Matriks

MATRIKS Penyadur Bambang Judi Bagiono STMIK Muhammadiyah Jakarta A. PENGERTIAN, NOTASI DAN ORDO MATRIKS 1. Pengertian Matriks Matriks adalah suatu susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Susunan ini diletakkan dalam ( ), atau [ ] atau || || A=  a11 a12   a21 a22  ... ...   am1 am 2 Kolom Ke-1 a13 .... a1n a23 .... a2 n ... ... ... am 3 .... amn Kolom Ke-n       Baris Ke-1 Baris Ke-2 Baris Ke-m CONTOH 1 : A = 1 4  1 0  2  3 4 6     5 7  2 1  Tentukan: a. banyak baris matriks A b. banyak kolom matriks A c. a11, a21, a24, a32 Kimia Matematika Fisika Biologi Andi 95 87 69 90 Badar Cintia Didi 67 85 67 65 56 50 85 74 54 99 78 89 Ema 56 45 54 50 95 67 85 67 56 Data di atas dapat ditulis dalam bentuk Matriks sebagai berikut : 87 65 56 50 45 69 85 74 54 54 90 99 78 89 50 2. Notasi Matriks Suatu matriks diberi notasi dengan huruf kapital, seperti A, B, C dan sebagainya. Contoh : A = 1 4  1 0  2  3 4 6     5 7  2 1  3. Ordo Matriks • Ordo (ukuran) dari matriks adalah banyak baris dan kolom yang dimiliki matriks yang bersangkutan. • A m x n berarti matriks A berordo m x n artinya matriks A memiliki m buah baris dan n buah kolom CONTOH: 1 4  1 0  A=   2 3 4 6     5 7  2 1  Matriks A berordo 3 x 4 4. Tranpose Matriks • Matriks berordo n x m yang didapat dari penukaran baris dengan kolom matriks Am xn disebut tranpose dari A dan dinyatakan dengan notasi At (A tranpose)  Contoh : Tentukan tranpose dari matriks A= 1 4  1 0  2  3 4 6     5 7  2 1  B. KESAMAAN DUA MATRIKS Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, jika : a. Ordonya sama b. Nilai tiap elemen yang seletak (bersesuaian) sama Contoh : Carilah nilai x, y dan z dari : = adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris. Contoh A  2  1 0 adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom. Contoh  A    3 2  4 adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Matriks persegi berordo n x n Contoh  3 0  1 A   2 5 1  4 3 0 C. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS 1. Penjumlahan Matriks Dua buah matriks A dan B dapat dijumlahkan jika keduanya memiliki ordo yang sama. Hasil operasi penjumlahan adalah matriks baru yang ordonya sama dengan matriks semula yang elemennya diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen seletak pada matriks A dan B. CONTOH : • Diberikan tiga buah matriks berikut : 2 A  6 4 6 1 0  3  2  , B    , C   7 0 8  2 5  3 Tentukan A + B dan A + C    2. Pengurangan Matriks Jika A dan B adalah dua matriks yang ordonya sama, maka A – B = A+ (-B) CONTOH : Diberikan matriks berikut ini 3 0 A  4 1 5   1 2    , C     , B   6   3 4   Tentukan A – B dan A - C 3. Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar Diberikan matriks 2 5   A  0 3  Tentukan 2A, -3A dan ½ A Sifat-sifat Perkalian Bilangan Real dengan Matriks Untuk bilangan real k1 dan k2 dan untuk matriks A dan B yang berordo sama, berlaku :  (k1 k2) A = k1 (k2 A)  K1 (A + B ) = k1A + k1B = (A + B) k1  (k1 + k2) A = k1A + k2A 1 .A =A 0 .A = 0 4. Perkalian Matriks Perkalian dua matriks A x B ada hasilnya bila banyaknya kolom matriks A (kiri) sama dengan banyaknya baris matriks B (kanan) Matriks hasilnya mempunyai baris sebanyak baris matriks kiri dan mempunyai kolom sebanyak kolom matriks kanan. CONTOH :  a b   x   ax  by          c d   y   cx  dy   p s   ap  bq  cr as  bt  cu   a b c     q t       d e f    r u   dp  eq  fr ds  et  fu    CONTOH :  2  5 6     5 x 2  6 x 4   34  4    3  1 4    2  6     6  6  12   0 3  CONTOH : 2  1 3   5  2   2 x 5  3 ( 3) 2( 2)  3( 1)   1  7           0    3  1   1 x 5  0( 3) 1( 2)  0( 1)   5  2  3 2   1 3 2 1 0    0 4   Lihatlah matriks A dan matriks B berikut ini : 1 2     2 1 0  dan B   0 3  A   1 2 3   2 5   Apakah perkalian AB = BA ? Ternyata perkalian AB ≠ BA, hal ini menunjukkan bahwa pada perkalian dua matriks tidak berlaku sifat komutatif Matriks Satuan • Adalah matriks persegi-n dengan semua elemen diagonal utamanya 1 dan elemenelemen lainnya nol (dilambangkan dengan I)  Untuk matriks persegi ordo 2 matriks identitasnya adalah 1 0   I   0 1  Misalkan matriks a b   A   c d   a b  1 0      A x I    c d   0 1 1 I x A   0 0  a b      1  c d  INVERS MATRIKS • Determinan Matriks Ordo 2 x 2 a b   , maka Jika A   c d determinan dari matriks A ditulis det.A atau | A |, didefinisikan : a b A   ad  bc c d Contoh : 3 6  3  6  , maka A  Jika A  2 5  2 5 15  12 27 • Invers Matriks Ordo 2 x 2 Jika A dan B adalah matriks-matriks persegi yang ordonya sama dan AB = BA = I Maka B adalah invers dari A, ditulis B = A -1 dan A adalah invers dari B, ditulis A = B-1 a b  Misal A   c d  A 1 1  A  d  b   a  c  d  b 1   A  ad  bc   c a  1 Contoh : • Tentukan invers matriks 3 A   5 2 4    Tentukan invers matriks berikut A= 2 1 3 2 –2 1 B= 2 2 3 C= 6 4 9 Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut: A. 2x + y = 5 x – 2y = 0 B. y = 2x – 6 X+y=6 3x + y = 6 C. x + 2y = 7 Matriks Singular dan Matriks Non Singular • Suatu matriks dikatakan singular jika determinannya nol dan non singular jika determinannya tidak nol. Contoh : • Diberikan matriks-matriks : 2 6    4 0  1  4     , C   A   1 1  , B    1   3  1  8 20   2 2 Manakah dari matriks-matriks itu yang merupakan matriks singular atau nonsingular ? Bentuk Umum SPLDV : a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Bentuk Umum SPLDV ini dapat dinyatakan dalam bentuk matriks :  a1 b1   x   c1          a2 b2   y   c2  Misal :  a1 b1   c1  x  , X    dan B    A    y  c2   a2 b2  Maka persamaan matriks di atas dapat ditulis sebagai AX = B Sehingga SPLDV tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan matriks dalam bentuk: A X = B → X = A -1B • Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear 7x + 3y = - 5 5x + 2y = 1 Dengan menggunakan matriks Bentuk Umum SPLDV ini dapat dinyatakan dalam bentuk matriks : Dy  a1 c1 a 2 c2  a1c2  a2 c1  a1 b1   x   c1          a2 b2   y   c2  D a1 b1 a2 b2 Dx  c1 b1 c2 b2  a1b2  a2b1  c1b2  c2b1 Maka didapat sebagai berikut : Dx x  D Dy y  D Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear 7x + 3y = - 5 5x + 2y = 1 Dengan menggunakan Aturan Cramer 1. Tentukan penyelesaian SPLDV berikut dengan menggunakan persamaan matriks : a. 2x + 3y = 12 3x + 5y = 19 b. 2x - 4y – 4 = 0 4x - 6y – 7 = 0 c. 5x – 4y - 3 = 0 -2x + 3y + 1 = 0 2. Tentukan penyelesaian SPLDV berikut dengan menggunakan aturan Cramer : a. x + y =-1 2x - y =7 b. 2x + y = 5 3x - 2y = 4 c. -7x + 4y = -2 5x + 3y = 19 Invers Matriks berordo 3 x 3 • Jika A adalah matriks non singular, maka invers dari A adalah : A 1  Adj A A Dengan A determinan dari A Adj A adjoint dari A 1. Minor • Jika elemen-elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A berordo 3 x 3 dihapuskan, maka didapat matriks baru berordo 2 x 2, dengan determinannya disebut minor dari determinan matriks A dan dinyatakan dengan |Mij| Misalkan matriks A berordo 3x3 adalah :  a11 a12 a13    A   a 21 a 22 a 23     a31 a32 a33  Minor |M11| adalah :  a11 a12 a13    Jika baris ke-1 dan kolom ke-1 dihapuskan, A   a21 a22 a23  maka didapat   a a a a 22 a 23  31 32 33  M 11  a32 a32 Minor |M12| adalah :  a11 a12 a13    A   a21 a22 a23    a a a  31 32 33  Jika baris ke-1 dan kolom ke-2 dihapuskan, maka didapat M 12  a21 a23 a31 a33 Minor |M13| adalah :  a11 a12 a13    A   a21 a22 a23     a31 a32 a33  Jika baris ke-1 dan kolom ke-3 dihapuskan, maka didapat M 12  a21 a22 a31 a32 2. Kofaktor • Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dinyatakan dengan Aij yang ditentukan dengan rumus : Aij = (-1) i + j |Mij| Kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah : A11 = (-1) 1 + 1 |M11| = |M11| A12 = (-1) 1 + 2 |M12| = -|M12| A13 = (-1) 1 + 3 |M13| = |M13| A21 = (-1) 2 + 1 |M21| = -|M21| A22 = (-1) 2 + 2 |M22| = |M22| A23 = (-1) 2 + 3 |M23| = -|M23| A31 = (-1) 3 + 1 |M31| = |M31| A32 = (-1) 3 + 2 |M32| = -|M32| A33 = (-1) 3 + 3 |M33| = |M33| 3. Adjoint • Jika matriks A berordo 3 x 3, maka : Adj A  K T 4. Determinan matriks Berordo 3x3 Nilai determinan dari matriks A ditulis |A| atau det A dapat ditentukan dengan rumus : |A| = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = a11|M11| - a12|M12| + a13|M13| |A| = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 = -a21|M21| + a22|M22| - a23|M23| |A| = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 = a31|M31| - a32|M32| + a33|M33| Kaidah Sarrus a11 a12 a13 A  a21 a22 a23 a11 a21 a12 a22 a31 a32 a33 a31 a32 = a11 a22a33+ a12a23a31+a13a21a32 – a31a22a13 – a32a23a11- a33a21a12 Tentukan invers matriks berikut : 1 3 3    A  1 4 3  1 3 4     2 1 3   B  0 3 5  1 2 3    1 1 1    C 1 2 2  3 3 1   1 0 0    D  0 1 1  1 0 0    RANK / PANGKAT Rank : dimensi dari submatriks yang terbesar yang determinannya tidak nol A= 2 -3 1 4 -1 0 -2 3 1 -1 1 -1 Dengan menghilangkan kolom keempat diperoleh submatriks :  2 3 1     1 0  2    1 1 1    2 3 1  1 0  2 = 2.0.1+(-3).(-2).1+1.(-1).(-1)-1.0.1-(-3).(-1).1-2.(-1).(-2) + 6 +1 - 0 -3 - 4=0 1 1 1 = 0 Tetapi, jika dari A menghilangkan kolom pertama diperoleh submatriks : 3 1 4  3 1 4    0 2 3 =–8 ≠ 0  0 2 3   1 1  1 1 1 1   Karena submatriks yang determinannya tidak nol ini berdimensi 3, maka rank dari A, ditulis r(A) = 3. Berapakah rank-nya ? 2  1 1  A=  1 1  1    1 1 2 3    B =   1 1  2  3 2 2 4 6   r(A) = 2 1 3 3    E = 1 4 3  1 3 4    r(E) = 3 r(B) = 1  3 1 2   C=  1 2  1  1  2 1    r(C) = 2  2 0 0   D =  0 3 0  0 0 4   r(D) = 3 Matriks persegi, yang determinannya tidak nol dikatakan mempunyai rank penuh, atau matriks nonsingular. Matriks D dan E dalam contoh diatas mempunyai rank penuh atau nonsingular. OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) Terhadap suatu matriks A dapat dilakukan manipulasi anggotanya dengan melakukan operasi baris elementer (OBE). Tipe Simbol arti I Hij(A) Menukar baris ke i dengan baris ke j dari matriks A II Hi(k)(A) Mengalikan baris ke i dengan skalar k ≠ 0 III Hij(k)(A) Mengalikan baris ke j dengan skalar k ≠ 0, kemudian hasilnya ditambahkan kepada baris ke i. 3  2  1 1  A=   0 2  1  2 1 1  2 2   H13(A) = 1 1 2 2     0 2  1  2 2  1 1  3   3   2 1 1  H3(-1)(A) =  2  1  2  0   1  1  2  2   7  2  5 3   H12(-2)(A) =  0 2  1  2 1 1  2 2   OPERASI KOLOM ELEMENTER (OKE) Terhadap suatu matriks A dapat dilakukan manipulasi anggotanya dengan melakukan operasi kolom elementer (OKE). Tipe Simbol arti I Kij(A) Menukar kolom ke i dengan kolom ke j dari matriks A II Ki(k)(A) Mengalikan kolom ke i dengan skalar k ≠ 0 III Kij(k)(A) Mengalikan kolom ke j dengan skalar k ≠ 0, kemudian hasilnya ditambahkan kepada kolom ke i. 3  2  1 1  A=   0 2  1  2 1 1  2 2   1  1 2 3  K24(A) =  0  2  1 2  1 2  2 1   3  2  1 4  K3(4)(A) =   0 2  4  2 1 1  8 2   5  2  1 1   K41(1)(A) =  0 2  1  2  1 1  2 3   Terhadap suatu matriks dapat dilakukan berturut-turut sederetan OBE dan/atau OKE 1  1 2   1 1 2    H   H 2  1  43(1) A =  3 2  1 3(-2)  3  1 2 1  ~   2  4  2 ~      2 3  1  2 3  1      1 1 2    5  7  H31(2)  0   2  4  2   ~  0  1  3    1 1 2    H21(-3) 2  1  3   2  4  2 ~    0  1  3    0  1  3 1  1 2     H   0 5  7  41  0 5  7  = B 0  6 2  ~ 0  6 2         0  1  3  1 1 2     Perhatikan bahwa dengan lima kali OBE secara berturutan terhadap A diperoleh matriks baru, misalnya B. Jadi dalam hal ini : H41 H31(2) H21(-3) H43(1) H3(-2)(A) =B Matriks B yang diperoleh dari A dengan melakukan OBE/OKE disebut matriks-matriks yang ekivalen, dinotasikan A ~ B Perhatikan kembali : H41 H31(2) H21(-3) H43(1) H3(-2) (A) = B Dengan sederetan OBE, A dapat di bawa menjadi matriks baru B. Sebaliknya, tentu juga ada sederetan OBE yang dapat membawa B kembali ke matriks A.  0  1  3   B =  0 5  7  H41 0  6 2  ~   1  1 2    H43(-1) ~  1 1 2  1  1 2      5  7  H21(3)  0 5  7  H31(-2)  0  0  6 2  ~   2  4  2   ~    0  1  3  0  1  3      1 1 2    2  1  3   2  4  2    0  1  3   1  1 2   1 1 2      2  1  H3(-1/2)  3 2  1 = A  3   2  4  2 1 ~ 1 2        2   2 3 1   3  1  H3(-1/2) H43(-1) H21(3) H31(-2) H41 (B) = A Jadi dengan sederetan OBE : Ini berarti B ekivalen A, ditulis B ~ A Karenanya operasi OBE (OKE) mempunyai invers (kebalikan). Perhatikan : H41 H31(2) H21(-3) H43(1) H3(-2) (A) = B Sebaliknya, H3(-1/2) H43(-1) H21(3) H31(-2) H41 (B) = A Analogi, invers OKE : Dapat di amati bahwa invers OBE adalah : OKE Invers OKE OBE Invers OBE Hij Hi(k) Hij(k) 1 ij 1 i(k ) H H H 1 ij ( k ) 1 ij = Hij Kij K = Hi(1/k) Ki(k) K i(1k ) = Hij(-k) Kij(k) K ij (1k ) = Kij = Ki(1/k) = Kij(-k)  1 3  2   H21(1) P =  1  4 3  ~ 2 5 1    1 3  2   H31(-2) 0  1 1  ~ 2 5 1     1 3  2 K   32(5) 0  1 1  ~ 0  1 5    Sebaliknya, mudah diamati bahwa :  1 3 13   1 3  2  1 3  2   K32(-5)   H31(2)   H21(-1) Q =  0  1  4 ~ 0  1 1  ~ 0  1 1  ~ 0  1 0  0  1 5  2 5 1         1 3 13     0  1  4 = Q 0  1 0     1 3  2    1  4 3  = P 2 5 1   Dalam hal ini P ~ Q atau Q ~ P. Relasi ekivalen ( ~ ) suatu matriks memenuhi sifat : 1. refleksif, A~A 2. simetri, A ~ B, maka B ~ A 3. transitif, A ~ B, dan B ~ C, maka A ~ C Dua matriks yang ekivalen mempunyai rank yang sama Matriks Elementer : Matriks elementer adalah matriks identitas yang sudah mengalami satu kali OBE (atau satu kali OKE)  1 0 0   Misalnya I =  0 1 0   0 0 1   Matriks Elementer (baris)  0 1 0   H12(I) =  1 0 0  = E12  0 0 1   1 0 0    H3(-2)(I) =  0 1 0  = E3(-2)  0 0  2   1 0 0    H23(-1) =  0 1  1 0 0 1    = E23(-1) Matriks Elementer (kolom)  1 0 0   K13(1) (I) =  0 1 0  = F13(1)  1 0 1    1 0 0   K2(-3) (I) =  0  3 0  = F2(-3)  0 0 1    1 0 0  K32(I) =   0 0 1  0 1 0   = F32 Karena OBE/OKE mempunyai invers, maka matriks elementer tentu juga mempunyai invers Matris elementer (baris) Invers matriks elementer (baris) 1 ij 1 i(k ) E E Eij Ei(k) Eij (1k ) Eij(k) Matris elementer (kolom) Fij Fi(k) Fij(k) = Eij = Ei(1/k) = Eij(-k) Invers matriks elementer (kolom) Fij 1 Fi ( k1) 1 ij ( k ) F = Fij = Fi(1/k) = Fij(-k) Apa keistimewaan matriks elementer ?  1 0 0  1  2 1 2     I = 3 A =  2 1 1 3  0 1 0  0 0 1   1 1  1 1      0 0 1   1 1  1 1     E31 =  0 1 0  H31(A) =  2 1 1 3   1 0 0  1  2 1 2      0 0 1   1  2 1   E31 A =  0 1 0   2 1 1  1 0 0   1 1  1   1 2 1  H21(-1)(A) =  1 3 0  1 1  1   1 0 0  E21(-1) =    1 1 0  0 0 1   2  1 1  Jadi : H31(A) = E31 A H21(-1)(A) = E21(-1) A OBE identik dengan penggandaan di depan dengan matriks elementer dengan tipe yang sama 2    1 1  1 1   3  =  2 1 1 3  = H31(A)   1   1  2 1 2   1 0 0  1  2 1    E21(-1) A =   1 1 0   2 1 1  0 0 1     1 1  1 = H21(-1)(A) 2  1  2 1   3 =  1 3 0 1    1 1  1 2  1 1  1 2 1  A= 2 1 1  1 1  1  2  3 1   1  2  2 2   K3(-2)(A) =  2 1  2 3    1 1 2 1    1  2 1 2   1   0 A F3(-2)=  2 1 1 3   0   1 1  1 1     0 3  2 1 K14(1)(A) =  5 1 1  0 1  1  F14(1) = 1  0 0  1  0 0 0  1 0 0 0 1 0  0 0 1  2  3 1   1 0 0 0    0 1 0 0 I4 =  0 0 1 0    0 0 0 1   1 0 0  F3(-2) =  0 1 0 0 0  2  0 0 0  0 0 1 0 0 2 0 0 0  1   0 = 2   0   1 1   Jadi : K3(-2)(A) = A F3(-2) K14(1)(A) = A F14(1) 0  0 0  1  OKE identik dengan penggandaan di akhir (belakang) dengan matriks elementer dengan tipe yang sama  2  2 2  1  2 3  = K3(-2)(A) 1 2 1  1 2 1  A F14(1) =  2 1 1  1 1  1  = K14(1)(A) 2  3 1  1  0 0  1  0 0 0  1 0 0 0 1 0  0 0 1  3  2 1  = 5 1 1 0 1  1  2  3 1   1 3  2   H21(1) P =  1  4 3  ~ 2 5 1   Dalam hal ini :  1 3  2   H31(-2) 0  1 1  ~ 2 5 1     1 3  2 K   32(5) 0  1 1  ~ 0  1 5     1 3 13     0  1  4 = Q 0  1 0    K32(5) H31(-2) H21(1) (P) = Q Atau bisa juga dengan matriks elementer : E31(-2) E21(1) P F32(5) = Q  1 3 13   1 0 0   1 0 0   1 3  2   1 0 0          =  0  1  4  0 1 0   1 1 0   1  4 3   0 1 5 0  1 0    2 0 1  0 0 1  2 5 1   0 0 1           Dengan O B E dapat : keterangan Mereduksi matriks menjadi bentuk Rank matriks dapat dilihat dari banyaknya eselon baris baris yang tidak nol dari bentuk eselon Mendekomposisi (memfaktorkan) matriks A menjadi A = LU L : matriks segitiga bawah U : matriks eselon Mereduksi matriks menjadi reduced row echelon form --bentuk eselon baris tereduksi (EBT) Eselon baris tereduksi (EBT) adalah bentuk eselon dengan syarat : a. Elemen pivot harus 1, b. Elemen pivot merupakan satu-satunya unsur yg tidak nol pada kolom di mana elemen pivot berada Dari bentuk EBT, jika diteruskan dengan OKE, suatu matriks dapat di bawa nenjadi bentuk normal. Bentuk normal (N) suatu matriks kemungkinannya salah satu dari bentuk : Ir (Ir 0)  Ir   0    atau dengan r menyatakan rank dari matriks.  Ir 0    0 0 MEREDUKSI MATRIKS MENJADI BENTUK ESELON Ingat kembali tentang matriks eselon : 1. setiap baris yang semua unsurnya nol terletak sesudah baris yang mempunyai unsur tidak nol; 2. pada setiap baris yang mempunyai elemen tidak nol; elemen tidak nol yang pertama harus terletak di kolom sebelah kanan elemen tidak nol baris sebelumnya Reduksi menjadi bentuk eselon, dan berapa rank nya ?   1 2 1 1  H21(1)   A = 1  1 1 2  ~  2  3 1  1    1 2 1 1  H   31(2) 0 1 2 3 ~  2  3 1  1     1 2 1 1 H   32(-1)  0 1 2 3 ~  0 1 3 1    1 2 1 1   =U 0 1 2 3  0 0 1  2   Jadi bentuk eselon dari A adalah : Karena bentuk eselon U mempunyai tiga baris  1 2 1 1  U=0 1 2 3 yang tidak nol, maka r(U) = 3, dan tentu juga   r(A) = 3.    0 0 1  2 Reduksi menjadi bentuk eselon untuk matriks : 1 2 4    0 1 2    1 1  2   1 Bentuk eselon dari B adalah U =  0 0   1 2 4 H  21(2)  B =   2 3  6 ~   1 1  2    1  2 4 H31(1)  1  2 4  H   32(-1)   ~  0  1 2 ~  0  1 2 = U  0 0 0  0  1 2      2 4  Rank dari B adalah r(B) = 2  1 2 0 0  Reduksi menjadi bentuk eselon untuk matriks : 1  1 2   H21(-3)  3  2  2   ~ C=   2 1  4    1 0  6   1  1 2   H32(-1)   0 1  8 ~  0 0 0     0 1  8   1  1 1  1 2  1  1 2   H31(-2)   H41(-1)  0 1    0 1  8  0 1  8 ~ 0 1  2  1  4 ~  0 1  8      0 1  1 0  6  1 0  6      1  1 2  H42(-1)  0 1  8  = U Jadi r(C) = 2 ~ 0 0 0    0 0 0   2    8  8   8  Cari bentuk eselon daro matrik : A=  1  2 1 2     2 3  4 1   5 8  9 0   ~  1  2 1 2    0  1  2 5  0 0 0 0   ~ 1  2 1 2    0  1  2 5   0  2  4 10    r(A) = 2 DEKOMPOSISI MATRIKS A = L U Untuk sembarang matriks A dengan melakukan OBE tipe II dan III, matriks A tersebut dapat di dekomposisi sebagai A = L U, dengan L matriks segitiga bawah, dan U matriks eselon. Jika A matriks persegi, maka U ini adalah matriks segitiga atas. Dekomposisikan matriks A = LU, jika : 1 1 2 1  1 1 2 1    1 1 2 1  H32(1)   1 1 2 1   H H       A =  2 1 1 2  21(2)  0 3 5 4  31(-3)  0 3 5 4   0 3 5 4 = U ~ ~ ~   3 0 1  1   3 0 1  1  0  3  5  4  0 0 0 0         Ini berarti bahwa : A = E21(-2) E31(3) E32(-1) U = L U H32(1) H31(-3) H21(2) (A) = U Jadi  1 0 0   1 0 0   1 0 0   1 0 0  E32(1) E31(-3) E21(2) A = U L =   2 1 0   0 1 0   0 1 0  =   2 1 0   0 0 1   3 0 1   0  1 1   3  1 1  P A =U       P-1 P A = P-1 U   1 1 2 1   A = (E32(1) E31(-3) E21(2))-1 U A=LU dan U =  0 3 5 4   0 0 0 0   A = (E21(2))-1 (E31(-3))-1 (E32(1))-1 U Dekomposisikan menjadi A = LU, jika :  1 1 2   1 1 2   1 H  H21(1)   31(2)    1  2 0 ~  0 1 2 ~  0 A=  2  1  1 0 2  1  1       1 1  1  1 1  1 1        1 1 2   1 1 2  H   H42(2)  43(-1)  0  1 2  0  1 2 = U ~  ~  0 0 5 0 0 5      0 0 5  0 0 0     1 2  H41(1) 1 2 ~  1 3  1  1 H43(-1) H42(2) H32(1) H41(1) H31(2) H21(1) (A) = U E43(-1) E42(2) E32(1) E41(1) E31(2) E21(1) A = U Jadi L = E21(-1) E31(-2) E41(-1) E32(-1)  1 0 0 0  1 0 0 0  1 0 0 0        1 1 0 0  0 1 0 0  0 1 0 0 L =  0 0 1 0   2 0 1 0  0 0 1 0        0 0 0 1  0 0 0 1   1 0 0 1       E42(-2) E43(1)  1 0 0 0  1     0 1 0 0  0  0  1 1 0  0     0 0 0 1  0     1  0 0  0  Jadi : 1 0  1 1 L =  1  1  0 3  2  1 1  H32(1)  2 0 1 ~  0 0 1 3    0 2 2 1  1 1 2  2 5  1   1 1 0    0 1 0 dan U=   0 0 1 0   0 0   1 1 0 0 A=LU 0 0 0  1 0   1 0 0  0 1 0 1 0  0 0    2 0 1   0 0 0  1   0 =   1 0   1   1 1   0 0 0 1 0 0 0  1 0 0  1 1 0   3 1 1  2  2 5  0  MEREDUKSI MATRIK MENJADI BENTUK ESELON BARIS TEREDUKSI (EBT) Bentuk EBT adalah bentuk eselon yang : a. Elemen pivot harus 1, b. Elemen pivot merupakan satu-satunya unsur yg tidak nol pada kolom di mana elemen pivot berada  1 2 1 1    Reduksi A =  1  1 1 2  menjadi bentuk EBT !  2  3 1  1   Solusi : langkah awal, bawa A menjadi bentuk eselon terlebih dahulu, kemudian teruskan dengan OBE sehingga dua syarat di atas dipenuhi.  1 2 1 1    H21(1) A =  1 1 1 2 ~  2  3 1  1 H31(2)    1 0 3 5  H13(-3)   0 1 2 3  ~  0 0 1  2  H23(-2)    1  2  1  1   1 2 1 1 H  1 2 1 1   H12(2)   32(-1)   H1(-1)  0 1 2 3  ~  0 1 2 3 ~  0 1 2 3   0 1 3 1  0 0 1  2  ~  0 0 1  2       1 0 0 11  Jadi bentuk EBT dari A adalah :    1 0 0 11  0 1 0 7     0 0 1  2 0 1 0 7     0 0 1  2   Telah diketahui dari bentuk EBT, jika diteruskan dengan OKE, suatu matriks dapat di bawa nenjadi bentuk normal. Bentuk normal (N) suatu matriks kemungkinannya salah satu dari bentuk : Ir (Ir 0)  Ir   0    atau  Ir 0    0 0 Oleh karena itu, untuk sembarang matriks A, maka dengan OBE dan OKE dapat di bawa menjadi bentuk normal N, sedemikian hingga : Hp . . H3 H2 H1 A K1 K2 K3 . . KQ = N Ep . . E3 E2 E1 A F1 F2 F3 . . FQ = N P A Q =N Di mana P adalah hasil penggandaan (perkalian) matriks elementer baris dan Q adalah hasil penggandaan matriks elementer kolom. Bergantung pada cara melakukan OBE dan OKE, banyaknya matriks P dan Q tidak tunggal. Tetapi setiap P mempunyai tepat satu pasangan Q sehingga P A Q = N. Bagaimana mendapatkan matriks P dan Q sehingga P A Q = N ? Karena P merupakan hasil penggandaan matriks elementer baris, maka P dapat dicari dengan jalan melakukan OBE terhadap I (identitas) dengan tipe OBE yang sama terhadap A sedemikian hingga A tereduksi menjadi bentuk eselon atau bentuk eselon baris tereduksi (EBT). Pada saat A tereduksi menjadi bentuk eselon atau bentuk EBT, maka I (identitas) akan tereduksi menjadi matriks baru, yaitu matriks P. Jadi (A | I) ~ (U | P) Sedangkan Q merupakan hasil penggandaan matriks elementer kolom, maka Q dapat dicari dengan jalan melakukan OKE terhadap I (identitas) dengan tipe OKE yang sama terhadap A (yang telah tereduksi menjadi U), sedemikian hingga U ini tereduksi menjadi bentuk normal N. Pada saat U tereduksi menjadi bentuk normal N, maka I (identitas) akan Tereduksi menjadi matriks baru, yaitu matriks Q. U  N     Jadi    ~    I Q     1 1 1  2 3 3 2 4 2 2 1 2 Cari matriks P dan Q sehingga PAQ = N, jika A = Solusi : 1 1 1  2  (A | I3) =  3  3  2 4  2 2 1  2  1 0 0  H21(3)   1 1 1  2   ~ 0 0 1 2 0 1 0 0 0 1  H31(-2)  0 0  1 2  1 1 1  2  0 0 1 2 0 0 0 0  1 0 0  H 3 1 0  1(-1) ~  1 1 1 1  0 0 U        = 1 I  0  4  0  0 1 0 0   0 1  2 0 0 0  K21(1)  0 0 0 ~ 1 0 0  K43(2) 0 1 0  0 0 1 1  1  1 2  0 0 1  2 0 0 0 0  1  0 0  1 0  0  0 1 0 0  3 1 0  2 0 1   1 0 0 H  12(1) 3 1 0 ~  1 1 1 0 0 0  0 1 0 K 0 0 0  23  1 0 0 ~ 1 0 0  0 1 2  0 0 1 1  0 0  1 0  0  0 H32(1) ~ 1  1 0 0  0 0 1  2 0 0 0 0  0 0 0  1 0 0 0 0 0  0 1 0 = 0 1 0  1 0 2  0 0 1 2 1 0  3 1 0  = (U | P) 1 1 1   I2 O     O O  Q    = N   Q  2 1 0   Jadi P =  3 1 0   1 1 1   dan 1  0  Q= 0  0  0 1 0  0 1 0 1 0 2  0 0 1  serta N=  I2 O     O O Dapat di cek kebenarannya bahwa : P A Q = N Dari bentuk normalnya, dapat diketahui bahwa rank dari A adalah r(A) = 2. 1 2 2   Cari bentuk normal dari matriks B =  1 3 2    2  4  6   Solusi : 2 2  1  (B | I3) =  1 3 2  2  4  6  1 2 2  0 1 0 0 0 1  1 0 0  H21(-1)  ~ 0 1 0 0 0 1  H31(2) 0   1 1 0  = (U | P)  1 0  12  1 0 1 2 2  0 1 0 0 0  2  0 0  H3(-1/2)  1 1 0 ~ 2 0 1  1 U     I3  Jadi 1  0 0 =  1 0  0  2 1 0 0 1 0 2  0 1  0 0  1  K21(-2) ~ K31(-2) 1 0 0   P =  1 1 0   1 0  1  2 0  1 0   0 1 0   0 0 1   =   1  2  2  0 1 0   0 0 1    I3    Q  1  2  2   Q = 0 1 0  0 0 1    dan  1 0 0   N =  0 1 0  = I3  0 0 1   Dapat ditunjukkan bahwa PBQ = N = I.  1 2 2   Perhatikan kembali bahwa B =  1 3 2    2  4  6   Dapat dihitung det(B) = - 2 ≠ 0 Ini berarti r(B) = 3. Amati bahwa B matriks persegi dengan determinan ≠ 0, atau matriks B nonsingular, serta matriks B ini mempunyai bentuk normal berupa matriks I. Dengan kata lain, B ekivalen dengan matriks I. Jika A adalah matriks persegi yang nonsingular (determinannya tidak sama dengan nol), maka matriks A ekivalen dengan matriks I (identitas). Atau dengan kata lain, selalu ada matriks P dan Q sehingga PAQ = I Perhatikan kembali kasus matriks B, di atas, yaitu : 2 2 1 0 0 H 1 0 0  1 1 2 2 21(-1)     H3(-1/2) 1 3 2 0 1 0 0 1 0  1 1 0   (B | I3) =  ~   2  4  6  0 0  2  ~ 0 0 1 2 0 1 H    31(2)  1 2 2  0 1 0 0 0 1  1 2 2  0 1 0 0 0 1  0  1 1 0   1 0  12  1 1 0 0 H 12(-2)   0 1 1 0  ~ 0 1   1 0  2 1 0 = (U | P) Sampai di sini bisa saja diteruskan melakukan OBE, sehingga : 0 2 3 2 1 0 0 1 1 1 1 0 0  0  12  H13(-2)  1 0 0 ~  0 1 0 0 0 1  5 2 1 1 1 0 1   0  12  = (I3 | P) = (N | P) Amati bahwa B matriks persegi nonsingular, dengan hanya melakukan OBE, matrik B dapat direduksi menjadi bentuk normal N = I. Jika A adalah matriks persegi yang nonsingular (determinannya tidak sama dengan nol), dengan hanya melakukan OBE maka matriks A dapat direduksi menjadi matriks I (identitas). Atau dengan kata lain, selalu ada matriks P sehingga PA = I Jika A adalah matriks persegi yang nonsingular (determinannya tidak sama dengan nol), dapat juga ditunjukkan bahwa hanya melakukan OKE maka matriks A dapat direduksi menjadi matriks I (identitas). Atau dengan kata lain, selalu ada matriks Q sehingga A Q = I Dari uraian tersebut dapat disimpulkan, jika A matriks persegi nonsingular, selalu ada matriks nonsingular P dan Q sedemikian hingga : 1. P A Q = I (melakukan OBE dan OKE terhadap A) 2. P A = I (hanya melakukan OBE terhadap A) 3. A Q = I (hanya melakukan OKE terhadap A) Contoh Seorang ibu akan membuat 2 jenis kue. Bahan untuk membuat kue sudah disiapkan, yaitu 3 kg tepung dan 2 kg gula. Kue jenis A memerlukan 150 gram tepung dan 50 gram gula, sedangkan kue jenis B memerlukan 100 gram tepung dan 100 gram gula. Berapa banyak kue jenis A dan kue jenis B yang dapat dibuat dengn bahan yang tersedia ? Jawab : Permasalahan tersebut dapat disusun seperti pada tabel berikut. Misalkan, kue A = x kue B = y Keterangan Kue A Kue B Persediaan Tepung 150 100 3000 Gula 50 100 2000 Persamaan linear yang dapat dibentuk dari model tersebut adalah 150x + 100y = 3000 50x + 100y = 2000 ....... (1) Sederhanakan persamaan (1) menjadi 3x + 2y = 60 x + 2y = 40 ....... (2) Selanjutnya, sistem persamaan linear ini diselesaikan dengan menggunakan invers matriks sebagai berikut. Zoel dan Ade pergi ke kios pulsa. Zoel membeli 3 buah kartu perdana A dan 2 buah kartu perdana B. Untuk itu Zoel harus membayar Rp. 53.000,-. Ade membeli 2 buah kartu perdana A dan sebuah kartu perdana B, Ade harus membayar Rp. 32.500,-. Tentukan harga sebuah kartu perdana A dan harga sebuah kartu perdana B. Jawab : Buatlah table untuk masalah tersebut di atas Misalkan, harga sebuah kartu perdana A adalah x rupiah dan harga sebuah kartu perdana Keterangan Kartu Perdana A Kartu Perdana B Harga Zoel 3 2 Rp 53.000,- Ade 2 1 Rp 32.500,- Misalkan, harga sebuah kartu perdana A adalah x rupiah dan harga sebuah kartu perdana B adalah y rupiah. Sistem persamaan linear dari masalah tersebut adalah 3x + 2y = 53000 2x + y = 32500 Bentuk matriks dari sistem persamaan linear tersebut adalah