urn corpo de peso W e arrastado ao lon horizontal pOl' uma forga P cuja linha de a9aO faz u o plano. A grandcza da forc;a e dada pOl' p = m m_,_W _ sen x + cos x ondc m indica 0 coeficiente de fricgao. mInima quando tg x = m. Se urn projetil plano que em 0 faz com 35. e langado de 0 R= Mostre qu 0, seu alca plano horizontal urn an 21)2 0 cos 0 Rp.n (f) - a) (} cos~ a onde v e (J sio constantes e 0 e 0 angulo de elevac valor de 0 que da 0 maximo alcance. Resp, 0 = 36. fricyao 1> A eficiencia de uma verruma dA declive pela formula e dn.da E = tr-;O tg (0 + 1» + j , onde j e uma constantc. Achar 0 valor de 0 para m quando 1> c urn angulo constante conhecido, OUTROS PROBLEMAS 1. .-11-\ curvas ?J = x . In x e y = x . In (1 - x ongcm c nllm outro ponto A. Achar 0 lingulo de i Resp 2. Usando os mesmos eixos desenhe as cur depois ache os ~ln~lIlos de inf,crsec;iio: y = III :lC: ( "8 - i ) , v= h, (:3 x - :2 - l). 3. A rcta AB e tangente it curva de equa9iio A e corta 0 eixo dos xx em B. Ache as coordenadas comprimrnfrJ AB e urn minimo. R POLARES E RAIZES 81. - Equa!;oes paranlcfricas de urn.a curv angular. As coordcnadaE x e y de urn ponto sobl expressas muitas vezes como fun<;oes de uma terce parametro, i, sob a forma X (1) { 1j = j(i), = <p (i) . Cada valor de t di mil valor para x e um valor par pais, urn ponto da curva. As cquac;oes (1) sao ch parametrt:cas cla rttl'va. Se eliminal'mos t das E'Cl rem as as e'luar;OCS retangulares da CUI'va. POI' exempIa, = r cos t, y=rscnt X (2) { Os,t<27r s:1o cqua90es parametricas do drculo da figura, sendo t 0 paralnetro, pois se elimin;lrmos t, a que se obtem Cluadrando e somando as resu x2 + y2 = r 2 (cos2 t + sen 2 t) = r 2 , que e a equa9ao retangular do clrculo. 0 panlmet de 0 a 27r para que a ponto P (x, y) descreva tada Como, pOI' (1), Y inversa), temos e uma fun<;ao 138 de t e t uma fun< (A) dy dt dx dt dy dx 1>' (t) coeficiente angula }' (t) Por esta formula podemos achar 0 coeficiente curva cujns eC!ua\-oes parametricas sao dadas. Exemplo ilustrativo 1. Achar as equa<;oes da tangen comprimentos da subtangente e subnormal il. elipse*. (3) { no ponto onde ¢ b sen ¢ !ar num ponto qualqucr Substituindo ¢ = dx d¢ par:1metro, 0 - a sen ¢, b co~¢_ a sen ¢ ~~ Substituindo em (A), = a cos = 45°. = Sendo ¢ SOLU9AO. cP, X = y - Ii -; ctg ¢ m. = 45 nas dadas equa<;oes (3), obtemos coeficient 0 t bv'2 como coonlcnadas do ponto de contato e 0 ml = - - b ctg45° a b a Substituindo em (1) e (2), § 43, e reduzindo, obtemos * Tracemos. como' os. figura, OB cfrculos 8uxiliares maior e Dlenor da Bee Bobre 0 mesmo raio tracernOB BA paTaiela a OY e DP parah.-'la a O contram Dum pooto P (X, y) da elipse, purque :z: = 0.1 = OB cos y - OU -=-a = ep = a A P = UlJ = OC seD cos 4> e y- ~ b seD cos 4> = ep seD 4>, 4>. Quadrando e Bomando, obtemos :z:' 11 -;;> + b' = COB' 4> + sen' 4> = 1, equacao retangu!ar da elipsc; 4> chama-se algumas \'czeS ftngulo t'xc(lntrj,·o do porllo P oa clipsc. t bVZ (- ~) - ! a ,/2 = tbV2(-~) - Exemplo iIustrativo 2. IDetrica b2 .y2 2a - - - = comprimento d Dadas as equa90es da cicl6ide* = X (4) comprimento d { a (0 - sen 0) , y = a (1 - cos 0) , Bendo 0 0 parametro, achar os comprimentos da subtang normal no ponto (Xl Yl) onde 0 = 01. dx = a ( 1 - cos O·)'"dif d!l = a sen · d0, "dif g OLU<;:AO. D envan Substituindo ern (A), § 81, dy dx - - sen 0 - cosO --'-"_'---:,... = Quando 0 = 01, Y = m = coeficiente angular num pon = a (1 - cos 01), m = Inl Como no § 43, achamos (ver figura ao pe Y1 desta pagin ,, a (1 - <lOS 0 1)2 '1.'V = subtangente = 0 ; N,lI = subnorma sen 1 MP comprimento ua normal = = a V2 (1 - cos 0 1 ) = 2 a sen a figura, P A = a sen 01 (se 0 = 01) = subnormal .v JI a constru9iio da normal PJI e tangentc P A e a indicada. * 0 lugar descrito por um ponto do. circunfcrE!ncia de um circulo qu ebbre uma reta fixa diz-se ciclbide. Scja a 0 raio do cfrculo, P 0 ponto contato com a reta fixa OX. Que se cbama a base. Be 0 areo PM = OM em comprimento, entao P tocari 0 se Temos. indicando por 0 fmgulo PCM: e x = ON = OM - y = NP = MC - Que sao as equat;oes parametricas da cic16idc senda pad.metro 0 angula 8 Que 0 raio do cfrculo rolante descrcVe, OD = 2 7r a di7.-se base de um arco da cic16ide c V diz-se v6rtice do arco. Eliminando obtemos a equBCiio retangular l e, NM - ae AC = a - a sen IJ cos = e = a II 0 circulo a (e - - cos v , I 'Q . +a I sen el. .. b dx Tangentes vertlC:llS: ac a-se tern dt = 0 . Exemplo ilustr:!tivo 3. Achar os pontos de contato d:;s timgentes horizontais e yerticais a cardi6ide (V. figural f (5) x = a cos 0 - ~ a cos 2 0 - ~ a, \ y . SOLUt;:AO. = a sen 0 - ~ a sen 2 O. dx dO = a (- sen 0 + sen 2 0); dy d8 a (cos 0 - = Tangl'ntcs horizontais: Deve-se tel' cos 8 - cos 2 0 = O. do (5), p. 3), cos 2 0 = 2 cos 2 8 - 1; resolvendo, obtemos 8 Tangcntt's verticais. Deve-se tel' - sen 0 + sen 2 8 (usando (.j), p. 3), sen 2 () = 2 sen () cos (); resolvendo, () = A raiz COillum () = 0 cleve ser rejeitada pois 0 numera de (A) se anubm c 0 coeficiente angular e indeterminado ( x = y = 0 quCtnclo () = O. 0 ponto 0 diz-se uma cUspide. Substituindo os outros valores em (5), os resultados sa Tangentes horizontais: pontos de contato (Tangentes verticais: pontos de contato (t a, fa, ± ± fa t a V3 Duas tangentes verticais coinciclcm, dando umiL "tange Estes resultados estao de acordo com a figum. PROBLEMAS Achar as equac;oes da tangente e da normal e o da subtangente e subnormal a cada uma das segu ponto indicado. Ta71gentp Narm 1. x=t 2 , y=2t+l; t=1. Resp. x-y+2=O, x+y-4 2. x=t x+y+4 3. x=3t, y=-; t=2. t 3, y= 3t; t=-1. 2 x-y-2=O, x+6y-12=O, 6x-y-35 3x+y-6=O, x-3y+8 14. x=sen 2 6, y= 9. x=t 2 , y=t 2+3 tj t= 1. 1 10. x=t ' y=2t·, t=-I . 15. x=ln (t-2), 3 Em cada um dos exel'cicios segujntes trace a c pontos de contato das tangentes horizontal e vertica 16. x= 3 t-t3, y= t+ 1. Resp. Tangentes horizo tangentes verticais (2,2), 17. x = 3 - 4 sen fJ, Y = 4 + 3 cos fJ. Tangentes horizontais tangentes verticais, (7 Resp. IS. x=t!-2t,y=t3-I2t. 20. x=sen2 19. x=h+rcosO, y=k+rsenfJ. 21. x=cos'fJ N as curvas seguintes (figuras no Capitulo XXVI) primentos da (a) subtangente, (b) subnormal, (c) tan mal, em cada ponto. + = a (cos t t sen t) , Y = a (sen·t - t cos t). X 22. Curva Resp. { (a) y ctg t, (b) y tg t, (c) -l!...-t' (d) sen = 4 a cos3 t , Y = 4 a sens t. X 23. Hipocicl6ide Resp. 24. 25. { (a) - y ctg t, (b) - y tg t, (c) ......1f. sen t Circulo Cardi6ide [ x = r cos t , l y { = r SCD. t. t - cos 2 t) Y = a (2 sen t - sen 2 t) x = a (2 COB 27. Espiral hiperb6lica }x = {y = - a t cos t, a sen t. t 82. - Equa!;Oes paranH~tricas. Derivada seg y' como simbolo para a derivada primeira de y em r § 81, clara y' como func;ao de t, (1) y' = h (t). Para achar a derivada segunda y" usa-se de (A), substituindo-se y POl' y'. Temos entao dy' fly'= dI:= y" - dx dx dt (B) ('aso x = f h' (t) l' (l)' (t), como em (1), § 81. Exempl0 ilustcativo. 2, § 81). Achar y" pam a cicl6ide (Ver c { ~OLU9AO. Achamos X = a (0 - sen 0) , y a (1 - = , y = COB 0) . sen 0 1 - cos 0' dx e dO = a (1 Logo, derivando, dy' d§"= (1 - cos 0) cos 0 - sena 0 (1 - cos 0)2 cos 0 - 1 (1 - cos 0)2 Substituindo em (B), y" = 1 a (1 - cos 0)2' Resp. Note que y" e negativa e, portanto, a curva mOAtra a figura, p. 14D. e concava (u.) x = t - 1, II = t 2 (b) x (c) x t2 = "2' y rill + 1. Resp. - ' = 'Y.l dx to ~ = 2 t, Y = (d) x = G ' !J = t dx ' (e) x = a cos t, Y = . (f) x [3 1 -d/I- == = 1- t. t2 2 . = 2 (1 - sen t) (g) x = sen t, Y = se (h) x = cos 2 t, Y = :'Iostrar que a curva 2. ;t = sec e, Y = tg e na . rl lnr,exao. 3. Em cutIa um dos exemplos seguintcs, de..c achar os pontos de maximo, de minimo e ue inflex:l (a) x = 2 a ctg Resp. e, y = 2 a sen 2 e. :\Iax. (0,2 a); pontos de inflcxiio (b) x = tg t, Y = sen t cos t . Resp. Max. (1, !); min. (- 1, - ~); pontos de inflexao ( - vi::, - v2) I (0,0), 83. - Movirnento curviHneo. Velocidade. Q metro t das equa90es parametricas (1); § 81, e 0 tC 9i:>es j (t) e r:P (t) sao contlnuas se t varia contlnuam P descl eve a trajetoria de um movimento curvilineo e ( 1) x =j (t), Y = r:P (t) ::;ao chamadas as equar;i5es do movi·mento. A velocidade do ponto movel P (x, y) em cada i minada pelas ::;uas componentes horizontal e vertic (C) l'z = dt ' Do mesmo modo a componente veitical Vy e (D) (hI I' Y =- dt' Tracemos os vetores l'x e l'y a partir de P COITI.O pletemos 0 rebbgl1Jo e tracemos a diagonal passand diagonal orientada a partil' de P representa 0 vetor v Ve-se pela figura que a grundeza e a dil'el,'iIo dele formulas tgT = - (E) I'll Vx ely dt =- !b elt Comparando com (A), § 81, vemos que tg T e ciente angular da trajetolia em P. Portanto, a dir longo da tangente a trajetoJia em P, A grandeza cidade chama-se velocidade. 84. - MoviIl1ento curvilineo. Acelerac;oes Mostra-se em Mednica que num movimento curvili leral,'ao a nao e, como 0 vetor velocidade, dirigido a gente, mas em dire<;ao do lado coneavo da tm.jetoria Ele pode ser decomposto mllna cornponente tangen componente normnJ, an, onde dv O't=Ji; (R C 0 ralO tle curvatura. Vel' § 105). A acelerac;ao (vetor) pode tambem ser decomp nentes p:lI'ulelas aos cixos coordcnados. Seguindo Portanto, construindo urn retangulo com vertic e 0'1/' vemos que 0' e a diagonal passando POI' P; te (0) que da a grandeza do vetof acelerayfio em cada inst No problema 1 abaixo fazemos uso das equayoes de urn projetil, que ilustra muito bern este e 0 parag PROBLEMAS Desprezando-se a resistcncia do aI', as equ menta de urn proj6til sao 1. x = cos ¢ . t, VI 1J = VI sen ¢ . t - 4,9 b onde VI = velocidade inicial, ¢ = angulo de projey zonte e t = tempo de percurso em segundos, sendo x e y medidos em metros. Achar as velocidades componentes, as acelerayoes componentes, a velocidade e a acelerayao (a) em cada instante; (b) no fim do primeiro segundo, sendo 0 VI = 30 m POI' segundo, ¢ = 30°. Achar (c) a direyao do movimento no fim do pr (d) a equ:1y:la retangular da trajet6ria. De (C) e (D), SOLUl;AO. '(a) Vx = Dc (E), " = VI cas cP, v y = VI ~en VV/ - 1!J,6 t VI sen cP cP - !J,8 t + 96 l~ Dc (F) e (G), ax ,:, 0; ay = - 9,8: a = 9,8, direc;:1o par (b) Fazendo t "x (c) .7' 1, Vi = = 25,~J8 m pOl' seg. 5,2 m pOl' srg. 26,5 m pOl' seg. = O. = -!J,8 ill a = 9,8 ill pO ax ay = arc tg..!!!!.. = arc tg ~ = 11° 32' = ungulo d Vx vimento 30, cP = 30° ncstes resultados, = Vy = V = c()~ a horizontal. 25,98 Mostrar que a equac;ao retangular da traje no problema 1 e 49 2 2 y = x tg c/> - - ' 2 (1 + tg c/» x • 2. VI 3. Urn projetil e lanc;ado numa direc;ao inc1ina vamente a horizontal com uma velocidade inicial segundo. Achar (a) as componentes da velocidade gundo e do quarto segundos; (b) a velocidade e a d mento nos mesmos instantes. (*) Resp. (a) Quando t = 2, V", = 113,1 pes = 48,7 pes pOI' seg.; quando t pes pOI' seg., VII = - 15,7 pes (b) Quando t= 2, v= 123,1 pes pOI' quando t=4, v= 114,2 pes pOI' 4. Com os dados do problema 3 achar a maxi c;ada pelo projetil. Se 0 projetil cai sobre solo horizontal com que foi atirado, achar 0 tempo de p gulo de impacto. ° 5. Urn projetil com a velocidade inicial de 48 numa parede vertical a 144 m de distancia. Most mais alto da parede que pode ser atingido pelo proje de altura relativamente ao eixo dos xx. Qual e c/> p Resp. c/> 6. Se urn ponto move-se relativamente a um denadas retangulares segundo a lei x = a cos t + b, y = a sen t +c, mostre que sua velocidade tem grandeza constante 7. Se a trajetoria de urn ponto movel e a cu x=at, { y = b sen at, * 9,8 metros = 32,2 p~s (N. T.). achar a equayao da trajet6ria em coordenadas r desenhar a trajetoria com os vetores velocidade e t = t, t = 1 e t = 2; (c) para que valores do tem velocidade? (d) onde esta 0 ponto quando sua velo POI' segundo? Resp. (a) Parabola, xi + yi = 1; (c) t No movimento uniforme (velocidade cons circulo, mostrar que a acelera9ao em cada ponto P grandeza e dirigida, ao longo do raio, de P para 0 c 9. As equa90es de urn movimento curvilineo s 0 ponto movel oscila da parabola 4 y2 - 9 x - 18 = O. Desenhar a cu nhar os vetores acelera9ao nos pontos onde v = O o vetor velocidade no ponto onde a velocidade e ma 10. Y = 3 cos t. (a) Mostrar que Dadas as seguintes equayoes de movimento c no instante dado, v"' Vl./' v, a,., Ci.y, a; posi9ao do pont dir.eyao do movimento. Achar tambem a equa9ao d coordenadas retangulares. 11. x = t 2 , Y = 2 t; t = 2. 12. x 13. x = t3, Y = t 2 ; t = 2. 14. x = 3 t, Y = t 2 15. x = 2 - t, Y = 1 16. x = a cos t, y = a sen t; t = 17. x = 4 sen t, Y 18. x = 19. x = 20. x = 2 t, = Y = t3 ; t - = 1. 3; t = +t ; 2 3. t = O. t 1r. t 7r • sen 2 t, Y = 2 cos t; t = t 7r. 2 sen t; y = cos 2 t ; t = t 7r • tg t; Y = ctgt; t = i 7r • = 2 cos t; t = a equa<Jao de uma curva. Vamos provar 0 TEOREMA. Se if; e 0 angulo compreendido entre e a tangente em P, entiio tg if; = L p' (H) I onde p dp = dii ~\l Por P e urn F-8_--~,£. ponto Q (p + D.p, fJ + D.fJ) da curva, proximo de P, tracemos a reta AB. Tracemos tambem PR perpendicular a OQ. DEMONSTRA9AO. Entao (ver figura), OQ = p + D.p, angulo PO = p sen t:.fJ e OR = p cos t:.fJ. Ainda PR PR tg PQR = RQ = OQ - OR (2) p p + ~p Indiquemos por if; 0 angulo compreendido ent OP e a tangente PT. Fazendo t:.fJ tender a zero, t ponto Q tende a P; (a) 0 (b) a secante AB gira em tarno de P e tende (c) 0 angulo PQR tende a if;. Logo (3) p sen t:.fJ tg if; = lim --'----------:---::M--->O p + D.p - p cos !:if} Para obter esta fra<jao numa forma a que se iteoremas do § 16, transformamo-la como segue: [POiS de (5), p. 3, p - p cos 6.0 = P (1 - cos 6.0) = 2 sen D p' fl() p sen 2""' D..() sen 2 D.. 2 tDividindo 0 numerador -e denominador por 6.0 e f Quando D..O ~ 0, temos, pelo § 68, lim sen D..O fl() D..O sen-. 2 e hm D..O 1, 2 . Ora, fl() lim sen - 2 =0 ' lim flp = dp = flO dO Logo, os limites do numerador e denominador sao, Ip e pi, 0 que prova (H). Para achar 0 coeficiente angular (tg T na £ig como segue. Tomamos, como usualmente, eixos e OY; temos, entao, para P (x ,y) x = p co.s 0, (4) y = p sen () . Usando (1), estas equa90es tomam-se as equac,Xies curva, sendo 0 0 parametro. 0 coeficiente angu (A). Assim, de (4), dx dO = p' cos () - p sen () , dy dO = p' sen () + tg 0 + tg 1/; - Substituindo tg 0 = ---=-~"":----'=---'--:-. 1 - tg (j tg 1/; sen 0 - - , tg 1/;= cos 0 do, obtemos (1). Exemplo ilustrativo 1. . Achar tg Yt e a coeficiente angular da cardi6ide p = a (1 - cos 0). SOLU~AO. ~~ = p' = a sen O. Substituindo em (H) e (I) tg ./. = .!!- = a (1 - p' 'I' COB 0) a sen 0 = tg ! O. tg 2 a sen2 ! 0 2 a sen ! 0 cos ! 0 «5), p. 3) + a sen 2 0 a (1 - cos 0) cos 0 a sen 0 cos 0 - a (1 - cos 0) sen 0 l' cos 0 - cos 2 0 sen 2 0 - sen 0 = t 1. O. g 2 «5) (6) " p . 3) Em P na figura, Yt = Angulo OPT = t 0 = t angulo gente PT carta a eixo OX formando um ang'Ulo 1', temos Ang - angulo OPT + 1'. Conseqiientemente, l' = %0 - 1800 e tg l' = tg %0, com Nota. Deduziu-se a formula (H) para a figura da p. 1 blema, as rela90es entre as angulos Yt, l' e 0 devem ser determ do-se as sinais das fun90es trigonometricas d/!les e tra9ando-s Para achar a lingula de inters~ao </> de duas cujas equa<toes sao dadas em coordenadas polares, podemos proceder como segue: Angulo TPT' = angulo OPT' C' lingulo OPT, ou </> (J) = 1/;' - 1/;. Logo t </> = g tg 1/;' - tg 1/; 1 + tg 1/;' tg 1f; , onde tg 1/;' e tg 1/; sao obtidas, pOl' (H), 0 das equayoes das curvas, calculadas no ponto de tg 2 (J = 1 I 2 (J = 45°, (J = 22!0 . Da primeira curva, usando (H), ifi' tg = ! tg 2 (J = ! I para (J = €2 !o. Da segunda curva, tg ifi = -! cotg 2 (J = -! I para (J = 22 !o Substituindo em (J), +! 4 t g e p!= --=1 - 1 3 4 ep = arc tg"3' Re Ail curvas podem ser vistas no Capitulo XXVI. 86. - Com.prim.entos da subtangente polar e polar. Tracemos uma reta NT pela origem, perpe vetor do ponto P da curV.1. Se PT e a tangente a curva em P, entao comprimento da subtangente polar, ON = comprimento da subnormal polar, da curva em P. OT No triangulo 0 P T, tg y; = - - . Logo OT = P (1) 0 T = p tg y; = p2 da subtangente polar * dO dp No triangulo OP N, tg (2) p y; ~ = comprimento = p Logo ON' . ON = - - = -- = compr·unento da s tgy; dO o comprimento da tangente polar (= PT) e 0 normal. polar (= PN) podem ser achadas pela fig 'Ima delas a hipotenusa de um triangulo retangulo. · • Quando 8 creace com p - d O l\ pooitiva e '" l\ lngulo agu do. como • dp tAo a .ubta~nte OT 4S poeitiva e ~ medida a direita d'e um obeervador d<) aO longo de OP. do obocrvador. Quando : l\ negativa. a lubtangcnte l\ ncgativ 2p ~ = - 2 a sen 2 (J, ou dO P Substituindo em (1) e (2), obtemos Comprimento da subtangente polar = a 2 sen . a 2 sen 2 Compnmento da subnormal polar = - - - p Be quisermos exprimir os resultados em termos de (J, ach de (J da dada equac;ao e substituimos. Assim, no caso supra, logo 0 comprimento da subtangente polar e igual a ± a ctg PROBLEMAS 1. No circulo p = a sen e, achar y; e T em ter Resp.: 2. N a parabola p = . e a sec 2 2' mostrar que y T 3. Mostrar que y; e constante na espiral loga Como a tangente faz um angulo constante com 0 rai e tambem chamada de espiral equiangular. Mostre que tg if; = Achar os valores de if; quando 4. e na espiral de e = 27r e 47r. Resp. if; = Arch 80° 57' Achar os coeficientes angulares das seguintes cu indicados. 5. P = a (1 - cos e); 8 = 27r . Resp = a sec 2 8; p = 2 a. 7. P = a sen 4 8; origem. 8. p2 = a 2 sen 4 8; origem. 6. P 9. P 10. P = a sen 3 8; origem. = a cos 3 8; origem. 0 13. 7r P = a sen 3 e; Achar Angulo de 0 17. P cos 18. P = e= e = fi . inters~ao entre e= 2 a, p a sec 2 20. P = 4 cos e, 21. p = 22. P = sen 8, p = cos 2 26. e os seguintes p Re Na origem, 0°; nos dois outros ponto P sen 25. = a sen 2 8 . = 19. 24. P 2 a, p = 5 a sen e. a sen 8, p Resp. 23. 16. = e "2 . 2 (1 = 45° e). 600 + cos e). 300 e. 00 p = 4 (1 - cos 6 cos e, p Resp. e = 4, p2 = 16 sen 2 e. p = a (1 + cos e), p = b (1 - cos {J). P = sen 2 e, p = cos 2 e + 1. p2 sen 2 e = 8, p = 2 sec e. p2 sen 2 60° Mostrar que os seguintes pares de curvas corta reto. 27. P = 2sene, p 28. p= 29. p = a 31. p = a sec 2 2" ' ae, (1 = 2cose. pO = a. + cos e), e p p = a (1 - cos e = cossec 2 2" . e). subnormal = a, normal = v e constante. Observe-se que a subnormal 33. Achar os comprimentos da subtangente po tangente e normal na espiral logaritmica p = aO. Resp. Subtangente = - P 1 ,tangente na subnormal = = p In a, normal = p Mostrar que a espiral reciproca pO = a t polar constante. 34. 87. - Raizes reais das e<JWl~Oes. Metodos valor de x que satisfaz a equa<}ao (1) j(x) =0 diz-se uma raiz da equa<}ao (ou uma raiz de 1 (x) ). pode ser urn ntunero real ou um numel'o imagina Daremos agora metodos de detelmina<}ao aproxim l'eais. Localizat;ao* e numero de raizes. PRIMEIRO METODO. lugar de (2) Construido y = 0 grafico de j (x) , as interse~oes dele com lo~o, portanto, 0 0 eixo dos xx sao as raizes. A nu.mero de raizes e os seus valor . .. Localizar (ou a.parar) a. rafzes reais de uma equa9ao e determinar do. quais exists uma .6 das rafze. reai. da equa9il.o (N. T.). trufdo no § 58, Problema 1. E cruza 0 eixo dos xx entre e Logo, existe uma raiz real en"r~ a ha outras rafzes reais. ° o quadro da os valores de j (0 uma mudanga de ~inal. 0 quadro de valores de desenho do grafico podem lo exatamente, precisamente, algum valor de x. Isto aco valores de y para dois valores e x = b tern sinais opostos. Realmente, neste caso, pondentes P (a, f (a)), Q (b, f (b)) estao em lados dos xx e 0 grMico de (2).. ligando estes pontos, corta, dos xx. Neste caso existe, pois, uma raiz e esta dida entre a e b. Precisamente, tem-se 0 seguint Be urna fun~fio continua f (x) rnuda de sinal nur e se a sua derivada nfio rnuda de sinal nesse inte1valo, f (x) = 0 tem uma, e somente urna, raiz cornpreendida A localizac;.ao, POI' tentativas, de uma raiz depe tado. Se a distancia entre a e b nao e muito gra xima9ao ulterior pode ser achada por interpola~fio. determinar-se a interce~fio da corda PQ corn 0 eixo d por9ao do grafico ligando P a A e substituida, co ma9ao, pela corda. o :r 2 Exemplo ilustrativo (continuagao). A raiz entre e 1 pode ser localizada pelo calculo com mais justeza entre 0,3 e 0,4; ver quadro. Seja 0,3 +z esta raiz. Entao, por interpolagao (proporgao) ° z O,l = 0,583 1,807 ' z __ Dif. = 0,032. . Logo x = 0,332 e uma segunda aproximagao. Esta e a inte dos xx da reta ligando os pontos Q (0.4 ; 1,224) e P (0,3 ; sobre 0 grafico de (3). Na figura, MP = - 0,583, NQ = com a escala. As abscissas de M e· N sao 0,3 e 0,4 respec MC = z e os lados hom610goe dos triangulos semelhantes M proporgao acima. como 0. explicam os livros de algebra. -0 88. - Segundo rnetodo de localizaP ~o das ralzes reais. 0 metoda do § 58 adapta-se melhor a construc;ao rapid a do grafico de f (x). POl' este grafico as raizes sao loca mere delas determinado. Em muitos exemplos, co o mesmo resultado mais rapidamente trac;ando-se c terceptantes. 0 C'xemplo a seguir mostra como se 3 2 180 I I I I I I I I I I I I Exemplo ilustrativo. Determinar 0 oUmero de raues reaiB (x em radianos) da equao;:ao (1) ctg x - x e localizar a men or raiz. SOLU9AO, (2) = °, x (graus) Escrevamos (1) do modo abaixo ctg x = x. Trao;:ando-se as cUl'vas (3) y = ctg x e y = x, com urn mesmo sistema de cixos, as abscissas dos pontos de interse~ao serno raizes de (I), Realmeote, a eliminao;:iio de y em (3) da a equao;:iio (1), da qual devem ser obtidos os valores de x dos pontos de interseO;:iio. ° 10 20 30 40 45 50 60 70 80 90 o x (radianos) x (graus) numero infinito de solultoes. Usando tabuas de cotangentes naturais e os equivalentes radianos dos graus, podemos localizar a menor raiz com mais precisao, como mostra 0 quadro. Por interpolaltao achamos x = 0,860. Resp. 49 0,873 raiz 0,855 Dif. 0,018 50 segundo metodo pode ser descrito como seg Muda-se de membro, convenientemente, 0, obtendo-se, digamos, a equayao cer 1 (x) = h (4) (x) = 12 (x). Desenha-se as curvas (5) y = 11 (x), Y= h (x) , usando os mesmos eixos e com uma escolha conven (nuo necessariamente a mesma para os dois eixos) o numero de pontos de interse~ao destas curvas e de mizes reais de f (x) = 0 e as abscissas destes pont Os termos escolhidos em (4) muitas vezes sao t ambas as cmvas (5) sao de tipo conhecido. Por exemplo, para localizar as raizes reais de + 4x - 5 = 0 escrevemos a equagao sob a fOlma .x 3 = 5 - 4 x. x3 As curvas (5) sao entao as curvas conhecidas y = x3 , Y = 5 - 4 x, uma parabola cubica e uma l'eta. Como segundo exemplo, consideremof' 89. - Metodo de Newton. Tendo localizado todo de Newton fomece urn meio de calcular 0 v dela. A figura mostra-u.ois pontos P (a, f (a)), Q (b, j (b) ) sobre 0 grafico de j (x), urn de cada lado do eixo d a tangente em P (Fig. a). A interseyao a' desta dos xx e, obviamente, um valor aproximado da in fico com 0 eixo dos xx e portanto da corresp f (x) = 0. 0 metoda de Newton determina a in com 0 eixo dos xx. p Fig. a Fig. b Achamos a interseyao a' como segue. As co sao Xl = a, YI = f (a). 0 coeficiente angular de P Logo, a equa9ao de PT e ((1), § 43) (1) Fazendo Y = de Newton. ma~iio (K) Y- f (a) = j' (a) (x - a) . ° e achando x (= a'), temos a jo , a "= a - .f (a) f' (a) . Depois de achar a' POI' (K), podemos substitui gundo membro, obtendo uma sucessao de valores a, a', a", a''', ... , aproximando-se da raiz exata. A tangente pode tambem ser tra<jada em Q (F substituindo, em (K), a por b, obtemos b' e de b' o ou seja, valores b', b", b"', ... , aproximando-se da ralZ exata. Exemp10 i1ustrativo, Achar a menor raiz de ctgx-x=o pelo metodo de Newton: Aqui f (x) = ctg x - x, SOLU9AO. l' (x) = - cossec 2 x - 1 = - 2 - ctg2 X • Pelo exemplo ilustrativo do § 88, tomamos a = 0,855; logo, pe f Tem-se tambern l' (a) L ogo, por (K) , a' = 0,855 (a) = 0,014. = - 2 - (0,869)Z = - 2,76. + 0,014 2,76 = 0,860. Resp. Se usassemos b = 0,873 em (K), teriamos ° b' = ,8 73 - 0,034 2,704 = 0,861. Por interpolac;ao achamos x = 0,860. at€ a terceira casa decimal. Os resultados a Nas iiguras da pagina 159 observamos que o eixo dos xx entre a tangente PT e a corda PQ. estd entre 0 valor achado pelo metodo de Newton e pola~ao. 0 0 g Lo a Este resultado vale, contuda, com a r f" (x) = 0 naa tenha raiz entre a e b, isto e, com a nao exista ponto de inflexao sobre 0 areo PQ. + 2x - 8 = O. 4x + 2 = O. Resp. 1. x3 2. x 3 3. 6. = O. x 3 - 3 x - I = O. x 3 - 3 x 2 + 3 = O. x 3 + 3 x 2 - 10 = O. 7. x3 - 8. x3 + 2x 9. 2x 4. 5. 4 - 2,2 - x3 8x - 5 - 3 3 x2 - 2 - 14 x +8x 10. x 11. x4 - 12. x4 +4x 2 - 2,44 - 1,5 - 0,88 1,4 + 7 = O. - 1,71 5 x - 8 = O. - 2,76 + 2 x + 5 = O. - 0,51 4x - - 12 = O. 4 x3 3 1,6 - 2,36 - 6 x2 + 20 x + 9 = O. - 6 x2 - 20 x - 23 = O. - 2,16 4,16 - 4,60 Deterrninar graficamente 0 nUmero de raizes re das seguintes equll.95es. Calcular a menor raiz (dif usando a formula de interpolll.9ao e a de Newton. +x = O. Resp. Uma raiz; x 13. cos x 14. tgx - x = O. Nillnero inf 15. cos 2x - x = O. Urna raiz; x 16. .3 sen x - x = O. Resp. Tres raizes; x = 2 22. = O. cos x - 2x 2 = O. ctg + x 2 = O. 2 sen 2 x - x = O. sen x + x - I = O. cos x + x - I = O. 23. e-z - cos x = O. 17. 18. 19. 20. 21. 2 sen x - x2 Duas raizes; x = 1 Duas raizes; x = 0 N Umero infinito de Tres raizes; x = 1 Urna raiz; x = 0,5 Uma raiz; x = O. NUmero infinito de 27. 2sen!x-cos 2x=0. Nl1mero infinito de 28. tg x - 2 e'" Numero infinito de = O. 29. 0 raio interior reo exterior R, em polega de uma maquina a vapor, que transmite H cavalo velocidade de N l'otac;oes por minuto, satisfazem a re 33HR Nrr 2 • Se H = 2500, N = 160 e r = 6, achar 30. Uma cuba ciUndrica de fundo hemisferico de diametro e uma capacidade de V polegadas cu que 0 comprimento da patte cilindrica e de h pol que d 3 + 3 hd = 2 12 V. Dados h 7r = 20, V = 800 Resp 31. Se sabre urn a9ude de B pes de largura, cae de agua por segundo, tem-se 3 Q = 3,3 (B - 0,2 H) H2 (f6rmula de Fra onde H ea altura da agua acima da crista do 3 Q = 12,5 e B = 3, achar H. (Tire H2 da f6rmu senhe) R Se V pes cubicos e 0 volume de uma !i1)ra peratura de 'J'O F. e a pressao de P libras por pol 32. V = °, 6490.!.... _ 22,58 P !. p4 Dados V = 2,8, T = 420°, achar P. 33. A corda c de um arco s de urn ciJ'culo de raio r e dada aproximadamente pela formula Se r = 4 pes, c = 5,60 pes, achar s. Resp. s 35. 0 volume V de um segmento esferico de uma ba,'sc, de altura CD=h e V = (rh 2 7r - th 3) Achar h se r = 4 pes, v = 150 pes cubicos. Resp. h = 4,32 pes. 36. 0 volume V de uma coroa esferica de raio R e espessura t e V = 47r t (R2 - Rt +t n Deduza este resultado. Se R = 4 pes eVe a me de uma esfera de igual raio, aehar t. Resp. Uma esfera de madeira de peso especifico mergulha na agua a uma profundidade h. Seja x que 2:t 3 - 3 x 2 + S = 0. (Vel' problema 35). Ach = 0,786. 37. 38. Aehe 0 menor valor positivo de 0 para 0 p = cos 0 e p = c- o se cortam. Ache 0 angulo de ponto. Resp. 1,29 OUfROS 1. Achar 0 angulo de PROBLEMAS inters~ao das cUl'vas p = eO no p:mto dc inters~ao mais afastado da or Resp. 0 ponto de inters~ao 2. Mostre quc a curva p angulos retos. = e 0 a !lcn 4 i = 0,54 e cort~t-se Urn raio veto I' da cardi6ide p = a (l + co centro C do circulo p = a cos 0 tira-se um raio CQ e do mesmo sentido. Prove que PQ .e normal a ca 3. 164 APLICAgOES A EQUAQOES PARAMETRICA 4. Um quadrado tem uma das diagonais ao lon Esta circunscrito a cardi6ide p = a (1 - cos 0). M 27 _ /area e 16 (2 + v 3) a 2 • 5. A trajet6ria de uma particula ea elipse p A particula move-se de modo que 0 raio vetor p de velocidade de varial}ao constante. Ache a razao e dades da particula nos extremos do eixo maior. Resp. 1 1 90. - Introdu~ao. Y = f (x) pelo simbolo Ate agora representamos ~~ = l' (x). Com insistencia chamamos a aten9ao do leitor que 0 simbolo devia ser considerado nao como uma frayao de nume minador dx e sim como um todo, um Unico simbolo limite de quando Ax tende a zero. Hi problemas onde e importante dar sentido a damente e outros onde isto e muito util, como ve cayoes do cilculo integral. Como faze-Io e 0 que v a seguir. 91. - Definil;oes. Be l' (x) e a derivada de f (x cular valor de x e &; e um acrescimo arbitrariame x, entao a diferencial de f (x), que se indica pelo definida pela equ&9ao (.4) dj(x) = l' (x) Ax = 165 ~~ Ax. Logo, quando x e a variavel independente, a difere Ax. Portanto, pode-se escrever a equa9ao e igual a (B) rly = l' (x) dy dx* = -d dx. :1: A dijerencial de uma junr;ao e igual d sua deriv pela dijerencial da varidvel independente. y Vejamos 0 significado geometrico disto. Tracemos a curva Y Seja j' (x) 0 Tomemos dx dy = j (x). valor da derivada em P. entao = PQ; QT = l' (x) dx = tg T. PQ = PQ PQ = Lo.go dy, ou dj (x), e 0 acrescimo (= QT) da orde correspondente ao acrescimo dx. Isto da a seguinte interpreta9ao do simbolo da fra9ao. Se urn acresczmo arbitrariamente escolhido da dente x relativo d abscissa x de um ponto P (x, y) so = j (x) e indicado com dx, entao a derivada dy dx indica 0 = j' (x) = tg T ' correspondente acrescimo da ordenada da tan Observe 0 estudante que a diferencial (= dy) (= ~y) da fun9aO correspondentes ao mesmo valo nao sao em geral iguais. Assim, na figura, dy = QT • Em virtude da pOBicao que a dcrivada /' (x) ocupa em (B), costuma de coeficiente direrencial de / (x). v~zes. funyao e mais facil usualmente calcular diferencial e usar este valor. 0 valor da Exemplo ilusttativo 1. Achar, aproximadamente, 0 vol esferica de dilimetro exterior igual a 10 pes e de espessura i SOLu<;;10. 0 volume V de uma esfera de diametro x e (1) Obviamente, 0 volume exato da coroa e a diferen~a ~ V de duas esferas com diamtreos 10 pe~ e 9 pes, respectivame apenas um valor aproximado de ~ V, podemos achar dV. De i dV = t 11" x2 dx , pois ~~ = t 11" x2 • t, Pondo x = 10, dx = obtemos dV = 19,63 polegad madamente, onde desprezamos 0 sinal que significa merame quando x decresce. 0 valor exato e ~ V = 19,4 pol. cub. N xima~ao e acentuada porque dx e relativamente pequeno, is parado com x (= 10). 0 metodo nao valeria a pena, do co Calcular tg 46°, aproximadame Exemplo ilustrativo 2. renciais, dados tg 45° = I, sec 45° = v2, 1° = 0,01745 radia SOLu<;;10. Seja y = tg x. Entao, por (B), dy = sec2 x dx . (1) Quando x muda para x + dx, y muda para y + dy, aprox (1) fa~amos x = 11" (45°), dx = 0,0175. Entao dy = 0,0 = tg 45° = 1, y + dy = 1,0350 = tg 46°, aproximadamente. (Tabuas de 4 decimais dao tg 46° = 1.0355). t 93.-Erros pequenos. Uma segunda aplicayao apresenta-se quando se quer computar pequenos er Exemplo ilustrativo 1. Mediu-se 0 diametro de urn 5,2 polegadas, com urn erro maximo de 0,05 pol. Achar 0 m mado da area quando calculada pela f6rmula A = t 11" x2 SOLu<;;10. 0 maximo erro exato em A e, obviamente entre 0 valor dado por (1) quando x = 5,25 e 0 valor dado por o erro aproximado e 0 correspondente valor de dA. Logo (1) dA = t 11"' dx = t 11" X 5,2 X 0,05 = 0,41 pol. q du 100 = erro per centum. u (3) Por deriwQao logaritmica (§ 66) pode-se acha erro relativo. Exemplo ilustrativo. precedente. SOLUQAO. Achar os erros relativo e per ce Tomando, em (1), os logaritmos naturais, log A = log Derivando, 1 dA t 7r + 2 log x • 2 dA 2dx ACiX=--;-' e A=-x- Pondo x = 5,2; dx = 0,05, achamos Erro relativo em A = 0,0192; erro per centum = 1,92% Os erros em calculo considerados aqui sao deV erros nos dados sobre os quais se basea 0 calculo. sao devidos a falta de precisao nas medidas ou pod suItar de outras causas. PROBLEMAS 1. Sendo A a area do quadrado de lado x, ach uma figura mostrando 0 quadrado, dA e ~. Res 2. Ache uma £6rmula aproximada para a are circular de raio r e largura dr. Qual a f6rmuJ.a exa Resp. dA = 2 7rr dr; ~A = 7 Quais os erros aproximados no volume e a de aresta igual a 6 polegadas se urn erro de 0,02 po medir a aresta? Resp. Volume, ± 2,16 pol. cub; area, .± 3. 4. As f6rmulas para a area e 0 volume de uma pectivamente, A = 4 7r r 2 , V = 7rr 3 • Mediu-se 0 3 polegaclas. Pergunta-se: (a) qual 0 maximo e t 5. Mostre com uso de diferenciais que 1 1 x 0 dx (aproximadame + dx 6. Ache urna formula aproximada para 0 volu gada coroa ciHndrica de l'aio r, altura h e espessur Re3p. 2 'll'"rht (t muito 7. Deve-se construir uma caixa de forma cub cidade de 1000 pes cub. Qual a precisao da medid rior afim de que 0 volume seja correto a menos de Resp. Erro:: 2 Se y = x 3 e 0 passivel etto na medida de x = 27, qual 0 erro possivel no valor de y? Use est 8. 2 2 Re Use diferenciais para achar um valor aproxima das seguintes expressoes obter valores aproximados de (27,9)3 e (26,1)3. 9. Y66. ll. ~120. 13. 10. Y98. 12. ~101O. 14. 17. Se In 10 = 2,303, aproxime In 10,2 par 18. Se e2 = 7,29, aproxime e2 ,1 por diferenciais. 1 00' 1 V51 19. Dados sen 60° = 0,86603, cos 60° = 0,5 e diana, use diferenciais para 0 computo dos valore das expressoes abaixo, com quatro decimais: (a) sen (c) sen 59°; (d) cos 58°. Resp. (a) 0,8835; (b) 0,4849; (c) 0,8 0 tempo de uma oscilac;ao de urn pendulo 'll'" 2l mula t 2 = - - onde t e medido em segundos, g = g primento do pendulo, e medido em pes. Achar mento de urn pendulo oscilando uma vez por segu 20. culo afim de que a area seja exata a menos de 1 por Resp. 22. Mostre que 0 erro relativo no volume de vido a urn eno na medida do diametro, e tres vezes no raw. 23. Mostre que 0 eno relativo na n-egesima nUmero e n vezes 0 erro relativo no nUmero. Mostre que 0 erro relativo na raiz n-egesim vezes 0 erro relativo no numero. 24. e lin 25. Quando urn bloco cubico de metal e aquec cresce 1/10 por cento por grau de aumento na temper que a superficie cresce 2/10 por cento por grau e que 3/10 por cento por grau. 94. - ForIllulas para achar as diferenciais Como a diferencial de uma fun<;ao e igual a deriva pela diferencial da valiavel independente, resulta lo mulas para achar diferenciais sao as mesmas que as vadas dadas nos § § 29 e 60, se multiplicarmos cada u Isto da I II III IV V VI VIa VII d (n + d (c) d (x) v - 10) d(cv) d (uv) d (un) d (x n ) = V du = 1t V = d;t. X d (In v) = -. XI d(a") d + v duo du - u dv . v2 (~) VII a dw = nvn- 1 dv. = nxn - 1 dx. (~) = d O. = dx. = du + dv = cdv. dv v = a"lnadv. XIV d(cosv) = senvdll. - d (~g v) = sec 2 v dv. XV XX d (arc sen v) = / Et dv V 1 - v2 . E o termo "diferenciaQao" e usado para indica aehar as diferenciais. Na diferenciaQiio de uma fu derivada desta do modo usual e depois multiplica-se Exemplo ilustrativo 1. Achar a diferencial de x+3 y= x 2 +3' + 3 ) = (:z;2 + 3) d (x + 3) +3 (:z;2 (x + 3) dx - (x + 3) 2 x dx _ (3 - 6 x (:z;2 + 3)2 (:z;2 + 3 d SOLUQAO. = d ( x Y _ - Exemplo ilustrativo 2. SOLUQAO. x2 Ache dy em 2 b2x dx - 2 a2 y diJ = 0 . b2x ay . • dy = 2"' dx. Exemplo ilustrativo 3. Ache dp en p2 SOLUQAO. Resp. = a 2 cos 2 0 . 2 p dp = - a 2 sen 2 0 . 2 dO . 2 • . Exemplo ilustrativo 4. dp = _ a sen 2 0 dO. p Ache d [arc sen (3 t - 4 t3) SOLUQAO. d [arc sen (3 t-4 t3)] = 3 ] • d (3 t - 4 t ) = VI - (3 t - 4 t3)2 V x a 2. Y = -a +-. x dy = ( -l 3. y = Vax + d1 y = 4. y=xVa 2 - x 2 • b. a 2 dy = V (a 2 V 5. s = wl't. ds 6. u = In cv. dv dy= - . v 7. P = sen aiJ. dp = a co 8. Y = In sen x. dy = ctg 9. P = 0 cos O. dp = (co 10. s = et cos 7ft. ds = e' (c = abel" Achar a diferencial de cada uma das seguintes 11. y=~: -~~. 15. P = 12. u=Ve'+l. 16. s = 13. y= 17. p = 18. Y= va x 2 - x2 ~;=-; -a +x' 14. y= 19. • 2 Se x· + y . xd:c = a2 , mostre que dy = - - y Ache dy em termos de x, y e dx de cada um equa<;:oes. 22 • 23. + 4 ...;xy + 2 y = a. ...;-; +"';y =...;;;. X Y = 25. X - 26. sen (x-y) 27. A meclida dos catetos de urn triangulo fo para um deles e 21,4 pes para 0 outro. 0 maxim medida e ± 0,1 pe. Achar 0 maximo erro em grau angulo oposto ao lado menor, usando a f6rmula qu desse Angulo. 95. - Difereneial do areo em coordenadas Seja 8 0 eomprimento do areo AP medido de um p eurva. Seja As 0 aereseimo de 8 (= arco PQ). a seguir pl essupoe que quando Q tende a P lim ( corda PQ) = 1. areo PQ Da figura, (1) (corda PQr = (Llx)2 + (Ay)2. Multiplieando e dividindo por (AsP no primeiro dindo ambos os membros por (Ax)2, obtemos Fa9amos agora Q tender a Pi entao Ax --+ ae (3) Multiplicando ambos (C) 08 membros por dx 2 , obte De (C) resulta tambem (E) ds = dx 2)! ( 1 + ( dy ) dy. como se ve facilmentc. TOdas estas f6rmulas sao tlteis De (D) obtemos ds agudo, pois 1+ = ( ~~ sec T dx, supondo que y 1 + tg 2 T = sec 2 T T • Logo, pode-se facilmente demonstrar que dx (F) ~ = cos T, dy ds = sen T. dy dy dx [ -ds = - dx • - ds = tg T c::>s T = sen T Para rcferencia posterior, acrescentamos as f6rm (G) COST 1 = ----: (1 onde y' = ~~ + y'2} , u' sen T = (1 + y'2 . Se 0 Angulo T e obtuso (y' < 0), deve-se colocar tivo antes dos denominadores em (G) e antes de cos E,ltil0, PI' = V dx + d!l2 = ds. POl' (C). A figura ajuda a memorizar as rela90es aClllU1. A hip6tese feita no principio deste paragrafo ep 95. - Difereneial do area em eoordenadas reb90es. x = p cos (1) e, y = p sen e entre as coorclcnacbs rcbngillai cs e polares de urn pOl' V, XIII e XIV do § !:l4, (2) dx = cos edp - p sen ede, dy = sen edp Sllbstituindo em (C), § 95, reduzindo e extrai drada, obtemos 0 resultado (H) ou, escrito de outro modo, (1) A figura foi feita angulo if; compreenclid vetor OP e a tangente (§ 85) e tambCm p, Ae - OP), positivos. To o varia-vel independente. No triangulo I'etangulo PQI', tomemos PQ = dp. -= tgif; dp. l\las tg if; dO = P dp . POI' (lJ), § 8;). Exemplo ilustrativo 1. SOLUQAO. Achar a diferencial do areo do elrcl Derivando, Para aehar d8 em termos de z substitufmos em (D), obt dB = t- (1 + r dz = (11 ~ z2r dz =( ~ r dz ... Para achar d8 em thmos de y substituUnOB em (E), obte d8 = ( 1 + 11 Z2 )i dy... Exemplo ilustrativo 2. (z2--;r+ 1I)i dy ( )i r = -;f dy ... Achar a diferencial do area (V = a (0 - sen 0), y = a (I - eos 0) em termos de 0 e dO. trativo 2, § 81). SOLUQAO. Diferenciando, dz ... a (1 - cos 0) dO, dy = a sen 0 dO • Substituindo em (e), d8 2 = a2 (1 - De (5), § 2, cos 0)2 d0 2 1 - cos 0 = 2 sen 2 t O. Exemplo ilustrativo 3. = a (1 -cos 0) em fun~ substitui~o "" 2 a2 (I - C Logo d8 ... 2 a sen Achar a diferencial do arco d de O. SOLUQAO. Diferenciando, A + a2 sen2 0 dfJ2 ~ = a sen O. em (1) dA '.is = [a2 (1 - COB 0)2 + a2 sen2 OJ t dO ... a (2 = a 2 COB O)t dO ... 0 ( 4 sen 2 2" )t dO = PROBLEMAS Para cads. uma da.s curvas abaixo achar ds em te Resp. ds = VI + x 4. 6 xy 5. Y 6. 7. 8. 4 d - (x + 1) d s2 x'2 = x 4 + 3. = In sec x. a 2y = x 3. ay2 = x 3. V-;+vy= ds 9. 10. V~ 11. Para cada uma das curvas 12. y2 14. x3 16. y2 - 2 x - 3 y = O. = 2 2 2 segui~tes ache px. 2 = secx dx. 2y = &' + e Y = sen x. Y = cos X. ds em t ds = Resp. Vy 3 2 + y3 = as. ds = 17. - ~~ 2 xy2 - Para cada uma das curvas abaixo ache ds, sen termos de t edt, + 3, y = 18. x = 2t 19. x = 3 t2, t2 - Y = 2 t3 • 2. 20. x = a se 21. x = 4co Para cada uma das curvas seguintes achar ds em 22. P = a cos e. ds = a de. 23. p = 5 cos e + 12 sen e. ds = 13 de 24. p = 1 - sen e. ds = V2 (J 2· 27. P = sec 2 28. P = 2 - cosO. 29. p = 2 + 3 sen O. 32. P=I+c 33. P= 3 - 34. p= 1-3 97. - Velocidade como rapidez de varia~ao estudo do movimento curviUneo (§ 83), a. velocid por (E), (1) Por (C) e (D) do § 83, dx v., = . cit ' VII = dy (it . Substituindo em (1), usando diferenciais e, (C), (2) Extraindo a raiz quadrada, e tomando 0 sinal Logo, num movimento curvilineo, a velocidade de de varia~ao do comprimento do arco da tra e a rapidez Este resultado deve ser confrontado com a def cidade no movimento retilineo como a rapidez de v tancia (§ 51). 98. -Diferenciais como infinitesimos. Em m cada a' diferencial e muitas vezes tratada como infin isto e, como variavel que tende a zero. Reciproca entao tambem dx ~ O. Contrariamente, Ay e dy na iguais. Mas, quando x tern um valor fixo e Ax (= tesimo, entao Ay tambem 0 e, e, de (B), § 91, dy t tesimo. Ainda mais, e f3.cil provar a igualdade Ay . 11m - - = 1. (1) ~dy DEMONSTRA.<;Ao. podemos escrever Como ~~ ~~ = = l' (x). f' (x) + i, se ~ Daqui resulta, em virtude de (B), Ay = dy para Dividindo ambos os membros 0 primeiro membro, Logo + iLh POl' Ay e trazendo lim dy = 1 ou tambem lim AdY = b.y' ~ y Az-+O Damos agora, sem demonstrac;ao, 0 TEOUE~1A DA SURSTITUI<;AO. Em problemas qu mente 1'azoes entre inf initesimos simulUineos, isto e, jurz a zero quando a varidvel indepfJndentc tcnde a um mesm substituir 7l1n injinitesimo par outro simultaneo semp o primeiro sejam tais que a limite da raztio entre eles ig t Exemplo ilustrativo 1. Par (5), p. 3, se x = i, 1 Seja i um infinitesimo. Entiio, par (B), § 68, sen i pode se sen 2 i par i 2 e par conseguinte I-cos i par ",'2. Tamhe.m pode ser substituida par i. t t t Exemplo ilusuativo 2. . Em (1), § 95, todas as grand mas, se ~x - t O. A eqllac;iio e homogenea, sendo cada termo Pelo teorema, podemos substituir as infinitesimos como segu Corda. PQ par arco PQ = ~s e ~s par ds; + dy2, isto, e (C). ~y par dy; ~ (1) torna-se ds 2 = dx2 99.-0rdem de infinites.imos. Diferenciais perior. Sejam i e j infinitesimos simultaneos, isto tendem a zero quando x tende a um certo valor x = a lim ~ x~a = L. t Se L ~ 0, diz-se que i e j tem a mesma ordem. Se L = 0, diz-se que j e de ordem superior a i Se L = ex:>, diz-se que j e de ordem inferior a i Seja L = 1. Entiio.i - i e de ordem superior a A reciproca tambem vale. N est.e caso (L difcre de i par urn infinitesirno de ordem superior. = Par exemplo, dy e ~x sao de mcsma ordem c l' (x) c dife infinito, pais ~y e ~x sao, com a hip6tese feita, de mesma - dy e de ordem superior a ~x. Par esta razao, dy diz-se ..D.y". Obviamente, potenc;:ls de um infinitesirno i sao de o Exemplo ilustrativo. Prove a hip6tese do § 95, r 1m corda PQ = l. area PQ SoLUgAO. Da figura resulta, par geometria, corda PQ r < arco PQ < PT + TQ. Portanto, dividindo, 1 < arco PQ < PT corda PQ corda PQ + TQ corda PQ Mas, corda PQ = sec t/> t1x, PT = sec T t1x, o TQ = t1y - dy; logo PT sec T corda PQ·= sec ci>' TQ corda PQ = t1y cos t/> ~ Portanto Dijerenciais de ordem superior. d2 y = 1" (x) &;2 Seja y = f (x). = y" &;2 define a dijerencial segunda de y. Se y" ~ 0 e ~ co , ordem que &;2, e portanto de ordem superior a .d mente, podem ser definidos d 3y, ... , dny. PROBLEMA Num trillngulo ABC os lados a, bee sao infi taneos e cede ordem superior a b. Prove que lim CURVATURA. RAIO E CIRCULO DE CUR 100. - Curvat\U'a. No § 55 estudamos 0 com eoncavidade de uma curva. Vimos que ela depend de dire~ao da cur:va. Esta veloeidade chama-se, qu num dado ponto da curva, curvatura da curva no po por K. Vejamos a sua expressao matems.tica Na figura, P' e um ponto da curva pr6ximo do ponto P, onde vamos ealeular K. Quando P desereve 0 areo PP' (= D.s), a tangente PT varia, tomando a posi9B.O P'T' quando Pests. s6bre P'. Portanto, 0 angu]o T que a tangente PT faz com OX recebe um aereseimo ~:r quando P passa a P'. Pois bem, por defini9B.o ~: = eurvattlra }' media do area PP'. A eurvatura em P (= K) e 0 limite da curvatura P' tende a P, movendo-se sobre a eurva, isto e, (A) . D.T dT K = hm ~ = -ds = eurvatura em P A......o u.S Formalmente, a curvatura e a velocidade de va em rela~ao ao area (confronte § 50). ~ao 182 TEOREMA. A curvatura de um cfrculo num po reciproco do raio e, pm-tanto, e a mesma em todos os DEMoNSTRAl;AO. 0 Angulo tiT, da figura, eompreendido entre as tangentes em P e em P' e igual ao Angulo e~ntrieo PCP' eompreendido entre os raios OP e CP'. Logo. ang. PCP' tis R tis tis y o = pois 0 angulo PCP' e medido em radianos, isto e, a do area PP' e igual a uma eonstante. Fazendo t resultado desejado. Do ponto de vista da eurvatura, 0 eITculo e a m curvas, pois que se encurva com velocidade de eurv Obviamente, a eurvatura de uma reta e zero em t 102. gulares. Formulas para a curvatura, coord TEOREMA. Quando a nadas retangulares, entao (B) equa~ao de uma curva e y" K-= 3' (1 + y'2)2 onde y' e y" sao, respectwamente, as derwadas prime y em rela~ao a x. DEMONSTRAl;AO. Como T = arc tg y' temos, derivando, (1) dT d7 = y" 1 + y'2 ~or X Dividindo (1) por (2), obteI?os (B). Se y for a variavel independente, EXERcfcIO. (C) - x" K = 3' (1 + X'2)2 onde x' e x" sao, respectivamente, as derivadas prim de x em rell19ao a y. A formula (C) e usada nos casos em que a deriva aye mais simples. A formula (B) nao vale quand isto e, quando a tangente em P e vertical. Neste ca bem, a (C), que fornece x' = 0 e K = _. x". Sinal de K. Escolhendo 0 sinal positivo no d (B), vemos que Key" tem sinais iguais, isto e'.. K e gativo, segundo a cmva e concava para cima ou pa Exemplo ilustrativo 1. Aehar a eurvatura cia parabol ponto (1, 2,), (b) no vertiee. , Y SOLUl;AO. 2 =-, y" = Y ~ (~) dx = _ Y 2 y' y2 (a) Quando x = 1 e y = 2, temos y' = 1, y" = - t. 1 . /(B), K = - 8" v 2 = - 0,177. Logo, em (1,2) a eurva e e6 a inelinayii.o da tangente varia na razii.o de 0,177 radiano po Como 0,177 radiano = 10°7',0 a.ngulo entre as tangentes em P Q, tal que areo PQ = 0,1 unidade, e aproximadamente 1°. (b) No vertiee (0,0), y' e infinita. x' = ~. y, x" = ~ :~ = Logo, usa-se (e). ~' K = - ~' R sen 8 , y = l+y,2';" Logo 1 - cos 8' 2 . 1 - cos 8 No exemplo ilustrativo do § 82 mostrou-se tambem que 1 y" = - a (1 - cos 8)2 . Substituindo em (B), K = _ 1 1 4 a sen! 2 a V2 - 2 cos 8 8· R 103. - Formula especial para equa~oes para equayao (A), § 81, temos, pOl' deriva<;ao (1) dy' dt Logo, usando (B), § 82, substituindo em (B), § 1 obtemos (D) K = x' y" - y' x" 3' (X'2 + y'2)2 onde as linhas indicam derivadas em rela<;ao a t, is Y" = d -- A f6rmula (D) e comoda, mas e melhor muitas como no exemplo ilustrativo 2, § 102, achando y' y" como no § 82~ e substituindo diretamente em C (E) K = p2 + 2 p'2 _ pp" 3' (p2 + pl2)2 onde p' e p" sao, respectivamente, as derivadas pri de p em rela«;ao a 8. DEMONSTRA9AO. Por (1), § 85, r = 0 + if;. Logo (1) Pot (H), § 85, Logo dr dO = 1 + dif; dO . if; = arctg 4. p dif! p'2 - pp" dO = p'2 + p2 . Consequentemente, por (1), (2) dr p2 + 2p' 2 - pp" p2 + p'! (p2 + p'2)i . dO = De (1), § 96, (3) ds dO = Dividindo (2) por (3), obtem-se (E) Exemplo ilustrativo. num pont.() qualquer. Achar a curvatura da espiral l de uma curva de (B), e igual ao redproco da eurvatura nes 3 (F) R = Exemplo ilustrativo. Achar 1 + y'2 = 1 = 1_+-,---:,,-Y'--,2)_2 .0....( K da catenaria y = ; SOLUQAO. ..!.. 0 y" raio de curvatura nu (e: + e-:) (figura no capitulo XX -=- e--=-) 1 ( e (J y' = 2" 1 ( +"4 -=- e (J - - e (J ; y" = 21a (-=e. + (J _-=-)2 ="41 ( e-=- + e_-=-)2 = (J . (J (J 106. - Curvas de transi~ao (estradas). As tradas devem ser eonstruidas de modo a permitirem suave de um treeho em linha reta para outro de d afim de ser possivel 0 usa das mesmas com velocidade de tornar gladativa a mudan9a de curvatura, os en uso de curvas de transi<;iio para ligar as partes retas do curvas devem ter eurvatura nula nos pontos de mente, empregam-se para este fim areos de parabo Exemplo ilustrativo. Uma curva de transi<;iio num forma de um arco da parabola cubica y = x3. Com que dire<;iio um carro que percorre este trecho da estrada, quando (3,9)? (b) pelo ponto (2, ~)? (c) pelo ponto (1, t)? (A u mento ~ uma milba). t SOLUQAO. dy dx Substituindo em (B), K = = ~y z2 ' dz2 = 2 x. 2x 3' (1 + ;c4)2 (c) .Em (1, il, K = :1. = 1 radiano por milha = .y' 2 107. - Circulo de curvatura. Consideremos curva C. A tangente a curva em P tem 0 mesm gular que a curva em P (§ 42). Podemos tambem construir, em cada ponto da curva, um circulo tangente cuja curvatura seja a mesma que a da pr6pria curva no ponto. Para isto, procedemos como segue. Tra9amos a normal a curva em P, do lado c6ncavo da curva. Sobre ela marcamos um ponto c tal que dis de curvatura ( = R) em P. Com c como centro circulo passando por P. A curvatura deste circulo 1 K=- R' isto ~, a curvatura do circulo e igual a da curva e assim construido chama-se circulo de curvatura no po Em geral, circulo de curvatura de urna curva a curva no ponto. Isto esta ilustrado pela figura a com a tangente num ponto de inflexao (§ 57)). 0 Assim como a tangente em P mostra a dire9ao o circulo de curvatura em P ajuda-nos a, materi 'uma ideia geometrica da curvatura da curva em P em P as velocidades de varia9ao da dire9ao da cu do circulo. Num pr6ximo paragrafo (§ 114), 0 circulo de definido como a posi9ao limite de um circulo seca <tao amlloga a de tangente dada no § 28. SOLUQAO. dy Para (3,4), (h = - 4 3· R= o cfrculo de curvatura cruza a curva em dois pontos Achar R em (2, 1) para a hiper Exemplo ilustrativo 2. x 2 + 4 xy - 2 y2 = 10. SOLUc;:AO. Derivando, tomando y como funQiio impli x + 2 y + 2 xy' - 2 yy' = o. Derivando de novo, tomando y e y' como funQoes impl 1 + 4 y' - 2 y'2 + 2 (x - y) y" = o. Substituindo os valores dados x = 2, y = 1, achamos Logo, por (F), R = 2 3 V - 5. Resp. o m~todo deste exemplo (precisamente, tomar y e y' c citas de x) e usado, de preferfulcia, quando se quer somente o de y' e y" e nao expressoes gerais para eles em termos de x e PROBLEMAS Ache 0 raio de curvatura de cada uma das no ponto indicado. Trace a curva e 0 correspon curvatura. 1. 2y = x 2 ; (0,0). (!'lr, I), 4. Y = sen x; 5. Y = eZ; (0, 1). 6. x2 - 7. y 2 = x 3 + 8; (I, 3). 4 y2 = 9; (5, 2). 8. Y = 2 sen 9. Y = tgx; Calcule 0 raio de curvatura no ponto (Xl, Yl) d curvas abaixo. R = (1 + Y = x 3• 11. y 2 12. b2x 2 - a 2y 2 = a2b2 • 13. b2x 2 + a2y2 = 14. x 15. xS 16. X = rare vers .JL - Y2 ry - y2. R 17. Y = lnsecx. R 6 = 2 px. 1. 2 2 y2 Resp. 10. 1. .+ y2 a 2b2 • ! R= = a . 2 + yS = R = (b4z 12 2 (Xl 2 as. R r 18. Se 0 ponto de contato da tangente em (2 = 8x move-se ao longo da curva uma disMncia que angulo, aproximad'amente, dara a tangente um diferenciais). A inclina9ao da curva 27 y = x 3 . no ponto Use diferenciais para achar aproximadamente a incli no ponto B da curva tal que a distancia, ao longo A e B seja Lis = 0,2 unidades. 19. 21. A espiral de Arquimedes P = aO. R 22. A cardi6ide P = a (1 - cos 0). R 23. A lemniscata p 2 = a 2 cos 2 O. R 24. A parabola P 25. A curva P 26. A trissetriz P 27. A hiperbole equilateral p 2 cos 2 28. A comca P = 1 A = a sec 2 to. R R = a sen 3 to. = 2 a COB 0 - a. e= a 2 a • R= a(1-e 2) (1 a (1 - e2) 0. - e cos • R= (1- Achar 0 raio de curvatura de cada uma das cu ponto indicado. Desenhar a curva e 0 correspond curvatura. 33. 35. 30. x = 3 t2, Y 31. x = 2 et , y = 2 e- t ; t = O. 32. x = = = - 1; t = x = 2 t, Y t2 29. 3 t - t3 ; t 1. = Resp. 1. a cost, y = asent; t = tl. x = 2 t, Y = ~; t = 1. 36. x=2 sen t, y 37. x=tg t, Y = x = 4 cost, y=2sen t; y= 1. 38. x=t-sen t, y circulo x Y Achar 41. 0 = a (cos t + t sen t), = a (sen t - t cos t) .. ponto da CUlva y = e" onde a curva Resp 42. tura e Achar os pontos da curva 3 y = x 3 maxima. - 2x Resp. Mostrar que 43. 0 raio de curvatura e infinito iriflex:ao. Dada a curva y 44. 3 x - x3, = (a) Achar 0 raio de curvatura no ponto maximo ordenada e maxima) e desenhar 0 correspondente circu (b) Provar que 0 ponto maximo da curva nao e xima curvatura. (c) Achar a menos de centesimos a abscissa do xima curvatura. R 45. Achar 0 raio de curvatura em cada ponto nimo da curva y = x 4 - 2 x 2 . Desenhar a curva e curvatura. Achar os pontos da curva onde 0 rai e minimo. Mostrar que num ponto de minimo raio sabre a curva y = f (x), tem-~e 46. ;3 (ddxY) (ddx211 )2 ddx3y [1 + (ddxV)2] = 2 47. 3 Mostrar que a curvatura da parabola cu . crcsce de zero a urn maximo quando x cresce de zer Achar 0 minimo valor do "raio de curvatura. mesmos valores em P para DEFINI9AO. sobre a curva e0 Teorema. P (x, y) sao (G) As coordenadas a, {3 do centro d a=x- (2) 7/' (1 + y'2) y" e dado , {3=y+ (l + y" A equagao do circulo de cur (x - a)2 (1) eireulo de eurvatura 0 centro decurvatura (a, (3) em u centro do circulo de curvatura. DEMONSTRA9AO. onde R 0 pOl' (F). Y' = _ +. (y - (3)2 = R2 , Derivando (1), yX _- ~fJ , " Y = - R2 (y - (3)3 . Da segunda destas equa<;oes, obtemos, substitu R dado pOl' (F). (3) (y - (3)3 = (1 + 7/'2)3 y-{3= y"3 - Da primeira das equac;oes (2) obtemos, usand (4) x - a = - Y, (y - Achanda {3 em (3), a em (4), obtemas (G), Q.E.D. EXERCicIO 1. Calcule (G) diretamente da figura, usanda (G), §9S, (a = x-R sen T, (3= Y+COST, etc.). EXERCicIO 2. Se x' e x" sao, respectivamente, a derivada prim6ira 1/ (1 I'~'" J) = + 1. y" derivayao em relayao aye mais simples. Exemplo ilustrativo. Achar as coordenadas do centro parabola y2 = 4 px correspondente (a) a urn ponto qualquer vertice. SOLU9AO. Usando (H), temos x' Logo a=x+ Portanto y2 + 4 p2 2p Cir{3 x + 2 p, - Y = 2 p' x" = 1 2p' y =3x+2p, ;2) Y 4 e 0 centro de curvatura correspondente a urn ponto qualquer da curva. (b) (2 p, 0) e0 centro de curvatura correspondente ao v Sabemos, pelo § 57, que num ponto de inflex figura abaixo). d 2y ~ = O. dx- Logo, pOl' (B), § 102, a cUl'vatura K = 0; pOl' (F) § 108, vemos que, em geml, a, {3 e R crescem quando a derivada segunda tende a zero, a menos seja vertical, isto e, supondo que P se move com a tangcnte ao longo da curva ate pi, no ponto de inflexao Q a curvatura e zero, para momentaneamente a rotayao da tangente e como a direyao desta rotac;ao mud3, o centro de curvatura se distancia indefinidamente e, portanto, 0 raio de curvatura tende ao infi-nito. 109. -Evolutas. 0 lugar dos centios de curvatura de uma dada curva chama-se a evoluta siderem6s 0 circulo de curvatura em urn ponto P d luta de PP7 • As formulas (G) e (H), § 108, dao as coordena ponto qualquer da evoluta em termos das coordena respondente ponto sobre a curva. Mas y e uma fu estas formulas dao logo as equa~i5es parametricas da e do parametl'o x. Para achar a equal/ao retangular da evoluta, e entre as duas expressoes e a equaC;ao dada da cur urn processo de eliminaC;ao que possa ser aplicado em dependendo 0 metodo a ser adotado da forma da N urn grande numero de casos, contudo, 0 Idtor pod c;ao retangular da evoluta seguindo os passos abai ~i5es PRIMEIRO PASSO. Ache a e [3 de (G) ou (Ii), SEGUNDO PASSO. Ache x e y em termos de a e obtidas. Substitua estes valores de x e Isto dd uma rela~iio entre as van'6.vei da evoluta. TERCEIRO PASSO. ~iio e reduza. equa~ii.o p ex - 2p x=--3-' Segundo pa8so. Terceiro paSso. (4 p2 fJ)i = 4 p ( ex pfJ2 = ou f7 ~ 2 p) (ex - 2p)3. Lembrando que ex denota a abscissa e fJ a ordenada coordenadas retangulares, vemos que a evoluta da parabola semi-ctibica DC'E, sendo C', C, CI, C2 os centros de cUl'vat te, em 0, P, PI, P2. Exemplo ilustrativo 2. a 2 b2• + a2y 2 = Achar a equa~ao da evoluta SOLU9AO. Primeiro pa8so. (a 2 _ b2 ) y3 fJ= Segundo passo. x b4 a~ b2) {- (a 2 = Y = _ 2 Terceiro passo. (aex>"3 (-.-!!JL)t a2 2 - b2 + (bfJf3 = (a2 - 2 b2)3 , equa~ao da evoluta EHE'H' da elipse ABA'B' . E, E ' , H', H curvatura correspondentes aos pontos A, A', B, B ' da curva e pondem aos pontos P, pi, P II • Exemplo ilustrativo 3. (1) As equa~6es parametricl1s de um t2 + 1 t3 x=-4-,y=-6- Ache a equa~ao da evoluta em forma pl1rametrica, dese evoluta, ache 0 raio de curvatura no ponto onde t = 1 e trac circulo de curvatura. dx SoLU9AO. dy _ 1 2 (iI-zt. t -ai=z' dy' =1 dt - y 2 =. /I t Substituindo em (G) e reduzindo, a= (2) 1 - y' = t t2 - 2 temo~ t4 f3= 4 que sao as equuQ6es parametricas da evoluta. Dando valores ao parametro t calculamos x, y de (1) e a, (3 de (2), tabulando os resultados. Desenhemos a curva e a sua evoluta onde t = 1, ter&. 0 centro em A' ( --}, -2 "4 3 2 W ~), -1 "2 i) 0 1 4 1 "2 s6bre a evoluta e raio = .'1..'1.'. Para uma verificaQao, achemos 0 raio de curvatura em A . . De (F), § 105, obtemos R t (1 + (1)3/2 =_.:--:=--'-- 2 vi" quando lato dcveser igual t a dist!incia. = 1. I ! I 1 5 ponto (t,O) e comum a curva e a evoluta. A curva (parabola semi-cubical esta inteiramente a direita e a evoluta inteiramen~ Ii "esquerda de x = t. ( {, x -3 o o eil:culo de curvatura em A 6 i t +3t 4t 3 ~ 5 13 1 ' .. -g -i -0 1 3 13 2 iG 2 5 4 3 1" 5 I I X = (3) { SoLUQAO. a (t - sen t). y = a (1 - cos t). Como no exemplo ilustrativo do § 82, obtem dy sen t tPy dx = 1 - cos t ' dx z = 1 a (1 - cos t)2 Substituindo estes resultados nas f6rmWas (G), § 108, o a - a (t (4) + sen t), . { {3 = - a (1 - cos t). Reap. Nota. Se eliminarmos t nas equaltoes (4), resultara a e da evoluta OO'Q" referida aos eixos O'a e O'{3. As coordenad a estes eixos Biio (- 7ra, - 2a). Transformemos as equalto coordenadas e usando OX, OY como novos eixos. Entiio a = xSeja tam~m t = t' - 'li"a, 7r. Substituindo em (4) e reduzindo, as equar;5es da evoluta tornam-se X = (5) { {3 = y - 2 a. >-. a (t' - sen t'), y = a (1 - cos t'). Como (5) e (3) sao identicas em forma, temos A evoluta de uma cic16ide igual ao da cic16ide dada. 0 e tambem uma cicl6ide cuj 110. - Propriedades da evoluta. priedades interessantes. A evolut 1. A normal em um ponto P (x, y) tangente d evoluta no centro de curvatura C (a, (3) de no pardgrajo precedente). 'rEOREMA fJ = y + R cos T. A reta PC esta sobre a norma) em P e (?) Coeficiente a!1gular de y - (3 PC= - - = x- a 1 tg T = coeficiente angular da normal em P. Vamos mostrar que 0 coeficiente angular da ev coeficiente angular de PC. N otemos que coeficiente angular da evoluta = ~, pois a e fJ sao as coordenadas retangulares de urn da evoluta. Escolhamos como variavel independente 0 c arco da dada curva; entao, x, y, R, T, a e fJ sao funy vando (1) em relayao a s obtemos (3) - da ds =- ~4) dfJ ds =- dx Mas ds dx ds - R cos T - dT ds - dy ds - R sen T - dT ds + cos T -dR ds dy dR sen T ds ' = .cos T 'ds = sen T ' pelo § 95; e . dT ds Substituindo em (3) e (4) e reduzindo, obtemos (5) da dR d(3 dR = - sen T - - - - = cos T ds ds ' ds ds - . Teorema 2. _ 0 eomprimento de um areo da eurva igual d diferen~a entre os raios de eurvatura nos pont08 em que ela encontra as tangentes as extre da evoluta, posto que ao Zongo do areo da dada curva, e ere8~a. DEMONBTRAQAO. Quadrando as equa/ti5es (5) e so (7) Mas, se s' = comprimento do areo da evoluta, dS'2 = 00 2 + d{32 , por (C), § 95, sendo s = s', x = a, Y = (3. Logo, ds' dR ds = ± d (8) Limitando-nos a um areo da dada eurva para membro nao muda de sinal, podemos eserever (9) ds' = dR + 1 ou 0 ds' dR = - 1. Em outras palavras, a velocidade de varia~fio do ar aRe + 1 ou - 1. Logo, pelo § ~O, aeres dentes de s' e R sao iguais em valor absoluto, ou se rela~fio (10) s' .- s'o = ± (R - R o), ou (ver figura, p. 195) area CC l = ± (PlC l - PC). Fica, assim, provado 0 teorema. Involutas e sua constru~ao mecan convenientemente uma lamina flexivel de modo que e da curva G1G., evoluta da curva P1P., e suponhamos que urn barbante de comprimento R., com uma extremidade presa em G., seja extendido ao longo da lAmina (ou curva). Dos resultados do Ultimo parligrafo decorre que se levantarmos 0 barbante, mantendo-o sempre distendido, pela extremidade livre, esta descrevera a curva P1P•. Dai 0 nome evoluta. Diz-se que a curva PlP. e uma involuta de G1G.. Obviamente, todo ponto do vera. urna involuta, isto e, urna dada curva tem um to de involutas, mas uma s6 evoluta. 111. - As involutas P l p., P l ' p.', Pt" p." sao cham ralelas, pois a distancia entre duas quaisquer dessas ao longo das normais comUM a elas, e constante. Observe 0 leitor que a parabola e a elipse das p podem ser construidas deste modo a partir de suas PROBLEMAS' Ache 0 raio e centro de curvatura de cada ur curvas,' no ponto dado. Verifique os resultados p o centro de curvatura esta sabre a normal a curva e (b) que a distancia entre 0 dado ponto e 0 centro igual ao raio de curvatura. 4, 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. = 6; (2,3). Y = CS; (0, 1). Y = cos x; (0, 1). Y = In X; (1, 0). Y = 2 sen 2 X; (171',2). (x + 6)3 + xy2 = 0; (- 3, 3). 2y = x 2 - 4; (0, -2). xy = x 2 + 2; (2, 3). Y = sen 71'X; (!, 1). Y = !tg2x; (t7l', !). xy Achar as coordenadas do centro de curvatura n quer (x, y) de cada uma das seguintes curvas 14. y2 = 2 px. Resp. 15. 16. 2 17. x3 2 + y3 = 1 2 as. + 3x3 y 2 Y + 3 xS y q= X {j = 18. Achar os raios e centros de curvatura d nos pontos (1, 4) e (2,2). Desenhar 0 arco da evo centros. Qual e 0 comprimento deste? R esp. = 8"17 v- /17, a =" em (2,2), R 2 = 2V2, a = 4, { HI - R 2 = 5,933. E,m (1,4), R l 25. x = 3t 2, y = 3t-t3 • Resp. ex = f(1 +2 t X = 3 t, Y = t 2 - 6. ex = t3 , { ex=4-3t 2 , x = 6 - t 2 , Y = 2 t. a=-2t 3 ,{ x = 2 t, Y = t 2 - 2. ex = -t3 , {3 = x = 4 t, Y = 3 + t 2• 2 ex= 7-3t 2 , X = 9 - t , y = 2 t. _ 12t' + 9 3 "'=2t .... , y=t . ex 4 t3 26. x 19. 20. 21. 22. 23. 24. t = a cos t, Y = b sen t. ex = {3 = 21. x = a cos3 t, Y = a sens t. 28. x = a (cos t + t sen t), = a (sen t - teas t). x = 4 - t 2 , Y = 2 t. x = 2 t, Y = 16 - t 2 • x = t 2 , Y = t3 • X = 1 - cos t, Y = t - sen t. x = cos' t, y = sen' t. x = a sec t, Y = b tg t. x = cos t, Y = t. x = 6 sen t, Y = 3 cos t. x = 3 cossec t, Y = 4 ctg t. (a 2 - b2) a (b2 - a 2 ) b ex = a cos3 t+ {3 = 3 a cos 2 t ex = a cos t, { Y 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 31. 38. t + x = a (t sen t). y = a (1 - cos t). x = 2 cos t Y = 2 sen t + cos 2 t. + sen 2 t. 112. - TransforIlla~o de derivadas. Algum las deduzidas acima podem sel' obtidas de outras f lecendo l'elac;oes entre derivadas. Dois casas serao x' = dx dy , x" _ dx' _ - dy - 2 dx dy 2 Por IX, § 29, 1 x (I) y' = - , . dy' " y Temos = dy' dx dy = 7· Uaando (1), obtemos x" dy' dy = - (J) X '2 • x" x'a . •.. y" = y'" dy" dx dU" Temos Usando (J), = = .• . Y1/1 (K) ~ , . x x'x'" - 3 X"2 du" dy = X = /4 x'x'" - 3 X"2 X'i> Prosseguindo, obtem-se rela90es entre derivada alta. Por estas f6rmulas, equa915es em y', y", y''', transformadas em equa90es em x', x", x"', etc. Exemplo ilustrativo. SOLUQAO. Transforme (B), § 102, em «(J) do Usando (1) e (J) acima, . entre as coordenadas retangulares e polares de equa~ao polar de uma curva e p = f (e), entao as as equac;:oes parametricas da curva, sendo 0 para Sendo e a variavel independente e indicando co p', p" as derivadas sucessivas destas variaveis em rel derivando (1), e x' = - p sen e + p' cos e, y' = p cos x" = - 2p' sene + (P" - p) cose, y" = 2 p' cos () + (P" - p) sen e. (2) (3) Equac;:oes em x, y, x', V', x", V" podem, pelas e (3), ser transformada.'S em equac;:oes em p, e, p', p Deduza (E), § 104, diretamente Tomando separadamente 0 numerador e de subetituindo com base em (2) e (3) e reduzindo, obtemos os Exemplo ilustrativo. SOLUQAO. A substitui<;iio destes valores em (D) da. (E). PROBLEMAS Nos exercicios 1-5 troque as variaveis dependente d2y 1. X dV dx 2 + y dx 2. dy dx 5. ~:~ - y ( dx)2 1+ ( - Resp. O. X + (dy)1 +(y_ 2) d y = O. 2 dy dx 2 dx dy )3 3. (y- 4) ( dx 4. = dy + dx - d 2y dx2 = O. d2 dy2 Xy~~ +y2(~~) (:~) = (~r. d2y ) (d3Y) ( dx? dx3 4 = V (d'J./) dx . x+ (dX) dy Resp. 2 Transforme a equa<Jao d y2 _ _ x_dY dx 1 - x 2 dx d 2y mando x = cos t. Resp. dt 2 7. d 2y Transforme a equaQao x 2 dx 2 8. :r = dy +_ 1 +y a2 + 2 x dx + x 2 1 t OUTROS. PROBLEMAS Achar as equaQoes parametricas da evolut + cos 3 t, Y = 3 sen t - sen 3 t. Achar ta de curvatura para t = e mostrar que ele coincide c dente ponto da dada curva. Resp. a = 6 C£1S t - 2 cos 3 t, {3 = 6 sen 1. = 3 cos t ° Se Reo raio de curvatura num ponto d a 2b2 e D e a distancia da origem a tange ponto, prove que RD3 = a 2b2• 2. +ay 2 2 = 3. Achar as equagoes da evoluta da parabola y x como panlmetro. Achar os pontos da parabola p correspondentes centros de curvatura sao tambem hola. Achar, finalmente, 0 comprimento da parte tema a pal,abola. Resp. (2, ± 20); 4 (y27 - (a) Ern cada ponto (x, y) de certa curva, ,. 1 x (1 + y) A gu Iar d e1a e 19ua a _ / _~ curva passa p v5 - x 2 Mostrar que a equ·3.gao da curva e log (1 + y) = 1 4. § 112 (b) TRANSFORMAgAO DE DERIVADAS Achar a curvatura da curva no ponto (2,0) porQao da curva proxima dele (c) TraQar 0 Resp. circulo de curvatura no ponto Resp. a = 5. 8 9 ; (3 = 0 coeficiente angular da tangente a cel'ta c por dd·Y = ~, onde s e 0 comprimento d x a de algum ponto fixo) e a e uma constante. 0 c tura de C em PeP'. Indicando com R 0 raio de em P e com R' 0 raio de curvatura da evoluta de tral' que P e dado (a) R = 8 2 +aa 2'• (b) R' = 2S + a a2 (S2 TEOREMA DO VALOR MEDIO E SUAS A 113. Teorema de Rone . Urn teorema fundam volvimento te6rico do calculo sera explicado agora. Seja Y = J (x) uma funyao de x, de um s6 Yi p valor, continua no intervalo [a, b], (§ 7) e nula. nos extremos deste intervalo (J (a) = 0, J (b) = 0). 0 Suponhamos tambem que J (x) tenha uma derivada finita l' (x) em cada ponto interior (a < x < b) do intervalo. A funyao sera, tada grMicamente por uma curva continua, como .intuiyao geometrica mostra logo que para ao menos compreendido entre a e b a tangente e paralela ao eix em P), isto e, tern 0 cocficiente angular igual a zero TEOREMA DE ROLLE. Se J (x), continua no int nula nas extremidades e tem uma derivada l' (x) Jinita interno ao intervalo, entao l' (x) deve se anular par valor de x compreendido entre a e b. A demonstrayao e simples. Realmente, ou J (x) os pontos de [a, b] e 0 teorema esta demonstrado, ou segundo caso, podemos fazer duas hip6teses: ou J (x cendo ou comeya decrescendo. Vejamos a primeira nao pode crescer sempre, poLs e nula em b; logo, ha c interno aO intervalo, de onde ela passa a decresce 208 J'i A figura ilustra um caso em que nao vale 0 teorema de Rolle porque J'(x) e infinita num ponto x = c interno a (a, b). Em nenhum ponto do grafico e a tangente paralela ao sixo dos xx. Vamos dar duas aplicagoes do teorema de Ro 114. Circulo osculador. Se um circulo. passa por tres pontos vizi. nhos Po, PI' P 2 de uma curva e se ae faz PI e P 2 tender a Po, movendo-se sobre a curva, entao 0 circulo tendera, em geral, a uma figura limite, a qual e tambem um circulo. Este diz-se drculo osculador d curva no ponto Po. TeoreIlla. 0 circulo osculador coincide com DEMONSTRAQAO. 0 Seja (1) Y = i (x) a equagao da curvaj sejam xo, Xl, ;7;2 as absf'issas do P 2 respectivamente, (el, 0 centro e R' 0 raio do pelos tres pontos. Entao a equagao do circulo e rn (X - a')2 + (y - {3')2 = R'2 ; como as co::>rdenadas dos pontos Po, PI, P 2 devem equagao, temos (2) (xo - a')2 + (Yo - {3'F - R'2 = (Xl - a')2 + (Yl - {3')2 - R'1 = { (X2 - a')2 + (Y2 - {3')2 - R'2 = Das equa~oes (2) obtemos Logo, pelo teorema de Rolle (§ 113), F' (:1:) deve se menos dois valQres de x, um compreendido entre Xo x', outro compreendido entre Xl e X2, digamos x", is F' (x') = 0, F' (x") = o. Daqui resulta, pela mesma razao, que F" (x) deve algum valor de x compreendido entre x' e x", di F" (xs) = o. Portanto os elementos a', {3' e R' do circulo ponto~ Po, PI e P 2 devem satisfazer as tres equa~o F (xo) = 0, F' (x') = 0, F" (xa) = 0. Fa~amos agora os pontos PI e P 2 tender a sobre a curva; entao Xl' X2, x', x" e Xs tenderao a Xo a, {3 e R do circulo osculador serao, pois, determin equa~oes F (xo) OU, = 0, F' (xo) desprezando os indices, pelas (3) (x - a)2 (4) (X,'.--:-a) (5) = 0, F" (xti) = 0, equa~oes + (y - (3)2 = R2, + (y - (3) y' = 0, deriv 1 + y2 + (11 - (3) y" = 0, deriva Tirando a e (:3 destas dull,s Ultimas equa<;oes, o tado expresso por (G), § 108. Substituindo os val e do resultado tirando R, obtemos a (F) do § 105 culo oscuJador coincide com 0 de curvatura. No § 28 definimos a tangente em P como a p uma reta passando por P e por urn ponto Q sabr ximo de P, quando Q tende a P, movendo-se sobre a agora que 0 eirculo de curvatura em Pea posi<;a eirculo passando por P e por dois pontos pr6ximos quando estes Ultimos tendem a P. 115. - Ponto limite da tivas. TEOREMA. interse~ao de nor 0 centro de curvatura C num ponto e a posi~{j,o limite da interse~{j,o entre a normal d curva d curva num ponto proximo a P, quando o pOnto proximo tende a P. DEMONSTRA<;.A.O. Seja y (1) a equa<;ao da curva. As equa<;oes das normais pr6ximos Po e PI sao (xo - x) (Xl - x) = j (x) a curva em dois ponto + (Yo + (YI - y) l' (xo) = 0 , y) j' (Xl) = O. Se as norma.is se cortam em C' (a', (:3'), as co ponto devem satisfazer as duas equa<;oes, isto e, (2) J (xo - a ') , (Xl - a ' ) + (Yo + Consideremos agora a fun9Ao de cP (x) = (x- a') na qual y e definida por(l). l' (xo) l' (Xl) - (:3') (YI - (:3') X = 0 = o definida po + (y - (:3') y' , Logo, pelo teorema de Rolle (§ 113), cf>' (x) anula valor de x compreendido entre Xo e Xl' digamos x mente, a' e {3' sao determinadas pelas duas equa<i cf> (xo) = 0, cf>' (x') = 0 . Fazendo agora PI tender a Po, temos que x' te cf> (Xg) = 0, cf>' (xo) = 0,· e C' (a', (3') tended. a um ponto C (a, (3) sabre a no Tirados os indices e tiradas as linhas, as duas U sao + (y - (3) y' = 0, 1 + y'2 + (y - (1) y" = 0 . (x - a) Achando os valores de a e {3 nestas equac;oes, obt identicos aos expressos por (G) do § 108. Q.E.D. 116. -,- Teoremas do valor medio (Leis da aplicac;oes posteriores necessitamos do TEOREMA. Se f (x), F (x) e suas derivadas pri tinuas no intervalo [a, b] ese, af,nda, F' (x) nao se a de [a, b], entao para algum valor x = Xl compreendi feb) -.f(a) F(b) - F(a) (A) DEMONSTRA9Ao. (1) cf> (x) ( Consideremos a func;ao f (b)- j(a) = F (b) _ F (a) [F (x) - F (a)] - [ F(b) - F(a) Logo, existe algum valor x = Xl compreendido entr 1(9) - j (a), _' F (b) - F (a) F (Xl) j (Xl) (3) Dividindo pOl' F' (Xl) (pois, lembremos, F' (X pondo, obtemos (A). Se F (X) = X, (A) torna-se j (b) - j (a) = j' (Xl) b-::a (B) (a Nesta forma 0 teorema tem uma interpretayao geometrica simples. NaY figura, a curva e 0 grMico de j (x), e OC = a, OD CA = j (a), = b, DB =j(b). o Logo j (bi ~ j (fL) = coeficiente angular -a Como l' (Xl) e 0 coeficiente angular da curva arco AB, (B) diz que 0 coeficiente angular nesse p coeficiente angular da reta AB. Logo, hi ao menos o arco AB no qual a tangente a curva e paralela a c o leitor deve desenhar curvas (como a primeira mostrem poder existir mais de um tal ponto no in que, pOl' outro lado, mostrem que 0 teorema pode 1 (b) = 1 (a) (C) + (b - a)f' (Xl)' Seja b = a + Lia; entao b - a = Lia e, como compreendido entre a e b, podemos escrever Xl X = a + (J Lia, onde (J e positivo e menor que 1. Substituindo e outra lorma do teorcma do valor mMio: 1 (a (D) + Lla) - 1 (a) = Liaj' (a + (J Lia) PROBLEMAS 1. Verificar 0 teorema de Rolle achando os v os quais 1 (x) e l' (x) se anulam em cada urn dos caso (a.) 1 (X) (b) 1 (x) (c) f (X) (d) f (x) = = = = x· - 3 x. 6 x 2 - x'. a + bx + ex!. senx. (e) 1 (x) = sen (f) 1 (~) = tg (g) f (X) = X I (h) J (x) = Xf"' 2. Dado 1 (x) = tg x, entao f (0)-= 0 e f (1r ta.-se: vale 0 teorema de Rolle para a funCJao f (x), isto alguma vez entre 0 e 1r? E."<plicar a resposta. 3. Para (y + 1)' = x2, tem-se y = 0 para x para x = 1. Pergunta-se: vale 0 teorema de Rolle, i alguma vez no int(lrior do intervalo J- 1, I]? Exp 4. Em cada urn dos seguintes casos achar (a) (b) (c) Xl 1 (b) = 1 (a) + (b - a)j' (Xl)' 1 (x) = x2, a = 1, b = 2. Resp. Xl 1(x) = v;: a = 1, b = 4. Xl 1 (X) = e"', a = 0, b = 1. XI = (f) 5. J (x) = sen ""2"' = 0, b = 1. Dado J (x) = 1/x, a = -1, b = 1, existe v J(b) = 6. a J (a) + (b - a)J' (Xl)? Dado J (x) = x'!/3, a = -1, b = 1, existe v J(b) = J(a) + (b - a)J' (Xl)? 117. - ForInas indeterIninadas. Quando, p cular valor da variavel independente, uma funQao formas o o' co co - co' co , diz-se que ela e indeterminada e que a funQao niio aqu~le valor da variavel independente. Por exempl -l..!HF (x) Y- e suponhamos que para a.lgum valor, a, da variavel, J (a) = 0, F (a) ~ o. Para. este valor de x nossa funQao niio e definida, m pelo que js. 8e viu (Caso II, § 17), que podemos a.t para. x = a, urn valor tal que resulte continua pa pre que existir 0 limite da fun~ao quando x tende a. em 118. - Fun~Oes indetenninedas. termina.da. para x = a, isto e, se para x = a, indeterminadas acima e 8e limJ(x) s-+. Be a fun~ toma em x2 Exemplo ilustrativo 1. SOLUQAO. minador, j (x) e indeterminada, mas, dividindo e lim (x + 2) = 4. j (2) = x + 2, j (x) e sec x - tg x = Logo, 0 limite 0 num z-+2 Dado j (x) = sec x - tg x, prove q Exemplo ilustrativo 2. SoLUQAO; 4 - Dado j (x) = - - 2 ' prove que x~ indeterminada ('" - "'). 1 - sen x cos x 1 - sen x cos x Transform 1 +senx l+senx e zero. Veja tambem 0 § 18. Metodos gerais para l termina90es apresentadas pelas formas do § 117 de culo. 119. - ForIna indeterInmada f (x) forma F (x)' onde f (a) = indeterminada para x = °e F (a) o o· Dada = 0, (portan a), quer-se achar lim f (x) F (x) • "' ..... 0 Provaremos que (E) l' (x) "' ..... 0 F' (x) • lim f (x) = lim "' ..... 0 F (x) (1) pois f (a) = 0, F (a) = O. Se X -+ a, tambem Xl -+ a; logo, se 0 segundo tende a um limite quando Xl -+ a, E:ntao 0 primeir 6 mesmo limite. Com isto fica provada a igualdade De (E) resulta, se f' (a) e F' (a) nao sao simulM (2) R EGRA PARA LEVA.J.~TAR - O' 0 A INDETERMINAQAO rador e 0 denominador. As derivadas obtidas serrio, re numerador e 0 denominador de uma nova frG{rio eujo de indetermina~rio da primitiva fra~ao e 0 limite desta ridvel independente tende para 0 ponto de interminG{a No caso em que j' (a) = 0 e F' (a) = 0, isto e, no nulas as derivadas primeiras para X = a, entao (E) cada a razao l' (x) F' (x) , ,. j (x) e a regra dara ;~ F (x) = 1" (a) F" (a) • Pode ser necessario repetir 0 processo V8.ri&S ve Chamamos a atenc;ao do estudante para 0 erro de se derivar a expressao toda como uma frac;ao, po (~) ~ - l' l' ( ~) lim j (x) == lim _ _+-z---7-_z_' = lim _ _ z_ %->'" F (:1:) F' ( ~ ) ,->0 _ :2 F' ( ~) ,->0 Portanto, a regm vale tambem neste caso. Exemplo ilustrativo 1. SOLU~AO. Prove que lim ~ = n . %-+0 Seja f (x) = sen nx, F (x) = X 2-. J (0) .., 0, Entao por (E). ' J (x) \1m %-+0 F (x) l' (x) \. = \'1m - = 1m %-+oF' (x) . 2 Exemp10 1'1 ustrauvo. COB nz - - - .., 1 n. P rove que lim:e' -.. --" 3:1: .. -+1 ... - SoLu~io. Seja. J (x) .., :e' - 3x - O. F (1) = O. n 0:-+0 .+ 2, F (z) .. - ++ 2 1 z -r - r - z Logo, por (E), L _ lim 3:r' - 3 _ 0 . lim J (x) = \1'm ' (x) -" ( ) 0 0:-+1 F (x) .. -+1 F ::r: .. -+13:1' - 2 z -; 1 .' • . I , }" (x) • 6 ::r: 3 ... ",-+1 lim F" (::r:) -= %-+1 hm -x6 2 - -2 • Exemplo ilustrativo 3. Prove que lim .. -+0 SoLU~io. Seja. J (x) F (0) = O. Logo, por (E), ' J-(x) \1m %-+0 F (::r:) ... \' r - l' (x) r'" - 2::r:, F (::r:) - z - sen x \. 1m - - - 1m ",-+0 F' (x) r-e-%-2x ... Z - lien x %-+0 r + e-S 1 - co. z 2 - }" (z) lim ~ - e-41 0 ... lim - - ----%-+oF" (x) ...-+0 !!leD z 0 . , ... lim }'" (z) -11/- %->0 F (z) • - r +e-% lim - - - ... 2, .. -+0 COB X 0 - . 0 . • • '. I ... indet 1'lim ..... 41: 2 2. 3. + x- 20' X - a lim n , : ....." x - an I'I mIn-x- . x-I : ..... 1 4. 5. 6. e-" sen x tgx - x lim .,.....0 x - sen x t" - lim ., .....0 lim In sen x ".(7r - 2X)2 ., ..... 2" 7. 8. , as - b" hm - - - . x 8 - alCsen8 lim sena 8 6 .....0 ., .....0 li 9. : .....mt/> 10. :~ 11. . . sen x - sen cP x- cP' eW+seny-l In(1+y) . sec 2 cP - 2 tg cP cP • t/> ..... ~ 1 + cos 4 I' lID , 12. lim r'-ar 2 -' a2r + a l , ..... /1 r2 - a2 13. lim .,-+3 14. lim 1'-+2 15. r v3X- V12-x 2x - 3 V19 - 5x V16x-x4-2~4x 2 - ~2x1 tg 8 + sec 8 - 1 /I~ tg 8 - sec 8 + 1 . , 16. IlID ., .....0 17. , I1m 1' .....0 • Depoy de derivar, deve 0 elltudante, em calia cU<>, redusir a exp m&il limples an""a de lubatituir 0 valor da va.rU.vel. B quando P tende a A, movendo-se sabre a curva. Resp. OB = 2 r. 120. - Forma indeterminada lim J (x) %---H F (x) CD CD Para ac quando J (x) e F (x) tendem ao infinito, para x mesma regra que a dada no § 119 para 0 levantam . 0 . t mllla<;ao 0' preClsamen e: Denvamos 0 numerador e 0 denominador e as d vaG ser, respectivamente, 0 numerador e 0 denom nova fra9ao. 0 limite da nova fra<;ao, quando exist primitiva fra<;ao. Uma demonstra<;ao deste resultado esta fora do es . P rove que I1m Exemplo ilustrativo. %->0 In x cossec x --- = SOJ,Ul;AO. Seja f (x) = In x, F (x) = cossec x. Logo, pela regra, 0. Entiio f ( ex> • 1 lim j (x) = lim l' (x) = li~ F (x) %->0 F' (x) %->0 %->0 = lim - x - cossec x ctg X %->0 x Entiio, por (E), lim _ %->0 X 2 2 sen x = lim sen x cos x cos X %->0 COB X - X sen x O. 121. - Forma indeterminada O. <Xl. Se uma f toma a forma indeterminada 0 . <Xl para x = a, esc fun<;ao como abaixo que, assim posta, toma uma dl:\.s formas e, ~ au : q portanto, conduzida a casas ja vistas no § 119 Como se viu, a produto f (x) . cP (x) pode ser p duas formas. Qual seja a mais comoda delas para depender das funyoes dadas. Exemplo ilustrativo. Prove que lim (sec 3 x cos 5 x) = %->1"- SOLU9AO. Como sec 3 2" '7r = co, cos 5 2" 1f' = 0, 1 sec 3 x cos 5 x = --3- . cos 5 cos x Seja f (x) = cos 5 x, F (x) = cos 3 x. Logo, par (E), 122. - Em geral Entao f (! 1f') = lim lJxl. = lim [(x» = lim - 5 sen 5 x z-..>!,,- F' (x %->1,.- - 3 sen 3 x z->~,.- F (x) TransforIIla!;aO da {orIlla indeterII e possivel transformar a forma indete em uma das duas outras Exemplo ilustrativo. o co 0' -;-. Provar que lhn (sec x - tg x) = SOLU9AO. Temos sec ~ 1f' z->i,.- - tg t 1f' = co - co. .'. ° ind 1 sen x I-senx Por (2), p. 2, sec x - tg x = - - - - - = cos x cos x cos x Seja f (x) = 1 - sen x, F (x) = cos x • Logo, por (E), Entao f (j 1f') lim f (x) = lim l' (x) = lim - cos x = %->1,.- F (x) z->i,.- F' (x) z->i" - sen x ° . 2. rI mctg x --. ",-+0 2. ctg 2 x 11-+1 3. lim tg 38. 8 1r ~ 4. 1 tg 8 r1m-. x3 z-+CD L'" . ~- y- 3' " [-1 17. 1'1m - 2 - -" O. 18. lim sen x .,....0 z-+CD 6· 5. hm 1-' ",-+CD n x x + Inx x Inx 19. lim 8 cossec 28 CXl 8-+0 r ctgx 1m -1-' z-+O n x In sen 2:t 7. lim :-+0 In sen x 6. 16. lim [ 8. lim x In sen x. - CXl r ctg 2 x 1m T3' 20. z-+Ocg x ¢2) 1. 21. lim (a 2 O. 22. lim (sec 5 8 - - ~ :....0 ~ 2 9. 10. r1m 7r "7 q,...-..oq> 7r¢ ! 7r tg"2' r1m x sen-. a X :-+CD 11. lim (7r - 2 x) tg x. ... r--z- 2 a. . 23. lim L7r x z-+O 24. lim z-iO 2. [:2 - x.t 25. 1m; [x tg x z~ 12. lim (1 - tg 8) sec 2 fJ. . 1. 26. hm :-->2 ~ 4 13. lim [x 2 :-+1 14. lim :-+1 2x ~ 1 - x ~ J. [~x - l:J· x2 - - - 2- X 1 4 --2' 27. lim Log (11 %-+0 -1. 28. lim :-+0 7 tg " + [+x sen 123. - Sabre as form.as indeterminadas 0°, que a fun/tao J (x)~) ou } (x) = CD, if> (x) = 0, dandsa y = f{x)4>~). Seja TQmando os logaritmos naturais de ambos os m In y = if> (x) In} (x). Em qualquer dos casos acima, a func;ao In y to a forma indeterminada. 0. CD. Calculada esta pelo modo ilustrado no § 121, o do logaritmo da fun<;ao. Sendo este' igual ao loga da fun<;ao, e conhecido 0 limite da fun<;8.o, pois da i resulta y = eG. Exemplo ilustrativo 1. SOLU~AO. fun~iio A Sejs Prove que lim = 1. XX x-.o toms s forma indeterminads 0" y=x:tj in y = x In x entiio =0 . - (I), inx -a> lny=-=-, 1 a> x Pelo § 121 1 lim In x = lim _x_ = O. x-tO 1 x--tO 1 Pelo § 120, -; Logo lim in y = 0, e lim y x--tO Exemplo ilustrativo 2. SoLu~10. -:z:2 A fun~o x-tO = lim ",-.0 x:t = e.o Prove que lim (2 - x)te i - l. 1f:t = .,....1 toms s forma indeterminsds 1'" lim In (2 - x) ctg! 7I"X . Pelo § 119, = z->1 lim lny = Logo x~ Exemplo ilustrativo 3. lim 2 - X z->1 =! 71" cossec 2 ~, e x~l Prove que lim (ctg :t)senz = 1. . z-oO A fun<;iio toma a forma indeterminada SOLU9AO. Seja 7I"X lim y = lim (2 z~l T ! 00° q y = (ctg x)senz; In y = sen x In ctg x = 0 . enta~ In Pelo § 121, _ In ctg x _ ~ y - cossec x - 00 00, ' - cossec 2 x r Pelo § 120, In ctg x lim In y = 0, Logo r z~ cossec x = z~ z-lO ctg x = li - ·cossec x ctg x z- e lim y = lim (ctg x)senz = z-lO z->o PROBLEMAS Calcule cada urn dos limites abaixo: 1. lim (sen x)tgz. Resp. 1,. 8. lim ( 9. lim ~ x-+c::o .". z->2 2. lim r-->a> (~+ 1)" X 1 3. lim x1 - 4. lim (1+ z->a> 5. lim (1 z->o %---'CD 1 z. n->1 e2 • :r + sen x)Ctgz. C x->o lim ( :t->a> eC • 11. lim (e z-lO e. 12. lim (x x-lO 1 6. lim (e" 10. + x)'". e2 • . 13. lIm ( x-lO 1 7. lim (1 + nt) t t->O • en. 14. lim (1 x-lO Seja F (x) a fun<;ao obtida do primeiro membr tuindo-se b pOl' x, isto e, F (x) (2) j (x) - = J (a) 1( - (1' _. a)}' (a) - De (1), F (b) = 0 e de (2), F (a) = 0; logo, p Rolle (§ 113), para ao menos um valor Xl de X, com a e b, temos F'(Xl) = 0. Ora, P' (x) = ]' F' (Xl) logo = (x) - ]' (a) - (x - a) R ; l' (:rl) -- l' (a) - (Xl -- a) R = ° Como F' (Xl) = e F' (a) = 0, podemos aplicar rema de Rolle: a fun9ao F' (x) anula-se em ao men compreendido entre a e Xl' Ora, FI! (X) = 1" (X) logo - R; e portanto 1" (X2) FI! (X2) = R =1"(X2)' Substituindo este resultado em (1), obtemos . (F) j(b) = j (a) + (0 1 - a)]' (a) + 12 (Ii - a Continuando este processo vamos obter (G) f (b) = j (a) resul 0 + (b l~ a)]' (a) + (I> ~a)2 j" (0 + (b - ~ + a)3 j l!' (a) (b - a)n In r (:rl)' + ..L •• , I (b - !n (a<X dos maximos e minimos das luni;oes de uma IiU mrid Dada a funyao 1 (x), seja h um numero positi quanto se queira; entao, as definiyoes dadas no § 46 muladas .como segue. Se para todos os valores de x, diferentes de (a - h, a + h), 1 (x) (1) 1 (a) = numero negativo, - entao l(x) tem um maximo quando x 1 (x) (2) - 1 (a) = = a. Se, pel numero positivo, entao, 1 (x) tem um minimo quando x = a. Comeyaremos com uma demonstrayao analitica no paragrafo 45. Uma lun(;{jo e crescente quando a derivada e pos quando a derivada e ncgativa. Realmente, seja y ~~ = 1 (x). Quando Ax e pequ e a derivada I' (x) tern 0 mesmo sinal (§ 24). Entao, sendo Ax positivo, tambem e positivo Aye, tivo, tambem e negativo Ay, isto e, 1 (x) e crescente. trayao semelhante pode ser feita quando I' (x) < o. Ve-se facilmente agora que Se 1 (a) e urn maximo ou minimo de 1 (x), enta Realmente, se l' (a) Fosse diferente de zero, 1 (x ou decrescente quando x e pr6ximo de a e portanto nE n maximo nem minimo. Procuremos condiyoes suficientes gerais para maxillos ou minimos. Consideremos, para isso, os I. Seja I' (a) = 0 e 1" (a) :;t. O. De (F), § 124, trocando b pOl' X e transpond (3) 1 (x) - 1 (a) (x - a)2 = I-!. 1" (X2) . (a < j (x) - j (a) na.o muds. de sinal quando x varia no intervalo [a o sinal desta dijeren<;a e 0 mesmo de 1" (a); logo, ten e (2) acUna, (4) j (a) (5) j (a) e um maximo e um mf.nimo se I' (a) = 0 e 1" (a) = se j' (a) = 0 e 1" (a) = Estas condi9~es sao as mesmas que as do § 5 II. Seja j' (a) = 1" (a) = 0 e 1'" (a) ~ O. De (G), § 124, pondo n = 3, substituindo b pO f (a) de membro, (6) j (x) - j (a) 1 = 13 (x - a)3 u1'" (X3)' (a Como antes, 1'" (x) tera 0 mesmo sinal que 1'" ( muda do sinal - para + quando x cresce atravessa diferen9a j (x) - j (a) deve mudar de sinal e portanto j (a) nao e maxim III. Seja l' (a) = 1" (a) . .. = f(n-I) (a) =0 e j( Continuando 0 processo como iluBtrado em I e s. primeira das derivadas de J (x) que nao se anura ordem par (= n), entao (H) j (a) e urn maximo se j<n) (a) (I) j (a) e urn minimo Be fen) (a) = numer = numero Se a primeira das derivadas de j (x) que nao se e de ordem impar, nimo. enta~ J (a) nao sera nem um max + 5. 4x Resp. x = 0, nem x = 3, da 'm x = -1, nem I. x - 2. x3 + 3 x + 3 x. 3. XS (x 4. x(x-l)2(x+l)3. 5. Investigue 4 x 6 2 x - 2)2. 15 x 4 - 0, nem *, = x = da m x = 2, da m + 20 x 3 10 x 2 em - Mostre que se a primeira derivada de j ex) para x = a e de ordem impar (= n), entao j (x) e u cente ou decrescente quando x = a, segundo seja ou negativa. 6. I. 2. d dx 3. Prove que [x- + 1)2.!. - 2 4 (x x vx~ 1 + 1- -In (x+ Vx +1 2 - 8 Prove que a curva x = ponto de inflexao. 4. 2 8 t,3 +2t 2 , y = 3t 5. Prove que os pontos de intersegao das curv e y = cos x sao pontos de inflexao da primeira duas curvas, usando urn s6 sistem~ de referencias. 6. Dado 0 movimento harmonico amortecido 8 = ae-bt sen ct, onde a, bee sao constantes positivas, pravar que o lores de t para as quais v = 0 formam uma progr e que as correspondentes va.lores de 8 formam uma metrica decrescente. Mostrar que a velocidade de variayao do comprime e, em valor absoluto, igual a razao ~~ . 8. Seja MP a ordenada num ponto P da ca XXVI). Seja M A a perpendicular a tangente em o comprimento de MA e constante e igual a a. 9. A curva x 2 y + 12 y = 144 tem um maxim de inflexao. Ache a area do triangulo formado p curva nestes tres pontos. 10. Dados In 6 = 1,792 e In 7 = 1,946, calc meiro por interpolayao e depois por diferenciais. mente que 0 valor exato esta compreendido entre as du Dada a elipse b2x 2 + a 2 y 2 = a 2b2 , achar 0 primentos dos segmcntos interceptados sobre as tang coordenados. 11. 12. curvas y2 E dada a area limitada, no primeiro q = X e y2 = x 3• Um retangulo com lados pa e desenhado dentro dos limites da area. A largura e uma das diagonais tem uma extremidade em cad a area do retangulo de maxima area que pode ser modo. t 13. Dao-se retangulos com um lado sobre 0 segundo sabre a reta x = t e urn vertice sobre a Achar a area do maior d~stes retangulos. Resp. e 14. Achar os maximos e minimos de 15. 3 x - 2 ae .a . Max. = - a; min. = a (1 Achar os maximos e minimos de y em y = ae a - Resp. :r 2 + ~ xy + 2 y2 + 5 x - 6y Resp. +5 = Max. = CAPiTULO INTEGRACAO - XII iNTEGRAlS IMEDI 126 - Integra~o. 0 leitor ja esta familiariz rayoes mutuamente inversas de adiyao e subtrayao, divisao, potenciayao e radiciayao. Nos exemplos segundos membros de uma coluna sao, respectivam inversas dos segundos membros da outra coluna. + 1, x = ± Vy - U = a", x = log" y ; u= ;r = u= x~ sell.X , arc sen y . No caJculo diferencial aprendemos como calc l' (x) de uma dada funr;ao j (x), uma operayao ind d~ j (x) = l' (x) , au, se usarmos diferenciais, pOl' dj (x) = l' (x) dx - Os prolJlem\ls do caJculo integral dcpendem da precisamente: Achar uma jun{'iio f (x) cuja derivada (1) i' (x) = ¢ (x) e dada. 230 C pOl' 0 problema como segue: Dada a dijereneial de uma junt;fio, achar a jun<; 9ao, A funQao f (x) assim achada cha,ma-se uma integ 0 processo de acha-Ia chama-sc integra~fio Po a o gra9ao e indicacia pelo sinal de integra<;fio* j posta expressao diferencial; assim, jf' (x) dx = f (x) , le-se integral de j' (.1:) dx igual a J (x). A diferencial e a varidvel de integrQ<;fio. POl' exemplo, (a) se j (:r) = x a, entao f' j .) "j .J ,1;-( X (b) se j (x) = x''S . cos x dx = sen x . arc tg X, entao j Como = se f (x) ~ sen x, entao l' (x) dx = cos x d j (e) e (x) dx = ;) x 2dx 1 ~x x t f' (x) d;t = ~ 1 + = are t g x . e aparente das explicaQoes acima., a deriva< Vamos pOl' is sfio opera<;oes inversas uma da outra. Diferenciando (:3), temos (4) d jf' (x) dx *Diz a Hist6ria que este sinal proveio da = f' (x) dx. di~torc;ao de 8 , primeira. Pm·tanto, considerados como simbolos de Opera<ia s40 inversos um do outro, ou, se estamos usando dife sao inversos urn do outro. Quando d mas quando e seguido fe pOl' f, eles se neutralizam seguido pOl' d, como em (5), isto nao A razao disto sera vista no pr6ximo paragrafo, qu definic;ao de constante de integra<iao. 127. - Constante de integra~ao. Integral i paragrafo precedente resulta que / 3 x 2dx = x8 , f3 x 2dx =x3 +2 f3 x 2 dx = x3 - e uma pOlS pois 7 d (x 3 De fato, como unde C d (x 3) = 3 pois + d (x 3 + 2) = d (x 3 - 7) = C) = 3 x 2 dx constante arbitraria, temos Uma constante C surgida deste modo diz-se uma e urn numel'o independente da variavel de in podemos dar a C tantos valores "quantos quizermo uma dada expressao diferencial tem uma integra infinidade, duas quaisquer delas diferindo apenas tante. Logo gra~ao; /f' (x) dx = t (x) +C; E evidente que se 1J e uma funyao cuja d entao 1J (x) C, onde C e uma constante qualquer funr;ao cuja derivada e J (x). Temos, pois, 0 + TEOREMA. Se duas a mesma deTivada. (x) fun~i5es diferem por uma co Nao e 6bvio, contudo, que se 1J (x) e uma fu vada e f (x), entao to0.a funyao tendo f (x) pOl' d forma 1J (x) C, + onde C e uma constante. Em outras palavras, res Se duas elas diferern por uma constante. 'fEOREMAREcfPROCO. Jun~i5es tern a DEMONsTRAgIo. Sejam 1J (x) e if; (x) duas mesma derivada J (x). Ponhamos F (x) = (1) F ' (x) 1J (x) = d dx - if; (x); entao, [1J (x) - if; (x)] POl' = J (x) hip6te - J( Mas, pelo teorema do valor medio (D), § 11 F (x + Ax) - F (x) = &: F ' (x . '. pois, POl' Logo F (x + Ax) - + 8. Ax). F (x) = 0 , (1), a derivada de F (x) e nula para todo F (x + Ax) = F (x) , o que mostra que a fun«;:ao F (x) = 1J (x) - if; (x) nurnerosos exemplos no pr6ximo capitulo; no pr caremos apenas a mostrar como se acha a integra uma dada funyao. POl' No que se segue, admitiremos que t6da junr;fio c integral indejinida, resultado este cuja demonstray escopo deste livro. A sua validade para as funyo contudo, vai aparecer claramente nos estudos dos pr6 Em todos os casos de integrayao indefinida pod exatidao dos resultados obtidos pela propriedade s rencial da integral deve ser igual d dada expressfio d 128. - Integrais imediatas. 0 c8.lculo diferen Regra Geral de derivayao (§ 27). No calculo int.e porem, uma regra para integral' qualquer funyao*. integrayao requer um processo especffico no qual tadoB, ja obtidos, sobre a derivayao, precisamente aptos a responder a perguntas: Que funyao, quand a funyao que quero integrar? Essencialmente, a cede, pois, POI' tentativas. Ha, contudo, tabelas trabalho, como a que damos a seguir, chamada das tas. Para 0 computo de urna integral qualquer, dada expressao diferencial com as da tabela. Se uma das da tabela, 0 resultado e conhecido; se nao reduzi-Ia a uma das da tabela com 0 emprego d regras e tambem de artificios, que s6 a pratica po isto, grande parte de nosso texto sera dedicado a ex todos para integral' as funr;oes que mais frequente na resoluyao dos problemas praticos. De cada resultado de derivayao pode ser sem f6rmula de integrayao. Assim, de III, § 94, obte (a) a integral de uma soma algebrica de junr;oe brica das integrai8 das parcelas. * Embors. se saiba que a integral de urn&. dada fuo4jio cXlstc, exprimf-Ia. em term08 daB func;oes que conhecemos. sendo u, v e W fun<joes de uma unica variavel, obt + du du (1) J (du - dw. + av - Por III, § 9 + JdV dw) = Jau De IV, § 94, obtem-se Um fator constante pode sel' escrito antes ou (b) de integra~ao. DEMONSTHA<;AO. Difcreneiando a expl'essao obtemos Por adv . ...J (2) a dv = a J du . Pela irnportancia que tern, as duas regras acim lista abaixo das integrais imediatas. INTEGRAlS lMEDIATAS (1) (2) (3) (4) (5) J(dY J J J J + dv _. dw) = JdU + JdU adv = a dx = x vndv J du . +C. U"+! =--+ C. n+l d: = In v +C + = In v In c = In cv . [pondo C .. In c]. (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) I I +C. sen v dv = - cos v dv = sen v + C . cos v ~rseC2VdV = tgv + c. I I I I I = - cossec2 v dv ctg v = sec v + C . Hec v tg v dv cossec v ctg v dv = - cossec v tg v dv = - ctg v dv = In cos v In sen v (J 6) Isec v dv = ]n (sec v (17) I (I~) I (H.I) I +C cossec v dv +C. + tg v) + c. v a -2 = - arc tg 2 v u2 +a dv - a2 + C = In sec = In (cossec v 1 dv a -I- 'c - ctg v) +C. = _--.!:-ln~ + C. 2a v +a (19a) (20) (21) Iv Iv dv a 2 - v2 = arcsen~ dv =In (v v2 ± a 2 a + C. + vv 2 ± a 2) + 129. - Formulas (3), (4) e (5). Estas sao demonstr DEMONSTRA<jAO de (3). + C) Como d (x =d obtemos fdX DEMONSTRA<jAO DE Como (4). Vn+l d ( --n + 1 obtemos f + c. = x _.L I C vndv = ) = Vn dv • vn+! --+ n +1 C. Isto 6 verdadeiro para tados os valores de n e pois quando n = - 1, (4) envolve divisao por zer o caso em que n = - 1 vern sob (5). DEMONSTRA<jAO DE (5). d (In v obtemos o resultado f Como + C) dv =- II , dv -;-=lnv+C. obtido pode tambem ser posta sob . f dV -;-=lncv, indicando-se a constante C de integrac;ao par 1n c. A f6rmula (5) diz qlle- se a expressl'io sob 0 sina uma fra~ao cujo numerador e a d1jerencial do denom integral e 0 logaritmo natural do denorninador. 1. = -- + C = fx dx 6 -7 + C, par (4), on +1 !- 2. n= n = 4. 5. 2- ? f v:.;dx= fxldx=T+C=tx +C, par ( 2" !. ,). 3 x2 dx x- 2 1 f -a =f:r3 dx=-+C= --+C par ' x -2 2 x2 3. ax 6 = -,,- + C. fax 6dx = a fx 5 dx f(2 x 3 5 x2 - 3x - p I) + 4) dx + f4 dx-:3 Jx dx + 4 = f2 x3 dx-f5 x 2 dx-J?J x dx = 2 fx3 d:x:-ij Jx 2 Nota. Embora cada integra98.0 requeiru uma constan vemos apenas uma constante que e, pois, ll. soma das demni 6. f ( 2a -Vi - ~ + 3 c ~x 2 ) x2 = f2 ax I dx + f3 ex dx + 3 e f d-"C- fbx- 2 dx = 2 afx- I dx - bfx- 2 x. 6 xl X-I = 2 a - T - b . =---1 2 _r = 4a V 7. !. f(a l 1. - X I )3 x + - b x dx = a 2 x • Quando r.preDdendo • Intlel'rV. eClee .impl.... 0 + 3 e . -5 T . 9 !. + ...:..... ex I + C . 5 l Xl +-79 a .!..!.. eRudante deve 9.!3 a --:::- 5 e"et'llitar-~. om SOLU(}AO. Ests. pode ser conduzida a. forma (4). De fato, C basta inserir 0 fator 2 b2 depois do sinal de integraC(8.o e antes v de xdx e 2~2 antes do sinal de integra98.0, pois estas opera- d 90es se neutralizam pOl' (2). f(a 2 +b 2x2)l x dx = 2~2 f(a 2 +b2x2)l (2 b2x dx) [ = 2~2 fV l d 3 (a! + b2x2) 2 3 b2 = + C. NOTA. Chama-se a aten9iio do leitor para nao transfe variavel de urn lado para 0I1tro do sinal de integra98.0, pois do resultado. 9 f 3 ax dx _:i a I (b2 b2 + c2 x 2 - 2 c2 n ~ 3axdx SOLU(}AO. b2 f + c2 x2 Esta se assemelha a (5). =. f a Se inserirnos depois do sinal de integra9ao e 0 fator 21~2 0 + r.2. x 2)/ T I b2 xdx + C2x 2 fator 2 Cl antes, 0 V'l- . Co v = = lor da expl'essiio nao mudara Logo 3 a f [ ~afd + c2x2 = 3af2C2xdx 2 c2 b2 + r?x2 = 2 c2 xdx b2 = 3a 2c2lnv +C, pOl' (5) ] 3a = 2 c2 In (b 10. f SOLu(}io. Dividam08 primeiro Xi X dx 1 + = x3 x2 z3 x+l + r?x2) + C . '2 +"3 - X - -'-- = 2 0 xl - In (x + 1 numerador pelo deno X +1 - I --- x+l :l':.:~ 3'·. i = 1 - 2:1: 4_ 3' - D'IV!'d'illd0, 2 SOLUQAO. 2 ~.# SubSlum t't . etc, A funyao a sel' integrada diz-se integrando. ilustrativo 1, p. 238, 0 integrando e x 6 • Ass PROBLEMAS Verificar as integrayoes abaixo. 1. f:1·-4 dx = 2. fdX2 = - 3. f 4. 5. 11. 12. -f + 3 ay2 dy 7. = dt = _ t2 I ·~ + C, 8. f dX vx = 2 V x + C. 9. V f ~= ~ 3x 3 x 3 dx = -5- f f /2 6. ~X + c . x f f C. r I 2 + C, ~ = 3 ' (x -2 .::..8 10. !. 2 - x / _r = = !. 2 Xl 6 x 3 2x +5vx-3) dX=-5---5 - 4X 2 f ~3tdt 3x3 dx -v;;, dx VX dx = 2 x2 4 - . VX + C , 13. dx = x3 + ~ + C , f( x2 -~) x 6 x 14. f 2 15. 2 v' X (3 x - 2) dx = -5- - -3x 8 - 6x+5 / f f !. 4x 2 !. 6x l r- x dx = xl 3 - + 5 In x + C 6x I Va + b:tdx= 2(a: bX)1 +C. b dy ~~/a,-by = _ 2 Va b +C . by +C, 20. I 21. f t V2t +3dt (a - by 2)2 4b = - Y (a - by 2) dy 3 ~ 3)2 + C. 2 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 2 I I I (2 x X (2 t = + 1)2 dx 4:& x i+ "2 +C. 2 = x4 -1- 4X2dx = 8V~+ C 3 . x3 + 8 . 6zdz 1 (5 _ 3 Z2)2 = 5 _ 3 Z2 + C. _~ V Ic - ra - V- r) x 2 dx = V V;y dx _ C~ - I f f y';" 3 y';"(~ - y';)2dx 2ax2 = -3- - t3 dt _ Va 4 + t4 Va 4 + t4 2 I dy + by)3 (a 2 b (a + bt3)2 +C. + by)2 + C . + bX 2)2 + C . 4 b (a 1 3 b (a = - . + bt3) + C . I -/ . ' ) + f z(a + bZ3)2 dz xn - 1 1 (2 x V a + VX 2 + 1 = - t2 dt (a X2~ 1 = - + bx2)3 (a 31. I 34. ~ x2 3 + 2" _ 2 (~ -:- y';" )3 - xdx 33. 4x ax - 3 30. I 32. +C. a 2 Z2 = -2- bx n dx 3) dx +3x = 2 = 2 abz5 b2z8 + -5- + 8 + ~ 8 (a + bxn ): + C . 3 nb V.r + 3 x + C. 2 37. Sugestiio. 38. 39. 40. 41. 42. 43. I sen 2xcosxdx= Use (4), pondo v f I I 2 I Vb + x tg sec L 46. 47. 48. 49. I( + tg x 2 2 )2 dx 1 = - 1 + _ In (a W - (2 x x2 3)dx 3x = (Y 2) dy _ y2 4Y - a sec2ydy b tg y a (2X 3)dx ~+~ +C . + W) + C . In (x 2 + 3 x) + c. In (y2 + 4 y) + C 2 +C In (1 - cos x) 1 = b = . 2b + = + tg x + C . +C eO dO _ In (a beO) be O b senxdx 1 -cosx + C. a dx _ In (2 x 1) z3 3 a C. + c. 2 Vb + sen ax + C . dx - In (2 + 3 x) 3x ·3 I + f + I ++ 1 ++ I + f + f f ++ ! 3 x = tg 22" 2 ax sec x 1 + cos3 2x . 6 = - cos ax dx _ sen ax 50. _ 51. x (sen X)3 = COB X dx, n = 2. dv sen2ax 2a = sen 2 x cos 2 2 x dx t dt 45. (senx)2cosxdx= = sen X, sen ax cos ax dx X2 44. I In (a . . + C. + b tg y) + C . 2 x - In (x + 2) + C . 54. 55. f f e28ds e2a + 1 = In (e 28 + 1) + C. t + ae(J b ae o _ b dO = 2 In (ae (J - b) - 0 + C. Calcule cada uma das integrais abaixo e verifiq por derivayao. 56. f 2xdx ~6 - 5x 2 . 2x dx ~6 - 5 x 2 57. j(X 58. 59. 66. 67. 68. j 3 +3x 2 ) dx. (X 2 - 4) dx :r 4 . ~+~ 5) d.T:. f( -5- j j f 2 3dx 3x . + xdx VI - . 2x tdt 3 t2 +4 . 60. 61. 62. j .3/- V by 2 dy. f .d;_. t v 2t f~2-3XdX. 7.1. j(2Xx+:3 + 7) 75. j (X 2 76. f (;L3+ 3 X x2 + 1 2 77. is. J'. f + 2) x+2 ) (4x+ :3 + Cet + 2) et + 2 t ~I V2ctg<jJ f 73. +3 (2x + 5) dx x2 + 5 x + 6 . 81. f sec 2 2 t V5 + 3 130. - Demonstra~oes de (6) e (7) Resultam das formulas correspondentes de deriva<;ao, XI e X Exemplo ilustrativo. Prove que f b 2% ba2x dx = 2 ~ a Esta se assemelha a (6). Ponhamos v = 2x; tem-se dv o fator 2 antes de dx e 0 fator t antes do sinal de integrac; b f = -b a 2x dx 2 f. a-X 2 dx = -b 2 f a 2z d (2 x) [=b - 2 f a2x b =-·-+C. 2 Ina a" P PROBLEMAS Calcule as seguintes integrais 1. 2. 3. f f f 6 e3x dx = 2 eax x x en dx = nen dX eX = - + C. 4. + C. 5. 1 --+c. eX 7. feii: + e- ~ ) dx 8. f(/a - e-~Yd~r = 9. f xex' dx = = a ! ex' + C. j 'lOZ fa dy = ~ dx = nll n 6. f (e~ - e- ~ (/} - e-..(;dx v;- ~ ) + C. e-~) - 2 12. 13. 14. 15. POl' fW f dt = 2 a"'e'" dx f f a2x dx (e6X Vd + C. a"'e'" = 1 + In a + C. a2r. =- + C. 2ln a + as"') dx = -.'j1 ( 6Z e,6z + -Ina a ) + C. Calcule cada uma das integrais abaixo e verifiq deriva9ao. 22. 23. f( f e'" ~ 4) dx. ("'dx -_. eX - 2 27. 28. f f ! 24. fx (e'" + 2) dx. 29. 25. f 30. f 26. f2t dt. e"';; - 3 ~ dx. 2 131. Dernonstra!;oes de (8)-(17). As formu sultam logo das formulas correspondentes de deriv § 94. DEMONSTRA9.A.o DE (14). f tg v dv = f -f - = _ sen co fd (cco DEMONSTRA9AO de (15). f DEMONSTRA9AO DE ctg vdv f vdv cos sen v In sen v = + = (16). Como sec v = sec v sec v sec v sec v fog v + sec 2 v sec v + tg v f sec v dv = fsec secvtgvv++t gsecv vdv 2 fd (sec v + tgv) + tg v In (sec v + tg v) + C. sec v = DEMONSTRA9·:\O DE = (17). f = = = - cossec v ctg v + coss cossec v - ctg v cossec v - ctg v cossec v - - - - - - - - - = cossec v - ctg v cossec v dv Como cossec v -cossec v ctg v + coss cossec v - ctg v ffd (cossec v - ctg 11) cossec v - ctg v = In (cossec v - ctg v) Uma outra forma de (17) f cossec v e dv = In tg t v + C. (ver Proble Exemplo ilustrativo I. f +C Prove que sen2axdx = - cos2ax ~ +C. jsen 2ax dx= 2~ jsen 2ax·2a dX[ = 2~ jsen v dv = -.:a 1 = - . - cos ax 2a Exemplo ilustrativo 2. +C = cos 2 ax 2a Prove que j ( t g 2 S - 1)2 ds = ~ tg 2 s + In cos 2 s + C (tg 2 s - 1)2 = tg2 2 s - 2 tg 2 s SOLV<;AO. + C. +1. tg 2 2 s = sec 2 2 s - 1 . Logo, substituindo j(lg2S -1)2ds = j(SeC 2 2S - 2tg2s)ds = jscc 2 2SdS Ponhamos v = 2 s. como segue. jsec2 2sdS j Entao dv = 2 ds. Usando (10) e =~jscc22Sd(2S) [=t jsec2 vdV =ttgv] tg 2 s ds = ~ f t g 2 s d(2 s) [ = t ft g v dv =- t In cos v PROBLEMAS Verifiear as seguintes integra<;oes 1. feas?nx dx= 2. ft?, bx dx = 3. fsee ax dx ~ sen?nx + C. + In sec bx + C. = -; In (sec ax 4. feassee v dv= 5. fsee 3t tg 3t d + tg ax) + C. 8. 1 ctg x 2 x dx = 2 In sen 2 + c. 12.1 (tg 0 = tg 0 - 13.!(Sec</> = 2(tg </> 10. 1 Sugestiio para 14. Multiplique eduza antes de integrar 15.1 16. 17. 18. f j j j 22. f dx 1+ c + cossec numerador e 0 denominad sensds 1 + cos s = In (1 + cos s) + C. sec 2 xdx 1+ tgx =In(l+tgx)+C. x cos x 2 dx = 1 21. 0 14. dx = tgx - sec x + C. 1 + sen x 19.1(X 20. 1 dx -= - ctgx + C. sen 2 x ! sen x + sen 2 x) dx = ! 2 + C. (x 2 - cos 2 x) + c. senxdx v' = 2 -vi4 - cos x + C. 4-cos x (1 + cos x) dx + = In (x + sen x) + C. x sen x v' sec2 0 dO = ~v / 1 + 2 tg 0 + C. 1 + 2 tg 0 Calcule cada uma das integrais abaixo e verifiq por derivaQao. 23. 1 2x sen -3- dx. 24. lco 27. 28. f f aq, aq, b dq,. cossec-- ctg b e!' 40. I (tg4S - 41. I(ctg x - ctg e!' dx. 29. Isec 2 2 ax dx. 42. 30. ft g ~ 43./(l - dx. 31·/~ tg bt . 32. 33. 34. 35. 36. 37 . I I I I I I de sen2 4 44. e 45. -dy- . 46. ctg 7 y sen V;dx 4.7. r _ vx dt sen 2 3 t . 48. dq, cos 4q, . I(sec t - 1 I coss dx 1 - cos x I I + I Va +e dx 1 - sen sen 2xd cos 2 cost b cossec c ;)- - 4 co cosse('2 x 3 I 49. I V:3- ctg 50.fV5 + 2 adx - -2 - . cos bx cos 132. - DeIllonstra~oes de (18)-(21). As for resultam imediatamente das f6rmulas conesponden DEMONSTRA(JXo DE (18). v 1 1 d( ) Como d(~) ~ arc tg ~ + C = ~ 1 + ( ~ ) 2 obtemos I dv v 2 +a 1 2 o v· v = -a arc tg -a dv + 0' s· + C. v - a Logo Entao v2 1 - v +a v + 2 - 1 = _1_1n~ + C. v + v + par (2) a Pela algebra, _1_+_1_= + a Nota. 1 2 a III (v ~ In (v - a) - 2a f~ v+ _1 2a = DEMONSTRA9A.O DE (1911). o resto ' 1 [1 1 ] a2 = 2 a v - a - v a . f~ = -1-f~ v a 2a v- a 2 - a - a - v 2a a2 v2 - da demonstragao prossegue como acima As integrais em (19) e (19a) satisfazem a relac;iio f dv _ a2 = - ~;2 f a2 dv _ v2 • Logo, uma ou outra pode ser aplicada num dado caso. mos que em muitos exemplos deve-se dar preferencia a uma DEMONSTRA9A.O DE 20. d ( arc sen : obtemos Como dv + C) va _/ V dv a2 - v = arc sen 2 v a 2 - v2 ' + C. DEMONSTRA9A.O DE 21. Seja v = a tg z, onde vmiavel; diferenciando, dv = a sec 2 z dz. Logo, par + V tg 2 Z tgz = -; = In (tg z Mas, I dv Vv2 + a2 = In = In c= Iv I a"a v + Vv 2 a I ... / v dv 2 = v- - a .) 2 (Ii + Vv 2 + a 2) = a sec z, dv ? Exemplo ilustrativo. ~ec + tgz) + c + Vsec z - + = + a s~c z z dz par 1) 2 +~:: = In(: - In a obtemos a sec z tg z dz In (secz = In (secz I l' C +a +c _ / ., = V a- sec z - a- = 1) + 2 + ~2) dv = In v2 + a 2 Do mesmo modo, pando Par bgo, 2 + c, - In a + c. 1) (~ + J v + In (v = Pando v a + +c -l)+C=h(l'+ Calcule a integral dx -.l x2 2x 1 + 9 ="6 nrc tg """3 + c . Ela se assernelha a (18). Ponhamos v2 = 4 v = 2 x, dv = 2 dx e a = 3. Logo, se multiplicarmos 0 nume dirmos a integral pOI' 2, obteremo8 SOLU!;AO. I dx -.l x 2 1I + 9 = "2 2+ [1 j' = "2 dx (2 X)2 = - 1 a.rc tg -v 2a a (3)2 +C. POI' (18) ] v2 dv + a2 = = -1 arc tg 2x -3 6 + 2. 3. 4. 5. I IX d~ IV 4 2 ~ = dy y = arcsen- d8 82 - 16 + C. 5 25 - y2 Iv ~ ~) + c. In (: In = (8 + V8 2 16) - + C. 19X~~ 4= 1~ In(~:~~) +C. dx 3x 1 6. I 7. 19X:~ 1 = ~ In (::~ ~) + C. 8. 9. 10. u V 16 - 9x 2 r dt 4 - 9 t2 = -3 arc sen -4 + C. 1 (22 +- 33t)t + C. i2 ln = + I + I ede e ~ (2 + ee) + C. f ~ + + fV + I + I dt + 31 (t - 2) + + + + IV + (U+3) + fV + G"dx 1 e2x = arc tg e" cos = In 4 - sen 2 II. 12. 13. 14. 15. 16. 4 C. sen 2 - sen 2 b dx 2 = 2-.!!..-ln (ax 2 ax-c ac ax 5xdx 1 - x4 axdx x4 b4 = a x2 = arc tg = 2 b2 arc tg b2 9 (t _ 2)2 1 dy 1 5 -2 arc sen x 2 a 2y 2 = -In (ay a du 4 - (u 3)2 c) c C. C. C. -3- VI C. a2y2) = arc sen -2- C C. 18 . f V9 f J dy y2 +4 , dt 19. f V4 + .f vt . f V5 + f VI - 23 . tdt 4 4 - 20. f25X~X- 4 ' 21. f 25 7dx 28 2exdx 3 30. ' ' 31. (;2x- f f ., 29. xdx 26. . ' XZ + 7 xt ' 5 S2 24 4t z +25' 3 ds J f V m 4 7 ; As formulas (18)-(21) envolvem express5es quad a v 2) com dois termos apenas. Se uma integr expressao quadratica contendo tres termos, esta po a uma com dois termos completando 0 quadrado, co exemplos seguintes: 2 - Exemplo ilustrativo 1. f x;2 SOLUQAO. " Verificar dx x2 +2x +5 0 seguinte: x+l 1 = '2 arc tg - 2 - + C ' + 2 x + 5 = r + 2 x + I + 4 = (x + 1)2 'f x2 + 2dxx + 5 f = (x dx + 1)2 + 22 Eeta estli sob a forma (18). Seja, realmente, v = x dv = dx e a integral acima torna-se f dv 1 ----;;-"-'--;:= 2 2 v +a a Exemplo ilustrativo 2. SOLUQAO. Temos Esta e da v arc tg a f +C = - 1 2 x+l arc tg - 2 2dx V2 + = 2 arc s +x - x 2 forma (20), pois 0 coeficiente de 2 arc sen.!.. a = = 2 arc sen f Exemplo ilusttaiivo 3. SOLU9AO. 3x2 +4x - 7 2 x-I 2 +C. dx 3 x2 = 3 (x 2 +4x - +t x - 1 7 = 10 In t) = 3 (x 2 = onde v = x If "3 + ~ , portanto dv + 3[ + (x = dx e a =1 Aplicando (19) 2 dv 1 v-a -2--2 = 6 In ~ v-a a va 1 + C = 10 In PROBLEMAS Calcule as seguintes integrais. 5 x+ a - a x+ 2 3 5 + " 3 9. 10. lI. 12. 13. 14. 15. 16 . 17. pOl' 1 l.. In + Iv + Iv + In + + V2as + + 1 + ;) + ~ln(2Y+3 - VS)+ V5 + + V5 1 + + ~arc + Iv + + In + + VI + + 14 +d: + ~ XiI) + C 1 + Vll (3X-l)+ Vll Iv (8~ dx = 4 x - x2 dx ? 2 x - x- ds 2 as . 1 2 x x· dx 1 x C. a = C S2) 2y = _ x 2 2x 4 3 t g ( 2 : ; 1) V ;) 5 dx - (s x Xl 3 x2 = arc sen (x - 1) = dx 1 C. S2 dy y y2 (_x) x - 4 4 C. ;) 1 2 = (x = arc tg (2 2x =_1_arctg 1 dx = 2 arc sen 2 2 - 3x - 4x 41 ) Calcule cada uma das integrais abaixo e verifiq derivalJao. 18. 1 19. f 20. 21. dx x2 + 2x + 10 22. ;t~2 + dx 2x - 3 23. dy 24. 3du u - u2 25. 1 1 V5 - 4 3 - 2 y - y2 1vx + 5 2 ( ,_ vx 2 + f + f V3l dx ,\/X 2 dt 2 28. 29. 30. 31. 32. + 2x - f f vx f V3 + fV f r2 - 2 x2 dr 2r - 3 35. 4dx 4x 36. x4 - - + 13 37. 2z- Z2 dv 8v + 15 xdx x2 - f + f f + f V9x fV d 2 w2 2 dz v2 + 3x 2 38. 39. 1 9x6 x d 3 - dt 4 15 2 4 x2 Quando 0 integrando e uma fra93.0 cujo numer pressao do primeiro grau e C'ujo denominador e do se quadrada de uma tal expressao, a integral pode ser r imediata, como mostral'emos nos seguintes exemplos Exemplo ilustrativo 1. f 3 x-I v4x2+9 SOLUQAO. f dx = Prove que !. V 4 x2 + 9 - ..!. In (2 x + -vi4 x2 4 2 Multiplicando por 3x -1 d V4x2+9 x= f ax e aplicando (1). 3xdx V4z2+9 - f dx V4z2 Por (4) e (21) obtemo8, pois, a resposta. Exemplo ilustrativo 2. f 2:t - 3 Prove que 1 3 x2 + 4x - 7 dx = Tin SOLUQAO. 3, p. 254. 3 x2 + 4 x- ( 7 = 3 4 7) x2 + T x - T 13 3 - 30 In 3 [(x + ~ y - ~J, pelo ex =~f 3 -!!f 2vdv v2 _ ~ 9 9 dv /)2 _ Usando (5) e (19) e substituindo de novo v acima. = ~ 9 x " + * PROBLEMAS Calcule as seguintes integl'ais. 1. 2. 3. 4. + 2x)dx = arc tg x + in (1 + x 2) + C. 1 + x2 (2 x + 1) dx = 2 Y x 2 - 1 + In (x + Y x "f(1 f ! ! 2 YX 2 1 - ex.v~ ~) :: = - (3 x-I) dx x2 +9 Y1 - =~ in (x2 2 x2 + 9) 5. 1(38 - 2 )d8 = _ 3 Y9 - 82 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Y9 - ! ! (x 82 + 3) dx +4 YX 2 arc sen x - - - +C ~ arc tg ~ 3 3 2 arc sen ~ 3 + = Y x 2 + 4 + 3 In (x + ~) (2X - 5) dx = ~ In (3 3 x2 - 2 3 XL 2)- 5 Y6 In (:3 12 3 f(5t - l)dt = 5 Y3t 2 -9- Y3 In (tV3+ y3 t 2 - 9 3 3 f ! 1 f + 3) dx 6 x - x2 (x = - -1 (2X+5)dX + 2x + 5 x2 2 = In (6 x - x 2) In (x 2 - (x - In ' - - x + 2 x + 5) +"23 arc tg (I-x) dx 1 2 4x 2 -4x-3 = - BIn (4 x -4 x-3) 1 + 16 I (3 x - 2) dx 1 1 _ 6 x _ 9 x2 = - (fIn (1 - 6 x - 9 x 2) + Y2 in (3 x + 1 - Y 4 3x+l+V2 15. /_1 V 16. 1 xdx =-"';27+6x-x 2 +3arcse 27+6x-x 2 (3x + 2) dx = 3 V19 - 5x + x 2 V19 - 5 x + x 2 . + l] In (x + "';'1-=-9-- 1- 17. / 18. (3 x - 2) dx = ~ V 4 x2 - 4 x + 5 V4x 2 - 4x + 5 4 - i In (2 x - I + "';"-4-x-2 ---4 (8 x - 3) dx = _ 2 V12 x - 4 x 2 V12x - 4x 2 - 5 ~ + - 5 arc sen ( 2 x 2- 3 ) + Calcule cada uma das integrais abaixo e verifiq por deriva9ao. 19. 20. 1(4X + 3)dx x2 + 1 • / (3 x - 4) dx . x2 - 1 21. 1(3 - x) dx 4 - 3 x2 22. 1(2X + 3) dx V2 - 3 x 2 23. / (x - 1) dx V3 + 5x 2 f 28. 29. • 30. • f f vx (3 - 4x V3 x - x (5 x + 2 2 + 2 1 / 32. f 33. / 34. (1 - x) 2 + 4 vx /(8 - 3 x) x2 + X + 31. ' 1(3 x - 5) dx x 2 + 4x /(4X + 5) dx 25. V3x - x 2 (x + 2) dx 26. x2 - 6 x + 5 . 24. 27. / (x + 4) Vx 2 + X (2x + 7 2 x 2 + 2x (3x + 8 9 x2 - 3 x (6 V 4 x2 - Va 2 - v~ = Va 2 a2 sen ~ z - = a cos z Logo j Va 2 - v~ dv = ~2 j(COS 2 z+ a 2 fcos 2 z dz = a2 a2 =-Ren2z+-z+C. 4 2 Para obter 0 resultado em termos de v, temos, p igualdades acima, Z v a v a = arc sen -, , sen 2 z = 2 sen z cos z = 2 - V Substituindo, obtemos (22). DEMONSTRAl;AO DE (23). Pela substituiyao tramos (V. § 132) imediatamente que (1) f Vv + a 2 2 dv = fa sec z . asec 2 zdz Anteriormente mostrou-se que (2) jsecs z dz = Como tg z = - V a , 0 sinal positivo. sec z tg z - sec z a2 onde Cf = C - 21n a. toma ! = vv 2 ! In (sec z + +a a 2 , deduzimo Logo, (23) esta demonst = a 2 Jsec 3 z dz - a 2 Jsec z dz . Comparando (4) com (2), temos (5) f --Vv 2 a 2 dv = - a2 T a2 sec z tg z - TIn (sec vv V 2 - a2 Mas sec z = - ; logo tg z' = . Subs a a obtemos (23) quando hi 0 sinal negativo a.ntes de Exemplo ilustrativo 1. Prove f -/-- v4 - 9x2 dx = 0 seguinte X ,/ '2 v4 - 9x2 2 3 3 arcsen + z Confronte com (22) e ponha a2 = 4, v = 3x. SOLUc;fAO. Logo Deando (22), e pondo v = 3 x, a 2 = 4, obtemos a respo Exemplo ilustrativo 2. f V3 x 2 1 = '6 (3 x + 2) V3 x 2 SOLUc;fAO. $ +4 x 7 dx = 25,,/3 - 7 - ~ In (3 x + 2 + V9 Pelo exemplo ilustrativo 3, p. 254. 3 x2 para v = +4 x - + i-, + 4 $- a = .'. f 1-. 7 = 3[ ($ + t )2 - ~J = 3 (v 2 - Entao dv = dx V3 x2 +4 x - 7 d$ = f V3 Vv 2 - · 2 5 Ueando (23), e pondo v = x + 3"' a = 3"' obtemos a I. f ~ VI - 4 x dx = VI - 4 x + 2.1 VI+9X2dx=~ 1~S V VI+9x 2 + dx = : 3. 4. f ~1 • v 25 - 9 x· dx 5. I V4x 2 + 9 dx 6. 1 7. I = V5 - 3x 2 dx = arc sen ~ In(3x x 2 - 4 - In (x 2X _v I25 - = ~ + V x2 25 6 9 x2+ arc s 9 x 2' V4x 2 + 9 +4"ln(2x+ x 2 V5 - 3x 2 ~ +~arcs _I x+I_1 v3-2x-x 2dx = -2- v3-2x-x 2 +2ar 8.1 V5-2x+x 2 dx = x; 1 V5 - 2x +x 2 + 2ln (x - 1 + V'"S---2-X9. 10. I I _I V x-I.I 2 x - x 2 dx = ~ v 2 x - x 2 + _I v 10 - 4 x + 4 x 2 dx = 2x-l 4 21 arc VlO - 4 + ~ In (2 x-I + V 10 - 4 Calcule cada uma das integrais abaixo e verifiq por derivayao. II. 1 V16-9x 2 dx. 12.1 V4 + 13.1 25x 2dx. V9x 2 - 1 dx. 16. 1 17.1 18.1 V5 - V5+ VX 2 - 134. - Diferenciais trigonmnetricas. Consi algumas diferenciais trigonometricas que ocorrem c que podem ser conduzidas a integrais imediatas co forma<;oes trigonometricas. EXEMPLO 1. Achar fsen m u cosn u duo Quando m ou n e um inteiro positivo impar, n que 0 outro possa ser, a integra<;ao pode ser feita co forma<}<>es no integrando e usando (4). Por exemplo, se m e impar, senm u = escrevemos Senm- 1 u sen u. Entao, pois que m - 1 e par, 0 primeiro fator d e uma potencia de sen 2 u e pode ser expresso em po pela substitui<;ao sen 2 U = 1 - cos 2 U A integral toma, pois, a forma (1) f (soma de termos envolvendo cos u) se Como sen u du = - d (cos u), cada termo a ser forma vn dv sendo v = cos u . Semelhantemente, se n e impar, escrevemos cosn e usamos a substitui<;ao cos 2 u = 1 - sen 2 u. En torna-se (2) f (soma de termos envolvendo sen u) co Exemp lo ilustrativo 1. Achar f sen 2 x cos 5 x dx. (sen 2 x =j - 2 sen 4 x = j(sen x)2 cos + sen 6 x) cos x dx x dx-2 jcsen X)4 cos x dx + sen 3 x 2 sen. x sen 7 x =-3-- -5--+-7-+ C . Aqui v = sen x, dv = cos x dx, e n = 2, 4, e 6 respecti Exemplo ilustrativo 2. Prove que jsen3{x dx 2 = 1 = 3" cos 32" x SOLUl;AO. Ora Seja t x = u. jsen 3udu= j Entiio sen 2 u x = 2 u, dx = 2 duo . sen u du = j(1 - cos2 =JsenudU- Jcos 2 usenudu=-cO Usando este resultlldo no segundo membra de (3) e subst temos a resposta. PROBLEMAS Calcule as seguintes integrais t cos + C. 1. Jsen 3 x dx = 2. Jsen 2 3. jcos2c/>senc/>dc/>=-tCOS3c/>+C. 4. Jsen 3 6 x cos 6 x dx = i4sen 4 G x 3 X - cos x ecos ede = t sen e + c; 3 + C. 7. 8. sen3 e/> f cos 'I' ~ de/> f = sec e/> + cos e/> + C . cos4 x sen3 x dx = - i- cos 5 X + t cos 7 X + 9. fsen5xdx = - cosx +tcos'x -icossx 10. f cos5 X dx = sen x - t sen3 x + i sens ~ + 11. 12. f I sen5y - 1-= - 2 v cosy (1 - ~ cos 2 Y cos y " 5t - 2 _~~s at = sen a t (1 - ! sen 2 t + i- se v sen t ~ dy i- CaJ.cule cada uma das integrais abaixo e verifiq por derivaltao. 13. I sen3 2 () d() . 14. Icos' 15. 16. 17. 18. Isen 3 mt co 19. Isen s nx dx fsen 2 x cos 2 x dx. 20. fcos 3 (a + f sen3 t cos' t dt . 21. e/>. e/>' cos3 _sen-de/>. 2 2 I 22. ~ d() . EXEMPLO II. Achar Jtgn. u du c:tg() fJ v sen () sen3 2 x _3/ ou I _/ vc~2x ctgn u Estas integrais sao facilmente calculaveis inteiro de modo semelhante ao dos e}:emplos anter o metodo consiste, principalmente, em usar as i tgn u = tgn - 2 u tg 2 U = tgn- 2 u (sec 2 u - SOLUQAO. = f t g2 X (sec 2 x - I) dx = f t g2 X sec2 x dx - f t g2 X = j ( tg x)2 d (tg x) - j(sec2 ftg4 x dx -- ftg33 x -tgx+x+C. Prove que Exemplo ilustrativo 2. fctg32 x dx SOLUQAO. Seja 2 x = u. Entao x fctg32Xdx (4) Temos -1 ctg2 2 x - ~ In sen 2 x + C = j c tg3 u du EXEMPLO III. UdU. j c tg u . ctg2 U du = f c t g u (cossec 2 u - 1) du j = DO =t jctg3 = = Deando este resultado obtemos a resposta. = ~ u, dx = t duo ctg u cossec2 u du - t ctg 2 U - In sen u f c + C. segundo membro de (4) e pond Achar jsec n U du ou fcoss Elas podem ser calculadas facilmente quando positivo par. 0 primeiro passo e escrever 1,-2 seen u = sec n- 2 u sec 2 u = (tg 2 U + 1) 2"" se Exemplo ilustrativo 3. SOLU9AO. Prove que Seja! x = u. f (5) see 4 ! x dx = f tg Enulo x = 2 u, dx = 2 duo see 4 ! x dx = 2 fsee 4 u du Temos f = = = = f see 4 u du . fsee 2 u . see 2 u du f(t u+ ft g2 g2 U u + fse 1) see 2 sec2 u du du 1- tg + tg u + C . 3U Substituindo de novo no segundo membro de (5) e pondo a resposta. EXERCiclO. Ponha sec 2 u = 1 + tg2 U no segundo mem ao quadrado e proceda como no exemplo ilustrativo 1 acima EXEMPLO IV. Aehar Quando n plo III. f tg'" u seen u du ou ! etg e urn inteiro positivo par, proeedemos Exemplo ilustrativo 4. Achar tg 6 X sec 4 x dx SOLU9AO. ! = = f f tg 6 X sec 4 x dx. tg 6 X (tg2 X + 1) sec2 x ! ( tg x)8 sec 2 x dx +! t eg 9 x t.g 7 x =-9-+-7-+ C . Aqui v = tg x, dv = sec 2 X dx, etc. SOLUQAO. j tg6 x BeC 3 x dx = j tg4 x Bec 2 x Bec x tg x = j(sec2 x-l)2 BeC 2 xsec = j(sec 6 = se~7 x _ 2 se~5 x X - 2 sec 4 X +s + se~3 Aqui v = sec x, dv = Bec x tg x dx, etc. Os metodos usados nos exemplos acima sao, o tados em suas apIica90es. POl' exempIo, eles falham n jsec3 u du = jsec u sec 2 u du = jsec u tg 2 u du + In (sec Realmente, nao podemos ir adiante com 0 que integrais imediatas. Posteriormente, outros metod duzidos, de uso mais geral. EXERctCIOS Caicule as integrais. 1. j tg3 2. 3. 4. j j j X dx = ! tg 2 X + In cos x + C. Xd :!: = - 2'3 etg·oX ctg33' 3' ctgJ 2 X cossec 2 x dx = cossec 4 : 5. jtg5 3 () d() dx = 4ctgJ = f2tg 4 3 () - x 3 I n sen 3' - + ! cossec 2 x - t co : - 4 ctg t tg 2 3() ~ +C + -J In sec 8• 9. 10. 1 f f COS4 X 6 dx _ _ 1. t scg - sen x + C• 5 -!. X 2 9 +.3..9 t g2+C . 1.. 2!. tg'l a sec 2 a da = 9 sec 2 a - "5 sec 2 a + . 13. X 3 "2 sen 11 xdx -_.3..5 t g2 C01;2 x 11. f(sec ax)4 dx = - 12. 5 f f tgax .~a (ctg ax + t ctg'l ax) (ctg 2 2 0 + ctg 42 0) dO = - -t ctg'l2 0 + 1 (tg bt- ctg bt)3 dt= 2 b[tg 2 bt+ctg 2 btl + b Calcule cada uma das integrais abaixo e verifiq por deriva/tao. 14. fctg 5 ax dx. 21. 15. fsec 6 0 dB. 22. 16. fcossec 6 17. 18. f ! ~ dx. see 4 t dt . tg'l t see4 x dx . _/ vtgx 25. f(eossee ax)4 dx etg ax 20. ftg'l EXEMPLO mUltiplos. ~ V. see3 ~ dx Achar dx sen 43 x eo bX b f( eossee tg f( etg¢)3 ¢ f( costg at)4 at x tg 23. 24. 19. f -- f tg3xdx Vseex 26. f t gn 27. f X see 4 tg5 20 dO see32{J . f senm u cosn u du por m pressao envolvendo senos e cossenos de angulos m entao, integrada. Para isto, empregam-se as seg sen u cos u = t sen 2 u , par (5), § 2 sen 2 u = cos 2 u , por (5), § 2 cas 2 u = t + t cos 2 u , par (5), § 2 t-t Exemplo ilustrativo 1. SOLU9AO. jcos 2 u du = =t Exemplo illI,;trativo 2. j SOLU9AO. J cos 2 u duo Achar j(t + J +t du = SOLU9AO. j j cos 2 u du ~ = Achar Jsen 2 x cos2 x dx. sen 2 x cos2 x dx = Exemplo ilustrativo 3. t cos 2 u) du t jsen2 2 x dx t j(t - t COB 4 x) Achar Jsen 4 x cos2 x dx. sen 4 x cos2 x dx = j(sen x cos X)2 sen 2 x d = J t sen2 2 x (t - t = i Jsen =~ j(t 2 2x j -tcos4x)dx - x dX-~ COB sen 4 x ~ jsen sen 3 2x =i6-64-~+ Par (6), § 2, sen mx cos nx = ! sen (m + n) x + ! =! fsen(m + n) x dx + : · fsenmxcosnx dx +! f cos (m 2 (m sen (m + n) x + n) cos (m -~-- 2 (m Semelhantemente, achamos f f sen mx sen nx dx = - cos mx cos nx dx = sen (m + n) x 2 (m + n) sen(m +n)x 2 (m + n) + sen(m 2 (m sen (m 2(m - n + PROBLEMAS Calcule as integrais 1. 2. 3. 4. 5. f f f f f x ="2 - sen 2 xdx 4 d 3x sen x x = "8 4 d cos x x - sen2x --4- + C. sen 2 x --4- + sen324 x + C . = 38x + sen42 x + sen324 x 6 d 5x sen x x = 16 - 6 d - 5x cos x x - 16 + sen42 x x "2 - sen 2 x -4- f sen2 ax dx 7. f x x x sen 2 "2 cos 2 "2 dx = 8 = +4 sen 2 x + 3 se 8 6 3 _ sen3 2 x 48 sen 2 ax 4a 6. + C. + + C. sen2x - 1 6 + C. 3s 10. f (2 - sen 0)2 dO II. f(sen 2q, 12. 13. 14. POI' f f f 90 sen20 = "2 + 4 cos 0 - - 4 - + cos q,)2 dq, = 7 q, + 2 s~n3 q, + 8 sen 2 x cos 4 x dx = cos 2 x cos 6 x --4- 12 + sen x sen5x sen3xsen2xdx=-2-- 10 +C sen x sen 7 x cos 4 x cos 3 x dx = -2- + 14 +C Calcule cada uma das integrais abaixo e verifiq derivaQao IS. fcos 2 ax dx. 21. j(1 + cos X)3 16. fcos 4 ax dx. 22. j c Vsen 2 0 - 17. fsen 2 ax cos 2 ax dx: 23. j c V cos fj 18. fsen 4 24. j(sen 2 x - s 19. fsen 42a cos42a da. 25. j(sen x + cos 20. fsen 2 x cos6 x dx . 26. j(cos x +2c ~ cos 2 ~ dO. - 135. - Integral;ao de expressoes contendo Vu ± a~ pOl' substituicao trigonoIllerica. E o melhor meio de integral' tais expressoes e mudar segue: 2 quando ocorre V~;;,; poe-se u = a s quando ocorre Va 2 + u 2 poe-se u = a tg quando ocorre Vu 2 - a2 poe-se u = a sec Va 2 + a 2 tg 2 z = a V 1 + tg Z = a s VI a2 sec 2 z - a 2 = a Vsec 2 z - 1 = a t (2) (3) Exemplo ilustrativo 1. Achar f du.:. . (a 2 _ u 2 ) 2 Seja u = a sen Zj entao du = a cos Z dz e, us SOLU<]AO. u Realrnente, como sen = ~, Z tangulo ao !ado diz que tg Z Exemplo ilustrativo 2. SOLU<]AO. Seja, pois, 2 x = Uj _--,-u__ va +9= entao x = '1.1 2 2 - Prove que ...,14 zZ Aqui = triangulo re- 0 f vu t u, 2 dx x V4zZ+9 + 1 = 3 ln a2 para u = 2 x dx = t duo Substitu (4) Seja u f f = -1 a = a tg z; entao du = a sec 2 z dz e, usando (2), du U V u 2 + a2 = f 2 a sec z dz a tg z . a sec z 1 = a cossec z dz = -1 In (cossec z - ctg z) a Como tg z = ~, tern-se, pela figura, a cossec z = V~ U ' a cotg z = -:;; . f sec z dz tg z +C• PROBLEMAS Calcule as integrais 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. f f j f dx x2dx t2 elt (9 - 12. j t 2 r- '\Ix 2 2 . 5 V5 - x - / + 8)2 v,2 rlv, 1.. U _/ v,2 dx _ ..!.- I ( V:r 2 + 4 - 2 n 2 :1' V25 - :r 2 = -1 1n ( 5 rill _~= 1I V !J" - 7 dx /2 + ) + v:rx + V2.) - :J'~ 2 +4 ;I: +C. V~ + C. 5x :J.2 = vx V x2 - n Vl(i - /2 elt x3 ) + 7y = _ dx 5 '/l :3 + C/ • V~ 2 x 2 V5 - / + 2 arc sen -2 arC' sen - 9- X rlx + C_. v:x·.x + 8 + In (x + V. x V v,2) 2 2 + 3 In (x + '\1. ~ 2 = - 3 6 - x = - x2dx f f x = - (5 - x2)"2 V4 - + C. X 2 2vx + 2 3 - (x2 11. = vx 2 - 6 dx _ j j j j j 3 + 2)"2 (x2 2 - 9 18 x 2 = - + -.-1 04 V16 / (2 :J' arC' sec .3 - arC' sen - Calcule cada uma das integrais abaixo e verifiq par· derivar;ao. j 16. ! V X +9dX. x2 x dx 3 f VX + 2 15. V4 - x x d 20. 2 • 2 2 17. f VlOO;: u 2 21. j 22. jVX + x x4 vxdx 2 du. 136. - Integra~ao por partes. Se u e l' sao unica variavel independente, temos, pela f6rmula d urn produto (V. § 94). d (uv) = u dv + v du . ou, transpondo, u dv = d (uv) - v du . Integrando esta, obtemos a f6rmula inversa (A) j du U = uv - ju du , . chamada formula de integrai;iio por partes. Esta f6r integrayao de udv, que muitas vezes nao sabemos f que pode, eventualmente, ser feita POl' se apresentar veniente. 0 metodo de integrai;iio por partes e urn do ca.lculo integral. Para aplicar esta formula, a expressao sob 0 sin deve ser separada em dois fatores, precisamente, u regra para a escolha destes fatoms, podendo-se diz (a) dx e sempre uma parte de dv; a integrl1yao de dv deve ser possivel; (c) se a expressa.o a ser integrada e 0 produto d e melhor, usualmente, escolher a que se apresenta da, e que seja possivel integral', como parte de dv. (b) SOLUC;XO. Seja u = x e t.lv = COB X dx ; v = Jcos x clx = sell x. x Ben entao e du = dx Substituindo em (A), J u -.. . - . J-----J ux dv ~----.. X COB X dx = x Exemplo ilustrativo S<n.UC;Xo. 2. sen vcl'u x - Ben Achar Seja u x = In x entAo du = d: c v = x dx = In x elx. c elv J:c x +C = x dx ; dx = ~ . SubBtituindo em (A), !XlnXelx=lnx, Exemplo ilustrativo 3. SOLUC;XO. Seja Achar f .LeU'" u = eaz e dx. dv = x dx ; entiio, du=eaz·adx Substituindo em (A), e v= j . z? xdJ:~2' du = dx v = feox dx = e: e Substituindo em (A), ax f - ea dx x OX e ea ( --+c=a2 a a Pode sel' necessaria aplicar a formula de intcg mais de uma vez, como no exemplo seguinte. Exemplo ilustrativo 4. SOLU9AO. entiio, x2 eax dx. Achar f u = x2 e Seja du = 2 x dx dv = eaz dx ; eax dx = ea: v = f e Substituindo em (A), x ax - fea . 2 x rlx a a = x-? . e - . z 2 ea - - 2 =x - (1) a a f xeazdx. , A integral no ultimo termo pode ser achada aplicando mula (A), 0 que da f 1) +C. eaz( x--; xeazdx=-;; Substituindo este resultado em (I), obtemos f 2-) + 2 ax ax :r2eaz dx = x e _ 2 e (x _ a ~ a Exemplo ilustrativo 5. fsec 3 z dz = ax C = e (x 2 _ a Prove que t sec z tg z + t In (sec z + tg z) + I sec 3 z dz I = sec z tg z - sec z tg 2 Z dz Na nova integral, ponhamos, tg2 z = sec 2 z - 1. I sec 3 z dz = sec z tg z - Isec 3 z dz Passando a integral do segundo par1.l. temos 0 resultado desejado. Exemplo ilustrativo 6. I SOLU~AO. etJX sen nx dx primpiro membr 0 (sen nx - n cos nx) eax = = + n2 a2 e du + In (sec z + Prove que Seja en tao, Obtem ae ax dx + dv =sennxdx; v = - I' cosnx n Subst.ituindo na formula (A), (2) I Ux c -cos eUX sen ?IX dx = - n -llX- + -;a I eax co Intcgrando de novo par partes, seja dv = cosnxdx; I' cntao e v = Logo, pOl' (A); (3) I eax cos nx dx = cax RPI1 n nx a - -; sen nx 11 I cax sen n Substituindo em (2), obtemos (4) le ax sen nx dx = e:: (a sen nx - n cos ?Ix) - As duas integrais em (4) sao as mesmas. primeiro membro, obtem-se 0 l'esultado. ~: Trazendo a (b) diferenciais envolvendo logaritmos, (c) diferenciais envolvendo fun~i5es circulare EXERCICIOS Calcule as integrais. 1. 2. 3. 4. 5. f = sen x - x cos x x sen x dx fIn f f f x dx x sen = x (In x-I) . d 7. r II. 12. 13. i d 2 In x dx 2 x cos x "2 + c. y + x senn nx + C . + In cos u + C . 1 v2 1 12 v sen 6 v - 72 cos 6 - + 2 y sen ny 2 cos ny Y sen ny Y = . 9. fx" f f f f = v sen 2 3 v dv 8. fxa"'dx = 10. ~ u sec 2 u du = u tg u J ~ cos nx - ~ 6. + C. x x "2 dx = 4 sen "2 - x cos nx x - +C. ~ n' n 2 y - _1_] + In (In 1_) + C. n+1 n+1 [~In a ax 2 C. a J x"+ = x __ arc sen x dx = x arc sen x arc tg x dx = x arc tg x arc ctg y dy - tin (1 = y arc ctg y arc cos 2 x dx = + ~+ +t x arc cos 2 x - + x 2) + In (1 ! 14. farc sec y dy = y arc sec y - In (y + y2) viI - + Vy2 17. fare tg 18. 19. .y;- dx f Je o ede x 2 e-x dx = - e-X (2 cos = J 21. f 22. Jln~dX = ( 23. 24. f f 2 ) + 1)'. = x -lIn + x- xe" + 1) + C x2+2 X3 +1 dx in (.J; = 3 are sen x + - 9 - v x 2 arc sen x dx (1 + 2 x + .r + C. x Inxdx x + 1) arc tg .y;- - y ~ (sen e + cos e) + c. 20. x POl' = (x 2 ~lln(x + 1) - eX + X)2 = 1 + x + c, d -I e cos 1ft t = e- t (1i sen 1ft - cos 1ft) 1f2 + 1 + Calcule cada uma das integrais abaixo e verifiq deriva<;ao, 25 26. f J x sec 2 31. fare sec x eos 2 2 x dx . 32. j'arc cossec 27. JX 2 cos x dx. 28. 29. 30. ~ dx , ; 33. j'arc sen fare sen mx dx . 34. J arc ctg ~ dx. 35. Jare cos ~ dx, 36. ~ fX 3are sen f J x arc SAn ~ arc tg -v x- ? 39. 40. 41. fC fe- 2X 9 fJ + Xt )2 dx . ~ cos 44. dO. 7rt 7r _.l- 45. Sell7rt dt. f/i cos d f e sell f cossec ed 4 46. 4 3 137. - COITlentarios. A integrayao e, de m opera9ao mais dificil que a deriva9ao. Realmente, u simples Cem aparencia) como f V-;senxdx nao pude ser calculada, isto e, nao ha jun~iio element seja V-; sen x. Para auxiliar na integra9ao, hi tab ja preparadas. Uma pequena e dada no Capitul livro. 0 modo de usa-Ia esta explicado abaixo no altura, basta tel' presente que os metodos ate ago sao aplicaveis a muitos problemas. Outros metod em capitulos posteIiol'es. EXERCtCIOS DIVERSOS Calcule cada uma das integrais abaixo e vel'ifiq pOl' deriva9ao. 1. 2. 3. 3xd:'C f v5 f + f YC 2x 2 4. !:C cos 2;/.: • 3xdx 5 _ 2 x2 . Co,X 5. Ii) dx -'---;:====2 - x2 7.! G. f f Y:t: dx (a 2 - X 2 d C4x+3 x2 + 4 x C4x+3 2 +4 )t 10. 11. fx f dx 6x . 26. fiicn 4 ee2S + 2 e-"')2 dx. 27. f 2 12. fee 13. f - Zz - + 10 2 X)2 dx. 28. . 29. dx ez-4e-z 14. fsen 2 ax cos ax dx. 15. fsen 2 ax cos 2 ax dx. 16. fln(I - 17. fe2 tg 18. 19. f f ~) dx. 2 0 - ctg 0)2 dO. 4xdx 1 _ 4 x4 . 30. 31. 32. 33. x3dx _~" vx 2 + 1 34. 35. 36. 23. J X.dX --. 4xdx J VI - 4 x4 t2 f~ fx + ct arc sen 1 - x2 2 5d~~ X - f vx + 5dx 2 - X fx. arc ~ fee'" + sen fex - cos x tg fo + f + f tg x)o senOdO (1 - cos 0 (I sen cos t 39. 40. fcos a cos 2 38. x-I et - eosse fe- sen 2 t fsen 0 fsen ¢ sen 37. 22. dO : t 2 cos CONSTANTE DE INTEGRACAO 138. - Determina!;ao da constante de int condi!;Oes iniciais. Como dissemos no paragrafo 1 de integrayao pode ser determinada quando conhece integral para algum valor da variavel. Para se det tante de integrayao e, pois, necessario ter outros da pressao a ser integrada. Ilustremos isto com um e Exemplo ilustrativo. Aehar uma funl;8.0 euia derivada - 2 z + 5 e que para z = 1 tenha 0 valor 12. SOLUQAO. A8/lim <3 z2 - 2 z + 5) dz /<3 6 a expressao difereneia z2 - 2 x onde C e a eonstante de integral;8.o. deve ser 12 para z = 1, isto 6, 12 = 1 - 1 Logo r' - + 5) dx = ,jl - zZ +5 Das condil;oes do pr + 5 + C, ou C ~ 7. z2 + 5 x + 7 6 a funl;8.0 pedida. 1~9. - Significado geometrico da constante Este sera ilustrado par exemplos. Exemplo ilustrativo 1. Determinar a equal;iio da eurva qual a tangente tern 2 x por eoeficiente angular. 282 dx ou ' dy = 2 xdx. Integrando y = 2JXdx, ou V=:J?+C, (1) nnde C ~ a constante de integrac;:iio. Se dermos ll. C uma s~rie de valores, digamos 6, 0, - 3, (1) conduz as func;:oes que sao parabolas com eixos coincidindo com 0 eixo OY e l pectivamente, como pontos de intersec;:ao com OY Todas as parabolas (1) tem 0 mesmo valor de ~ , ist direc;:ao para 0 mesmo valor de x. Deve-se notar tamb~ qu os comprimentos das ordenadas ~ constante para todo valor as parabolas podem ser obtidas movendo-se urna qualquer d para baixo, pois 0 valor da constante C nao afeta 0 coeficie va, neste caso. Se, no exemplo acima, impuzermos a u passsr a curva pelo ponto (1, 4), as coordenadas deete ponto o que fomece 4 = 1 A particular curva pedida ~, + C, ou seja, C = 3 . pois, a parabola y = :J? + 3. Exemplo ilusttativo 2. Determinar a equac;:iio de um gente tenha, em cada ponto, coeficiente angular igual ao sim~trico da raziio entre a abscissa e a ordenada do ponto. SoLUQAO. A condic;:ao do problema preSBa pela equac;:iio Oil, p.epa.rando dy x dx = y 11~ variavei~, ydy = - x dx. Integrando, ou ~ = - ~ +C , x2+1l=2C. ~ ex- e port.anto x + .Il = 25 ea particular curva pedida. PROBLEMAS As expressoes abaixo sao as derivadas de certas fu em cada urn dos casas, tendo em vista as dados. Derivada da junr;iio 1. Valor da variavel x-3 3. 3 + X - 5 x2 y3 _ b2y 4. sen () 2. 5. 6. + cos e 1 1 ----2- t t sec 2 cp + tg er- 7. 1 2 x + a2 8. bx3 + ax 9. -vt+yt +4 1 10. 11. ctg () - cossec 2 3 te zt2 Correspondente valor da jUTL(;iio t x2 - 3 2 \J (j - 20 2 0 t7l" 2 +3 i y4 - t sen e- c 1 0 In (2 t - 0 5 tg cp 7l" 1 -arct a a - b 10 4 0 e t7l" 3 0 4 2a 304 +I Achar a equa9ao da familia de curvas tais que gular da tangente em cada ponto de cada uma del 12. m. 13. x. Parabolas, + C. y = t x 2 + C. 14. _.1 Parabolas, t y2 = X + C. Y 15. x2 Y Resp. Retas, y = mx Parabolas semi-cubicas, t y2 18. 19. Parabolas cubicas, ~ y3 y2 x y = X Hiperboles equilltteras, y2 Y 20. Hiperboles equihtteras, xy = X 21. b2 x a 2y 22. - 23. l+x 1- y b2 x a2 y Circulos x 2 + y2 +2x - 2y Em cada urn dos exernplos seguintes, achar a eq que passa pelo particular ponto fixado e cujo coe em cada ponto e a dada funr;ao das coordenadas. Resp. 2 y = x2 + 1. 24. x; (1,1). 25. 4 y; (1,1). In y = 4 x - 4. 26. 2 xy; (3, 1). In y = x 2 - 9. :r? = 2e 2 27. - xv; (0,2). y 28. x+1 --=0 y ; (0, 1). (y + 1)2 = 29. x-h - - ' (0,0). Y - k' x~ + y2 - 30. ~; (1,1). x In y = x-I. 31. y~; (4,1). 3ln y = 2 (x~ x (x + 2 hx x ""y- yy; (1,9). 34. x 35. x-3 -1--; (3,0). 36. xy x +4 ; (1,_2). Dados dy = (2 x valor de y quando x = 3. 41. 42. 40. + 1) dx, _~ Dados dA = v 2 1JPXX dx, A y X p2 = -3 quando 2 Re Dados dy = xVlOO - x 2 dx, y o valor de y quando x = 8. 44. valor de p cos 2 Y = 7 quando valor de A quando x = 2 p. 43. + xy + ~~ := ~ 39. -y 2 ~/2 "3 38. = 0 quan = cos 2e de, p = 6 quando e quando e = i 11". Dados dp 45. Dados ds valor de s quando t tv = 4 t + 1 dt, s = 0 quando = 2. 46, Tern-se y" = x em cada ponto de certa equayao dela, sabendo-se que ela passa pelo ponto ( ponto coefici('!lte angular igual a 7/2. Resp. 6y = 12 x 9ao da curva se ela passa pOI' (1, 0) e e tangente ne 6x y = 6. Resp. xy 6x 47. + Em cada ponto de certa curva, y" = -3' + 49. Achar a equay3.o de uma curva sabend ponto dela yll = -..!.- e que ela passa pOl' (1,0) com a in x 50. Achar a equay8.o da curva cuja subnorm igual a 2a. Resp. y2 = 4 ax + C, uma pa SugesUfo. De (4),' § 43, subnormal co y :~ • 51. Achar a curva cuja subtangente e consta (V. (3), § 43). Resp. a In y = x + C. 52. Achar a curva cuja subnormal e igual a a de contato. Reap. y2 - x 2 = 2 C, uma hiperbol Achar a curva cuja normal e constante (= que y = R quando x = O. Resp. x 2 + y2 = R2, 53. SUllestiio. Do § 43, comprimento da normal dx 54. normal 55. entre 0 =± =!'~ 1 (R2 - y2) - Determinar as curvas nas quais 0 comp e proporcional ao quadrado da ordenada. Achar a equayao da curva na qual 0 angu raio vetor e a tangente e a metade da anom Resp. p = c (1 - cos 8 56. Achar as curvas nas quais 0 angulo comp raio vetor e a tangente e n vezes a anomalia. Resp. pn = c sen n 8 SoLUQAO. Como a acelera~ao [ =: ~~, de (A), § 59) ] lS }, temos dv at =}, dv =} dt. ou (1) Integrando, + C. " =}t Para determinar C, suponhamos que a velocidade inici seja v = va quando t = (\ Substitu!dos ~stes va = 0 valores em (I), temos + C, C ou C = va. Logo (1) torna-se v = ft (2) Como v = ds dt «C), -- + va· 0 § 51), obtemos de (2) ds at =}t + va, + vodt. Integran ! ft 2 + vat + C . ds = ft dt ou (3) 8 = Para determinar C, suponhamos que a quando t = O. dist~ncia inicial 8 = 80 Substitu!dos ~stes valores em (3), temos 80 = 0 + 0 + C, ou C "" 80. Logo (3) torna-se (4) 8 = ! }t2 + vat + 80. Substituindo em (2) e (4) os valores f = g, va = 0, 80 = 0 as leis do movimento de um corpo caindo do repouso num va v = gt e h =! gt 2• t~ncia do ar. Tomemos 0 plano XOY como 0 plano do movimento, OX como horizontal e OY como vertical e suponhamos que 0 projHil e lant;:ado da origem. Vamos admitir que 0 proj~til esU apeDaS sob a innu~cia da gravidade. Entao a acelerat;:ii.o na d nula e a na diret;:ii.o vertical e - g. De (F), § 84, resulta, SOLU9AO. dvz = 0 cit e Integrando, Mas Vo cos a Vo sen = velocidade inicial na diret;:ao horiz a = velocidade inicial na diret;:ao vertic Cl '"' Vo cos a [Logo (5) Vz = vo cos a Mas de (C) e (D), § 83, cU dt e C2 = vo sen a, dando Vz = Vo cos a e VII = - gt = cU dt e e dll dt cU = vo cos a cit ou e fill .. + Vo sen a. dy dt i IQgo ( = - gt +vosena dy = - gt cit + flO sen Integrando, obtemos (6) Z = Vo cos a . t + Ca -! gt2 + vo sen y = Para determinar Ca e C. observamos que quando t = 0 Substituindo estes valores em (6), obtemos Ca = 0 e C. = 0 (7) Z = Vo (8) y = cos a . t e -! gt2 + Vo sen a • t. Eliminando t entre (7) e (8), obtemos (9) que ~ y=xtga- 2 2 2 Vo cos a a equa y8.0 da trajet6ria e mostra que 0 , projetil descre 1. 2. v = a + bt. v = Resp. s = a (t - 1) + vt - 1. t b (t v = t 3. Nos exereicios abaixo sao dadas as aeelerayoes. entre vet se v = 2 quando t = 3. Vt+3 4. Nos exercieios abaixo sao dadas as aeelerayoe layao entre set Be s = 0, v = 20, quando t = 0. 7. -32. Resp. s=20t-16t 2 • 8. 4-t. 9. 10. Com que velocidade uma pedra que cai do fieio com 120 pes de altura atinge 0 solo? (g = 32). Resp. 87,64 pes 11. Com que veloeidade a pedra do problema o solo se lanyada para baixo com a veloeidade de 20 p Se lanyada para cima com a velocidade de 20 pes pO Resp. 89,89 pes 12. Uma pedra caiu de urn balao que sub:a a pOl' segundo e atingiu 0 solo em 8 segundos. Qual a quando caiu a pedra? Resp. 904 pes. 13. Se 0 balao do problema anterior estivesse de 15 pes pOl' segundo, em quanto tempo a pedra a 1 Resp. 7 seg. 16 14. Urn trem que deixa uma estayao tern 0,5 + 0,02t pes pOl' segundo quadrado. Ache a conida em 20 segundos. Resp. 126,7 pes 15. Uma particula movel sobre urn plano inc 'l.celerayao para baixo de 4 pes pOl' segundo quadrad comprimento, achar a velocidade inicial necessaria particula atinja apenas 0 topo do plano. Resp. 4 V 10 pes pO 17. Uma bola atirada do solo para cima alca 80 pes em 1 segundo. Achar a altura que a bola p 18. Urn projetil com a velocidade inicial de gundo e atirado contra uma parede vertical a 480 p lanc;:amento. (a) se a (angulo de elevaljao) = 45°, achar a atingido sobre a parede. Resp. (b) achar a de modo que 0 projetil atinja a Resp. (c) . achar a de modo que 0 projetil atinja urn da base da parede. Resp. (d) Achar a para que 0 ponto atingido sobre mais alto possivel, bern como esta altura. Resp. Se a aceleraljao de uma particula que se cidade variavel v e - kv 2 , onde k e uma constante 19. cidade quando t = 0, mostre que.2v = .2Vo + kt. A resisMncia do ar a urn autom6vel, d limites da vebcidade, e proporcional a velocidade. 20. a forlja liquida gerada pelo motor, temos M ~~ = F a velocidade em termos de t, sabendo que v = 0 q F k Resp. v = /;(1- e -M OlTrROS PROBLEMAS 1. A temperatura de urn Hquido numa sala 20° e 70° num dado instante e 60°, cinco minutos 2. vezes 0 Achar a equayao da curva cuja sub-tan comprimento do correspondente raio vetor, ponto (a,O). Resp 3. Achar a equayao da curva cuja subnormal o comprimento do correspondente raio vetor, e que p (a, 0). Resp. 4. Uma particula move-se no plano xy de mo ponentes da velocidade paralelas a OX e OY sejam tivamente. Prove que a trajet6ria e uma hiperbole 5. Uma particula lanyada do topo de uma to gulo de 45° acima do horizonte. atinge 0 solo em 5 distancia horizontal do pe da torre igual a. pr6pr Achar a altura da torre, sendo g = 32 pes pOl' seg Resp Uma particula parte da origem de coorden gundos a componente de sua velocidade paralela a a componente paralela a OY e 4 t. 6. (a) achar a posiyao da particula depois de t s Resp. 1 x = 3" t,3 - 4 t, Y (b) achar a distancia percorrida. (c) achar a equayao da trajet6ria. Resp. 72 x 2 = Resp. if - 48 y2 7. Achar a equayao de uma curva cujo comp gente (§ 43) e constante (= c). Resp. x=cln(c+~2)_ 8. Achar a equayao da curva para a qual (§ e que passa pelo ponto (a,O). Resp. p2 = a INTEGRAL DEFINIDA 141. - Diferencial da area sob UIlla curva. C funyao continua cP (x) e seja y cP (x) = a equayao da curva AB. Seja CD uma ordenada f varia-vel. Seja u a area da figura CMPD. Dand queno acrescimo D.x, u toma urn acrescimo D.u (= ar Completando os retangulos MNRP e MNQS, vemos Area MNRP au MP· < area MNQP < area MNQS, D.x < D.u < NQ < . D.x ; dividindo par D.x,· MP < ~~ < NQ.* Fayamos D.x tender a zero; como MP permanece f a MP (pois y e funyao continua de x), obtemos du dx - = y(= MP) ' au, usando diferenciais, du = y dx. Teorem.a. A diferencial da drea limitada por um dos xx, uma ordenada fixa e uma ordencula varidvel e i da ordenada varidvel pela diferencial da correspondent * Na figura, MP l! menor que NO: se fosse /.1 P maior que NQ ,bastari desigualdade. 293 du = ydx, entao = ¢ (x) dx, du (1) ou onde du e a diferencia.l da area compreendida entre dos xx e as duas ordenadas. Integrando, obtemos u = f <I> (x) dx . Denotemosf <I> (x) dx pOl' j (x) u = j (x) (2) + C. + C. Determinamos C notando que u = 0 quando x = a. Substituidos estes valores em (2), obtemos 0= j (a) + C, C = - j(a). e portanto Logo, (2) torna-se (3) u =j (x) - j (a). A area pedida CEFD e 0 valor de u em (3) Ternos, pois, Area CEFD = j (b) - j (a). TEOREMA. A dijeren~a entre os valores de f x = a dO, a area limitada pela curva c'uja ordenada e as ordenadas c07'Tespondentes a x = a e x = b. Esta diferenga (4) e representada l b y dx OU pelQ sfmbolo* I b <I> (x) d:r , • Esta notaciio 6 devida a .Joseph Fourier (1768-1830). yd e J~ l entao b ~ (x) dx = [j(x) l ou (x) dx b = j(x) I +C ~ (x) dx +C, = [j (b) + Cj = j (b) - j (a) , havendo des3.parecido a constante de integrat;a.o. o simbolo representa, pois, a medida da regiao limitada pela cu o eixo dos xx e as ordenadas da curva em x = a e x niyao pressupoe que estas linhas limitam uma area curva nao tende a mais ou menos infinito e nem o eixo dos xx. Pressupoe ainda que a e b sao fini 143. - CaIculo de uma integral definida. sintetizar-se como segue: PRIMEIRO PASSO. Integre a dada expressa.o dije SEGUNDO PASSO. N a integral indejinida obtida riavel, primeiro, pelo limite superior, depois, pelo in o ultimo resultado do primeiro. Niio e necessario considerar a constante de inte ela sempre desaparece com a subtrayao. Exemplo ilustrativo 1. Achar 14xz dx. * A palavra "limite" oeste caso !ignifica meramente 0 valor da var seu campo de variabilidade e olio deve ser confundida com 0 sentido do termo •• '" (xl ~ oontinua e de urn 56 valor no intervalo (a. bl. fo~ sen x ax = SOLUQAO. , ,. Exemplo I1ustrattvo 3. SOLUQAO. a 2 + x2 Exemplo ilustrativo 4. SOLUQAO. Prove que G-ax- = [ -1 fo° [ - cos x a l G o J: "dx 2---::> a +x- = [ - (- = - To 4a . arc tg .::. ]G = -1 arc tg 1 a f Prove que 0 Q, -a1 arc tg 0 o dx _14x2 - 9 1 - Comparando com (19) ou (19a), v = 2x, a Para decidir entre 0 uso de (19) e (19a), consideram-se o lores de x crescem de - 1 a O. Entao v (= 2 x) cresce de v2 .:5 4; mas a2 = 9. Logo v2 < a2 e (19a) deve ser usada. (1) fO 4 x2dx- 9 = - fO_ 9 - ax4 x2 = - J -1 1 1 [ 12 In Desenvolvendo-se os clUculos, temos a resposta. 0 resultado a curva e as ordenadas limites estao abaixo do eixo dos xx. 144. - Mudan!;a nos lim.ites correspondent dan~a na variavel. Quando se integra substituin vel pOl' uma nova e algumas vezes incomodo trans tado obtido pela volta a primitiva variavel. Na i limites, contudo, a. volta a primitiva variavel podes dando-se os limites de integragao de modo a que o venham a corresponder a nova variavel. Este pro trado pOl' um exemplo. Exemplo ilustrativo. Calcular 1 ax + xi' 16 xi ° 1 =4 1 o 12 1 2 2z2dz-4 dz+4 0 0 dz -+2= 1 z 4 z3 = [ -3- - 4 z 8 "3 + 4 arc tg 2. Resp. A relayao entre a velha variavel e a nova deve ser tal uma dentro dos limites de integrayiio corresponda sempre u da outra. Quando uma das variaveis e dada como funyiio d da outra, deve-se ter cuidado em escolher os valores permit PROBLEMAS 1. Prove lISt Quelj (x) dx = - (x) dx. Colcule as integrais abaixo 1 2 2. 3. o (a 2x - x3) dx 11 dx = 4 = 10. X 1 V3-2:r- V3-I. dx 1 2+ 1+ l V 3 2 6. 8. 3 x dx o x 1 r 7. t dt t2 1 2 l o a o ( ~a - II. = In 2. 1 z. = ~ _ In 3. 13. 3 rdx r2 - x 2 1fT 14. =2" V -x)2 dx 2 x o x 0 o 5. 9. 1. 1 4. 1 + l l!i 4 4a . = ~.. ? 1dx -" eu ", co 1~ V2 1'!1"i o 2sen se 16. 1 3 12V 17. 21·12cO tdt V t 2 + 16· o o l V J5 ydy 22. 4 yZ· 25 - a 18. 19. 1 aZ- x Z dx. 23. dx V2x-1· 24. 145. - Calculo de areas. compreendida entre uma curva, e x = b e dada peb. formula Area (B) = l 0 l r 0 [2 -1 1 1 o Mostramos no § eixo dOB xx e as o b y dx , onde 0 valor de y em termos de x provem da equa9ao da curva dada. Exemplo ilustrativo 1. Achar a area limitada pela parabola y = 'J?, 0 eixo dos xx e as ordenadas x = 2 e x = 4. SOLU9AO. Substituindo na f6rmula Area ABDC = ;:4 64 'J? dx 8 3 3" = [ ~a J: 56 3 = 18 2 "3. Resp. Exemplo ilustrativo 2. Achar a area limitada pelo clr o ei.xo dos xx e as ordenadas x = - 3 e x = 4. SOLU9AO. Area X = [ "2 V Resolvendo, y= V25 - x2 . Logo J \125 - x 2 dx -a _ 2..., - 'J? + 225 arc sen 5"x] -34 par (22) Exemplo ilustrativo 3. Area sob uma parabola cuio e eixo dos yy. Na figura seguinte escolhe-se 0 ponto pI sobre PP" de mode. que AO = OB. As ordenadas de P, pI e P" s te y, y' e y". Prove que a area compreendida entre a parab e as ordenadas de PeP" e igual a t h (y + 4 y' + y"). se 2 separa as ordenadas de Pede plIo SOLUl,;AO. Tomemos 0 eixo dos yy passando pela ordena figura. A equac;;ao de lima parabola com eixo paralelo ao eixo § 3, (x - h)2 = 2 p (y - k), ou, explicitando y, (1) y = ar- + 2 bx + c, onde a, bee sao constantes. A area pedida APP"B (= u) El, por (B), (2) u =J\ar-+bx +c)dx = -h ~ ah 3 +2ch. y Por (1), se x = - h, y = AP = ah2 se x = 0, y' = OP' = c ; se x = h, y" = BP" = ah2 Portanto 3"1 h (y 2 bh - +c ; A + 2 bh + c . 2 + 4 y' + y") = 3" ah 3 + 2 ch = u . 146. - Area quando as equa!;oes da curva forIna paraInetrica.* Sejam as equagoes da c f onna parametrica x = j (t), Y = <I> (t) . Temos, (1) onde pOlS Y = <I> (t) Area = I e dx = l' (t) dt. b y dx = a t = t 1 quando x = a e Logo 112 <I> (t) l' (t) 11 t = t 2 quando x = • Para um estudo rigoroso deste item convida-sc culo mais avant;adoa. 0 estudante a com dx = - a sen 4>d4>. Quando x = 0, x = a, e quando =! r 4> o. 4> = Substituindo-se em (1), temos Area -- = 4 ill 1 0 ydx = - i..- 0 7l"ab absen2 4>d4>= -. 4 Logo, a area" toda e igual a 1rab. Resp. PROBLEMAS Achal pOl' integrac;ao a area do triangulo lim y = 2 x, 0 eixo dos xx e a ordenada x = 4. Verifi achando a area como a metade do produto da base 1. Achar pOl' integrac;ao a area do trapezio li 10, 0 eixo dos xx e as ordenadas x = 1 e car 0 resultado achando a area como a metade da pela altura. 2. x +y= Achar a area limitada pela dada curva, ordenadas. 3. Y = x 3; X = 0, x = 4. x 2; X 4. y = 9- 5. y = 6. y 7. xy = k 2 ; 8. Y 9. y = = 0, x = 3. = 2x 2 X = a, x = b. 1 + -;; x- 10 Vx+4 ay = x Va 2 11." y2 +4x - eixo d Resp. + 3 x + 2 x; x = - 3, x = = x 2 + X + 1; x = 2, x = 3. x3 10. 12. 0 x ; = 1, x 2 X j x = 0, = 4. x = 5. x = 0, x = a. = OJ x = - 1, x = O. y2 = 4 x + 16j x = - 2, x = 0. 3. Achar a area limitada pela dada curva, retas. = 4 x; = 0, 0 eixo d = 4. 17. y2 18. Y =4 - x 2 ; y = 0, y = 3. 19. x=9 y_y3; y=O, y=3. 21. y3=a 2x; 20. xy = 8; y = 1, y = 4. 22. ay2=X3; Y Y Desenhe cada uma das curvas seguintes e ache 11 23. Y = 2 cos x. 24. y = 2 sen! 7rX. 25. Y = cos 2 x. 26. Y = sen 27. Ache a area limitada pelos eixos coorde bola ~ + VY i x. = V~. Prove que a area de um segmento de pa nado por uma corda perpendicular ao eixo da parab teryos do retltngulo que 0 circunscreve. 28. 29. P e Q sao dois pontos da hiperbole xy = a area limitada pelo arco PQ, as ordenadas de P e xx e igual a. area limitada por PQ, as abscissas de dos yy. 30. '0 Achar a area limitada pela catenaria y = eixo dos xx e as retas x = a e x = - a. Resp. 31. Achar a area compreendida entre as y2 = 2 px e x 2 = 2 py. yao e 4 y2 = e pela reta x 35. = = 2. Resp. Achar a area compreendida pelo layo da c x 2 (9 - x). 36. Resp. Achar a area limitada pela curva de equay e pela reta x = 2. 37. Resp. Achar a area compreendida pelo layo da c y2 = X (x - 2)2, 38. 4 y2 = Resp. Achar a area limitada pela curva de equaya 34. y2 x 2 (4 - x). Resp. Achar a area compreendida pelo layo da c x' (4 - x). Resp. Achar a area limitada pela hiperbole x 2 reta x = 2 a. Resp. a 2 [2 V3 - In (2 + 39. Achar a area limitada pela hiperbole pela reta x = 6. 40. 41. Achar a area limitada pOl' um arco da c 0 eixo dos x. x = a (0 - SGn 0), y = a (1 - cos 0) e 42. Achar a area da cardi6ide x = a (2 cos t - cos 2 t), = a (2 sen t - sen 2 t). Y 43. A figura abaixo representa parte de u mada cicl6idinha) cu y x = alJ, y = a (1 a X { = a cos y = a sena e, e. 2 3 7ra ou seJa, t res Oltavos d • R esp. -8-' a 'area d 0 ci lC A' 147. - Representac;ao geOInetrica de uma i nos § § precedentes que a integral definida e urn m tando a medida de uma regiao (uma area). Isto nao sariamente, que toda integral definida seja uma ar preta~ao fisica do resultado depende da natureza representadas pela abscissa e pela ordenada. Assi consideradas simplesmente como coordenadas de u a integral em (B), § 145, e na realidade uma area. mas que a ordenada represente a velocidade de urn a correspondente abscissa 0 tempo no qual 0 pont cidade; entao 0 grafico e a curva da velocidade do area sob ela, compreendida entre duas ordenadas distancia percolrida pelo movel no corresponden tempo. Portanto 0 numero que indica a area e i que indica a distancia (ou valor da integral). S uma integral definida fornecendo urn volume, um de uma superficie qualquer, uma for~a, etc. pode geometricamente pela area de uma superficie plana 148. - Integrac;ao aproximada. Regra do mos demonstrar agora duas regras para 0 computo (1) l b f (x) dx. Estas regras sao l1teis quando a integra~ao de (1) sivel em termos de fun~oes elementares. e e x = b. Esta area pode ser calculada aproximadamente somando-se areas de trapeziof;1, (lomo segue. Dividamos 0 segmento (a, b) 0 a de OX em n partes iguais, cada uma de comprimento Llx. Sejam Xo (= a), sucessivas abscissas dos pontos de divisao e Xl, xz, as correspondentes ordenadas da curva (2). Unamos as extremidades consecutivas das orde mentos de retas, obtendo, assim, trapezios. Cada uma area expressa pelo produto da semi-soma das ba e, portanto ! (Yo + Yl) Llx = area ! (Yl + Y2) Llx = area ! (Yn-l + Yn) Llx = do primeiro trapezio do segundo trapezio area do n-egesimo trapez Somando, obtemos a regm do trapezio (T) Area = C! Yo + YI + Yz + ... + Yn-I + ! Y E claro que quanto maior 0 numero de intervalos Llx), mais pr6xima e a soma das areas dos trapezio a curva. a cueva y =:r? Substituindo as abscissas x = 1,2,3, ., ., obtemos as ordenadas Y = 1,4,9, ... , 144. Logo, de (T), Area = (~ + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 Por integrar;:1io, 1 12 1 :r? dx = [x13 "a regra do trapezio dli. um resultado com erro menor que 1/3%. J12 1 = 575 t. Por·tan y Exemplo ilusttativo 2. Achar 0 valor aproximado de 1 2 1= V4+x1dx tomando n = 4. SOLU9AO. Seja Y=~. x ° Y 2,000 = Yo 0,5 2,031 = YI Temos ~x = 1 2,236 = Y2 = 0,5. Far;:amos 1,5 2,716 = Ya uma tabela dos vn.2 3,464 = Y4 lores de x e Y como a que apresentamos. Aplicando (T), I = (1,000 o + 2,031 + 2,236 + 2,716 + 1,732) X 0,5 = Se tomassemos n = 10, teriamos I = 4,826, uma aproxim PROBLEMAS Calcule os valores aproximados das seguintes cando a regra do trapezio para os valores indicaqos os resultados efetuando as integrac;oes. 1. j 2.1 -~- ; 3.1 VM ,1.1 + 8 IOd.r; n = 7. 3 5 X "l2.j-x 2 dx; n = 10. V16 6.1 VI + 2 x 3 dx, n 4. 3,283. 11. [10 Vi125-x2 dx; n=5. 44,17. 12. = 12x2 V 1 1 VlO 1 Vi 6 7. 8. J0 1 J5 V126-x 3dx; 9. 1 Vi 8 2 xdx n 4+x 2 Vix 4 n=4. 34,78. 13. I 4 = 6. 9,47. 14. 2 149. - Regra de Sixnpson (regra parabolica) ligar as extremidades sucessivas das ordenadas por retas, obtendo, pois, trapezios, podemos eonseguir um melhor da area ligando as aludidas extremidades pOl bolas e somando as areas das figuras que assim se mente, por tres pontos quaisquer de uma curva e sempre y possivel fazer passar uma parabola com eixo vertical (de fato, a equaQao de uma tal parabola se obtem da equaQao (1) do exemplo ilustrativo 3, § 145, determinando-se as eonstantes a, bee de modo que ela passe pelos tres o pontos), e uma sueessao de areos de tais parabolas, convenientemente eseolhidos, se aproxima mals da eu sueessao de segmentos de retas. Dividamos 0 intervalo de extremos x = a = OMo num nl1mero par (= n) de partes, cada uma igual a dos conjuntos sucessivos de tres pontos Po, PI, P 2 ; P tracemos arcos de parabolas com eixos vertieais. Se trativo 3 do § 145. A area de cada uma destas dada pela formula u = -p (y + 4 y' + y") deste exemplo. Para a primeira, h = Llx, Y = Yo, y' = YI, Y" = Area da primeira faixa dupla M o Po PI P2 M 2 = LlX 3" (Y Semelhantemente, area da segunda faixa area da terceira faixa = ~x ( = ~x (Y , d . falxa ' area a 'ultlma = 3/).x ( +4 Somando, obtemos a regra de Simpson (senda (8) t area = Llx 3" (Yo + 4 YI + 2 Y2 + 4 Ys + 2 Y4 + Como no caso da regra do trapezia, quanta ma partes em que se divide M o M n , tanto maior a aprox ~ado da area sob a curva. 1 10 Exemplo ilustrativo 1. Calcular x3 dx pela regra 10 intervalos parciais. SOLUgAO. . b- a 10 - 0 AqUi - n - = -W- = 1 = ~x. A area sob a curva y = x3. Substituindo as absciss:1s x = 0,1,2, obtemos as ordenadas y = 0, 1,8,27, ... , 1000. Logo, por ( Area ~ t (0+4+16+108+128+500+432+1372+1024+291 tomando n = 4. SOLU<;:AO. 0 quadro dos valores grafo precedente. Temos, pois, 1(2,000 e dado no exemplo illl + 8,124 + 4,472 + 10,864 + 3,464) X 0~5 Compare este resultado com dado por (T) quando n = 10, p 0 Neste caso a f6rmuia (8) = da uma aproximayao melhor que EXERCt CIOS Calcule, pela regra de Simpson, os valores ap seguintes integra.is, usando os valores indicados de resultados efetuando as integrayoes. 1 2.1 xdx 6 1. 3 4 +X n = 6. 2 ; 4 3.1 4.1 8 V64 - 7 x V25 - x 2 dx; n = 4. VI6 + Calcule pela regra de Simpson os valores apro guintes integrais, usando os valores indicados de n. (4 5. -1 7.1 VI J2 3 d:c; n = 4. xdx _3/ V 4 +x 5 ~6 + x (5 10. +x V126 - x 3 dx; n = 4: 1 .9.1 . 5 8 2 4 2 6. 8. dx J0 V 4 + X3 ; n = 2 ; n = 6. 1 ~:C3 1 + 5 2 dx; n = 4. x 3dl' VI +x i ; n = 6. 11. - 4 12. 2 x 1 X (,X V5 x 13.1 v'16 - 4. x 2 dx; n = 1r 14.14x v'16 - x n 2 dx; = 4. 2 1 v' 19. o 10 2 + 1 .y2 1r 1 16.1 v' 1 xdx 7 15. _/ v 64 - x 2 3 ; n 7 3 dx 64 - x = 4. 20. 10 1 .y1+ 2 = 4. 21. ; n = 6. 22. ; n 2 2 o c 8 ..; x 17. 2 3 dx +x 2 150. - Troca de limites. e temos I l I {iv'4-3s Jo Como b cP (x) ax = f (b) - f (a), a cP (x) dx = f (a) - f (b) = - [j (b) - -l b cP (x) dx = a cP (x) dx TEOREMA. Trocar os limites de integrar;ao o sinal da integral definida. e equ 151. - Decomposic;ao do intervalo de integ gral definida. Como ["'1 cP e l f (x) dx = (Xl) - f (a), (a <X b cP (x) dx = f (b) - f (XI); :1:1 obtemos, por adi9ao, 1 :1:1 a cP(x)dx+ lb ""cP(x)dx=f(b)-f(a jb cf> (x) dx = (c) a jX1 cf> (:r) dx + lb a cf> (x %1 Interpretando geometricamente este resultado, vemos que a integral do primeiro memy bro representa a area total CEFD, a . . d 0 segund b' prunelra 0 mem 1'0, a area CMPD e a segunda do segundo memD ~ bro, a area MEFP. A veracidade do -B..0 resultado e, pois, 6bvia. 0 I La Evidentemente a integral definida pode ser d nlimero finito qualquer de integrais definidas. 152. - A integral definida eOInO tegra~ao. De jb cf> (x) dx = vemos que a integral definida 1 f (b) e uma fun~o - f do (a) fun9ao dos b gra9ao. Assim, cf> (z) dz tem precisamente jb TEOREMA. 0 m cf> (x) d:r. Uma integral definida e fun~ao do gra~{jo. 153. - Integrais improprias. LiInites infin supuzemos que os limites de integra9ao sao finitos. nos problemas mais elementares e necessario muit esta restri9ao e considerar integrais com limites de nitos. E possivel faze-Io em certos casos, adotand defini~oes. c quando ° limite inferior e infinito, / b1> - (T) dx lim = a--+- co co Jb <p (x) dx , a postu que os limites existam e sejam finitos. Achar Exemplo ilustrativo 1. J 1b~x. +"'d 1 SOLU9AO. 1'" ~:t_ 1 x2 = lim b-->+ '" x2 1 ...!.. x2 = = Exemplo ilustrativo 2. Achar } lim b-->+ '" ~ '" [ - ~ [+'" 0 = = lim b-->+'" [4 [ - xl a 2 arc tg lim 1>--<>+ '" J!...-] = 4a 2a 2 . Interpretemos este resultado geometricamente. 0 grafico de nossa fun"ao e 0 lugar geomHrico dos ponto& que satisfazem a equa"ao y = x2 + 4a2 Ora, 1 b t luea OPQb = 0 8a3 dx = 4 a2 arc tg + 4 a2 2 x2 1 1 +0> SOLU9AO. dx x 1 = lim 1>-++ jb x dx x 1 0> = lim (In 1>-++ 0> o limite de In b quando b eresee indefinidamente nao gral nao tem sentido n~te caso. e 154. - Integrais improprias. Quando y = tlnua. Consideremos agora casos em que a funyao seja desc~:mtinua para valores iS0lados da variavel mites de integra9ao. Consideremos primeiro 0 caso de ser a func;ao todos os valores de x compreendidos entre a e b, x = a. Se a < beE e positivo, I (1) pOl'emos, por l b 1; (x) dx = lim a ......0 Semelhantemente, quando 1; (x) deJinimos j (2) deJini~a b 1; (x) dx. a+E e continua exc b1; (x) dx = lion Ib-E 1; (:1') dx, e->O a a posto que os limites existam e sejam finit.os. Exemplo ilustrativo 1. SOLUc;AO. l a o Achar f dx /,a-E -===-=c::: va x = lim j 2 o x. x2 ",/ a2 - 6 infinita p~ra Aqui, 2 - d a E--+O 0 d x '\/ a 2 - x2 = X = lim a. [ Lo arc E--+O = ar y sen N€-.ste caso 0 = lim x } 0 1 ~. (l.. _1). 1 {1~. .-.0 e fin ito limite nao = lim :J? • e ,->0 e portanto a integral n Se c esta comprcendido entre a e beet> (x) e continua entao, sendo e e E' n(lmeros positivos, a integral entre a e b Jb (:3) cf> (x) dx = a 1imlc-. cf> (;l;) dx + a E'---?O li" £:'---70 posta que cada urn dos limitcs exista e s~j<L finito. SOLU<;:AO. 1 2 xdx 3a Aeh ar Exemplo ilustr:J.tivo 3. 0 A func;ao a ser integmda (x 2 - • a~)~- e clcseontfnua pam urn valor de x eompreendido entre os limites de integrac;5.o 0 e aplicar a definic;ao (3) aeima. Temos = lim [3 ..y(a - ,->0 er-'- a + 3a J + 3 2 + .'->0 lim [3 2 2 2 =3a 3 +6a8 =!la8 Para interpret::rr islo geometrieamente traeemos 0 gr3.fiw de 2x Y = ---'-----,2:(Xl - a 2 )3' [' llotemos quP. x = a 6 uma assintota. 2 = 3 ~ej~ - ,,~ ..y8a~ - 3 + :-la3 . Resp. 2 tende a 6 a ~ quando QE' move-se para a esquerda telldend 2 ,}, quando lO' ...... O. Soma11do os resultados, obternos 9 a 3 {2a Exemplo ilustrativo 4. SOLU<;Io. pOl' l Achar } 0 Esta fun~ao e infinita . d (:I; _ x )2 a entre os limite~ de (3), 2a o dx "-lim (x - a}2 - .......0 la-. ~ +l 2a1'-~ + lim (x - a)2 0 .'--+0 a-. + <->0 [ x-a ]0 = lim 1 a+.' (x - a)2 _ _1_ ]2a +lim [ - -1 .'--+0 x - a a+<' &lte caso os limites nao sao finitos e portanto a integr a do Se desenharmos 0 grMico desta funlfao, verificaremos que ultimo exemplo, aparentemente, pois que aqui os limite Este exemplo mostra a importancia de se examinar se dentro dos limites de integralfi\o, pois que Be aplicassemos, s de integralfi\.o, obteriamos = [ __ 1 X - urn resultado absurdo, como se v~. a ]2a 0 2 a § 154 INTEGRAlS HllPROPRIAS EXERctCIOS Calcule cada uma das integrais abaixo: +0> 1. ... 'l 1j+o> o 1 dx -0-- x· +1 X dx y2 X~ 7r 2 - 1 s.l + l ya f +0> 7. 1 7r 4 . e-GXd o + a 9. dx 0> 1 o (1 x2 dx 2 - +O> 10. 11. _0> 1 x2+ +0> 1 X x2dx J yx 2a 12. . a d (1+ 2 - INTEGRACAO COMO PROCESSO DE 155. - Jntrodu~ao. Ate agora definimos a i operayao inversa da deriva9ao. Em muitas das ap culo integral convem, porem, que a integrayao seja d processo de soma. Este foi, alias, 0 modo primeiro a integra9ao, pois que 0 ca,lculo integral originou-se de se calcular areas e isto era feito imaginando a sup devia ser calculada como reuniao de um numero m areas muito pequenas, chamadas elementos de area, a dariam a area pedida. Historicamente, 0 sinal de integra9ao e merame gado e a letra Sea primeira da palavra ·'soma". A defini9ao que daremos no proximo paragrafo e importancia e e essencial que 0 leitor se familiariz de que possn. aplicar 0 cilculo integral aos proble 156. - TeoreIna fundaInental do calculo in e a derivada de J (x), entao, como se y viu no § 142, a integral definida (1) l b cP (x) dx = J (b) - J (a) fornece a area limitada pela curva y = cP (x), 0 eixo dos xx e as retas x = a, x = b. o ji---'----b Pois bem, procedamos como segue. Dividamos 0 intervalo [a, b] num numero n qu valos iguais, pelos pontos de uivisiio levantemos pe OX e palos pontos de encontro destas com a curva, ---;+=---:"'-L< 316 sob a curva: Fa9amos agora a constru9ao mn-is geral seguinte intervalo em n subintervalos, niio necessdriamente pontos de divisio levantemos perpendiculares a O em cada subintervalo e de modo qualquer um ponto que assim foram escolhidos levantemos tambem p OX. Dos pontos onde estas encontram a curva, t diculares a OY. Vamos obter retangulos, como mos soma das areas destes (area sombrer ada da figura) e aproximadamente igual it area sob a cmva e 0 limite desta soma quando n cresce indefinidamente de modo a que cada subintervalo tenda a zero, e precisamente a area sob a curva. Estas considera90es mostl'am que a integral de mite de uma soma. Formulemos, pois, este resulta (a) Indiquemos os comprimentos dos sucessivo ... , (b) Indiquemos as abscissas dos pontos escol tervalos POI' Entao as ordenadas dos pontos cia curva correspondentes a estas abscissas sao o (c) As areas dos sucessivos retangulos sao ... , Mas, pOl' (1), a area sob a curva e j b cf> (x) dx. Logo, pelo que se viu acima, Esta igualdade foi obtida fazendo uso da n09ao ajuda da intui9ao. Ela estabelece· um resultado analise matematica, precisamente 0 teorema seguinte TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO IN Seja cf>(x) uma fun9ao continua no intervalo [a, este em n subintervalos e sejam Ax!, AX2' ... , AXn destes. Em cada um dos subinterval~s escolham . sejam Xl' X2, ... , Xn as abscissas dos pontos escol da soma (2) cf>(XI) AXl + cf>(X2) AX2 + ... + cf>(x n ) AXn = quando n tende ao i.nfinito de tal modo que cada su a zero, e igual ao valor da integral definida A igualdade (.4.) pode ser abreviada como segu (3) f b n cf>(x) dx a = lim n-tolZ) ~ i-I cf> (x,;) Ax,. Cada um deles chama-se um elemento da grandeza cular. A regra abaixo e utH na aplicayao do teorema problemas pntticos. TEORIA FUNDAMENTAL. REGRA PRIMEIRO PASSO. Divida a grandeza que quer c tais que 0 resultado desejado p(lssa ser obtido tomand uma soma de tais partes. SEGU~DO PASSO. Ache expressues para as gran de modo a que a soma dela.s seja do tipo (2). TERCEIRO PASSO. x = a e :1: = b, aplique Tendo escolhido conveniente teorema fundamental 0 n lim I ¢(Xi) n-'= i-I ~hi = jb ¢(x) dx a e integre. 157. - Demonstra!;ao analltica do teorema Dividamos, como no parigrafo precedente, 0 inter numero qualquer n de subintervalos, l' nao necessariamente iguais, e indiCjuemos as abscissas dos pontos de divisao por bj , b2 , ••• , bn - 1 e os cornprimentos dos subintervalos pOl' Llxj, LlX2, ... , Llxn :' Em cada um dos subintervalos escolhamos um ponto dos Cjue sao determinados pelo teorerna do valor medio (§ 116) quando aplicado a f (x) f f f = ¢ (x) e, sendo x h x 2, . . . , x n esses pontos, leva perpendiculares a OX. Pelos pontos de encontro diculares com a curva tracemos perpendiculares ao Semelhantemente, obtemos, aplicando (B) do § 1 subintervalos: f (b 2) - f (b 1) = cf>(x' 2) ~X2, para f (b s) - f (b 2 ) = cf> (x's) f (b) - f (b n-1) = cf>(:c' n) ~xs, ~Xn, para paru 0 segundo 0 tel'ceiro i 0 n-egcsim Somando membro a membro: Mas, cf>(X'l) • ~X1 = cf>(x' 2) ~.'l:2 = ~rea • area do pl'imeiro reb1ngulo, do segundo retangulo, etc. Logo, a soma no segundo membra de (1) e igual a dos retangulos. Mas, pOI' (1), § 156, 0 primeiro m igual a area sob a curva y = cf>(x). Logo, a soma n L: ¢(X'i) ~Xi i=l (2) e igual a area sob a CUl'Vll. A soma n (3) L: cf>(Xi) ~Xi ;=1 (onde Xi e qualquer do subinterval em valor absoluto, menor ou igual a diferentta ent minima ordenadas da curva em t.Xi. Alem disso sivel* tornar estas diferenttas, em valor absoluto, m quer numero positivo E prefixado, escolhendo n de t que ca.da subintervalo tenha urn comprimento suf queno. Para uma tal escolha de n, a diferentta en e (3) sera, pois, em valor absoluto, menor que E menor que urn numero qualquer prefixado, ainda queno. A diferentta tende, portanto, a zero quan infinito de modo que cada subintervalo tenda a ze b (2) e igual a cP (x) dx; logo, I sendo os t.Xi os comprimentos dos subintervalos e dido [a, b1e Xi pontos arbitrariamente escolhidos em subintervalas. 158. - Areas das curvas planas; coordenada Como ja foi visto, a area compreendida entre a c o eixo dos xx e as retas x= a e X= b, y e dada pela formula Area = (B) sendo y = I b y dx, cP (x), A igualdade (B) pode ser memorizada facilment que urn elemento de area e urn retangulo (como C altura y. A area que se quer ABQP e 0 limite das de tais retangulos compreendidos entre os segmento • Como ae m08tra em Ii vro. de c&1culo maia adiant&do•• PRIMEIRO PASSO. Construamos os n retangulos como na figura. A area pedida e 0 limite da soma das areas destes retangulos quando n cresce indefinidamente de modo tal que 0 comprimento de cada interva10 tenda a zero. o SEGUNDO PASSO. Indiquemos as alturas por Tomemos urn ponto em cada subintervalo, por exem dade superior, e indiquemos os pontos assim obtidos As bases sao, entao, cP(Yl), cP(Y2), etc., e a soma da tangulos e, pois, n + cP(Yn) !::.Yn = i-1 L: TERCEIRO PASSO. Apliquemos 0 teorema fund Logo, a area compreendida entre uma curva, zontais y = c e Y = d e dada pela f6rmula (C) Area = 0 eixo d jd X dy, onde x deve ser substituido pela expressao, em termos de Y, que provem da equaQao cia curva. A f6rmula (C) pode ser memorizada pela observaQao de que ela mite da soma dos retangulos horizontais internos sendo x e dy, respectivamente, a base e a altura d generico. Urn tal retangulo e urn elemento da area quente (8) dara uma area precedida do sinal negativo que a figura esM. abaixo do eixo dos X.'l:. Exemplo ilustrativo 1. Achar a area de urn arco da sen6ide y = sen x. SOLUQAO. Pondo y = 0 e achando x, ternos x = 0, -rr, 2-rr, etc. Substituindo em (B), jb Area OAB = Temos tambern j Area BCD - b a ydx = y dx'" 1" J27r " Exemplo ilustrativo 2. Achar a area limitada pela parabola semi-cubica ay2 = x3, 0 eixo dos yy e as retas y = a e y = 2 a. SOLUQAO. Pela (C) acima e a figura, 1 0 senxd sen x d y r:- ele- 2 mento de area. xdy e igual a a3 y 3 dy, tendo-se tirado 0 valor de x da equac;ii.o da curva. Logo Area BMNC = f 2a a = 1 2 a3 y3 i a2 (~ dy - I) = 1,304 a2• Resp. Note que a 2 = area OLMB. Na 'area dada por (B) uma fronteira e 0 eixo uma fronteira e 0 eixo dos yy. Consideraremos ag tada por duas curvas. Exemplo ilustrativo 3. Achar a arca limitada pela para reta x - y = 4. xa da figura cujo !ado superior tem (:"'11 y), (z:z, y) por extremidades, Destas tracemos perpendiculares ao lado inferior; obtemos um retangulo cuja area e Ort-----/ Este e 0 elemento de area, pois a y' area pedida e, obviamente, 0 limite da soma de tais retiIDgulos. Pelo teorema fundamenta oJ1de Xl e X2 sao fun~6es de y deteI'JDinadas pelas equa~6es da Logo, neste exemplo, de X - Y = 4 acharoos x = X2 = 4 + y mos x = Xl = ! y2, Temos, pois, por (I), dA = (4 (3) + y - ! y2) dy . Esta f6rmula serve para cada um dos retangulos que se po acima considerado. Como os limites sao c = - 2 (em A) e d 4 ~ Area = J (4 +y - 1 • 'i y-) dy = 18. -2 este exemplo a area pode tambem ser dividida em fai OY. Supondo que estas sejam equidistantes e que Ax seja duaa consecutivas, podemos proceder como acima, notando, poY rem, que enquanto 0 extremo superior de cada lado esta sabre 0 ,arco OB, 0 inferior esta sabre OA quando 0 lado nao esta a direita de A e eata sobre a reta quando 0 lado nao esta a esquerda de A, I Se (x, Y2) e 0 extremo superior e (x, Yl) 0 inferior, 0 retangulo de area igual a Deve-se, pois, num problema qualquer, construir as faixa uniea f6rmula seja bastante para exprimir 0 elemento de are e usada quando as faixas sao eonstruidas pelo trayado de parale No teorema fundamental algumas ou todas as pa podem ser negativas e portanto 0 limite da soma d definida) pode ser nula ou negativa. POl' exem = sen x, a = 0, b = 27r, a integral definida (3), § interpretayao deste resultado pelas areas e imediat ilustrativo 1 acima. PROBLEMAS Achar a area limitada pela hiperbole xy = xx e as retas x = a e x = 2 a. Resp. 1. 2. Achar a area limitada pcla" curva y = In e a reta x = 10. Resp. 3. Achar a 41'ea limit-ada pela curva y = xex e a reta x = 4. Resp .v Achar a area limitada pela para.bola e os eixos coordenados. Resp. 4. 5. t Achar a area encerrada pela hipocicl6ide x R esp Achar a area limitada pelas curvas abaixo. em cada caso., mostrando 0 elemento de area. D 6. y2=6x, x 2 =6y. Resp. 12. 10. y2=2 7. y2=4 x, x 2 = 6 y. 8. 11. y=6x 8. y2=4 x, 2x-y=4". 9. 12. y=x 3 9. y=4-x 2, y=4-4 X. 13. y2=4x 2 10'3 Achar a area limitada pela hiperbole equil o eixo dos xx e uma reta trayada da origem ao ponto 16. Resp. X = 17. 4. a; in Achar a area limitada pela curva y = x (1 Achar a area limitada pela curva x 2y = x I, x = 1 e x = 4. 18. y = Achar a area limitada pela curva y=x 3 o eixo dos yy e a reta y = 29. 19. Pelo ponto (I, 1) trayam-se paralelas aos eix obtendo-se, assim, um quadrado. Achar a razao en menor das areas em que ele e dividido POI' cada um curvas: 20. 21. 22. = x 2 • Resp. Y = x 3• Y = x 4• Y 2. 7T'X 26. Y = sen 2 27. Y = 28. Y = tg 4 · 29. xa 3. 4. Xc'.-l. 3 23. y3= x2. 2' 24. y';+Vy=1. 5. 1 25. 7T'X 1 + ya = Para cada uma das curvas abaixo achar a area vai desde a interseyao com OY ate a primeira das OX, a direita da origem. + y + y2 = 2. 30. X 31. y = x3 32. y = e" sen x. 3:;. y2 = (4 - X)3. - 8 x2 1 Resp. 16 , + 1.5 x. 12,07. 34. Y = 35. Y = 36. y = p = 1(8) a equa9ao da curva e OP l e OD os dais raios vetores. Sejam a e (3 os angulos que os raios vetores formam com 0 eixo polar. Apliquemos 0 teorema fun- 0 damental, § 156. PRIMEIRO PASSO. A area lares como as da figura. e0 limite da soma d SEGUNDO PASSO. Se 1::.8 1 ,6.8 2 , etc., sao os angul sucessivos setores e Pl, P~, etc., os raios, a soma d tores e n + ! Pn 6.e n = i-L t 2 1 pois a area de urn setor circular e igual ao produt raio pelo arco e 0 arco e 0 produto do raio pelo angu T~I1CEIRO PASSO. Aplicando 0 teorema funda Portanto a area descrita pelo raio vetor da curva posi9ao OP l para a posic;ao OD e dada pela f6rmula Area = ! l onde P, express:) em termos de e, (D) o f3 P~ de , provem da equac; elemento de area para (D) e um setor circu ungulo centrico de, portanto urn setor de area! p 2 Como p = 0 quando 0 = 7r 4" ' vemos que -t----~.ql se (} varia de 0 a : ' 0 raio vetor OP descreve a area OAB. Logo, substituindo em CD), area = 4 X area OAB = 4 . t isto e, a area de ambos os la90S OA como lado. ,.. l f3 p2 dO = 2 a214 c e igual a. area de urn quadrad PROBLEMAS 1. Achar a area limitada pelo circulo p = a Re () = 0 e () = 60°. 2. Achar a area encerrada pela curva p = a sen Calcular a area encerrada pOl' cada uma das s 3. p2= 4 sen 2 (). 4. P = a cos 3 (). -t7ra 2 • 5. p = a(l- cos()). 2 7ra -. 6. p = 2 - cos (). z7r· 7. p = sen 2 8. P= 9. P = 2 + sen 3 (). t Resp. 4. () -. 2 + cos 2 (). 10. p= 3 II. p = 12. P= g7r. 13. P= A 4 7r . 14. P= 15. P= 3 9 3 9 2 7r • ? 16. Achar a area limitada pela parabola p (1 + linhas 0 = 0 e () = 120°. R Achar a area limitada pela hiperbole p2 linhas () = 0 e 0 = 30°. Resp. 17. to euja corda passa pelo foco e e perpendicular ao ei 20. IVlostre que a area limitada por dois raio piral hiperb6lica p8 = a e proporcional a diferenc;a mentos desses raios. a t b2 Ache a area da elipse p2 = ----:-21. 2 0. sen 2 8 + b R 22. Ache a area encerrada pela curva p = a (s Res 23. Ache a area abaixo de OX encerrada pela c 24. Ache a area limitada pOl' pt = 0. 2 sen 4 8 Ache a area limitada pelns seguintcs curvas e = tg 8; 8 = 0, () = 1- 71'. 25. P 26. P = 27. P = sec 0 28. P ~O = + 1- 71', e = ! 71'. tg 0; 0 = 0, 0 = 1- 71'. = asenO + beosO; 0 = 0,0 = !1T. Calenle a area da parte eomum as partes ence um dos seguintes pares de eurvas. 29. P = 3 cos 0, p= 1 + cos O. 30. p= 1 + cos 0, p= 1. 31. p= 1 - cos 0, p 32. p2=2cos20, p= 1. 33. p: = cos20, p2 5 4 f = sen = sen Resp. O. ~ j 20. 1 Ache a area interna ao circulo 3 p = V 'If 'If lac;:o da curva p = cos 2 0 de 0 = - "4 a 0 = "4 . 37. 38. 3p = V6sen20, p2 = cos20. 39. Ache a area do lac;:o interior da trissetriz p Para figura, vel' limac;:on, Capitulo L""CVI. Resp. t a 160. - Volumes dos s6lidos de revolu~ao. S do solido gerado pela revoluc;:iio, em tOrno de OX, da ABCD e seja y = j (x) a equa9ao da curva plana DC. y PRIMEIRO PASSO. Dividamos a segmento AB em n partes de comprimentos .Ci.Xl' .Ci.X2' ... , ··.Ci.x n e tracemos urn plano perpendicular a OX par cada urn dos pontos de --;;:H~¥f~f'L':!<'fL divisao. Estes planas decompoem 0 a solido em n faixas circulares. Construamos reta.ngulos de bases .Ci.XI, .Ci.X2, .... , .Ci.xn internos a ABCD, como mostra a figura. Quando ABCD gira em torno de OX, estes retangulos geram cilindros de revoluQao, havendo, pais, urn cilindro dent-r circular. (Na figura e n = 4 sao desenhados dois mite da soma dos volumes destes n cilindros qua infinito de modo que cada subintervalo tenda a z pedido. e SEGUNDO PASSO. Sejam YI, Y2, ... , Yn as orden da cur-va DC correspondentes as abscissas dos pont 7ryl2 AXl + 7rYzz AX2 + ... + 7ry,,2 Ax" = L i=1 TERCEIRO PASSO. Aplicando os limites OA = a, OB = b), lim ± n-+a) i=l Logo, 0 teorema funda 0 1 b 7rYi z Ax; = -rr y 2 dx. volume do solido gerado pela revoluc; 0 eixo dos xx e a OX, da area lirnitada pela curva, x = b e dado pela formula 6 (E) onde 0 V",=71 1 a y 2 dx, valor de y, em termos de x, provem da equac;ii. Esta formula pode ser facilmente memorizada s uma faixa circular de espessura muito pequena com mente, urn cilindro de altura dx e cuja base tern e pOl' conseguinte urn cilindro de volume 7ryz dx. o elemento de volume. Semelhantemente, obtemos, quando 0 Yeo elX a formula (F) uncle 0 valor de x, em termos de y, provem da eq dada. e 0 volume pedido e duas vezes .0 volume gerado por OAB, obtemos, substituindo em (E). _ 411"ab 2 Vx 3 . 411"a3 ~ Quando b = a, temos V x = -3- volume de uma es do elips6ide. Quando a elipse gua em torno do eixo maior diz-se elips6ide alongado; quando em tOrno do eixo menor, Exemplo ilustrativo 2. A area limitada pela parabola (1) ° eixo dos yye a reta AB (y = a) gua em torno de AB. Achar revolu~ao 0 volume do s6lido de gerado. SOLU9AO. A area que gua e OPAB da figura. Dividamos 0 segmento AB em n partes iguais e seja Ax 0 comprimento de cada uma delas. Na figura NM e uma dessas partes. 0 reti1ngulo NMPQ gera um cilindro, cujo volume e um elemento do volume que desejs.mos. Logo pois e Elemento de volume = 1I"r2h = ?r (a - y)2 Ax, r = PM = RM - RP = a - y h = NM = Ax. Pelo teorema fundamental temos, pois, (2) Volume do s6lido = V = visoo serem x = por (1), obtemos Confronte 0 e cuja base tem 11" faG (a - y)2 dx = 11" faG 0 e x = AB = a 08 limites. Substituindo V = 0,45 ?r a3 • Resp. resultado com 0 volume do cone de revolu9a raio (= a). Volume do cone = ?ra3 DB t poe-se em (E), y = </> (t), dx = t = t 1 quando x = l' (t) dt e se a, t = t 2 quando x entao os limites de integrayao sao t 1 e t 2 • VoluIIle de UIIl solido 0:'::0 de revolu!;ao. Q plana gira em torna de um eixo que nao a corta, obt de revoluyao oco. Consideremos 0 s6- y lido obtido pela revoluyao, em tOrno de OX, da area ACBDA da figura. Cortemos 0 s6lido POl' urn sistema de pIanos perpendiculares ao eixo de revoluyao e o equidistantes. Seja.ix a distancia entre -0-t-----L. dois pIanos consecutivos. 0 s6lido fica decomposto em faixas circulares <leas, cada uma co Se urn dos pianos passa pOl' M, a faixa circular com plano e aproximadamente urn cilindro circular OCO terno e extemo sao respectivamente MP1 (= Y1 A altura dele e .ix; logo, 0 seu volume e 7r (Y2 2 venda n cilindros como este, 0 limite da soma dos cilindros, quando n tende ao infinito de modo que alturas tenda a zero, e 0 volume do s6lido de t'ev quentemente (3) o elemento de volume em (3) e urn cilindro circu interior Y1, raio exterior Y2 e altura dx. Os raios Y1 de x (= OM) que se obtem das equayoes das cur da cl.lrva) limitando a thea a ser girada. Exemplo ilustrativo 3. Achar 0 volume do anel s6lid pela revolUl,ao de urn cfrculo de raio a em torno de urn eixo plano do c!rculo e distante de b unidades do centro do cfrc SOLU~AO. Seja Por (3), R Se a area ACBD da figura gira em torno do eix y (4) como facilmente pode ser verificado. a Em (4), x=OM, YI=MP, Y2=MP 2. o elemento de volume dV e urn para- ~--~-lelepipedo de dimensoes Y2 - YI, X e dx. o o exemplo ilustrativo 3 pode ser resolvido p PROBLEMAS Achar 0 volume da esfera gerada peb. revo y = r 2 em torno de urn diametro. Re 1. x 2 + 2 2. Achar por integrac;ao 0 volume do s6lido g luc;ao, em torno de Ox, cia area limitada pelas li Y = 0, x = 0 e x = 4. Verificar geometrieamente. Aehar 0 volume do parabo16ide de revoluc;a pelo area da parabola y 2 = 2 px, que va YI), girando em torno ?o seu eixo. 3. e gerada (Xl, Rcsp. p Xl 2 = t 7r y12 Xl, isto eilindro cireunserito. 7r e, metade 4. Aehar 0 volume do s6lido obtido quando blema anterior gira em torno de OY. Resp. i 7r XI 2 YI, isto e, urn quinto do vol de altura YI e raio de base Xl. Achar 0 volume gerado pela revoluc;ao, em to areas limitadas pelos seguintes lugares geometrieos. 2 :l. 3" 2 I + 1J = c. a. 8. A hipocicl6ide 9. 'Um arco de y = sen x. 10. Um area de y = cos 2 x. 11. Y 12. 9 x 2 + 16 y2 13. Y 16. y2 (2 a - x) 17. Y = x2 18. y2 19. y2 (4 20. (x - 1) y = 2, y = 0, x = 2, x = 5. = e-"', Y = xe"', Y - = (2 - = 0, x = 0, x = 5. = 144. = 0, x = 1. = x 3, Y = 0, x = a. 6 x, y = 0. X)3, Y + x 2) = = 0, x = 6, x = 1. 1, y = 0, x = 0, x = a: Achar 0 volume gerado pela revolu9ao, em to areas limitadas pelos seguintes lugares geometricos 22. = x 3, y = 0, x = 2. 2 y2 = x 3, Y = 0, x = 2. 23. Y 24. 9 x 2 + 16 y2 = 144. 21. 25. Y = e"', Y = 0, x = 0. (:r +( t )t = 1. = 9 - x, x = 0. 26. y2 27. x 2 = 16 - y, y 28. y2 = 0. = ax, y = 0, x = a. Resp. (b) OAB em torno de AB. 1024'Jr 35 • (c) OAB em torno de Ci1. 5 (d) OAB em torno de OY. 512 'Jr 7 • (e) OAC em torno de OY. 3&1 .,'Jr. (f) O.4.C em torno de CA. 5 (g) OAC em torno de AB. 345~ "35 (h) OAC em torno de OX. 192 'Jr. 704 cH::IO 'Jr. 576 'Jr. o 'Jr. Achar 0 volume do esfer6ide aehatado ge luc;ao da area limitada pela elipse b 2x 2 + a 2 y 2 = a 2b eixo dos yy. 30. R esp 31. Corta-se de uma esfera de raio r um segmen de espessura h. Mostre por integrac;ao que 0 volum 'Jr h 2 (3 r - h) e ---'----'::; Achar 0 volume gerado pela revoluc;iio, em torn das seguintes retas, da area que a reta corta da curva 32. Y= 3', y = 4 x - x 2 • 33. x = 4; y 2 = x 3• 34. y= - 4; y = 4 35. Y = x; Y = 36. Y = x; Y= 3 x - x 2 • 37. 4Y .38. x+y= l'I V;+VY= 1. 39. x = 4x +y = + 6x - Resp. 2 x 2• x~. + 33; Y= 9 - x 2• 7; xy = 6. Sugestao: Ponha d:x; = y dy e limitea y = 0, y V2ry - y2 Ache 0 volume gerado pela revolu9ao, e 41. da por9ao da catena-ria y = ~ (e~+ e-~), que Be p no segmento (O,b). Resp. 3 ( ~ e lJ -~) e - IJ Achar 0 volume do s6lido gerado pela revo 42. x y2 87ra = 2' 3 a-x em torno da assmtota x = 2 a. Dado 43. 0 R coeficiente angular da tangente y - _ / 2 va - Y 2' achar 0 volume do s6lido gerado da curva em torno de OX. 44. Mostre que 0 volume de uma tampa co s6lido gerado pela revolu9ao da hiperbole x 2 - y2 de OX, e igual ao volume de uma esfera de raio a, tampa e igual a a. 45. Usando as equa90es parametricas da hip { acbar 0 X = a y = cos 3 0, asen 3 B, volume do s6lido que ela gera quando gira e Resp. Ache 0 volume gerado pela revolu9ao e de urn arco da cicl6ide 46. { (B - sen B), X = a y = a(l - cosB). da area limitada pela curva y x = ±!. = sec! 71" X, 0 eixo do 48. A area sob a curva y = e'" sen x de x = em tOmo de OX. Achar 0 volume do solido gerado Dada a curva x=t 2, y=4 t-t 3, achar (a) e (b) 0 volume gerado pOl' esta area quando gira em 256 Resp. (a) 15; 49. Fa9a girar a area limitada pelas parabolas 50. =5-x em tomo de cada eixo e calcule as respe Resp. 51. p =4 OX: 10 71"; Fa9a girar em tomo do eixo polar a par + 4 cos (j compreendida entre as linhas (j = calcule 0 volume. 161. - Comprimento de uma curva. Por um segmento de reta entendemos a numero de vezes contem outro tornado como unidade. Medir um se o seu comprimento, como faz a carpinteiro quando, o comprimento de uma tabua, aplica sabre ela, uma trada. Como e impossivel aplicar sobre uma curv de reta, nos nao a pod mesmo modo que urn seg Procedemos, entao, com dimos a curva (como AB de partes, arbitrariament c pont os (como C, D, E) e tos consecntivos pOl' seg (como AC, CD, DE, EE). a comprimento da CUI'l'a e dcjiniclo como 0 limite d primentps do segmcntos de reta, quando 0 n'I.lmero de p tende ao inJinito de modo tal que 0 comprimento de tenda a zero. geometria elemcntar. Realmente, 0 comprimento ferencia, como deve lembrar 0 estudante, e 0 limi de urn poligono regular inscrito (ou circunscrito) q de lados do poligono cresre indefinidamente. No paragrafo seguinte damos 0 :!Ilodo de achar de uma curva plana, baseado na definiyao acim deve notar cuidadosamente como vamos proceder 162. - Comprimentos das curvas planas; c tangulares. Vamos exprimir anaBticamente a def paragrafo, fazendo uso do teorema funday ,-It mental. Darla a curva Y = f (x) y _c e os pontos pI (a, c), Q (b, d) sabre ela, achar 0 comprimento do arco PIQ. o z PmMEIRO PASSO. Tomemos urn numero n qua sabre a curva compreendidos entre pI e Q e tracem gando os pontos consecutivos, como na figura. do area P'Q e 0 limite da soma dos comprimento SEGUNDO PASSO. Consideremos uma qualquer exemplo P' pI!, e sejam P' (x', y') e pI! (x' + /11;', y' + /1 as coordenadas de p' e pI! Entao, como no § 9 p' pI! = y(/1x')2 ou p' pI! = [1 + (~ (Dividindo dentro do radical por (&t'l' e multiplicando por &t'l. sendo Xl a abscissa de um ponto PI sobre a curv entre P' e P" no qual a tangente e paralela a cord P' P" = [1 Substituindo, + I' (Xl)2]i Ax' = = comprimento da primeira corda. Semelhantcmente, P" P'" = [1 + l' (X2)2]t Ax" = = comprimento da segunda corda. Q = [1 + I' (x n )2]i D..x Cn ) = comprimento da n-egesima cord PC") = o comprimento da linha poligonal inscrita ligand das cordas) e, entao, a soma destas express5es, prec n = L i-I [1 + l' (x;)2ji Ax Cil • TERCEIRO PASSO. . !~rr;, i~ [7 Aplicando + l' (Xi)2 Ji Ax 0 teorema fundam C ;) = 1· a b [1 + I' x) Temos, pois, indicando com S 0 comprimento d formula que dd 0 comprimento do arco 1 1 b S = S = [1 + l' (X)2]~ d;r;, [1 + h (G) y'2]l dx, ou pendente. Notando que (§ 39) dU - 1 - logo dx-dx' dy = dx x' dy , temos, substituindo estes valores ern (G) e fazendo tes mudan9as de lirnites de integl'a9ao. (II) s = I d [X'2 + 1]1 dy, sendo c e d os novos limites de integra9ao. .., ..iJm (II) , x , = dx dy d eve ser 0 b tl'd a, ern termos d da curva dada. A formula (G) pode sel' deduzida de outro mod 95, f6rmula (D), que (1) ds = (1 + y'2)1 dx da a diferencial do area de uma curva. Partindo dendo como no § 142, obtemos (G). Semelhanteme de (E) do § 95. Finalmente, se a curva e dada pO metricas x = j (t), (2) Y = 1>(t) , e conveniente usar (3) s = !(dX + dy2~1 pois, de (2), dx = 2 l' (t) dt, dy = it:. [1'2 (t) = 1>' (t) dt. + (1/2 Substituindo em (G), .,...----: l'[ .~ J! 1 J! Arco BA = 1 + r = Pusemoa Ii' [ afim de rer 2 y dx = iT [ 2 r? 2 r-:z;- 0 Ji d x'. que resulta da equa~iio do e!reulo, ] integrando em ~rmos de x. = ,.. 0 .'. arc BA Logo, o +2 x y2 [ dx 0 = r i d T o Vr 2 x 7rr 2' x2 - (Ver exemplo il comprimento total e igual a 27rr. Exemplo ilustrativo 2. x = Achar 0 Resp. eomprimento de um are a (0 - sen 0), y a (1 - cos 0) • = Ver exemplo ilustrativo 2, § 81. SOLU9AO. dx = a (1 - cos 0) dO, Dsando (3), S = {?1r J 2 a sen 0 dy = a sen 0 dO . t 0 dO = 8 a. Resp. Os lirnites siio 05 valoree de 0 em 0 e D (ver figura, exe § 81), isto e, (J = 0 e (J = 27r. Exemplo ilustrativo 3. de x = 0 a x = 2. Achar 0 comprimento do areo d 3 SOLU9Ao. (4) Derivando, y' = S = 1 2 (1 t x2 Logo, por (G), + t x 3)! dx = t 12 (4 + x 3) 0 0 . A integral em (4) foi ealeulada (aproximadamente) no ex § 148, pela regra do trapezio e tambem no exemplo ilustrat regra de Simpson. Tomando 0 ultimo valor, s = .4,82 t linearu. Resp. onde p e ~; devem figurar em termos de B e provem da dada equayao da curva. No caso de ser mais conveniente usaI' p como v dente, e a equayao na forma B = cf> (p), dB = cf>' (p) dp = dB dp . dp entao Substituindo isto em [p2 dB2 + dp2]i, temos LogQ, se Pi e P2 sao os Gorrespondentes limites d pendente p, obtemos a formula para 0 eomprimento (J) onde ~~ s = 1. p , [p2 rr (~: + 1 dp em termos de p deve ser obtido da equayao Exemplo ilustrativo. Achar 0 perfmetro da cardi6ide p . dp SOLU9Ao. A qUi dO- = Fazendo () variar de 0 a crevera. metade do perfm em (1), ----,~-----t-x .!2 = (. (" = a Jo . '. [a 2 (1 Jo + cos 0)2 (2+2cosO)idO= s = Sa. &Sp. Achar 2. ay' = comprimento do arco da parab 0 x 3 desde a origem ate x = 5 a. Achar 3. onde x = 1 ate comprimento da curva y 0 ponto onde x 0 x3 "6 = = 3. 4. Achar 0 comprimento do arco da parabo vertice a uma das extremidades da corda focal perpe p.y2 +2 Resp. - 2 5. onde x = Achar 0 comprimento do arco da curva' y ° ao ponto onde x i. = Achar 0 comprimento do arco da parab origem ao ponto (4, ~). 6. 7. Aproxime com a regra de Simpson arco da curva 3:y = x 3 da origem 810 ponto (1, 0 t)- 8. Calcular 0 eomprimento do arco da curva origem ao ponto (; , In2). Resp 9. Calcular 0 comprimento do area da hiperb de (3,0) a (5,4) (use a regra de Simpson). 10. Calcular 0 comprimento do arco da parab que esta acima do eixo dos xx. Re t comprimento da hipocicl6ide xa 11. Achar 12. Retificar a catenaria y = (x,y). 0 ~ (e~ + e-~) Resp. ~ (e v2ry _ y2 dy Retifique a curva 9 ay2 14. = X (x - 30.)2 de x Res Ache 15. comprimento, em urn quadrante, da 0 1 + ( JL)f_ b -. R Ache 0 comprimento de x = a a x = b e2b - 1 Resp.ln 2a 1 + a - b. e - { 0 = Ache 0 a () Ache 19. X = a (cos () y = + () sen (), a (sen () - () cos (). comprimento do arco de () = 0 a () = ()l. Re 18. de () 2 As equaQoes da involuta de urn circulo s 17. Ache esp. 0. 0 y 0 comprimento do arco da curva 7r 2". = Resp. comprimento do arco de cada uma das s = In (1 x 2 x 2) de x 1 x = t. = 1a x = 2. =0 a 20. Y = 4"" - 21. Y = In cossec x de 22. 3 x 2 = y3 de y 23. Urn arco da curva y = sen x. 2" In x de x x = 67r a x = 7r 2 . = 1 a y = 20. Achar 0 cornprimento da espiral de Arc desde a origem ate 0 fim da primeira revoluQao. 24. Resp. 7ra VI + 4 7r 2 + ~ In (2 7r+ e p = a sec 2 2 de D B e= h/2+ Resp. 27. Ache 0 comp da parabola c P= Ache 28. 0 a (Pz, ez). 2 1 + cos (J 2 P22 e= + aIn Pl (a + ya P2 29. de 0 Resp. y2 + In (y2 + 1 comprimento da e~piral hiperb61ica va! + Pl2 - ya + Resp. 0 . (a + ya 2 2 Mostre que 0 compnmento da curva P= a Mostre que OA, AB, BC (ver figura) estao em progre 30. de (J Ache =0 a 31. 0 eomprimento do area da eiss6ide 1f" (J = ""4' Aproxime 0 perfmetro de um ramo da e 164. - Areas das superficies de revolu!;ao. de revoluyao e gerada pela revoIU<,ao, em torno de OX, do area l' E CD da eurva Y= f (x) . Achar a area desta superffcie, fazendo uso do teorema fundamental. PRIMEIRO PASSO. Como anteriormente, dividamos 0 intervalo AB em subintervalos ~Xl, ~X2, etc., e levantemos perpendiculares a OX pelos pontos de divisao. o Tracemos as SEGUNDO PASSO. Por amor a clareza, desenhe tronco bern grande. Seja M 0 ponto medio da corda CEo Entao (1) Area lateral = 27T'NM.CE.* Afim de aplicar 0 teorema fundamental e necessario exprimir este produto em func;ao da abscissa de algum ponto do intervalo AXI. Como no § 162, obtemos, usando 0 teorema do valor medio, a comprimento da corda CE: CE = [1 (2) --+ + l' (Xl)2}, AXl, onde Xl e a abscissa do ponto PI (Xl, Yl) do arco CE e paralela a corda CEo Seja R a intersec;ao da hor par M com a reta QP l (vertical por PI) e indiquem Entao NM = Yl - El' (3) Substituindo (2) e (3) em (1), obtemos 27r (Yl - El) [1 + l' (Xl)2}' AXI = area lateral do Semelhantemente, 27T' (YI - E2) [1 + l' (X2)2}i AX2 = 2 7r (Yn - En) [1 + i' (X n)2}, AXn = area area lateral do lateral do Logo n I: 27r (Yo-Eo) [1+1' (X,I)}, Ax, = i=l soma das areas late • A area lateral de um tronco de cone de revolucao e igual A multiplicada pcla geratriz do tronco• •• Ob""rve 0 leitor que quando Az, tende a lero, E, circun tambem tende a P ASSO. Aplicando 0 teorema fundam soma (usando os limites OA = a e OB = b), obtem TERCEIRO lim n--+ CO n L: 2 Tr'!li [1 + l' (x,;)21~ <:lXi = i-I jb 2 Try [1 + a o limite da segunda soma de (4) quando n - t CD a area da superficie de revolu9ao gerada pela revolu em torno de OX e dada pela formula (K) onde S" indica a area. segue: A formula pode tambem s (L) S = 2Tr fb yds. jd xds Semelhantemente acha-se (M) Sy = 2Tr quando OY e 0 eixo de revolu9ao. Em (L) e (M) ds tem uma das tres formas (C), ( precisamente, ds = [1 + (: yr = dx [1 + (~~ ) ~r dy = (d • VI!-se isto fAcilmente como seguo. Indiquemos Il sogunda soma po maximo dos numeros positivos If,l , If.I, ... Ifni, entao, n 8n ~ E L: [1 + l' (x,;)2]~ .1x,;. ';=1 A soma do segundo membro e. palo § 162, igual a soma das cordas CPo soma. Entilo 8 n S. f/ln. Como lim f = 0, lim 8 n = O. n--+CO n--+ CD uma estreita faixa da superficie compreendida en perpendieulares ao eixo de revoluyao como sendo ap a superficie de urn troneo de cone de revoluyao de uma sayao media .de cierunferencia igual a 2 'Try, e p lateral 2 'Try ds. Exemplo ilustrativo 1. 0 arco da parabola cubica (5) compreendido entre os pontos de abscissas x = 0 e x = a gira Achar a &rea cia superHcie de revoluc;ao gerada. De (5), y' = SOLU9AO. 3x2 -2' a Logo Entao, elemento de area = 2 1I"yds = 211" -4 a (a4 +9x4)I:rfl dx. - Logo, por (L), 11" = 27 (10 - VIO - 1) a2 = 3,6 a2• Resp. Exemplo ilustrativo 2. Achar a area do elips6ide de pela rotac;ao, em tOrno de OX, da elipse cujas equac;oes para (3), § 81) x = a COB q" Y = b sen q,. Temos SOLU9AO. dx = - a sen q, dq" dy = b cos q, d¢ , + dy2)1 ... (a2 sen2 q, + b! cos2 q,)f dq, • elemento de area'" 2 1I"y ds = 2 1I"b (a 2 sen! q, + b2 ds e Logo, (6) • '. = (dil ! Sz = 2 1I"b Jor~ (a 2 sen! Para integrar, ponbamos y = cos q,. a2 2 sen q, + b2 2 q, + /} cos! q,)f sen . Entao du = - sen cos q, = a! (1 - cos 2 q,) + b2 cos! q, = a2 Desenvolvendo pOl' (22), ? Sx = 2 'lrb- 2'1rab +-arc sen e, e Exemplo ilustrativo 3. 222 da hipoeiel6ide x 3 + y3 onde e = exeentrieidade = Aehar a area da superfleie gera = a 3 em torno do eixo dos xx. 1 SOLuc;:Io. . dy AqUl- dx = y3 1 ' ;(;3 ,--~A_ _ x ( 2+ y32 x3 2 x3 Substituindo em area BA gera so me temos S ; = 1.. fa 2. 2 'Ira 3 ) a (a 3 - 2. 2. _1.. X 3) 2 X 3 dx. Esta e uma integral impr6pria pois a fun<;iio a ser integ quando x = O. Dsando a defini<;iio (1), § 154, obtemos PROBLEMAS 1. Achar pOl' integrac;ao a area da superffci gerada pela revoluyao do circulo x 2 + y2 = r 2 em t metro. R 2. Achar par integrac;ao a area da superffcie pela revoluc;ao, em torno de OX, do segmento de origem com 0 ponto (a, b). 4. Achar pOI' integra9ao a area lateral de ur gerado pela revolu9ao, em tomo de OX, do segmen = x - 4, cuja proje9ao sabre OX e 0 segmento [0 resultado geometricamente. Achar a area da superficie gerada pel tOmo de OY, do .arco da parabola y = x 2 , cuja proj o segmento [0, 2]. 5. 6. Achar a area da superficie gerada pela rev de OX, do arco de parabola y = x 2 , compreendido en Achar a area da superficie gerada pela rev de OX, do arco de parabola y2 = 4 - x, que esta drante. 7. 8. Achar a area da superficie gerada pela rev de OX, do arco da parabola y2 = 2 px, cuja proje9 segmento [0,4 pl. Resp. 9. Achar a area da superficie gerada pel tOmo de OY, do arco de y = x 3 compreendido ent Achar a area da superficie gerada pela revolu9 OX, de cada uma das seguintes por90es de Com·vas 10. 9 y = x 3, de x = 0 a x = 2. ll. y2 = 9 x, de x = 0 a x = 4. lZ. y2 = 24 - 4 x, de x = 3 a x = 6. 13. 6 Y = x 2 , de x = 0 a x = 4. 14. Y 15. La90 de 9 ay2 = x (3 a - x)2. 16. 6 a 2xy = x4 17. Um la90 de 8 a 2y 2 18. y2 = e- z , de x = 0 a x = Res (82 ro. 7r +4x + 3 a4, de x = a a = a 2x 2 - ;l; [V2 + = 2 a. x 4• = 2 log y, de y = 1 a y = 2. l Y= a (2 sen 0 - sen 20). 21. y! = 4 x, de x = 0 a x = 3. 22. x2 x2 23. 24. + y = 4, de x = + 4 y2 = 36. 9 x + 4 y2 = 36. 2 1 a x = 2. 2 Achar a area da superflcie gerada pela revolu<; OY, de cada uma das curvas seguintes 25. x = y3, de y 26. Y = 27. 6 a 2xy = x4 28. 4: y = x2 ~ =0 x3 , de y a y = 3. 0 a y = 3. = + 3 a4, de x 21n x, de x 2 - + In (x - yx 2 y = xyx 30. x 3, de x = 0 a x = 8. 4 y = x 2, de y = 0 a y = 4. 31. 2 1 = a a x = 3 a. = 1 a x = 4. 29. y2 1 Resp. 2'711" 2 - 1)J de = + 4 y2 = 33. 4x 16. 32; x 34. 9 x = y3, de y = 0 a y = 3. Achar a area da superflcie gerada pela revoluQa das seguintes curvas. Em tomo de OX 35. . x2 Ehpse a 2 y2 + b2 = Sugcstao. e = excentricidade da elfpse 36. Catenaria 11 = ~ ~ /;;- de x = 0 a x = a. 211"a 2 1. I '" + e- -;;:r.) . + lY = cos 8, (;.9 +4 = 3a 2 • 39. 3 x2 40. 0 coeficiente angular da tratoria em c y2 curva que esteja no primeiro quadrant.e (4 e dado pOl' dl -: ax Mostrar que a superficie gerada pela revolw;ao, em do arco que liga os pontos (Xl, Yl) e (X2, Y2) e 2 1IC ( 41. A area, no p~'imeiro quadrante, limitada pe equayoes sao Y = x 3 e y = 4 x faz uma revoluyao em Achar a area total da superficie gerada. Resp. A area limitada pelo eixa das YY e as cu gira em torno de OY. Ache a ar Resp perficie gerada. 42. x - 2y +4 = 0 Ache a area da superfieie gerada pela revo 1 x3 de OX, do areo da eurva y = "6 + 2x que vai do po 43. ate 0 ponto x = 3. Resp 44. Aehar a area total da superficie do soli revoluyao, em torno de OX, cia area limitada pelas y 2 = 4 x (' y2 = x· + 3. Resp. ~ 7r (17 V17 -+- 32 vi - 17) = 5 45. Aehar a area da superfieie gerada' pela torno de OX, de urn areo da eurva y = sen x. 155. - S6lidos com se!;oes transversais conh 160 estudamos 0 volume de urn solido de revoluya mostra a figura seguinte, em que toda seyao pOl' plan ao eixo 'Ge,;; xx e urn eirculo. Se OJI = x, Me = y geradora OCG. Logo, a drea da se~ao transversa por um plano perpendicular a OX e urita fun~ao da distancia (= x) entre 0 plano da se~ao e 0 ponto O. Vamos examinar agora os volumes dos solidos revoluc;ao, quando e possivel exprimir a area de c do solido, que seja perpendicular z a uma reta fixa (como OX), como func;ao da distancia entre 0 plano da sec;iio e um ponto fixo (como 0). Dividamos 0 s6lido em n partes por se<;oes planas equidistantes, yo/-. perpendiculares a OX, e seja .::lx a distancia entre duas se<;ocs paralelas consecutivas Seja FDE uma face de uma das se<;oes e seja O pOl' hip6tese, Area FDE = A (x). (2) o volume desta parte 6 aproximadamente igua (3) Area FDE X .::lx = A (x) .::lx (base X " L: A (Xi) .::lx; = soma dos volumes de to o limite dcsta soma e 0 volume que se quer calcula Entao i~l rema fundamental, l~: t A (xi) .::lx; = f A (x) dx , e temos a f6rmula v= (N) onde A (x) e definido em (2). fA (x) dx, SOLU9AO. Tomemos 0 circulo Xl + r 2 do plano XY como base e OX como 0 diametro fixado. Entiio a seQiio PQRS perpendicular a OX e um quadrado de are!!. 4 y2, se PQ = 2y (na figura, omitiu~se a porQao do s6lido a direita da seQiio PQRS). A. + y2 = Logo, A(x) = 4 y2 = 4 (1'2 - Xl), = ¥1'3. e, pOI' (N), 41 r volume = (1'2 - r) dx Resp. Exemplo ilustrativo 2. Achar 0 volume de um con6ide base tem raio r e cujn. altura e igual a a. SOLU9AO. Consideremos 0 s6lido como mostra a figur sec;:ao perpendicular a OX; PQR e um triangulo is6sceles. C RJl.f = V21'x - (obtida de + y2 sendo y = RM) e x2 = 21'x, equaQao do cfrculo ORAQ, Jl.fP a aren. G:l. sec;:ao r = 1 a, e a V21'x - Xl = A(x). Substituindo em (N), ( V = a J0 o volume e metade uma (mica integrar;i'io. 2 V21'x - x dx = 7r1' 2a -2-' Resp. do volume do cilindro de mesma b Exemplo ilustrativo 3. pOl' 2r Calcular 0 volume do elips6ide Desta equa9ii.o tiramos y ( = b') em t~rmos de x (= OM) e obtemoB = b' = .!!.a va 2 - x 2. Semelhantemente, da equa98.0 da elipse EFGI do plano XOZ, obtemos c' = .£ Va! - x2• a e Logo, a area da elipse (se9B.o) ABCD 1rb'c' = 'll"bc -2- a (a 2 - z2) = A (x) . Substituindo em (N), V = -1rbCJ+a (a 2 2 a -a - • r) dx = -4 1I"abc . 3 Re PROBLEMAS 1. Urn solido tern b3.se 'circular de raio r. A diitmetro da base. Achar 0 volume do solido se ca perpendicular a AB e (a) urn triitngulo equilatero; R (b) urn triitngulo retangulo isosceles com hipo da base; R (c) da base; (d) (e) urn triangulo retangulo isosceles com um R urn triangulo isosceles com altura igual a R urn triangulo isosceles com altura igue.l a R 2. A base de urn solido e uma elipse cujos polegadas e 10 polegadas. Achar 0 volume do solid perpendicular ao eixo maior e 3. Urn segmento de parabola com corda perp e base de urn solido. Sabendo que a corda dista vertice da parabola e que tern 16 polegadas de com o volume do solido se cada sec;ao perpendicular ao (a) (b) (c) urn quadrado; Resp. 10 urn triangulo equilatero; 443 urn triangulo isosceles cuja altura e 10 po Resp. 4. Urna bola de futebol americano tem 16 mento e uma sec;110 contendo uma costura e uma elip menor mede 8 polegadas. Achar 0 volume (a) tao teso que uma se9ao transversa e um quadrado; (b) versa e um circulo. Resp. (a) 341 pol. cub.; (b) 553,9 p t 5. De urn cilindro de raio igual a 5 polegad cunha por dois pIanos, um pp.rpendicular ao eixo do passando pelo diametro do circul'o desta sec;ao c incl relac;ao ao plano da ·se9ao. Achar 0 volume da c 2 Resp. 3 6. Dais cilindros de raios iguais a r tem os e em angulo reto. Achar 0 volume da parte comum ao 1:.' 1 ~j,esp. T 7. Um circulo move-se de tal modo que 0 creve uma circunferencia e 0 plano que 0 contem p lelo a urn dado plano. Sabendo que este e perpend que contem a circunferencia descrita e que esta e tern mesmo raio a, achar 0 volume do s6lido gerado pe 2 Resp. 3 Urn triangulo equilatero variavel moveque urn extremo de sua base descreve a curva y = a curva y = + 2 vax. Sabendo que 0 plano que 8. + 9. Um retangulo move-se a partir de um po tal que uma de suas dimens5es e igual a dist:111cia e contem 0 retangulo e 0 ponto fixo, e a outra dimens dessa distancia. Achar 0 volume gerado peb rct:1 plano que 0 contem move-se ate a uma distancia de fixo. Resp. 4 10. x2 a- 2 y2 + -b2 -- Os pontos simetricos, em l'elac;ao a 1 sao os extremos ea hipotenusa de u tangulo is6sceles variavel, m6vel de tal modo que contein e sempre perpendicular ao plano d::l elipse. do s6lido gerado pelo triangulo quando 0 plano qu Re corre todo 0 eixo maior da elipse. Achar os volumes dos s6lidos compreendidos en e os pIanos seguintes: R 11. 14. + y = 0; y + 1 = O. x 2 + 4 y2 = 1 + Z2; Z + 1 = 0; Z 25 y2 + 9 Z2 = 1 + x 2; X = OJ x = 15. x2 + 4 y2 + 9 Z2 = 16. Z2 = x 2 + 9 y2 j 12. 13. 4 x 2 + 9 Z2 Z 1= O 2. 1. + 1 = O. Dadas as curvas Z = 4 - x 2 no plano X no plano XY, de cada ponto da primeira, situado ac trac;am-se paralelas ao plano YZ que encontram a Calcular 0 volume do s6lido cuneiforme. assim obti R 17. 0 volume do s6lido limitado pelo x2 y2 uma folha - 2 = - 2 - -b2 + 1 e os pIanos x = 0 e c a 18. Achar Z2 Re 20. Achar 0 volume do s61ido limitado pela Re OUfROS 1. PROBLEMAS Achar a area do Jac;o cia curva y2 = (x 4) (x 2 - X 2 y - 4). + + Re 2. Um ponto move-se sobre uma parabola d a velocidade de variayao da area ciescrita pelo segm ao foco e constante. Em um segundo 0 ponto mov a um dos extremos cia corda focal perpendicular a bola. Pergunta-se qual a posiQao do ponto depois dos seguintes. t Resp. 3. Distancia do foco = do compri focal perpendicular ao eixo. Achar curva 4 Y = e 2z 0 perimetro da figura limitada pela + e- 2z • Resp. V3 + In (2 + V 4. 0 arco OP da curva xy = x - y liga a o P (Xl, YI) e limita com 0 eixo dos xx e a reta x = o mesmo arco limita com 0 eixo dos yy e a reta y = Prove que os volumes obtidos pela re"oluQao de A e e pela de B em torno de OY sao iguais. + 5. A area limitada pela curva 16 y2 = (x gente no ponto (12, 16) gira em tOrno de OX. Achar R rado. 6. A base de urn s6lido e a area limitad y 2 = 2 px e a corda focal perpendicular ao eixo da p sec;ao do s6lido feita pOI' um plano perpendicular a m e urn retangulo cuja altura e igual a distancia entre cla parabola. Achar 0 volume do s61ido. Re dada. Achar 8. e OA 0 volume do s6lido. 0 Re Seja (x, y) um ponto da curva do § 159, s eixo dos xx. Mostre que (D) pode ser po Area (1) = t f(X dy - y dx) , usando a transformac;:ao (5), § 1. Os limites sao det coordenadas das extremidades da curva. 9. Deduza a f6rmula do problema precede da figura, fazendo uso de (B) e (C), § 158. A f6rmula (1) do problema (8) e util para as c equac;:aes parametricas. Achar as seguintes areas, Area compreendida entre a involuta de 10. x e 0 = r cos 0 + rO sen 0, y eixo dos xx, desde 0 r sen 0 - T = 0 ate 0 = 7r. Area encerrada pela hipocicl6idc de tres 11. { = X = 2 r cos 0 y = (vel' figura) + r cos 2 0, 2 r sen 0 - r sen 2 O. Resp. 27rr 2 • 12. Um fio reto uniforme atrai uma particula P segundo a lei da gravitac;:ao. A particula esta na linha do fio mas nao no fio. Prove que 0 fio atraia particula como se su.a massa estivesse concentrada nUm ponto do fio cuja disM.ncia aPe media proporcional en.tre· as disMn extremos do fio. § 165 = S6LIDOS COM SEQOES TRANSVERSAlS CONHEC 13. 3 axy. Achar a lhea do la<jo do folium de Des . _ Sela Y = Ix; entao x = Su.gestfio. 3 at2 Y= 1 + t3 e dx 1 3 a.t + t3 1 - 2t3 t3)2 3 a dt. = b(l + Os limites para t sao 0 e cx>. ' INTEGRACAO FORMAL POR ARTIF 166. - Introdu~ao. A integrayao formal ap6 tabelas de integrais. Se urn dado integrando nao fig procuramos transforma-lo de modo que a sua inte depender de integra95es de 1un9oes para as quais a cern f6rmulas. Para isso usam-se artificios como integra9ao pOl' partes (§ 136), (a) (b) decomposi9aO das fun95es racionais, (c) substitui9ao conveniente de variavel. Yamos examinar os casas (b) e (c). 167. - Integra~ao das fun~oes racionais. cional e uma fra9ao cujos termos sao polin6mios, is tipo ao x" al X"-l an, sendo ao, al, ... , an o grau do numerador e maior ou igual ao do denorn pode ser expressa como soma de urn polin6mio e de cional cujo numerador tern grau menor que 0 do de exemplo, + + ... + x4 +;:) x 3 ---,----= x2 + X 2 x +2x +1 - 3 5x + + ---'--x +2x 2 Como e simples a integrac;ao de urn polin6mio nos deter ao exame da integrac;ao das func;oes racio rador tern grau menor que 0 denominador Afim de integrar uma funC;ao racional e necessa exprimi-Ia como soma algebrica de frar;i3es simples 362 A cada fator linear nao repetido, como x - a, simples cia forma fra~ao A ~, onde A e constante. A fun<;ao racional dada po como soma de fra<;:oes deste tipo. Os exemplos m Exemplo ilustrativo. SOLUC;AO. f Achar Bendo x, x-I, x (2 x + 3) dx +x2 -2x· X3 +2 os fatores do denom 2x+3 =A+_B_+_C_ x (x - 1) (x + 2) x x-I x +2 (1) onde A, B e C sao constantes a se determinar. Eliminando os denorninadores, (1) forncee (2) + 2) + B (x + 2) x + C + C) x~ + (.-1 + 2 B - C) x 2x +3 = A (x - 1) 2x +3 = (A +B (x Como estu equa<;ao e uma identidade, igualamos os co mas poten(;ias de x nos dois membros, de acordo com 0 pl'in de polinomios. Obtcmos, assim, urn sistema de tres cquac;:o f A A+B+C=O + 2B - C =2 - 2,·1 = 3. t (3) Resolvendo 0 sistema., temos 5 B=- 3 ' * Veja CapItulo XX de "Advanced Algebra" de Hawkes (Ginn and decomposi~t!.o da fra~ao rncional nao entram nem 0 sin No processo da . f 2x+3 + dx= _1.fdX +~f~- .. z(x - 1) (x 2) '2 3 x 3 - 2" In +"35 x x-I 1 In (x - 1) - 6" I 6 c(x -1)3 = In - 3 - - - - 1 - . x2 Resp.. + 2)8 (x Um metodo mais rapido de aehar os valores de A, B e C =- =- { 2 A, ou A Seja 0 0 fator xi entao 3 Seja 0 0 fator x-I, ou, seja x = Ii entao 5 = 3B, a Seja 0 a fat or x +·2, ou seja .x = - 2, entao - 1 = 6 Na integra<;ao de fun<;5es racionais, determinadas donal. e nurnero de sempre igual ao grau do denominado 0 CASO II. Os jatores do denominador sao todos d e alguns sao repetidos. A cada fator repetido n vezes, como (x - a)" soma de n jra<;i5es simples A (.l: - al + B (x - at- l +~, x-a + na qual A, B, ... , L sao constantes. Estas jra< Hwilmente integraveis. Por exemplo. f Adx (x - a)" = .t Exemp.lo ilustrativo. f (x - a)-" dx Achar f = A (1 _ n) (x _ x3+1 x (x _ 1)3 dx. Eliminando os denominadoreso Xl + 1 = A (x - I)S + Bx + Cx (x ~ 1) + Dx (x - 1)2 r 1 + 1 = (A + D) x S + (- 3 A + C - 2 D) x2 +(3 A + B Igualando os coeficientes das mesmas potencias de x, de equa«i5es A+D=I, -3..1 +C -2D =0, 3A+B-C+D=0, -A=l. Resclvendo, A. = - 1, B = 2, C = 1, D = 2, e Xl+l =_~+ 2 + 1 +_ x(x-l)3 x (x-l)3 (x-l)2 x •• 0 !~±..!dx = x (x - 1)3 = x (2: _ - - IF In x - I __ 1_. - _1_ (x - 1)x-I I (.r. - 1)2 Til.:; +2 C +. Re EXERCtCIOS Calcule as seguintes integrais (S4_X -x22_)d2xx 1. ! X ! 3.! ! ! ! 2. + 2x 1)2 + C. - (5 x 2 - 3) dx = In x 3 (x 2 x3 - x + 3) dx = + 8x + 3x (4 x -! 4. ~2 = In ex X S _ 2 (4x s + 2X2+ l)dx 4 XS - x = (x _ 1) (x 6. z2dz (z _ l)S = 1) + C. l:..In (2 x 2 x (3X 2 +5X)d.x + 1)2 = In (x 5. - + -21 + 1)(2 x2 1 (2x+1 n + 1) (x - 2 In (z :- 1) - z _ 1 - 2 1) - 1 2 (z _ 1 1 1 x3 (3 - x) dx 81 3 = in 80 =0,0125. 4x 2 x Jo (x + 1) (x + 2) (x + 3) = (X3 - 2) dx 5 2 = -2 3 4 9. 2 X 3 10. 2 {I 13. 1 1 + + (3x2+7x)dx 5 o (x 4 in "3 = 0,287 ° (X2 - 3) dx _ In ~ _ ~ - _ -," 2) (x 1)2 2 3 + + 9X2dx ( o 2,7877. + 4 14. 4 + in -3 = (2 - X 2) dx 9 3 2 2 = In -10 = - 0,1054. 3 X X X 3 12. X + 1 11. - 2x+1 )( x+ 2)2=5in3-4=1,493 Caicule cada uma das seguintes integrais. 15. 16. J 8dx . 4x (5 x 2 - 9) dx x3 - 9 x x3 / 18. / 19. / x2dx 3) (4 x 2 20. 21. f / CABO nenhwn (z 2 - + (t4 + 1) dt (2 x t - . t 3 - (X2 - X - 5) dx x3 5x2 + (5 X2 + 1 (x + 2 23. / (24 y2 (2 y - 1 + (3 z + 7) dz + 1) (z + 2) (z + 3) . (3 X2 + 11 x + 2) dx (x + 3) (x 1) . 17. / 22. / 1) . 2~. 25. 26. 27. (x / x4 + 2) +2x 3 (X 3 / / / 28. / 2x x4 2 (2X2 + 1 (x _ 2 + (y4 - 3 (y2 - 1) (2 t4 + 3 t (t2 _ 4 III. 0 denominador contbn fatores do se e repetido. + x2 px + q , sendo o metodo para a integrac;ao desta fl'ac;ao Completamos x2 + px + ! p2 e0 quadl'ado no denominador: 0 +q _ ! p2 (x = +! p)2 +! (4 q _ Pomos u = x +! p. Entao x = u - ! p, dx tuindo estes valorcs, a nova "integral em termos da v diatamente calculavel. Exemplo ilustrativo 1. Ponhamos SOLUc;AO. Achar J 4 = x (x2 + 4) Eliminando os denominadores, 4 +Cx+4A. = 4dx Xl+4x· A X A (x2 + Bx2 + C x +4 . + 4) + x (Bx + 19ualando os coeficientes das mesmas potencias de x, o A+B=O, C=O, 4A =4. lsto da A = 1, B = - 1, C = 4 0, de modo que X I? = In x - - In (x2 Exemplo ilustrativo 2. J Xl dx +8 1 = 24 In (x 2 + e + 4) + In e = In - = Vx2 Prove que ex + 2)2 X" - 2x 1. ~ + 4 + 12 V '-- 3 arc tg x- vi 1 = (A Entao + C) :r?- + (2 A + B-2 C) x + 2 B + 1 upB A= - 1 J J_1../ (4) - :r?- - 2 x x = Entao, U +4 = +1, x2 x 4 dx = Substituindo de volta (x - 1)2 dx = du, dx+ 1 12 x+ + 4 dx + 1..12 1n (, 4-x +3 = 1£2 _ r.; + 3, se x-I e 1£ u2 1£ - J 1 + "3 2x+4 x2 _ 2 x 12 /3 4 + + / x2 _ 2 x 1 12 x dx --:r? + 8 - Logo Ora, 1 = 3' C = 12' 3 d1£ = v 3 arc tg U .;3 - por x - I, usando (4) e reduzindo, CASO IV. 0 de11tOminador contem fatores do segu dos quais sao repetidos. + A cada fator do segundo gi'au repetido n vez px + q)n, corresponde uma soma de n fra~oes sim A.x + B (x 2 + px + q)n + ex + D + q)n- + ... + (x 2 + px Para a integraQao destas (5) = L X 2 1 e necessaria 2 (n - 1 + (2n - 1) a 2 3) / [ + a "formu u (u 2 + a t- (u 2 +dua ;n- 2 2 como antes. Exemplo ilustrativo. 23;3 / (z2 SOLUgAO. +X +3 + 1)2 Prove que dx = In (x Pois que x2 2 1 + 3x 3 + 1) + 2 (x 2 + 1) +"2 a + 1 ocone Ax (z2 duas vezes como fa + B + Cx +D + 1)2 z2 + 1 • Eliminando os denominadores 2 x3 + x + 3 = Ax + B + (Cx + D) (x2 + 1 Igualando os coeficientes das mesmas potencias de x .4.=-1, B=3, C=2, D=O, Logo 2 / X3 +x+ + 1)2 (x 2 3 / - 3 /2 (z2 dx = = In (x 2 + + 1)2 x + 1) - dx / + (x2X z ~xl + 3/ All primeiras destas duas integrais e caiculada peia f6rm por (5) acima, com u = x, a = 1, n = 2. Obtemos, assim, Reduzindo, temos a resposta. CONCLUSAO. Do que se viu, conclui-se que tod naI, isto e, quociente de dois polinomios, cujo den TEOREMA. A integral de uma fun(;ao racional cu pode ser expresso por um produto de fatores reais do gundo graus, 13 exprim£!Jel em termos de fun(;oes algeb cas e trigonometricas inversas, isto 13, em termos de tares. PROBLEMAS Caicular as integrais 1. 2. (4 x 2 + 6) dx x3 3 x = In x 2 (x 2 + 3) + C. + (X2 + x) dx / (x _ 1) (x2 + 1) = In (x - 1) / 3. / (2 t 2 - 8 t - 8) dt (t _ 2) (t2 4) 4. (X2 + X - 10) dx (2x-3)(x 2 +4) / 5. / 6. + + arc tg x t2 + 4 _ - 2 In t _ 2 + C. 1 x2 + 4 =2"ln 2x _ 3 +ar 4 x2 + 9 1 2x (x - 18) dx 4 x3 + 9 x = In x2 + "6 arc tg"'3 (2 y3 + y2 +3 2 y++2 2) dy y4 + y 2 / 7. / dz + Z2 Z4 = - 2 = In (y + 2) + -.!... - arc tg z + C. z 2xdx 1 8. (x 2 + 1) (x + 1)2 = arc tg x + x + 1 + C. (X3 9. 10. ! 11. / 12 • + 3 x) dx = + 1)2 (x 2 / (X 5 + 9 x3 x3 !.In ( 2 + 1) _ 1 2 X x2 + 1 9 x 2 - 9) dx _ x3 +9X - 3 _ I (2 nx x < X2 x Y2 (4X 2 +2X+8)dx x (x2 + 2)"2 =ln x2 + 2 + 2x2+4+T J t6 dt t2 = --- - 4In (t 2 (t 4)2 2 2 + + 4) - 8 2 t +4+ 15. 16. f f 4dX x 4 -1 + 1 1 1 1 1 + + ~ ~t3+ sY dt = arctg(t+ 2) - t2 + 2 (5 x + 4) dx = 3 1 4 = 4 1589 3 + 4 n,. X X 4 1 5 x dx 1 19. 2 arc tg x + C. (2 Z2 3z 2 )dz . (z + 2) (Z2 2 z + 2) = 2In (z + 2) - ar 17. f e 2 18. x-I x+l - - = In - - - 8 (x + 2) (x2 + 1) = In. 0 9 7r '4 = + 0,667 (2 x + x + 3) dx = In 4 + ~ = 2 171. 20.. 0 (x + 1) (x 2 + 1) 4' 2 1 21. + 1 (4X2 2x) dx 7r 1 0 (x2 + 1) (x + 1)2 ="4 + 2 4 22. 23. 3 - In 2 =0 (5 t - 4 t) dt = In ~ + i- In 20 = 1 5 t4 - 16 5 2 13 ' 3 + 4)2 1 2(Z3+2z2+6z+8)dz=~1 2 2 n (Z2 0 + ~+ 4 CaIcuIe cada uma das integrais abaixo 24. 25. 26. 27. 28. + 3 x + 4) dx x 3 + 2x (Z4 + 3) dz (z + 1) (Z2 + 1) . (3 x + 3 x + 1) dx f f 1 f 1 (6 x 2 . 29. x + 3 x2 30. 2 2 4 3 X 2 X l 1 1 0 (2 y 32. 0 1 33. + (2 x 3 1 31. + x + 3) dx . x + 3x (5 X2 + 12 x + 9) dx . x +3 +3 (3 x 3 (4X 3 +3X ( i 3 4 j + l) 3 (x + 1 x + 2x 3 (2 x + 1 (x 2 3 o (x 3 +3 algebricas que nao sao racionais podem ser integra de func;oes elementares. A integrac;ao de algumas pode ser conduzida a de func;oes racionais por um substituic;ao da variavel ou meSillO a de func;oes cu guram na lista de integrais imediatas (§ 128). 0 tegrar uma func;ao que nao e racional pOl' substituic de modo a conduzir a integrac;ao a de uma func;ao rac algumas vezes de integrar;ao por racionalizar;ao. E muito importante e sera objeto de estudo neste pan casos mais importantes. DIFERENCIAIS CONTENDO APENAS POT:tNCIAS FRAC A integrar;ao de tais expressoes pode ser conduzida d racional pela substituir;ao. x = zn, onde n e 0 minimo multiplo comum dos denominad entes de x. Realmente, assim fazendo, x, dx e cada radical po racionalmente como func;ao de z. Exemplo ilustrativo 1. Prove que f x'dx 4.2x' 3 = - 3 1 +x4 4 - 3ID (1 SOLu<{io. Aqui n = 4. Logo, pornos x = Z4. 3 x' = Z2, Entao Logo f X_ ----"x_'.c..d.::. .21 =4 + x' f( = x4 = Z3, dx = 4 z3 dz • f_Z2_4Z3dZ 1 z3 + 2 ) dz Z2 - -z1+~ = -43 = 4 f -Z5_ dZ 1 + Z3 z3 - -4 In (1 3 Fazendo a substituil(ao de volta z = xi, ohromos 0 + z3) result 1 onde R indica uma fun<jao racional de :t n . Diferenciais contendo apenas potencias fr A intetJra~ao de tais expressoes pode ser cond .jun~iio racional mediante a substitu1:~ao a + bx. a + bx = zn, onde n e 0 mlllimo multiplo comum dos denomina entes de a + bx. Realmente, assim fazendo, x, dx e cada radical po sos racionalmente em termos de z. Exemplo ilustrativo 2. J+ Achar (1 dx 3 x) 2 I + (1 + x) 2 SOLUgAO. Pomos 3 Entao dx = 2 z dz, (1 + xfi = z3, = 2 arc tg z 1 (1 + x) "2 = z . + C = 2 arc tg (1 + quando Bubstitulmos, de novo, z em termos de z. A integral tratada aqui tem a forma R [x', (a, onde R indica fun<jao racional. + bX)~ ] dx " 1. 2. f a 'f x +V;'dx '). .. x· - 3. j . dx = 3 In 4 8. 9. 10. 11. --:i + C. 1- xt)±C 1. - x ax (4x + 1}i- Xl 2. -; _ 2. M 27 x 13 ~ dx f ax J f ~ 2 1. 8 xs =3 + 2 In X8 1. X8 +1 + 4 arc tg 3 iy~a+ydY=28 (4y-3a)(a+y)3+ fC ~~+1) dx =x+l+4 yx+l+4In CY x+l-l V f f 1+ ~= x+a (t + 5) dt 3 (x+a)t -3 (x+a)"i- +3ln 2 (t + 4) yt+2 = 2 --:2 + y2arc tg yt + dx ' Jo (x + 2) yx + 1 = 2 arc tg 2 - 1 1 o 1 4 14. . x = 2 (2 a + bx) + C (a+bx){b2 Va+bx' . 4 13. C 1 Xl - 1 fa 12. + C. x _ 6x + 6 x + 1+ - 12(4x + l)t 2 xa - 7. --6 a 6 X4 5. 6. V3 = -4 In _ r l (A.- f f v7- 1 V x + 1 1 x XI x - xl ~. _/ vx+ 3 VX 3 3 + _r - (x - 9)x2 1 dx _/ + VX = 4 - 2 In 3 . ydy = ~Y2 V2 + 4 y 2 . 7r -2' J: 1 dt 64 17. _;; = 5,31. 2 29 18. _3/ 2vt+v t 1 (x - 2)3 dx ' 2 2F + 3 (x - 3 = 8 3- + 2" 1r y3 . Calcule as integrais 19. 23. 24. 25. 22. f ydy (2y . 26. + 3)1- f f f f d 1 (t + 1)' d 1 (x - 2)2 (x (x +_ + 5) v (2 - y2 1- 27. Calcule a area lirnitada pela curva eixo dos xx e as retas x = 3 e x = 8. y = x R 28. Cal~le 0 volume gerado pela revolu9ao e da a.rea do problema precedente. 29. Achar 0 volume gerado pela revoluQao em da area no primeiro quadrante limitada pelos eixos cada uma das seguintes curvas. (a) y = 2- V;. (c) y= a (b) y = 2- ~. (d) y = 4 Achar a area limitada pelas curvas y = 2 y = x - y2 x + 1 e as retas x = 4 e x = 12. 30. e as l'etas x =3 e x = 8. Resp. 4 [V2+ 169. - Diferenciais binoIlliais. In 4 + 4- Uma difere (1) onde a e b sao constantes e os expoentes m, n e p nt diz-se uma diferencial binomial. x m (a e aza- dz, azmata-l (a + bzna)p x = za; entao dx = Ponhamos + bxn)p dx = 1 Be 0 inteiro a e escolhido de modo a serem int vemos que a dada diferencial e equivalente a uma forma onde men foram substitufdos pOl' inteiros. que (2) x m (a + bxn)p dx = xm;-np (ax-1l + b)p d transforma a dada diferencial numa outra de mesm expoente n de x foi substitufdo pOl' - n, Portant seja 0 sinal de n, em uma das duas diferenciais 0 e dentro do parentesis sera certamente positivo. Quando p e inteiro positivo, a binomial pode se integrada termo a termo. A seguir, suporemos que fracionario; substituf-lo-emos, pois, pOl' !.-, ond ere s Podemos dizer, portanto, que T6da diferencial pode ser posta sob a forma onde m, n, res sao inteiros e n e positivo. • E sempre posslvel escolher a de modo que ma e na eeja.m inteiro. eomo 0 m1nimo mo.ltiplo comum dos denominadores de men. •• 0 CMO de p eer inteiro nil<> esU. excluldo pois que aquele em que r - p, , .. 1. ~ um CMo p n a CASO II • Quan d0 m + bxn = + 1 + -r n s z·. . = . mte~ro ou zer = ~ 2a Exemplo ilustrativo 1. 2 va m +1 b SOLUQAO. m = 3, n = 2, r = - 3, = 8 2; aqui - n Logo, estamos no Caso I e por isso pomos a + bx2 = Z2; portanto x = = ~ 2a +bx2 2 b Exemplo ilustrativo 2. SOLUQAO. m = - -i-a ) l ,dx Z2 ( 4, va + b:r? f n = = z dz b! (z2 _ a)! +C • dx = (2 x2 - 1) (1 x4~ 3x3 2, r -8 = - 1 m+1 -2; - n + -8r 1 logo, ;e2 - J2 1 ~ .,. tem08 tamb6m -- + :r = r _ 1 ' VI + :r - 1 l' Z2 _ 1 .!. ' ~.,. (r _ 1)2' d~ - - (r - 1)1 JeU .. f d~ z4 VI I +~ == - J (,% -1)1 1 (,% - 1)2 z (J2 - l)t - - fer = J _ + c .,. (2 ~ - ~ 3 1) (1 3~ + PROBLEMAS Calcule as integrais 1. 2 3. 5. . f VI + f VI + f XS + 3riXS dx ----:=== (8 f 3 x 3 dx XS = 2 (x 3 2 (3 - Xl - :; 9 x dx = 2 (5 x + C. ~~~ (8 + xlri- 3 - 1 2 3 3 . + X )a +C. (l x 2 (1 - x 3)", + x )"1 + 2) ~3 Xl dx (1 x 7. 8. f f 10. f + x )," + c. X ,,-1 dx x"(l 9. X4)~ x2 (1: (1 (1 + x,,)""",,(n - 1) X,,-l 1 + X")n dx + 3 X' 1 + C. 2 x 2 (1 + x l )8 ~ 1 x' (1 + xl)a f2~dx = In (x 2 + 2 ~) ~ V x 11. fX 6VI - x1dx. 13. f x 6 (a' - + C. 12. f _/ V x~dx a+b Xl)"%- dx . 170. - Condi~Oes de ferencial binom.ial. integra~ao por racion ~ (A) CASO x m (a 1. Ponhamo8 a + bx"F dx • + bx" = z'o 1 Entao temos tambem logo (a + bx"F = x- r e z, z' -b-a); ' (- dx = -za-l 8 bn (a + bx"F = e xm = ( z' -b 1.- 1 ( z' - a)" b ZT dz . o segundo membro e racional quando m+l n e inteiro ou zero. CASO II. Ponhamos a Entao xn + bx n = a e a =-- z· - b' + bx n = T Logo (a temos tambem + bxnF = z·x n • T 1 s 2.. n z· - T 1 an = - a. (z· - br~ "T; x = an (z· - bj-1i, dx = - - a z·x n Z.-l '" x'" = an ( (z. - b) _2.._ 1 n d Substituindo em (A), obtemos o segundo membro desta expressao e racional q +!s e urn inteiro ou zero. Portanto, a integrac;ao da diferencial binomial TEOREMA. A integrar;fio de uma junr;fio tl'igo venda racionalmente apenas sen u e cos u pode sel' tl substituir;fio u = z 2 ' (1) OU, 0 tg- que e (2) 0 mesmo, pelas substituir;oes sen u = 2z 1 + Z2 , numa outl'a de j1mr;fio que cosu = e racional 1- t 2 + Z2 --~ 1 , du = em z. DEMONSTRA<;AO. Da formula para a tangente urn angulo «5), § 2), temos, quadrando ambos os 1 1 - cos U tg 2 -2 u = - - - - 1 cos u + Substituindo tg ~ u por z e tirando (3) 1 cos U = 1 0 valor de ~ Z2 + Z2 , uma das formulas (2). 0 tri!lngulo retangulo da figura mostra a igualdade (3) e da tambem 0 valor de sen u que figura em (2). Finalmente, de (I), u = 2 arc tg z, E evidente que se uma funej8.o trigonometl'ica ctg u, sec u, cossec U apenas racionalmente, ela est teorema supra pois estas quatro funejoes podem ser nalmente em termos de sen u, ou cos U, ou amba Resulta, pais, que toda func;8.o trigonometrica racion grada contanto que a transformada da funej8.o em te ser decomposta na soma de frat;oes simples (Veja § Exemplo ilustrativo. 5 + 4::n 2 z = Prove que 1 = ~ 3 arc t g (5 tg SOLU9AO. Ponhamos 2 z = u. Entao z = @ates valores e depois usando (2), temos f dz 1 du 1 1 5 +4sen2z ="21 5 +4senu ="2. 1 (5Z+4) =3arctg 3 Substituindo de volta z por tg t u, dz = t 2dz + ~ 5 + l+z 1 Z2 2 +0. tu= tg z, obtemos 0 r EXERCICIOS Calcule as seguintes integrais 1. 2. 3. 1 1+ send: + cos 0 1 + 1 + ~~as dx sen x 5 tg x = In (1 + tg ~ ) + x 1 :r = -11 n tg -- - tg 2 - ¢ = 2 2 4 2 + ~ arc tg (~ tg : ) + c. 5. / . J 6. / 2 7 • V Z x dx + 3 = arc tg (1 + 2 tg '2 sen x - cos x .!3 + = _ 4se:~+5 ~ = 8. / 2 V cosOdi) 5 - 3 cos (j / z) + = _ ;-arc tg (_ ;_ tg a da + cosa .! 5 arc t g (2tg 6 2 ~)+ 1~ arctg(t g t 1t' 1t' 9. i 1 0 dO 4 - 3 cos 0 = V 7 . 0 2 11. 1t' +d 1t' 2 10. 1 1:!.1 2 1r t In( 2 dct> 1 1 3 n"2' "5 12+13 cos ct> = 0 d 3+5 Calcule cada uma das seguintes integrais 13. 14. / dx • 1 + sen x - cos x 16. / dO ctg 0 + cossec tJ ! 7. 15. / dct> 18. 13 - 5 cos ct> / dx . 1 + 2 sen x 21. 20. / sen 0 dO 5 + 4 sen 0 . 22. 19. / dt 13 cos t - / dx 2 cos x + / ~ dt 5 sec t - 4 / da + sen a 23. 2 1t' dx _ . o 0+3 cosx 1 24. l 1 172. - Outras substitui~Oes. Ate agora as su das conduziram a integra<j3.o da fun<j3.o dada a de cional. Num grande numero de casas, porem, pode Uma substituic;ao muito util 1 x= z ' dx chamada substituic;ao reciproca. Exemplo ilustrativo. e . dz = -Z2 Usemo-la no exe f v'~ Achar dx. ··- x = 1 , dx = F azen d 0 usa d·a su b S OLul;AO. stItUlc;ao z EXERCICIOS Calcule as seguintes integrais 1. f X-V--;=l=:=:r=X=+=X=2 = In C+ x + 2 ~1 + x + x 1 Ponha x =-. z 2 . 3. 1 (vJ: --:r+2+X 2 f :rvx 2 -x+2 f dx = 2 nrc tg (x xvx +2x-1 dx 2 1 =--=n y"J y"x 2 -x+2+:r Ponha Vx 2 - x + V_/x + 2 x---Ponha vx + 2 x 2 2 4. f + dx ] 1 (V2 2 x.- y2 = ----= n ,xV2+x-x 2 V2 V2+2x+,\/ Ponha V2 + x - x 6. 7. f f Y x 3 x2- 2 x-I = -arc sen - 2 - -+- C x =In(1+2X+ Y l+4 xYl+4x+5~ x -dx Po 8. f x Y x2 dx =+4x-4 21arc sen (2xv:2 ~/~) + C P 10. f x2 Y dx Y27x 2+5x-l = -3arcs 27x2+6x-l;r Po 11. f l (x - 1 X 3)8 dx x. 1 P = 5. 8 12.1 13.1 14.1 1 e= dx + e-= = arc tg e - 7r 4 . P a dx = o yax - x 2 7r. Ponh 1 y2 t + t 2 dt = Y3 - tIn (2 + Y3). P 386 INTEGRAQAO FORMAL POR ARTIFfCIOS Calcule cada uma das seguintes integrais 15. 16. 17. 18. f f f f 4dx xyx - 2x 2 +3 4xdx 8 (x _/ V 2 - 2x + 3)2" 2dx 5x - 6 - x 2 . 2xdx . y5x - 6 - x 2 . Ponha v'x 2 -2 x Ponha v'x 2 - 2 Ponha Y5x-6- Ponha v'5x-6 usa DE TABELAS DE INTEGR 173. - Introdu~ao. Neste capftulo completa integraQao formal. 0 objetivo e estabelecer diretliz tabelas de integrais. Damas metodos para a deduQ mulas gerais, chamadas formulas de redu~ao, que fi as tabelas. 174. - Formulas de redu~ao para diferenc Quando a diferencial binomial nao pode ser inte mente par nenhum dos metodos vistos ate agora, e gar formulas de reduyao, deduzidas pelo uso da integr POl' estas formulas de reduQao, a dada diferencial 'lorna de dais termos, um dos quais nao afetado d graQa.o eo outro, uma integral da mesma forma que mais facil de ser calculada. As seguintes sao as q formulas de reduQao. (A) f x m (a + bx")p dx + bX")P+l (np + m + 1) b xm--n+l = (a + m ++ 1)1)ab (m - n _. (np (B) f x m (a + bx")p dx = Xm+l np + (a 387 x m -" + bx")p +m + 1 anp np f +m + 1 J.~m ( (m J xm (a (D) + bxn)p dx = + 1) a + bX. n)J>tl (p + 1) a xm+l (a - n + 1)m a+ 1 + np n+(pn + J x m ( a +b Nito e desejavel que 0 estudante saiba de cor e sim que saiba qual a funttito de cada uma e quando deixa de valero Assim: A f6rmula (A) diminui m de n; nito vale quando A f6rmula (B) diminui p de 1; nito vale quando n A f6rmula (C) aumenta m de n; nito vale quando A f6rmula (D) aumenta p de 1; nito vale quando I. DedU(;ao daformula (A). A f6rmula de integra JUdV (1) = uv - Podemos aplicar esta f6rmula pondo entao * \ U = xm-n+l * du = (m - n e dv = (a + 1) xm-n dx JVdU ( a integrattito de + bxn)p xn- 1 dx ; e + (a bXn) v = ->---:.,------< nb (p + Afim de integrar ,d. pela f6rmula da poMncia e necessArio que x, fo n-1., Subtraindo n-l de m, resta m - n 1 para expo c~poente + m-n+1J nb (p 1) x",-n (a + Mas Jx",-n (a + bXn)p-tl dx = = + bxn)p+l Jx",-n (a aJ x",-n (a + bfx'" (a + bx + bxn + bxn) Substituindo isto em (2), obtemos J x'" (a + bxn)p dx + bXn )p-tl bn (p + 1) (m - n + 1) a Jx",-n ( nb (p + 1) x",-n+l (a = m-n+1J n (p 1) x'" (a + Transpondo 0 ultimo termo para os calculos e tirandoJ x'" (a 0 + bxn)p dx, + primeiro me obtemos a fo Ve-se, pela formula (A), que a integrac;ao de x'" depender da integrac;ao de outra diferencial da m qual m foi substituido pOl' m - n. Por aplicac;o formula (A), m pode ser diminuido de urn multiplo Quando np + m + 1 = 0, a formula (A) falha nador se anula). Mas, neste caso m +1 ---'--+p = 0; n (3) f x... (a + bx")p dx = f f x m (a = a xm (a + bX,,)p-l (a + bX,,)p-l d -I- b f x - (a + bX")r>-1 Apliquemos a formula (A) ao ultimo termo de (3) na f6rmula m pOl' m + n e p pOl' P - 1. Temos f h xm+n (a + bX,,)p-l dx = -- + + + a(m 1)' np m 1 + bx')1' +m+1 Xm+l (a np f .l:m (a + bX,,)p-l dx . Substituindo isto em (3) e reduzindo os term obtemo8 a f6rmula (B). Cada aplicac;ao da f6rmula (B) diminui p de u formula (B) falba no mesmo caso em que (A.). III. Dedu~ilo de (C). Tirando da f6rmula (A. f.r;m-n (a + bx")p dx , e substituindo m pOl' m + n, obtemos (C). Cada vez que aplicamos (C), m e substituido pOl' m + 1 = 0, a formula (C) £alba, mas nsete caso a ser tratada pelo metoda do § 169 e portanto a form saria. e substituindo p por p + 1, obtemos (D). Cada aplicayao de (D) aumenta p de uma unid mente, (D) falha quando p 1 = 0, mas entao p pressao e racional. + A f6rmula (5) do Caso IV, § 167, e urn caso qua.ndo m = 0, p = - 11-, n = 2, a = a 2 , b = 1. , , f Exemplo tlustratlvo 1. SOLUI;AO. Aqui m = z3dx vI - z3 • - 1 (r-+2) ( = - 3, n = 2, p = - t, 3 a = 1, b = - " N~ste caso aplicamos a f6rmula de reduy8.o (A) porque a duzida A de f x (1 - z3)-1 dx, A qual pode-se aplicar e. f6r Portanto, substituindo em (A), obtemos f z3 (1 - z3) -I - z3-2+1 (1 - x2)-i+1 dx - _ 1 (_ 1 + 3 + 1) - - - - i- z3 (l ~ 1 - "3 (x2 . 2. Exemp I0 1'I ustratlvo x2)1 - { (1 - x2)i + 2) (1 f ++3 1)+ 1) 1 (3 - 2 _ 1 (_ 1 - x2)i f +C + C. ( 4" 1 x.., _ x 2)i = (a 2x4dx + S3 + -83 a4 arcs a + 2" III Sugestiio. Aqui m = 0, n = 2, p = Excmplo ilustrativo 4. Sugestiio. f (x t, a = ~2, b = 1. dx xavI x2 - + Va2 + x2) + (x,2 - 1)+ 1 --'-~--'- 2x2 Apliquc (C) uma vez. PRODLEMAS Caleule eada uma das seguintes integrais. 1. 2. 3. 5. 6. 8. 10. Apl +- Sugestao 12. f f x2dx _/ V = f~ x 2 (2a - , x)-'dx. Apliqu V2ax - x 2 y3dy 4y_ y 2 1 = - -- :-(y~+5y+30)V4y-y2 + 3 + 20 arc co 13. 14. 15. 16. f f f ds s 38 (a 2 +s 2 )3 = 4a 2(a 2 +s 2)2 +8a4(a2+s 2) +8 y2 d'/j 1 _ /-9 " = - - YV 9-4y2 + - arc V9-4 y 2 8 16 3 t dt Vl+4t 2 = _1 (2 24 t~ 1) - VI + 4 t 2 + fY~V4-9y2dy=_1 y(9y 2_2)V4-9 y 2+ . 36 17. 18. Calcule cada uma das integrais 23. fV~dx. x 175. - Formulas de redu<;ao para diferenci tricas. 0 metodo do ultimo parigrafo, fazendo .'oender de outra do mesmo tipo, chama-se de r j (E) senm:l.~ cosnx dx = senm+!x COSn-IX m+n J n-I . + m+n j (P) senm-Ix cosn+lx sen"'x cosnx dx = -- - - - - - - m+n + j (G) senm x C senmx cosnx dx m - 1 m+n fsenm-2 x senm+!x eosn+I:!, = - ------n+I + m+n+2j n +1 sen f (H) senmx cosnx dx ' senm+l x cosn+!x = ------m +1 + m+n+2j m+ ] senm Aqui 0 estudante deve notal' que A formula (E) diminuin de 2; nao vale quando A f6rmula (F) diminui m de 2; nao vale quando A formula (G) aumenta n de 2; nao vale quand A f6rmula (H) aumenta m de 2; nao vale quand Para deduzir estas f6rmulas aplicamos como f6rmula de integrayao pOl' partes, precisamente, (1) jUdv = uv- jVdU Seja u entao du = cosn- 1 X, e dv = sen'" x cos x dx; . = - (n-I) cosn-2 X sen x dx e v , senm + = -m+ -- + n - 1 f sen m+2 x c m+1 Do mesmo modo, se pusermos u = senm- 1 x, e dv = cosn x sen x dx , obtemo~ (3) Nlas f senm+2x cosn-2x dx = = f f senmx (1 - cos 2 x) senmx cosn- 2x dx - -f senm x cosn Sllbstituindo isto em (2), reduzindo os termos tirando f senm x cosn x dx, obtemos (E). Fazendo uma substituiyao similar em (3), obtem Tirando a integral do segundo membro da formul tando n de 2, obtemos (G). Do mesmo modo obtemos (H) da formula (F). As formulas (E) e (F) falham quando m + n = 0 quando n + 1 = 0 e a formula (H) quando m + casos, porem, podemos efetuar a integrayao pOI' anteriormente. E claro que quando men sao inteiros, a integ fsen m x cosn x dx =! =!sec x dX,! dx cos cos sen !~ x x x cos ,!tgXdx,!ct e estas nos aprendemos a integral'. Exemplo ilustrativo 1. ! ? sen"xcos 4 xdx=- SOLU9AO. (4) ! Prove que sen x COSS 6 + sen x cos a x 1 24 +16(scnx Aplicando primeiro a formula (F), obtemos sen 2 x cos 4 x dx = {Aqui Aplicando a formula (E) (5) x ! Tn = sen x coss x 1 6 + 6 cos 4 x dx = do segundo membro ! sen x cosa x 3 4 + 4" [Aqui Tn = cos 4 n = 4.J 2, a integral ! 0, cos 2 X dx n = 4.J Aplicando a formula (E) ao segundo membro de (5), ob (6) ! 2 d _ sen x cos x + ~ cos x x 2 2 . Substituindo a resultado (6) em (5) c depois este resultad a resposta acima. Exemplo ilustrativo 2. ! Provar que g2 1 t 2 x dx = 4 sec 2 x tg 2 x cos 2 x 1 4 III (sec 2 x + tg tg 2 2 x sen 2 2 x 1 sen 2 2 x SOLU9A.O. - - - - - . --- - -2 cos 2 x - cos 2 x cos 2 x - cos 3 2 x . x Aplicando (G) :\ nova integral em (7), com u, vern 'Ill = 2, n = pOl' (8) f senz u cos-3 u du = - Apliquemos (F) (9) a nova f sen3ucos-Zu 1 _ 2 + _2 senz integral em (8), com m = 2, n fsenZucos-IUdu=-senu+ f Substituindo (9) em (8) e resposta. 0 cos-1udu=-sen resllltado em (7) e pondo PROBLEMAS Verifique as seguintes integrayoes 1. fsen4xcosZxdx=senxcosx[~sen4X-;4se 2. j 3. f 4. 5. 6.. "X f f f tg 3 dx 3 3 x x = 2'tg z3" + 3in cos 3" + ctg 4 0aO c. ctg30 = -. -3- + ctgO + 0 + C. sec3 t dt = ! sec t tg t + cossec3 x dx= ! in (sec t + tg t) -! cossec x ctg x+! in (cos cossec6 () dO = - eossee 0 ctg 0 ( 4' cosseezO '3 + ~ in (cos fsenzc/Jcoszc/Jdc/J=isenc/Jcosc/J(2SenZc/J - sen x 10. 3 sen x 3 sen x cos(Jsen(J cos6 0d(J= 48 [8 cos4 (J+1O cos 2 (J+ 15 ! 11.1 1 11" 2 o sen 4 () dO 0 16 3 11" 12. = 371" . Jo {11" cos4 x dx = 871"· 14. 11" 13·12sen62(Jd8=~; ,.. 8A- sen,/-, 2 . 15. 1 11" COS4 x sen 2 4" Calcule cada uma das seguintes integrais. 16. 17. ! f cossec3~ sBn62 0 dO. dO. 18. 19. 23.1 2 (I +s 176. - Usa de uma tabela de integrais. Os m grac;ao dad os nos Capitulas XII, XVI e XVII faram sentido de reduzir uma dada integral a uma ou ma Imediatas, § 128. Varios expedientes foram elab este fim, como integrac;ao par partes (§ 136); integrac;ao por decomposic;ao em frac;oes s (§ 167), integrac;ao par sUbstituic;ao de uma (§ § 168-172); usa de f6rmulas de reduc;ao Quando, porem, se tem em maos uma tabela de ou menos boa, 0 primeiro passo a se dar num pro grac;ao formal e procurar na tabela uma f6rmula qu f dx - - _1_ x 2 (2 + x) 2x + ~4 In (2 +x x) + SOLU\;AO Use 14, com a = 2, b = 1 e u = x. Sem a tabela, 0 exercfcio poderia ser feito como no Ca Exemplo ilustrativo 2. f x (9 Verifique, pela tabela de integra dx 1 + 4 i!) = 18 In ( 9 x 2 ) + 4 x2 + c. SOLU\;AO. Use 22, com a = 3, b = 2 e u = x . Este exemplo, sem a tabela, ~ resolvido pelo Caso III, Exemplo ilustrativo 3. f SOLU9AO. Verifique, pela tabela de integra dx xV4+3x = ~ln "\/4~- 2 +C V4+3x+2 2 Use 31, com a = 4, b = 3 e u = x. Este exemplo, sem a tabela, resolve-se pela substitui98.0 se viu no § 168. Verifique pels. tabela de integra Exemplo ilustrativo 4. f - xdx = ,/3 x 2 + 4 x - 7 - 3 ·,J3 x2 +4x - 7 _ 3 2 vaIn (6 x + 4 + 2 V 3 V3 i! + 4 x - 7) SOLU\;AO. Use 113, com a = - 7, b = 4, c = 3, e u = Sem a tabela, 0 exemplo pode ser tratado como 0 exe § 132. Exemplo ilustrativo 5, f 3x e cos 2 Verifique pela tabela de integra x d x = e 3x (2 sen 2 x + 3 cos 2 x) 13 + SOLU\;AO. Use 154, com a = 3, n = 2, u = x. Sem a tabela, 0 exemplo pode ser resolvido por integra98.0 o exemplo ilustrativo 6, § 136, uma conveniente mudanya de variavel. Este me tantemente usado no Capitulo XII e desde entao, em de integrayao. Exemplo i1ustrativo 6. ! dx = Verifique, pela tabela de integra dx 2x 1 -X-Y-=4=r-==+=-9 = "3 In 3 + Y4r- + 9 + C SOLUC;;:XO. A f6rmula 74 6 parecida. Ponhamos u = 2 x ! d1t e substituindo ~stes valores na dada integral, obte ! !! dx x ! !du Y4 x 2 + 9 = u Y u2 + 9 = du u Yu2 Portanto, aplicando 47, com a = 3, e substituindo de no temos ! I dx xv4r-+9 = -l.-In (3 3 +Y~) 2x Scm a tabela, poderiamos proceder como no exemplo ilu Exernplo i1ustrativo 7. ! dx = Y9 x Verifiquc, pela taLela de integra - x3 4 x2 d __ ~ x 27 SOLUC;;:XO. A f6rmula 84 e semelhante. ! duo Substituindo, obtemos ! Y9X-4r- --=-.:....:.:--;;--=--,,-- dx = x3 a (9 x - 4r-) '2 x3 +C Ponhamos u =2 !~~U-U2dU !~~U- = 4 Agora esta e 84 com a = 9/4. 2 x, obtemos 0 resultado desejado. .!. u 3 2 u 8 Aplicando 84 e substitui Se nenhurna formula da tabela pode ser aplicada casos precedentes, ainda ha a possibilidade de que mais dos expedientes mencionados no principio possa conduzir a novas integrais soluveis pela t diretrizes gerais a nao ser as regras ja dadas para 0 em dos expedientes. para varios casos sao as de numeros 157-174. Um cidade na teenica da integra9ao advira da familiarid bela e da pratica em usa-lao PROBLEMAS Calcule cada urna das seguintes integrais 1. 2. ! y + + + + f 18 + ! +C. ! 2 f ! Ca2! + 1+ + f + + + ! + + ! ! ! f Y(X_1)(2_x)=2arcsen~+C x2 x3 dt 5 dx t a 2 x2dx y9x L 4 = d() 4. 5)'i- C. Y9x"-4 2 27 In(3x+V9 1 - 2- cos2() = y3"arct g (Y3t g ()) X6 5. 10) (x 2 yl-4t x __ (1-4t 2)% 3. = /5(3 x 2 - dx (1 _ x4) 2 1 x2 _/ _ .!. = 2y 1 arc sen x 2 + .4 - x 3 6. 7. 8. 9. 10. X2)2dx (x 2+2a2 )ya 2 -x 2 3a 2 2 = 2 - -2 a x x et sen 2 dt = e' (2 - sen t - cos t) + C. sen 2 () d() 1 cos tJ = 2ln (1 dx 2x 2 x2 x3 sen x 2 dx = cos ()) - 2 cos () = arc tg (x sen x 2 - 1) C C. x 2 cos x 2 + C. dx 11. 12. !~dt = 13. f V;W+4-2In (2+~) du (a 2 +2u 2)ya2 -u 2 = 2 u ya - 1 t 3 a4u 3 4_ / 'C + C. 15 . L6. 17. x6dx . 4x 2 f 5+ f (a 2 - 3 U 2)2du. fX2+~:+Z' 20 . 2L. 22. fV4XLZ5dx • x2 x dx . Va + bx 2 f f fy2~' 31. f VXL1dX x V~dX X· f 26. f 27. f 28. f 3 18 f ctgtdt. 23. fJ'Z3++X : . . a+bsent" x xdx dB 19. f ~1+2Y 1_ 2y dy. 24. f 5+3senZO' 30. 25. f 32. f 33. 29. f etcos 2 t d ctgOd 4+sen Caicule cada uma das seguintes integmis definid 39. a-u a~ -+ du J 40. 1 -a 2 1 au x2dx V9-Z x 2 1 () 1 x( Uma parabola de eixo paralelo a OY pas pelo ponto (I, 2). Achar a equa9ao da curva quando endida entre a parabola eo eixo dos xx e um maximo 2. Resp. y = 6 x - 4 x 2 da um mini Desenhe a curva yV; = In x. Ache 0 v de revolu9ao que se obtem quando gira em tomo de tada pela curva, 0 eixo dos xx e auas paraJelas a OY pelo ponto maximo da CUI'va e a outra pelo ponto 3. R€sp. 296 81 7r · 4. Um cone circular reto de metal e feito densidade num ponto qualquer P e 20 (5 - r) libra onde rea distancia em pes entre 0 ponto P eo eixo d o peso do cone se a altura e 0 raio da base medem Resp. 6307r l Nota. 0 peso de um elemento de densidade uniforme zes a densidade. 5. Uma esfera metaJica oca tem raio interio gadas e raio exterior igual a 10 polegadas. A den num ponto P varia na razao inversa da distancia -en da esfera e na superfk~e esferica exterior a densida par polegada cubica. Achar 0 peso cia esfera. Resp. 6. Sendo n urn inteiro par, mostre que ... 2 1 o senn x dx = 7. 2 560 7r 12-... 0 (n - 1) (n - :i) . n (n - 2) (2) cos n x dx = - Sendo n um inteiro impar, ache 0 valor CENTROIDES, PRESSAO DE UM FLUlDO E APLICA~OES 177. - Mornento de area; centr6ides. area plana e definido do seguinte modo. 0 c Urn pedaQo de cartao fino, liso e duro, suspens tomara a posiyao horizontal, se 0 ponto estiver di centro de gravidade. 0 ponto de suspensao nestas o centr6ide da area da superficie plana do cartao. Reconhecem-se imediatamente os centr6ides consideradas em geometria elemental'. Para urn r drculo 0 centr6ide coincide com 0 centro geometri uma figura plana possui urn centro de simetria, est tr6ide. Se uma figura plana tern urn eixo de sime estara sobre esse eixo. As considerayoes seguintes levam a determinay pOl' meios matematicos. Esta fora do alcance dest os argumentos pOl' mecanica. y Consideremos a area A.MPNB da figura. Dividamo-la em n retangulos, cada urn de base L\x. A figura mostra urn desses retangulos. Seja dA sua area e C (h, k) 0 soo centr6ide. Entao a --:::+--';-- (1) dA = y dx, h = x, k =! y . °l+-'- o momenta de area deste reta-ngulo elemental' em (ou OY) e 0 produto da area do retangulo pela distan 404 o momento de area para a figura AMPNB e o ca9ao do teorema fundamental (§ 156) a soma do area dos n retangulos elementares. Obtemos, pois Mx = (B) J k dA, My = J hdA. Finalmente, se (x, y) e 0 centr6ide daarea AMPN entao as rela90es entre os momentos de area (B) e x e (C) Para calcular x e y, achamos os mo:rp.entos de POI' (1) e (B), estes sao, para a figura acima, nas quais 0 valor de y, em termos de x, provem curva MPN. Se a area A e conhecida, temos, POl' (C), _ My x=- (3) A' Se A nao e conhecida, ela pode ser achada par i no § 145. Exemplo ilustrativo 1. (4) Aebar 0 eentr6ide da area sob urn y y=senx SOLUQAO. Construindo urn retangulo elernentar, tern os (5) dA=ydx=senxdx, dM" = kdA = ly2dx =! sen 2 xdx, di'vI y = hdA = xy = fa Portanto, de (3), x= 1 l "27r, Y = 87r. Resp. o valor de X podia ser antecipado pois a reta t 7r ~ u x = Exemplo ilustrarivo 2. Na figura, a curva OPA y2 = 2 px. Achar 0 centr6ide da area OPAB, ~ urn SOLu9AO. Desenhemos urn retangulo eleY mental', como 0 da figura e marquemos 0 cen- BI----tr6ide (h, k). Entio dA = x dy, h = t x, k = y Usando (A), dMz = k dA = xy dy , dMl/ = h dA = t x 2 dy. Achando xem termos de yde y2=2 px e integrando entre os limites y=O, y=b, obtemos b3 A =6"P' Mz 2 Logo b2 = 2 pa e x = b4 = 8p' b5 Ml/= 4O p2 ' Mas x = a, y = bsatl ' s faze 3 b 3 bp , -Y ="4' L ogo -x = 20 = 2 px. .....,o+--- fo a. 0 centr6ide ~ portanto PROBLEMAS Achar 0 centr6ide de cada uma das areas lim guintes curvas. = 2 px, x = h. Re 1. y2 2. y = x 3, 3. y = x 3, y = 4 x, (Pl'imeiro quadrante). 4. x = 4 y - y2, Y = X. 5. y2 = 4 x, 2 x - 6. y = x2, X y = 2, y = 2x = O. Y = 4. + 3. 10. = y 11. y = 12. y2 13. ~ 4 x - x 2, y x 3 x, y 2 a - ax, x = x2 3 y2 - b2 = = 2 x - 3. = x. (Primeiro quadrant = 0, y = 0. (Primeiro q 1, y = 0, x = 2 a. (Primeiro 14. Achar 0 centr6ide da area iimitada pelos e = ~. Resp. x = y e a parabola yI-;; + yly 15. Achar 0 centr6ide da area limitada pel R esp. x- = 1 Y 2=4 x 2 - 3 x . " Achar 16. . . x2 ehpse ~ 1/ 2 + b2 Achar 17. e a reta centr6ide da area limitada pela p 0 y = mx. 18. e x 2 = by. 19. centr6ide da por9ao no primeir _ 4 Resp. x = r = 1. 0 Achar Resp. Achar Achar = 4 a 2 (2 a - y) e 5 centr6ide da area limitada pelas p 0 0 x= 9 1 - 2 - 2ii a I b I centr6ide , da y2 (2 a - x) = x 3 e a sua assmtota x 20. x=~ Resp. 0 0 Y= 9 2 - 1 - 2ii a a b a . area limitada = 2 a. Resp. x centr6ide da area limitada pe eixo dos xx. Resp. x = 0 21. Achar a distancia entre 0 centro do circu da area de urn setor circular de angulo igual a 2 O. Resp. 2r s 30 22. Achar a distancia entre 0 centro do drcu da area de urn segmento circular cuja corda subtc , . . I 20 centnco 19ua a R 2 esp. 3 (() _ 24. Achar 0 centr6ide da area limitada par um p = a cos 2 e. 25. p Achar = a cos3 e. Resp. 0 Distancia da origem = 1 centr6ide da area limitada par um Resp. Distancia da origem = 178. - Centroide de UIll solido de revolu~ao gravidade de um s6lido homogeneo coincide com a cen considerado como s6lido geometrico. 0 centr6ide plano de simetria que porventura tenha 0 s6lido. y Para chegar a uma definigao matematica do centr6ide de urn s6lido de revoluyao, e necessario modificar 0 que se disse no paragrafo precedente apenas nos de- --=+-++LL--"'F'J o talhes. Seja OX 0 eixo de revoluyao do s6lido. 0 centr6ide deve estar neste eixo. Seja dV urn elemento de volume, isto e, urn cilindro de revoluyao com altura ~x e raio y. ~ntao dV = 7r y2 ~x. 0 momento de volume deste Iayao ao plano passando par 0 Y e perpendicular a O (1) dM 11 = x dV = 7r X y2 ~x. o momento de volume do s6lido e, pois, achado pe damental, senda, portanto, x dado par (2) Vx=Ml/= !7rx y2 dx OA = -; = h' ou Y = h . o -;;; - .! h Rpsp Como V = l3"~r2h'~-4' -' PROBLEMAS Ache 1. 0 centr6ide de cada um dos seguintes s6l Hemiesfera. (vel' figura). Resp. x= y iT. 2. Parabol6ide de revolu9ao (vel' figura) Resp. _ X = 2 3h. A area limitada pOl' f OX e cada curva dada abaixo gira em tomo de OX. Achar 0 centr6ide do s6lido derevolu9ao gerado. = a 2, x = 2 a. 3. x2 4. 2 xy = a 2, x = 5. ay = x 2 , x = a. 6. y2 = 4 x, x = 1, x = 4. 7. x2 8. Y - y2 + y2 = 4, x ! a, x = 2 a. Resp. = _ X 0, x = 1. = a sen x, x = ! 71'. A area limitada pOl' OY e cada uma das curva tOmo de OY. Achar 0 centr6ide do s6lido de r 9. 10. 11. Y 2 = 4 ax, Y = b. = 1, Y = 0, Y 3 ay2 = x , y = a. x2 - y2 R esp. = 1. y- = Y=! tamo de OY da area no primeiro quadrante limi y = 0, x = a e a parabola y2 = 4 ax. R centr6ide do s6lido obtido pe x2 y2 tomo de OX da parte da area da elipse - 2 + - 2 = a b primeiro quadrante. 14. Achar 0 15. Achar 0 centr6ide do s6lido obtido pel tomo de OX da area no primeiro quadrante limi x2 y2 y = 0, x = 2 a e a hiperbole - 2 - - 2 = 1. a b 16. Achar 0 centr6ide do s6lido formado pe tomo de OX da area limitada pelas retas x = 0, x x2 y2 hiperbole ~ - b2 + 1 = O. 17. Achar 0 centr6ide do s6lido formado pe tOmo de OX da area limitada pelas retas y = 0, x y = sen 2 x. 18. Achar 0 centr6ide do s6lido formado pel torno de OX da area limitada pelas retas x = 0, a curva y = e". A area limitada por uma parabola, a cor dicular ao eixo da parabola e este eixo gira em to nada corda focal. Achar 0 centr6ide do s6lido ge 19. Resp. Distancia do foco = mento da corda foca ao eIXO. 179. - Pressao de urn fluido. Vamos ver c a. pressao de urn fluido sabre uma parede vertical. mos os eixos como nf! figura, com 0 eixo I E'~ dos yy sobre a superficie do fluido. D i - l ' vidamos AB em n subiritervalos e, como ~~ :' ~ na figura, construamos retangulos den-.~== tro da area. Entao a area de um retangulo (como EP) e y!1x. Se a superficie deste retangulo esta em posiQao horizontal, e sua perficie de fluido e x, entao a pressao do fluido s w x y !1;1:, A pressAo de urn fluido sob.... uma dada superffeie horiz ao p~so de uma eoluna do fluido apoianrlo-se na superlleie. [ Ucie e, pois, a base da col una. e a dietAncia que a Bepara da fluido 6 a altura da coluna. onde W = peso de uma unidade de volume do f pressao de um fluido e a mesma em todas as direQ W xy!1x sera tambem (aproximadamente) a pressao o retangulo EP quando a sua superficie esta em p Logo, a soma n L: W X iYi!1Xi i-I representa aproximadamente a pressao do fluido retangulos. A pressao sobre a area ABDC e, pois soma. Portanto, pelo teorema fundamental, lim n~ ± WXiYi!1Xi = !WXYdx. =i=l Portanto, a pressao de um fluido sobre uma su submersa, limitada POI' uma curva, 0 eixo dos xx zontais x = a e x = b e dada pela f6rmula (D) Pressao do fluido = W l b yx dx , onde 0 valor de y, em termos de x, provem da da curva. SOLU(;(AO. A equa<;iio do ci y=v9-i Logo Tomando x = 0 ex = 3 co gra<;iio nil. f6rmula (D) e notan pressiio a direita do eixo dos x x 62 ) (3 vi _9 0 x2 • x dx = [6?i (9 - 1. il) 2 Portanto a pressiio total e 2 X 558 = 1116Iibras. J3 C = Resp. A parte essencial do raciocinio acima e que a sabre uma faixa elemental' e igual (aplOximadame da area da faixa (= dA.) pela distancia desta a sup (= h) e pelo peso (= W) de uma unidade de vo isto e, dP (E) = WhdA.. Tendo isto presente, os eixos de coordenadas lhidos em qualquer posi9ao eonveniente. Exemplo ilustrativo 2. Uma comporta de uma repres urn trapezia, como mostra a figura. y nillel ddqua Achar a pressao sabre a comporta quando a superffcie da agua esta a quatro pes acima do topo da comporta. Escolhendo as eixos OX e OY como mostra a figura e considerando uma faixa elementar como a da figura, temos, uganda (E), SOLU(;(AO. ~===~J2 \ \===:+:= \ _ _ _-=08 _ r- dA = 2xdy, h=8-y, dP = W (8 - y) 2 x dy. PROBLEMAS N os problemas seguintes 0 eixo dos yy esta mente para cima e 0 dos xx sobre a superficie d cando com W 0 peso de uma unidade de volume do a pressao sabre as areas dos poligonos de vertices 1. (0,0), (3,0), (0, -6), (0,0). R 2. (0,0), (3, -6), (0, -6), (0,0). 3. (0,0), (2, - 2), (0, - 4), (- 2, - 2), (0,0). 4. Calcular a pressao sobre a metade inferi cujos semi-eixos medem duas e tres unidades, (a) maior esta sobre a superffcie do liquido, (b) quand esta sobre a superffcie. Resp. (a) 8 W 5. Um tanque de gasolina, em posiyao hor elipses. 0 eixo horizontal de cada uma destas vertical 6 pes. Calcular a pressao num dos extre quando ele esta cheio pela metade, sabendo que a libras POl' pe cubico. Resp. POI' 6. Uma parede lateral de uma cuba e um seg bola (com vertice para 0 fundo). Os extremos da p parede distam de 8 pes e a altura dela e de 16 pes. C sobre a parede quando a cuba esta cheia de um l 70 libras POI' pe cllbico. Resp. 3 Uma parede lateral de urna tina e urn triangulo retangulo isosceles cujos catetos medem 8 pes cada um. Calcular a pressao sobre a parede quando a tina esta cheia de agua. (W = 62,5) Resp. 3 771 libras. 7. V 8. Uma parede lateral de uma tina e um tri de altura 5 pes e base 5 pes. Calcular a pressao quando a tina esta cheia de agua. Resp. 1 10. Calcular a pressao sobre uma parede late do problema anterior esta cheio. 11. Uma comporta retangular de uma represa largura e 6 pes de altura. Achar (a) a pressao so quando 0 nivel da agua esta 8 pes acima do topo d qual deve ser 0 nivel da agua para que a pressao achada em (a). (W = 62,5). Resp. (a) 41250 tibras; (b 12. Mostre que a pressao sobre urna superfi produto do peso de uma unidade cubica do liquid superficie e pela distancia entre 0 centr6ide da are do liquido. 13. Um tanque cilindrico vertical de diametro 50 pes esta cheio de agua. Achar a pressao sobre Resp. teral. 180. - Trabalho. 0 trabalho realizado por u tante F que causa a urn corpo um deslocamento forc;a, e 0 produto Fd. Quando F e variavel, esta a uma integral. Consideraremos aqui dois exemplo -,--,f-------"+-+--h-:":" Y Trabalho realizad liquido de um vaso. problema de achar zado para tirar um reservat6rio que tem solido de revoluc;ao tical. E convenient dos xx coincidindo revoluc;ao e 0 dos com 0 nivel da pa reservat6rio. Consideremos urn reservat6rio como 0 da fi calcular 0 trabalho realizado quando se retira 0 liqu da figura, esta compreendido entre as cotas a e b. W7r y2 Llx, onde W = peso de uma unidade cubic trabalho realizado para levantar este cilindro de f rior do reservat6rio (atraves de uma altura x) e [0 lrabalho realizado 00 levantamenlo ~ igual ao p~so multiplicado pelo o trabalho realizado para levantar todos os c terio: do reservat6rio e a soma n L: W 7rYi 2Xi Llx i i=1 Portanto, 0 trabalho realizado para esvasiar a limite desta soma, isto e, pelo teorema fundamenta lim t W = 7rYi 2X, Llx i n-+cni=l fv. r 7ry2x dx . Tem-se, pois, que 0 trabalho realizado para e vat6rio cuja forma e a de urn s6lido de revoluyao desde a cota a ate a cota b e dado pela f6rmula Trabalho = W7r (F) I b y 2 X dx , onde 0 valor de y, emtermos de x, provem da e que gerou 0 s6lido. Exemplo ilustrativo 1. Calcular 0 trabalho realizado um reservat6rio hemisferico de profundidade igual a 10 pes. SOLU9Ao. Logo A eqllayiio do C£rculo e r+y2=100 y2 = 100 - :r?, lV = 62, e os limites de integrayiio sao x = {j e x = 10. Substituindo em (F), achamos (10 Trabalho = 6211" J0 (100 - :17) xdx = 155.00011 dw = W hdV, onde W = peso de uma unidade de volume do fluid presente, os eixos de coordenadas podem ser escolhi modo conveniente. Exemplo ilustrativo 2. Uma cisterna cOnica e tal que 0 perior mede 20 pes e Sabendo que a super ~I cisterna esta 5 pes ab perior, achar 0 trabal , esvasiar a cisterna. SOLUQAO. Tome OY como na figura. :2 dV = 1r:I? dy , h = 15 - y. o x dw A equac;ao do elemento OA e z = ~ y. = W (15 - Substituindo, dw = 1rW (15 - y) ty2dy = ~ 1rlV (15 y2 - y3)dy. Os limites sao y = 0 e y = 10, pois a agua tem 10 pes Integrando, w = t JrW 1 10 (15 y2 - y3) dy = 216.421 libras por Trabalho realizado por um gas em expansiio. Q num cilindro se expande contra um pistao e passa Vo pes cubicos para 0 volume de VI pes cubicos, 0 tra liza empurrando 0 pistao e expresso, em libras pOl' p (G) onde p Trabalho = ", 1 v. p dv , = pressao em libras POl' pe quadrado. DEMONSTRAC;Xo.Suponhamos que 0 volume cres Elemento de trabalho realizado = pc dv e A formula (G) resulta daqui pelo teorema fundame (G), a rela<;ao entre p e v durante a expansao deve Esta relac;ao tem a forma pvn (1) = constante, onde n e uma constante. Numa expansao isotermica, isto e, numa expa temperatura permanece constante, tem-se n = 1 e a volume e: pv = PcVo = (2) PIVI. No grafico de (1) (diagrama pressao-volume), co abscissas e pressoes como ordenadas, a area sob mericamente, 0 trabalho realizado, em virtude da f6r expansao isotermica, 0 grafico e uma hiperbole tem-se a relac;ao (2). PROBLEMAS 1. Uma cisterna cilindrica vertical, de diame fundidade 20 pes, esta cheia de agua (W = 62,5). balho necessario para tirar a agua da cisterna. Resp. 800 000 7r libras pO 2. calcular 0 Se a cisterna do problema anterior esta ch trabalho para tirar a agua. 3. Uma cisterna conica cujo bordo tem.20 e cuja profundidade tern 20 pes esta cheia de ligua ( cular 0 trabalho necessario para alyar a agua a 15 pes do nivel do bordo da cisterna. Resp. 2500 000 7r 3 libr 5. Urn tanque hemisferico de diametro 20 p gasolina pesando 60 libras pOl' pe cubico. A gaso 10 pes acima do bordo do tanque pOl' uma bomba e, a bomba pode fazer um trabalho de 16 500 li~ras nuto). Quanto tempo levara a bomba para esv 6. Achar 0 trabalho para tirar a agua de semi-eliptico (W = 62). 0 bordo e urn circulo de e a profundidade e de 5 pes. 0 reservatorio esta Resp. 3 487! 7r 7. Um reservatorio canico de 12 pes de pr cheio de urn Hquido que pesa 80 libras pOl' pe cubi reservatorio e urn clrculo de 8 pes de diametro. Ca necessario para alc;ar 0 Hquido ao bordo do reserva Resp. 15360 7r libras PO Urn tanque e hemisferico na parte inferio parte superior. A altura do cilindro e 10 pes, os do cilindro como da esfera medem 24 pes. Achar zado para tirar a agua do tanque, sabendo que desta esta a dois pes do bordo do tanque. 8. Urn balde de peso M e levantado do fun de h pes de profundidade. 0 peso da corda presa a qual se 0 levanta pesa m libras POI' pe. Achar 0 tra 9. 10. Uma quantidade de ar com volume ini cubicos e sob a pressao de 15 libras pOl' polegada q primida ate 0 limite de 80 libras pOl' polegada qu minar 0 volume no limite e 0 trabalho realizado n vale a lei isotermica, isto e, pv = constante. Resp. 37,5 pes cub.; 723000 libras pO 11. Determine 0 volume final e 0 trabalho r blp-ma anterior se subsiste a lei adiabatica, isto e, n = 1,4. Resp. 60 pes cub.; 648000 libras Resolva 13. problema 12 se a lei e pv n 0 = C, 104,5 libras pOl' pol. quad.; 801000 li Resp. Uma quantidade de gas com volume in cubicos e pressao de 60 libras pOl' polegada quadr ate a pressao de 30 libras POl' polegada quadrada volume final e 0 trabalho realizado pelo gas se a le Resp. 32 pes cub.; 95800 libra 14. Resolva 15. problema 14 se a lei e pv n = C, t 0 28,5 pes Cllbicos; 75 606 libras Resp. 16. Uma quantidade de 301' com volume inic cubicos e pressao de 15 libras pOl' polegada quadrad ate 30 pes cubicos. Determinar a pressao final e 0 zado se a lei e pv = C. Resolver 17. 0 problema 16 se a lei e pv n = C 18. Um gas expande-se de uma pressao inic pOl' polegada quadrada e volume de 2,5 pes cubicos pes cubicos: Achar 0 trabalho realizado se a lei e n = 1,0646. Resolva 0 problema 18 se n = 1,131. 19. Determine a atrayao exercida POI' uma homogenea, de espessura uniforme, de comprimento sobre um ponto material P de massa m situado a u de uma das extremidades da vara e sabre a reta de 20. SOLU9AO. Suponhamos a yam divida em porc;5es igua comprimento dx (elemento de comprimento). Sendo ~ = massa de uma unidade de comprimento d Ai dx = massa de cada elemento de comprimen temos A lei de Newton para medir a atrac;ao entre duas mass A F orc;a d t e a rac;ao = produto das massas . . (dlsMnCla entre as massas)2 a qual e, pois, um elemento da jorr;a de atrar;iio pedida. Sendo partfcula em Pea vara 0 limite da soma de todos os tais el didos entre x = 0 e x = I, temos Forfia de atrafiao = I 0 I-~-mdx (x + a)2 M = (Z -p-)0 dx + -(x-+-a-)-=2- Detelmine a atrac;ao no exemplo acima se mediatriz da vara e a uma distancia a dela. 21. Resp. 2m a vi 4 22. Urn vaso tern a forma de urn cone circ cheio de agua. Sendo h a altura do vaso e r 0 rai que tempo ele se esvazia atraves de urn orificio de vertice? SOLUgAO. Despresando toda resistencia de atrito, sabe-s de escoamento atraves de um oriffcio e a mesma que a adqu caindo livremente de uma altura igual agua. Portanto, se x indica a profu v=~. " -_ _.L-~ Indiquemos por dQ 0 volume de no tempo dt e por dx a corresponde da agua. 0 volume de agua escoado numa unidade de tempo e a~) pais e a medida de um cilindro reto cuja base tem area fl (= v' 2 gx). (1) Portanto, no tempo dt dQ=a ~t. Indicando por S a area da superficie da agua quando a temos, pem geometria, 19ualando (1) e (2) e tirando dt, Portanto, Resp 181. - Valor nlt~dio de uma fun!;ao. Valo grupo de n numeros Yl, Y2, ... , Yn e a media aritmet ros, ou seja, e 0 nu.mero 1 Y = -n (Yl (1) o valor + Y2 + ... medio de uma fun9ao (2) Y= 1> (x) , continua num intervalo [a, b], define-se do modo se [a, b] num numero qua.lquer n de partes iguais e con med.io das ordenadas da funQao nos pontos de di do-se com y' este valor media, com Yl ,Yz , ... , Yn a pontos de divisao e com D.x o.comprimento de valo, temos , (3) Y y1D.x = + y 2D.x + ... + Yn .6.x b -a ' pois n D.x = b - a. Pois bem, 0 limite de y' quan ma-se valor media de 1> (~ no intervalo [a, b]. Pelo mental, temos portanto (H) Valor medio de 1> (x) de x = a a x= b ) J l Desenhemos 0 graJico de Y = 1> (x). 0 valor em [a, b] e uma ordenada da curva (CR da figura) do retangulo ABML seja igual a area ABQRP sob Valor medio = y (1) Exemplo ilustrativo. clrculo :r? (4) + y2 = Dado = y 0 r2 , achar 0 valor medio das ordenadas do primeiro quadrante (a) quando y e expresso como fun<;:iio da abscissa Xi --t-----A1'~l.-- (b) quando y e expresso como fun<;:iio do angulo (} = MOP. SOLU9AO. (a) Como y=vr2 o numerador em (I) e l x2, r vr2 - :r? dx = t 7l"r2 • Logo Y = t7r1' = 0,785 (b) Como y = rsen(}, e as limites sao (} = 0 = a, (} = dor em (l) e !1r 1 T 0·. sen (}d(} = r. Como b - a = ! 7r, temos y = ~ 7r = Como se ve, temos valores diferentes para y. 0 valor m da variavel independente em rela<;ao ii. qual se acha 0 valor Em virtude do que se viu no exemplo acima, i valor medio de uma fun9ao depende da variavel in lhida, escreveremos a formula (I) sob a forma (5) para indicar expllcitamente que a variavel em re calcula 0 valor medio de y e x. Assim, no exemplo ilustrativo, temos fix = 0,785 2. Achar 0 valor medio de y2 = 4 x desde R 3. Achar 0 valor medio das abscissas de y2 (4,4), quando distribuidas uniformemente ao longo de 4. Achar 0 valor medio de sen x de x=O a X Aehar 0 valor medio de sen 2 x entre x = 0 valor medio e usado frequentemente na teoria das nadus). 5. 6. Se Hma particula e languda, num vacuo, uma velocidade inicial de Vo pes pOl' segundo, a velo t segundos e (1) v = Vo + gt. A velocidade depois de cair spes (2) v = vvo 2 e + 2gs Achar 0 valor medio de v (a) durante os 5 primeiros segundos, partindo Resp. 80 pe (b) durante os 5 primeiros segundos, partindo cidade inicial de 36 pes pOl' segundo; Resp. 116 pes p c) Cd) durante os 2! primeiros segundos, partilldo Resp. 40 pes pO durante os primeiros 100 pes, partindo do Resp. (e) 53t pes pO durante os primeiros 100 pes, partindo com inicial de 60 pes pOl' segundo. Resp. 81i- pes pO 7. No movimento harmonico simples _s = a valor medio da velocidade durante urn quarto de ur rela<;ao ao tempo, (b) em rela<;ao a distancia. mento a. Prove que (a) a area media do retangulo os dois segmentos e ta 2 ; (b) 0 valor medio da som eonstruidos sobre os dois segmentos e ~ a 2 • 10. Se urn ponto move-se com aeelerac;ao eo em relac;ao ao tempo do quadrado da velocidade e onde Vo e a velocidade inieial e VI a final. 11. Mostre que 0 pereurso horizontal medio cula lanc;ada com uma dada veloeidade e urn angu arbitrario e 0,6366 do pereurso horizontal maximo Sugestfio. Tome ex = 0 na formula do Problema 35, § As f6rmulas x. (6) = Y. f = yd fdS onde (x, y) e urn ponto qualquer da eurva e ds 0 e definem 0 eentr6ide do areo. Elas dao respeetivam medios das abscissas e das ordenadas dos pontos d distribuidos uniformemente ao longo dela. (Confro 12. Mostre que a area lateral da superfieie g lUQao de um area de eurva plana em torno de uma r nao eortando 0 area e igual ao eompl'imento do are ferencia do cireulo deserito pelo eentr6ide do area de Pappus, eonfronte § 250). Sugestfio: 13. Use (L) § 164. Ache 0 (4,4). 14. Achar 0 15. Aehar 0 eentr6ide do areo da parabola y2 Resp. x = 1,64, eentr6ide de urn area do eireulo p a Resp. i = eentr6ide da eardi6ide p = a (l Resp. x- = 17. Achar, pelo teorema de Pappus, a superfici pela revolugao do circulo (x - b)2 + y2 = a 2 (b > eixo dos yy. Urn retangulo gira em torno de urn eixo plano e e perpendicular a uma diagonal num dos Achar a area da superficie gerada. 18. OUfROS PROBLEMAS Uma area e limitada pelas linhas y = "de. R esp. x- = O e x =. 3 A ch ar 0 cen t 1'01 1. Y = 2. 2y A abscissa do centr6ide da area limit = x 2 e uma certa linha passando pela origem e 1 nada do centr6ide. R 3. Achar 0 centr6ide da area limitada pOl' o eixo dos xx e x = 1. Estudar 0 lugar geometric quando n varia. _ n+l n Resp. x = n + 2' 'Ii = 2 (2 4. Achar a equagao do lugar geometrico area limitada pelo eixo dos xx e a parabola y =' e Resp. varia. Dadas a parabola x 2 = 2 py e uma o y = mx + b encontrando a parabola nos pontos A medio C de AB traga-se uma paralela ao eixo da cu a parabola em D. Prove que (a) a tangente a p paralela a reta AB; (b) 0 centr6ide da area ACB reta CD. 5. Seja P um ponto da parabola y = x 2 e se da area limitada pela parabola, 0 eixo dos xx e a Achar a posigao de P para que 0 angulo OPC seja m Resp. Orde 7. Uma cisterna tern a forma de urn s6lido g luyao, em tOrno do seu eixo vertical, de urn segm cuja corda tern 8 pes de comprimento e e perpend 6. 8. Uma cisterna hemisferica de raio r esta Dois homens A e B devem al<jar a agua dela, fazend tade do trabalho. Se A come<ja primeiro, qual sera d da agua quando ele terminou a parte que Ihe toe "2 = 1- -12 - y2 r 9. ~m tanque tem a forma de um cone cir do tanque e 0 vertice do cone. Ele esta cheio de ag por dais homen , cada urn fazendo metade do tra minar sna parte 0 primeiro homem, a razao entre da agua e a profundidade inicial era igual a z. Mostr minada pela equar;ao 6 Z4 - 8 Z3 + 1 = O. Calcule com duas decimais. Re Resp . .!!:.... 10. Um pO<jo tern 100 pes de profundidade. capacidade de 2 pes cubicos e pesando 3 libras e c fundo do poc;o e depoi-' alc;ado ate 0 bordo a razao d gundo. De 'prezando 0 peso da corda que serve pa achar 0 trabalho realizado na operac;ao, sabendo-se q em cada segundo 0,01 pes cubicos de agua .(Um pe pesa 62,4 libras). Rcsp. 12 156 libras por pe. 11. A area OAB (ver figura) e dividida em y OPQ por retas tiradas de O. B area A e os momentos de ar dados por A = ifexy' - y)dx, 111",= + My= i f.t (xy' - x (0 centr6ide de urn triangulo mediana a dois terc;os da distancia do vertice ao la 12. Ac1).ar 0 centr6ide do setor hiperb61ico lim bole eq II i l:i tera x = a sec y = a tg 6 e os raios pontos (a, 0) e (x, V). 2 tg 2 Resp. i =-:)a In (sec + tg tJ) , 'Ii = 3 a In ( u e, e e SERIES 182. - Defini~oes. Uma sucesslio e um con ros, bem ordenados pOl' uma l'egra fixa. 1, 4, 9, 16, 25, POl' exemplo, - e i) sao sucess5es. Scrie e a sucessao formada pelas somas sucess de uma sucessao. 0 simbolo indicando a soma dos sucessao repl'esenta a serie que provem tin. Sllcess sucess5es acima obtemos as series 1 + 4 + 9 + 16 + '25, + x x+2 2 1- e Uma sllcessao ou sel'ie diz-se jinila quando tem tado de termos. Se 0 numero de termos e ilimitad serie diz-se inJinita. Termn geral ou n-egcsimo termo de uma sucessiI tel'mo que, segundo a regra fixa, ocupa a ordem n. Exemp10 ilustrativo 1. No primeiro exemplo dado aci ou n-egesimo termo, e n 2 . 0 primeiro termo e obtido fazend terrno fazendo n = 10, etc. Exemplo ilustrativo 2. mo, exceto para n = 1, e No segundo exernplo dado aeim (- x)n-I n _ 1 427 Numeros fatoriais. Uma expressao que aparece no estudo das series e 0 produto de inteiros sucess pOl' 1. Assim, 1 X 2 X 3 X 4 X 5 e chamado de e e indicado pOl' I~ ou 5! In = Em geral, 1 X 2 X 3 X . .. X (n diz-se lin fatorial". Esta subentendido que n e urn A expressao In nao tern sentido se n nao e inteiro 183. - Serie geoIIletrica. termos (1) Sn Para a selie g = a + ar + ar 2 + ... + arn-l, mostra-se em algebra elemental' que Sn = (2) a (1 - rn) 1- r a (r Sn = -'-- ou r sendo a primeira forma geralmente usada se Ir I < selr/>1. Se Ir I < 1, entao r n decresce em valor absoluto lim (rn ) = O. e n-->= Pela formula (2) vemos pOl-tanto que ( § 16) (3) limSn = - 1 a . . .n~CC1 - r Logo, se I r I < 1, a soma S" de uma serie geo urn limite quando 0 nlirnero n de termos da serie c mente. Diz-se, neste caso, que a serie e convergent (4) a -" a +a- +a- a a ,,, . Se n e par, a soma Sn e zero; se n e impar, a som quando n cresce indefinidamente, a soma Sn nao limite. Uma tal serie diz-se oscilante. Exemplo ilustrativo. Consideremos a serie geometrica, a=l, r=!, (5) 1 1 1 =I+2'+"4+ 8n + 2n- 1 • Ac4amos, por (2), que 1 __1_ Sn = _--:2=-n_ = 2 _ '! 1 - 2n - 1 • Entao, (6) lim Sn ..-.", resultado que concorda com (3) para a = = 2, 1, T !. = E interessante examinar (5) geometricamente. 0 Para isto, marquemos va- I lores sucessivos de 8" sobre uma reta, como na figura. n 1 l.s~ 1 2 1 I..!. 2 3 11. 4 4 etc. 1 !-.8 et c. Cada ponto assim obtido e ponto medio do segmento com ponto precedente e 0 ponto 2. Logo, (6) e 6bvia.. PROBLEMAS Em cada uma das seguintes series (a) descub mar;ao; (b) escreva mais tres termos; (c) ache 0 n (termo geral). 1. 2. 2 + 4 + 8 + 16 + Resp. n-eges (- 5. v' X + _ X _ + -2- 6. a2 2·4 a3 a4 X.y; 2.4.6 + 2 x 2·4·6·8 +. as ---+---+ 3 5 7 9 Escreva os quatro primeiros termos da serie termo e 0 dado abaixo. 7. 2 n- 1 Resp. v'n' 8. n+2 2n - 1 9. 3n - 1 • n 5 6 2 3 4 1+-+-+3 9 2 x2 X 1+--+--=+ v'2 v'3 v'n' (_ l)n- 1x 2n- 1 II. 4 3+ -+-+3 5 7 xn - 1 10. 24 1+ -=+-=+ v'2 v'3 x3 xS X I! I! I x-_·+--- /2n-1 (x-a)n-l 12. I~ 184. - Series convergentes e divergentes. A soma e uma func;3.o de n. Fazendo 0 nllmero de termo indefinidamente, dais casas podem-se dar. CASO (1) 1. S" tende a urn limite, digamos u, isto lim Sn = U. n-+a> Neste caso diz-se que a serie e convergente e que c valor u, ou ainda que tem 0 valor U 1+2+:3+4+5+ 1-1+1-1+ .... Como se clisse acima, para uma serie convergente e 0 numero u (algumas vezes chamado soma da se (1). Uma serie nao convergente nao tern soma. N as apJicagoes das series, as convergentes sao importancia. POl' isto, e essencial tel' meios para serie no que concerne a convergencia ou nao. 185. - Teorem.as gerais. Antes de dar m para 0 exame de uma serie no que conccrne a co mamas a atengao para as seguintes teoremas, cuja sao omitidas. Teore01a I. 8e 8 n e uma varidvel que cresce cresce, mas nao e nunca maioi' que um numero fixo n tende ao infinito, 8 n tende a um limite u que nao A. figura ilustra a afirmag3.o. Os pontos det valores 8 1 , 82, 8 3 , etc., aproximam-se do ponto v, lim 8 n = u, n-to> cue nao maior que A. Exemplo ilustrativo. Mostre que a serie 1 +-+ (I) I~ c convergen!e. SOLU<;AO. (2) Desprezemos primeiro termo e 1 Sn = Con~idercmos (3) 0 1 1 e~crevamo~ + ~ + ~2:3 + ... + 1 a variavel Sn = 1 Sn 1 .2 .3 definida pOl' 1 1 + 2 + ~ + ... + 2 1 n - 1' valor e menor que 3. Veremos mais tarde que 0 valor de (1) base dos logaritmos naturais (§ 61). ea cOlliltante TeoreIna II Se Sn e uma varidvel que descrece n cresce, mas nao e nunca menor que um numero jixo n tende ao injinito, Sn tende a um limite que nao e me Consideremos uma serie convergente Sn = U 1 para a q1 1al lim Sn = + U2 + a + ... + Un + , U U. Marquemos sobre uma reta os pontos determin lores S1, S2, Sa, etc. Quando n cresce, estes ponto do ponto determinado pOI' U, acumulando-se em to sulta, pois, evidentemente, (A) limun=O, isto e, numa serie convergente, os termos da serie de zero no limite. POI' outro lado, se 0 termo geral (ou n-egesimo serie nao tende a zero quando n tende ao infinito, a serie nao e convergente. Assim, (A) e condiyao uma serie ser convergente; contudo (A) nao e su mesmo que 0 termo geral tenda a zero nao podem a serie seja convergente. POI' exemplo, no caso da tem08 n---+-co n-+O) (~)=O, nao de uma serie. 186. - Regra do confronto. Em muitos ca minar se uma serie e ou nao convergente confron termo com outra serie que sabemos ser convergen CONFRONTO PARA A CONVERG~NCIA. SEJA (1) uma serie de termos positivos que se quer examinar a convergencia. Se se conhece uma serie conver positivos (2) cujos termos sao sempre nao menores que os corres da serie (1) que estamos examinando, entao (1) e seu valor nao excede 0 da serie (2). DEMONSTRAl;AO. Seja e Sn = Sn = + U2 + U 3 + at + a2 + a + Ut 3 lim Sn = A e suponhamos que n-+a> Entao, como resulta Sn < A. Logo, pelo Teorema I, § 185, Sn te que e nao maior do que A, isto e, a serie (1) e conver e nao maior do que A . .Exemplo ilustrativo 1. Examinar 0 comportamento da (3) SOLU9AO. (4) Confrontemos com a aerie geomHrica Seja REGRA PARA A DIVERGtNCIA. (5) Ul + U~ + Ua + uma. serie de termos positivos que sao nunea menore pondentes termos de uma serie de termos positivos (6) que sabemos ser divergente. Entao, (5) e divergen Exemplo ilustrativo 2. Mostrar que a serie harm6nica. (7) e divergente. SOLu9AO. Ponhamos a (7) sob a forma abaixo e a compa (9). Os colchetes sao introduzidos para ajudar (8) 0 confronto. I [I-+-IJ + [I-+-+-+I I IJ 1+-+ 2345678 + [~ + (9) ~ + ~ + [~ + ~J + [~ + ~ + ~ + ~ 22448888 + LI6+ Observamos 0 seguinte: os termos de (8) sao nao menore pdndentes termos de (9). Mas (9) e divergente, pois a so cada colchete e ! e por isto Sn cresce indefinidamente quan nidamente. Logo, (8) e divergente. Exemplo ilustrativQ 3. Examinar 0 comportamento da _1 1_+_1_ I + V2 + V3 V4 + .... SOLU9AO. Esta serie e divergente pois os Beus termo termos correspondentes da Serif harm6nica (7), que e diverg e util na aplicagao da regra do confronto. TEOREMA. A serie "p" e convergente quando gente em caso contrdrio. DEMONSTRAQAo.Escrevamos (10) como abaix temos com a serie escrita abaixo dela. Os colch pam ajudar no confronto. (1l) 1 + [ 2p1 + 3p1J + [1 4p + 5P1 + 6p1 + 7p1J + [~+ .. 8p Para p > 1, os termos de (12) nao sao menore pondentes termos de (1l). Tvlas, em (12), as soma colchetes sao e aSSlm por diante. Logo, para examinar (12) no convergencia, podemos considerar a serie (13) 1 1+-+ 2P-l ( 1 )2 + (1 )3 + 2p-l 2P-l partir do primeiro, maiores que os correspondentes nica e portanto (10) e divergente neste caso. EXEMPO ILUSTRA'tIVO 2 4. 4 Mostre que a serie 6 (14) 2.3.4 +~+ 4·5·6 + ... + 2n (n+1)(n+2) e convergente. 2n 1 Em (14), Un < - 3 , ou 1 - Un < -2; logo, ! U 2 n n termo geral da Eerie "p" quando p = 2. Portanto, a serie e e a metade do termo correspondente de (14) e convergente tambem convergente. SOLUl;AO. PROBLEMAS Examine 1. 2. 3. 4. i. comportamento de cada uma das 0 1 1 1 1 -+ -=+ ---=+ ... --=+ 3 3 1 vi 2 vi 3 V n3 1 1 1 1 1'+ y2 + Y3+ ... .yr; + 2 2 2 2 -1 + + -33+ ... nn -+ ... 22 333 - + - + - + ... 1 . 2 2· 3 3· 4 4 8 12 7. 3 n (n + 1) + .... 2:3+~+U+ + ... 6. Res 3 2 . 3 4n (n + 1) (n + 2) + 5 7 4+3.4.5+4 5.5+ 2n + 1 + ... (n + 1) (n + 2) (n + 3) + ... 1 1 1 1 - + - + - + ... - + 5 10 15 5n 10. 11. 13. 1 2. 3 . 2 + 2 3 2· 3 . 4 + 2 . 4 . 5 + +... 2 (n + 1)n (n + 2) + 14. 2 15. 9 22 23 24 + 28 + 65 + 126+ 18. 187. - Regra de D' AIexnbert. 1 1 2+'6+1 Na serie ge a + ar + ar 2 + . . . + ar" + arMl + . a razao entre dois termos consecutivos ar,,+l ear" Sabemos que a serie e convergente quando I gente quando Ir I ~ 1. Pais bern, uma regra pa e valida para qualquer serie sera explicada a segui Seja Teorexna. (1) Ul + U2 + U3 + ... + u" + U"+l + . uma serie de termos positivos. Consideremos os te gerais u" e Un+! e formemos a razao entao: I. Quando p < 1, a sbie II. Quando p > 1, a sbie e convergente. e divergente. III. Quando p = 1, nwa se pode dizer. DEMONSTRAQAO. I. Quando p < 1. Pela def (§ 14), podemos escolher n de tal forma grande, U,,+l - que quand 0 n > _ m a razao - dif'Ira d e p d e tao u" se queira e, portanto, seja menor que uma frayao pois, e assim sucessivamente. Consequentemente, depoi cada termo da serie (1) e menor que 0 correspondent geometrica (2) Mas, como r < 1, a serie (2), e, portanto, tam e convergente ( § 186). II. Quando p > 1 (ou p = ClO). Seguindo a m raciocinio que a anterior, pade-se mostrar que a se gente. III. Quando p = 1, a serie pode ser eonvergent isto e, neste caso a regra da razao falha. Realmen a serie "p", + 1 nP + 1 (n + l)p I A razao u p-ortanto lim ,,--->~ n 1 + e un (U + 1) n Un ( n n+l )P = (1 - n + 1 )P, l' = lim n--->~ (1 - n_l_)P + 1 = (l)p quand p::::; 1, a serie diverge. Ve-se assim que p pode ser 1 tanto para series co para divergentes. Ha outros meios a se aplicar no p = 1, mas 0 estudo deles esta aMm do objeto des Nao basta para a convergencia que a razao e 0 anterior Un seja menor que 1 para todos o requer-se que 0 limite desta razao seja menor que 1 Un+! ~'h _Un+l na st:ne armonlCa, a razao -- e sempre menor q A' Un razao, contudo, e igual a 1. o abandono de urn grupo de termos entre os p serie altera 0 valor dela mas nao a existencia do li 188. - Serie alternada. :E:ste e 0 nome da cujos termos sa.o alternadamente positivos e negativ TeoreIna. e uma que 0 Se U1 - U2 + U3 - U4 + .... serie alternada na qual cada termo e menor, e precedente e se lim = 0, 'Un n-->'" entao a serie e convergente. DEMONSTRA<{AO. Quando nepal', Sn pode ser maneiras (1) S" = (UI - (2) Sn = UI - u~) (U2 - + (U3 U3) - - u.j) + ... + (U ... - (u n - 2 - U Cada expressao entre parentesis e positiva; cresce tomando apenas valores pares, (1) mostra (2) que S" e sempre menor que U1. Portanto, pelo te Sn tende a urn limite l. Mas Sn+1 tambem tende a es 8 n+l = S" + Un+l e lim Un+l = O. Logo, quando n l--.!.+-.!.-~+ ... 234 SOLUQAO. Cada termo e menor, em valor absoluto, q e converg Un = lIn tende a zero quando n--> co; logo, a serie Uma consequencia importante do teorema acim o e:rro que se comete desprezando as termos que excede, em valor absoluto, a valor absoluto do te:rmo U Assim, a soma de 10 termos no exemplo aci valor da serie difere deste valor de menos que urn 189. - Convergencia absoluta. Uma serie mente ou incondicionalmente convergente quando a com os valores absolutos dos termos da dada serie Series convergentes mas nao absolutamente conver candicionalmente convergentes. POl' exemplo, a serie 1 - - 1 22 1 1 1 + -3 3 - -44 + -56 e absolutamente convergente pois a serie (3), § 18.6 A serie alternada 111 1 1--+---+-_··· 2 345 e condicionalmente convergente, pois a serie harmon Uma serie com alguns te:rmos positivos e alguns n gente se a serie formada com as valores absolutos dos vergente. A demonstrac;ao deste teorema e omitida. 190. - Sumario. Admitindo que a regra § 187, subsiste sem fazer restric;oes sobre os sinais demos resumir nossos resultados nas seguintes DIRETRIZES GERAIS PARA 0 EXAME DO COM UMA SERlE Ul + U2 + u + U4 + ... + un + Un+l + 3 enta~ a serie e convergente. Se a serie nao esta nas condir;oes acima, formamo e a seguir calculamos 0 limite abai."Co: lim n--'C:O I. Quando II. Quando III. Quando (Un+!) Un = p. Ip I < 1, a serie e absolutamente c Ip I > 1, a serie e divergente. Ip I = 1, nada se pode dizer. Conf a serie com alguma que sabemos ser convergente, como a + ar + ar + ar + ... (1' < 1) (serie ge ;p + ~ + " . ; (p > 1) 2 1 +~+ 3 (serie ou entao com alguma que sabemos ser divergente, com (serie harmo (p Exemplo ilustrativo 1. SOLU~AO. Aqui Examinar 0 < 1) comportamento da 1 Un=!n-l' 1 Un+l Un + 1 /n - 1 1 --=-,-=--. Un ~ n p=lim n---+co e a serie e convergente. (serie ..!:..=o, n = !it . SOLU9AO. Aqui Un +1 In + 1 = lQn+i . p=lim n+l = co, n-+CD 10 e a s~rie ~ divergente. Exemplo ilustrativo 3. Examinar comportamento da 0 111 ~+~+5:ll+" SOLUc;lo. Aqui Un +1 Un = ~ = 1 (2 n - 1) 2 n (2 n 1) (2 n 2) + + 4 n2 _ lim p Un (2 n - 1) 2 n ' -n-+CD 4 n2 - .. +1 = 4 n2 = 4 n2 2n - (2 2n +~n + _ 1 +6n +2 - , pela regra do § 18. Logo, a regra de D'Alembert falha. Mas, confrontando a dada s~rie com a s~rie "p", quando p vemos que ela e convergente, pois seus termos sao menores dentes da serie "p", a qual vimos que ~ convergente. EXERCtCIOS Examine 1. 0 comportamento de cada uma das ~+2(~r+3(:r+4(~r+··· Resp. 2. 5. 1 1. 3 1· 3· 5 1· 3 . 5 .. (2n - 1) 1 + ~ + 1 . 4· 7 + 1 . 4· 7· .. (3 n - 2) 6. 1 1·2 1 ·2·3 1 ·2· 3·4 1 + ~+ 1. 3.5 + 1.3 . 5 .7+ 7. 5 52 53 54 1+ 12+ 13+ 14+ 8. 1.. + 9 9. 12 + 13 + 14 + 92 93 94 1357 111 3+3 2+3 3+3 4 + .... II. 0+5.:3 2+6 212 2213 2314 --= + --= + -= + 5 10 17 10. 1+ 11. 1 1·3 1·3·5 -+-+ + 3 3. 6 3 4 5 .. '. 12. - + -=- + 5 i)2 53 1·3·5·7 3· 6 . 9 . 12 3· 6 . 9 +". 191. - Series de potencias. Serie de potenci e uma serie do tipo vel, digamos x, (1) onde 0.0, 0.1, 0.2, •.. sao numeros independentes d entes de x sao numeros inteiros positivos e se suc crescente. As series de potencias sao de importa no estudo do calculo. Uma serie de potencias em x, pode ser converg os valores de x, para nenhum valor de x, exceto ser convergente para alguns valores de x diferente gente para outros valores. Vamos examinar (1) so para tais que lim ( n-+co 0 Q,n+! ) an caso em que os = L, Un+l an+lXn+l Q'n+l - - = - - -n = - - x . Un anx an Logo, para todo valor fixo de x, p=rrn 1· n~oo (a- x n +1 (a n+1) -- l' =XIIll ) ~ n~m =XL an Temos dois casos: I. Se L pois p = O. = 0, a serie (1) converge para todos II. Se L nao e zero, a serie converge quando xL em valor absoluto, que 1, isto e, quando x esta no 1 1 TLi <x< TLj' e diverge para todo valor de x fora deste intervalo o intervalo em questao chama-se intervalo de serie. Nos extremos a serie pode convergir ou na urn deles ser examinado separadamente. Dada um tencias e feita a razao entre 0 termo geral e ante de convergencia e, pois, determinado pela regra do ° Exemplo ilustrativo 1. (2) SOLU9AO. Achar x - 0 x2 intervalo de converge x3 22 + 32 - x' 42 + .... A razao e n este caso Ora, . n2 lim ( )2 = n +1 n-+a> pelo § 18. Portanto p = - x e a serie converge quando x e, menor que 1 e diverge quando e, em valor absoluto, maior a qual e convergente (confronta-se com a serie "p" com p Fazendo x = 1 em (2), obtemos que e uma serie alternada convergente. A serie do exemplo acima tern [-- I, 1] como intervalo de c pode tambem escrever-se - 1 .::; x S 1 ou indicado grafica x::.:-------'!"1---l:----~1---Exemplo ilustrativo 2. SOLU<;XO. Omitindo Determinar 0 0 intervalo de conve primeiro tllrmo, temos Un+l 12 n • 1 - = ---=x- = xUn 12 n+2 (2 n + 1) (2 n + 2) ? Ora, n~'" (2 n + 1)\2 n + 2) = O. Logo, a serie converge pa EXERCtCIOS Para que valores da variavel sao convergentes as series seguintes: 1. 1 +X+X 2 +X 3+.. 2. X-2'+3-'4+" . . Resp. -1 <x~1. X+X 4+X 9+X I6 + ... Resp. -l<x<I: 3. x2 x3 , Representa90 intervalos x4 Resp. -l<x<1. ~ -1 @ -1 ~ -1 .. Os pontos extremos que nlio estiio inclufdos nos intervalos de con trac:i:dos. em torno de ai. ()2 6 6 1--+ --+ 12 14 16 ... . 6 4 6. 7. ¢_ ¢3 ~ 8. + ¢5 _ ~ 1 x3 Resp. Todos os -" ¢7 + ... Resp Todos os va-lores de ¢. -c l2- . 1· 3 x 5 . 1· 3 . 5 x 7 x+-·-+-·-+--·-+ .. · . 2 3 2·4 5 2·4·6 7 Resp. _ -1 - 1 ;;i x ;;i l. 9. x + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + ... 10. 1 - x x2 + 22 - - valores de e. x3 32 Resp + .... Todo x2 1·3x 4 1·3·5:c 6 13.1+2.22+2.4.24+2.4.6.26+ .... X x2 x3 15. 1+ -;;+ 2a 2 + 3a3 + .... (a> 0). Resp Todo 1 2x 3 x2 4 x3 17. 3+2.32+22.33+23.34+ 18. x + 4 x 2 + 9 x 3 + 16 x 4 + . . x 2 x2 3 x3 4 x4 2 19. f2+2.2.3+2 .3.4+2 3 .4.5+ .. ·· 1 20. X 2 + 3 t- x2 4 x3 + 5 + .. '. x 22. 1 -10 + 12 x 10 Serie binolllial. 192. - (1) + mx + 1 + onde m Esta importante ser 1) m (m - 1.2 2 x + m (m - 1) (m - 2 1.2.3 m (m - 1) (m - 2) ... (m - n In + 1) e uma constante. m e inteiro positivo, xn + Se (1) e uma serie de m todos os termos seguindo 0 que contem x m tern f numerador e portanto sao nulos. Neste caso, (1) e tido pela elevaC;ao de 1 + x a potencia m. Se m n sitivo, a serie contem infinitos termos. ° Examinemos (1) no que concerne Un e Un+! Logo, Como = a convergen + 2) m (m - 1) (m - 2) ... (m - n 1·2·3 ... (n - 1) m (m - 1) (m - 2) ... (m - n 2 1· 2·3 ... (n - 1) n = lI' n +l Un lim n-+CD = + m- nn+ 1 x= (m +n 1 _ 1) (m +n 1- 1) - 1, vemos que e a serie e convergente para x menor que 1, em v divergente para x maior que 1, em valor absoluto. (2) (1 + x)m = 1 + mx + x2 + 1.2 Se m e inteiro positivo, a serie e finita e igual tam para todos os valores de x. A igualdade (2) exprime 0 teorema binomial espe tambem escrever (a (3) + b)m = am (1 + x)m, se X b a = -. Desse modo, 0 primeiro membro de (3) pode t presso como serie de potencias. Damos abaixo exemplos de ca.lculos aproximado nomial. Exemplo ilustrativo. nomial. SOLUc;XO. entao Achar V630 aproximadamente, u 0 quadrado perfeito mais proximo de 630 e 1 V630 V625 = +5 = 25 (1 !; Escrevamos agora a (2) com m = + 1 ~ 5)"2 temos 1 (1 + x)"2 = 1 + 1.2 x _1.8 x2 + _1_:If 16 1 Neste exemplo, x = 125= 0,008. _9_ 128 z4 + Logo, 1 (1 + _1_)2 = 1 + 0,004 125 0,000008 + 0,00000003 1 (4) 25(1 + _1_) 2= 1 2 5 25 + 0,1 - 0,0002 + 0,0000008 menos do algarismo na sexta casa decimal). Resp. A serie em -(4) e uma serie altemada e portanto 0 erra na que 0,0000008. (110 na qual a e os coeficientes bo, bl , serie diz-se de potencias em (x - a). 0 0 0, bn, . o. sao Apliquemos a regra de D'Alembert a (1), com Se bn+l n->'" n 11m -b 0 = U" lY.L, teremos, para qualquer valor fixo de x, P = 11m 0 U,,+\ - n->'" Un = (x - a) M • Temos dois casos: I. Se M = 0, a serie (1) e convergente para todo II. Se M nao e zero, a serie (1) converge no i Exemplo ilustrativo. Examinar 1- (x-I) no que concerne SOLU9AO. 0 comportamento da s (x - 1)2 1)3 + - -(x--3 + 2 000 a convergencia. Omitindo 0 primeiro termo, Un...l Un = _ _ n_ (x _ 1) . n+I Ora, Logo, Ipl = I x - I I , e portanto a serie converge q preen dido entre 0 e 2. 0 extremo 2 pode estar incluido. 1. Usando a serie binomial, mostre que -1- = 1 - x l+x Verifique + x- ? + .... x3 resultado dividindo diretamente. 0 Usando a serie binomial, achar aproximadame dos seguintes numeros 2. YI:lS. ;>. 3. ~l:?O. 6. 4. V6:W. 7. 8. V"35. 1 9. 412' ] 10. y412' 1 ~\-JVO' 1 Vl~ 1 V";~O· I 1 I Para que valores da variavel e convergente cad guintcs series? 14. (x+l) IS. _(1'+l)2 :3 (X+1)4+ .. ,. R esp 4 (x-l)+(x-,~r + (X-~)3 + (.r-~).+ .. '. Y2 16. 2(2x+l)+ 3(2,~;:1)2 + 4(2~tl)3 - 2) ( ,I: - 1+ (x- 18. 1 - 2 (2 x - 3) X- 3 ~+ y4 y;~ 17. 19. + (X+1)3 _ 2 0)2 ~ (X - 2)3 + .. ,. (.J, - T ')\4 -) + ~ + ~ + ~ +... + 3 (2.r - 3)2 -: 4 (2 x - 3)3 (1'-;'3)4 2.3 2 T~+~+ (X-3)2, (X-3)3 + DESENVOLVIMENTO EM SERlE 194. _. Serie de Maclaurin. Estudamos neste blema do desenvolvimento de uma fun<;ao em ser ou, em outras palavras, 0 da representa<;ao de uma serie de potencias. Uma serie de potencias em x convel'gente e, o fun<;ao de x definida para todos os valores do inter gencia. Podemos, pois, escrever Perguntamos: quando uma fun<;ao e representada de potencias, como sao os coeficientes ao, ai, ... serie? Para responder a esta pergunta, procedem Ponhamos x = 0 em (1). Temos f (2) (0) = c> Logo, 0 primeiro coeficiente ao em (1) esta determina agora, que a serie (1) possa ser derivada termo a t deriva<;ao possa ser continuada. Teremos en tao (3) l' (x) 1" { 1'" (x) (x) + + 3 QaX2 + ... + + + ... + n (n + .. ' + n (n - 1) (n - = al 2 a2X = 2 a2 6 aaX = 60 a etr.. Pondo x = (4) 1'(0) = 0, temos ai, 1"(0) = I~02' 1'1/(0; = I~aa, 451 ... Esta formula exprime j (x) como uma serie de pote "a fun9ao j (x) esta desenvolvida numa serie de p Esta e a serie de Maclaurin *. Agora e necessario examinar (A) criticamente. em vista (G), § 124, podemos escrever, pando a formula recordada, (5) j (x) = j (0) + l' (0) I~ + 1" (0) ,; + ... + j(n-l onde (0 < Xl < x) o termo R diz-se 0 resto depois do n-egesimo. 0 s de (5) coincide com a soma dos n primeiros da sel" Indicando esta soma par Sn, a (5) torna-se pais j (x) = Sn + R, ou j (x) - Sn = R. AdmitamJs agora que, para urn valor fixo x = Xo, quando n tende ao infinito. Entao Sn tendera a j e, a serie de Maclaurin converge em x = Xo e se Temos, assim, 0 seguinte resultado: Para que a serie (A) seja convergen junr;iio j (x) e necessario e sujiciente que TEOREMA. (6) lim R n~co . = O. E usualmente mais facil determruar 0 intervalo (como no paragrafo precedente) do que a veracidad nos casos simples os dois sao igualmente faceis. * De Colin Maclaurin (169S-1746) que por primeiro a publicou em seu (Edimburgo. 1742). Na realidade. a s~rie ~ devida a Stirling (l692-i770) de Maclaurin sao In x e ctg x, pois ambas sao infinitas quando x = O. o estudante deve notal' a importancia de urn como (A). Ele intervem sempre que se quer calcula com dado grau de aproxima9ao, uma vez que subst cujo valor num ponto e, eventualmente, dificil de urn polinomio de coeficientes constantes e portanto ponto e sempre mais facil de ser computado. E polinomio deve tel' tantos termos quantos necessa grau desejado de aproxima9aO. No caso de uma serie alternada (§ 188), parando num dado termo do desenvolvimento menor que 0 termo. Exemplo ilustrativo 1. valoreB de x ela converge. SOLUQAO. 0 e, err em Desenvolver cos x em serie e de Derivando e depois pondo x = 0, obtemos J (x) = cos x, l' (x) = - sen x, 1" (x) = - COB x, J"t (x) = :>en x, 1''' (0) JIV (x) = cos x, JIV (0) = 1, J (0) = I, l' (0) = 1" (0) = 0, - = 0, JV (x) = - sen x, JV (0) = 0, JVI (x) = - JVI (0) = - COB x, etc., etc. Substituindo em (A), (7) COB X = 1 - x2 -- i.! + -z4 - -zG + .... Ii. I..?. Confrontando com a serie do .Problema 6, § 191, vemO verge para todos os valores de x. a qual converge para todos os valores de x (Problema 7, § Em (7) e (8) nlio e dWcll mostrar que 0 resto R tend tende ao infinito, para qualquer valor fixo de x. Considere escrever a derivada n-egesima sob a forma j(n) Logo R Ora, cos ( Xl + n; ) (x) = = cos cos ( (x + n; ). n7l') In' x +""2 n Xl nunca excede 1 em valor absoluto o segundo fatal' de Reo n-egesimo terrno da serie 'Jf' +'1-+ ... , " a qual e convergente para todos os valores de x. Logo, 0 quando n tende ao infinito (Vel' (A), § 185), isto e, (6) e v Do exemplo acima vemos que Xn lim n .... '" Ora, VlillOS 1..'!:.- O. na pagina precedente que (0 Logo lim R = 0 se J'n) (:r 1) < Xl < :to permanece finita quando n~GO finidamente. Exemplo ilustrativo 2. Usando a serie (8) achada no calcular sen 1 com quatro decimais exatas. -3 -7 ,_ 1- Somando separadamente os termos positivos e negativ 1 1 = 1,00000 1 3 = 0,16667 1 j5= 0,00833 J:.. = 000020 I~ , 1,00833 0,16687 sen 1 = 1,00833 - 0,16687 = 0,8 Logo com cinco decimais exatas, pois 0 erro cometido deve ser m menor que 0,000003. 0 valor de sen 1 pode, obviamente, qualquer grau de aproximac;ao; basta para isso incluir um n termos da serie. EXERCtCIOS Verificar os seguintes desenvolvimentos em ser e determinar para que valores da variivel eles s x x 1+ -I" + .) 2 2 1. e"'= 1 + x + 3 x3 2. senx=x--+ L~ - I- x5 - - ... + x3 In (l+x)=x- 2 + T- x2 x3 l)n-l X 2n - 1 ( _ 15 x2 3. xn - 1 ... + 11,-1 + .... R --- 1211,-1 x4 (- 4+"'+ + . 1)n 11, l<x~l. 4. In (I-x) = -x- 4 n x 2 - "3 - 4x -,.. - -;l~x<l. 1.x 1· 3· x arcsenx=x + ').3 + 2·4·5 + .,. _ 3 5. + 5 1.3 2·4 (2 11, - 3) x~n (211, - 2) (211, - -l~x~l. 7. sen ( 4 +x V2 = 1 + x - 12 13 + 14 - - IX; Resp. 8. In (a + x) = T x + -xa - 2-xa + :3-,- .... a 2 In a 3 2 3 xn- 1 + (n(-- 1)n1) a"-l + ... . Verifique os seguintes desenvolvimentos x3 10. sec x . 11. sen x2 61 x 6 5 x4 = 1 + 2 + 24 + 720 + .... 7r ( 17 x 7 2 xl) + 15 + 31'S + .. , . = x+3 9. tg x 3 +x V3x 2 1 (- ) = 2 V3 + x -. x3 I.! - 13 +t; .. )· 12. tg 2 1 7r 13. arc tg -; 14. t t (~ + x) = 1 + 2 x+ 2 x + 8 + .... (eZ 15. In (x tr~s x3 xl) + 3 - 5 + .... x6 x4 + I ~ + 14 + 1 6 + .... 1 + VI + x = - x x2 + e.....) = 16. In cos x Ache =2 - 2 x2 ) = X - x4 2 - 12 - x3 3 1 + 9 :rl) 1 5 .... x6 45 ... . termos do desenvolvimento em serie x das seguintes funljces 1 7. cos 18. (x - ~). sen (x + 1). 19. e,enz 20. t (es - e-s ) 21. e = 2,7182 ... SOLU9A.O. Seja x = 1 na serie do Problema 1 1 1 1 1 e=I+I+-+-+-+-+··· 12 I~ I! I~ Primeiro termo Segundo termo Terceiro termo Quarto termo Quinto termo Sexto termo Setimo termo Oitavo termo = = = = = = = Somando, e = 2,71826... Ci) = 1,00000 1,00000 0,500000 0,16667 0,04167 0,008:33 0,00139 0,00020 . (Dividindo 0 terc . (Dividindo 0 qua . (Dividindo 0 qui . (Dividindo 0 sex . (Dividindo 0 set Resp. 22. arc tg 2:;. cos 1 24. cos 10°=0,9848 ... ;use a serie em (7); Exem 25. sen 0,1 = 0,0998; use a serie do Problem 26. arc sen 1 = 1,5708 ... i use a serie do Pro 27. sen 28. = 0,5403 ... i use a serie em (7), Exem ~ = 0,7071; use a serie do Problema sen 0,5 = 0,4794 ... i use a serie do Prob 29 • e 2 = 1 30. = 0,1973 ... ; use a serie do Pr .r 23 22 + 2 + /2 + 1 3 + ... 1 ve = 1 + 2 1· 1 = 7,3890. + 2 12 + 2 1:3 + ... 2 3 = 1,6 Sejam e series de potencias convergentes. Delas podem-se obt de potencias convergentes, como segue: ~ 1. Somando (ou subtraindo) termo a lermo. 2. Multiplicando e grupando termos como abaixo Calculo de logaritmos. Exempio ilustrativo 1. 4, § 194) in (1 + x) = x - t x2 + In (1 - x) = - x - t t x2 - Xl - t DaB seri J x + ... , 4 x3 - i x4 - •.. >btemos, por subtrac;ao de termos correspondentes, e usando lerie l+x In - - = 2 (x I (1) I-x Esta serie converge quando + -31 x 3 + -51 x5 + -71 x7 + ... ) Ixl < 1. Para transformar (1) numa forma mais c6moda para 1m numero positivo. Entao, pondo (2) ,btemos (3) x = 2N Ixl < 1 In (N 1 +1 . I ou seJa, para todo valor de N. + 1) = In N + 5"1 (2 N 1+ 0 1 Substituindo em (I), 1 1 + 2 [ 2 N + 1 +"3 (2 N + 1)3 + 1)5 +... ] . Substituindo ern (3), 0 reBultado e 10 2 = 0,69315. Fazendo N = 2 ern (3), obternos 10 3 = In 2 + 2 [~ + ~ . 5~ + ~ . ;5 + ... ] = Ve-se que e apenaB necessario calcular os 10garitrnoB d deste modo, pois os logaritrnos dos nt1meros nao primos pode as f6rrnulas (2) do § 1. Assim, In 8 = 10 23 = 3 10 2 = 2,07944 ... , + In2 In6 = 103 = 1,79176 ...• Os logaritrnos acirna sao todos neperianos, ou naturais, is ern base e = 2,71828. .. Se quizermos achar os logaritrnos muns, oude a base usada e 10, 0 que devernos fazer e urna rn f6rrnula 10n log n = In 10 . Aasim, log 2 10 2 0,69315 = In 10 = 2,30258 = 0,3010·· Na construyiio de urna tlibua de logaritrnos s6 alguns do sao calculados pelas series, sendo achados os dernais pelo er da tcoria dos logaritmos e varios artiflcios que permitern a ec Exemplo ilustrativo 2. SOLU9A.O. Desenvolva e:T sen:c ern serie de Das series sen :c = z - :c3 z5 "6 + 120 Z2 e" = 1 Problema 2, - :c3 z4 z5 + x + 2 + "6 + 24 + 120 + ... Pr obternos, pOl' rnultiplicaQao, e" sen x = x 3. POl' divisffo. + x2 + ~ 3 z5 30 + t~rrnos ern x6' etc . No cxernplo abaixo rnostrarnos urn ca cos (4) :r? 4 6 I~ I~ + -x - -x + ... 1- - X = I! , Escrevamos (4) na forma cos x = 1 - procedamos assim. 1" (5) Entao sec x = _1_ = 1 (6) para 11,1 1 - < 1 (problema 1, 1, + + + ~ + ... , 1, 1,2 § 193). De (5), ternos a serie 4 4x - 1,2 = 1,3 = - x6 8 x6 24 + termos de grau mais alto + .... Substituindo em (6), obtemos sec x = 1 + -12 x2 + 24 -5 x4 61 6 + -720 x + ... Re EXERCtCIOS Dados In 2 = 0,69315 e In 3 = 1,09861, caIcu Iogaritmos naturais, pelo metodo do exemplo acima 1. In 5 = 1,60944. 3. In 11 = 2. In 7 = 1,94591. 4. In 13 = Desenvolver em serie as seguintes fun<joes. 5. e- t cos t = 1 f:'" 6. - - 7. t+ t t i t + . .. 3 4 - 5 8 . 65 = 1 + 2 x + - x 2 + -3 x3 + ~ - x4 + I-x 2 cos x I I VI + x 49 = 1 - - x - _ x· - - 1 x 3 + -2 8 0 16 38 9. = cosx 1 - -6 x 4 10. e"'tgx = x + 11. e- sec x 1- x 12. e _!. 2 = sen 2 t = x2 + + ' ,, . 5 - x3 1 + -2 x4 + 6 +x 2 t - t2 2 2 1 "3 x + 2 - 3 13 -. x4 + ', 5 12 t 3 + 8' t,j + .,.. - 1 11 29 x - 24 x 2 + 720 x 2x) arc sen x = x + 2x 2 + 13. (1 + x) cos V x = 1 + 2 14. (1 + -- 15. Vl- xarctgx 1 + 11 1 '3X 5 = x - -2 x 2 - 24 - x3 + - x '48 1 16. VI - tg x = 1- 2 - 1 17. Vsccx 1 "6X3 x _. 1 8' x 2 11 48 x 3 - - 3 7 = 1 + "4 X2 + 9'6X4 + " .. + In (l x) 3 11 2~ ' = x - - x 2 + - x 3 - - x4 + 1 sen x 2 6 12 1 1 1. 11. 2 151. 19. V 5 _ e'" = '2 + 16 x + 256 x + G1.44 x 18. + _/ 20. v 4 + sen 4> = 2 1. + "44> - 1. 64 0 4>" - 61 1.536 4> Para as seguintes fun90es achar todos os termo envolvem potencias de x menores que x 5 21. e '" sen x. 5 22. e'" C05 ~ 23. sen x -cos 2 x V;. 24. 25. 26. V3 + e-, ITl (1 + x) V 1. + x V5- cosx. pode ser derivada termo a termo em cada valor de entre os extremos do intervalo de convergencia e a e tambem convergente. POl' exemplo, da serie sen x = x obtemOl'l, pOl' derivaQ8.o, a serie abaixo x2 cos X = 1 - - I~ + -x - -x + 6 4 Ii.- I~ As duas series convergem para todos os valor Problemas 6 e 7, § 191). A serie (1) pode tambem ser integrada termo a t tes de integraQao estao dentro do intervalo de co serie resultante e convergente. Exemplo ilustrativo 1. Achar, por integra<;ao, a serie d SOLUQAO. d Como dx In (1 + x) = 1 1 + x In (1 + x) = 0 (2) Ora, 1 l+x "-- = 1 - x quando Ixl < 1 (§ 192). termo a termo, obtemos In (1 +:r? - 1 x3 d ~x • + x4 - Substituindo em (2) e integrando + x) =x - ! x2 + Esta serie tambem converge quando Exemplo ilustrativo 2. presenta arc sen x. 1'" ' temos + x3 Ixl < 1 - t x 4 + .... (Ver Problema Achar, por integra<;ao, a serie d t Pela serie binomial «2), § 192), pondo m = - x 2, temos 1·3 4 1·3·5 1 = 1 + - x2 + x + - - x6 + 2 2·4 2·4·6 1 VI - e x2 Esta serie converge quando a termo, obtemos Ixi < Substituindo em (3) e 1. 1 ·3 x 5 I;r;. x7 1 .3 . 5 arcsenx=x+'23+ 2.4.5 +2-4-6 · 7 + · · Esta serie tambem converge quando Ixl <1 (veja 0 Proble Por esta serie, 0 valor de 7f' pode ser calculado imedia como a serie converge para valores de x compreendidos entre p6r x = I, 0 que fornece 3'_ 6 ou = ~2 + ~2 . ~3 (~)3 + ~ . ~ (~)5 + 2 2·4 5 2 = 3,1415··· • 7f' Evidentemente podiamos ter usado a serie do Proble duas series convergem, se bem que nao tao rapidamente co obtem com processos mais complexos, e que fornecem 0 va grande numero de decimais exatas sem exigir muitos calculo Exemplo ilustrativo 3. 1 Usando series, calcular aproxim 1 de sen z2 dx. SOLUgAO. Seja z = x 2 • Entao z3 z5 senz=z--+ - - I~ Logo } {1 0 z6 x 10 + ... I~ sen x 2 = z2 - - 11.- 2 sen x dx = } = [ {1 ( 0 ;r;. 3 - = 0,3103. x Prob I~ 2 z6 - 1 3 + x7 X11 42 + 1320 Resp. X I , 10) 5 ]1 0 dx, apro =0,3333 3. Achar a serie de sec 2 x, detivando a setie de x, integrando a serie 4. Achar a Barie de In cos Usando series, achar aproximadamente os valor integrais. {i cos x dx 5. 6. Jo l 1 i +x . Resp. 0,3914. . e=tln (1 1 In o (l+x cos R 1 sen x dx ---. o 1- x 7.1 ~ 1 10.1 11.1t 9. e-Z ' dx. 0,185 + x) dx. 0,0628. In (1 (I 0,4815. 12. Jo £z sen + y 197. - Formulas aproximadas deduzidas da laurin. Usando alguns termos da sarie de poten senta uma fUllc;ao, obtemos uma formula aproximad com algum gl'au de precisao. Tais formulas aprox gamente usadas em matematica aplicada. POI' exemplo, tomando a serie binomial ((2), § as seguintes formulas de aproxima9ao. (1 + x)'" (1 1 + 1 + mx 1 + mx \ x)m = 1 - mx = 1Nestas, Ix I e pequeno (1. 8 aproximac;ao) + ~ m (m - 1) x 2 (2. 8 mx (1. 8 aproximac;ao); + ~ m (m + 1) x 2 e m e positivo. (2. 8 (2) sen x = x, (3) sen x = x- x: 6 ' etc. sao fonnulas aproximadas. Examinemos a primeir Tomemos na serie (1) valores de x tais que os te em valor absoluto. Entao, ficando so com 0 pr erro que se comete e, em valor absoluto, menor qu isto e, sen x = x com Ierro I < Ii x3 1· Podemos perguntar: para que valores de x a (2) tres casas decimais? Deve-se tel' Ii xal isto e, Ixl < V"0,003 e < 0,0005 , < 0,1443 rad. Concluimos, pois, que (2) e verdadeira ate a terce para valores de x compreendidos entre - 0,1443 em graus, para valores compreendidos entre - 8°,2 PROBLEMAS 1. Qual a precisao da formula aproximada quando (a) x = 30°? (b) x = 60°? (c) x = 90°? Resp. (a) ~lTO < 0,00033; (b) erro < 0,01; 2. Qual a precisao da formula aproximada quando (a) x = 30°? (b) x = 60°? (c) x = 90°? Resp. (a) :!1;rro < 0,0032; (b) erro < 0,05 3. Qual a precisao da formula aproxima quando (a) x = 0,1? (b) x = 0,5? . 5. Quantos termos da sene sen x 6. Quantos termos da serie cos x = x3 x - 1 3 necessirios para se tel' sen 45° com cinco decimais ex = 1- x2 1 2 necessarios para se tel' cos 60° com 5 decimais exat 2 Quantos termos da serie In (1+x)=x- x 2 necessarios para se tel' log 1,2 com 5 decimais exatas 7. Verifique as seguintes formulas aproximadas sen x 8. - - = x I-x 9· cos X =1+ _ 1 x2 10. c~ II. + x". f ? 12. f 2 e-: dx=C x2 2 · 8a cos (}= 1-(} +,> - v . x 2 ~.3 cosvxdx=C+x-~4+'~,'2' 15. f c(Jsen( 198. - Serie de Taylor. Uma serie de poten vergente serve para calcular 0 valor da funQao qu em pontos x suficientemente proximos do zero. valor de uma fungao num ponto x proximo de um series de potencias em x - a (vel' § 193). Vam volver uma funQao em serie de potencias de x - a, mero fixo. Admitamos que (1) f (x) = bo + b1 (x- a) +b 2 (x- a)2 + ... + e que a serie represente a fungao. A forma que, dcvem tel' os coeficientes bo, b1 , . . . , bn , etc., obte § 1D-1, isto e, derivamos (1) em relaQao a x, admitin etc. Pondo x = a nestas equa90es e em (1) e tirand bo, bl , b.2, "', temos 1" (a) bo=j(a), bl=J'(a), b2 = bn = 2 "'" 1 Substituindo estes valores em (1), vem (B) j (x) = J (a) + j' (a) x I~ a + 1" (a) (x ii + fen) (a) (x _. a)n + I!:.. A serie obtida diz-se sbie de Taylor. * Examinemos (E). b Tendo presente (G), § 124, = x, temos (2) j (x) = j (a) + l' (a) (x - I~ + ... + f(n-I) (a R = fen) (XI) (x ~a,)n onde o a) termo R diz-se 0 (a resto depois do n-egesimo termo. A serie do segundo membro de (2) difere da som meiros termos da serie de Taylor pelo nllinero R, i j (x) = Sn + R, ou j (x) - Sn = R Admitamos agora que, para urn valor fixo x tenda a zero quando n tende ao infinito. Entao (3) e (B) converge em x = lim Sn Xo = f (xo) , e sen valor neste ponto * Publiaada pelo Dr. Brook Taylor (1685-1731) no seu 1715i. "I\Ietbodus Inc tende a zero quando n tendo ao infinito, entao para x a serie nao converge para 0 valor j (x). E usualmente mais facil determinar 0 intervalo d da serie do que os valores de x para os quais 0 resto mas, nos casas simples este conjunto de pontos e 0 cidem. Quando os valores de uma func;:ao e os de suas d sivas sao conhecidos e finitos para algum valor fix pOl' exemplo para x = a, entao (B) e usada para ac func;:ao para valores de x proximos de a. A formula (B) e tambem chamada de desenvolv numa vizinhanr;a de x = a. Exemplo ilustrativo 1. Desenvolver In x em serie de po SOLU<{AO. f (x) = in x, f (1) = 0, l' (x) = .!..., l' (1) = 1, 1" (1) = - 1'" (1) = 2, :c 1" (x) = j'" (x) 1 x' - -t)- 2 = oJ' , etc., etc. Substituindo em (E), In x = x - I - ! (x - 1)2 + -} (x -1 Esta serie converge para valorcs de x compreendidos ent senvolvimento de In x uuma vizinh:\ll<;':t de x = 1. Yer 0 e do § 193. Exemplo ilustrativo 2. Desenvolver cos x em serie de pot com quatro terrnos. SOLU<{.:;'O. Aqui j (x) = cos x c j (x) = cos x, a = ~. Temos, pois, j"'(X) = sen x, 1''' ( : ) etc. etc. = ~2 I A aerie e, portanto, +_1_ V2 o I~ resultado pode ser escrito sob a forma Calculemos, com a f6rmula obtida, cos 50°. expresso em radianos, ou seja, (x -: ) x- : Temos nes = 0,08727; logo, (x 3 = 0,00066. Substituindo na serie acima, temos Tibuas com 5 casas decimais fornecem cos 50° = 0,64279. 199. - Outra fOrIlla da serie de Taylor. E substituindo a por Xo e x - a por h, isto e, pond = X<o + h, temos (C) j (xo + h) = j (xo) I. h2 + j '(xo) I; + 1" (xo) 12 + Nesta segunda forma 0 j(n) valor de j (x) quando x tom potencias de h, acrescim e desenvolvido em serie de Exemplo ilustrativo. passa de xc a xo + h. Desenvolva sen x em serie de poten j" (x) = - sen x, etc., j" (xo) = - sen xo, etc. Substituindo em (C), obtemos sen (xo + h) = sen Xo + cos XO Th - sen Xo h2 2" - cos Xo h3 -6" EXERCtCIOS Verifique os seguintes desenvolvimentos em seri 1. e'" = e [ 1 + (x - a) 2. sen x G = sen a (x - a)2 + 12 + (x - a) cos a - (x - a) + I~ (x - a)2 I~ se (x - a)3 I~ 3. (x - a)2 I~ cos x = cos a - (x - a) sen a - + + x) 4. In (a 5. cos (a tg (x 7. (x In a + h) = tg x x" c a)3 I~ s 3 x x + -aX - -. + -.'+ 2 a2 :3 a 3 x2 x sen a - "2 cos a + x) = cos a - + h)n = (x - 2 = c + h sec x + h 2 + nx n- h + 1 + 2 + sec 2 x tg x n (n - 1) n 2 I~ x - h n (n - 1) ,~ en - 2) Resp. 9. Desenvolva tg x em serie de potencias 3 termos. Resp. tg x = 1 + 2 (x - : ) + 2 (x - : r 10. Desenvolva In x em serie de potencias quarto termo. 11. Desenvolva e'" em serie de potencias de x- termo. 12. Desenvolva sen (~ + x) em serie de pot Desenvolva ctg (: + x) em serie de pot 4 termos. 13. 4 termos. 200. - Forlllulas aproxinladas deduzidas Taylor. Obtem-se tais formulas tomando para v a soma de alguns termos da serie (B) ou (C). P j (x) = sen x, temos (ver Problema 2, § 199) (1) sen x = sen a + cos a (x - a) como uma primeira aproximayao. Uma segunda aproximayao resulta se tomarmos serie, ou seja (2) sen x = sen a + cos a (x - a) - sen a (x - I Como cos a e cJnstante, isto significa que (ap A mudanr;a no valor do seno e proporcional para valores do angulo proximos de a. a mud A formula (3) ilustra a intel'polar;iio por partes Exemplo ilustrativo 1.. Seja, par exemplo, a = 38° = vamos calcular os senos de 31° e 320 pcb. f6~m'lb aproxim x - a = 1° = 0,01745 radiano, temos ~en 310 = ~en 30° = 0,5000 = 0,5COO + cos 30° (0,01745) + 0,8660 X 0,01745 + 0,0151 = 0,5151. + cos 30° (0,03*90) Semelh:l.ntemente, sen 32 0 = sen 30° Temos aqui apenas tres de::im1is eX:l.hs. podemos usar (2). Assim + cos 30° (0,0174::»_ sen 31° = sen 300 = + 0,01511 0,50000 = Se quizerm sen 30° - - 2 - (0,01 - 0,00008 = 0,51503. sen 32° = = sen 30° + cos 30° (0,03490) 0,50000 + 0,03022 sen 30° - - 2 - (0,03 - 0,00030 = 0,52992. Agora temos quatro decim.l.is eX'1tas. f De (C) deduzimos formulas aproximadas para (x) quando x varia de :ro a Xo h. Realmer,.Le, p + primeiro membro (4) 0 primeiro termo do segundo, obte f (xo + h) - f (xo) = l' (xo) h + 1" (xo) o segundo membro exprime 0 acrescimo de de potencias no acrescimo de x (= h). f (x) ( da diferencial de f (x) para x = Xo e box = h. Como segunda aproximar;ao, temos f (xo (6) + h) - f (:ro) = l' (xo) h + 1" (X Exemplo ilustrativo 2. Calcular 0 acrcscimo de tg x, quando x varia de 45° a 46°, pOl' (5) e pOl' (6). SOLU(,:AO. tg (xo Do problema 6, § 199, se + h) Neste exemplo Ora, h = tg Xo = Xo x = xo, temos + sec2 xoh + sec2 xo tg Xo h2 + . 45° e tg Xo = I, sec 2 Xo = 2. = 1° expresso em radianos = 0,01745; logo, pOl' tg 46° - tg 45° = 2 (0,01745) = 0,0349; pOl' (6), tg 46° -tg 45° = 0,0349 + 2 (0,01745)2 Da segunda aproximayao obtemos tg 46° = = 0,0349 + 1,0355, com quat PROBLEMAS 1. Verifique a formula aproximada In (10 + x) = 2,303 + ;0x . Calcule 0 valor da funyao POl' esta formula e c tado com 0 fornecido pelas ta,buas, quando (a.) X= Resp. (a) Formula, 2,253; tab (b) Formula, 2,203; tab 2. Verifique a formula aproximada sen (~ +~) = 0,5 + 0,8660 x . Use a formula para calclllar sen 27°, sen 33°, se os resultados com os fornecidos pelas tabuas. tg ( : + x) = 1 + 2 x+ 2 x2• Use a f6rmula para calcular tg 46°, tg 50° e com tados com os fornecidos pelas tabuas. 4. Verifique a f6rmula aproximada = cos a cos x - (x - a) sen a. Dados cos 30° = sen 60° = 0,8660, cos 45°= sen 45° = 0,7017, cos 60°= sen 30° = 0,5, use a f6rmula para calcular cos 32°, cos 47°, cos 62° resultados com os fornecidos pelas tabuas. OUTROS 1. PROBLEMAS Dada a integral definida 1! x"ln (1 +x seu valor, pOl' serie, com 4 dec Resp. (b) obtenha 0 valor pelo computo direto e valor aproximado obtido em (a). A (a) obtenha (c) prove que se se usa n termos da serie par 0 1 , erro e menor que 2n+7 + 1) (n + 7) (n z f (x) = -- e x cos 2 . 2. Dado (a) mostre que (b) desenvolva f (x) com a serie de Maclaurin a (c) qual 0 2 j<4) (x) = - coeficiente de 1f (x). XU nesta serie? R EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINAR 201. - Equa!;oes diferenciais - ordeIU e gr DIFERENCIAL e uma equa<;ao onde figuram derivadas Frequentemente as temos empregado, como nos e tivos do § 139. Urn exemplo simples de equaya (Exemplo Ilustrativo 1, § 139). dy - ' =2x. (1) U;l; Integrando, achamos (2) y = x2 + C. Outro exemplo (Exemplo ilustrativo 2, § 139 que, integrada, conduz (4) x dy _ dx - (3) y a soluyao x2 + y2 = 2 C. As equayoes (1) e (3) sao exemplos de equa90es d ndrias de primeira ordem e (2) e (4) sao, respectiva r;oes gerais. Outro exemplo de equaC;ao diferencial e (5) Esta e de segunda ordem, porque * N~ capitulo estudamos apenas alguns tipos de equa90es diferen maiB provAveis de serem encontrados pelo leitor nos com~ndios el e flsica. tipOl! 475 grau da equa~ao diferencial. Assim, a equa<;ao dif y"2 = (1 (6) + 1/'2)3 , onde y' e y" sao, respectivam:mte, as dcrivadas d gunda ordem de y em rela<;ao a x, e de segundo gr ordem. 202. - Solu~oes das equ:l~oes diferenciais. integra!;ao. Solu~ao ou integral de uma equa<;a uma relayio entre as variaveis que figuram na equa com a equa<;ao. Assim, y = a sen x (1) e uma solu<;iio da equa<;ao diferencial (2) pOl'que e uma rela<;ao entre as variaveis x e y da e tlvel com a equa<;iio. Realmente, derivando (1) ob d 2y _ dx 2 - - a sen x. (3) e sustituidos os resultados de (1) e (3) em (2), tern a sen x que e uma + a sen x = 0, identidade. Em (1), a e uma constante arbitraria. Semelhantemente, mostra-se que (4) e uma y = b cos x soluyao de (2) para cacla valor de b. pois basta dar valores convenientes as constantes C2 para que se tenha uma ou outra das soluc;oes (1 As constantes arbitrarias Cl e C2 sao chamadas c grar;iio. Uma soluC;ao como (5) que contem tantas trarias essenciais quanto e a ordem da equa9ao c geral ou solw;i1o gcral da eQ1w9i1o*. Qualquer s~l soluc;ao geral dando valorcs pal'ticulares as constant chama-se solur;i1o particular da equa9ao. Na pnitic luc;5es particulares da solu9ao geral dando condic;oe feitas pebs soluc;5es particularcs. Exemplo ilustrativo. A solU9iio geral da equa9iio diferen y" (I) ey = Cl cos X + C2 sen x +y =0 (vel' (5) acima). Achar uma solU9iio particular tal que y = 2, y' = - 1, quando x = 0 . (2) SOLm,Ao. Da solU9iio geral y (3) = Cl cos = - Cl X + C2 sen x, obtemos, derivando, (4) y' sen x + C2 cos X • Substituindo em (3) e (4) os resultados (2), achamos Cl = estes valores em (3) obtemos a solugiio particular desejada y Considera-se resolvida uma equac;ao difcrencial minayao da sua solU9ao geral foi conduzida a um gra90es, qucr est-as possam ou nao ser efetuadas. Exemplo ilustrativo 1. (1) y = ~Iostre C1 x cos In x que + C2 x sen In x + x In x • Mostra-se nos compendios de equacoes diferenciais Que a solucao ger rencial de ordem n tern n constantes arbitrarias. dy dx = (3) (C2 - Cl) d2y - 2 = - (C2 dx (4) Ben in x + (C2 + Cl) cos In x + in x in x + q sen ) - - - +(C2 X cos in x Cl) - - X + Subst.ituindo os resultados (1), (3) e (4) em (2) obtemo Exemplo ilustrativo 2. Mostre que y2 - 4 x = 0 (5) ~ uma particular solu<;:iio da equa<;:iio diferencial (6) SOLU<;A:O. Derivando (5), obtemos yy' - 2 = 0, que 1 = 0. xy/2 - ou Beja, I 2 y=- Y Substituindo este valor de y' em (6) e reduzindo obtem verdadeiro por (5). ~ EXERCtCIOS Verifique as seguintes solul;oes das correspon diferenciais. Equar;i5es dijerenciais d 2y 1 dy 2 1. - 2 - -x-dx+ -X= O. dx d 2V ~ dV Solur;i y = Cl + Cl -;y2+ -71 .1' l' r = o. V= - 3. d 2s dt 2 s 4. d 2x d 3x dta+2 dt 2 - 5. (d- Y 2. dx . d 2y ds dt 6s r l' = O. dx dt- 2x =O. dy -4xy-+8y2=O. dx dy 6. x dx 2 + 2 dx - xy = O. + = C (x - xy + C2X + C2. = cle-2t + X = clet y 2x = 2 eO; - c2e 3t • C2e-t + C)2. 3 e-« • 9. 2 d y _ (d y Y dx2 dx 1 d 2y 10. XYdx2+X dn 11. (d y dx + dy _ 0 dx - dt 2 +4s = d2~ 13. d; 2 C+v 1 - cv 1),2 1),=--' s = 2 sen 2 t + cos 8 t. du - • 2 d~ - 3 Y = c:<Z. d 2x H. - 2 -j- 9 x = 5 cos 2 t. dt d 2x + 9 x = 3 cos 3 t. dy d~ + xy = x y 15. dt 2 16. . )2-Ydx=O. dU dv = 1 +v 2 ' d 2s 12. 1 )2 + 3 3 x = cos 2 t + 2 cos x = ClCOS 3t + C2se • 204. Equa!;oes diferenciais de priIneira or nleiro grau. Uma tal equa<;ao pode S8r posta sob (A) Mdx + Ndy = O. na qual lvI e N sao fungoes de x e y. As equag mais comuns desta forma podem ser divididas em q TIPO 1. VARL~VEIS SEPARADAS. Quando os term vao diferenciaJ podem ser arranjados de modo a forma (1) f (x) dx + F (y) dy == 0, onde f (~;) e uma fun9ao s6 de x e F (y) uma fun9ao que eh e de varidveis scparadas. 0 processo usado a forma (1) chama-sc separa~ao as varidveis. A s obtida 'POl' integra9ao clireta. Integrando (1), obt geral As equayoes que nao sao dadas sob a forma (1) vezes, ser conduzidas a essa forma pela seguinte reg das variaveis. PRL\IEIUO PASSO. Elimine os denominadores; mu os membros pela diferencial da varidvel independente. Reuna num s6 termo os que c Caso a equa9iio tome a forma SEGUNDO PASSO. diferencial. x Y d:'C + X' Y' dy = 0 , oude X, X' sao funyoes so de x e Y, Y' funyoes so ser condllzida a forma (1) dividindo ambos os mem Integre cada parte separadamen TERCEIUO PASSO. Exemplo ilustrativo 1. Resolva a equal(ao (1 + y~ + x 2) xy . (1 + x2) xy dy 1 dy a.; = SOLU9AO. Primeiro passo, Segundo passo x (1 (1 + y2)dx - x (1 + y2) d = (1 + x2)y dy = Para separar as variaveis, dividimos ambos os me 0 que fomece dx _ y dy _ 0 x (1 + x2) 1 + y2 . + x 2) (1 + y2), Terceiro passo, x (1 / / dx + x2) - / 1 ydy y2 = C , + i:=.. _/~2 _ / 11 dy x 1 +x 1 + y2 In x - ~ In (1 + x 2) In (1 ! In (1 + y2) = + x2 ) (1 + y2) = C , C, 2 In x Este resultado pode ser posto em forma mais condensada e, dando nova forma a constante arbitraria. Nossa assim, In (1 + :;;2) (1 + y2) = In x 2 + In c, = In c, isto In (1 (1 + x 2) (1 + y2) = In cx 2, + x 2) (1 + y2) = cx 2. Resp. Segundo passo. 2 ay dx + x (a - y) dy = O. Para separar as variaveis, dividimos ambos os membros 2 a dx + (a - y) dy x Terceiro passo. 2aJ = o. y d: +aJ_d: - J d Y 2alnx +alny - y a In x 2y as C, = C, = C + y, In x 2 y = Passando dos logaritmos a forma = .!!.... + JL . a a exponenciais, este resultado au c Indicando a constante e a par c, obtemos a solu<;iio sob J!.. x2y = ce a TIPO II. (A) • Resp. EQUA<;OES HO~fOGtNEAS. Mdx + Ndy A equa<;uo =0 diz-se homogenea quando MeN sao fun<;oes homo do mesmo grau. * Estas equac;oes se resolvem com (3) '!-I = VX. • Um.. funciio de " e y diz-se Iwmoalnea nas variaveis se a resultad e y par Ax e hY respectivamente (scnda h urn numero qualquer) dfl para aa primitiva multiplicada par urnI' certa patencia de h. Esta patencia de moueneidade dB. func;ao. (4) dx - N De (3) resulta dy dv -=x-+v. (5) dx dx o segundo membro de a sustituiyao (3). (4) sera uma funyao s6 de v q Logo, usando (5) e (3), obtemos dv x dx (6) + v = f (v), e as variaveis x e v podem ser separadas. Exemplo ilustrativo. Resolver a equa<;:iio y2 dy + x 2 -dx SOLU9AO. y2 dx = dy xy - . dx + (x 2 - xy) dy =0• Aqui M = y2, N = x2 - XU e ambas sao homog~neas e em x e y. Temos tamb~m Fa<;:amos a substituiQiio y = vx; obtemos dv v2 x-+v=--dx 1 - v' ou v dx + x (1 - v) dv = O. Para separar as variaveis, dividamos ambos os membros ~ x f + (1 - v) dv v v -f dx + f d--;--;- = 0, dv =C I vx = reV. Mae v = JL ; logo, a 801\1<;8.0 geral ~ x J!... y = ce x • Resp. EXERctCIOS Achar a solugao geral de cada uma das segl.lint renciais. 1. 2. :'i. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Rcsp. (2 + y) (3 cy2 = 1 + x 2. x(x+3)dy-y(2~c+3)dx=0. Y = ex (x + 3) 2 2 VL+x dy-Vl-y dx=O. Rcsp. arcseuy= p = c cos e. dp + p tg e de = O. (1 - x) dy - y2 dx = O. yIne(l- x)= (x+2y)dx+(2x-3y)dy=0. x 2 + 4 xy - 3 (3.-c+5y)dx+(4x+6y)dy= O. (x -+- yf (x + 2 2 (x + y) dx + y dy = O. (2+y)dx-(3-x)dy=0. xy dx - (1 + x 2) dy = 0 Resp. 10. 11. t In (2 x 2+ 2 xy + y2) - (8y+lOx)dx+(5y+7x)dy=0. (2x+y)dx+(x+3y)dy= O. 12. Vl-4t 2ds+2Vl-s 2dl=0. 13. 2z(3z+1)dw+(1-2w)dz=0. 14. 2xdz- 2zdx=vx 2+4 z 2dx. 15. 16. 17. (x+4 y) dx+2 x dy= O. (2x 2+y2)dx+(2xy+3y2)dy=O. du 1 dv = 1 + u2 + v2' (3+2 y)xdx+(x L 2) dy=O. 19. 2 (l+y)dx-(l-x)dy=O. 20. (1 +y) xdx- (1 +x) y dy= O. 21. (ax+b)rly-y 2 dx=0. 18. (:c X + arc tg ( x + y)2(2x + + 2 xy + 2 x2 s Vl-4t 2 + 2 (2w-1)(1+3z 1 + 4 ez - e2 x x 3 + 6 x 2y = e 2 x 3 +3 xy2+3 V U +e = 1 - ev . 22. (3 x+y)dx 23. xy(y+2)d 24. (1 +x 2) dy 25. (x--2y)dx que Em cada urn dos seguintes exercicios achar a so valores dados de x e y. e deierminada pelos + 4dy - - = O· x = 4, y = 2. Resp. x 2 + x ' + y2) dx = 2 xy dy; x = 1, Y = 0. y2 xdy - ydx =vx 2 + y 2 dx; x =!, ?J = 0. (l + y2) dy = y dx; x = 2, y = 2. dx y 31. (x 2 30. - 32 33. 34. Achar a equac;:ao da curva que passa pe cujo coeficiente angular e, em cada ponto, igual a Resp. x2 35. Achar a equa9fio da curva que passa pelo p y coeficiente angular Hum ponto qualquer e igua! a x y (1 Resp. + x) TIPO III. EQUA90ES LINEARES. Equac;:ao dif meira ordem linear e uma equac;:H.o do tipo (B) dy -+ Py = dx Q ' onde P e Q sao func;:oes s6 de x au entao constant Semelhantemente, a equac;:ao (0) dx -, + H:r cy = .], Gnde Ii e .] sao func;:oes s6 de y ou entao constantes linN:I' Ila func;:ao x da varia.vel independente y. Derivando (7) (8) Substituindo os resultados (8) e (7) em (B), ob 11 dz u dx (9) Agora dz -d x det~rmina-se du + Z -d + Puz = x ) + (dU dx + Pu z = Q . u integrando du -+ Pu = dx (10) Q, ou 0 ' na qual as variaveis x e y sao separadas. obtido, acha-se z resolvendo a equa9ao Usando 0 dz udx=Q, (11) na qual x e z podem ser separadas. Obviamente, as valores de u e z achados deste m (9) e a solU9aO de (B), e, portanto, dada par (7). Os exemplos seguintes mostram as detalhcs. Exemplo ilustrativo 1. Resolver a equayao .!!JL -~ dx x +] (12) SOLuc;Io. Esta e, llZ; entao + 1)2 . evidentemente, do tipo (B), onde p = - x Seja y = 6 = (x 2 +1e Q = (x l. + 1) 2 • (13) udz dx + (dU -dx - 1+x -2U) - z=(x +1)2i- Para determinar u fazemos coeficiente de z igual a ze 0 du _ ~ =0 dx 1+x ' du 2dx +x' U = 1 = 21n (1 + x) = In (1 + X)2. Integrando, obtemos In U ,'.u=(I+x?* (14) A equal(iio (13) torna-se pois, visto ser eliminado u- . dz + 1)2- = (x dx 0 t~r 6 , Subetituindo u pelo seu valor dado em (14), - dz = (x dx + 1)1 . Integrando, (15) Z = 2 (x 12 1) 1 + C. tiubstituindo os resultados (15) e (14) em y ~ uz, oblem 7.11 = 2 (x; 1)2 +C(x Exemplo ilustrativo 2, SULu~:AO. + 1)2. Resp. Deduza a f6rmula da solul(iio g Resolvendo (10), obtemos In u J + P dx In k, * Por razOes de simplicidade tomamos 0 particular valor zero para De outro modo. t.riamo. u = c (1 + :rl'. IlIa. nos e,Ueulos posteriore. c (ver Exemplo ilustrativo 2). Integrando, e substituindo em (7), vern y = e-fPdz (1 Qef Pdz dx + c). Resp Observe-se que a constante k niio figura no resultado fin costuma-se omiti-la quando se integra (10). TIPO IV. EQUAgOES CUJA nEsOLu9.~O SE CON A resolw;ao de algumas equac;oes que nlio s sel' conduiida a de equac;0l's lineares mediante UIlla co fOl'mar;ao de vari:tveis. um tipo de tais equac;oes e LINEAR. _'dlj _ + Py = dx (D) Qyll , ODele P e Q sao fun90es s6 de x on entilo constant A resolw;ao de (D) pode ser conuuzida a de uma forma (B), tipo III, medi:l.llte a substituir;ao z = y diente nita e, contudo, necessaria se empregarmos 0 usando para achar a solur;:1o da eql.Wr;ao do tipo (B) eom urn exemplo. Exemplo ilustrativo. Resolver a equac;iio (16) SOLU<.(AO. Esta e, evidentemente, da forma (D), onde 1 Q = a In x, P = -;, Seja 'V = uz; entao .!!:JL dx = u ~ dx +z n = 2. du • dx u) z=alnx.u2z2 • u dz - + (dU -+dx dx x (17) Para determinar U igualamos a zero coeficiente de z; 0 du +~ dx x =0, Integrando, obtemos du dx u x 1 in u = - in x = In ~' 1 u =-. x (18) Como 0 termo em z se elimina, a equa~iio (17) torna-se dz _. -dx = a In x • ".2 Substituindo u pelo valor dado por (18), z2 dz (i;" = a In x. --;-, dz -2 z dx x =alnx.-. Integrando, obtemos (19) 2 z = - ~ (In X)2 + 2C . Substituindo os resultados (19) e (18) ern y = 1 y = - ~. a (In ou xy[a (in x)2 2 X)2 UZ, obtem + 2C ' + 2 C] + 2 = O. Resp 1. x -d' - 2 Y = 2 x. 2. X d1J 3. Resp. y X d~ - du d~ - 2Y = 2Y = - dy dx 1 - 2 x. ds 6. - , ct 2 rzx. 2 e-"'. Y= - -s ctgt= 1- (t+2) ctgt. ds dt + s tg t = 9. + ce 2 = x y = nx +c y = e-'" +C cx 2y 0 x 8. 2 y +t +2+ s = t 7 .dy - + 2- y= 2 yo. d;"C - x. d1j 4. x -d' x - 3Y . = 5. - ' - = cx + 2 xy s = t2 + ec dy x dx - y = (x - 1) eX. y = e'" + ex 10. ely elx CX 2y 2 ll. dI+ 12. nx -d' 13. di + s = 14. di-s ctgt=et(I-ctgt). + ds d1j .x ds 2t 2 tg t . y 3 x = y • ts sen t cost+ = s = sen t -t-' + 2 y = xyn+! • 3 ds dy + 3x +Y = 2+2 16. dx 17. x dy +y= d:c (1 = cos t s = et ds di- = O. 20. x. 21. 2 - + x) dy dx dy {'x. + ex 2y n + xyn cos t - sen t. dy 15. x d;l: - 2 y + 2 xy +cs s ctg t + y = 22 • .r -d - Y X + = que Em cada urn dos seguintes exercir.ios achar a so e determinada pelos valores dados de x e y. 25. ely 2 7J • -d - -=x-e"'; X= 1, y=O. x x 26. rilJ -' + 21/ -" = x 27. C!X -l-+ytgx=secx; :1.'=0, y=-l. d:c Resp. y 1 = x x -;X= 1 y=2. x2 , y= Y= se tiJ rill 2lf 28. -: - -"_=(X+J)3· X =O y=l. ax x 1 " + 29. Achar a equaC;uo da CUl'va que passa pelo p x+-1 em cad a po · . coe f lClcnte angu I ar"e 19uaI a2y-+ -x Resp. 2y = 30. A.char a equac;ao cia curva que passa pdo p , coeficiente angular no ponto (x, y) e In x - y . x Resp. y (1 y~ + 205. - Dais tipos especiais de equa<;oes d ordeIll tnais elevada. As equa<;,oes diferenciais paragrafo ocorrem frequentemcnte. (E) onde X dx. e uma fun9aO s6 de x ou entao uma cons Para integral', multipliquemos pl'imeiro ambos Integrando depois, temos SOLU<,;:AO. ax Multiplicando ambos os membros por e ou Repetindo 0 processo, ou y= Logo y f xe'" dx - f f + 2 e'" dx = xe'" - 3 e'" + Cl x 2 + C2X + C3. Dm segundo tipo de muita impol'tancia C1x dx Resp. e (F) onde Y e uma fUll<;ao s6 de y. Para integrar procedamos assim. dy' = Escrevamos Y dx, e multipliquemos ambos os membros por y'; obtem y' dy' = Y y' dx . Mas y'dx = dy e portanto a equa9ao precede y'dy' ;; Y dy () segundo membra e uma flln9ao de y. Extraindo de ambos os membros, separando as variaveis x e de novo, obtemos 0 resllltado. o exemplo segninte ilustra ~J + Exemplo ilustrativo. Resolver a2y = O. - a2 y, e portanto a equaf'a Aqui' dJi - d2y2 dx-dx SOLU r'A-O Y' metoda. 0 y Multiplicando ambos os membros par y' dx e procedendo c y' dy = - a2y dy. ! y'2 y' lntegrando, pondo 2 C '" CI e tornando obteroos 0 ! aV = = + C. VZ C - a2 y2. sinal positivo do radical. Sepa 1 ay lntcgrando, - arc sen . j - = x + C2, a vC I ay arc sen VC = ax + aC2' ou I lsto e0 mesmo que = sen ax cos aC2 + cos lU I Y = VC --cos aC2.senax + ou a Logo y == C1 sen ax + C2 cos ax. dx dt 2 1. - = t 2• d 2x 2. dt 2 = X. d 2x 3. dt 2 4 sen 2 t. = d 2x = e2t • 4. dt - 2 1 (PS 5. dt2 - (s -I- 1)3 d 2s 1 6. dt2 = Vas' 7. d 2y _ ..!!:..dt2 - y 3 d 2y 8. dx 2 -I- Resp. • a2 11 = O. VCly2-1-y - _ ~_ln (VClY -I-VI-l-CIY) = VCl £l2 s k d Achar t sabendo que s= a ' , d 9. dt - 2 -I- -S2 = O. Resp. d 3y 10. dx 3 = x-l-sen x. t= ~2ak { vas-s 2 d 2s -I-a ar d II. dt 2 =acosnt. 12. d 206. - Equa~ao diferencial.linear de segun coeficientes constantes. Equac;oes da forma (G) d 2y dy - -I- p-' -I- qy dx 2 dx =0 ' onde p e q sao constantes, sao importantes na matem Para obter uma soluC;ao particular de (G), pr minar 0 valor da constante r de modo a que (G) se (I) y = e:·". Substituindo os resultados (1) e (2) em (G) e d os membros pOl' er:l', obtemos r2 (3) + pr + q = 0, uma equa9ao do segundo grau cujas raizes sao os v curados. A equa9ao (3) chama-se equa~ii.o auxili (3) tern raizes reais e distintas rl e r2, entao y = eTp; (4) e y = e 2'" T sao solU90es particulares distintas de (G) e a solU91 (5) De fato, (5) contem duas constantes arbitnirias e satisfeita pOl' ela. Exemplo ilustrativo 1. tFy dy - 2 - 2- - 3 'V - 0 . (6) SOLUl;AO. Resolver dx A equa~ao dx auxiliar r2 (7) - e 2r - 3 = 0 Resolvendo (7), obtemos as ralZes 3 e - 1 e portanto dada e equa~ao Verijica!;iio. Substituindo este valor de y em (6), temo A equa~ii.o (3) tem raizes imaginarias. Se as ra auxiliar (3) sao imaginarias, os expoentes em (5) sa ginarios. Pode-se, contudo, achar uma solU9aO ge Ihendo valores imaginarios para Cl e C2 que sejam fato, sejam (8) rl = a + bV~, i'2 = a - bv---=- Substituindo estes valores em (5), obtemos (10) Mostra-se em algebra que* "'V- 1 = cos bx fb + V-I sen bx, e-b:l:¥=i = cos bx Substituidos estes valores em (10), a soluyao g soo a forma (11) Y = &'" (A cos bx + B sen bx) , onde as novas constantes arbitrarias A e B estao li pelas relayoes A. = CI + C2, B = (CI - C2) V - 1 , i para constantes CI e C2 em (5) as constantes imagina Dando a A. e B em (11) os valores 1 e 0 e dep que (12) y = eax cos bx e y = e"'" sen bx sao soluyoes particulares reais da equayao (G). v=1 • Seja i e admitamo. que a s~rie de ,,,, do Problema I, § 19 quando x ~ Bubstitufdo par ibz. Entao, como ,"2 - - I, i 3 = - i, i 4 = 1, (14) Temos tambem, .ubstituindo '" por b'" em (7) e (8), § 194, b3",3 sen bx - b'" - bS Ii + I Logo, pelo § 195, (15) b4",4 b'",' b3x 3 bSx cosb",+isenb",-I+ibx---i-+ - - - + i ~ admitindo que a s~rie represente a funeao. Logo, d ibz = cos bz i BeD bz. + 12 ~ Li' Os segundos membros de (14 r2 + k 2 = O. .'. = ± k r v=-i. Comparando com (8), vernas que a = 0, b = k; logo, por (II Ii y = A cos kx + B sen kx. VeriJica~ao. Substituldo este valor de y em (13), ela fronte este metodo com 0 usado para 0 mesma exemplo no § Observa~ao. Obtem-se uma forma diferente da soluc;ao faz B = C sen ex no valor supra de y. Entao y = C cos (kx - (X) .':1s raizes de (3) sao 1'eais e iguais. As raizes da c (:3) serao iguais se p2 = 4 q. Neste caso, substituin a equa9ao (3) pode ser posta sob a forma (14) e port-anto 1'1 = 1'2 + p1' + i 1'z = - t p. Para 0 y = eTlX e (15) + t p)2 = p2 = (r 0, caso atual, U = :re TlX sao solu90es particulares clistintas e (16) ea solw;ao geral. Para comprovar estc resultado e bastante mostra fun9ao em (15) e uma solU9ao da equu9ao clifcl'cnc vando, temos (17) y= dll Xe'lX, -d' = erI '" (1 x (Flf + 1'1 x); (x- i") = (rlx Substituindo os resultados (17) no primeiro m obtem-se depois de cancelaI' (TIX, (18) Esta expl'css,10 (1'1 2 + pri + q) x + 21'1 + p . e nula porCInc 1'1 s:l.tisfnz (;}) e e ds s = 4 e ill = - 2 quando t = O. SOLU9AO. A equa~1io auxiliar e + 2 ,. + 1 = 0, r2 ou (r + 1)2 =0 Logo as rafzes sao iguais e iguais a - I e portanto, p (20) Esta ea solu<;:iio geral. Para achar a solu<;:ao particular pedida, devemos achar va tantes Cl e C2 tais que as dadas condi<;:6es ds dt s=4e- - 2 quando t = 0 sejam satisfeitas. 4 = Substituindo na e portanto solu~ao geral (20) os valores dados s = Cl (21) Derivando (21) em rela~ao Pelas condi<;:6es dadas, : a t, obtemos - 2 quando t = O. Substituindo, obtemos - 2 = C2 - 4 e portanto particular pedida e s = e- t (4 + 2 t). Resp. C2 = 2. EXERCICIOS Achar a soluyao geral de cada uma da'l seguinte renciais. d 2s 3. dt~ d 2x 4. dt 2 ds - 2 di + s = O. ~ = clet + C + I? x = Cl s = cle~t Y = CI X = O. d 2s - 4 s = O. dt 2 d 21J dll 6. - '2 +4-' = O. dx dx 2 d s ds 7. dt 2 + 2 di + 2 s = O. d 2s ds 8. -2- 2 - +5s = O. dt dt 5. e 2 d 0 _ 5 dB + 4 = O. dt 2 dt 2 10. d y2 + 6 dy + 9 = 0 dx dx Y 9. d 2y dy 11. dx 2 + 5 dx + 6 y = O. d2s 12. dt 2 +3s = O. cos 4 + C + C2 s = e-t (CI co s = et (CI cos d2~ 3s = O dt" d 2y dy 14. dx 2 - n dx = 13. _u _ d2,~ ds - 6- + dt 2 dt 2 dx dx 16. dt Z + 2 di + 15. - Nos exercicios seguintes achar a solu9ao particu as condi90es dadas. d 2s 17. dt 2 18. ds ds + 3 di+2s=0; s=O, di= 1,quandot=0. R d 2x dx - +n 2x=0' x=a -=0 quando t=O dt 2 "dt' . d~ ~ 19. - 2- n 2x=0'x=2 -=0 quando t=O dt d 2y 20. dt 2 " dt' . R du dy + 2 di'-8y=0; y= O'dt= 24, quandot= O. Resp 23. d 2s ds ds dt 2 +8&+25s=0; s=-=-4,&=-16,quando Resp. d2x dx dx 24. - 2 - 6 -+ 10 x=O; X= 1, -dt =4, quando t=O dt dt Resp. x = d 2s ds 25. -l'" + 4 s = 0; s=O, -d =4, quando t=O. G ~. t 26. r]2 X dx -2 - 4 . x=O' X= 10 , -=0 dt , d t ' quando t=O . d 2y 27. dt 1 28. + <1.. d?J dt d 2x _ dx dt 2 4 dt d~ 29. clt 2 30. ~ - ·1 dt _ . _ dy _ ') _ - 0, y- 1, dt - "-', quando t-O. I T • _ • _ ') d:r; _ ,. 4x - 0, x-_, dt -0, quan d0 t-O ~ + 13 x=O; x=2, &=4, quando t=O d 2s ds ds --+-4-+8s=0's=0 -=8 quandot=O. dt 2 ' dt "dt' Para resolver a equac;ao difcrencial d 21j dll -', +p-' +qy=X dx 2 d:T, (H) onde p e q sao constantes e X e uma func;ao da v dente x ou uma constante, sao necessarios tres pas PRD1EIRO PASSO. (22) a soluC;ao geral. Y Esta SEGUNDO PASSO. (23) de (H). Resolva a equaC;ao (G). = Sej u e chamada fun~ao complemen Obtenha, por tentativa, uma y = v s que a equac;:ao e satisfeita e, por outro lado, (24) co tantes arbitrarias essenciais. Para determinar a soluc;:ao particular (23), sao u seguintes (ver tambem 0 § 208). (Nas formulas exceto x, representam constantes e x representa a pendente). Caso geral. X = a + bx, X = aebx , X = al cos bx Se y = X nao e uma soluc;:ao partic tomamos y = v = tomamos y = v = + a2 sen bx, tomamos y = v = A 1 cos Caso especial. Se y = X e uma solu«ao partic mamos para v a forma acima multiplicada por x pendente). o metoda consiste em por y = v, como e dada e determinar as constantes A, B, A 1 e A 2 de modo satisfeita. Exemplo ilustrativo 4. (25) SOLU9AO. geral de (26) Resolver rfly _ 2 dy _ 3 y = 2 x . dx 2 dx Primeiro passo. cPy A funl(iio complementar u e dy - 2 -2--3y=O. dx dx Pelo exemplo ilustrativo 1, acirna, temos pois (27) Segundo passo. Como y = X = 2 x nao tomamos como solul(iio particular de (25) (28) y = v = A e uma solul(iio + Bx. Substituindo &te valor em (25) e reduzindo, obtemos (29) - 2 B-3 A - 3 Bx = 2 x. particular (30) Terceiro passo. De (27) e (30) resulta, pois, a solu\;iio y = u +v = Exemplo ilustrativo 5. 4 2 + c2e-:r: + '9 - '3 x. c1e3:r: Res Resolver (31) SOLU9AO. Primeiro passo. e A fun\;3.o complementar (32) Segundo passo. Aqui y = X = 2e-:r: e uma solu\;3.o part pode ser obtida da solu\;iio geral (32) pondo Cl = 0, C2 = 2. tomamos como soluc;:iio particular v de (31) y = v = Axe-:r:. (33) Derivando (33), obtemos dy . ~y -- = Ae-:r: (1 - x) - 2 = Ae-:r: (x dx 'dx (34) 2) • Substituindo os resultados (33) e (34) em (31), obtemo (35) Ae-:r: (x - 2) - 2 Ae-:r: (1 - x) - 3 Axe-:r: Simplificando, vem - 4 Ae-:r: em (33), obtemos (36) Terceiro passo. = 2 e-:r: y = v = - =2 e portanto A t xe-:r: . A solu\;ao geral de (31) e, portanto, = tal que d8 edt = 8=0 SOLU9AO. 2 quando t = O. Procuremos primeiro a soluyao gera!. Primeiro prisso. Resolvendo (38) achamos a funyao complemental' = = cos 2 t (39) 8 Segundo pas80. Examinando U Cl + C2 sen 2 t . segundo membro de (3 0 = 2 cos 2t e uma soluyao particular de (38) que resulta de C2 = O. Logo, tomamos como solugiio particular 8 = v de (3 8 (40) 8 = v = t (AI cos 2 t + A2 sen 2 t) . Derivando (40), obtemos ~~ (41) )~8 ~ dt 2 = Al cos 2 t + A2 sen 2 t - 2 t (AI sen 2 t - = - 4 Al sen 2 t + 4 A2 cos 2 t - 4 t (,1.1 cos Substituindo os resultados (40) e (41) em (37) e simpli (42) - 4 Al sen 2 t + 4 A2 cos 2 t = 2 cos 2 t . Esta equayao torna-se uma identidade quando Al = 0, A 2 em (40) resulta (43) Terceiro pas80. (44) 8 = V ! t sen 2 t . POl' (39) e (43) a soluyao geral de (37) 8 = Agora devemos determinar (45) = 8 Cl Cl cos 2 t e C2 ds =0 e- dt + C2 sen 2 t + ! t sen 2 t de modo que = 2 quando t = O. Substituindo as dadas condir,:oes (45) em (44) e (46), ve ° 2 = 2 C2. = Cl, Cl = 0, C2 = 1. Pondo estes valores em (44), a solur,:iio particular pedid s = sen 2 t (47) + ! t sen 2 t. Resp. EXERCtCIOS Achar a saluc;ao geral de cada uma das seguinte renciais. d 2x Resp. X= Cl cos t+C2 sen 1. dt 2 + x = at + b. d 2x 2. dt2 - + 'x = aebt , x d 2x 3. dt 2 + x = 4 cos t. = Cl X=Cl r1 2x 4. dt 2 + ~( = 4 sen 2 t. d 2s 5. dt 2 - 4 s = at + b. d 2s cos t + C2 s cos t+C2 sen X= Cl cos t + C2 se S = cle 2t + C2e-2L t --4s=?e 6. dt .., . 2 S = cle 2t + c2e-2t - d 2s 7. - 2 - 4 s = e21 . rlt S = cle 2t + C2e-~t + d 2s 8. dt 2 - 4 s = 2 cos 2 t. S = cle~t + c2e-2t - d 2y 9. d~2 10. r[2x dt 2 + 9Y = 5 x 2. rlx -,-- 2 x at = y=Cl cOS3x+c2se 4 t. rPx dx 8 -2- 2 -+x= dt elt . 2 el s ,ds 12. - 2 --'± -+3s=6e·1 elt tli ll. ? Resp. x = cle-t + x = cle t + c2tet + s = cle t + C2e 3t c2e~t - + 15. dZy dy - - 2 - ' +5y=3cos t. dt Z dt y= el (Cl cos 2 t+C 3 t T 5' cos - 1 dZy y= el (Cl cos 2 t+ + ~ ~ cos2t+ 16. dt Z - dy 2dt +5y= 3sen 2 t. dZs 17. dt Z + dZx 18. dt Z + d 2y d2 t dZz 20. - 2 ~ dt dZx 21. ;;::; + t19. I dZs 4- 2 + s= 5 dt 9 s = 3 cos 2 t. 22. 4 x = 2 sen 2 t. 23. dt Z + 3 dt + y = 2 + el. 24. (Z2x2 _ 8 dx + 4 z = t - el. 25. dt 2 2 x = t2 26. dt 2 . - dZs dt d 2y d 2s 2. - ~ dt 8 + 6 dy dt + ds di + Nos exercfcios seguintes achar a solugao particu as dadas condigoes d2s dt 1 2' 1 18 ds dt 1 quandot=O. 9' 27. -+9S=I+-'S=-'-=2 •. Resp. d 2s dt 2 ds 3 9 e3t) . s =, 1 -dt = -2' quando t = O Resp. s = dZs ds 29. - 2 + 9 s = 5 cos 2 t· s= 1 = 3 quando t = " dt dt' Resp. s = s dZs ds 30. - 2 + 9 s = 3 cos 3 t· s=O = 6 quando t = " dt dt ' Rcsp. s=2 sen dZx dx 1 dx 4 31. dt~-2;U -3x=2t+l x=3'di=---g,qu 28. -+ 9 s = Resp. xc·=iCc3 dt2 " 2 d s 34. dl 2 9 s = 6 tj s = 0, dI = 0, quando t = 0. 2 dx 2 dx d~ +x d 2s dt 2 +4s= 37. - = 2 x,' y = 2, dy = 0, quando x = dx dx = 2 cos 2 tj x = 0, ill = 2, quando t = dx d 2x - 2dt 2 dt 38. - d~ ' ds - 35. d y _ 2 dy 36. dt 2 dt ds dt 2 cos 2 t· s=O " +2x = 2 sen t· ' ~ = 2 quando t = ' dx x=O, -dt =0, quand ~ 39. d~2 + 5 d~ +4 y=2 eX; Y= 1, d~ =0, quando x= d 2y dx 40. - '2 dy + 4 -+ 4y=4 dx d1j Y = 0 - ' = 2 quando " dx ' (;2X, 207 .-Aplica~Oes. Lei dos juros cOInpostos aplicac;ao das equac;oes diferenciais e fornecida por quais a velocidade de variac;ao da func;ao em relac;ao para um valor qualquer da variavel e proporcion dente valor da func;ao, isto e, se y = f (x), (1) dy dx = ky, onde k e uma constante. Nesta equac;ao as variave isto e, trata-se de uma equac;ao do tipo I (§ 20 obtemos (2) y = ce k '" , onde c e uma constante arbitraria, isto e, a soluc;ao cial (§ 62). Reciprocamente, dada a exponencial mente, por derivac;ao, que y satisfaz (1). A ligac;a nome "lei dos juros compostos" mostra-se como seg Entao ily = iyilt e portanto ily ilt (3) . ly . = A equa9iio (3) diz que a velocidade de varia98.0 media d (§ 50) no perfodo de tempo ilt e proporcional ao pr6prio y juros sao acrescentados ao capital em determinados intervalo mente, trimestralmente, etc.; em outras palavras, y varia de rela9iio a t. Mas, na natureza, a varia9iio se processa, n continuo. Deste modo, para adaptar a equa9iio (3) aos feno vemos imaginal' a soma y acumulando de modo continuo, a equa9iio (3) pOl' dy at = . lY· Assim fazendo, a velocidade de varia9iio de y e propo esti de acordo com (1) se k = i. Em (1) a funyao y diz-se varidvel segundo a le pastos. Um segundo exemplo e fornecido dy -;:;:: ky (4) dx pela integral g + c, onde k e c sao constantes nao nulas. (4) pode se por sob a forma d dx (y + a) = k (y Realmente, + a). Esta equayao diz que a fun y8.o y + a varia de acord 'uros compostos. A equac;:ao diferencial (4), ou (5), e .s do tipo I, § 204. A soluyao e (6) y = cek:r, - a. dy ~=1cy. (7) Separando as variaveis e integrando, vern 10 y = kx + C. Temos que achar os valores de k e C. Temos Suhstituamos os x e y. In 4 = k Resolvendo, Portanto, + C, 10 12 = 2 k k = 10 12 - 10 4 = 10 3 = 1,0986, In y = 1,0986 x + 10 :' e + C. C = In 4 - -±- y = 3 e1 ,0986'" . Exemplo ilustrativo 2. Dilui~ao de uma solu~ao. Poe-s con tendo uma solu9:10 salina (ou acida) afim de reduzir a con tancia. 0 volume v da mistura no vasa permanece constante dade de sal (ou acido) no instante t e se x = quantidade de mostrar que a velocidade de decrescimo de s em rela9ao a x nalmente a s, precisamente, que s v ds dx = SOLU9.~O. Como s = quantidade de sal na mistura de quantidade de sal em outro volume qualquer u da mistura e Suponhamos que urn volume Ax da mistura se escoa do <lade de sal que escoa e ~ Ax e portanto a varia9ao na qua v vasa e dada por (8) As = - ~Ax. v Suponhamos agora que urn volume Ax de ligua seja d afim de que 0 volume primitivo v de ligua seja mantido. Res que a razao entre a quantidade de sal escoado e 0 volume de e dada por As Ax s v Logo, s varia de aclirdo com a lei dos juros compostos PROBLEMAS 1. A velocidade de variayao de uma funyao y e igual a 1/3 de y e y = 4 quando x = - 1. Ach X e y. Resp. y = 2. A velocidade de variayao de uma funyao y e igual a 2 - y e y = 8 quando x = O. Achar a l Resp. y = 3. No exemplo ilustrativo 2, se v = 10000 galo Resp deve ser derramada para diluir 50% do sal? Se a difereny ratura de um corpo e a do ambiente e de x grau de variayao do decrescimento de x e proporcional a renya de temperatura era a principio de 80 graus e e de 70 graus, qual sera ela depois de 2 minutos? nutos decresce ela de 20 graus? 4. Lei de Newton do esfriamento. 5. A pressao atmosferica p sobre a superfieie funyao da altura h em relayao ao nivel do mar, qu a lei dos juros compostos. Admitindo que p = 15 gada quadrada quando h = 0 e p = 10 libras qu pes, achar p (a) quando h = 5000 pes, (b) quando Resp. (a) 12,2 libras; (b) 8, 6. A velocidade de uma reayao quimica na qua dade de substancia transformada no tempo tea v riayao de x em relayao a t. Rear;ao de prmeira ordem. Seja a = concentra da experiencia. Entao ~: = k (a - x), pois a v porcional a concentrayao naquele instante. (Note q centrayao, varia segundo a lei dos juros compostos Prove que k e igual a - 1 t a In - - . a - x 24 horas? Resp. 586 lib 8. Num circuito eletrico com dada voltagem (amperes), a voltagem E e consumida em vencer R (ohms) do circuito e (2) a indutancia L, sendo E , =' R' '/, +L di dt ' ou di dt = _1 (E L a equayao ligando as grandezas. Sendo E, R e L que regula 0 fenomeno e dada por uma equayao do Dados L = 640, R = 250, E = 500 e i = 0 quan que a corrente tende a 2 amperes quando t cresce Ache em quantos segundos i atinge 90% do seu ma Resp. 5,9 s 9. Num condensador descarregando eletricidade, variayao, em relayao ao tempo, da voltagem e e p e e decresce com 0 tempo. Dado 0 coeficiente de p 1 k = 40' achar t se e decresce 10% do seu valor orig 9 10. A formayao de uma soluyao salina (ou acida) sal (ou acido), mantendo constante 0 volume, con Resp. dY = .-!..- (v - y), onde v = volume constante, y = dx v no tanque em cada instante, x = sal (ou acido) adi tante inicial. Deduza este resultado e confronte c ilustrativo 2 acima. 20S.-Aplica!;oes a problemas da mecanica blemas importantes da mecanica e da fisica sao reso todos explicados neste capitulo. Por exemplo, proble mentos retilineos muitas vezes conduzem a equayoes primeira ou segunda ordem e a soluyao dos problem resoluyao destas equai}oes. Antes de dar exemplos ilustrativos, devemos (§ § 51 e 59) ds d2 s dv du a = 2- = v-, v=(1) dt ' dt dt ds Exemplo ilustrativo 1. Num movimento retiHneo a acel mente proporcional 11.0 quadrado da distancia see igual a isto e, Acelerac;ao = a = - (2) 4-s . Tem-se tambem v = 5, s = 8 quando t = O. (a) Achar v quando s = 24. SOLU<{AO. De (2), uganda a ultima f6rmula para a, obt (3) Multiplicando ambos os membros por ds e integrando, if -2 = - (4) 4 s + C, • 8 ou v- = s +C. I Substituindo em (4) as condic;5es acima v = 5, s = 8, logo a (4) torna-se v2 = - (5) _ + 24. = 31v. 219 = 4,93. Desta equac;ao, se s = 24, v = (b) 8 s Achar o. tempo gasto para 0 Resp. ponto se mover de s SOLU<{AO. Tirando v de (5), vern ~ = v =VS y'~. (6) dt s Separando as variaveis set e resolvendo em relac;ao intervalo de tempo necessario para ir de s = 8 ate s = 24, (7) Nota. t = 1 2v2 _ /- 1 24 8 sds . ~2 = 3,23. vs+3s Resp. Usando a primeira forma em (1) para a, (2) C: ~s dt2 = - que e da forma (F), § 205. § 205. 4 's2 , 0 metodo de integrac;ao aqui e (8) onde k 2 = grandeza de a na unidade de distancia. Lembrando que uma fOf(~a e a acelera<;ao caus rem apenas em grandeza, vemos que no caso supra esta sempre dirigida para 0 ponto s = 0 e e, em g mente proporeional a distaneia s. 0 movime vibrar;iio harmonica simples. De (8) resulta, usanda (1), (9) uma equa9ao linear em set de segunda ardem c constantes. Integrando (vel' exemplo ilustrativo 2, a salw;ao geral s (10) = Cl cos kt + C2 sen kt. De (10), pOl' deriva<;ao, (11) v = k (- Cl sen kt + C2 cos kt). E faeil vel' que 0 movimento definido pOl' (10) peri6dica entre as posi<;oes extremas s = bas = pOl' (12) De fato, podemos substituir as constantes outras constantes b e A tais que (13) Cl = b sen A, C2 = Cl e b cos A . Substituindo estes valores em (10), ela rednz-se (14) s = b sen (kt + e agora a veraeidade do resultado A), e 6bvia. pOl Exemplo ilusttativo 2. Nurn movimento retilfneo 5 a=--:[s-v. (15) Tem-se tambem v = 2, s = 0 quando t = O. (a) achar a SOLU9AO. equa~ao do movimento (8 em termos de t) Usando (1), temos, por (15), rFs (16) uma dt2 equa~ao da Logo, a solu~ao AB raizes da forma (G). r1 = - 5 ds + di + -:[ s = t + V -1, 0, equa~ao auxiliar r+ = - 72 i-v - l . geral de (16) e s = e-!t (17) (C1 cos t + C2 sen t). Pelas condi~6es dadas, s = 0 quando t = O. (17), achamos C1 = 0 e portanto Substituind (18) Derivando para achar v, temos v = c2e-!t (- (19) i sen t + cos t). Substituindo os valores dados v = 2 quando t = 0, temo Com este valor de C2, (18) torna-se s = 2 e-!t sen t. (20) (b) Para que valores de t ev = Resp. O? SOLU9AO. Quando v = 0, a expressiio entre parentesis do de (19) deve se anular. Pondo esta igual a zero, obtemos im tg t = 2. (21) Para cada valor de t satisfazendo (21), venula. (22) t = 1,10 + mr, Benda n inteiro. Estes Resp. Os sucessivos valores de t dados por (22) diferem por tempo constante 7r. A vibmc;ao harmonica simples correspondente a. comp perturbada pOl' uma forc;a de amortecimento com a acelera urna forc;a proporcional a velocidade e oposta a direc;iio do mov desta forc;a de amortecimento sao duplos. Primeiro, 0 intervalo de tempo entre posic;oes sucessi 0 ~ alongado pela forc;a de amortecimento. De fa to, p monica simples II ~ (24) temos, pOl' confronto com (8), k =!v'S = 1,12 e 0 meio p Como vimos acima, para a vibrac;ao harmonica a pondente intervale ~ 11'. 0,8911'. Segundo, os valores de s para as posic;oes extremas suc ao invez de serem iguais, formam agora. uma progressao geo A demonstrac;ao ~ omitida. Exemplo ilustrativo 3. tem-se Num movimellto retilfneo a = - 4s (25) tamb~m s = 0, II + 2 cos 2 t ; = 2 quando t = O. (a) achar a equac;ao do movinwllto. POl' (l), temus, de (25) SOLUl;AO. rfls (26) ~ dt 2 +4 g 2 cos 2 t. = A soluc;ao particular pedicla foi achaJ.l dada pela equ~ii.o (47), § 206. Logo (27) s = sen 2 t + t t sen 2 t. Resp. (b) para que valores de t sera II = (2 + t) cos 2 t + t sen 2 t dividindo ambos os membroB (29) t tg 2 t pOl' = II e 0; cos 2 t, +2 +t = 0 . As rafzes desta equac;ao podem ser achadas como foi explicado nos § § 87-89. A figurll mostra as curvas (vel' § 88) (30) ~ = j tg 2 t, Y = - 2 - t , exemplo ilus Y O? SOLu9AO. Derivando (27) pam achar igualando u resultado a zero, ohtemos (28) 110 (31) A vibra"iio harmt'lnica simples correspondente a compon rfodo 7r ~ agora perturbada por uma for"a com a acelera"ao a ft'lr"a peri6dica cujo periodo (= 7r) ~ 0 mesmo que 0 perfodo d nica simples nao perturbada. Os efcitos desta for"a de pertur Primeiro, 0 intervalo de tempo entre posi"oes sucessiv v = 0 niio ~ mais constante mas decresce e tende a 7r. Ist da figura acima. Segundo, os valores de s para as posi"oes extremas suc crescem neste caso e tomam-se, eventualmente, indefinidam valor absoluto. t EXERCtCIOS Em cada urn dos seguintes exercl<;ios sao dadas as condi90es iniciais. Achar a equa9ao do movim 1. a = - k 2s; S = 0, v = Vo, quando t = 0. Resp. 2. a = - k 2s; S = so, v = 0, quando t = - k 2s; a = 6 - 8; 8 4. 8 a = sen 2 t - s; 8 = 0, V a = 2 cos t - 8; s = 2, v 0, quando t Resp. 7. 80 6( 8 = ~s 8 = = 0. 8 = 2c a = - 2 v - 28; s = 3, v = - 3, quando t = Resp. s = 3 e- 8. a = - k 2s + b; s = 0, v = 0, quando t = 0. 9. a = - nv; s = 0, v = n, quando t = 0. 10. c = 0, quando t = 0. Resp. 6. 8 = = 80, V = Vo, quando t = 0. = 0, V = 0, quando t = 0. Resp. 5. ~ k = = 0. Resp. 3. a s a = 8 t - 4 s; s = 0, v = 4, quando t = 0. que 0 movimento e uma vibra9ao harmonica sim em s = 2, amplitude 2 e periodo igual a 7r. 15. A acelera9ao de uma particula e dada a = 5 cos 2 t - 9 s. (a) se a particula parte do repouso na origem, Resp. s = cos 2 t - c do movimento. Qual a maxima distancia da origem que a particu (b) Se a particula parte da origem com velocid a equa9ao do movimento. Resp. s = cos 2 t + 2 Qual a maxima distancia da origem alcanc;ada 16. Responda as perguntas do problema pr acelera9ao seja dada pOl' a Resp. (a) s = = 3 cos 3 t ! t sen 3 t; - 9s . (b) s = ! t sen 3 17. Um corpo cai do repouso sob a a9ao do trando uma pequena resistencia que varia prop velocidade. Prove as seguintes rela90es: a = g - kv. v = k (1 - s ks = :2 (kt e- kt ). + e-kt - 1). + l' + k9 In ( 1 - gkV) = O. 18. Um corpo cai do repouso uma distancia d Res tindo que a = 32 - v, achar 0 tempo. Uma lancha que se move em agua tranq a um retardamento que e proporcional, em cada in dade da lancha. Mostre que t segundos depois de a velocidade e dada pOl' v = ce- kt , onde c e a velorid tinha ao ser cortada a for9a. 19. 21. Sob certas circunstancias, a equa9ao defin do ponteiro de um galvan6metro e Mostrar que 0 ponteiro nao oscila atraves do zero se a solUl;ao geral se JJ. < k. 209. - Equa~oes diferenciais linea res de n-e com coeficientes constantes. A resolu<;,ao da e cial linear (1) + PnY = na qual os coeticientes PI, P2, ... , Pn sao constante agora. A substitui9ao de y pOl' erx no pl'imeiro membr Esta expressao se anula para todos os valores fazem a equa9ao e portanto para cada urn destes valores de r, eT'" e (1). A equu93.0 (1) e chamada de equar;lio auxiliar vamos que os coeficientes dela sao os mesmos que os expoentes correspondem a ordem das derivadas e substituido por 1. As raizes da equa9ao fornecem solU90es particul diferencial (1). Os resultados sao os do § 206 exte 90es de ordem superior a 2. Para a demonstru9ao, mais avan9ados. f=h;GUNDO PASSO. Resolva completamente a equa~ TERCEIRO PASSO. As raizes da equa~au a1lXilia r;oes do. equar;ilo diferencia.l, as quais se obtem como s EQUAQ.:\O AUXILIAH J,1QUAC;;AO DIFER (a) Gada raiz real dist1:nta rl fornere uma particu . (?) G~~ par de rai~p.s ima- }fo'l'npcp { duas solu gmdrtas (hsf.1ntas a ± bt eO" cos b (c) Uma ratz mult1'pla ocorre s vezes s (ou 2s) lares que plicando (b) ) por QUARTO PASSO. Multiplique cada uma das n* s dentes assim achadas por uma constante arbitraria tados. Esta soma e a solur;ao geral da equa~ao difer Exemplo ilustrativo Resolver SOLUQAO. Sigamos a regra acima. Primeiro passo. 1'3 - 31'2 + 4 = 0, equaQiio auxiliar. Segundo passo. Reso!vendo, DR rafzes sao - 1, 2, 2. Terceiro passo. (a) A raiz - 1 fomece a soluQilo e-Z • (c) A raiz dupla 2 fornece as duas solu Quarto pa.sso. A sGluQiio gera! e Y = cle-z + c2e2z + caxe2z . Resp. Exempl0 ilustrativo 2. Resolver SOLUQAO. Sigamos a rep-a a.ci1l11l. Primeiro passo. r4 - 41" + 101'2 - 12 r + 5 = 0, equaQ Segundo passo. Resolvendo, as rafzes sao 1, 1, 1 ± 2£. • Obeerve-ee Que os tr@s primeiros passo. devem fornecer n soluclle dentee. au + czxe x + caex cos 2 x + C4e'" sen 2 x, (CI + czx + Ca cos 2 x + C4 sen 2 x) eX. R y = ere x y = A equayao diferencial lineal' + PnY = (J) na qual PI, pz, ... , Pn sao constantes e X e uma uma constante, resolve-se com os mesmos metodo no § 206 para a equayao (H). Aqui tambem dev os tres passos descrit.os no § 206, isto e, resolvemos p yao (1) e a soluyao geral, y = u, (2) desta equa9ao e a funyao complemental' para (J). ramos uma soluyao particular y = v (3) para (J). Entao, a soluyao geral de (J) (4) Y = u e dada pa + v. Na prOCUl'a de (3), procede-se POI' tentativas co logos aos usados no § 206 para 0 caso de n = 2. ai para a caso geral aplicam-se tambem para qualq Em qualquer caso, podemos seguir a REGRA PARA ACHAR UMA SOLU<.;AO PAR'frcULAR PRIMEfRO PASSO. Derive sucessivamen~e a dad obtenha, ou diretamente ou por elimina~ao, uma eq de ordem mais alta e do tipo (I). Resolvendo esta nova § 209, obtemos sua solu~ao geral SEGUNDO PASSO. equa~a y=v e suas derivadas no. dada equa9iio (J). No. identidade os coeficientes do·s mesmas potencias de x, tire do sis obtido os valores das constantes de integra~iio e os su y=u+v. Vem a solu~iio geral de (J). ~ste metoda sera agora ilustrado par exemplos Nota. A resoluc;ao da equac;ao auxiliar da nova equa¢o d seu primeiro membro divisivel p bro da equa¢o auxiliar usada para acha.r a func;ao complcmen e facilitada pelo fato de ser 0 Exemplo ilustrativo. Resolver y" - 3 y' (5) SOLU9AO. Vamo~ +2y = xe"'. achar primeiro a func;iio cornpleme.nta (6) 'I" - 3 y' +2Y = 0, obtem-se y (7) Primeiro passo. = u = cje 2", Derivernos (5). y'" - 3 y" (8) Fac;arno~ + cze"'. Vern + 2 y' = xe'" + c"'. a diferenc;a entre (8) e (5). y'" - 4 'I" (9) Derivernos (9). - 2y + 5 'I" Fac;amos a diferenc;a entre (10) e (9). (11) que e urna yiv - 5 y'" + 9 y" - 2 'I' = eX. Vern - 7 'I' + 2 y = 0, equac;iio do tipo (I). Segundo passo. (12) • E 6bvio dedllJ5id". = eX. Obternos yiv _ 4 'I'" (10) + 5 y' Ternos Rcsolvamos' (11). A equac;ii.o auxiliar r4-5r3+9r z -7r+2=0. que tods 8olucao ds equscao originsl deve ser tsrnbern u c As ra(zes sao r = 1, 1, 1, 2. y = cle2'" (14) Comparando (7) e (14) vemos que Terceiro passo. (15) ~era C3 e Logo, a solU9iio geral de + e'" (C2 + C3X + c4x2). = y v = e'" (C3X + C4x2) uma solu v3.0 particular de (.5) para valores convenien c~. Derivando (15), ohtemos (16) y' = y" = + (ca + 2 c~) x + C~x2), e'" (2 (ca + C4) + (C3 + 4 c~)x + C4X e'" (C3 Substituindo em (5) os resultados de (15) e (16), dividin bros por eX e reduzindo, obtemos 2 (17) C4 - C3 - 2 C-4X = X. Igualando os coeficientes das metimas poMnciaa de x, ob 2 C4 - C3 = 0; logo, C3 = - 1, C4 = -!. Substit.uindo estes a soluvao part.icular e (18) e e a solU9iio geral y = u +v = cle2'" + c2e"'.- e'" (x +! :1;2). Re8 EXERCICIOS Achar a solu y8.n geml de cada uma das segl.lint renClalS. I. (/."lJ + -1 2. d4 y d4x + 4 d2 d:r;; d 2y .X d 5y dx dy dx 3. -5- 4. d 4s clt4 = O. = O. + 3 dt-d s -4s=0. 2 2 d4y 5. dx 4 O. rll/ dx d 3y - dx 3 d 2y + 9 dx 2 9 ~ = O. Resp. y=Cl+C2e"'+Ca ro d4s 8. --s= t 3 +3 t. 4 dt 9. = 2 ~.2. 3 d y _ 4 dy dx 3 dx d 2y dy II. - 2 - 3 -+2 y=xe 3:&. dx dx Y= ddt22S-9dd~t'+20S=t~e3t. Resp. 12. c1e:& + c2e~:& -- .2. e3 4 ~t+ C213&1+13 S-Cl_ 3 d 2s 13. dt 2 +4s=tsen 2 t. Resp. S=c1cos2l+C 2 sen2l+ t g- tco ~ d4 s + l~dt2 d 2s d4x + 2 dt + 14. 18. dt~ 15. 19. 16. d s d 2s 20. - 3 - 2 - 2 dt dt dt 4 + d 2x 2 3 + 17. EXERCtCIOS DIVERSOS Ache a soluyao geral de cada uma das seguinte renciais. 1. 8 (~~ 2. : ( r r ) 3 _ 3. 4 (dd~ 1 = Resp. y=(t+C)2 27 y. 27 y2 . = 9 x. = O. + C) Y = y = x 2 + C. (x 3 6. dll -' dx +y dt 2 9. dt 2 dt + -1 - ds 4 dt + 4 s = o. - ds 4 dt + 8s = O. 2 dt - 3y = eol • d2,~ d 2y dy = (x + c)e-<l:. = O. 3s - d 2s 8. ?J rls r/2 S 7. dt 2 = e-z . 0 10. dt 2 - 11. d 2x ' dt 2 + k x = at + b. 2 x = clcoskt+ c2s x=clcoskt+C2s 13. 14. rJ.2x dt 2 d2x ~t2 - Jc2 X a cos kt. .r=cle kl +c2e- kl - + k 2 x = a sen kt. x = clcoskt+c2s = 15. (x L 2 y2) dx+2 xy dy= O. 16. dy dx + d4 s 17. dt4 18. d4 s dt 4 - 4 xy = 1 x 2+ 1 ( x 2+) 13 y2+ X 2 In cx= O. Y (x 2 + 1)2 = a d2s 5 dt 2 +4s=0. d2s + 5 dt + 4 s=O. 2 Resp. s= Cl cos t+C2 sen t+c 3 co 19. xy2 dy= (x 3 + y3) dx. 20. dy+xy (l-x 2y2) dx=O. d 2x 21. dt 2 d 2x dx - 8 dt + 25 x 22. dt 2 + 4 x = 8 t+ d 2x 23. dt 2 + 4 x = e d 2x - = O. 24. ~ + 4 x = 6 2. 25. aot- + = 2 td 2x 4x /4 Resp. 2s 2 27. (t 2 + t) ds = +3 + 2 st + s) dt. Tr. s = vt. Resp. s = ct 28. (3 + 2 st) s dt = (3 - 2 sf) t ds. Tr. st = v. dy 29. (x + Y • -d = 2 x + 2 Y + 5. Tr. x + Y = v. ,x (t2 0 ) OlITROS PROBLEMAS 1. A area limitada pOl' uma curva, 0 eixo dos lelas quaisquer ao eixo dos yy e k vezes 0 comprim curva compreendido entre as paralelas. Sabendo q pelo ponto (0, k), mostre que ela e uma c3;tenaria 2. A aceleragao de urn paraquedista provindo de t cional:io e 32 v2 pes POl' segundo quadrado, s dade em pes pOl' segundo. Se ele atinge 0 solo em u que 0 balao esta a pouco mais de 950 pes de altura Urn ponto movendo-se sabre 0 eixo clos xx es acelerayao dirigida para a origem e proporcional da origem e a um retardamcnto proporcional a sua bendo que a equagao diferencial do movimento e 3. d 2x dt 2 dx + m dt + nx = 0, onde men sao numeros positivos, e que x = 10, t = 0, achar em cada urn dos seguintes casos x e natureza do movimento. (a) m = 4, 11. = 5; (b) m = 4, 11. = 4; (c) m FUNCOES HIPERB6LICAS 210.-Seno e cosseno hiperb6licos. Certas ples envolvendo funyoes exponenciais (§ 62) oconem na matematica aplicada. Sao as funfoes hiperb6licas justificado mais tarde, no paragrafo 215. Duas d senD hiperb6lico' e 0 cosseno hiperb6lico de uma var indicam respectivamente pOl' senh v e cosh v, sao equayoes (A.) spnh 1.' + e' - e-' e" e-r. cosh v = --'---2 = ---- 2 onde e e, como e usual, a base dos logaritmos naturai funyeies nao sao independentes, pois de (A) deduzim cosh 2 v - senh 2 v = 1. (B) De (A) r~B~dt.a. quadrando. cf)~h2 v = ~ [ IJogo, 8ubtraindo. cosh'2 r -- senh2 li .2. + 24 + .-2" ' senh2" = = 1. Resolvendo as equayoes (A.) em relayao as expon (1) e' = cosh v Exemplo ilustrativo. + senh v, e-t' = cosh v - se Mostre que a solU9ao geral da equ (:2) parle ser postll sob It formR :1/ = A senh ax + B cosh ax , onde A. e B sao constantcs. 524 ea" = + cosh ax senh ax, e-ax = cosh ax - senh CI (cosh ax + senh ax) + e2 (cosh ax - s = (CI + C2) cosh ax + (CI - C2) senh ax. Y = Pondo CI - C2 = A, CI + C2 = B, Compare-se a resultado com 0 obtemos a forma dese do Exemplo Ilu::Itrativo 211.-0utras fun~oes hiperb6licas. A lang tgh v, e definida par senh v e" - e--.J (C) (,,·It v = - - = -V- - o r:osh v e + 1'-< As equa<;:oelS 1 (1) ctgh v = - - . tgh v . sech /I 1 =-- cosh v' cOl:isech definem, respectivamente, a cotangente hiperb6lica, b6lica e a cossecante hiperb6lica. As razoes usadas e as mesmas que as de (2), § 2, para as correspondent nometricas. Valem as seguintes rela<;:oes: (2) 1 - tgh 2 V = sech 2 v, ctgh 2 v-I = coss analogas as f6rmulas em (2), § 2. A demonstra<; f6rmula e dada abaixo. Para os valores das fun<;:oes hiperb6licas temresultados, que 0 leitor pode verificar: senh v toma qualquer valor; cosh v toma qualq tivo nao menor que 1; sech v toma qualquer valor po que 1; tgh v toma qualquer valor menor que 1, em ctgh v toma qualquer valor maior que 1, em valor a v toma qualquer valor exceto zero. Das defini<;:oes resulta tambem (3) cossech (- v) senh (- v) = - senh v, sech (- v) = se cosh (- v) = cosh v, tgh (-- v) =-. tgb IJ, ctgh (- v) = - 2 1 _ senh x = _1_. cosh 2 x eosh 2 x 1 - tgh2 X Logo Como tgh x = : ' esta tivo. = seeh 2 x. equa~iio da seeh x = ~ ,sendo inadmi Logo, cosh x = _1_ = ~ seeh x ;3' senh x = cosh x tgh x = etgh x = 5 4"' 4 "if' e eosseeh x = 3 "4' 212. - Tcibua de valores do seno, cosseno e perb6licos. Graficos. Vma t.a,bua dando os valo decimais, de senh v, cosh v e tgh v para valores de v apresentada na pag. 527. Para valores negativos la<;5es (3), § 211. Quando v -+ tgh v tende a 1. + Q), senh v e cosh v tendem ao in y y y y o x coshz FIG. 1 FIG. 2 Os g1'aficos de senh x, cosh x e tgh x (Figs. 1, t1'a<;ados facilmente fazendo uso da tabua. • l I Tgh ., • 1,000 1,000 1,000 1,000 1,001 0,0000 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400 O,050C 0,0600 0,0701 0,0801 0,0901 1,001 1,002 1,002 1,003 1,004 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,1002 0,1102 0,1203 0.1304 0,1405 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 I Senh. ] Cosh. Tgh • • IS 0,50 0,51 0,52 0,5:\ 0,54 0,5211 0,5324 0,5438 0,5552 0,5606 1,128 1,133 1,138 1,144 1,149 0,4621 0,4700 0,4777 0,485-1 0,4930 1,0 1,1 1,2 1,:j 1,4 0,0500 0,0599 0,0699 0,0798 0,0898 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,5782 0,5897 0,6014 0,6131 0,6248 1.155 1,161 1,167 1,173 1,179 0,5005 0,5080 0,5154 0,5227 0,5299 1.0 1,7 1,8 1,9 1,005 1,006 1,007 1,008 1,010 0,C997 0,1096 0,1194 0.1293 0,1391 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,6367 0,6485 0,6605 0,6725 0,6846 1,185 1.192 1,198 1,205 1,212 0,5370 0,5H1 0.5511 0:5581 0,5649 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 0,1506 0,1607 0,1708 0,1810 0,1911 1,011 1,013 1,014 1,016 1,018 0,1489 0,1587 0,1684 0,1781 0,1878 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,6967 0,7090 0,7213 0,7336 0,7461 1,219 1,226 1,233 1,240 1,248 0,5717 0,5784 0,5850 0,5915 0,5980 2,5 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,2013 0,2115 0,2218 0,2320 0,2423 1,020 1,022 1,024 1,027 1,029 0,1974 0,2070 0,2165 0,2260 0,2355 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,7586 0,7712 0,7838 0,7906 0,8094 1,255 1,263 1,271 1,278 1,287 0,0044 0,6107 0,6169 0,6231 0,6291 3,0 3,1 3,2 3,:\ 3,4 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,2526 0,2629 0,2733 0,2837 0,2941 1,031 1,034 1,037 1,039 1,042 0,2449 0,2543 0,2636 0,2729 0,2821 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,8223 0,8353 0,8484 0,8615 0,8748 1,295 1,303 1,311 1,:\20 1,329 0,6352 0,6411 0.6469 0,6527 0,6584 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,3045 0,3150 0,3255 0,3360 0,3466 1,045 1,048 1,052 1,055 1,058 0,2913 0,3004 0,3095 0,3185 0,3275 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,8811 0,9015 0,9150 0,9286 0,9423 1,337 1,346 1,355 1,365 1,374 0,6640 0,6696 0,6751 0,6805 0,6858 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 2 3 3 3 4 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,3572 0,3678 0,3785 0,3892 0,4000 1,062 1,066 1,069 1,073 1,077 0,3364 0,3452 0,3540 0,3627 0,3714 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,9561 0,9700 0,9840 0,9981 1,012 1,384 1,393 1,403 1,413 1,423 0,6911 0,6963 0,7014 0,7064 0,7114 4,5 4.6 4,7 4,8 4,9 4 4 5 6 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,4108 0,4216 0,4325 0,4434 0,4543 1,081 1,085 1,090 1,094 1,098 0,3800 0,3885 0,3969 0,4053 0,4136 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 1,027 1,041 1,055 1,070 1,085 1,433 1,443 1,454 1,465 1,475 0,7163 0,7211 0,7259 0,7306 0,7352 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 8 9 10 1 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,4653 0,4764 0,4875 0,4986 0,5098 1,103 1,108 1,112 1,117 1,122 0,4219 0,4301 0,4382 0,4462 0,4542 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,099 1,114 1,129 1,145 1,160 1,486 1,497 1,509 1,520 1,531 0,7398 0,7443 0,7487 0,7531 0,7574 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 1 13 14 1 18 Senh. Cosh. 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 O,COOO 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 1,5 2,6 2,7 2,8 2,9 5 9 2 DEMONSTRAQAO DE (D). Da dcfinic;:ao (A), sub v + w, vern (1) senh (v + w) = (2) cosh (v + w) = eHW - e"+w + e-.- 2 e-·-W ' W 2 o segundo membra de (1) t1'ansforma-se como usa de (1), § 210. 2 (OO8h II + senh II) (cosh w + senh w) - (cosh II - senh II) (c 2 Fazendo as multiplicac;:oes e reduzindo, obtemos (E) demonstra-se do mesmo modo. Pondo-se w = v em (D) e (E), vern (3) (4) senh 2 v = 2 senh v cosh v , cosh 2 v = cosh 2 V + senh 2 v. Estas sao analogas as f6rmulas para sen 2 x e c vamente, de (5), p. 4. De (B) e (4) obtemos resulta pondem as f6rmulas para sen 2 x e cos 2 x dadas em sao (5) senh 2 v = t cosh 2 v - t cosh 2 V = ! cos Outras 1'elac;:oes para as func;:oes hiperb61icas que pa1'adas com as da pagina 4 para func;:oes trigonome nos problemas. Exemplo ilustrativo. (6) Deduza a f6rmula t h II = senh 211 g cosh 211 + 1 De (5), por divisao, obtemos (7) t h2 IJ = g cosh 2 II cosh 2 II - 1 +1 g (cosh 2v + I)!' senh 2 II tghll = ± cosh 211 + 1 e portanto Vamos examinar 0 sinal deante do segundo membro. senh 2 v = 2 senh II h cosh2 V = 2 tgh II cosh 2 cos II Logo, senh 2 II e tgh II t~m 0 mesmo sinal. Ve-se tambe e sempre positiva e portanto e 0 sinal positivo que prevalece, Se v e substitufdo por t v, (6) torna-se t h.!. = senh II g 2 cosh v +1 (9) EXERCtCIOS I. E dado 0 valor de uma fun98.0 hiperb valores das outras e verificar os resultados, se pos da pagina 527. (a) cosh x = 1,25. (b) cossech x = - 0,75. (c) senh x = (d) ctgh x = Prove cada uma das formulas dos Problemas com a formula correspondente (se existir) em (2), ( 2. 1 - ctgh 2 V 3. senh (v - w) = senh v cosh w - cosh v sen cosh (v - w) = cosh v cosh w - senh v sen tgh v ± tgh w t g h (v±w) = . 1 ± tgh v tgh w 4. 5. 6. 7. = - cossech 2 v. sen h -v = ± ~ cosh v-I 2 2' cosh -v = 2 senh v + senh w cosh v + cosh w + w) cosh! + w) cosh! 1 ( ) tg h-v-w= 2 = = 2 senh! (v 2 cosh! (v senh v - senh w cooh v + cosh w + de funyoes hiperb6licas, senda y = 3 quando x = 0 4 tghx = 5 Mostre que sech (- x) = sech x. prove que lim sech x = o. 10. Dese Mostre que ctgh (- x) = - ctgh x. D e prove que lim ctgh x = 1. z---.+'" 12. Mostre que cossech (- x) = - cossech x. fico e prove que lim cossech x = O. ll. z---.'" 13. Prove que (a) senh 3 u = 3 senh u + 4 senh 3 u (b) cosh 3 u = 4 cosh 3 U - 3 cosh u. 14. Mostre que (senh x + cosh x)n n um inteiro positivo qualquer. = senh nx 15. Prove que senh 2 x - senh 2 y = senh (x 16. Simplifique cosh 2 u senh 2 u + cosh 4 v + senh 4 v' Resp. ctgh (u + +2 17. As equayoes parametricas da trat6ria p sob a forma t x=t-atgha ' o parametro a t Y = asech - . e tea e uma constante. a Desenhe = 4. (A trat6ria e a CUI'va para a qual a comprime (§ 43) e constante e igual a a. 18. d 2y Resolver dx 2 Resp. '= n 2 Figura no Capitul (y - rnx 2). y = A cosh nx + B senh nx + mx 2 dx dv XXVIII d dv dx cosh v = senh v dx . XXIX d dv tgh v = sech 2 v - . dx dx XXX - d dv - ctgh v = - cossech 2 v - . dx dx XXXI d dv dx sech v = - sech v tgh v dx . XXXII d dv dx cossech v = - cossech v ctgh v dx DEMONSTRA9AO DE XXVII. Por (A), senh v dv dx e'- d Entao dx senh v = e' = dv + e-'dx 2 + e..... dv dx 2 dv ='coshv- dx' usando (A). Prova-se a formula XXVIII de modo semelhan tra<jao de XXIX e analoga a dada no § 72 para a d Para demonstrar XXX-XXXII, deriva-se as expre (1), § 211. Os detalhes sao deixados como exercici 215.-Rela~oes COIU a hiperbole equilatera equa<joes parametricas sao (1) x = a cosh v, y = a senh v, e a hiperbole equilatera x 2 - y2 = a 2 , pois, elimina v por eleva<jao ao quadrado e subtra<jao, temos Sejam (p, e) as coordenadas ponto qualquer sobre 0 arilO API. Entao, 0 eleme (§ 159) dA = ~ p2 de. DEMONSTRA9AO. Y y FIG. .1"10.1 p2=x 2 +y2=a 2 (cosh 2v+senh 2v). Mas Ora, pOl' (5), p. 5, () = arc tg Logo JL x = arc tg (tgh v). de sech 2 v -d-v = -1-+-t-g-h-2-v' POI' XXII, § 60, e X Usando (C) e (I), § 211, obtemos dv de = cosh 2 v + senh - v O ' e portanto o teorema resulta pOl' integragao, pois v =0 em As equagoes parametricas do circulo da Fig. 1 x = r cos t, o Y = r sen t. parametro t e igual a t l em PI e t l e a medida brico AOP I em radianos. Logo, a area do setor e~ r 2 tl • x = cosh v, y ! v = area = senh v, AO As funyoes hiperb6licas tem, pois, as mesmas hiperbole equilatera que as funyOes trigonometric circulo. PROBLEMAS 1. Mostre que a catenaria y 0 elemento de comprimento = a cosh"::'" e dado por ds = cosh"::'" a a Na catenaria do Problema 1 prove que y2 igual a - . 2. tura e a Verifique os seguintes desenvolvimentos de fun Maclaurin e determine para que valores da variavel gentes 3. senh x = x x3 + 13 + x5 1 + 5 X 2n - 1 +!2n-1 Resp. Tod 2 4. x cosh x = 1 + 1 2 x' + 14 + x 2n + 1 2n + . Resp. T Verifique os seguintes desenvolvimentos usand Problemas 3 e 4 e os metodos explicados no § 195 5. sech x = 1 - -'. tgh x =x- t x +~x 3"1 x3 + 152 x5 2 4 - 1. Examine a funyao 5 cosh x maximo e minima valores. 7~~ x 6 + 17 x7 3i5 + .... + 4 senh x no Resp 8. Examine a funyao A senh x + B cosh x n a maximo e minimo valores. Resp. Se B2> A2, maximo = - VB2 - A2 se minimo = + VB2 - A2 se perbole equilatera do § 215, e tome limites de inte ao arco AP 1 das Figs. 1 e 2 da pag. 532. Prove f ds = (a) p t 1 para circulo; 0 . (b) fdS Prove que lim (cosh x - senh x) = ll. =Vl p o. "'....+'" Calcule cada um dos seguintes limites 12. senhx (a) lim - ",...0 x . 1 - cosh (c) 11m "'....0 x· (b) lim tgh x . X ",....0 x ? 13. Dado tg 14. Deduza cP = 0 senh x, prove que dcP d= x desenvolvimento S arc tg (senh x) -- x - 1.6 x 3 + 1. ~ x7 + 24 X - 5040 por integraljao como no § 196, usando o resultado do Problema 5. Dada a trat6ria (v. figura) 15. x = t - a tgh - t a ' P = a sech - t a ' prove que: (a) 0 panlmetro t e igual a abscissa do ponto de interseljao da tangente a curva com 0 eixo dos xx. (b) a constante a e igual ao comprimento da tangente (§ 43). (c) a evoluta e a catenaria '3 = a cosh (d) 0 ~. a t raio de curvatura PC e a senh - . a se v = senh- y, (2) e se Ie "v igual func;ao inversa do seno hiperb6lico d senh v e senh-1 y sao func;oes inversas uma da ou mesma notaQ.ao e nomenclatura sao usadas para a hiperb6licas inversas, cosh-1 v (func;ao inversa do b6lico de v), etc. As curvas (3) y = senh x, y = cosh x, y = tgh x sao apresentad"as abaixo. Vamos admitir que y seja dada. Na Fig. 1, y pode ter qualquer valor, positivo entao 0 valor de x e univocamente determinado. Na Fig. 2, y pode ter qualquer valor positivo 1. Quando y > 1, x tern dois valores iguais em mas de sinais contrarios. Na Fig. 3, y pode ter qualquer valor menor, em que 1 e entao 0 valor de x e univocamente determ y y y o X coshz FIG. 1 (0, FIG. 2 Resumindo, os resultados sao: senh-1 v e univo minado para qualquer valor de v. Tem-se tambem = - senh-1 v. As fun90es hiperb6ljcas foram definidas no § das fun90es exponenciais. As fun90es hiperb6licas prirniveis em terrnos das fun90es logaritmicas. As senh-1 x = In (x + YX 2 cosh-1 X = In (x ± yx 2 (F) (G) + 1) (x qu i). - 1 1+x tgh-1 x = "ill --. I-x (H) DEMONSTRA9AO DE (4) (F). ( Seja v = senh-1 x. x=senhv= eV - 2 e-V E . Para resolver (4) em rela9ao a v, ponhamo-Ia s eV 1 - - eV - 2x = 0 ou e2• 2 xeV - - 1 ' Esta e uma equa9ao do segundo grau em eV. R ± yX 2+ 1. Como eV e sempre positiva, deve-se desprezar antes do radical. Logo, usando logaritrnos neperia =x DEMONSTRA9AO DE (G). Seja v = cosh-1 x. e V (5) x = cosh v = +2 e- En V . Eliminados os denorninadores e reduzindo, vem e Resolvendo, e" = Os dois va.lores devem ritmos, obtemos (G). DEMONSTRA9AO DE (6) (H). x± 001' Yx 2 - 1. considerados. Seja v = tgh-1 x. eD - e-V x = tghv = -eV e-V + Toma En Exemplo ilustrativo. na. forma C cosh (x SOLU<;:XO. + a), Transformar onde C e a sao constantes, e ach Por (E), § 213, temos C cosh (x (8) + a) = C cosh x cosh a + C senh Logo, (7) ters a forma desejada se C e a satisfizerem C cosh a .= 5, (9) C senh a = 4 . Quadrando, subtraindo, e usando (B), § 210, obtemos = + 3, pois cosh a deve ser positivo. Por divisao, obtemos ta logo a = tgh- l 0,8 = ! In 9 . Portanto a = 1,099 e (10) 5 cosh x + 4 senh x = 3 cosh (x + 1,099) . 5 cosh x + 4 senh x pode scr obt o grafico da funQao 3 cosh x fazendo-se uma translaQao do eixo dos yy para a nov (Confronte com 0 exemplo ilustrativo 2, § 206). Quando x e dado, os valores de senh-l x, cos podem ser determinados pela tabela do parag. 21 que tres decimais. POl' exemplo, senh-l 0,25 = 0, = ± 1,76. Para maior precisao, (F), (G) ou (H) po quando se tenha ao alcance uma tabua de logaritm 217. - Derivadas (continua~o). As f6rmul uma fun(}ao de x, sao as seguintes dv d dx - senh-1v = XXXIII 2 dx + l' dv d dx - COSh,-1 V = XXXIV 2 dx ± l' vv vv • As Tabelas Matematicas Smitbsonianas. "Hyperbolic Functions" de senh u, cosh u, tgh u, ctgh u com cinco decima.is. Os valort's das func dentes com cinco decimais podem Ber obtidos por estas tabelas. y = senh-1 v; entio V = senh y. Derivando em relaC;ao a y, pOl' XXVII, dv dy = coshy', dy _ 1 dv - cosh y . portanto Como V e uma funC;ao de x, isto pode ser subs § 38, 0 que fornece dy du 1 vv dv 1 2 + = ~~ = [cosh !I = vsenh'lI + 1 = -v'i+l. dx Idx . por (B)]. As demonstrac;oes de XXXIV e XXXV sao sem Outras f6rmulas sao as seguintes 1 X + 1 ctgh-IX =2"ln--. (1) x-I J: (~± x 1x" -1). = In (.~ + ~x~ + 1). = In (J) sech-1x (K) cossech-1x dv XXXVI - d dx - dx ctgh-1 V = -2 - - . v - 1 dv XXXVII XXXVIII - d dx sech-I - d dx V = dx ± v VI - v2 dv dx cossech-1v = - - - = v2 ~ 1 +1 v2 so pelo sinal. Desenhe 0 grafico de y = ! senh-1 x. Ve os valores de y e y' quando x = 2. Resp. y = 0, 2. 3. Demonstre XXXIII diretamente, deriva 4. Desenhe 0 grafico de cada uma das seg verifique na figura os valores de y e y' para 0 dado (a) y = cosh-1 X ; X = 2. (b) y = tgh-1 x; x = - 0,75. 5. Demonstre XXXIV e XXXV. 6. Deduza (I) e XXXVI. 7. Deduza (J) e XXXVII. 8. Deduza (K) e XXXVIII. 9. Deduza 0 desenvolvimento tgh-1x = x x3 x5 + 3+"5+ pelo § 195. 10. Dado senh x = tg 1J, prove que (a) x = In (sec 1J 11. + tg 1J); dx (b) d1J = s Mostre que cossech-1 v = senh-1 - 1 v • de XXXIII, usando esta rela(jao. 12. Calcule lim x ctgh-1 x. 13. Calcule lim x cossech-1x. 14. Deduza "'.... '" 0 desenvolvimento senh-1 x 15. = 1 x - - x3 6 1 .3 x + -2.4 5 Calcule lim (senh-1 x - In x). %-)0+(1) 5 x - De 17. 18. (c) Y = rove que dx g sech a + sec x 1 + Desenhe os graficos de (a) y = ctgh-1 x; cossech-1 x, usando 0 teorema do Problema 218. - Linha telegrafica. Suponhamos que grifica se estabeleceu urn "estado continuo" de f dade de A, esta9ao transmissora, para B, esta9ao isolamento perfeito e fluxo linear uniforme. A 1_ P 1_ B f;=x--t·I---·-y~ Seja P um ponto qualquer intermediario entre e consideremos: a for9a eletromotriz (volts), f. e. m., E A em A, E a intensidade da corrente (amperes), I A em .4., I as constantes caracteristicas a e To cujos valor resistencia linear e do fluxo. Elas sao numeros pos Seja x = AP; demonstra-se, entao, nos livros eMtrica, que E e I sao fun90es de x satisfazendo (1) (2) TO aI = dE dx . Desejamos achar a f. e. m. e a intensidade da Elas sao (3) (4) EA 1= I A cosh ax - -senhax. To Substituindo em (2), vem roI = - A senh ax - B cosh ax. (6) Mas E = E A, I = I A quando x = 0. Logo, = - roI A e (5) e (6) tornaro-se (3) e (4) respectiva Para a soluyao em termos da f. e. ID. e intensid na estayao receptora, vel' 0 Problema 2 abaixo. PROBLEMAS A seguir nos referiremos sempre a uma linha um "estado continuo" de fluxo de A para BeL = = 1. Dados E A = 200 volts, L = 500 KID, ro = 0,0025, I B = 0, achar I A e E B • Resp. fA = 0,05 tgh 1,25 = 0,04238 ampere EB = 200 sech 1,25 = 105,8 volts = Be y = PB = distancia de P da estayao re . que E = E B cosh ay + roI B senh ay, f = I B cosh ay + 2. 3. Dados E A = 200 volts, I A = 0,04 ampere, a = 0,0025, mostre que E = 120 cosh (1,099 - 0,0025 x), I = 0,03 senh (1,0 (Veja 0 exemplo ilustrativo, § 216. A f. e. m. E t de 120 volts e I tende a zero quando x tende a 43 Dados E A = 160 volts, a = 0,0025, mostre que 4. E = 120 senh (1,099 - 0,0025 x), fA = 0,05 ampere, I = 0,03 cosh (1, (Veja 0 exemplo ilustrativQ, § 216. A f. e. m. E t decresce tendendo ao mintino de 0,03 ampere qua 439,6). (a) E = EAe- az , I = lAe-az ; (b) E = rol ; (c) E -'> 0 quando x tende ao infinito. (POl' exemplo, se ro = 4000 e a f. e. m. na estaQ e 4000 vezes a· intensidade da corrente, entao em linha a f. e. m. e 4000 vezes a intensidade da cor tendendo a zero quando 0 comprimento da linha cr infinito). 7. No problema 6 mostre que a f. e. m. num distante de uma unidade de P e igual a Ee-a, onde logaritmos neperianos. Prove que 8. = 0, entao EA = rolActghaL. (b) se E B = 0, entao EA = rOI A tgh aL. (a) se I B OUTROS PROBLEMAS Deduza as seguintes rela<}oes Se E A 1. > rOlA e E = EA sech 7 cosh (7 2. E = Se E A < rOlA E A cossech 7 senh e (7 -- rolA E ' entii.o A ax), 1= lA cossech _ EA = tgh-1 7 7 = tgh- l - - , entao ax), rolA I = lA. sech 7 cosh 219. - Integrais. Damos aqui uma lista de i tares envolvendo funQoes hiperb6licas. Trata-se de a lista do § 128. (24) fsenh v dv = cosh v (25) !COShvdv = senhv + C. + C. tgh v + C. (28) fsech 2 v dv (29) f (30) fsech v tgh v dv = - sech v + C. (31) f = cossech 2 v dv = - ctghv + C. cossech v ctgh v dv = - cossech As demonstrayoes resultam imediatamente de exceto para (26) e (27). Para demonstrar (26), tem f tgh v dv = f = fd (cosh v) cosh v senhv --h- dv cos v A demonstrayao de (27) Exemplo ilustrativo. (1) temos In cosh v + e analoga. Deduza as f6rmulas fsech v dv = arc tg (senh v) J (2) SOLUl;:AO. = Como f cossech v dv = ]n tgh ; f +C. sech v = _1_ = cosh v = cos cosh v cosh2 II 1 + se sech v dv = = + c; f 1 cosh v dv = + senh2 v f d( 1+ d [arc tg (senh v)] = arc tg (senh v) ctgh v f h d cossec v v = = _ = = _ = - = + cossech fI ff cossech II ctgh - + cossech v + cossech v) + cossech v In (ctgh v + cossech v) + C d (ctgh v ctgh v In ( cosh v senh v In (cosh v cossech2 V ctgb v + _1_) + C senh v + 1) + In senh v + C = In " + C. senhv h cos v + Por (9), In tgh"2 PROBLEMAS Calcular as seguintes integrais. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. f senh v dv = t senh 2 v - ! v + C . 2 ! f !ct f Gosh 2 v dv = t senh 2 v + ! v + C . tgh 2 vdv = v - tgh v + C . J f ! gh 2 vdv = v- ctghv + C. senh 3 v dv = t cosh cosh 3 V dv = t senh v + senh v + C . 3 cosh v + C . V - 3 tgh 3 V dv = In cosh v - ! tgh4 li'dv = v - tgh v - t tgh tgh2 V 3 V + C. + C. ll. 12. f cos x senh x dx = f senh (mx) senh (nx) ! (cos x cosh x + sen x sen =m ~ n 2 2 [m senh (nx) - n cosh (nx) senh (m Calcule cada uma das seguintes integrais 13. 14. 17. f f f scnh' x dx. 15. ooch4 2 x dx. 16. x 2 cosh x dx. 18. f e" fsen x co f senh x dx. x cash 19. Calcule cada uma das seguintes integrais, usand hiperb61ica indicada (confronte § 135). 20. Resp. 21. f vi ! v' f __ f ++ X 2 - x2 x - 4 dx; x = 2 cosh v. t + C. 4 - 2 cosh-1 x d_U_- ; u = a tgh z. a u 2)2 (a 2 - 22. (x x2 2) dx 2x +5 ; x = 2 senh z - 1. 0 arco da catenaria y = a cosh~, de (O a em t6rno do eixo dos yy. Achar a area da superfic usando funyoes hiperb61icas. 23. 24. § 215. Acbar 0 centr6ide do setor hiperb61ico O § 128. Elas estao expressas agora em termos das b61icas inversas. (;)2) .J J elv - _~-se V v~ + a2 -=d=.V=·= = cosh- J ~ ·.../ v 2 a2 - f J f f vv + + f vv--- a dv (34) nh-1 -V a. --- = a..~ - 1)2 + C. + C. 1 v I a to'h0 a. -+ C . dli ] --0--2 = - -ctgh-I (35) v- - a 0. ----- - v Vat - v 2 civ 1 V {" J (39) - - ~ (:Clssech- 1 ~ + C. c'! - a a = -.--. a v --+ a~ 0 vv~ ~ v ~ 0 0 v = (va + ~vt) - + a In - 0. 2 1 - 0. 2 0. + -2 sen - - -2 ....,Iv" - a 2 dv = ry V ' V 2 . a2 - -2 co valor positivo d valor positivo d DE:\lONSTEAC;;OES DE (32) e (33). - + c. a Em (33) e (39) deve-se usaI' do cosseno hiperb61ico e em (36) cia sccante hipcl'bOlica.. senh- I + - a~ dv 2 v, C. a 1 v - - sech-1 - rlv (3G) - Seja, em (1"), = In (v + vv2 + Vv- - a In (v (2) 2 - 2 ) = cosh-I - v a + In Usando estes resultados no segundo membro ohtemos '(32) e (33). de (34.) e (35). DEMONSTRAQOES Scja x = - 1 a +v v -_. In - - = tgh-I 2 a-v ~ a' (3) Ii a • POl·tanto, (34) l'esultn de (3) e de (190), § 12 Do meSillO rnodo, de (I) e (19), § 128, obtem r Ern L DEMONSTRA<jAO d teml,)s v+a de (36). sech= ( - -;;IV') 1 f -; dv f!+uJ . l)-a (19j, 111-- = - tn - - v-a Como vo; ± -Ii ~ 1-·a a,2 -1 sec h -I - V . t:aSO se esc v Va 2 - v a a . tivo deante do radical. A demonstra yf(0 de (37) f6rmulas (38) c (;::9) result-am de (23), § 128, usa Observar-iio. ctlJ'h-l .!!o a = 2 - Como = tgh- I !!:-v ' sech- I L = cosh- 1 !!_, c08sech- 1 >a 1.) a.s intcgrais (35)-(37) poclem tambem ser e:-...preS:;Rs em term convenientes para 0 usa da tabela do § 212. dv = - a cossech z ctgh z dz . Temos tambem f Logo Como dv v V';' + a2 = f- a cossechzctghzdz a cossech z . a ctgh z z = cossech-1 ~, temos (37). a PROBLEMAS 1. A curva da figura e a hiperbole equilatera x 2 - y2 = a 2• Usando os resultados do § 142, provar que (a) area A.MP = area do triangulo 1 x OMP - - a 2 cosh-1 _ . 2 a ' (b) area do setor 1 x 1 OPA = - a 2 cosh-1 - = - a 2v 2 a 2 ' se x = a cosh v (Temos, assim, uma outra demonstrayao do teorema do § 215). 2. Deduza, por integraQao,· cada um dos seg vimentos em series de potencias (§ 196). (a) tgh-1 x = x + 1 3 x3 + 1 5" x 5 + X 2n - 1 ... + 2 n _ S 7 _ x _ ..!..- ~ ~X _ 1 .3 .5 x (b) se nh-l x23+2.45 2.4.67 Calcule as seguintes integrais s. !senh-1 x dx 4. f tgh-1 x dx. = x senh-1 x - VI 5. + x + C. 2 f X cosh- 1 X Ache 9. 0 comprim~nto do arco da parabola Resp. V20 a (4,4), usando fun90es hiperb61icas. Ache a area limitada pela catenaria y 10. y + = a = 2a. 11. A acelera9ao para baixo, a, de urn corpo POI' a = 32 - i v 2 , e'v = 0, s = 0, quando t = 0. Resp. v = 8 tgh 4 t, s = 2 In cosh 221. - A guderrnaniana. A fun<;:ao arc tg (se frequentemente em matematica (pOI' exemplo, em (1 trativo, § 219), chama-se a gudermaniana* de v. usa-se 0 simbolo gd v (leI' "gudermaniana de v"). gd v (1) A derivadil. = arc tg (senh v). e d dv dx gd v = sech v dx ' XJL~IX admitindo que v seja uma fun<;ao de x. DEMoNSTRA9AO. Derivando (1), obtemos d cosh v dv gd v = 1 + senh 2 v . POl Mas 1 --h- = sech v. cos v . e Entao * Do POl' (1), § 2 d dv dx gd v = sech v dx . nome do matemAtico Gudermann. Seus trabalhos foram Quando v eresce, gd v eresee (pois seeh v > 0). Sen valor esta compreendido entre -! 1i e + ! 7r. Alguns vaJores estao dados na tabela ao lado. POl' (I), § 219, fsel:h v dv = gdv (40) + C. Para achar a fun9ao inversa (§ 39), seJa (3) cf> = tl.l'C tg (senh Ii), (~ e resolvamos em relafjao a v. v = senh- t (4) Obtemos «;b). Cl)ffiO cosh Z 11 = 1 (B), as tUD9i5f'S trigonom~:.i'ie~s de cf>, quando obtidas do trid.ngulo l'etinguJo ao ludu. Assim, t1 > De (3) vem tg «;b = (t.g ! 7r < cf> < t 7f) sp,nh v. A fun~a.L' inversa'!' (4) )Jodc sob a forma (5) j; = In (sec «;b DEMONS'l'HAQAO. :Notando que 1 + SCI' posta + t~ .1». Sllb"(ltuamos em (F), § 216 = scr.~ ¢., pOl' (2), p. J, o f,g~ </> ReciproC:1Ulcnte, (Ie (5) !'csulta que DEMONS'l'RA9AO. sec «;b *0 .lwholo A (5) fornece + tg ¢ = od- 1 </> e = gd Ii. r:f> to, ou tg ¢ - /:." usado por alguns .seritores (v = = - sec orr' </». Resolvendo em rela<;ao a tg ep, obtemos tg ep-= e" - e-' = senh v. - 2 <p = arc tg (serth v) Logo ExempJo Uustrativo. Dada a trat6ria (vcr Figura), sejam = gd v. Y a = comprimento da 'tangent~ P'1' (coIlsl->1nte, por dcfiniQao); t = >rbseis:::u da inter~et;:lo cia tnugent-e eom 0 cixo do, x;,;; ¢ = l1ngu!o formado peb tangfJnle. ()l'ientada par:). cima e (I eixo nos Y!1 (portanto, 1> = 0 quando 1- = (I ,~ (> [lonto B (0, a) cstu eobrc :l-. f\!Jrva,). Demonstrar que (6) Quundo t e dadu; ¢ l~ ,h·t0l':lnll~:ld(1; log" a t!lngente em Q; um !,ttl!:tC) pr~.xi!n(~ J~ }', ~foja i + t.t (= OTt) e ¢ + /1¢ os v.o.lUl't-·s ell; t e 1>. Tr~.~cmos ;] (-dT'. Si,j::t S a ponto tie in tt·r.;e~·iio das t:s 'lg;Cll te" em -P ellt}io; no~ tdiingulos reb':ngulos f./T1:' c ST0~ D~1!t.(.'Jl;;tTa~ao. rIp. i. P::r~i. l'li = 1'1" co" UTT'; 1''l'' co,; UTT' ~I eOS (¢+t;,.¢) = = TU = 1'8 sen T 7S sen T8li . 'l'S sen D.tj1 • Fa"amos Q mover-sc sobre a curva, tendendo a P, de Entao, D.l----> 0, S tende :, PeTS tendo a a. Consequcntem sobre infinitesirnos equivalentes, § 98, e pOl' (E) do § 68, dt cos ¢ t a = a d¢, ou d - = sec ¢ d¢ • PROBLEMAS A figura mostra 0 circulo x 2 + y2 = 1 e a h 2 tera x - y2 = 1 no primeiro quadrante. De M, MP de um ponto P da hiperbole, tra9a-se MT tangente ao circulo. Seja! v = area y do setor hiperb6lico OAP (§ 215) e cf> = = Angulo AOT. Proval' que f/> = gd v. 1. B Proval' que(a) gd v = 2 arc tg e" - ! 71'; (b) fsenh v tgh v dv = = senhv - gdv + C. 2. 3. Tl'a9ar 0 gl'8.fico de y = gd x. Calcular y e y' quando x= 1. Vel' figura. Resp. y = 0,86, y' = 0,65. No exemplo ilustrativo, p. 551, se P e (x, y), pl'ovar que 4. x =t- a sen cf>, 'Y x' = a cos cf>. Destas e de (6) deduzir as equa90es parametric x =t- a tgh - t a' Y = a sech -at , da trat6ria. Achar tambem a equa9ao em coord lares. 5. Deduzir fsech 3 v dv = ! sech v tgh v +! 6. Se 0 comprimento da tangente de uma constante (= a), y (~) provar que ddx = - .ya2Y_ y2 • (b) integral' usando a substitui9ao hiperb6lic ° ° com a condi9ao x = quando t = e deste modo QOes da trat6ria, dadas no Problema 4. Resp. 8. Usando 0 (a) - t; ( desenvolvimento em serie do Prob tem-se 1 gd x = x - 6' x 3 + 241 x 6 - 61 5040 X 7 + ... Caleular 0 valor de gd 0,5 com quatro decimais. 9. A equac;ao (5), § 221, pode ser posta sob v = In tg (t 7l" + ! <1». Prove isto, fazendo uso de (2), (4) e (5), pp. 3 e 4 222. - Carta de Mercator. A figura mostra oitavo) de uma esfera representando a Terra. Es Polo Norte N, 0 Equador EF, a longitude 81 e a urn ponto Pl' Urn segundo N Polo Nort ponto Q, proximo de PI sobre a cm'va PIQV, com longitude 8 1 t:.8 e latitude <1>1 t:.<1>, bern como os meridianos e paralelos passando pOl' PI e Q estao tambem indicados. Os meridianos e paralelos formam 0 quadrilatero PISQR. Vamos exprimir os arcos de circulo RQ e P IR em func;ao da latitude, longitude e raio da esfera. Como 0 e a centro dos arcos iguais RQ e PIS Angulo centrico t:.<1>, temos + + (1) arco RQ = arco PIS = a t:.<1>. Ora, C e tambem 0 centro do areo PIR, com ang logo, arco PIR = CP I t:.8. Mas, no triangulo reMn gulo reto em C), CP I = a cos <1>10 Logo (2) -sendo 0 valor da derivada obtida da equugfto e= (3) que e- satisfeita pela latitude l;l j(¢)- longitude de cada -l\QY. DEMONS']'P..AQAO de (2). Peio teore:-na sabre idi vaJentes. § 98, pode-se mostrar"* que (4) tg l'JIn arco EQ R.~ 'l~ ,- 'r ---- il8-.0 arco P J? Suhstitui.ndc\ os vu.lol'cS de (1) obtemo$ (2). J )[a r:3,F.t:l el,.! Merr~t()-r"<"'* ih 8upel'fkie lin. latitude 4) e longitude 0 e;;(,~ l"ej)rosl.'!H.adQ p:Ju (5) x = 8, ?/ =-= in (see ¢ 1\~r ~10l + t.g ¢), in",.-erpa tl1C1l te, Oil, (6) tJ = :l:, 1; = gel!! . Em ([,) c ((1), 0 e 1> sao oxpt'e~s(;s em TJ.dianoG. (8 = cnn~j_ante) estu,o l'f~PI'P~P'~1(.o,1l0R J13. C:'l.;'la, ;;::1\11' ao erxo dos Y?i, os paralelfJs (¢ = c-onst.an tp) pOl ao 01XO dos :1:.<:. A eUl'va 3) e dada pel:::.s rqnilyo x = j (¢), (7) y = In (sec ¢ + tg 4'). * Definida no ~ 28 como A. po~il;ao limite da rl?tn passando PI! rnovcndo-sc sobre a CUT\'B P1Q. POT PI ** Os detulltes estao indicados nuru problema do § 223. Xote que rcspcctiYamC!lte. oposto c adj:::mtc 30 [lnguIo em PI no trHiugulu curvilio *** l5G9. Gcrardus !\lcrcator (1.~12-159-1), ramosa c3rt6c:rufo. publicOll su::\. Seu Dome e" form" latioa de Gerhard Kremer. e representado pela reta Y que demonstrar que a CUI'va· (7) ~ tal que Na carta, 0 paralelo dY ) ( dx (8) 1 = sec CPl (d¢) dO = l' De (7) e (3) obtemo-s dy d<f> = sec <p, dx= dcP l' (<f» = !!!... d<f> • A igualdade (8) resalta., pais, de (A.), § 81, e Ha (C~ dais coroLirios importa,ntes. COR. r. 0 angula em P 1i sobre a esfcra, fa cut'vas, P1QR e PIG'R' e igus,l ao angulo em (a:l,Y malio yelas cm'vas concspondcntes peia repl'esen repr~sr;nj;R9ii:o conserva as flngulos. Coa. II. Ullia l'et.a com coeficientei:.ngular a conx:spondente, pela repn.:senta,9fi.o, de urea CUfV:1 qLlf: cortn, cada pal'aieJo sob 0 mesmo ~ngulo a. ill::t-se umn, lOJ:odromica. Ao longo de nllla loxodromicn. 1> = gd COtga (9) + u). Isto I'eslllta de (6) e de 1/ = :c tg a + b. A rota illulltelll sempre a mesma di!'C<;;ao e uma 10.'ourom senLayao (5), 0, e portanto x, t'JOl Vabrf'f; com - r. e + r., inclusive; y pode tel' qualql1cr valor (§ a superHcie da Terra esta represenbda na faixa do minada pelas retas x = - 7r e x = + 7r. Pela t.abela do § 221 podemos achar a latitude em grau sao dados subre a carta pebs retas y = constante. y 0 lat. 0° 0,5 1,0 1,5 2· 3 4 27°31' 49°36' 64°51' 74°35' 84°18' 87° areas se preserva. lsto resu exemplo, uma figura triangu .ficie da Terra, liroitada por urn triangulo no mapa e os dentes das duas figuras sa gem, na carta, de Ulna area da Terra, tambem depende separa do Equador. 0 pro trata deste ponto. Y' 223. - Rela!;oes entre as fun!;oes trigono hiperb6licas. Seja 0 expoente v da funyao expone mere complexo x + iy (x e y sao numeros reais, i = V poremos, por defini9ao, (1) ex+iY = ex e iy = ex (cos y + i sen y). Se x = 0, temos (ver § 206). eiy = cos y (2) + i sen y Trocando y por - y, (2) torna-se e- iy (3) = cos y - i sen y . Resolvendo (2) e (3) em rela9ao a sen y e cos (4) sen y = cosy = Ve-se, assim, que 0 sene e 0 cosseno de uma v exprimiveis em termos de fungoes exponenciais com gina-rios. As formulas (4) e. (A) sugerem defini90es para cionadas quando a varia-vel e urn numero compl * + As retas :z; = - 7r e :z; = 7r representam 0 mesmo meridiano Admite-se que este meridiano nao carta 0 triingulo curvill'nco. Na figur o 'mesffio . ponto sabre a Terra, B 1 e C tambem. e - e- senhz = cosh z = 2 e + e2 As outras func;oes trigonometricas e hiperb6lic nidas pelas mesmas razoes que as usadas quando numero real. De (5) resulta (L) senh iz = i-sen z, cosh iz = cos z e'Z _ e-iz 2 .: i sen z, usando (5) ; et [ senh iz = De (L), por divisao, obtem-se tgh iz = i tg z . (6) A semelhanQa de muitas f6rmulas deste capi para func;oes trigonometricas e explicada pelas re (ver Exemplo ilustrativo 2). Os segundos mem exprimiveis por numeros complexos cujas partes apenas funQoes trigonometricas e hiperb61icas de lsto a.parece abaixo no Exemplo Ilustrativo 1. Exemplo ilustrativo 1. Deduzir a f6rmula (7) + iy) senh (x SOLUQAO. Par (5), se z (8) senh (x = x + iy) = senh x cos y + iy, temos ez.HlI - = 2 e-"'-iy _ e'" (cos Y (9) - Par (I), § 210, se II + i cosh x se + i sen y) - e-'" 2 = x, temos e'" = cosh x + senh x, -e""'" = cosh x - sen SubstituinJo estes valores em (9) e reduzindo, vem (7). Trocando i por - i, (7) torna-se senh (x - iy) = senh x cos y - i cosh x sen y Observe-se a forma do segundo membro aqui e em (7). A primeira relac;iio pode ser deduzida da scgunda como Seja z = iv. Entiio cosh 2 iv - senh 2 iv = 1. senh iv = i sen v. Logo cos 2 V + sen 2 v = 1. Mas, por ( PROBLEMAS 1. Usando diferen~iais, Illostre que na Cart.a distal.lcia que separn, l'ctas para.lelas ao eixo dos xx re ralelos de latitudes 'P1 e tf>l+C:J.¢, varia proporcionaJ Ao lungo de UIlla loxodromica , d¢ por J """"<],'''''0 nue t". "cr qJ -d(.1· 'b (\' = ,,-,. 2. l' = gd (0 t . ..... a 1 G ')' .. " 1 '1 3. A altura h cia Z'Jna, 80bre u esfem, ]jmit-ad ¢ = Q)2, ¢ = 1'1 (1'2 > cPt) e a (s~n ¢2 - sen 1'1) (\'er Se y = 'lj2, Y = Yl <:;i'io as c()rrespoIlJente,~ paralelas que (a) h = a (tgh Y2 - t.gh VI) ; 1 (b) ely = :. SI.'(;2 r/>1 dh, se </>2 = 1'1 +d 4. CSilllclo (li), Pl'0blema 3, mostrar que zonas na altura cujas hases inferiores silo parn.Jelos de 45°, GO°, j'f,specLivamente, estiio represent'ada::; pOl' itreas es.tfio entre si como 3 : 4 : (i : 12. (A {trea igual i'i. sua altura vezes a circunfercnci:) de um c 5. d6 de = 0; DC3crewr a diJ'C9ft.O de uma el.!l'va s6br{: II \ diP,· t" . \U) se dB e mmlta. 6. Deciuza, pelo metoda usado no Exemplo Il nma (las scguintcs f6rmulas. + ·i scnh x (a) cosh (x + iy) (h) sen (x + iy) = sen x cosh y =i cos x s (e) + iy) cos (x = cosh x cos y = cos x cosh y - i sen x s (b) cosh (i; ± x) = ± i s Calcule, com duas decimais, as expressaes 8. + +- (a) senh (J,5 i) ; (c) cus (0,8 0,5 i) ; }{('sp. (n) 1,1:) + OL'TROS (b) cosh (1 (d) sen (0,5 1,9S i; (e) 0,78 - PHOBLEMAS Na figura do § 222, [-\M j e perpendicu con:seguinte, perpendir:ular ao plano do meridiano N o tri£\.ngulo PIQl11 1 fS retangulo (a cord:l P1Q nao 1. tg MjP1'J. = jQ l:-cJJ1f --;;--l' j" 1 Q uan d0 A8 ---7 a, a reta P1i. Ll. g0nte F\R' c () lingula III 1PIQ tende a.o ungulo R'P tc mente , ~ ~ Q tR'P T = l'1m l'.1111 • (10) "g 1 -:;--1 • tl8->O - 11~ 1 Cnmpn,!'e com (4), § 222, c mostre que . (a ) I1m 6.0-+0 (b) r .lnl litHO T\lI·L arco P 1H 1 (vel' Fig. 1): Jf1Q _ ")Q areo I"~ = 1 (..-er Fig. 2, a qual mostrs. a plano do meridiana NQR). r-- 0 triangllio M 1QR, mostre qlle ALR e um infinit,esimo de Qj'dem mais alt.a que QR quando flO e L\.¢ sao de mesma ordem (§ . 99). Entia, vel' problema do § 99, usando (a) e (b) e 0 t-eorcma sabre infinitesimos equivalentes, § 98, (10) torna-5e (1), § 222, N I c o 560 FUNgOES HIPERB6LICAS Se dS l e 0 elemento de comprimento dc arc sabre a esfera do § 222, provar que dS l 2 = a 2 (dcf (Na figura do § 222, --2 --2 . . corda PlQ (corda P l Q)2 = PlM l + MlQ e hm arc }' Q = 1 l 2. J Se ds e a diferencial do arco de uma curv de Mercator, mostrar que ds 2 = sec 2 cf> (dcf>2 + cos 2 cf> rando com 0 Problema 2, temos dS l 2 = a 2 cos 2 cf> ds Z 3. Achar 0 comprimento de uma loxodramic latitudes diferem de tJ.cf>. Resp. a cossec a Terra). 4. cu~as 5. Mostrar que as quatro primeiras f6rmulas (D), (E), § 213, subsistem quando x, y, v e w sao s numeros complexos (Use as definic;oes (5)). 6. Demonstre as f6rmulas do Problema 6, p. resultados do Problema 5 e (L). 7. .. senh 2 x + i sen Prove que tgh(X+2Y) = cos h2 x + cos 2 8. Deduza a f6rmula para tg (x blema precedente. + iy) do res 224. - Fun~oes de diversas variaveis. Nos dentes estudou-se 0 calculo para funyoes de uma v agora estudar funyoes de mais de uma variavel ind matematica elemental' encontramos exemplos simp yoes. Assim, 0 volume de um cilindro circular reto (1) e uma funyao das duas variaveis independentes A area de um triangulo (= altura). (2) u = txysena e uma funyao das tres variaveis independentes x, y tando, respectivamente, dois lados e 0 Angulo com eles. Tanto em (1) como em (2) os valores que podem as variaveis do segundo membro sao, evidentemente um do outro. A relayao (3) z = j (x, y) pode ser representada graficamente pOl' uma superf metrico da equayao (3), interpretando-se x, y e z co retangulares, como na geometria analitica do espa<} ficie e 0 grafico da funyao de duas variaveis j (x, y) 561 lI~b qualquer que seja aos limites a e b. 0 modo como x e y tendam, le Esta definiyao e, algumas vezes, enunciada abrev seguinte modo: quando x e y sao suficientemente e b respectivamente, f (x, y) difere muito pouco de f lsto pode ser ilustrado geometricamente, consid perficie representada pela equayao z = J(x, y). (3) Seja M, de coordenadas a e b, a projeyao de l VP da superficie. Indiquemos com Llx e Lly os acr.escimos das vari pectivamente e com Llz 0 correspondente acrescimo Seja P' 0 ponto, da superficie, de coordenadas + .!lx, b + Lly,J(a,b) + M 0 valor da funyao e (a Em z = f (a, b) = MP. Se a funyao e continua em M de a 0 quando Llx e Lly tendem a que seja 0 modo como estas t1l zero, isto e, M'P' tende a coincidir-se com MP, qu a P, movendo-se sobre a superficie, qualquer que se que se da 0 movimento. y veis A definiyao de continuidade para funyOes de mai e semelhante a anterior. A seguir consideraremos somente os valores p funyao em estudo e continua. • Para uma melbor compreensao di8to, deve de uma 86 variil.vel. ° leitor reler 0 § 17 B funQi'i.o de uma variavel x e podemos, portanto, co vada dela em relaQao a x, como temos feito ate ag vada chama-se derivada parcial de z em relaQao a mente, fixando x e fazendo variar y podemos consid parcial de z em reluQao a y. A notaQao e ' da axoz = denva parcial de z em relayao a x (y perm te).* oz ay d ' da parcial de z em relayao a x (y perm enva = te). * Para funQoes de tres ou mais variaveis, as de sao indicadas de modo analogo. a Para evitar confusao, 0 simbolo (lid rond")** mente usado para indicar derivaQao parcial. Exemplo ilustrativo 1. + cy2. SOLU<;AO. az ax = 2 ax az ~ uy = 2 bx Exemplo ilustrativo 2. SoLU<;AO. Achar as derivadas parciais de au ax + 2 by, tratando + 2 cy, tratando x como const f; como cons Achar as derivadas parciais de 1.' = a cos (ax + by + cz), tratando y e au ay = b cos (ax + by + cz), tratando x e z c ,au ,a; = c cos (ax + by + cz), tratando y e x c * 0 valor constante pode ser substituldo ** Introduzido por Jacobi (1804-1851). na funcito antes de denva az ay = a ay 1 (x, y) a1 = ay = 111 (x, y) = 1z = N otaQDes ·semelhantes sao usadas para fun90es qualquer de variaveis. Tendo em vista 1 (x, Yo ) - (2) % § 24, temos 0 lIll · 11m 1II (Xo, Y) = t.y-+O (3) 226. - - 1 (x, Yo) + Ay) A f (xo, y) A uX 1 (xo, y Y Interpreta~ao z Seja 1 (x + Ax, Yo) I' &:-+0 geom.etrica das deri = 1 (x, y). a equa9ao da superficie ·mostrada na figura, Pelo ponto P (onde x y = a e = b) da superficie tracemos um plano EFGH, paralelo ao plano XOZ. Como a equa9ao deste plano e T y = b, a equaQao da curva de inter3e9ao JPK com a supe z se considerarmos EF como Neste plano, : : tern 0 0 = 1 (x, b) , eixo dos Z e EH com mesmo significado que: temos ( 1) az . ax = tg M TP = coe f'lClente angular da seQao Jf( em P. e relativamente "f~ d0 que dy' dz nlllCa (2) : : oz a curva de interseQao DPI, oy te Consequentemente = - tg MT'P = coeficiente angular da seQao DI em P. Exemplo ilustrativo. Dado ~ +~ + elips6ide 0 coeficiente angular da cueva de interae~ao do elips6ide (a) c no ponto onde x = 4 c z e positivoj (b) com 0 plano x = 2, n e z e positivo. SOLu9AO, Considerando y como constante, ou Quando x e constante, ~+~~-o 12 6 ay - " (a) Quando y = 1 e x (b) Quando x = 2 e y = 3, = 4, z = ~ ~. 1 z=--=. y'2 ou az ax az au ,', : : = - az = . , ay - PROBLEMAS Calcule as derivadas parciais das seguintes fun z = Ax 2 1. oz Resp. ox = 2 Ax 2. + Bxy + C y + Dx + Ey + F. 2 + By + D; oz oy = Bx + 2 Cy + E f (x, y) = Ax 3 + 3 Bx 2y + 3 Cxy 2 + Dy 3 • Resp. fz (x, y) = 3 (Ax 2 + 2 Bxy + fy (x, y) = 3 (Bx 2 + 2 Cxy + 4. U = xy Resp. 5. + yz + zx. u., = y + z; u" = x + j (x, y) = (x y) sen (x - V). Resp. j., (x, y) = !;len (x - y) ill (x, y) = sen (x 6. + z ; u. = x P = sen 2 fJ cos 3 cf>. + (x + y) - y) - (x Resp. ap atJ = ap 2 cos 2 acf> = 7. P = ap ap j (x, y) ... acf> = e8+'1' {cos (fJ - cf» - sen (fJ a¢ = = 3 x4 - ... e8+'1' {cos (fJ - ¢) 4 x 3y + sen (fJ - + 6 X 2y 2. 10. X + 2y u=y+2z' .., y z=e"ln-'--. 11. j (x, y) = (x 12. p = tg 2 fJ ctg 4 cf>. 13. p = 14. Se j (x, y) = 2 x~ - 3 xy 9. 3 se e9+ tP cos (fJ - cf». Resp. 8. + y) x e-6 + 2 y) tg (2 x + V). o• cos --;j; + 4 y2, mostre = - 1, j1/ (2, 3) = 18. 15. 2x Se j(x, y) = - - , mostre que x-v 1. (3, 1) = - 17. au Se u=Ax 4+2Bx 2y 2+Cy4, mostre que x ay 18. Se u = 19. Se u = x 2y X~2 -+ ,mostre x y au que x ~ uX au +y~ uy + y2 z + Z2 X, mostre que au ax + = 20. Axn + Byn au Se u = Cx 2 + D y 2 ' mostre que x ax +y 21. A area de urn triangulo e dada pela f6rmul Dados b = 10 polegadas, e = 20 polegadas, A = 60 (a) achar a area; (b) achar a velocidade de varia98.0 da area em b se e e A permanecem constantes; (c) achar a velocidade de varia98.0 da area em gulo A se bee permanecem constantes; (d) usando a velocidade achada em (e), calcu mente a varia98.0 da area quando 0 angulo e acresci (e) achar a velocidade de varia9ao de e em r area e 0 angulo permanecem constantes. A lei dos cossenos para urn triangulo e - 2 be cos A. Dados b = 10 polegadas, e = 15 pole (a) achar a; (b) achar a velocidade de varia9ii.o de a em rel A permanecem constantes; 22. (c) usando a velocidade achada em (b), calcu mente a varia98.0 de a se b decresce de uma polega c (d) achar a velocidade de varia98.0 de a em rela constantes; permalll~cem .(e) achar a velocidade de varia98.0 de c em rel b permtPlCCem constantes. a diferencial e (1) dy I =J Vamos agora ver variaveis. (x).::lx dy dx dy .::lx = dx dx . e diferencial que 0 = de uma f Considel'emos a fun<;8.o (2) J (x, u = y). Sejam .::lx e .::ly acrescimos de x e y respectiv correspondente acrescimo da fun<;ao u. Temos + .::lx, y + .::ly) - J (x, y) Somando e subtraindo J (x, y + .::ly) no segundo (4) .::lu = [j (x + .::lx, y + .::ly) - J (x, y + .: + [j (x, y + .::ly) - i (x, V») .::lu = J (x (3) Aplicando 0 teorema do valor medio (D), § 11 das duas diferen<;as do segundo membro de (4), o primeira diferen<;a i (5) [ a = (x+.::lx, y+.::ly) %, i (x, y+.::ly) = iz (x+8 1 . Aa = ~I C como x varia e 11 + 1111 permanece CODstante derivada pareial em retaciio a z. Para a segunda diferen<;a, i (6) [ a= (x, y y, ~a ~ .::lu = i (x, y) = ill (x, Y + 8 2 .:: = Ay, e como Snbstituindo (7) + .::ly) - y varia e z permanece cO:lstante, o derivada parcial em relacao a II. OS iz (x resultados (5) e (6) em (4), vem +8 1 ~X; Y + .::ly) .::lx + ill (x, Y + 01 e 8 2 sao positivos e menores que 1. (8) i:e (x (9) onde E + ()l ~x, Y + ~y) = il/ (x, y e E' + ()2 ~y) = ill (x, y) ~x sao infinitesimos com i:e (x, y) e ~y, +E + E' , isto e, lim e' = 0, limE=O, Az->O Az->O ~v->O ~II->O e (7) toma-se, entii.o, (10) Llu = i., (x, y) ~x + il/ (x, y) ~y + E~X + Pois bern, diierencial total (= du) de u e, pOl' pressao (11) du = iz (x, y) Llx + fl/ (x, y) ~y . A diferencial total de u e a "parte principal" d isto e, quando ~x e ~y sao muito pequenos, du muito pouco (confronte § 92). Be u = x, (11) torna-se, obviamente, dx = Llx torna-se dy = ~y. Bubstituindo estes valores de Ll obtemos a importante f6rmula (B) du = iz (x, y) dx = au ax dx + + ir (x, y) dy = au ay dy af = ax dx + af ay d Be u e uma funyao de tres variaveis, sua difere (C) au du = -dx ax au + -ay dy + -au dz az e assim sucessivamente, para funyoes de urn num variaveis. Uma interpretayao geometrica de (B) sera dad y SOLUC;;AO. Substituamos em (12) x, V, e u respectivam procedamos como abaixo + .1v e u + .1u, e u + .1u = U (13) 2 (x + .1:1:)2 = 2x 2 + 3 y2 = 2x 2 + 3 y2 .1u = 4 x .1:1: + 3 (y + .1y)2 + 4x.1:l: + 6y.1y + 2 (.1:1:)2 + + 6 y .1y + 2 (.1:1:j2 + 3 (.1y)2. Derivando (12), vem au au -=4x ax ' ay =6y. Substituindo em (B), obtemos (14) du = 4 x dx + 6 Y dy . Lembrando que .1:1: = dx e .1y = dy, vemos que 0 segund "parte principal" do segundo membro de (13), pois os te do segundo grau em .1x ou .1y. Este resultsdo ilustra (10) cisamente, E = 2.1:1:, E' = 3 .1y). ea Substituindo os valores dados em (13) e (14), vem (15) .1u =8 (16) Portsnto du + 14,4 + 0,08 + 0,27 = 8 + 14,4 = 22,4 . .1u - du = 0,35 = 1,6 Exemplo ilustrativo 2. BOLUC;;io % de .1u. = 22,75 ; Resp. Sendo u = arc tg JL, achar du x au ax = - V x2 + y2 J Substituindo em (B), Resp. PROBLEMAS Achar a diferencial total de cada uma das se 1. z = ~ x 3 - 4 xy2 + 3 y3. Resp. dz = (6 x 2 - 4 y2) dx + (9 y2 - 8x arc tg JL x 4. u = x 2 cos 2 y. 6. u = (x - y) In (x 7. Se x 2 + y2 8. Achar dz se 4 x 2 - 9 y2 - 16 Z2 = 100. 5. () = + V). + Z2 = a 2, mostre que dz = Caicular Au e du para a funQao u = x quando x = 2, y = - 3, Ax = - 0,3, Ay = 0,2. Resp. Au = - 7,15, du = 9. Calcular du para a fuuQao u = (x x = 6, y = 2, dx = i, dy = -!. 10. + y) 11. Calcular Au e du para a funQao u = quando x = 2, y = 3, Ax = 0,4, Ay = - 0,2. e Calcular dp para a fun9ao p = e2 sen o = 0, cf> = ! 7r, de = 0,2 e dcp = - 0,2. 12. 228. - Valor aproximado do acrescimo. Pe As formulas (B) e (C) sao usadas para calcular Au ap Quando os valores de x e y sao determinados por experiencia e portanto estao sujeitos a erros pequeno aproxima9ao sensivel do erro em u pode ser achado fronte § § 92 e 93). Exemplo ilustrativo. Achar, aproximadamente, 0 volum que ~ feita uma panela sem tampa de forma ciHndrica, sabe tro interior e a altura sao, respectivamente, 6 polegadas e a espessura do material Ii de 80LUgAO. tura y ~ .de polegada. 0 volume v de urn cilindro circular reto com ~ v=t7rX2y. (1) Obviamente, 0 volume do material Ii a diferen9a t.v entre o cilindros, um para 0 qual x = 6i, y = st e outro para 0 ('Almo se quer apenaR um valor aproximado, podemos calcular q dll o villor exato e All =7 ~ = 23,1 = r 22,4 polegadas cubic polegadas cubicas. Exemplo ilustrativo 2. Mediu-se dois lados de um triA compreendido entre eles e achou-se, respectivamente, 63 pes, medidas estao sujeitas a um erro maximo de 1 pe em ca 1.0 no Angulo. Achar 0 mitximo erro aproximado e 0 erro pOl do terceiro lado, usando estas medidas. SOLuc;:lo. Usando a lei dos cossenos «7), § 2), (3) onde x, y sao os lados, a Os dados sao 0 Angulo compreendido entre elea x = 63, y = 78, a = 60" = (4) 7f' "3' dx = = 0,1, dy dy = Derivando (3), vem x - ycosa au ax = 1.1 y- x cos a au , ay = 1.1 au ' aa xy =-- Logo, usando (C), du = (x-y cos a) dx + (y-x cos a) dy + xy sen 1.1 Substituindo os valores de (4), acham08 du = o 2,4 + 4,657+ 74,25 = 1,1 3 p". 71, .t. du erro per centum e 100 - 1.1 = 1,6 %. R esp. Resp. PROBLEMAS Mediu-se os catetos de um triangulo reta 6 pes e 8 pes com erros maximos em cada um de 1. 2. No problema precedente achar, usando as o angulo oposto ao maio I' lade e calcular 0 maximo nesse angulo em radianos e em graus. Os ra.ios das bases de urn tronco de co foram medidos e se achou 5 polegadas e 11 poleg tambem a geratriz e esta acusou 12 polegadas. 0 cada medida e 0,1 de polegada. Achar 0 erro apro per centum calculando, com estas medidas, (a) a altu (ver (12), § 1). Resp. (a) 0,23 polegadas, 2,2%; (b) 24,47r polegadas cubica 3. 4. Urn lade de urn triangulo mede 2 000 pes e centes medem 30° e 60°, com urn maximo erro em 30'. 0 maximo erro na mE.ldida do lade e ± 1 pe ximo erro aproximado e 0 erro per centum, calcu estas medidas (a) a altura relativa ao dado lade; (b angulo. Resp. (a) 17,88 pes; 2,1% 5. 0 diametro e a altura de urn cilindro circu com um erro provavel de 0,2 polegada em cada m vamente, 12 polegadas e 8 polegadas. Qual e, apro maximo erro possivel no calculo do volume? Resp. 16,87r polegadas c 6. As dimensoes de uma caixa foram obtida provavel de 0,05 pe na medida; achou-se 6, 8 e 12 pe (a) qual e, aproximadamente, 0 maximo erro possi do volume? (b) qual e 0 erro per centum? Resp. (a) 10,8 pes cubicos; -+ ' . z = x - y ,se no pont Dada a superf lCle x y x e y sao acrescidos de qual e a variac;ao aproxim 7.. to, no peso de w, tomando-se P = 8 e w = 1, (a) se am positivos, (b) se um erro e negativo; (c) qual e, apro maximo erro per centum? Resp. (a) 0,3; (b) 0,5; (c 9. 0 dilimetro e a geratriz de urn cone circu respectivamente 10 polegadas e 20 polegadas. Se h vavel de 0,2 polegada em cada medida, qual e, ap o maximo erro possivel no calculo do valor (a) do v superficie lateral ? 3771',115 18 = 25 poleg. cub.; Resp. (a) (b) 3 10. Mediu-se dois lados de urn triangulo e ac 78 pes. 0 lingulo compreendido entre as Iados me erro provavel de 2°. Sabendo que ha um erro pro na medida dos lados, qual e, aproximadamente, 0 m sivel no mUculo do valor da area? (Ver (7), § 2). Resp. 73,6 pes quadradol!l. 11. Se mula s = A 0 peso especifico de um corpo e deter ~W onde A e 0 peso no ar e W 0 pe e (a) 0 maximo erro em s, aproximadamente, se 9 - 0,01 libras e 9 0,01 libras e W entre 5 0,02 libras? (b) 0 maximo erro relativo? 5 + + Resp. 12. C (a) 0,0144; (b) Calculou-se a resistencia de um circui = ~ , onde C = corrente e E = fOTlia eletromotriz 4 de 0,1 de ampere na leitura de Cede de volt na qual e 0 erro aproximado em R se as leituras sao e E = 110 volts? (b) qual e 0 erro per centum? Resp. (a) 0,0522 ohms; (b Se se usa a f6rmula sen (x+y) = sen x c para calcular sen (x y), qual e 0 erro aproxima 13. + nado e dada por a = g sen i. Se g varia de 0,1 pe p drado e i, cuja medida acusou 30° e passiveI de urn e 0 erro aproximado no ca,lculo do valor de a? Tom como 32 pes por segundo quadrado. Resp. 0,534 pes por segundo qu 15. 0 periodo de urn p~ndulo e P = 2 7l~f ; ximo erro aproximado no periodo se ha urn erro de dida de cada 10 pes e na medida de g = 32 pes p drado pode haver urn erro de 0,05 pe por segundo qual e 0 erro per centum? Resp. (a) 0,0204 seg; ( 16. As dimensoes de um cone sao raio da base altura = 6 polegadas. Qual 0 erro aproximado superficie total se ha urn encurtamento de 0,01 pol gada na medida usada Resp. dV = 3,0159 poleg dS = 2,818 polega 17. 0 comprimento leo periodo P de urn estao Iigados pela relaQao 4 7l 2 l = p2 g. Se l e calc P = 1 segundo e g = 32 pes por segundo quadrad ximadamente 0 erro em l se os valores reais sao P = g = 32,01 pes por segundo quadrado? Qual e 0 e 18. Urn s6lido tern a forma de urn cilindro extremos por semi-esferas de mesmo raio que 0 do mensoes sao dia.metro = 8 polegadas e comprimento gadas. Qual e aproximadamente 0 erro no volum se a fita usada para a· medida esticou-se uniforme de seu pr6prio comprimento? 19. Admitindo que a equaQao caracteristica feito e vp = Rt, onde v= volume, p = pressao, absoluta e R = constante, qual e a relaQao entre a dp e dt? Resp. vdp +" cubicos, sendo R = 96. Resp. - 7,22 Iibras POI' pe quadr 229. - Derivadas totais. Velocidades. variaveis x e y que figuram em u (1) Sup = j (x, y) nao sejam independentes. Suponhamos, pOl' exem sejam fun90es de uma terceira variavel t, precisam (2) x = rj> (t), Y = if; (t). Quando estes valores sao substituidos em (1), funyao de uma variavel tea sua derivada em rela achada do modo usual. Temos, neste caso, (3) du du = -dt dt ' dx dx = -dt dt ' dy dy = -d elt A f6rmula (B) foi deduzida supondo que x e independentes; podemos, contudo, mostrar facil tambem vale para 0 caso atual. Para faze-Io, v § 227, e dividamos ambos os membros pOl' tlt. Ob a notaetao, (4) tlu = au tlx tlt ax tlt + a~ tly + ay tlt (E tlx + E' tl tlt t Ora, quando tlt ~ 0, tlx ~ 0 e tly ~ 0; logo ( lim t.t->O E = 0, lim t.t->O E' = o. Portanto, quando tlt ~ 0, (4) torna-se (D) du _ au dx dt - ax dt + au dy ay dt . Multiplicando ambos os membros POI' dt e usand (B), isto e, (B) vale tambbn quando x e y sao jun~{jes varidvel t. + au dy + au du = au dx dt ax dt (E) dz az dt ' ay dt e assim sucessivamente para urn numero qualqu Em (D) podemos supor t = x; entao y e uma e realmente uma fun9ao de uma variavel x. Te du au au dy - dx -• dx - ax +ay (F) Do mesmo modo, de (E) resulta, quando y e z s du dx (G) au = ax + + au dy ay dx au dz 7h dx • du tern SIgnif'lc · d eve 0 b servar que au O 1eltor ax e dx A A derivada parcial se da ~; e 0 • limite da razao entre os ac a particular varidvel x um acrescimo e se mantem ·· d e dx du as varidveis jixas, enquanto na d ef llllyaO nao se mantbn constantes quando x recebe 0 acresc tamoem elas proprias outros tantos acrescimos. Para d . I au . d a du vad a parCla ax d a d enva dx costuma-se d ar a nome de derivada total de u em relayao a x. Deveenquanto a derivada parcial tern urn valor determ ponto, 0 valor da derivada total num ponto s6 quando se da. tambem a direyao particular segundo da total deve ser calculada. Exemplo ilustrativo 1. SOLUCAO. ,. au - ax = 1 Dados z 'U au = z sen y' x = et, y = t x z dx -cos - , = - -C09 - ' = y y ay 1'2 y' dt au au au d SOLugIo. = aea:l: (y-z) ' -iJy = ea'" I -az = - ea:l: j dx ax = - sen x. Substituindo em (G), du dx = aea", (y - z) + aea'" cos x + ea:l: sen x = ea'" (a 2 + Nota. Nos exemplos aeima, poder-se-ia, por substituil,:a tamente em termos da variavel independente e depois, enta mentej geralmente, porem, este processo e rnais lange ou e As f6rmulas (D) e (E) sao uteis em todas as a vendo velocidade de varia~ao em rela~ao ao tempo duas ou mais variaveis. 0 processo e pnUicament o esbogado na regra dada no § 52, exceto que, ao i em relagao a t (Terceiro Passo), achamos as deriv substituimos em (D) ou (E). Ilustremos isto com Exemplo ilustrativo 3. A altura de urn cone circular e e decresce a razao de 10 polegadas por segundo. 0 raio da gadas e cresce a razao de 5 polegadas por segundo. Com qu o volume? SOLugIo. Seja x = raio da base, y = altura; entao 1 au u = -3 7rX 2 y = volume 'ax Substituindo em (D), Mas x = 50, . . du at = "32 crescendo. 7r • 2 au = -7rxy = -31 3 'ay du _ 2 1 at - "3 7rXy dx dt + "3 y = 100, 5000 . 5 - ~~ = 5, 1 "3 7r . ~ = - 2 7rX dy dt' 10. 2500 . 10 = 15,15 pes cllb Resp. 230. - Mudan!;a de variaveis. (1) • 7rX· . u = j (x, y) Be as variav ser obtidas pOl' (D). Realmente, se mantemos s fi em (2) sao fun90es s6 de 1'; logo, (3) au ar -= au ax au ay + -ax ar ay a1' ' sendo, neste caso, parciais todas as derivadas em re Do mesmo modo, au _ ~~+ au ay as - ax as ay as . (4) Em particular, seja a transforma9ao dada pOl' (5) x = x' + h, y = y' + k, sendo x' e y' as novas variaveis e h e k constantes. ax ax' = 1, ax 1i' y = ay ay 0, ax' = 0, ay' = Obtemos, pois, de (3) e (4). (6) au ax au ax" au ay = au ay' . Portanto, a transforma9ao (5) nao altera os v vadas parciais. Se os valores de x e y em (5) sao substituidos (7) u = j (x, y) = F (x', y'). Os resultados em (6) podem agora ser postos(8) fx (x, y) = F x' (x', y'), fy (x, y) = Fy' (x' No § 229 mostrou-se que (B) e verdadeira q fun90es de uma s6 variavel t. Vamos mostrar agora dx ax = a;:- dr ax + a;ds, dy = ay a a;: dr + a Substituamos estes valores na expressao (9) au dx + au d ax ay Y e reduzamos por (3) e (4). (10) Obtemos au a;: dr au + a; ds . Mas, por (1) e (2), u torna-se uma funyao das pendentes res; logo, por (B), (10) e igual a duo Co (9) e tambem igual a du, isto e, (B) vale quando x de duas variaveis independentes. D() mesma modo, pode-se mostrar que (C) vale z sao funyoes de duas ou tres variaveis independen 231. - Deriva\;ao das fun\;oes hnplicitas. (1) J (x, A y)= 0 define x como funyao (implicita) de y ou y como fu de x. Ponhamos (2) u = J (x, y) ; entao du ~+~!:JL dx = dx ' ax ay (3) Res01vendo, obtemos oj ~ dy dx= - (II) oj ay Temos, assim, uma f6rmula para derivar fun Esta f6rmula, na forma (3), traduz 0 processo emp para a derivayao de funyoes impHcitas. Todos os ex cionado panigrafo podem ser resolvidos com ela. Quando a equar;ao de uma curva esta sob a form (H) fornece um modo facil de calcular 0 coeficien Dallo x 2y4 Exemplo ilustrativo 1. SOLUQAO. Seja J (:I-, y) = Entao X 2y4 ; ; = 2 xy" Portanto, de (H), dy d; = - + sen y = d 0, achar d + sen y. ;~ = 4 x 2y3 + cos y • 2 xy4 4 x2 y 3 + cos y. Resp. Exemplo ilustrativo 2. Se x cresce D. razao de 2 pole quando passa pelo valor x = 3 polegadas, com que velocid quando y = 1 polegada g,fim de que a func;:llo 2xy2 - 3 x 2y per SOLUQAO. d~ = O. Seja u = 2 xy2 - 3 X2Yi entao, ·como u pe Substituindo este valor no primeiro membro de resolvendo em relac;:iio a (4) ~ , obtemos dy di = - au ax au ay dx dt· Mas x = 3, y = 1, dx =2. dt 2 dy dt = - 2 15' polegadas por segundo. Logo Re De modo semelhante, a equa9ao F (x, y; z) = 0 (5) define z como fun9ao implicita das duas variavei x e y. Para achar as derivadas parciais de z em re procedamos como segue. Seja u Entao du = =f of ~ dx (x, y, z). of + ay dy + of oz dz, por (B), e isto vale quaisquer que sejam as variave (§ 230). Escolhamos agora z como a fun9ao das pendentes x e y que satisfaz (5). Entao u =0, of dx ox (6) Mas agora dz + of d + oy oz y = ~dx of dz oz = O. OZ + aydy . Substituindo este valor em (6)e simplificando ( dF ox + of ~) dx + (dF + of ~) d oz ox oy oz oy y Aqui dx (= ~x) e dy (= ~y) sao acrescimos Podemos, pois, par dy = 0, d.-c ~ 0, dividir amb (1) Procedendo de modo semelhante, acha-se tamb (J) As formulas (I) e (J) sao interpretadas como meiros membros z e a fun9ao de x e y que satisfaz dos membros F e a fun9ao de tres variaveis, x, y, meiro membra de (5). A generaliza9ao de (H), (l) e (J) as fun90es i numero qualquer de variaveis e 6bvia. Exemplo ilustrativo. Peb equa"iio z e definida como fun"iio impllcita de x e y. Achar as deriv fun"iio. SOW9AO. Logo Substituindo em (l) e (J), vem az ay (Compare com 0 = - y Z;. Resp. Exemplo Ilustrativo do § 226). 1. Resp. u du = x 2 - 3 xy + 2 y2; dt = X = cos t, Y = sen sen 2 t - 3 cos 2 t. 2. _r1 du u=x+4vxy -3 y; x=t3, Y = -t ' -dt = 3. u = ea sen y + du dt = Resp. 4. 5. ell ell sen x; x Y = 2 t. (! sen 2 t + 2 cos 2 t) + e21 (2 sen! t u = 2 x 2 - xy + y 2; u = ! t, = xy + yz + zx; = cos 2 t, X 1 = t' x Y = sen y = e , x = e- ' dy Nos problemas 6-10 achar dx pela f6rmula (H 6. Ax 2 + 2 Bxy + Cy + 2 Dx + 2 Ey + F = dy Ax + B 2 Resp. dx + y3 - 7. Xl 8. ez sen y - 3 axy ell = = - Bx +C ay - x 2 dy dx= y2 - ax • 0• dy til sen x + dx= ()' cos x - cos x = 1. Nos problemas 11-15 verificar que os valores satisfazem a equa9ao e achar 0 valor correspondente 11. x2 + 2 xy + 2 y = 22; 12. x3 - y3 + 4 xy = 0; x = 2, y = 3. Res x = 2, y = - 2. az az Nos Problemas 16-20 achar ax e ay . 16. Ax 2+ B y + C Z2 2 = D. az Ax az Resp. ax = - Cz ; ay = 17. Axy + Byz + Czx = D. az Resp. ax = 18. x Ay+ Cz. az Cx + By' ay + 2 y + z - 2 Y xyz = 10. Resp. az = yz - y;;;; az = xz ~ax yxyz - xy ay 19. x 3 + y3 + 20. Ax 2 + B y2 + CZ2 + 2 Dxy Z3 - 3 axyz = O. + 2 Eyz + 2 F Urn ponto move-se sobre a curva interseya com 0 plano y = 2. Quando x e cendo 4 unidades par segundo, achar (a) a velocid de z e (b) a velocidade com a qual 0 ponto se mov Resp. (a) 8 unidades POI' segundo;(b) 4 y5 unidad 21. + y2 + Z2 = 49 Urn ponto move-se sobre a curva intersey Z2 = 0 com 0 plano x - y + 2 = e tres e esta crescendo 2 unidades pOI' segundo, ac dade de varia9ao de y, (b) a velocidade de varia9ao cidade com a qual 0 ponto se move. 22. x 2 + xy + y2 - Resp. (a) 2 unidades pOI' segundo; (b) 2: unidad (c) 4,44 unidades POl' segundo. 23. A equa9ao caracteristica de urn gas perf onde () e a temperatura, p a pressao, v 0 volume tante. Num dado instante uma certa quantidade pes cubicos de volume e esta sob a pressao de 25 gada quadrada. Tomando R = 96, achar a temper 24. Um triangulo ABC esta sendo transform que 0 angulo A mude com velocidade de variaQao a 90° em 10 segundos, enquanto 0 lado AC decresc pOl" segundo e 0 lado AB cresce uma polegada p num dado instante, A = 60°, AC = 16 polegadas e galas, (a) com que rapidez varia BC? (b) com q a area ABC? Resp. (a) 0,911 polegadas pOl' segundo; (b) 8,88 polegadas quadradas pOl' s 232. - Derivadas de ordem mais alta. (1) 1l= f Be (x, y), entao (2) au au ax = f ... (x, y), ay = fy (x, y) sao elas pr6prias funyoes de x eye podem, pOl' sua vadas. Assim, tomando a primeira functao e deriv a u = fxz (x, y) , -a x 2 (3) 2 Do mesmo modo, da segunda funyao em (2), o (4) Em (3) e (4) ha aparentemente quatro deriva ordem. Mostramos ababw que (K) posta que, apenas, sejam continuas as derivadas em a ordem de deriva~iio sucessiva em rela~iio a x e y na Isto pode ser extendido facilmente as derivada alta. Por exe:hplo, sendo (K) verdadeira. Resultados semelhantes valem para fun90es d variaveis. Exemplo ilusttativo. SOLU<;{AO. ? • .3 -au = 3 x-y - 6 X1l, ax Logo, a f6rmula e verificada. DEMONsrRA~AO DE (6) Consideremos a expre (K). F = j (x+L\x, y+Lly)- j (x+L\x, y) - j (x, y Introduzamos a fun9aO ¢ (u) = j (u, y (7) onde u e uma ¢ (x (8) + variavel auxiliar. + L\x) = j (x L\y) - j (u, y) , Entao + L\x, y + L\y) - ¢ (x) = j (x, y + L\y) - j (x, y) . Portanto (6) pode ser posta sob a forma (9) F = ¢ (x j (x + L\x) - ¢ (x). + de ¢'(x + (J1 flx) e obtido de (8) toma parcial em relagao a x e substituindo x por x + (J1 f torna-se o valor (11) F = flx (1:. (x + (J1 flx, Y + Aplicando agora (D), § 116, a como variavel independente, vem (12) F = flx fly i",. (x fly) - i,. (x + i,. (x + (J1 flx + (J1 flx y + O2 fly) • Trocando-se 0 segundo e 0 terceiro termos do s de (6), urn procedimento analogo dara Logo, de (12) e (13). (14) i1l% (x + (J1 L\x, y + (J2 fly) = i%1l (x + (J3 flx Tomando os limites de ambos os membros qu tendem a zero, vem i",. (x, y) = ir" (x, y) , (15) p0is estas fungoes foram supostas contfnuas. EXERCICIOS Achar as derivadas parciais de segunda ordem d seguintes fungoes. 1. j (x, 1/) = Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2. Resp. in (x, y) = 2 A ; i%1l (x, y) illY Ax 3+ Bx 2 y + CXy 2 + D y 3. Resp. iu (X, y) = 6 Ax + 2 By ; i%1l (x, y) = = 2 Bx 2 Cy ; i"" (x, y) = 2 Cx 2. i (x, y) = = 2B ; + 5. 6. 7. f (x, y) = x 2 COS Y + y2 sen x. Se f (x, y) = x 3 + 3 x 2y + 6 xy2 - y3, mo f= (2, 3) = 30, IZll (2, 3) = 48, Ifill (2, 3) Se I (x, y) = x4 - 4 x 3y + 8 xy3 - y4, mo f= (2, - 1) = 96, Irv (2, -1) = -24, fllll (2, - I 8. Se 9. Se u (x, y) = 2 x 4 - 3 X 2y 2 + y4, ache os Izz (2, -2), Irv (2, -2), fYlI (2, -2). = Ax4 + Bx 3y + CX 2y 2 + au 3 -ax 3 = 24Ax + 6By , au ax ay 3 2 10. Se u = = 4 Cx + 6 Dy, D xy3 + E a 3 u ax 2 ay = 6 Bx au 3 ay3 = 6 Dx + + (ax 2 + by 2 + CZ 2)3, mostre que a3u ax ay ax 11. Seu = au 2 xy = x- +y ,mostrequex2~+2x vx v + y2 a 2 ay au 2 = In vx 2 + y2, mostre que ax 2 + 12. Se u 13. Se u = 1 V x 2+ y2 + Z2 ' a~ mostre que ~X2 V forma de uma curva cuja equa9ao e x 2 + 160 y - 1 unidade e a jarda. 0 cume esta sendo derrubado, rada de camadas horizontais de terra, a razao co jardas cubicas por dill.. Com que rapidez cresce a horizontal quando a colina tem 4 jardas a menos d Resp. 25 jardas quadradas p e,"11 2. Se u = ex --+til ,IDostre que 3. Se u = - , onde r = r 1 au au a-x + a-y = vx 2+ y2 + Z2, m r r r 1 (au + (au + (au ax ay az r z = x2arc tg -;y _y2 arc tg yx , mos 4. Se 5. Se u = z arc tg - , mostre que X y Se u = in (ex + ell + f:), mostre 4 • a2u + -a x a que ax a 2 Se u = f (x, y) e x = r cos 8, y = r sen 8 ()u ax au ay 8. Seja u = tisfazem a equa 9ao _ sen e au ar r ae' = sen eau + cos 8 au . oar r ae (X1 2 + X2 2 + ... + X n 2)k. Que 2u 2u a2u a a a-----; + a-;j" + + a~ = o X2" X = cos eau Xl" Resp. n k = 1- n 2 (n > 2). APLICACOES DAS DERIVADAS PARC 233. - Envoltoria de ulna famllia de curva de uma curva contem geralmente, alem das variave constantes das quais dependem a forma, a posi9ao da curva. POI' exemplo, a curva representada pela (x - 0')2 + y2 = r2 e uma cil'cunferencia cujo centro esta sobre 0 eix tancia a da origem e a amplitude da curva dep Suponhamos que a tome uma serie de valores e que r seja fixo; teremos, entao, uma serie de c1rculos de raios iguais diferindo, contudo, pela posi9ao, como mostra a figura. Um sistema de curvas formado deste modo, diz-se uma familia de curvas. A gra constante para cada curva, mas muda quando se curva a outra da familia, diz-se parametro. Par figura como parametro e usual inseri-lo no simbolo f (x, y, a) = O. As curvas de uma familia podem ser tangent.e curva ou grupo de curvas, como na figura acima nome envolt6ria da familia de curvas e dado a cu curvas. Vamos agora dar urn modo de achar a e t6ria "de uma familia de curvas. .591 seja tangente a cada curva da familia f (x, y, ex) = 0, (2) sendo 0 mesmo 0 parametro ex nos qois casos. Par ex, as coordenadas (1) satisfazem (2); logo, por (E) U = f (x, y, ex), du = df = 0, z = ex, temos (3) o f: (x, y, ex) cf>' (ex) coeficiente angular de (1) num ponto qualqu dy _ (4) e 0 + fll (x, y, ex) 1/1' (ex) + fa (x, 1/1' (ex) dx - cf>' (ex) J coeficiente angular de (2) num ponto qualquer (5) fx (x, y, ex) dy dx = - fll(x,y,ex)' Como as curvas (1) e (2) slo tangentes, os coefic num ponto de tangencia devem ser iguais, ou seja, (6) 1/;' (ex) Ix (x, 'Y, ex) cj>' (ex) = - 111 (x, y, ex)' ou Ix (x, y, ex) cf>' (ex) + ill (x, y, ex) y.,' (ex) = O Comparando (6) e (3), vem (7) fa (x, y, ex) = O. Portanto, as coordenadas do ponto de tangenci equa90es (8) 1 (x, y, ex) = 0 e fa (x, y, ex) = 0, isto e, as equa90es parametricas da envolt6ria, quand t6ria, podem sar achadas resolvendo-se as equa90es a x e y, em termos de ex. SEGUNDO PASSO. Resolva estas duas equa~i5es em em tei'mos do parametro a. Obtem-se, assim, as equa90es pal'ametl'icas d equa9ao retangulal' pode sel' obtida das pal'ametl entao eliminando a nas equac;oes (8). Exemplo ilustrativo 1. Achar a envolt6ria da familia j (x, y, a) j~ Temos = (x - a)2 + y2 - .,:z =0. (x, y, a) = (x - a) = 0 . Eliminando a, vem y2 - r2 = 0, ou seja, y = r, y = - r. t;Qes das retas AB e CD da figura do comet;o deste paragr cfrculos e a famnia considerada no princfpio deste pltrligrafo Exemplo ilustrativo = p, sendo a + y sen a SOLU<;:XO. 2. 0 Achar a envolt6ria da· familia d parAmetro variavel. Temos j (x y, a) = z cos a (9) PRIMEIRO PASSO. - p = 0. Derivando em relat;ii.o a a, j~ (10) + y sen a (x, y, a) = - y sen a + y cos a = 0. SEGUNDO PASSO. Multiplicando (9) por cos a e (10) por vem x=pcosa Semelhantemente, eliminando x em (9) e (10), y=psena As equaQoes parametricas da envolt6ria sao, pois, (z ~ (11) sendo a l 0 parAmetro. = p cos a, y = p sen a, Quadrando as equaQoes (11) e soman Z2 + y2 = p2, equal/aO retangular da envolt6ria, uma circunferencia. Exemplo ilustrativo 3. Achar a envolt6ria da famma reta de comprimento constante a, cujas extremidades estiio fixos, perpendiculares entre si. ser expresso em fun9ao de a, pois AO = AB cos a = = acosa e p = AO sen a, portanto p = = a sen a cos a. Substituindo em (12), obtemos (13) x cos a + y sen a - a sen a cos a = 0 , onde a e 0 parametro variavel. Esta equaQao esta sob a for Derivando em relac;:ao a a, a equaQao fa (x, y, a) = 0 e - x sen a (14) + y cos IX + a sen2 a - a cos2 a = 0 Resolvendo (13) e (14) em relaQao a x e y, em tennos ( x = a sen 3 a, { ly=acos3 a, (15) equaQoes parametricas da envolt6ria, uma hipocicl6ide. A e desta curva e obtida das equaQoes (15) pela eliminaQao de a, 2 2 xS =aS sen 2 a, 2 2 y"3 = as cos2 a . 2 Somando, x"3 2 + y"3 2 = as, equac;:ao retangular Sao frequentes os problemas nos quais e conve parametros ligados pOl' uma equayao de condiyao ultima, urn para-metro pode ser eliminado da equa de curvas. Contudo, e muitas vezes preferivel pro seguinte exemplo. y Exemplo ilustrativo 4. Achar a envolt6ria da familia de elipses cujos eixos coincidem e cuja area e constante SOLU9AO. A equaQao da elipse e (16) onde a e b sao os parametros variaveis ligados pela equaQao (17) 1I'ab = k, e b da + a db = 0, (de (17)) Transpondo urn Mrmo em cada das equac;6es para dividindo, vern X2 Portanto, usando (16), a2 a = ± x ou seja 1 ="2 e V2 y2 0 1 'bi = "2' e b= ± y v'2. Substituindo estes valores em (17), obtemos a envolt6ri par de hiperboles retangulares conjugadas (ver figura). 234. - A evoluta de uxna eurva, eonsidera t6ria da faxnllia de norxnais eurva. Como as no va sao todas tangentes a evoluta da curva (§ 110), evoluta de uma curva pode ser definida como a envolt6ria da familia de todas as suas normais. E interessante notal' que se acharmos as equac;oes parametricas da envolt6ria pelo metodo do paragrafo precedente, obteremos as coordenadas x e y do centro de curvatura.; temos aqui, portanto, urn segundo modo de achar as coordenadas do centro de curvature!. Se eliminarmos 0 parametro variavel, obtemos a equayao retangular da evoluta. a Exemplo ilusttativo. Achar a evoluta da parabola rada envolt6ria de suas normais. SOLu9AO. A equac;ao da normal num ponto Y - Yl = - .1!l- 2p (Xl, Yl) d (x - Xl) por (2), § 43. Como estamos considerando as normais a curva, Xl e Yl sao variaveis. Eliminando Xl mediante Y1 2 equac;ao da normal em termos de Yl apenas (1) Y13 . Y - Yl = 8 p2 - XYl 2P ' 3 OU XYl Y1 + 2 PY - 4P = pI3 (3) Y=-4p 2 ' AJJ equa90es (2) e (3) fornecem as coordenadas do cen parabola. Tomadas conjuntamente, elas sao as equa90es pa luta em termos do parametro Yl. Eliminando Yl, obtemos 27 py2 = 4 (z - 2 p)3, equa9ao retangular da evoluta da parabola. Este resulta obtivemos no Exemplo Ilustrativo 1, § 109, pelo primeiro PROBLEMAS Achar a envolt6ria de cada urn dos sistemas de as figuras. +m +m 2 Y = mx 2. Y = -m 3. y = m 2x - 2 m 3• 4. Y = 2mx 5. Y = tx - t 2 • X 2 x2 Resp. 1. • 27x 2 • +m +4 4 • 6. Y = t 2x + t. = 27 y = 16 + y3 7. Y Achar a envolt6ria de cada urn dos sistemas de nhar as figuras. 8. 9. + y2 = ~,c . 2 x + (y - t)2 = 2 t. (x - C)2 y2 = 4 Resp. 10. (x - t)2 +( Achar a envolt6ria de cada urn dos sistemas d 11. 12. y2 = cy2 = C (x - c) • Resp. 2Y = ± 1 - c2x. + Achar a evoluta da elipse b2x 2 a 2y 2 = equa9ao da normal na forma by = ax tg <p - (a 2 parametro 0 Angulo excentrico <p. a 2 - b2 b2 - 0. 2 Rerp. X = --a-- cos3 <p, y = --b-- sen3 <p; 13. 2 (ax)"i 2 + (by)S = (a por equayao, sendo T 0 parametro. Resp. (x+y)"i" + 15. Achar a envolt6ria dos circulos que passa tem os centros sobre a hiperbole x 2 - y2 = c2• Resp. A lemniscata (x 2 + y2)2 16. Achar a envolt6ria da famIlia de retas sabre os eixos coordenados segmentos de soma const Resp. A parabola xi + yi = Achar a envolt6ria da familia de elipses b cujos eixos tern soma constante igual a 2c. 17. ~ Resp. A hipocicl6ide x3 + y3 18. De um mesmo ponto lanyam-se projeteis inil1ial vo. 0 lanyamento se da num mesmo plan gundo varios angulos. Achar a envolt6ria das tr despresada a resistencia do ar. Sugestao. ria e A equa~ii.o de uma trajet6- gx 2 y=xtga- 22 2 Vo cos a Bendo a 0 J parAmetro variavel. vo 2 gx 2 Resp. A parabola y = - -. 2g 2 vo 2 19. Se a familia t 2 f (x, y) + tg (x, y) + h (x, y) = 0 tem uma envolt6ria, mostre que a equayao dela e g2 (x, y) - 4 f (x, y) h (x, y) = 0. 235. - Tangente e plano normal a uma cu leitor ja esta familiarizado com as cm'vas planas (§ equayoes parametricas. Vamos agora estudar as c dadas tambem por equayoes parametricas. por t; entao (1) x=cp(t), y= if;(t) , z=X(t). A eliminayao do parametro t y entre estas equayoes, tomadas duas a duas, fomece as equayoes dos cilindros que projeta os pIanos coordenados. Sejam P (x, y, z) 0 ponto correspondente ao valo e P' (x + Ax, Y + Ay, z + Az) 0 ponto correspond t + At, onde Ax, Ay e Az sao os acrescimos de x, vamente, devidos a um acrescimo At de t. Da ge do espayo, sabemos que os cossenos diretores do (diagonal do paralelepipedo, ver figura) sao propor Ax, Ay, AZ; portanto, dividindo os tres por At, temos, indicand os cossenos diretores, (2) cos a' cos (3' cos "(' ~=IIY=~ At At At Fayamos agora P' tender a P, movendo-se sobre At e portanto tambem Ax, Aye Az tendem a zero tende a tangente a curva em P. Ora . Llx lim -At ~I--+O dx = -dt = cp' (0 ,etc. Logo, para a tangente tem-se (A) cos a ~ dt cos (3 = rly dt cos "( =---;;;dt e nota<toes anaIogas para as outras derivadas. Temos, pois, por (2) e (4), pp. 6 e 7, 0 seguin As equar;oes da tangente d curva de equar;oes (1) X no ponto PI = (Xl, Y1, Zl) (B) ep(t), Y = if; (t), z = X (t) sao X - XI Y - YI 1~ll 1~ll Z - Zl I~; . II o plano normal a uma curva reversa num po e 0 plano que passa POl' PI e e perpendicular it t em Pl' Os denominadores em (B) sao os paramet tangente em Pl. Logo temos 0 seguinte resultado A equar;iio do plano normal d curva (1) no pon I~~t (:C - ((f) XI) + I~ II (y - Yl) + 1~;11(Z - Exemplo ilustrativ<l. Achar as equa~oes da tangente e normal a h6lice circular (sendo (J 0 parAmetro) x = a cos (J, y=asenO, z = b 0, (4) (a) num ponto qualquer (Xl, Y1, %1); (b) quando 0 = 2 7r. SOLU(jAO. dx dO =-asenO=-y, dy dO =acosO z dz = x'dO = b. Substituindo em (B) e (e), obtemos, em (Xt, Y1, Zl), (5) ~ = Y - Yt = z - Zl , - Y1 equa~oes - Y1 (X - XI) cqua~ao Xl b T da tRgente, e + Xl (y - YI) do :-lllno norma.l. + b (z - ZI) = 0, y ou seja, z=a, by=az-2abr equa~oes S!O as 6 a equa~ao da tangente e do plano normal. Ob8erv~iio. Para a tangente (5) temos, por (2) e (4), isto ~, a MIke corta todos os elementos do cilindro angulo. z2 + y2 236. - Comprhnento de arco de uma curva figura do panlgrafo precedente terlOS (1) (Corda PP')2 = ( ilx ilt 2 ilt Seja arco PP' = ils. facilmente que (2) ( d;· d)2 = )2 + ( ily )2 + At Procedendo como no § d~ (d)2 + (d)2 d~ + (d)2 d; Desta obtemos s= (D) onde 11> (dx 2+ d 2+ dz 2 y )i , x = cf> (t), Y = if; (t), z = X (t), como em (1) Aos cossenos diretores da tangente podemos forma simples. Realmente, de (A) do precedente p equa~ao (2) acima, usando formulas de (2), p. 6, (3) cosa dx =- ds ' dy cos{3 = - ds ' cos')' = eompreendido entre os pontos onde t ... 0 e t - 4. SOLUg.iO. Derivando (4), obrem08 cU == dt, dy .. tdt, dz = t 2 dt. 1 4 substituindo em (D), aproximadamente, 8 = VI + t2 + t'dt pera regra de Simpson, tomando n =23,9 == 8. EXERCtCIOS Achar as equa/t0es da tangente e a equa/tao do cada uma das seguintes curvas reversas, no ponto 1. x = at,· Y = bt 2 , Z = ct3 ; t = 1. x-a y-b z-c Resp. - - = - - = - - ; ax+2 by+3 cz a 2b 3c 2. x = 2 t, Y = t 2, Z = 4·t'; t = 1 . x-2 y-l z-", Resp. - 2 - = -2- = 16; x 3. x = t2 +y +8 1, y = t + 1, z = t 3 ; t = 2. - x-3 y-3 z-8 Resp. -4- = - 1 - = 12; 4x 4. x = t 1 - 1, y = t 2 + t, Resp. x 3" = Z y-2 z-2 -3- = - 9 - j x 5. x = 2 t - 3, y = 5 - t 2 , 6. X 7. x = t, Y = e', z = e-t = a cos t, = 4 t3 - y = b sen t, ; Z Z = 3t + 1; + y +3z = 2 T; = t; t t= 0. +y+ = t = 2. 1 6' 7r • compreendido entre os pontos onde 0 = 0 e 0 = 27 Resp. 10. Achar 0 compriInento do arco da curva = 3 0 cos 0, y = 3 0 sen 0, X 2 Z = 40 compreendido entre os pontos onde 0 = 0 e 0 = 4. Resp. 11. Achar 0 X 26 + 25 "6ln comprimento do arco da curva = 2 t, Y = t 2 - 2, Z = 1 - t2 comoreendido entre os pontos onde t == 0 e t = 2. 12. Dadas as duas curvas (5) X (6) X = t, = Y = 2 t 2, 1 - 0, Y = 2 cos 0, Z sen = (a) mostrar que elas se cortam no ponto A (1, (b) achar os cossenos diretores da tangente a Resp. 1 _ 1_' V 18 4 V (c) achar os cossenos diretores da tangente a (d) achar 13. 0 Angulo de interseQao das curvas em A Dadas as duas curvas = 2 - t, X = sen 0, X Y = t2 Y - 4, z = tJ - 8 = 0, z = 1 - cos (j , (a) Se OF, OE e ON da primeira figura escolhidos como eixosde coordenadas OX, OY e OZ r e se P (x, y, z) e urn ponto da esfera, provar que x y = a cos ¢ cos 0, z =.a sen ¢, se ¢ e (} sao, respec titude e longitude de P. 14. (b) Usando (3), e (3) da ps.gina 5, achar 0 angu preendido entre uma 'curva da esfera para a qual (} = lelo por P. tg a Resp. d¢ = sec ¢ de' com 237. - Reta norIYlal e plano tangente. a U Uma reta diz-se tangente a uma superjicie num ponto quando e tangente em P a alguma curva que pas sobre a superficie. Tem-se 0 seguinte teorema importancia. TEOREMA. Todas as tangentes a uma superjicie da 8uperjicie esti:io num plano. DEMONSTRAQAO. Seja F (x, y, z) (1) = ° a equagao de uma dada superficie e seja P (x, y, z) sobre a superficie. Se uma curva C de equagoes (2) x =¢ (t), Y = if; (t), z = X (t) esta. sobre a superficie, os valores (2) devem satis (1), qualquer que seja 0 valor de t. Logo, se u = u = 0, du = 0, e, por (E), § 229, (3) at' at' at' e perpendicular a reta cujos cossenos diretores sao aF ax ' (4) aF aF ay , az . Seja PI (Xl' Yl> Zl) urn ponto da superffcie e I~~ 11' 1~~ll' I~~II (5) oa valores das derivadas parciais (4) quando X = X Areta passando por PI' cujos parametros diretore (5), diz-se normal a superficie em Pl. Temos, pois, tado: As equa~5es a superficie da reta normal F (x, y, z) = 0 (1) (E) XI ;;F xII ax 1 = y, ~ Y,l ay 1 = z, a-;.,Zl . az 1 o argumento precedente mostra que todas as superficie (1) em PI sao perpendiculares a reta no em PI e portanto todas as mencionadas tangentes lsto prova 0 teorema. o plano contendo todas as tangentes em PI tangente a superficie em Pl. Podemos pois enunci sultado. A equa~ao do plano tangente PI (Xl, YI, Zl) e a superficie (1) no =j (x, y), ponhamos F (x, y, z) = j (x, y) - z = 0 . (G) aF ax aj ax az ax ' Entao - = - - = - POl' As (E) temos, pois, equa~oes da 0 seguinte resultado. reta normal d superjicie z = j (x, sao (G) De (F) obtemos tambem que e, portanto, a equa~ao do plano tangente em (Xl jicie cuja equa~ao e z = j (X, y). 238. - Interpreta!;ao geornetrica da diferenc demos agora discutir a f6rmula (B), § 227, a luz d modo inteiramente anaJogo ao que fizemos no § 9 Consideremos a superficie z (1) e 0 ponto (2) (Xl, Yh Zl) sobre ela. = j (x, y) A diferencial total d Substituindo estes valores em (H) do § 237, v (3) Comparando (2) e (3), obtemos dz TEOREMA. A dijerencial total de uma jun9iio . j (x, y) correspondente aos acrescimos D.x e D.y e igual ao correspondente acrescimo da coordenada z do plano tangente d superjicie z = j (x, y). Assim, na figura, PP' eo plano tangente a superficie PQ em P (x, y, z). z- L Zl. z ~ d AB = D.x Seja = y CD = D.y; e entao dz =z- Zl = DP' - DE = EP' . Observe tambem que D.z = DQ - DE = EQ. Exemplo ilustrativo. Achar a equa~iio do plano tange da reta normal a esfera x 2 + y2 + z2 = 14, no ponto (1,2,3 SOLu9Ao. entao aF ax Portanto Seja F (x, y, z) = x2 14 ; aF aF -=2y ay , a;-= 2z; Xl = 2 x, x + 4 (y +2 y +3Z = 14, - 2) = 1, YI I~ll = laF ax I1 = 2 ' laF ay I1 = 4 ' Substituindo em (F), 2 (x - 1) ou + y2 + Z2 - + 6 (z - equa~iio 6 3) do plano PROBLEMAS Achar a equayao do plano tangente e as equayoe a cada uma das seguintes superficies, nos pontos i +y + x2 1. 2 = 49; (6, 2, 3). x-6 y-2 6x+2y+3z= 49; -6-=-2- Resp. z = x 2 + y2 - 1; (2, 1,4). 2. 4x Resp. x2 Resp. x-2 y-l z = 6; - 4 - = - 2 - = 0; (2, - 3,4). + 15 y + z + 15 = + 2y z - +8= 0; = y+3 15 7 = 0; (1, - 2,6). x-I x+2 0 ; -2- = -2- = XZ - 6. x 2 - y2 - Z2 = 7. x 2 + y2 - = 25 ; (5,5,5). 8. 2 x2 9. x Z2 + 3 y2 + 4 +y- 1 ; (3,2,2). Z2 = 6; (1, 1, t). Z2 = 3 ; (3,4,2). Achar a equayao do plano tangente ao hipe 10. X x-2 1:3 + 2 y3 - 10 = 0; (2,1,4). x-2 y-l 4 x + y + z - 13 = O·' 4 - - = -1- y X2 2 Resp . - + 2 xy + y2 + Z - Resp. 2 x 5. + 2y + xy2 + y3 + Z + 1 = 13 x x2 4. • Z2 2· Y 2 z·., XIX folhas -a 2 - -b2 - -c2 = 1 em (Xl ' Yl,Zl) Resp • - a 2 . Mostrar que a equa9ao do plano tangen 12. X 2 + y 2 + Z2 + 2 Lx + 2 My + 2 Nz +D 13. Achar a equa9ao do plano tangente num da superficie 2 xa 2 2 + ya + za 2 = aa, e mostrar que a soma dos quadrados dos segment sabre os eixos pelo plano tangente e constante. 14. Provar que 0 tetraedro formado pelos pIa e urn plano tangente qualquer a sliperficie xyz = constante. A curva 15. x 2 - 4 y2 se9ao ? - t2 X = 2' y Z = 4 Z = 0 no ponto (2,2, - 3). Resp. 16. 4 = t' A superficie x 2 + y2 900 - t-2t 2 2 Qual arc cos + 3 Z2 = co 0 a 19 -_--= 3v 13 /= 25 e a curva 2 t 2 cortam-se no ponto da curva dada pOl' o angulo de interse9ao? 19 Resp. 900 - arc cos _ /_ 7v 29 M Z = - 17. 0 elips6ide x 2 + 2 y2 + 3 Z2 = 20 e a 3 2 (t + 1), y = t4 1, Z = t3 encontram-se no 2 ostre que a curva corta a superficie ortogonalme x = - + e G (x, y, z) = 0, a. reta tangente PT em P (XI, YI, Zl) e a interse9ao dos planas tangentes CD e CE nesse ponto, pais PT e tambem tangente a ambas as superficies e, portanto, deve estar em ambos as planas tangentes. As equa90es dos dais pIanos tangentes em P s (1) Tomadas simultaneamente, estas sao as equa90 gente PT a. curva reversa AB. Sa A, B e C sao para-metros diretores da reta planas (1), entao, par (6), § 4. 1. _laFllaGI_laFllaGI II Oz 1 Oz I oy I' _IOFllaGI az 1 ax I B • - oY - (2) C-laF! - ax laG/_laFllaGI ay oy ax 1 I 1 1· As equa90es da tar:.gente CPT sao, pais, y - (3) z - Zj C JI1 B A equa9ao do plano norml'Ll PHI (4) A (x - XI) YI) + C (z - ZI) = Exemplo ilustrativo 1. Achar as equac;:oes da tangente (r, r, r V2) a curva interse<;,iio da esfera e c sao, resnectivamente, x 2 y2 Z2 = 4 r 2, x 2 y2 = 2 rx plan~ nermal err 9009 + B (y - e + + + I~~ 11 I~~ 11 = 0, loo~ 11 = 0 . = 2r. Substituindo em A = - 4 r2 V2, B Logo, por (3), temos x-r -V2 ou y y-r = -0- = r, x +y equac;6es da tangente intersec;iio. Substituindo em equac;iio do plano no - V2 (x - r) + 0 (y - V2x - ou r) Z = + (z - r vi) = o. Exemplo ilustrativo 2. Achar 0 lingulo de intersec;iio exemplo precedente, no ponto. dado. SOLut;XO. 0 Angulo de intersec;iio e igual 11.0 Angulo com pIanos tangentes ou as retas norrnais. Acharnos pnrametros linhas acirna no EKemplo Ilustrativo 1 (ver (E), § 237). E a = 2 r, b = 2 r, C = 2 r -VZ. a' = 0, b' = 2 r, c' = 0 . Logo, por (6), § 4, cos (J 4 r2 1 = 8 r 2 = "2. (J = 60° Resp EXERct cros Achar as equac;:oes da reta tangente e a equac;: mal a cada uma das seguintes curvas, no ponto in 1. x2 + + Resp. y2 Z2 = 49, x 2 x-3 y-2 -2- = ----=-3' + Z y2 = 13 ; (3,2, - +6 = 0; 2x - 3 Resp. x-2 ~ x2 4. y-4 z-2 = ---=-5 = -6-; 16 x - 5 y + +3 y2 Z2 = 32, 2 x 2 + y2 +6z = - Z2 x-2 y-l z-3 Resp. - 6- = _ 21 = -1- ; 6 x - 21 Y + = 0," 2 x + + = 0i +z+6 5. x2 - 6. x2 +4V 7. As equa90es de uma helice (espiral) sao y2 - Z2 2 - = 1, x 2 4 Z2 = - y2 Z2 y Z Y = x tg c 9 ; (3,2 Z - 24 = . Mostre que as equa90es da tangente no ponto + YI (z - c (x - Xl) c (y - e· e a equa9ao do plano normal YlX - Zl) = 0, VI) - Xl (z - Zl) = 0 i XlV - + C (z - Zl) = 0 . + As superficies X 2y 2 2X Z3 = 16 c 3 1: cortam-se numa curva que passa pelo ponto (2, equac;3.o do plano tangente nesse ponto a cada ficies? Resp. 3 X 4 V + 6 Z = 22 i 6 8. + Mostre que 0 elips6ide x 2 + 3 y2 + 2 Z2 x + y2 + Z2 - 8 X - 8 y - 6 Z + 24 = 0 sao tange ponto (2, 1, 1). 9. 2 + Mostre que 0 parabol ide 3 x 2 2 y2 - 2 Z2 4y - 2Z 2 = a cortam-se ol't ponto (1, 1, 2). 10. x2 + y2 + + (1) f (xo + h, Yo + le) + hf", (xo + Oh + lefll (xo + Oh, Yo + Ole), (0 < = f (xo, Yo) Para este fim, seja F (t) = f (xo (2) + ht, Yo + let) . Apliquemos (D), § 116, a F (t) com a F (1) (3) = F (0) F' (t) 0, D.a + F' (8) . Mas de (2), pOl' (D), § 229, posta que x (4) = = hf", (xo + ht, Yo + let) = Xo + + lefll (xo Logo, de (2), vern (5) F (1) = f (xo + h, Yo + lc), F (0) = f( e de (4) (6) F' (8) = hf", (xo + Oh, Yo + Ole) + kfy (xo + O Substituidos estes resultados em (3), obtcmos (1). Se desejamos uma formula an:Uoga a (F), § 12 siderar Fit (t). Aplicando (D) de novo, § 229, obte d dt f", (xo + ht, Yo + let) = hf",,,, (:To + ht, Yo + kt) + kfy:c ( d dt Iv (x, + ht, Yo + let) + lefw (x + ht, Yo + let) = hj",v (xu De (4) temo8, pais, dori yando em (7) Fit (t) = h 2fu (xo rela~'50 a t, + h!, Yo + let) + 2 hlef",y (xu + lc fuy (xo + hi, 2 Podemos agora demonstrar facilrnentc a Lei da para uma funyao de duas variaveis, substituindo e tados (5), (4) e (7). Obtemos assim (9) i (xo + h, + I~ + hI. (:r.o, Yo) h j=(xo + Oh, Yo + Ole) + 2hkjxy(x + k jyy (xo + eh, Yo + Ok) . (0 Yo + k) = i (xo, Yo) 2 2 Nao h3. dificuldade em extender as formulas para fun90es de mais de duas variaveis nem em ex modo analogo ao que foi feito no final do § 124. 241. - MaxiIllOS e m.laiIllos para fun~oes d veis. No § 46 e de novo no § 125 deduzimos c sirias e suficientes para um maximo e um minimo fun9ao de uma variavel. Vamos agora considerar funyoes de mais de uma variavel independente. A fun9aO i (x, y) diz-se maxima em x = a, y = vizinhanya de x = a, y = b tal que para os valores vizinhanya se tem que i (a, b) e maior que j (x, V). j (x, y) diz-se minima para x = cr., y = b, se i (a, b j (x, y) quando 0 ponto (x, y) esta em alguma vizin (a, b). Outro modo de formular estas definiyoes e Se para todos os valores de h e k, menores, em que algum nllinero positivo, (1) entao j (a, b) (2) j (a e um + h, b + k) - j (a, b) = nllmero maximo de j (x, V). j (a + h, b + k) Se - j (a, b) = nume entao j (a, b) e um minimo de j (x, V). Estas defini95es podem ser interpretadas geome segUIJ. Um ponto P da superficie z= j (~r, y) temente, P' e urn ponto minimo sobre a superficie quando ele e "mais baixo" que todos os outros pontos da Buperficie que estao numa sua· vizinhan<;a. Portanto, se y; Zl = j (a, b) e urn maximo au minimo, 0 plano tangent~ em (a horizontal, isto e, paralelo a XOY. Mas 0 plan § 237, e paralelo a XOY quando os coeficientes de Temos, pois, 0 seguin~ resultado. Uma condi~ao necessaria para que nimo de f (x, y) e que as equa~oes aJ (3) ax = 0 oj 'ay = f (a, b) seja 0 sejam satisjeitas para x = a, Y = b. As condiyoes (3) podem ser obtidas sem 0 uso do Realmente, quando y = b, a fun<;ao f (x, b) nao po decrescer quando x atravessa a (ver § 45); logo, equa<;oes (3) deve ser verificada 0 mesmo podefun<;ao f (a, y) e obtem-se assim a segunda das equa o metodo ora exposto aplica-se tambem a urn variaveis. Temos pois: uma condiyao necessaria pa seja maximo ou minimo para j (x, y, z) e que as eq (4) a.t = 0 ax ' aj oz =0 sejam sa.tisfeitas para x = a, y = b, Z = c. Para estabelecer cJndiyoes necessarias e suficie e muito mais dificil (ver abaixo), mas em muito Achar 0 comprimento e a inclina~iio de cada lado para ~que a capacidade da caixa. seja maxima. x SOLu9Ao. A area da se~iio transversal mostrada .f_ na figura deve ser maxima. A mencionada se¢o e urn ,trapezio cuja base superior mede 24 - 2:J: + 2:l. cos a. A base inferior vale 24 - 2:r; e a altura e :r; sen a. A area (5) A = 24:r; sen a- 2 x 2 sen a+:r;2 sen acos a. Derivando, temos aA ax 0= aA aa = 24:r; cos a - 2 x 2 cos a 24 sen a - 4 :r sen a + 2 x sen a cos a. + z2(cos2 a - s 19ualando as derivadns parciais a zero temos as duas e 2 sen a (12 - 2 :r; + :r; cos a) = 0 • :J: [24 cos a - 2 x cos a + x (cos2 a - sen2 a)] Uma solu~iio deste sistema e a = 0, x = 0 que nao tem s natureza do problema. Admitindo, pois, que sejam a ~ 0, as equa~oes, obtemos cos a = !, :r; = 8. Um exame da natureza fisica do problema mostra que de maximo da area. Este maximo ocorre, pois, quando a = 60° Vamos agora estabelecer uma condi9ao suficie que as equa90es (3) sejam verificadas, obtemos de ( tituindo Xo por a, Yo por b e transpondo, (6) f (a + h, b + k) - f (a, b) = + 1 (h2fzz(x, y 2 1 + onde puzemos x = a Oh, y = b Ok. Por (1) e urn maximo (ou urn minimo) se 0 segundo membro positivo) para todos os valores de h e k suficiente em valor absoluto, excluido 0 zero. Ponhamos (7) A=f=(x,Y), B=fzlI(x,y), C=fll e consideremos a identidade (8) Ah 2 + 2 Bhk + Ck 2 = f~ [(Ah + Bk)2 + e 0 pri:meiro membro tem portanto 0 mesmo sina pois, por (9), A e C devem ter 0 mesmo sinal). T em saber interpetar 0 criterio (9) para. 0 segundo Admitamos que (9) valha quando x = a, y = b continuas as derivadas (7), (9) vale tambem para v pr6ximos .de a e b, respectiva.mente. 0 sinal de tambem 0 mesmo que 0 sinal de J"", (a, b) (ou fllll estabelecemos a seguinte regra para achar maxim uma fun~ao f (x, y). Resolva PRIMEIRO P ASSO. af ax 0 = 0 sistema de equ.a~oes ' SEGUNDO PASSO. Calcule para os valores de x pelo sistema acima, a expressao TERCEIRO PASSO. A fun~ao a 2 e dxf2 sera ( ou maxima se Ll >0 minima se Ll d f ( ou > 0 e dx 2 2 2j a uy- ~) >0. Be Ll e negativo, f (x, y) nao tem maximo nem m pode ver facilmente. o leitor deve observar que esta regra nao da todos os valores maximos e minimos, pois um par determinado no Primeiro Passo pode anular. Ll e maximo ou minimo. Para tais valores e pois neces tigaQao ulterior. Nao obstante, a. regra dada p muitos problemas importantes. J(x,y) SoLUgAO. Primeiro Passo. Resolvendo ~te Segundo Passo. oj - = 3axy - x3 - oj = 3 ay - 3 x 2 = 0 ox yS. oy =3ax- ' sistema de equaQoes, ohtemos x=O, x=a, y-O, y=a. 02J . - = -6x ' ox2 02J oxoy = 3a, Terceiro Passo. Quando x "" 0 e y = 0, 6. nem m8.ximo nem minimo em (0, 0). Quando x = a e y = 9 a2 02J a, !i. = 27 a2; como ox 2 = - 6 a, = "oes para um m8.ximo em (a, a). Substituindo x obtemos 0 m8.ximo a 3 • Exemplo ilustrativo 3. seja. m8.ximo. SoLUgAO. = - 02J toy2 Dividir a em tr~ = a, y =a partes tais qu Seja z a primeira. parte e y a segunda; ent A funQao a. ser examinada. = a .- x - y 6 a. terceira. parte. J (x, y) = x y (a - x - y) , Primeiro Passo. of - ox =0 ay - 2 xy - y2 of 0= 0 - ' ox ... ax - Resolvendo ~ste sistema, um par de soluQoes 6 x = ; , Segundo Passo. o2f - 2y, 2 ox- A = 4 xy a~ -=a-2x-2y ax oy - (a - 2 x - 2 y)2. ceira parte ~ tamMm a '3 e 0 maximo valor do produto ~ 2 E X ERe I c I O-S Examine cada uma das seguintes func;oes no maxllnOS e minimos. + xy + y2 - 1. x2 2. 4x 3. 2 x 2 - 2 xy 4. x3 5. sen x +2y - - 3 axy x2 6,x + 2. + xy - Resp. x = 4, y y 2. + y2 + 5 x - 3 y. + y3. 10 x = "3, Y x = - 1 x = y = + sen y + sen (x + y) x = y = x = y = 6. x 2 - xy 7. xy+ + y2 + ax + by + c • a b -+-. x y 3 8. 9. tern tr~s 3 ... ,r lV.l.ostre que '(' 0 mi:l.XlmO d (ax e x2 + by + c) + y2 + 1 2 Ache 0 paralelepipedo retangulo de max faces nos tr~s pIanos de coordenadas e plano ~ + }L + .-:.. abc, = 1. Resp. 10. elipsoide Ache x2 0 '!.I 2 volume do maximo paralelepiped Z2. -+-' +-=1 a b e 2 2 2 Resp. a = 30°, 2 x = - - - -P- - - - y = 12. = y - 3 2 P 2" - x (1 + 2 sec a - tg a ' + sec a). Achar a menor dist8.ncia entre as retas x = z. 13. Um fabricante produz dois tipos de aQu em media, 50 centavos a 'libra e 0 outro 60. Se 0 p meiro tipo e x centavos por libra e 0 do segundo libra, Q ntimero de libras de aQucar que pode ser v semana e dado pelas f6rmulas N 1 = 250 (y - x) (1.0 tipo), N 2 = 32.000 + 250 (x - Mostre que 0 lucro obtido e maximo quando os fixados em 89 centavos e 94 centavos por libra, 14. Um fabricante produz aparelhos de barbea aparelho custa, em media, 40 cruzeiros e uma d custa, em media, 20 cruzeiros. Se os aparelhos sa cruzeiros e a duzia de laminas a y cruzeiros. a proc ~ d d e 4.000.000 apare lh os e 8.000,00 t:, ca a semana, xy xy minas. Achar os preQos teto para que maximo. 0 lucro do 242. - Teorema de Taylor para fun!;oes de variaveis. A f6rmula de Taylor para j (x, y) e ob dos metodos e resultados dos § § 194 e 240. Consideremos (1) F' (t) == j (x + ht, Y + kt) , e desenvolvamos F (t) como em (5), § 194. Obtem Obtemos os valores de F (0), F'(O), F"(O) , faz (2), (4), (7), § 240. Derivando (7) e pondo depois valores de F'" (0) etc. lsto sera omitido aqui. que F'" (0) e homogenea e do terceiro grau em h e priedade analoga vale para as derivadas de ordem m tituidos estes valores em (2) e posta t = 1, vern (3) i (x + h, y + k) = i (x, y) + hi", (x, y) + kil + 112 Wi= (x, y)+2hkf%1l (x, y)+k fw (x 2 A expressao de R e complicada e sera omitida d Ponhamos, em (3), x = a, y = b e substituamo k por y - a. 0 resultado que se obtem e 0 teorema iun~i5es de duas varidveis. (1) i (x, y) = i (a, b) + f", (a, b) (x - + 112 a) + fll (a, b [f= (a, b) (x - a)2 + + 2f"'l1 (a, b) (x + filII (a, b) (y - b)2] + ... Finalmente, pondo-se a = b = 0, obtemos a fo laurin (confronte (A), § 194). (J) i (x, y) = f(0, 0) + f", (0, 0) x + fll (0, 0) Y + + I ~ [1:= (0, 0) x + 2 f%1l (0 2 + fllll (0, o (4) segundo membro de (J) pode ser posto sob UI U2 Uo+-+-+ U_ I~ .. ,, Os termos de (4) sao polin6mios homogeneos em de cada um e igual ao indice. Logo, em (J) a fun volvida numa soma de polinOallOS homogeneos em dispostos em ordem crescente. Semelhantemente, e sao polin6mios homogeneos em (x - a, y - h). A f6rmula (1) diz-se desenvolvimento de j (x, y) Em tratados mais avanr;:ados faz-se 0 estudo do em serie das funr;:oes de duas ou mais variaveis. Ai os valores de (x, y) para os quais os desenvolviment vergem para os valores da funr;:ao. Considerando-se apenas a soma de tim nillnero de uma tal serie, tem-se um valor aproximado para para valores pr6ximos de (a, b) ou (0,0) (confronte ElI:emplo ilustrativo. Desenvolva + senxy xy2 no ponto (I,! 11") ate os termos do terceiro grau. SoLUQAO. a = (x, y) = fx (x, y) = f1J (x, y) = fxx (x, y) = Aqui f 1, b = t 11", + sen xy , y2 + y cos xy, xy2 2 xy + X coBXy , - y2 sen xy , + f%1J (x, y) = 2 y cos xy - xy sell xy , f w (x, y) = 2 x - x 2 sen xy. Pondo x = 1, Y = t 11", os resultados sao: f (1, t 71") = i r +1, fx (1, t 11") = i: 71"2, fll (1, t 11") = 71" , fxx (1, t 71") = - i: 71"2, fXII (1, 11") = 71" , fllll (1, 11") = 1 . t t t Substituindo em (1), obtemos :l:V! - + sen xy = 1 + i: r + i: 11"2 (x - + I~.r ~ 11"2 (x - 1)2 + 11" (x - 1) 1) + 71" (y - t 71") (y - ~ 71") + (y - ~ As f6rmulas para 0 desenvolvimento de uma fun~ao de tr sao deduzidas facilmente. Fic~ a dedu~ao delas como proble EXERCICIOS 1. De (1) acima mostre que 2. Verifique cos x cos y 3. a,% 0 seguinte desenyolvimento = 1- Desenvolva sen x sen y em potencias de x 4. Verifique 0 seguinte desenvolvimento log (1+y)=y+!(2 xy log a- y 2+ x 2y log2 a-xy 2l og 5. Desenvolva x 3 + xy2 no ponto (1,2). 6. Verifique sen (x o 0 seguinte desenvolvimento + y) = x + y - x3 + 3 x 2y + 3 xy2 + 11. Verifique as seguintes f6rmulas aproxirnadas pa lores de x e y. 7. e" sen y 8. e% In (l = y + xy. + y) = y + xv. 9 ~-1l ++-11x = INTEGRAlS MULTIPLAS Int~gra~ao parcial e sucessiva. C parcial no calculo diferencial, temos, no ca processo inverso de integra~ao parcial. Como se inter-relagao, integragao parcial de uma dada expr envolvendo duas ou mais variaveis independentes que consiste em integrar a expressao primeiro em s6 das variaveis, considerando as demais como const se for 0 caso, integrar 0 resultado em relagao a um veis, considerando as demais como constantes e mente. Uma tal integragao diz-se dupla ou tripla, mlmero de variaveis. o que apresenta de novo neste problema e de integra9ao e de novo tipo. Vamos ilustrar isto Dada a expressao 243. - deriva~ao achar a fungao u (x, V). Integrando em relagao a x, considerando y temos u = x 2 + xy + 3 x + ~, onde ~ indica a constante de integragao. Ora, que ~ seja uma fungao de y, pois que tambem ne vada parcial de u em relagao a x e a expressao dad mais geral de u (x, y) e u = x2 gendo ~ + xy + 3 x + ~ (y) , (y) uma fungao arbitraria de y. 623 lsto significa que queremos achar uma fun<;ao au axay 2 - - = X2 +y2. Integrando primeiro em rela<;ao a y, considerand tante, tamos au yl -ax = x y + -3 + .t. (x) If' , 2 onde 1/1 (x) e uma fun<;ao arbitraria de x. Integrando agora 0 resultado em relaCiao a x, como constante, vem x 3y U onde f/J (y) e uma xy3 . = ""3 + ""3 + 'lr (x) + <P (y), funCiao arbitraria de y e 'lr (x) = f if; (x) d x. 244. - Integral dupla definida. Interpreta~ Seja f (x, y) uma funCiaO continua de x e y. Ge (1) z =f (x, y) ~ a equaCiao de uma superficie, digamos KL (figura, S uma parte da projeCiao de KL sobre 0 plano XOY sobre S como base um cilindro reto de geratrizes pa OZ. Seja Sf a parte da superficie KL contida no ci procurar 0 volume do s6lido limitado pelas superf superficie lateral do cilindro. Procedemos como seg Dividimos a projeCiao de S sobre OX em interv mentos iguais a ~x e pelos pontos de divisao traCia OY. Dividimos a projeCiao de S sabre OY em inte primentos iguais a ~y e pelos pontos de divisao tir a OX. Estes dois sistemas de retas determinam re nos a S, como mostra a figura. Com base em cada aproximado do volume que procuramos. Nao temo diretamente 0 volume de uma coluna; vamos, pois uma delas por urn conveniente paralelepipedo. A MNPQ sera substituida pelo paralelepipedo de bas tura e 0 valor da funQao J (x, y) no extremo inferio \;angulo MN, precisamente, 0 paralelepipedo MNP Se as coordenadas de P sao (x, y, z), entao M e portanto (2) Volume de MNPR = j(x, y) tlx tly Calculando 0 volume de cada um dos outros formados do mesmo modo e somando os resultados t V' aproximadamente igual ao volume V que estam o volume V' pode ser indicado por (3) V' = LLJ (x, y) tly tlx , onde 0 duplo somat6rio 2;~ indica que sao duas a considerar. FaQamos crescer indefinidamente 0 numero d que foi dividida a projeQao de S sobre OX, de mod a zero e procedamos de modo analogo com a proje 61/->0 Vamos mostrar agora que este limite pode ser o gra9ao sucessiva. o volume V pode ser achado como segue: con qualquer das faixas em que e dividido 0 s6lido pOl' do sivos paralelos a YOZ, pOl' exemplo, consideremos faces sao FIHG e JTL'K', vel' figura. A espess e D.x. Os valores de z ao longo da curva HI sao ob x = OD na equa9ao z = f (x, y), isto e, ao longo de z = f(OD, y). Area FIHG = Logo fDG f (OD, y) dy . JDr o volume cia faixa em exame e aproximadame urn paralelepipedo cuja base e FIHG e cuja altur igual a D.x . area FIHG = D.x i DG DP f (OD, y) d o volume do s6lido e, evidentemente. 0 limite d lumes de todos os paralelepipedos construidos deste o numero de intervalos em que f.;-i dividida a proje OX cresce indefinidamente de modo a que D.x tend (5) Y = l OB OA dx iDG Dr f (x, y) dy . Semelhantemente, pode-se mostrar que 1 0V (6) V = OC dy lEU f (x, y) dx . EW As integrais (5) e (6) costumam ser postas, r sob as formas OB l 1 OA DP j (x, y) dy dx e EU l 1 OV DG DC EW f (x, o confronto de (4), (5) e (6) da (A) 0 resultado V = lim :E:Ef (x, y) l:!y . l:!x = Ax-+O la, J a. 611-+0 = onde VI e V2 SaO, em geral, funr;oes de o segundo sinal de integrar;ao aplica-se, diferencial. A equar;ao (A) e uma extensao do § 156 as somas duplas. Nosso resultado p::;de ser formulado fb,j J ba e U em cada c y, Ul Teorema F do seguint A integral dupla definida pode ser interpretada como 0 volume de uma porl;ao de geratriz paralela a OZ e diretriz dada pelas curva y = UI, Y= U2, X = aI, x = a2 A mencionada porl;ao e a que esta compreendida ent e a superf'be de equal;ao z = f (x, V). Um resultado analogo vale para a outra integra E instrutivo considerar 0 processo acima de ac solido como segue. Consideremos uma coluna com base retangu altura z como elemento de volume. Somando tod que assim se obtem de y = DF a y = DG, sendo m x constante (digamos, = OD), obtemos 0 volume d gada tendo FGHI como uma das faces. 0 volume e entao obtido com a soma de todas as faixas que podem ser construidas desde x = OA ate x = OB. multiplas definidas. Exemplo ilustrativo 1. Achar 1'"1 11 0 valor da. integt'al dupla. Va'-X> (x + II)dl/ dx. Va'-x' (x + y)dll d:c SOLU9AO. a /' = 1T1 va'- x ' (x + lI)dll ] dx = 1Txy +~lva'-z' dx ~la (x va2 _x2 + a! ; = 2a3 3 /1--- /." c X!) dx Resp. Interpretando geometricamente, 0 resultado achado rep do s6lido de forma cilfndrica com base em GAB, limitado nil. p superffcie (plana) z = x + y. A base GAB e limitada por: y = 0 (reta GB) Y= va x (quarto de c[rculo AB) :.c 0 (reta GA) } = 2 - } limites de 2 limites de x. x = a (reta BE) a Exemplo ilustrativo 2. sOLU 91o ·1<Jb 1'" Verificar que JZb b 1 Jo (a _ y)..;2 2b (z - y)x! dl/dx = 2b = 1 b Exemplo ilustrativo 3. r Verificar que [ ay - y; I a2"2 x2dX = 7- rajva'-x'Xdll -Va'-x' Jo Na integrayao sucessiva envolvendo tres varia que figuram no ultimo sinal de integrayao refere cuja diferencial ests. escrita em primeiro lugar, os ram no primeiFo sinal de integrac;ao referem-se a va rencial esta escrita em ultimo lugar. PROBLEMAS Nos problemas 1-10 da lista abaixo, 0 s6lido igual ao valor da integral, deve ser descrito. Calcule as seguintes integrais definidas. 1.1 1 1 2. 2 ;:4;:'" (x + 2) dy dx = 5. ydydx 3·1 1';;J1 = a 2 t l..f 11 2 ydxdy .j. {2 {",O 5. dy dx = ¥. = i. J JoY dy dx = ¥. 0 110 2 6. J1 1 ;: -11 f 1'"' 9.1 Jo 7. o + (x 11 211 11+1 xy 1 (x + (x 2 + 8. -1 0 2 ~0 {'" [lir' 10. io 0 II e-; dy fr (a(1 + coe 13. Jo Jo 16. Jofo a Jo{o Jo{o % II 8) p2 sen OdpdO = iiOat • 1 3 x y%Z dz dy dx = {I {I {1-% 17. J 0 J II J 0 X dz dx dy = ts· (1 (1-%/1- 11 IS'Jo Jo 1 2 (. (%"/"3 ( 19. 1 Jo Jo 20. 1 o 11%1%+11 0 zdzdydx = 0 0 ta.s. M. :1:2: y2 ) dy dx dz = ! e%+1t'S dz dy dx = i e4 - .! 4 245. - Integral dupla extendida a uma ultimo paragrafo interpretamos uma integral dupla volume de uma porQao de um cilindl'o reto. Isto nao sariamente que toda integral dupla definida seja 0 tal s6lido; realmente, na interpretaQao mencion impllcitamente que a funQao integranda fosse sem tiva. Afim de dar a int finida uma interpretaQa volva necessariamente 0 .::::~ vamos nos limitar ao p I V , / Seja J (x, y) uma \ para os pontos (x, y) d do plano XOY. Como sideremos os retangulos x dimensOeS Llx e Lly, ve lhamos arbitrariamente • LLJ (x, y) Ax Ay. Pois bern, 0 limite da soma acima quando Ax e Ay chama-se integral dupla da Jun~ao J (x, y) extendida dica-se pelo simbolo lf J (x, y) dx dy. s Podemos, pois, escrever (1) lim LLj(x, y) Ax Ay = r{f A",....O }} A¥-40 S (x, y) Por (A), 0 valor do primeiro membro de (1) qua toma valores negativos em S, foi calculado com in sivas. 0 mesmo raciocinio que forneceu este result pode ser aplicado quando a por9ao S' da superficie abaixo do plano XOY. 0 limite da dupla soma entao achado mas com sinal negativo. As integrai o mesmo mlmero negativo. Finalmente, se j (x, y) positiva e algumas vezes negativa nos pontos de S, esta regiao em sub-regiOes nas quais j (x, y) seja ou ou sempre negativa. 0 raciocinio vale para cada s tanto para a soma destas sub-regioes, isto e, para clusao: a integral dupla em (1) pode ser calculada e pOT integra~ao sucessiva. Resta ainda explicar 0 metoda de determina9a integra9ao. lsto sera feito no pr6ximo paragrafo. 246. - Area plana COlnO ulna integral du Coordenadas retangulares. No § 145 resolvem das areas planas por integra9ao simples. Vamos ago problema com integra9ao dupla. 0 estudo sob este e util sobretudo porque torna-se clara a determina de integra9ao para 0 problema geral do § 245. Se A e a area total da regiao S temos, por (1), § (B) A = .R~LL b.x b.y = ffdXdY. S AII-->O Tendo em vista 0 resultado estabelecido no § dizer: A area de uma regiao e 0 valor da integral d J (x, y) = 1 extendida a regiao. Ou, tambem: a area e 0 volume de um cilindro r regiao e cuja altura e a unidade (§ 244). Os exemplos mostram como sao obtidos os limite Exemplo iIustrativo 1. Calcular a !trea da regiao acima mitada pela par!tbola semi-clibica y2 = x 3 e a reta y = x. SOLul;lo. A ordem de integraQ3:o esta indicada na figur meiro em relaQ3:O a x, isto e, soma-se primeiro os elementos d horizontal. Tem-se pois r r ltrea de uma faixa horizonta AC dx dy = dy AC dx = JAB JAB Depois, integra-se este resultado em rela~ao a y. Isto correspo faixas horizontais. Obtem-se assim 8S OD A. = AC l° 1 dxdy. AB Obtem-se os limites AB e AC resolvendo-se em relaQ3:o das curvas limitrofes. Assim, da equaQ3:o da reta, equa~es , D equa~ao da curva, x = AC = y nar OD, resolve-se as duas eq mente afim de achar 0 ponto de d!t 0 ponto (1,1), logo OD = 1. --:::-I'"""=:-----:x A = (11 J = [: 2 113 11 0 t- ~ y dx dy = y2 I = (1 J0 : - 2 '" Neste exemplo, a ordem de integraQao nao influi sobre 0 n Este nao e, contudo, semple 0 caso, como mostra 0 exempl Exemplo ilustrativo 2. Achar a area no primeiro quad eixo dos xx e pelas curvas, x 2 + y2 = 10, y2 = 9 x . SOLUl)XO. Aqui integramos primeiro em relaQao a x pa horizontal, isto e, da parabola para 0 cfrculo. Temos, pois, Hl 3i l A = o dxdy, HG pois 0 ponto de interseQao S e (1, 3). Para achar HG, resolvamos em relaQao a x a equaQiio x 2 = 9 x. Entao 1 x = HG = _y2. 9 Para achar HI, tiremos x de x 2 + y2=1O. Obtemos + VlO - x = HI = Logo 1J y2. 3 A = VlO-I/' dx dy = o ..!. 1/' [ JL 2 VlO - 9 y2 + 5 arc sen y VlO - ~ Y3J3 - 27 0 Se integrarmos primeiro em relaQiio a y, usando faixas v sarias duas integraQoes. Entao {I {3Y;A = } 0 } 0 dy dx +} {VIa 1 {~ } 0 dy d A ordem de integraQao deve ser tal que a area seja obti integral, se for possive!. A = jjdydX segundo mitam a tram, de do pelas a natureza das curvas que Iiarea. As figuras abaixo ilusum modo geral, a diferen9a no processo duas integrais. -o..+---- o PROBLEMAS 1. Achar, por dupla integra9ao, a area com as duas parabolas 3 y 2 = 25 x e 5 x 2 = 9 y, (a) integ em relac;ao a Yi (b) integrando primeiro em relac;ao y25'" Resp. (a) fa f -a dydx = Jo J5"" 5i -9- (b) {al Jo a Calcular, por dupla integrac;ao, a area finita lim um dos pares de curvas abaixo. 2. Y = 4x - 3. y2 4. Y 5. 6. 7. x~, y = x. = 4 x, 2x-y=4. = x 2 , 2x-y+3=O. y2 = 2 x, x 2 = 6 y. y2 = 4 x, x= 12 + 2 y - y2. y2 = 2 x, x 2 + y2 = 4 x. Resp. 4!. 9. ~2 a' 4. 4096 15 11" - 2 2 + y' 2 = x. 12. = 2 x, y = 6 x x = 6 y - y2, Y = x . 4 y2 = x 3, Y = x. y2 = x + 4, y2 = 4 - 2 x 13. 14. 15. x3 - y a. i2 x 3• 1 a', x + y = 11. 16. 17. . 18. X 2+y2= (2a-x)y X 2_ y 2= 247. - Volume sob uma superflcie. No § o volume de um solido limitado por uma supedicie (1) Z = J (x, y), o plano XO Y e um cilindro de geratriz paralela a s6bre uma regiao S do plano XOY. Vimos que 0 v e, por (A), v = f!ZdXd Y = f!f(x,y)dX (2) s s A ordem de integraQao e os limites sao os relat de um solido deste tipo e 0 "volume sob (1)". 0 problema analogo para 0 plano, "area so foi tratado no Capitulo XIV. Como caso particular ser limitado pela superficie e 0 proprio plano XOY Note que 0 elemento de volume em (2) e um prisma reto de base dx dy e altura z. o volume Exemplo ilustrativo 1. Achar 0 volume limitado pelo parabol6ide elftico 4 z = 16 - 4 x 2 _ y2 (3) e 0 plano XOY. SOLU<;AO. Resolvendo (3) em {4) z = 4 - x2 rela~iio a z, vern - t y2 B~--­ Pondo z = 0, obtemoB (5) Y 4 x 2 + y2 = 16, Os limites sao fornecidos pelas linhas limitrofes que esta no primeiro quadrante. Exemplo ilustrativo 2. 6ide de revolu\)ao x2 (7) o plano XOY e 0 Achar + y2 = d~_ ,- volume do s6lido limi 0 az, cilindro (8) SOLUgAO. Resolvendo (7) em rela\)ao a z e achando os limites da area da base do cilindro (8) no plano XOY, obtemos, usando (2), V = 2 1 2G1V2GZ-"" o x 2 + Y2 a 0 3 dy dx = 2 1ra3 • Para a area. ONA (ver figura.), MN = V2 ax - x 2 (resolven a. y), e OA = 2 a. Estes sao as limites PROBLEMAS 1. de y2 = Achar 4 x. 0 volume sob z {Z Resp. V = 2 Jo 2. Achar 0 volume sob dentro de x 2 + y2 = 4. Resp. 3. Achar 0 V = 2 0 = 4 - x 2 , acima de {2~ Jo plano x 1:1 (4 - x 2) dy + z = 2, 2 V4-"" (2 - x)d volume limitado pelo plano : os pIanos coordenados. a + R 4. Achar 0 volume limitado superiormente po . f enormente por z = 0 e lateralmente por y2 = 43'. = 1 - .. x -"9 y. e aClma 7. z =0 e z= . Achar 0 volume sob 0 plano x + y + z e compreendido entre os pIanos x + 2 y = 8 Res 8. drica :1;2 Achar + az = 0 volume do solido limitado pela a 2 e os pIanos x + y = a, y = 0, R es Urn solido e limitado pelas superficies x = 3 a e est3. contido em y2 = ax. Achar 0 seu v . Resp. (67r 9. 10. Achar 0 volume do s6lido limitado sup Buperficie cilindrica y2 = a 2 - az, inferiormente pO esta contido na superficie cilindrica x 2 + y2 = ax. 11. Achar 0 volume abaixo de z = 2:c e dentro de x 2 + y2 = 2 ax. + a, Re 12. Achar 0 volume sob y2 + z = 4, acima de das superficies cilindricas y2 - 2 x = 0, y2 = 8 - 2 13. Urn solido e limitado pelo parabol6ids Buperficie cilindrica y2 = a 2 - ax e 0 pIanos x = 0 R o volume. Achar 0 volume sob 4 z = 16 - 4 x 2 e contido em x 2 + y2 = 2 x. 14. y2, R 15. Os eixos de duas superficies cilindricas tam-se em angulo reto. Os raios desses cilindros s Achar 0 volume do s6lido intersegao das duas supe R 2 Achar 0 volume da superficie fechada xa + (0 trago sobre cada plano coordenado e a astroide 16. dadas propriedades. Vamos dar agora uma regr uma integral com dadas propriedades. Nos paraglaf remos aplica90es. Para uma integral simples a re dente e a que foi dada no § 156. PRIMEIRO PASSO. Trace as curvas que limitam exame. Num ponto qualquer P (x, y), i elemento retangular de area D.xD.y. SEGUNDO PASSO. construa 0 Considere a fun~ao f (x, y) qu por D.x Ay, fornece as propriedades desejadas para 0 gular. TERCEIRO PASSO. QUARTO PASSO. A integral que se quer e l ! f (x, y) dx dy extendida d dada regiao. A ordem de integra~ao e determinados do mesmo modo que 0 usado para achar da regiao. 249. - Momento de area e centr6ides. Es tratado no § 177 por integra9ao simples. A integra tudo, muitas vezes mais conveniente. Vamos seguir a regl'a do paragrafo precedente. de area do elemento ret sao ...... 1""'1"'0 , ~ I x D.x D.y, em relac,;a \ I \ X A J y D.x D.y, em rela9a P, A f' 0 (C) x Logo, 0 momento em toda e, usando a nota9 M", = l!YdXdY, Mil = l!xdX Em (C) as integrais dao os valores das integrais dup f (x, y) = e f (x, y) = x , y respectivamente, extendidas a area (§ 245). Para uma area lim tada por uma curva, 0 eixo paralelas ao eixo dos yy ("area sob uma curva"), de 1"1 1"1 Y (1) Mz = =! xdydx = Y M1j = 1" 1" ydydx y 2 dx xyd;r. Estas conferem com (2), § 177. Note que em nada de urn ponto da curva e seu valor em ter ser obtido da equayao da curva e substituido no i da integrayao. Exemplo ilustrativo. Achar 0 centr6ide da area no prim mitada pela parabola semi-cu.bica y2 = z3 e a reta y = z. SOLul;AO. A ordem e foram obtidos no ExEMPLO Logo, usando (e), 08 A=area=~ Sendo 10 ' _ temos, por (D), limites de integra9ao 1, § 246. ILUSTRATIVO 10 z=--=048 21 " y = 1~ = 0,42. R 250. -TeoreIIla de Pappus. Uma relac;ao en volumes dos s6lidos de revoluyao e expressa pelo s DEMONSTRA~A.O. Fa9amos a area da figura gir 0 elemento retangular de area inter vel' figura, gera um cilind ,~ ..... cujo volume ~ V e dado eixo dos xx. / \ \ ~V = \ I :r ti 7r (y + ~y)2 ~ Fatorando e simplifi I 1', ti tv ~V = 27r (y + ! Ora, em (1), § 245, "'0 e um ponto qualquer pe Como (x, y +! tiy) e um tangulo PQ, vel' figura. podemos tamar f (x, y) = 2 7r Yj logo, senda vem, pOI' (1), § 245, e (C) V" = 2 7r (1) Jf y ~V da form ~x ~y = 27r M% • 8 Finalmente, usando (D), obtemos (2) V., = 27r '0 . A , onde A. e a area da regiao S. 0 segundo membro area pelo comprimento da circunferencia descrita Com isto fica demonstrado 0 teorema. Ponhamos 0 resultado sob a forma (3) Se duas das grandezas V, '0, A sao conhecidas, a achada pOI' (3). Exemplo ilustrativo. teorema de Pappus. Achar 0 centr6ide do trapesio OMP SOLU9AO. Area OMPB = t (3 + 5) 8 = 32. Fazendo a. torno de OX, 0 s6lido formado IS urn tronco de cone de revolut:iio § I, sendo a = 8, R = 5, r = 3, temos y t V% = 8 Logo, por (3), (25 + 9 + 15) = 3~2 7r • V% 392 y =27rA = 192 =204. ~P ~ Portanto, pelo teorema, o centr6ide e, 1 pois, (43"' 2,04). Resp. EXERCICIOS Achar curvas. centr6ide da area limitada pOl' cada u 0 1. Y = x 3, y=4 x. (Area no primeiro quadra 2. Y = 6 x - x2, y 3. Y = 4 x - x 2 , y = 2 x - 3. 4. x2 5. Y = x 2, 2 x - 6. Y = x2 7. y2 = x, X + y=2, y=O. (Primeiro quadr 8. y2 = x, X 9. y3 = x2, 2 Y = 4 y, - = x. +4 = 0. Y+3 = 0• x - 2y 2 x - 3, y = + y = 2, x = 2x - 3. = 0• x . = 3 x 2, 2 y2 = 9 x. 10. 4y 11. y2 = 12. y2 = 8 x, 13. y2 = 4 x, y2 = 5 - 14. y = 6 x - x 2, X + y 15. x = 4 y - y2, Y = X• 16. Y = 4 x - x 2, Y = 5 - 2x . 17. y2 2 x, Y x = x - x 2. +y = = 4 x, 2 x - y 6. x• = 6. = 4. 22. x 2 + y2 - 10 x = 0, x 2 = Y . 23. x 2 = y, 2 Y = 6 x - x 2 • 1. 1. 1. 24. X S +yS = as. (Area do primeiro quadrante) ( 25. x! +y! =a! ,x=O,y=O. 26. Achar 0 centr6ide da area sob urn arco x = a (() - sen ()), y = a (1 - cos ()). 27. Usando . ( Io. semlClrcu ( 0 Resp teorema de Pappus, achar R esp. 0 D'lstanCla A ' ao d 'lamet A Usando 0 teorema de Pappus, achar 0 c x2 y2 da elipse - 2 + -2 = 1, que esta no primeiro quadr a b 28. Resp. (4371"a '371" 4b 29. Usando 0 teorema de Pappus, achar 0 gerado pela revolu9ao do circulo (x - b)2 + y2 = a 2 no do eixo dos yy. Resp. 271"2 a 2 b 30. Urn retangulo gira em tomo de um eixo plano e e perpendicular a uma diagonal do l'etangul extremidades. Achar 0 volume do s6lido gerado. 251. - Centro de pressao de urn fluido. 0 problema de calcular a pressao de urn fluido sobre uma parede vertical foi estudado no § 179. As pressoes sobre 0 elemento retangular da figura constituem um sistema de for9as paralelas, pois elas sao perpendiculares ao plano da area XOY. A resultante deste sistema de f6r9as e a pressao total do fluido P, QI superj1c o ponto de aplica<;ao de P diz-se 0 centro de pr Vamos achar a abscissa (= xo) deste ponto. Para principio dos mo:nentos de forga. Este pode ser as A soma dos momentos de urn sistema de for<; rela<;ao a urn eixo e igual ao momenta da re8~lta ao elXO. Ora, a pressao do fluido dP sobre 0 elemento re pelo § 179, (2) dP = Wxy ~x. o momenta dest.a for<;a em relagao a OY OE (= x), ou, usando (2), e 0 pro Momento de dP em rela<;ao a OY = x dP (3) Temos, pois, para momento da pressao total d Mas Logo (5) 1" Momento total = (4) 0 W x 2y dx . momento da resultante da pressiio do f Xo P = W 1" x 2y dx . Resalvendo em rela<;ao a Xo e usando (1), obt para a profundidade do centro de pressao (6) Xo = 1"X 2 " , 1 a X dA dA onde dA = elemento de area = y dx . o denominador em (6) e 0 momenta de area d la<;ao a OY (ver § 177). 0 numerador e uma int vista. Ela se chama momento de inercia da area A a OY. (7) A nota<jao usual para 0 momento de inercia e eixo l e II = (8) fr 2 dA, onde r = distancia entre 0 elemento dA e 0 e o problema deste paragrafo e um dos muitos q momentos de inercia. No paragrafo seguinte vam calculam os momentos de inercia por integra<jao du simples. Vamos ver tambem algumas aplica90es. 252. - Moxnento de inercia de uxna area. 1! mecanica 0 conceito de momento de inercia de u la<jao a urn eixo. Vam y ,.calculam esses moment f a regra do § 248. Para 0 retangulo el ~ \ Q / _~~~v p (x, y), ver figura, 0 m P Ax I :y . . . . . . y cia em rela<jao a OX e ... ~ S o e 0 x (1) momento de inercia em rela9ao a 0 Y por (2) Portanto, se Ix e Tv designam os momentos de inerc em rela9ao a OX e OY respectivamcnte, temos (confro (E) Ix = if y 2 dxdy, III = ffX2dXd Os raiDs de giro r x e r ll sao dados por (F) r x . III Ix 2 r = area' 1I area 2 --- - duas paralelas a OY. Temos neste caso, jb 1" y2 dy dx = i-l y3 dx b2 2 jb 1" x dydx l x ydx. b Ix = (3) I" = = Nestas equaQC'ies yea ordenada de um ponto valor em termos de x deve ser obtido da equaQao d tituido na funQao integranda. As f6rmulas para momentos de inercia I sao pos (G) onde A = area e r = raio de giro. Resolvendo (F) I", e I" obtem-se estas sob a forma acima. Dimensoes. Se a unidade linear e uma polegada inercia tem a dimensao (polegada)4. Por (F), T", ~ mentos, em polegadas. Exemplo ilustrativo 1. Achar I", e III e os corresponden para a area do Exemplo Ilustrativo 1, § 246. SOLu9AO. Usando a mesma ordem de integrar;:8.o e o~ m':SIDO limites ja usados, temos, por, (E), I. -1' J,,t 11 1 III = Como A y'<hdy ~ l' (.1_ 2 113 x 2 dxdy = t 1 1I')d. - t. . 1 (y - y3)dy = ft,. = area = 0,1, achamos, por (F), T", = 0,48, TlI = 0,53. Resp. Exemplo ilustrativo 2. Achar I", e I" para da figura da pagina seguinte. 0 segmento SOLu9AO. Com eixos de coordenadas como mostra a fig da parabola limftrofe e (4) y2 = 2 px. bxt (5) Y=-ar' Os momentos de inercia da area sob a·parabola OPB no primeiro quadran.te serao a metade dos momentos que se quer. Logo, usando (3) e substituindo o valol dp. Y de (5), obtemos l 1 I", = -1 2 3 1 11 .-1 2 = a 3 -b 2 dx x1- o!. l = -2 15 - ab3 I", - a2. a -r x2 b x1 dx a 0 = -2 7 a3 b . Para area do segmento achamos -1 A 2 = l Logo, por (F), a y dx 0 r 2 '" = = l a i b x1 dx a 0 J..z_ A = ~ b2 5' ab. = -3 2 e Iz = • . A 1 -Ab 2 , 5 Os resultados estiio sob a forma (G). Resp. Na figura do parag. 179, 0 eixo OY esta. sobre fluido. Se indicarmos este eixo, em qualquer figur a profundidade do centro de pressao e, pOl' (7), § (6) se r. = raio de giro em relagao ao elXO e h. = profundidade do centr6ide abaixo S, Exemplo ilustrativo 3. Achar a profundidade do centro a comporta com forma de trapezio, da figura abaixo. Con Ilustrativo 2, § 179. Portanto, por (8), § 251, e pela definir,;ao de momento de area. § (177), temos "Wel (7) I. J r dA = = ddgUQ r = 2 J(8 - =~= \ y)22xdy, ",-----.,I (8) M. \ = JrdA = = J(8 - y)2xdy. A equar,;ao de AB ~ y = 2 x - 8. Resolvendo em relar,; em (7) e (8) e integrando entre os limites y = 0, y = 4, ob I. = M. = (4 Jo (8 - y)2 (8 J{4 0 (64 - + y) dy 1 = 1429"3 2 y2) dy = 234"3 • Lugo, por (7), § 251, x = 6,09. Resp. 253. - Momento polar de inercia. 0 mom do reta,ngulo elementar PQ em relayao a origem e 0 por OP2, isto e, (x 2 + y2) Llx Lly • (1) y Logo, pelo § 248, temos para toda a area (2) 10 = !!(X + 2 y2) dx dy. U ~ Podemos, contudo, escrever 0 segundo membro como soma de duas integrais, pois (2) e, evidentemente, a mesma cousa que o momento de in~rcia de uma area em rela~iio d soma dos momentos de in~rcia da area em rela~iio e dos yy. PROBLEMAS Achal' Ix, III e 1 0 para cada uma das areas aba Semi-circulo que esta 1. a direita limitado pOl' x 2 + y2 = r 2. Resp. Ix = I y = - Triangulo is6sceles de altura h e base a c 2. (h, ;) (h, - ~). (0, 0), do eixo 3. Ix = Resp. I Triangulo retangulo cujos vertices sao (0, Resp. 4. 5. Elipse y2 2 2 1 Ab Ix = -4 Resp. Resp. I - 16A x5 x2 y2 Ix = 20 x2 y2 Ix = 2 "4 + "4 lrea compreendida entre a elipse x 2 + y2 = 2 y. 7. x'2 -+ -" = a b I - Aa x6 lrea no primeil'o quadrante limitada pOl' y = 0. 6. ~:2 19A Resp. lrea compleendida entre as eli p ses Resp. 16 + 9= 5A 8. Area compreendida entre os circulos x 2 + + (y + 2)2 = 1. Resp. I _ 239 A x-60 10. x2 36 A.rea compreendida entre 0 circulo x 2 + y y2 + 16 = 1. Resp. I _ 23 A '" 5 ' 222 11. A.rea totallimitada por xl + ys = as Resp. I", = II/ = 7 6 12. Achar a profundidade do centro de pre comporta triangular tendo 0 vertice abaixo da base zontal e esta sobre a superficie do liquido. 13. Achar a profundidade do centro de pre comporta retangular de 8 pes de largura e 4 pes quando 0 nivel da agua estS. 5 pes acima da pa comporta. Resp. 7,19 pes abaixo da superficie da 14. Achar a profundidade do centro de pre extremidade de urn tanque cilindrico horizontal d diametro mede 5 pes, quando a altura da gasolin 1511'" (b) 4 pes; (c) 6 pes. Resp. (a) 32 = 1,47 pes; (b) a 2,4 pes; (c) 221 56 = 3,95 pes. 254. - Coordenadas polares. Area plana. Q <;oes das curvas que limitam urna area sao dadas polares, sao necessarias algumas transformaQoes pa urna integral dupla. Para 0 caso atual a tirea e dividida em porQ como segue: traQamos arcos de circunferencias com o e raios sucessivos diferindo por D.p. Assim, na :::a P, OS = P + D.p. Depois traQamos semi-retas FIG.l F urna serie de por9oes retangulares, como PSQR da a area. Seja D.A a area da pO~9ao PSQR; D.A e a dif areas dos setores QOS e Rap. Portanto, A fun9ao j (x, y) do § 245 devg ser substituida em que os argumentos sejam coordenadas polares a mencionada fun9ao. Entao, procedendo como n lhemos urn ponto (P, B) de D.A, formam os 0 produto F (p, B) D.A para cada D.A interno a S, somamos estes produto passamos ao limite quando D.p ---+ 0 e D.B ---+ O. Obt dupla "desejada. Precisamente, (2) lim Ap-+<J A~ rr LL F (P, B) D.A = JJ 8 F (P, B) p Note que em (2) 0 valor de D.A foi substituido p pelo valor de D.A dado por (1). No § 258 mostramos que a integral dupla ora a calculada por integra90es sucessivas. Estas formulas podem ser lembradas facilment que os elementos de area sao retangulos de dime As figuras abaixo ilustram, de modo geral, a d cesso de calcular a area que e indicada pelas duas Na primeira, integramos primeiro em relac;ao a cede de, mantendo e constante. Este processo radial KGHL da Fig. 2, pagina 650. Os limites = OG e p = OH, que se acham resolvendo a equ c;oes) da curva limitrofe (ou curvas limitrofes) em termos de e. Depois integra-se em relac;ao a e, os de = ang. JOX a = ang. lOX. A segunda integral em (H) e feita integrando relac;ao a mantendo p constante. Esta operac;a circular ABeD da Fig. 1, p. 650, entre dois arcos c cutivos. Depois integramos em relac;ao a p. Quando a area e limitada por uma curva e do vetores (area descrita pelo raio vetor), obtemos d integrais (H) e e e, que confere com (D), § 159. As integrais duplas em coordenadas polares tern (3) ff F (P, e) pdp de ou ff F (p,e)p forma em (3), os limites r---""---I-- z p = OG = p = OB = 2 r · para 8 os 1· UnItes sao - Exemplo ilustrativo 2. enema ao c!rculo p = T. Achar a ltrea interna ao c!rcu Pelo Exemplo Ilustrativo acima temos SOLUQAO. f 3j2rco80 ~ A = _?:.. r f3 ~ pdpd8 = 3 1 _?:.. z(4r 2cos 20-r 2)d8 3 255. - Problemas resolvidos com 0 usa d polares. Nao ha. dificuldade em estabelecer as f6 (1) M", = f f P2sen 0 dp dO. (2) My = ffP2 cos-O dp dO. (3) I", = f f p8 sen 2 0 dp dO. (4) I y = ffp3COS20dPdO. (5) 10 = f f p3 dp dO . As ordens das diferenciais devem ser permuta efetuar primeiro a integrayao em re1ayA:o a O. IT"a 4 =-- = 2 A -a 2 2' onde A =- area do cfrculo. Por outro lado, como I" =- I"" por simetria, ternos, por (3), § 253, (7) Em palavras: 0 momenta polar de inercia de um cireulo em igual ao produto da metade da area do circulo pelo quadrado d polar de inercia em rela~ao a qualquer ditlmetro e igual ao pro da area pelo quadrado do raw. Exemplo ilustrativo 2. Achar 0 centr6ide de um la90 = a 2 cos 2 fJ p SOLU({AO. Como OX 6 urn eixo de simetria temos y = o. j A = 11T1 a vcoB21i 1 o jM 1 {h y= Jo{i1TlaVCOS21i 0 p2cosfJdpdfJ = 3"a Jo (c 3 = -1 3 Logo pdp dfJ 0 'i = 1 t1T a3 3 cos fJ dfJ (1 - 2 sen 2 fJ) 2" 0 ~y = ; aV2 - 0,55 a . Reap. por (5 c!rculo). Somando depois os elementos de t6das 11" 11" as faixas, os limites de 8 sao -"2 e "2 . Logo, por (5), ". = 10 f 212rcoso _?!:. 3 r4 p3 dpd8 =~. 2 0 2 Podiamos tamMm ter somado primeiro os elementos de (como QR). Assim procedendo, vem 10 = 1 o P 2 rJ",rc cos 2r P p3 311"r4 dp dO = -2- . -arc cos2r PROBLEMAS 1. 4 p cos e 2. circulo p 3. circulo p 4. Achar a area interna ao circulo p = tea 3 (47r - 3 V3) R esp. = 3. 16' Achar a area interna ao circulo p = R 8 2'. p +8 3 '\1'3) . e. = 3 cos a cardi6ide e = 1 + c 7r 9V3 Resp. 2 + 16' interna a cardi6ide p = 1 + 7r Resp. 4 + 2. Achar a area interna = 3. Achar a area ao circulo p 6. 3 (2 7r Achar a area interna ao circulo p = cos da reta 4p case 5. esp. = 3 cos = 1. Achar a area interna ao circulo p = 1 + cos e. = 1 e ext Resp. 2- : bola p (1 9. + cosO) = 1. Achar a area int.erna a parabola + cos 0) p (l = 1. 10. Achar a area interna ao circulo p terna ao circulo p = 1. 11. = 1 - cos O. Resp. a 12. Achar a area interna externa ao circulo p = a. 13. = cos Achar a area interna ao circulo p = se cardi6ide p terna 7 2 a cardi6ide p = 1 + 3 Resp. 4 Resp. lemniscata p2 Achar a area interna a cardi6ide p = 4 ( p (1 - cos 0) = 3. a parabola 14. Achar a area interna ao circulo p = 2 a co circulo p = a. Achar 0 centr6ide da area e 1:. e 1 Res . A p = 3 _ l,. 15. = a (1 (!!.-- + V3) a2 Achar (~ 12 + 0 2 3 i = (8 71" ' V 3)a, 16 4 +3 _.(~ 11 4 + III - centr6ide da area limitada pel + cos 0). 16. +3V 2 (271" Resp. Achar 0 centr6ide da area limitada por u p=acos20. Resp. Achar 0 centr6ide da area limitada pOl' u . a cos 3 O. Resp 17. p = 18. Achar III para a lemniscata p2 = Resp. a 2 cos 2 ~ (371 , 11m t.p-->O t.O-->O t1A. A pup "() 1.:>. 1, e portanto LlA difere de p Llp Ll() por urn infinite superior (§ 99). Cons~q'.lentemente, LlA do prime (2), § 254, pode ser substituido por p Llp Lle (A omitida). 256. - Metodo geral para achar as areas d curvas. 0 metodo dado no § 164 foi aplicado so a ficie de urn s61ido de revoluc;ao. Vamos agora dar u geral para 0 calculo de areas curvas. Seja (1) z= f (x, y) a equac;ao de uma superficie KL, ver figura abaixo que se quer calcular a area da regiao 8' que esta sa Indiquemos por 8 a regiao do plano XO Y que e gonal de 8' sabre XOY. Decomponhamos os inte projec;oes sabre OX e OY da regiao 8 em subinter tudes t1x vamente. de decomp planos pa L e XOZ r K Como vim estes plan cos de pris o [~~il~~'--:.1: limitados por uma p flcie (com projcc;oes retangulos Lly (como sao tambem bases dos prismas. Consideremos 0 plano tangente a superficie K de coordenadas x, y e z. Evidentemente, 0 mesm Area A.B = area PR . cos 'Y , A ll.rea da projeclio de uma 'rea plana sobre um segund [ igual II. ll.rea da porclio projetada multiplicada pelo C088e gulo compreendido entre os pIanos. ou I::.y I::.x = area PR . cOS'Y . Ora, 'Y e igual ao Angulo compreendido entre POl' 0 perpendicular ao plano tangente. Logo; pOl' ( e (3), § 4, temos Portanto Area PR = [ 1 + (~: r (~: rr Este e 0 elemento de area da regiao Sf e 0 limite duplo abaixo + I: 8'.. POl' defin senda 0 somat6rio extendido a todas as areas I::.x I Indicando com A a area da superficie Sf, ternos, p dependendo os limites de integrac;ao da projec;ao XOY da regiao da superffcie curva cuja area que Assim, as limites de integrac;ao em (I) sao obtidos trofes da regiaa S do plano XOY exatamente do como temos feito nos paragrafos precedentes. deve ser reduzida a uma func;ao so de x e y, usando equaQao da superficie sabre a qual esta a regiao cu calcular. Se for mais comodo projetar a area sobre a formula (J) A = Jf[ s 1 + (:~ 0 plano r rr + (:~ dz d onde os limites sao obtidos da fronteira da reglao a projec;ao da area pedida sobre 0 plano XOZ. Semelhantemente, podemos usar sendo os limites obtidos da projec;ao da area sobre Em alguns problemas pede-se a area da porQao de que e interceptada por uma segunda superficie. N derivadas parciais que int{Jrvem na formula sao as da equac;ao da superficie cuja area parcial e procur Como os limites de integrac;ao sao obtidos da p que se procura sobre um dos pIanos coordenados, sente que Para achar a proje~ao do, area procurada sobre 0 mina-se z entre as equa~i5es das superficies cujas int a fronteira do, area. .1nalogamente, elimina-se y para achar a proje~ XOZ e x para achar a proje~ao sobre 0 plano YOZ. o ca,lculo da area de uma superficie curva mo aplicaQao da integraQao dupla de uma funQao ex sabre a projeyao da superficie sobre 0 plano XOY. Como se observou acima, (J) e (K) devem se jjf(x,Z)dZdX e fff(y,Z)dYdZ respectivamente, mediante 0 usa conveniente da eq ficie sabre a qual esta a superficie curva cuja area Exemplo ilustrativo 1. Achar a area da superffcie da e por integra9ao dupla. SOLU9.io. Seja ABC, da figilra abaixo, um oitavo da Temos A proje9ao da area ABC sobre 0 plano XOY e A.OB, u por x = 0 (= OB); y = 0 (= OA); x2 + y2 = z ~ r 2 (= BA). Integrando primeiro em rela98.0 a y, somamos todos as elementos ao longo de uma faixa (como DEFG) que e projetada wbre XOY tambem numa faixa (como MNGF), isto e, vr 2 - x2). os limites para y sao 0 e MF(= Integrando depois em rela98.0 a x, somamos todas as fa.ixas que compoem a superflcie ABC, isto e, os limites para x sao zero e OA (= r). Substituindo em (I), vem y ~ 8 = (r (..IrQ Jo Jo .A. = 4 1I'T 2 • RlJ8p. V rdy dx r2 - x 2 B FG - y2 = e dos xx, a equa9iio da esfera z2+ y 2+ z2=r 2 , e a do cilindro e Z2 + y2 Z k = rz. Um quarto da superf!cie cilindrica pedida por ODAPB. Como a proje!;iio desta area. s6bre 0 plano XOY e 0 arco de cfrculo ODA, nao ha no .plano. XOY area alguma da qual se possa tirar os limites de integra9ao; logo, devemos projetar a area sobre outro phno coordenado, digamos sobre XOZ. Neste caso a regiiio sobre a qual devemos integrar e OACB, a qual e limitada por z = 0 (= OA), z = 0 y. (= OB) e Z2 rx = r 2 ( = ACB), sendo a tlltima equa!;iio obtida pela elimina9iio de y entre as equagoes d lntegrando primeiro em rela!;ao a z, isto e, somando tod e dado + uma faixa vertical (como PD), os limites para z sao zero grando depois em rela!;iio a x, isto e, somando todas as faix :J: sao 0 e r. Como a superf!cie cuja area e procurada esta sobre 0 ci parciais a serem substituidas na. f6rmula (J) devem provir d dro. Temos, pois, ay r·-2x ay ax=~ Substituindo em (J), A {' "4= Jo Substituindo lindro, vem A=2r 0 0 o. (yr-r:e[ (r;y )2)1 Jo 1+ 2 x d valor de y em termos de x que se obtem rl yr'-r:e 1 o = az dz dx V rx - x! =.2r 1r y;:C-;:; dx=2r 0 Y rx - x 2 PROBLEMAS 1. No exemplo precedente achar a superficie d tada pelo cilindro. Resp. Sugesfiio. Tome Z2 + Z2 = r 2 e Resp. Z2 + y2 = r 2 como equa r vr'-:Z:' 8r l l o V 0 3. Achar a area da por9ao da esfera x 2 + interceptada por uma folha do cone x 2 + Z2 = y2. Achar a area da por9ao do cilindro x 2 + endida entre 0 plano z = mx e 0 plano XOY. x y 5. Achar a area da por9ao do plano - + -b 4. a t Vb area da por9ao da esfera x 2 + parabol6ide by = x 2 + Z2. interceptada pelos pIanos coordenados. Achar a que esta dentro do 6. Resp. 7. No exemplo precedente achar a area da bol6ide que esta dentro da esfera. 8. Achar a area da sllperficie do parabol6id interceptada pelo cilindro parab6lico y2 = ax e 0 R esp. 9. No problema precedente achar a area d cilindro inrerceptada pelo parabol6ide e 0 plano. Resp. (13 V13 10. Achar a superficie do cilindro Z2+(X cos a que esta situada no quadrante de coordenadas posi Sugestiio. raio da base 0 eixo deste cilindro e r. ea reta z = 0, x cos a Resp. 11. s Achar a area da por9ao da superficie do ci 2 = a3 limitada pOl' uma curva cuja projec;ao sobre 2 2 2 x-+yS=a3 . casos 0 volume de urn s6lido limitado pOl' superfic <;loes sao dadas, pode ser calculado mediante tres gra<;loes, sendo 0 processo uma mera extensao do gadonos paragrafos precedentes deste capitulo (vel' Suponhamos que 0 solido em que3tao seja div paralelos aos pIanos coordenados em paraleleplp tendo dimensoes Ax, Ay e Az. 0 volume de urn pipedos e t:..x· Ay· t:..z e n6s 0 escolhemos como elemento de volume. Somemos todos esses volumes que estejam con do s6lido R limitado pelas dadas superficies, so todos os elementos de uma coluna paralela a urn d nados e somando depois todas as colunas que este paralela a urn dos pIanos coordenados que contem nado acima mencionado e finalmente somando toda tidas no s6lido em questao, vel' figura na pag. segu V do s6lido sera 0 limite desta soma tripla quand tendem a zero, isto e, (1) L2:L Az Ay Ax , F = lim &.--+0 R £111--+0 t.z --+0 se:ldo 0 somat6rio extendido a toda a regiao R ocup E3te limite e indicado pOl' (L) v= fffdZdYdX. R POI' extensao do principio do § 245, dizemos que tripla da fun<;lao j (x, y, z) = 1, extenc1ida a regiao ffll (x, y, z) dzdydx, (2) R a qual e, naturalmente, 0 limite de uma soma t somas duplas que ja examinamos. Nos tratados mostra-se que a integral tripla (2) e calculada por in sivas, sendo os limites de integrar;ao obtidos de m usado para (L). Exemplos simples de (2) sao as f6rmulas para 0 c (centro de gravidade) de urn s6lido homogeneo: Vx = fJlxdxdYdz, Vy= fffYdXdYdZ = fJf Estas f6rmulas sao obtidas raciocinando como no momentos de volume. 0 centr6ide esta em todo p para 0 s6lido. Exemplo ilustrativo 1. Achar 0 volume da por..iio do e que esta no primeiro oitante. SOLUQAO. Seja OABC a por..iio do elips6ide cujo volume se quer. As equa"Oes das superficies limftrofes sao (3) x~ 2" a 112 z2 + -b + 2' c 2 = 1 ( = AB C), (4) z = 0 (= OAB), (5) y = 0 (= OAC), (6) x = 0 ( = DBC). PQ e um elemento, sendo um dos paralelepfpedos retang sOes Dox, DoY e Doz nos quais a regiao foi dividida por pi pianos coordenados. Integrando depois em rela"ao a y, somamos todas as co = .~ b"l - --;;,2 (pela :2 + ~ = 1 em rela"ao a (como DEMNGF), sendo 0 (por (5» e MG 2 AGB, precisamente, pela solu"ao de 2 1/. Finalmente, integrando em relaQiio a x, somamos todas a didas na regiao OABC, sendo, pois, 0 (por (6» e OA = a o Portanto Logo, 0 volume de todo 0 elips6ide Achar Exemplo ilustrativo 2. ficies 0 e 41r'sabc volume do s6lido lim -t y 2, +t y 2. (7) z=4-x2 (8) z=Sx2 SOLUQAO. As superficies sao os parabol6ides e1(ticos da figura. Eliminando z entre (7) e (8), achamos (9) que e a t:qua"ao do cilindro ABCD (ver figura) passando pela curva interseQiio de (7) e (8) e cujas geratrizes sao paralelas a OZ. Temos 1 (10) V = 4 [ •/0 2V2 (1-='> I. Jo 14-zo-i a='+ h If O dz dy (112 V2(l-:') (11) V = 4} 0 0 (4 - 4 x 2 - i y2) d Os limites nesta integral dupla. sao os da regiao OAB, base do cilindro (9) que esta no primeiro quadrante. Desenv mos V = 411" V2 = 17,77 unidades ct1bicas. Resp. o problema dado pode ser tal que a primeira integrar;:ao relar;:ao a x ou y e niio em rela.Qiio a z, como acima. Os li ser determinados de a~Ordo com a analise precedente. 258. - VoluIIles, usando coordenadas cil muitos problemas de integra<}ao 0 trabalho e simplifi das coordenadas cillndricas (P, e, z), definidas em (7), <}oes em coordenadas cilindricas das superficies limitr tas vezes ser obtidas diretamente das defini<}oes d Em qualquer caso, se as superficies sao dadas por gulares, podemos escreve-las em coordenadas cilindri das substitui<}oes (1) x = P cos e, y = p sen e. As coordenadas cillndricas sao particularmen uma superficie limitrofe e de revolu<}a.o. Realme de uma tal superficie e, quando 0 eixo OZ e 0 z = j (P), isto e, neste caso nao figura a coordenad Volume sob uma superffcie. Seja (2) z = F (p, e) a equa<}ao, em coordenadas cilindricas, de uma KL da figura. Queremos achar 0 volume do s6lido L ::;c<;ao reta pe a regiao S. tcrcepta sob (2) a regiao Dividam X dementos d se'gue: decom elementos d r;ando semio e arcos d 8 com centro § 254. Pel OZ tracemos pIanos, pel os arcos de circulo intern os cilindricas de revolu<;a.o em torno de OZ. Procede dimos 0 solido em colunas como MNPQ, onde are ~fP = z, 0 elemento de volume e entao urn prism ~.1 e altura z. Portanto ~V = z~A. (3) Fazendo-se a soma de todos os prisrnas (3) cuj temas a S e passando depois esta soma ao limite q de semiretas e arcos circulares cresce indefinidame que ~p-O e 6.8-0, obtemos 0 volume V do solid·) (4) v = lim LLz~A. t.p~O t.O--+o Vamos mostrar agora que 0 limite (4) pode ser gra<;:Io sucessiva (canft-onte § 244). Para isto vam lume aproximado de uma parte do solido compree pbnos radiais como ROZ e SOZ e dcpois tomar 0 de todas estas partes. Seja DEFG a sc<;ao do solido no plano ,ROZ. ao longo da cur"f. GPF sao dados pOl' (2) quan )(OR) e mantido fixo. No plano ROZ tomemol'> i o i!'li'~ervalo OD OD e uma fun9ao de integra9ao de fJ. Fa<jamos a area DEFG girar em torno de OZ. volume do solido de revolu9ao assim gerado e 27l Os pIanos ROZ e SOZ cortam uma parte deste sol cujo volume e t:,.O p . area DEFG, pois angulo ROS Portanto t:,.fJ (5) i OE p F (p, fJ) dp OD e igual, aproximadamente, ao volume da parte do endida entre os pIanos ROZ e SOZ. 0 limite da s (5) quando t:,.O ~ 0 e 0 volume procurado. Tem-se f3 (6) V= p2 l 1 F(p,fJ)pdpdO, Pl a onde a = ang. XOA, (j = ang.xOB, pl=OD=jl(fJ) valores a serem achados das equar;oes polares das tam S. o elemento da integral em (6), precisamente, F (P, fJ) p dp dO = zp dp dO , pode ser tornado como volume de urn prisma reto base de area p dp dfJ. Assim, t:.A em (3) e substitu1 como no § 254. Temos pois a f6rmula * (M) V = ff 8 o A ordem de intecr~ zp dp dO = ff F(P,fJ)pd 8 6 indiferente. Omitimol • demonatracllo. elips6ide de revolu9iio b2 (z2 + y2 _ az = 0 e dado por (7) 11"'1° V = 4~ boo 0080 + y2) + a2 Z2 = a2 b2 e a superfi Va2_ p 2pdpdO. Calcular esta integral. SOLUQAO. Por (1), a equa-.ao, em eoordenadas cilindricas, do elips6ide e b2 p 2 + a2z2 = a2b2 • Logo (8) Z = 2 ..!!....Va a p2. + A equa-.ao polar do circulo Z2 y2 - az = 0 no plano XY, limitando S e, por (1), (9) p ="a cosO. Para 0 semi-circulo os limites para p sao zero e a cos 0, q fixo 0, e para 0, zero e t 71". Substituindo em (M) 0 valor e os limites acima, obtemos (7). Integrando, V = 2 2 "9 a b (371" - 4) = 1,206 a2b. Volume par integra~ao tripla. 0 elemento sera agora urn elemento do prisma reto usado acim um prisma reto com base AA e altura b.z. Decom em tais elementos mediante pIanos radiais e super como no principio deste paragrafb, e mais pIanos pa XOY a distincia Az um do outro. Temos agora AV = AzAA. (10) Somando e tomando 0 limite da soma quand e AO-tO, temos (N) v = !!!PdZdPdO, pois AA pode ser substituido por pAp AO, como Vz = fffpZdZdpdO, quando se usam coordenadas cilindricas. Exemplo ilustrativo 2. mente pela esfera (Ll) x 2 + y2 + Z2 = Acbar 0 volume do s6lido 8 e-inferiormente pela superffcie do parabol6ide de revolu9ao (12) x2 + y2 = 2z• SoLuQio. A figura mOila esfera e 0 parabol6ide no primeiro oitante. A curva interse9ao AB esta no plano z = 2. Sua proje9ao DE sobre o plano XOY e 0 cfreulo m (13) x 2 + y2 = 4. . As equa90es em coordenadas cillndricas sao, por (1), Y p2 p2 + Z2 = 8 (a es~era (11) ; parabol6ide (12»: (16) p = 2 (0 cfrculo (13). (14) (15) = 2 Z (0 Um elemento de Mea ilA no cfrculo (16) esta tr~o em Um elemento de volume ~V esta tr~ado em P (p, 8, z). Temos, por (N), 1 11 2 (17) V = 2.... o 0 va=;;; pdz dpdO. ip' Obtem-se os limites como segue: integrando em re!a9iio a p e 8), somamos os elementos de volume (10) de uma coluna ate a superffcie (14) (MP 2 a MP 1 nil. figura). De (15) vem de (14), :~ = MP1 = V8 - p2. Estes sao os limites para z p .e.8 !lio .0f,J relativos A area do cfrculo (16). Integm,ndo em re N as problemas seguintes, as f6rmulas (M) e (N "das quando as equac;oes das superficies limitrofes e nadas cillndricas. Se as equac;oes em coordenadas rem necessarias para 0 trac;ado da figura, elas po com as transformac;oes (18) as arc tg .JL , () = x quais pode-se acrescentar sen () = (19) x cos() = ~== y z2 + y yX2 + y2' PROBLEMAS 1. Achar 0 volume do s6lido limitado superi perficie x 2 + z = 4, inferiormente pelo plano x + endido entre as pIanos y = 0, y = 3. 1f 1 2 3 Res. 2. V = Desenvolva 0 o -1 r 4 2-% dzdxdy = Exemplo Ilustrativo 2, § 2 11"'1 24001111 denadas cilmdricas. Resp."V = 2 0 0 api 5. Achar 0 volume do solido limitado superio dro z = 4 - x 2 e inferiormente pela parabol6ide eliti Resp. V = 4 1 o 112~14-r 0 dzdy 3z'+tI' 4. Dois planas encontram-se sobre uma re diametro de uma esfera de raio a. Sabendo que o um angulo de a radianos, achar 0 volume da cun preendida entre os pIanos, usando cOOldenadas cil 2 Resp. 3a a V = 21irlcosfJ {pcoafJ pd o 0 }p' Resp. Achar 7. + volume limitado pela esfera p2 0 tido no cilindro p = a cos (J. Resp. ~ a3 8. Achar 0 volume acima de z = 0, abaixo do e contido no cil ldro x 2 + y2 = 2 ax, usando coorde 3 Resp. " Achar 9. volume do s6lido limitado por z 0 = x 2 + y2. 4 Resp. 10. No problema 3, mostrar que a integrartao da. (sem integrartao ulterior) V = 4 A - 411/- l z , o da elipse 4 x 2 + y2 = 4 e I z e 11/ sao momentos de in (dados em (E), § 252). Achar 11. de z = volume abaixo do plano 2 z = 4 ° e contido no cilindro p = 2 cos (). p2 e Res Um s6lido e limitado pelo parabol6ide de 12. = 0 0 plano z = c. Achar 0 centr6ide. Resp Um s6lido e limitado pelo hiperbol6ide f6lha S'.lperior do cone Z2 = 2 p2. Achar 0 volume 13. 14. Achar 0 centr6ide do solido do Problem Resp. 15. Achar 0 (0,0,: a (V2 + 1)). centr6ide do s6lido do Problem Re 16. Achar 0 centr6ide do s61ido do Problem Resp. (4 a, 0, ~ a) 19. Achar 20. Achar 0 volume do s6lido abaixo da superf 0 centr6ide do s6lido do problem + Z2 = 25 e acima da Mlha superior da superficie c6 21. Confronte os Exemplos Ilustrativos 3, § 1 deduza (N), § 165, de (L), § 257. 22. Deduza a f6rmula (2), § 178, da prime § 257. OUI'ROS PROBLEMAS 1. Achar 0 volume do s6lido limitado superio +Z2 = r 2, inferiormente pelo cone z = p ctg (j> e com os pIanos 0 = {3, 0 = {3 + il{3, sendo (j> e {3 angulos lido e parte de uma cunha esferica, como OSQN na quando se trace OQ). Resp. r3 il{3 (1 - t Achar (sem integra~ao) 0 volume limitado os cones z = p ctg (j>, z = p ctg «(j> + il( = {3, 0 = {3 il{3, usando 0 resultado do proble (0 s6lido e como 0P.l· RQS na figura do § 222 qu sejam tra~adas). Resp. r3 il{3 sen «(j> + ! il(j» s 2. + Z2 = r 2, + o i 3. Achar (sern. integral,tao) 0 volume limitado z = p ctg «(j> -t D..(j», 0 = {3, 0 = {3 + D..{3, e comp as esferas p2 Z2 = r 2, p2 Z2 = (r ilr)2, usando Problema 2. Resp. 2 D..{3 ilr sen «(j> ! il(j» sen !il(j> (r 2 r + + + + + (0 s6lido e obtido da figura do § 222 prolongand raias OP h OR, OQ, OS de uma distancia ilr ate P 1', 1l. esfera p2 Z2 = (r ilr)2. Os cones interceptam 8,rcos circulares P1'R' e Q'S' e os pIanos nos arcos d mu Pt'S', R'Q'. 0 s61ido tern os vertices P1RQS - + + 4. 0 s61ido do Problema 3 e 0 elemento de volu se usam caordenadas esfericas (8), §- 4. Substitua { pelo Problema 3, que lim &-.0 .::lV r 2 sen fj> Ar t1fj>.::l8 = 1. ~8....o ~~ Ponanto .::l V difere de r Z sen fj> .::lr .::lfj>.::l8 por um. ordem superior (§ 99). No s6lido 'do problema precedente prove .::l V que se encontram num. venice sao perpendic comprimentos das que se cortamem (r, fj>, 8) sao, .::lr, r.::lfj>, r sen fj>.::l8. 5. 6. Descreva os tr~s sistemas de superficies planos) que devem ser tra9ados para dividir um s mentos de volume .::l V (Problema 4) quando se u esfericas. Seja (r, fj>, 8) um ponto de .::l V. Temos e L:L:L:F (r, fj>, 8) .::l V = JJf F (r, fj>, 8) r J s B ~8....o ~«;....o No primeiro membro, .::l V pode ser substituido sen fj>.::lr.::lfj>.::l8 (ver Problema '4), isto e, pelo p arestas mencionadas no Problema 5. 0 segundo me por integra9ao sucessiva. (Omite-se a demonstra9a r2 7. Calcule a integral do problema precedente eRe a esfera r = 2 a cos fj>, isto e, x 2 + y2 + Z2 = (k (1r12Qcos«; Reap. Jo 8. Jo 0 r sen fj> dr Calcule a integral do Problema 6 se F (r, eRe a regiio r = 2 a cos fj>. Reap. : 'Ira' CURVAS DE REFETIENCIA Para a comodidarlc do leitor damos ncste capitu mais comuns usadas no texto, CUI' vas PAn.~BOLA GUDICA PAR.-I.nOLA SEm y o !J = ax 3 • A V EUSIERA DE Am,ESI A CIss6IDT~ D vI "I 1"1 I _fi'_~ OJ x 2y i\1 X = 4 a 2 (2 a - V). y2 674 (2 a - (x2 + y2)2 = a2 (x2 _ p2 + X2y2 = (y (Na fi y2). = a cos 2 O. 2 CICL6IDE, CASO ORDINARIO x = a arc vers -y- a - V2 ay - y2. X = a arc vers.JL {x = a(0 + sen = (0 - sen 8), y = a (1 - cos 0). X { a CICWIDE, VERT y CATENARIA II o y %) a % -x ="2 ( ea + e = a cosh -; . G = a (1 a - cos PARAB x 2 xa X { 2 + y' = a cosl y = a 2 I aa. = sen1 e, e. { (ax)l + (by X = a cos3 tI = b sen3 e, e. FOLIUM DE CARDI6IDE y x Xl + yl + ax = P =a a vx l + til. x3 + yl - (1 - cos 0). SEN6mE y = sen;;.. COSSEN6 y = cos p = b - a cos 9. (Na figura, b y' = : < a). Esl'mAL DE ABcmMEDES EsPIRAL L T p = afJ. ESl'mAL HIPERB6LICA r--=-x pO = G. p logp =~ = L p' = 4 adJ. (p - a)2 CURVA EXPONENCIAL y = y CURVA DAB PR y = e- e7:. CURVA SECANTE TANG y In I I y = sec x. y = t 2 P = a sen 3 e. p = a cos 3 ROSA DE QUATRO FOLHAS ROSA DJ::; QUATR y 4 y p = a sen 2 e. p ROSA DE DUAS FOLHAS = a cos 2 ROSA DE aIT y 8 -----::::=>-:.. p2 = 02 sen 2 e. p = PARABOLA HIPERBOLE EQUILAT =a xy lNvOLUTA DE U AI TRAT6 CiRCULO y x = r cos 8 + TO sen 8, 11 = r sen 8 - TO cos 8. X { X { = asech-1JL a .~t-atg~~, 11 = a sech - . . a Algumas integrais imediatas 1. / = df (x) 2. /adu If' ex) dx = f ex) = a /dU. 3. / (du ± dv ± dw ± ... ) = / 4. un+l un du = n + 1 + C. 5. / dU / + C. ~ = Inu du ± / dv ± (n ,c. - + C. Funl;oes racionais contendo a + bu Ver tambem as f6rmulas de redu9ao das binomia 6. 7. 8. 9. 10. 11. / / / / a du + bu 1 = b In (a . udu a bu = + (a / (a udu bu)2 = + + + C. + bu) + C. 1 . b2 [a + bu - u2du 1 a + bu = b3 / + (a bu)n+l b (n 1) + b'u)'" du = (a + bu)] + [t (a+bu)2-2a (a+bu)+a21n 1 [ b2 a In (a a +a bu + In (a + bu) ] + a + bur =:= b31 [ a + bu- a + bu 2 u~ du. 681 -2aln (a 1 4. 15. f f u2 (a U (a ~ + a~2 In (a +UbU) + + bu) = - au du du + bu)2 Fun~oes = a (a 1 + bu) _ ~2 In a (a + racionais contendo a2 ± b2u: u va + Fun~oes racionais contendo A integra9ao pode ser conduzida a integra9ao racional mediante a substitui9ao a + bu = v2• V f6rmulas de redu9ao das binomiais 96-104. 25. 26. 27. f -/ + f + -/-f b d - 2(8 a 2 -12 abu+15 b2u u u 105 b3 2- / Uv a .!. 2um (a + bU)2 umva+budu= b(2m+3)- b (2 28. 29. 31. 32. 33. 34. 2:~ 3) U2 du _ 2 (8 a2 a bu - u V du f f f u 4 abu u + 3 b u v' 2 2 ) 15 b3 2 u m V~ 2 am bu = b (2 m 1) - b (2 m a+bu V du - f + bu + u du __ 2 (2 a - bu) vi a _/ " b2 va bu u f + f v' + f Va + umdu 30. + b d - - 2 (2 a - 3 bu) (a u u 15 b2 uva + + (va = _1r- 10 _ / + bu - vI~) _/ a+bu + va va+bu+va = v 2-a arc tg "Ja ~ abu + du va+bu um vi a + bu = - a (m - 1) u m- 1 b (2 m - 3) - 2 a (m - 1) vla+budu -2-/-+b V a u u + a f f U",-l _/ uva Fun!,;oes racionais contendo vu 2 ± a Neste grupo de f6rmulas podemos substituir (u + vu + a por senhIn (u + vu a por coshIn(a +. vuu t+ at) por senh- -;a. In 2 2 2 - ) 2 ) l t : ' : ' I 36. f (u t ± a 2)1 du u at = - v'u t ± a 2 ± --In (u+ 2 2 ( 42. f udu " (u t ± a 2)"2 45. 1 u"'du n U"'-1 = . (u 2 ± a2)"i (m - n + 1) (u 2 ± n a 2)"i-1 1 _ ± a 2 (m - 1) m-n+l 46. _ 1 u"'du 48. 49. 50. 51. 52. U um+l n (u 2 ± a 2)"i = ---------,,± a2 (n - 2) (u 2 ± a2)"i-1 m - n +3 - ± a 2 (n-2) 47. ( 1 1 1 du u (u2 + a2)1 = - 1 a In (a 1 (2 U + v'U-'2-+-a-2) du 1 u (2 2)~ = - arc sec - + C. uu-a' a a du v'u 2 ± a 2 = + C. 2 2 2 u (u ± a )1 ± a2u 2 2 du v'u + a 1 (a+ u 3 (u2+ a 2)1 = 2 a2u2 + 2 a1 In 1 1 1 du u u -a2)~• = B( 2 v'u 2 - 2 au 2 2 a2 u 1 + 2--;-arcseca a du = _ 1 n 2 2 u'" (u ± a )2 ± a (m - 1) U"'-1 (u 2 ± 2 31 m+n± a 2 (m-l) 53. 1 um du n = 1 'I'm (u 2 ± a 2)"i ± a2 (n - 2) u m- 1(u 2 ± a 2 31 + m+n± a2 (n - 2) 54. + u 1(U + 2 a2 u )1 du = Vu2 + a2 _ a In (a (2 U'" U + v': 57. ! " ~l (u 2 ± a 2)"2 2 ± a (m - 1) um-I " ± a 2)"2 du urn (U2 ! (u 2 ± u _ m - n - 3 ± a 2(m - 1) 58. ! (U 2 " du " ± a 2)"2 (u 2 ± a 2)"2 = (n - m + 1) u m- l urn + n -± ma2n+ 1 + !(U2± a 2)%-- urn Fun!;oes racionais contendo Va 2 59. ! (a 2 63.! 64.! u 2)! du = - du (a 2 - (a 2 _ du u 2)i 3 - U 2)2 u 2 Va 2 = arc sen.3!a = - - + 2~ + C. U a 2 Va 2 u2 u2 + C. - u arc sen f (a2 _ U 2)2 v a - u a. n (m - n --1 2) 2 + 1) (a u a 2(m - 1) + m-n+1 2 - f ~-1 a 2(n - 2) (aLu2) 2 m - n a 2(n - 70. f -u du_.----:u 2)i (a 2 - = _ l:- In (a + va 2 a f +3 2) u + 2 ) u 1 - a 72 • f du v'a 2 -u 2 1 (a+ v =- - I3n 2 2 u (a - u )i 2 a 2u 2 2a va 2 - u 2 1 1 3 =- 2 a 2u 2 - -2 3 cosha 73. 74. n -- a 2(n - 2) u m - 1 (a! - u 2) 2 + m+n - 3 a 2 (n - 2) f u 76. ! 78. ! (a 2 - u 2 )i du va 2 - u 2 u = - arc sen 2 u u a n n (a' - U2)2 du = um (a 2 - (n - m + US)' + 1) u m- l a2.n + n-m+l j (a FUll!;OeS racionais contendo V2 au ± As f6rmulas de reduc;ao das binomiais 96-104 p cadas pondo-se: V2 au ± u 2 = ui (2 ~ ± u)i. 79. 80. J j ~ . u-a V2au - u 2 du = -2-V2au - u 2 + a arc cos (·u) + ""2 1- ~ + 2 'I.' V2 au - u 2 du = - 3 a2 3 + 2a + au6 .( arc cos 1 - 2 u2 V au) 3 .81. j um-l (2 au - US)I u m Y2au - u 2 du = m +2 + a ~ : ~ 1) 82. j V2au 'I.' ! um-l Y2 l1u - udu = V2 au-u + a arc cos 2 2 85. Y2 au / u 2 du urn 3 (2 au - )2 a(2m-3)um = - U2 m - 3 - 3) + a (2 m + /Y2 a 86. /Y2 audu = arc cos (1 - ~) + c. ua 0 37. 88. I IF (u, y2 au +u 2 ) onde 89. 90. + a + y2 au + u 2) du = In (1£ y 2 au + u l du = IF z = u + a. I udu =-Y2aU-u 2 +aal'CCOS y2 au - u 2 I u2du = _ (u . y2 au - u 2 + 3 a) y2 au 2 2 I u'" du . --;:=== = - y2au - u 2 u rn -1 Y2 au - u 2 m + a (2 m - 92. 93. I / du . 1£'" y2 au - u 2 = - + (1 + 1) / U" Y2a m du u Y2au - u 2 u2 2 + _3_a_ arc cos 91. Y Z2 (z - a, Y2au - u 2 + C. au V2au- u 2 = - a(2 m _. 1) u.,. + m- 1 + a (2 m ~ 1) I um- 1 Y (2 9:>. .)1- = a V2 au - au - u- u2 • FefrlI1ulas de redu!;ao das binolI1iais 96. j urn (a + bu?)p+1 urn-q+l (a + btl?)p du = b'(pq + m + 1) arm - q + 1) '+ Tn + 1) -' b (pq 97. 98. j j buq)o + pq+m+1 + + apq ju'" ( pq+m+1, ---'----'--~ 1 - + j du urn (a _ + buq)p - j 101. j (a - q + pq - 1 aq (p - 1) um ( _1In( a + bu'/ 102. j (a + bU )p du = 1 um u + bW)P -,--dU_ = (a + buq) aq 7£ j 1 aq (p - 1) 7l m - l (a +m 100. + bU a (m - l)u m - 1 (a pq - 1) b (m - q a (m - 1) - 99. u rn- q Urn+! (a du + bU1)p = j = urn (+ a bu Q)P du urn (a - u? ) j + C. (a + bU7 )p+l _ a (m - 1) u rn -l _ b (m - q - pq - 1) ;'(a a (m - 1) + bu')p du = urn +- _ (a + bu?)!' (pq - m + 1) u m - l apq j(a 'pq-m+l + + bU 11m + 1) - b (m - pq f 104. utftdu + bu1)p = aq (p - 1) (a u m+1 (a + 007)11""'1 m + q - pg + 1 Fun~oe8 aq (p - 1) oontendo a + 00 ± cu2 (c > A expressao a + 1m + cu2 pode sar reduzida eo b b2 - 4 ac pondo u = z - k = -:--::2c ' 4 c2 a Entao + bu - A expressao a pondo u = b Z +2C ' Ent§.o + bu + cu2 = cu pode ser reduzida a b2 + 4ac k = 4 c2 a f+ k). C (Z2 - 2 + bu - cu 2 = c (k - z~). ~ 2 (2CU a+bu+cu2=V4ac_b2arctg V4a 105. C, quando b2. < 4 ac. 1 (2 f du CU+b- V = _/ ' In a+OO + cu 2 v b2-4ac 2 cu+b+V qu Hl7. f f du 1 In(Vb +4ac+ a + OO-cu· = Vb 2 +4ac Vb 2+4 ac- 108. (Mu + N) du a + bu ± cu 2 106. 2 -/ f + 109. v a = ± M 2c In (a + bu ± + ("tV =F • bu + cu 2du = b2 - 4 ac - - 3 - I n (2 cu Sct cu 2) bM) 2c 2cu + b . r 4 c va + bu + b + 2 v. rc ....;a + 8e f y' fV + du ill. 112. 1 a+btl+C1l~ a 11::'J~' va du btl - - = _r In (2w+b+2ve Va+ V cu~ c = . 11-- arc sen ( _ 2I 'C'll 2 V c + -! b V b - va udu = + bE + C11 2 _. 2 + bu + cu C b - --" In (2cu + b + 2VC Va 2 c2 ,. J' va + U l.t.-.l. dtl btl - va - + bu - + 2 C1l + C C'll2 b an; ~:cn (2cu. + -. --.:? Vb+ 2·C· Outras fungoes algebricas f' 115. 116. 117. fa + uudu = v_(a + 11) (b + 1/) + I J "b + f~ + (a- a-u .-,-,- dtl D,tl = Y(a - 1/) n _/1 +u 1 ,19. ) . "1 _ u du ( V (u + UI + b III _L. a+n f~-b -- d u = - v(a -+- / (b + "/0 + (a + b) arc sen ....,1:...-:-] a ---;- u - (a 118. b) Ig, (V~-;: =- -+- 1/) b) arc sen _1 - v 1 - u2 du - a) (b - tl) (b - 1[\ - / ~ b -- ?! --' a--j-iJ -+ + arc sen + C . ~u -_ ~?ale sen I )- 1l a a + C 121. 122. 123. 124. 12:;. 126. J J bou du J J f bou = -- a In b ue ou dtl = eOU -? a- eeu au un b -a In b = b: u du= _ un 'U J 1SC. f a In b In u du = J n - U ..'-l e au duo u n - l bau du - .n 1 un 1 ] + C. [~u -- U H1 u n- l + a In b Jb au du = u In u - u urn Inn u du = (JCU -- 1) (n - run In tl du = J n - b<u I i 29. J un e- - -n du = a . a un bau du Jln v + C. (au - 1) OU un . 127. + c: +1 - (n + 1)2 um+l In" u n m+l m+1 eau In u a du -1- = In (In u) u nu - -1 a Je-au u J duo + C. Fun!;oes trigonarnetriras Nas func;5cs cantendo tg u, ctg u, sec u, cosse guram abaixo, usc primeiro as rela<;5es sen u tg u = cos U cos u sen u ' ctgu = - - ' cossec u 13 J. J sen 1 132 •• U du = - 1 =-- sen c~s + C. cos u du = sen u U + C. U secu = 135. fsecudu = f~ = In (sec u + tgu) cosu = In tg (~ + :) 136. fcossec u du = f~ = In (cossec u sen u u = In tg -2- + C. + C. 137. fsec2udu = tgu 138. f cossec 2 u du = - ctg u + C. 139. f sec u tg u du = sec u + C. 140. f cossec u ctg u du = - cossec u 141. fsen2udu=iu-lsen2U+C. 142. f +l sen 2 u f cos u sen u du = - cosnTl 143. 144. f 145. f sen mu sen nu du = - cos 2 u du =i u n senn u cos u du n + + C. U + 1 + C. senn+1 u 1 = n + C. + C. sen (m 2 (m + n) u + + n) + se~ ~m ;4lm - 14 7. 148. 149. 150. 151. + + 1 cos (m n) 'U sen mu cos nu du = - -----'---'------'-2 (m n) cos (m - 11 + du cosa cosu au f f f 2 (m - cos a + cos u 153. 154. 155. 156. = cossec a In ( l+t g !at 1 - t Iat g2 (tg 2 ! u < c = 2 cossec a tgh- 1 (tg! a t (tg 2 ! u < c 1+ du cos a sen u du cos a J 1 J f J du a2 cos 2 u = 2 cossec a arc tg (cossec a a- u tg tg! tg a + tg! u [(ctg a tg! u c 2 cossec a tgh- 1 (ctg a tg! u+ [(ctg a tg! u + c + sen u =- 152. = 2 cossec a arc tg (tg ~~ a t =cosseca 1n ( + + b sen 2 2 u = l:-arct (btgU) ab g.a e sen nu u - + cos nu du = eau (n sen nu + a cos nu) + d - eau (a sen nu - n cos nu) 2 2 a +n "lU tau a2 +n u sen u d'u = sen u - u cos u u cos u du = cos u 2 + C. + u sen u + C. 158. 159. 160. 161. = f f --= f f C08,,-1 cos" u du dtt sen" u du cos nu --= - . S3n u cosm-1 U senM1 f du cosmu sen" u 1 fcosm-2 ... f 1 1) sen"-I U cosm-1U + +n - 2 Jf" f 2 (n-I) sen"-I u _ 166. f cosmudu sen n u cosm-2 1 (n - 1) sen"-I u cosm- +m+n cosmUdu sen" u + COSmU se n - 1 165. sen" m+n (11'1, - du cos'" u senn u U senn - 1U COSm - 1 U - m - 1 f + m+n 11'1, 164. 1t m+n 11'1, - se du C08,,- n - 2 n - 1 (n - 1) cosn- 1 U cos'" u sen n u du = CO n - 1 n-I + m+n 16:5. 1 n - 2 cos U cos 71 u sen" u du = f n (n-I) sen-'-1 u + 162. +: f + f +-- f sen u U n n +2 n - 1 11'1, - f f d cosmU cos" sen,,- COS".-1 U +m - 1 (m-n) sen,,-I u 11'1, n f 168. I 169. 110. 111. I f f sen" udu cos"'u sen"-l u = - (n - m.) COS"'-I u + tg n u du = I tgn-1u n _ 1 - ctgn u du = - ctg"-IU . n-I e~u f n - 1 n - m f I I + e~ucos"-l u(a cos u n se cos" u du = -------'--------'---2 2 +n a + n (n - 1) leou cos " a +n eo U " d _ sen u u - 2 eo u sen,,-l u (a sen u-n co a-• +n Um-I urn cos au du =7 2 + n (n - 1) leal a +n (au sen au + m cos a 2 - m(ma2174. 1) Fun~Oes I I u urn-1 urn sen au du = 7 (m sen au - au cos a - m(ma2- 1) 115. se ctgn- 2 'I.' duo 2 113. I tg"-2 U du. 2 112. + arc sen 'It u trigonometricas inversas du = u arc sen u 116. lare cosudu I = + VI - uarc casu - u2 + ~+ 178. 179. 180. farcctgUdU = uarcctgu + InV1 + u f arc sec u du = u arc sec u - In (u + V u = u arc sec u - cosh- 1 U + C fare cossec u du=u arc cossec u + In (u + = u arc cossec u + cosh- 1 U + C. Fun~oes 181. 182. f f senh u du = cosh u + C. cosh u du = senh u + C. 183. ftghUdU = 184. 185. 186. 187. 188. 189. 190. 191. 192. f f f f f f f f f hiperbolicas Incoshu+ C. ctgh u du = In senh u + C. sech u du = arc tg (senh u) + C = gd u + cossech u du = In tg ht u + C. sech 2 u du = tg h u + C. cossech 2 u du = - ctgh u + C. sech u tgh u du = - sech u + C. cossech u ctgh u du = - cossech u + C. senh 2 u du = 1 senh 2 u - t u + C. cosh 2 U du = 1 senh 2 u + t u + C. 194. 195. 196. 197. 198. J JU JU J 201. senh u du = u cosh u - senhu + C. = u senh u - cosh u + C. cosh u du senh-1 u du = u senh- 1 u - VI J cosh- 1 u du = f tgh-1 u du J ctgh- 1 U du J sech- 1 u du 199 •• 200. + C. = u - ctgh u ctgh u du = U U = cosh- 1 U tgh- 1 U U - VU 2 + t In (1 ctgh- 1 U + u + C. 2 1 + C. - u 2) +C - + t In (1 - u 2) + + gd (tgh- u) + C = u sech- u + arc sen u + C . u du = U csch- U + cossech- u + = u sech- 1 u 1 1 202. 203. J cossech- 1 J senh mu senh nu du 1 = 1 senh(m + n)u 2 (m + n) _ senh (m - n) u 2 (m _ n) 204. 205. J J cosh mu cosh nu du = senh mu cosh nu du = + senh (m + n)tl 2 (m + n) + (m - n) u + senh 2 (m _ n) cosh (m + n) u 2 (m + n) + + cosh (m - n) u 2 (m - n) 700 TABELA 20E. 1 + 1 + 11 + 1" du cosh a clu 207. 208. 209. 210. ccs a cosh u 1 COSl U 1 INTEGRAlS = :2 cossech a tgh- I (tgh t . = 2 cosscc a arc tg (tgh t u clu h c:os a cos u ff' DE = 2 cossec a tgh- 1 (tgh t (tgh L h d e ' " (c. senh nu - n cosh sen nu u = 0.'· eO" cosh nu du = a.- - n- e"" (a cosh nu - n senh a2 - 10 2 Absoluta, convergencia, 189 AceleraC{ao, movimento curvilineo, 84; movimento retilineo, 59 Anguio de interseC{iio, de curvas planas, 42; forma polar de, 85; de curvas reversas, 236; de superficie, 239 AproximaC{ii.o, formulas de, 197, 200, 242 Arco, comprimento de, 95, 161; curva plana, 162; curva reversa, 236 Area, de uma superficie ~urva, 256; momento de, 177, 249, 205; momento de inercia de, 252, 255; plana, 145 158, 246; em coordenadas polares,' 159, 254; de uma superficie de revoluC{iio, 164 Auxiliar, equaC{iio, 206 Binomiais, diferenciais, 169, 174 Binomio, formula do, 1 Cl5.lculo, de e, 196; de logaritmos, 195; de w, 196 Centro de pressiio de um fluido, 251 Centr6ide, de um solido homogeneo, 257, 258; de uma area plana, 177, 249; de um solido de revoluC{ao, 178 Coeficiente angular de urna curva, 42 Complexo, nUmero, 223 Compostos, lei dos juros, 207 Comprimento, de uma curva, 95, 161; das curvas planas, 162; das curvas reversas, 236 Concavidade, 55 Constante, 6; absoluta, 6; arbitraria, 6; de integr8.C{ao, 127, 138, 140, 202; numerica, 6 Continuidade de funC{oes, 17, 224 Convergencia, 184 Coordenadas, cilindricas, 4, 258; polares, 85; esfericas, 4 Criticos, valores, 46 701 Curvatura 100; ce circulo de, 107, 1 Cllrva, traC{ado de de, 95, 161, 162, Curvilineo movimen Cilindricas, coorden Derivada, definiC{ao geometrica, 28,' como velocidade, 25, 225; transform De.rivaC{ao, formula 217 Diferencial, 91; de mulas para, 94; metrica, 91, 238; 98; total, 227 Diferencial equaC{ao ordem, 204; de o DireC{ii.o de uma cu Envoltoria, 233 EquaC{oes, soluC{ao g vimento, 83; met Erros, 93, 228; per tivo, 93 Esfericas, coordena Evoluta, 109; da cic se, 109; da parab dades da, 110 Exponencial, curva, Fatorial, nUmero, 1 Familia de curvas, Fluido, presaao de prcssiio de um, 2 FormuIario, 1, 4; Formulas, aproxima de derivaC{ao, 29, FunC{iio, continuida crescente, 45; dee niC{iio de, 9, 224 descontinua, exem l\lntlamcntal, teorema... do calculo integral, 156 Giro, raio dc, 252 Grafico de uma fun~ao, 13, 2~4 Gl'avidadc, centro de, I", 178 Grego, alfabeto, 5 Gudermann, 221 Gudcl'maniana, 221 Harmonica, vibra~iio, 208 Homer, mctodo de, 87 Indeterminadas, formas, 117 Increia, momento de, 252, 255 Infinitesimos, 19; teorema dos infinitesimos equivalentes, 98 Infinito, 18 Inflexao, pontos de, 57 Integrais, definidas, 142; indefinidas, 127; improprias, 153; Jlludan~a de limites, 114; multiplas, 243-245; representa<;ao geolUctrica, 147, 244 Integrando, 129 Integra~ao, 126; aproximada, 148; de diferenciais hinominais, 169; formulas de, 128, 219, 220, 221; teorema fundamental da, 156; pOl' partes, 136; das fun<;ot's racionais, 167; pOI' formulas de redu~ao; 174, 175; sncessiva, 243; das fun~oes trigonometricas, 134, 171, 175 Interpola~ii.o, 87, 200 Involuta, III Leis da media, 116, 124, 240 Limite de uma variavcl, 14 Limites, mudan~a de, 144; de uma integral, 142, teoremas s6bre, 16, 20 Logaritimil'a, eurva, 62; funl(ao- 62 deriva~.ao, 66; Logaritmos, comuns, 61; naturais, 61 Loxodromica, 222 Madaurin, serie dt', 194, 197 Maximos c minimos, 44; estudo analitico, 125; defini<;oes, 45; das fun<;oes (lc duas variaveis, 241; segundo metodo, 56 ;l.Iercator, 222; carta de, 222 Newton, 89 Kormal, a uma cu um:l. superficie, 23 uma CUl'va reversa O:~culador, c-ireulo, ] Pappus, teorcma de l'al'ah6Iic:l., I'l'gra, H I'arametro, 81, 233 P<tramC'tril'}cs, equa~o Ponto de inflexao, I'ol;tres, coordcnad:l.s inerci:l. em coordp normal, 86; subta 1'res8ao, de urn fluid 251 l~rojctil, 140 R:l.io, de curvatura, R:lizcs das cqu[t~ocs Rapidez, 50 Rptifiea~ii.o, das c 163 das cUl'vas re Rl'<lu~:io, formulas d Reversa, curva, 235 Holle, teorcrua dl', Serit's, 182 converge altt'rnadas, 18 ; gra dl' D' Alembe eonfronto, 186; gr:l.<;ao de, 196; harmonica, 185; opcra~ij(·s (·om, 191, 193; de Tay Simpoon, regm de, Sol idos de rl'voluc; ] 78; superfici\'. do~, 100. Stirling, ] 94 Suhnormn.l, 43, 86 Subtangellte, 43, 86 Tabc!a, de fun<;oes de intrgrais, Cap Tallgcnte, a uma c uma CUlT:l. revers a uma superficic T[tylor, teorerna de, IKDICE 'l','legraJica, lillha, 218 Toro, 160 Trabalho, 180 Transfol'.lInr;ao de derivadas, 112 'l'rapezio, regra do, 148 Tripla, intcgrar;ao, 257 Y:triavel, mudnnr;a de, 112, 144, 230; ucfinic;ao uP, G; dependente, 10; independente, 10 Velorieln<1c, moyimento curviHneo, 83, 97; moyimento r riar;ao, 50 Vibrar;ao, amorteci 208; harmonica Volume, de um so r;fio, 160; de um lransvcn;al. conlw solido de revo uma suprrfici(', int('grar;fio tl'iph Este livro é distribuído GRATUITAMENTE pela equipe DIGITAL SOURCE e VICIADOS EM LIVROS com a intenção de facilitar o acesso ao conhecimento a quem não pode pagar e também proporcionar aos Deficientes Visuais a oportunidade de apreciar mais uma manifestação do pensamento humano. Se quiser outros títulos nos procure. Será um prazer recebê‐lo em nosso grupo. http://groups‐beta.google.com/group/Viciados_em_Livros http://groups‐beta.google.com/group/digitalsource