Notas de Aula -FIS32

Notas de Aula - FIS32 Lara Kuhl Teles 21 de julho de 2008 2 Sumário 0 Tópicos matemáticos 9 0.1 Teoremas e propriedades de Cálculo Vatorial . . . . . . . . . . 0.2 Propriedades de Divergente, Rotacional e Gradiente . . . . . . 10 1 Introdução 9 11 1.1 Forças elétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Propriedades da carga elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Lei de Coulomb 15 2.1 A Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Princı́pio de Superposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Campo Elétrico 19 3.1 O Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Distribuições Contı́nuas de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.1 Tipos de Distribuições: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3 Linhas de Forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 Fluxo 3.5 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Aplicando A Lei De Gauss: . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.6 Aplicações da Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.7 Divergência de um vetor e Equação de Poisson . . . . . . . . . 38 3.8 Teorema de Gauss e forma diferencial da Lei de Gauss . . . . 44 3 4 SUMÁRIO 4 Potencial Eletrostático 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1.1 4.2 Cálculo do pontencial eletrostático gerado por uma carga pontual q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Cálculo do Campo a partir do potencial 4.3.1 4.4 Recordação da Mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Definição do Potencial eletrostático . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2.1 4.3 51 . . . . . . . . . . . . 54 Equipontenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Potencial de uma distribuição de cargas . . . . . . . . . . . . . 55 4.4.1 Anel isolante uniformemente carregado . . . . . . . . . 56 4.4.2 Disco uniformemente carregado: a uma distância z do centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.4.3 Disco uniformemente carregado: Cálculo no Bordo . . . 58 4.4.4 Casca esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.5 Dipolo elétrico e expansão multipolar dos campos elétricos . . 60 4.6 Circulação do campo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5 Equações da Eletrostática e Energia 69 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.2 Equações de Laplace e Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.3 Resumo das equações da eletrostática . . . . . . . . . . . . . . 70 5.4 Condições de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.5 5.4.1 Relação entre campos logo acima e abaixo de uma superfı́cie carregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.4.2 Relação entre os potenciais . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.4.3 Alguns outros comentários . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Exemplos de aplicação das Equações de Poisson e Laplace . . 74 5.5.1 5.6 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Energia Potencial Eletrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.6.1 Energia Potencial Eletrostática de uma distribuição de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5 SUMÁRIO 5.6.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.6.3 Relação entre Energia e Campo Elétrico . . . . . . . . 80 5.6.4 Princı́pio da Superposição . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6 Condutores 85 6.1 Breve Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.2 Propriedades dos Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.3 Carga Induzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.3.1 6.4 O campo numa cavidade de um condutor . . . . . . . . 87 Método das Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.4.1 Carga e o Plano Condutor Aterrado . . . . . . . . . . . 92 6.4.2 Densidade De Carga Induzida Na Superfı́cie Do Plano 93 6.5 Poder das Pontas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.6 Carga Na Superfı́cie e Força Em Um Condutor . . . . . . . . . 96 7 Capacitores 97 7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.2 Energia de um capacitor carregado . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.3 Cálculos de Capacitâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.4 7.3.1 Capacitor de placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . 99 7.3.2 Capacitor Cilı́ndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.3.3 Capacitor Esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Associação de Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.4.1 Capacitores em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.4.2 Capacitores em Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8 Dielétricos 109 8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.2 Campo no interior de um dielétrico . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.2.1 moléculas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.2.2 moléculas apolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6 SUMÁRIO 8.3 8.4 8.5 8.6 Polarização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.3.1 Definição do vetor Polarização . . . . . . . . . . . . . . 111 8.3.2 Susceptibilidade Elétrica e constante dielétrica . . . . 113 Lei de Gauss e vetor deslocamento elétrico . . . . . . . . . . . 114 Energia eletrostática em dielétricos . . . . . . . . . . . . . . 116 Condições de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 9 Corrente elétrica e Resistência 9.1 Transporte de Carga e Densidade de Corrente . . . . . . . . . 121 9.1.1 9.2 9.5 . . . . . . . . . . 121 Caso De Corrente Estacionária . . . . . . . . . . . . . 126 Condutividade Elétrica e a Lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . 127 9.3.1 9.4 Conceito De Densidade De Corrente Equação da Continuidade da Carga elétrica . . . . . . . . . . 124 9.2.1 9.3 121 Um Modelo Para a Condução Elétrica . . . . . . . . . 127 Associação de Resistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 9.4.1 Associação em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 9.4.2 Associação em Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Força Eletromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 9.5.1 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 9.5.2 Potência Máxima Transmitida . . . . . . . . . . . . . . 138 9.6 Leis de Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 9.7 Circuito R-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 9.7.1 Carregando um capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 9.7.2 Descarregando um capacitor . . . . . . . . . . . . . . . 144 10 Magnetostática 149 10.1 Campo Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 10.2 Força magnética em fios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 10.3 Torque em espiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 10.4 O Movimento Cyclotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 10.5 A Ausência de monopolos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . 159 SUMÁRIO 7 10.6 O Efeito Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 10.7 A Lei de Biot Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 10.7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 10.7.2 Formas Alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 10.7.3 Aspectos Interessantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 10.7.4 Aplicações da Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . 166 10.8 A Lei Circuital de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 10.8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 10.8.2 A forma diferencial da Lei de Ampère . . . . . . . . . . 174 10.8.3 Aplicações da Lei de Ampère . . . . . . . . . . . . . . 175 10.9 Potencial Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 10.10Condições de Contorno na Magnetostática . . . . . . . . . . . 189 10.10.1 Componente perpendicular à superfı́cie . . . . . . . . . 190 10.10.2 Componente paralela à superfı́cie e paralela à direção da corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.10.3 Componente paralela à superfı́cie e perpendicular à direção da corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 10.11Expansão em multipólos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 11 Lei da Indução 195 11.1 O Fluxo Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 11.2 A Lei de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 11.3 Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 11.4 Efeitos Mecânicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 11.4.1 As correntes de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 11.4.2 Atrito Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 11.4.3 Canhão Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 11.5 Indutância Mútua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 11.6 Auto-Indutância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 11.7 Associação de Indutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 11.7.1 Dois indutores em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 8 SUMÁRIO 11.7.2 Dois indutores em paralelo 11.8 Circuito R-L . . . . . . . . . . . . 11.9 Circuito L-C . . . . . . . . . . . . 11.10Analogia com sistema mecânico . 11.11Circuito R-L-C . . . . . . . . . . 11.11.1 Subcrı́tico . . . . . . . . . 11.11.2 Crı́tico . . . . . . . . . . . 11.11.3 Supercrı́tico . . . . . . . . 11.12Energia em Campos Magnéticos . 12 Equações de Maxwell 12.1 Introdução . . . . . . . . . . . 12.2 Modificação na lei de Ampère 12.3 Equações de Maxwell . . . . . 12.3.1 Forma diferencial . . . 12.3.2 Forma integral . . . . 12.4 Equações de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Materiais Magnéticos 13.1 Propriedades Magnéticas da Matéria . . . 13.2 Momentos magnéticos e Momento angular 13.3 Materiais Diamagnéticos . . . . . . . . . . 13.4 Materiais Paramagnéticos . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . 13.5 Magnetização e o campo H 13.6 Materiais Magnéticos Lineares . . . . . . . 13.7 Materiais Ferromagnéticos . . . . . . . . . 13.8 Energia em meios magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 216 218 221 222 224 224 224 225 . . . . . . 231 . 231 . 233 . 237 . 237 . 238 . 238 . . . . . . . . 241 . 241 . 243 . 247 . 248 . 249 . 253 . 254 . 257 Capı́tulo 0 Tópicos matemáticos 0.1 Teoremas e propriedades de Cálculo Vatorial Teorema 1 (Teorema de Stokes). Seja S uma superfı́cie de bordo γ = ∂S e seja F~ um campo de classe C 1 . Então: I F~ d~l = ZZ ~ × F~ dS ~ ∇ (1) S γ=∂S Demonstração. Encontrada em qualquer referência de Cálculo Vetorial Teorema 2 (Teorema da Divergência ou de Gauss). Seja R uma região do espaço de bordo γ = ∂R e seja F~ um campo de classe C 1 . Então: ZZZ R →→ ∇F dv = ZZ ~ F~ dS (2) ∂R Demonstração. Encontrada em qualquer referência de Cálculo Vetorial Tais Teoremas são de extrema importância pois facilitam em determinadas situações o cálculo de um dos membros das equações por meio do ou9 10 CAPÍTULO 0. TÓPICOS MATEMÁTICOS tro, que pode ser obtido por um método de integração mais rápido e menos propı́cio a erros. 0.2 Propriedades de Divergente, Rotacional e Gradiente 1) o divergente de um rotacional vale sempre zero, quaisquer que sejam os vetores associados. 2) o rotacional de um gradiente vale sempre zero, qualquer que seja o campo escalar associado. Capı́tulo 1 Introdução 1.1 Forças elétricas Consideremos uma força análoga à gravitação que varie com o inverso do quadrado da distância, mas que seja bilhões de bilhões de bilhões de vezes mais intensa. E com outra diferença: que haja duas classes de ”matéria”que poderı́amos chamar de positiva e negativa. Se são da mesma classe se repelem e se são de classes distintas se atraem, diferentemente de gravitação que é só atrativa. Um conjunto de elementos positivos se repelem com uma força enorme, o mesmo ocorrendo com um conjunto de elementos negativos. Os elementos opostos são mantidos juntos por uma força enorme de atração. Estas terrı́veis forças se equilibrarão perfeitamente e formarão uma mescla de elementos positivos e negativos intimamente mesclados entre si de tal modo que duas porções separadas não sentirão nem atração nem repulsão entre elas. Uma força como esta existe e é chamada de força elétrica. E toda a matéria é uma mescla de prótons positivos e elétrons negativos que estão se atraindo e repelindo com uma grande força. Mas, há um equilı́brio tão perfeito que com relação ao conjunto não se sente nenhuma força resultante. Atualmente, sabemos que as forças elétricas determinam em grande parte, 11 12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO as propriedades fı́sicas e quı́micas da matéria em toda a faixa que vai desde o átomo até a célula viva. Temos de agradecer por este conhecimento dos cientistas do século XIX: Ampère, Faraday, Maxwell e muitos outros que descobriram a natureza do eletromagnetismo; bem como fı́sicos e quı́micos do século XX que revelaram a estrutura atômica da matéria. O eletromagnetismo clássico estuda as cargas e correntes elétricas e suas ações mútuas, como se todas as grandezas envolvidas pudessem ser medidas independentemente, com precisão limitada. Nem a revolução da fı́sica quântica, nem o desenvolvimento da relatividade especial deslustraram as equações do campo eletromagnético que Maxwell estabeleceu há mais de cem anos atrás. Evidentemente, a teoria estava solidamente baseada na experimentação, e por causa disso era muito segura dentro dos limites do seu campo de aplicação original. No entanto, mesmo um êxito tão grande não garante a validade num outro domı́nio, por exemplo, no interior de uma molécula. Dois fatos ajudam a explicar importância contı́nua da teoria clássica do eletromagnetismo na fı́sica moderna. Primeiro, a relatividade restrita não exigiu nenhuma revisão do eletromagnetismo clássico. Cronologicamente, a relatividade especial nasceu do eletromagnetismo clássico e das experiências inspiradas por ele. As equações de Maxwell, deduzidas muito antes dos trabalhos de Lorentz e Einstein revelaram-se inteiramente compatı́vel com a relatividade. Em segundo lugar, as modificações quânticas das forças eletromagnéticas revelaram-se sem importância até distâncias da ordem de 10−10 cm, cem vezes menores que o átomo. Podemos descrever a repulsão e atração de partı́culas no átomo utilizando as mesmas leis que se aplicam ás falhas de um eletroscópio, embora necessitemos da mecânica quântica para prever o comportamento sob ação dessas forças. Segundos relatos históricos, já ao tempo da Grécia Antiga se tinha conhecimento de que o âmbar (uma espécie de resina denominada de elétron na lı́ngua grega), uma vez friccionado com lã, adquiria a propriedade de atrair pequenos fragmentos de papel, fiapos de tecidos, etc. Nenhum progresso 1.2. PROPRIEDADES DA CARGA ELÉTRICA 13 substancial ocorreu todavia nesse assunto até o século XVIII, quando se descobriu que o vidro friccionado com um pano de seda também apresentava propriedades semelhantes a do âmbar. Estas observações levaram a admitir duas espécies de eletricidade: a vı́trea e a resinosa. Ainda dessas observações decorram as leis elementares da eletrostática, a saber: a) Eletricidades de mesmo nome se repelem b) Eletricidades de nomes diferentes se atraem. Benjamin Franklin foi o primeiro a falar em eletricidade positiva (a vı́trea) e eletricidade negativa (a resinosa). Hoje sabemos que esses efeitos são devidos à existência do que chamamos de carga elétrica. Embora a carga elétrica não seja definida sabemos que ela é uma caracterı́stica das partı́culas fundamentais que constituem os átomos. 1.2 Propriedades da carga elétrica Uma propriedade fundamental da carga elétrica é a sua existência nas duas espécies que há muito tempo foram chamadas de positivas e negativas. Observouse o fato de que todas as partı́culas eletrizadas podem ser divididas em duas classes, de tal forma que todos os componentes de uma classe se repelem entre si, a o passo que atraem is componentes de outra classe. Se A e B repelem-se e A atrai um terceiro corpo eletrizado C, então B atraiu C. Não podemos dizer com certeza, porque prevalece esta lei universal. Mas hoje os fı́sicos tendem a considerar as cargas positivas e negativas, fundamentalmente como manifestações opostas de uma qualidade assim como direito e esquerdo, manifestações opostas de lado. O que nós chamamos de carga negativa poderia ter sido chamada de positiva e vice-versa. A escolha foi um acidente histórico. A segunda propriedade é um dos princı́pios fundamentais da Fı́sica: O Princı́pio da conservação da carga elétrica. Esse princı́pio é equivalente ao 14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO POSTULADO DA TEORIA. A carga total, num sistema isolado, nunca varia. (sistema isolado = nenhuma matéria atravessa os limites do sistema). Observação 1.1. Podemos ter a criação de pares de cargas positivas e negativas, mas uma carga positiva e negativa, mas uma carga positiva ou negativa não pode simplesmente desaparecer ou aparecer por si só. A terceira propriedade está relacionada com a quantidade da carga. A experiência da gota de óleo de Millikan, e diversas outras, demonstram que a carga elétrica aparece a natureza em múltiplos de um único valor unitário. Essa intensidade é representada por e 1 , a carga eletrônica. Experiências mostram que a carga do próton e do elétron são iguais com uma precisão de 1 para 10−20 . De acordo com as odeias atuais, o elétron e o próton e o próton são tão diferentes entre si como o podem ser quaisquer outras partı́culas elementares. Ninguém entende ainda porque suas cargas devam ser iguais até um grau tão fantástico de precisão. Evidentemente a quantização da carga é uma lei profunda e universal da natureza. Todas as partı́culas elementares eletrizadas, até o ponto em que podemos determinar, têm cargas de magnitudes rigorosamente iguais. Observação 1.2. Nada na eletrodinâmica requer que as cargas sejam quantizadas este é um fato. Observação 1.3. Prótons e nêutrons são compostos de três quarks, cada qual com cargas fracionadas ± 23 e e ± 13 e . No entanto, quarks livres parecem não existir na natureza, de qualquer forma isto não alteraria o fato da carga ser quantizada, só reduziria o módulo da unidade básica. Observação 1.4. Por outro lado, a não-conservação da carga (Propriedade 2) seria totalmente incompatı́vel com a estrutura da teoria eletromagnética atual. 1 e= 1, 6.10−19 C Capı́tulo 2 Lei de Coulomb 2.1 A Lei de Coulomb Você provavelmente já sabe que a interação de cargas elétricas em repouso é regida pela lei de Coulomb, que nos diz que entre duas cargas em repouso há uma força diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa. A força se dá na direção da reta que une as duas cargas. → F1 = → 1 q1 q2 r̂1,2 = − F2 2 4πǫo r1,2 (2.1) → F1 = força que age sobre a partı́cula 1 r̂1,2 = versor na direção de q1 e q2 r1,2 = distância entre q1 e q2 No sistema CGS ou MES: k0 vale aproximadamente um (1) h →i F = dina 1C = 2, 998.109 MES Quando temos mais de duas cargas devemos complementar a lei de Coulomb com outro jeito da natureza: o princı́pio da superposição. 15 16 CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB Figura 2.1: Força elétrica entre duas cargas 2.2 Princı́pio de Superposição Considere o sistema constituı́do de n cargas puntiformes q0 , q1 , q2 ....qn . Podemos calcular a força elétrica resultante sobre qualquer uma das cargas aplicando o Princı́pio da Superposição. Suponha que desejamos calcular o vetor força elétrica resultante sobre a carga q0 . Para isso, determinaremos a força que cada uma das cargas exerce sobre q0 e em seguida somamos todas as contribuições. A força resultante sobre q0 será: → → → → F0 =F0,1 + F0,2 +....+ F0,n (2.2) → Sendo F0,n a força devido a qn O Princı́pio da Superposição estabelece que a interação entre quaisquer duas cargas não é afetada pela presença das outras. Assim, n X qi F0 = K0 q0 r̂ 2 0,i r 0,i i=1 → Reescrevendo: (2.3) 17 2.2. PRINCÍPIO DE SUPERPOSIÇÃO → F0 = K0 q0 n X i=1 qi | → ri − → (ri → 3 r0 | → − r 0) (2.4) 18 CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB Capı́tulo 3 Campo Elétrico 3.1 O Campo Elétrico Suponhamos uma distribuição de cargas q1 , q2 ,..., qn fixas no espaço, e vejamos não as forças que elas exercem ente si, mas apenas os efeitos que produzem sobre alguma outra carga q0 que seja trazida às suas proximidades. Sabemos que a força sobre q0 é: F~o = Ko n X qo qi i=1 → 2 ro,i r̂o,i Assim, se dividirmos F 0 por q0 teremos: n X qi F~o = Ko r̂ 2 o,i qo r o,i i=1 (3.1) uma grandeza vetorial que depende apenas da estrutura do sistema original de cargas q1 , q2 ,..., qn e da posição do ponto (x,y,z). Chamamos essa função vetorial de x,y e z de campo elétrico criado por q1 , q2 ,..., qn e usa→ mos o sı́mbolo E . As cargas são chamadas fontes do campo. Desta forma 19 20 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO definimos o campo elétrico de uma distribuição de cargas no ponto (x,y,z): ~ E(x, y, z) = Ko n X qi r̂ 2 o,i r o,i i=1 (3.2) ~ F~o = qo E (3.3) Note que utilizamos como condição que as cargas fontes do campo estavam fixas, ou seja, que colocar a carga q0 no espaço não perturbará as posições ou movimento de todas as outras cargas responsáveis pelos campos. Muitas pessoas, às vezes, definem o campo impondo à q0 a condição de → ~ ser uma carga infinitesimal e tomando E como: lim qFo qo →0 Cuidado! Na realidade este rigor matemático é falso. Lembre-se que no mundo real não há carga menor que e! → Se considerarmos a Equação 3.2 como definição de E , sem referência a uma carga de prova, não surge problema algum e as fontes não precisam ser fixas. Casa a introdução de uma nova carga cause deslocamento das cargas fontes, então ela realmente produzirá modificações no campo elétrico e se quisermos prever a força sobre a nova carga, devemos utilizar o campo elétrico para calculá-la. Conceito de campo: um campo é qualquer quantidade fı́sica que possue valores diferentes em pontos diferentes no espaço. Temperatura, por exemplo, é um campo. Nesse caso um campo escalar, o qual nós escrevemos como T(x,y,z). A temperatura poderia também variar com o tempo, e nós poderı́amos dizer que a temperatura é um campo dependente do tempo e escrever T(x,y,z,t). Outro exemplo é o campo de velocidade de um lı́quido → fluindo. Nós escrevemos v =(x,y,z,t) para a velocidade do lı́quido para cada ponto no espaço no tempo t. esse é um campo vetorial. Existem várias idéias criadas com a finalidade de ajudar a visualizar o comportamento dos campos. A mais correta é também a mais abstrata: nós simplesmente considerarmos os campos como funções matemáticas da posição e tempo. 21 3.2. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA O campo é uma grandeza vetorial e na unidade no SI é Se tivermos somente uma carga: N (Newton/Coulumb). C ~ = Ko q r̂ E r2 Observação 3.1. Campo elétrico é radial e cai com a distância ao quadrado O Princı́pio da superposição também é aplicado para os campos elétricos, ou seja, o campo elétrico resultante em um ponto P qualquer será a soma dos campos elétricos que cada uma das cargas do sistema gera nesse ponto. ~ =E ~1 + E ~ 2 + ... + E ~n E 3.2 Distribuições Contı́nuas de Carga Figura 3.1: Distribuições contı́nuas de carga ~ = Usando o Princı́pio da Superposição: E 3.2.1 R ~ =Ko dE R dq r̂ r2 Tipos de Distribuições: a) linear: carga distribuı́da ao longo de um comprimento (ex: fio, barra, anel). dq Densidade linear de carga = λ = dl dq = λdl 22 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO ~ = Ko E R λdl r̂ r2 b) superficial: carga distribuı́da ao longo de uma superfı́cie(ex: disco,placa). dq Densidade superficial de carga = σ = ds dq = λds R ~ = Ko σds E 2 r̂ r c) volumétrica: carga distribuı́da no interior de um volume(ex: esfera, cubo, cilindro). dq Densidade volumétrica de carga = ρ = dv dq = ρdv R ~ = Ko ρdv E 2 r̂ r Exercı́cio 3.1. Determinar o campo elétrico no ponto P. Figura 3.2: Determinação do campo no ponto P ~P = Resolução. Se tomarmos limite quando b>>L temos: E = carga pontual Ko λL b2 = Ko Q N b2 C 3.2. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA 23 Colocando uma carga q no ponto P, a força é dada por: ~ P = qKo λL îN F~ = q E b(b − L) Quando lim b >> L temos: qQ F~ = Ko 2 î = força de Coulomb entre duas cargas pontuais q e Q b Observação 3.2. Só funciona para matérias isolantes. Com os metais terı́amos uma redistribuição de carga no condutor quando a presença da carga q. Exercı́cio 3.2. Determinar o campo elétrico no ponto P. Figura 3.3: Determinação do campo no ponto P 24 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO Exercı́cio 3.3. Calcular o campo elétrico a uma distância z de um anel de raio R Figura 3.4: Anel de raio R Resolução. k~rk = z 2 + R2 dEz = dE cos α = dl = Rdθ z λRdθ √ 2 2 z + R z 2 + R2 Por simetria só teremos componente na direção z. Z2π λRdθ z ~ = k0 zRλ2π 3 k̂ k̂ ⇒ E 2 2 2 +R z +R (z 2 + R2 ) 2 0   Qzλ 2πk0 λRz N ~ = E= 3 k̂ 3 k̂ C (z 2 + R2 ) 2 (z 2 + R2 ) 2 ~ = k0 E √ z2 Analisando os limites R → ∞ e z >> R: 3.2. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA 25 2πλRk0 z k0 Q = 2 = carga puntual 3 z z 1 R → ∞:E → 0, com 3 se Q for fixa R 1 com 3 se λ constante R z >> R : E = Exercı́cio 3.4. Calcular o campo elétrico a uma distância z de um disco com densidade de carga σ. Figura 3.5: Anel de raio R Resolução. Pela simetria só temos componente na direção z. 26 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO ds = rdθdr dEz = dE cos α = dE √ Ez = k0 Z2π ZR 0 2 0 z r2 + z 2 zσrdθdr √ = k0 zσ2π 2 r + z 2 (r2 + z 2 ) 2 r +z =u ZR 0 rdr 3 (r2 + z 2 ) 2 du = 2rdr 2 +z 2 RZ −1 R2 +z 2 u2 Ez = k0 zσ2π 3 = k0 zσπ − 21 2 (u) 2 z 2 z     z 1 z 1 = 2πk0 σ −√ − Ez = −k0 zσ2π √ |z| R2 + z 2 |z| R2 + z 2 du Analisando os limites: z << R : Ez = σ z 2ε0 |z|  σ  , z>0  ~ = 2ε0 E σ  − , z<0 2ε0 z >> R : − 12    R2 1 R2 1 R2 z =1+ 1+ 2 + ... ≈ =1− 1− 1− √ z 2 z2 2 z2 z 2 + R2 σ R2 σπR2 Q ⇒ Ez = = = 2 2 2ε0 2z 4πε0 z 4πε0 z 2 3.2. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA    σ z   , z>0  2ε 1 − √ 2 z + R2 0   Ez =  σ z   −1 − √ , z<0 2ε0 z 2 + R2 Fazendo os gráficos: z << R Figura 3.6: Gráfico para z << R z >> R Figura 3.7: Gráfico para z >> R 27 28 3.3 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO Linhas de Forças Os esquemas mais utilizados para a representação e visualização de um campo elétrico são: a) Uso de vetores associamos um vetor a cada ponto do espaço Figura 3.8: Linhas de força-vetores Quando q > 0 o campo é divergente. Simples campo radial proporcional ao inverso do quadrado da distância. b) Desenhar as linhas de campo: Linhas de força de um campo, ou simplesmente linhas de campo são retas ou curvas imaginárias desenhadas numa região do espaço, de tal modo que, a tangente em cada ponto fornece a direção e o sentido do vetor campo elétrico resultante naquele ponto. As linhas de campo fornecem a direção e o sentido, mas não o módulo. No entanto, é possı́vel ter uma idéia qualitativa do módulo analisando as linhas. A magnitude do campo é indicada pela densidade de linhas de campo. Exemplo 3.1. carga puntual +q Atenção: o desenho está definido em duas dimensões, mas na realidade representa as três dimensões. 29 3.3. LINHAS DE FORÇAS Figura 3.9: Linhas de força de um campo Figura 3.10: Carga pontual + q Se considerássemos duas dimensões, a densidade de linhas que passam através de uma circunferência seria igual a n 2πr , o que faria com que E∝ 1 r Caso 3D a densidade seria igual a n 4πr2 e E∝ 1 r2 30 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO , o que é correto. Existem algumas regras para desenhar as linhas: 1) As linhas de campo nunca se cruzam. Caso contrário, terı́amos dois sentidos diferentes para o campo no mesmo ponto. Isto não faz sentido pois o campo que elas significam é sempre o resultante. 2) As linhas de campo começam na carga positiva e terminam na carga negativa, ou no infinito. 3) O número de linhas é proporcional ao módulo das cargas. Q1 n1 = Q2 n2 Figura 3.11: Linhas de Campo Exemplo 3.2. 3.4 Fluxo Consideremos uma região no espaço, onde existe um campo elétrico como na figura abaixo: Uma superfı́cie de área A perpendicular a direção de E. O fluxo através desta superfı́cie é: f = EA 31 3.4. FLUXO Figura 3.12: Fluxo na área A Se esta superfı́cie estiver na mesma direção de   ~ ~ E ~a⊥E Figura 3.13: Fluxo na área A Se esta superfı́cie estiver inclinada em relação as linhas de campo em um ângulo θ Considere agora, uma superfı́cie fechada qualquer. Divida a superfı́cie em pedacinhos, de tal forma que cada um possa ser considerado plano e o vetor 32 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO Figura 3.14: Fluxo na área A campo não varie apreciavelmente sobre um trecho. Não deixe que a superfı́cie seja muito rugosa nem que essa passe por uma singularidade. (ex: carga puntiforme) Figura 3.15: Superfı́cie A área de cada trecho tem certo valor e cada uma define univocamente uma direção e sentido, a normal à superfı́cie orientada para fora. Para cada → trecho, temos um vetor a j que define sua área e orientação. 33 3.5. LEI DE GAUSS → → O fluxo através desse pedaço de superfı́cie é dado por: Φ =E j . a j E o fluxo através de toda a superfı́cie: Φ = P → → Ej . a j j Tornando os trechos menores, temos: Φ = 3.5 R → → E .d a em toda a superfı́cie Lei de Gauss Tomemos o caso mais simples possı́vel: o campo de uma única carga puntiforme. Qual é o fluxo Φ através de uma esfera de raio r centrada em q? Figura 3.16: Fluxo devido a uma carga puntiforme 34 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO ~ = k0 q r̂ E r2 d~a = r2 senθdθdϕr̂ ZZ I q ~ · d~a = k0 2 r2 senθdθdϕr̂ Φ= E r s = k0 q s Zπ Z2π 0 senθdθdϕ = 0 = 4πk0 q = 4πq q = 4πε0 ε0 Ou simplesmente: E × area total = k0 q q 4πr2 = 2 r ε0 Portanto o fluxo não depende do tamanho da superfı́cie gaussiana. Agora imagine uma segunda superfı́cie, ou balão, mas não esférica envolvendo a superfı́cie anterior. O fluxo através desta superfı́cie é o mesmo do que através da esfera. Figura 3.17: Fluxo devido a uma carga puntiforme 3.5. LEI DE GAUSS 35 Para ver isto podemos considerar a definição de linhas de campo: O número de linhas que atravessam as duas superfı́cies é o mesmo. Ou então podemos considerar um cone com vértice em q. Figura 3.18: Comparação de fluxos O fluxo de um campo elétrico através de qualquer superfı́cie que envolve q uma carga puntiforme é εo Corolário 3.1. Fluxo através de uma superfı́cie fechada é nulo quando a carga é externa à superfı́cie. O fluxo através de uma superfı́cie fechada deve ser independente do seu tamanho e forma se a carga interna não variar. Superposição: Considere um certo número de fontes q1 , q2 , ..., qn e os campos de cada uma ~ 1, E ~ 2 , ..., E ~n E O fluxo Φ , através de uma superfı́cie fechada S, do campo total pode ser escrito: 36 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO Φ= I S I I ~ · d~s = E ~1 + E ~ 2 + ... + E ~ n )·d~s (E S S ~ i · d~s = qi ⇒ Φ = q1 + q2 + ... + qn = qint E ε0 ε0 ε0 LEI DE GAUSS: → O fluxo do campo elétrico E através de qualquer superfı́cie fechada é igual à carga interna dividida por ǫ0 . I S ~ i · d~s = qint E ε0 Pergunta: A lei de Gauss seria válida se ~ ∝ 1 E r3 ? Não, pois: ~ ·A ~ = EAtotal = k0 Φ=E q q 2 4πr = r3 ε0 r Por meio da lei de Gauss é possı́vel calcular a carga existente numa região dado um campo. Esta lei simplifica problemas complicados, porém limitados a sistemas que possuem alta simetria. 3.5.1 Aplicando A Lei De Gauss: 1) Identifique as regiões para as quais E deve ser calculado. 2) Escolha superfı́cies gaussianas observando a simetria do problema, → preferencialmente com E perpendicular e constante ou E paralelo. 3) Calcule Φ= I S ~ i · d~s E 37 3.6. APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS 4) Calcule qint → 5) Aplique a Lei de Gauss para obter E Figura 3.19: Simetrias mais comuns 3.6 Aplicações da Lei de Gauss É essencial que a distribuição tenha elemento de simetria (plana, axial, esférica) de tal forma que se possa exprimir o fluxo tatalo através de uma superfı́cie gaussiana fechada judiciosamente escolhida para aproveitar a simetria, em termos de magnitude do campo, a mesma em qualquer ponto desta superfı́cie. Plano Uniformemente Carregado Fio Cilı́ndrico de densidade linear λ Casca Esférica O campo elétrico externo à camada é o mesmo que se toda a carga da esfera estivesse concentrada no seu centro. CAMPO ELÉTRICO NA SUPERFÍCIE DE UM CONDUTOR A carga pode deslocar-se livremente no interior de um meio condutor. No equilı́brio não pode haver cargas no interior do condutor, pois as cargas se deslocariam sob a ação do campo, rompendo o equilı́brio estático. Só é possı́vel ter componente do campo normal à superfı́cie. 38 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO Figura 3.20: Plano Uniformemente Carregado Figura 3.21: Fio Cilı́ndrico de densidade linear λ 3.7 Divergência de um vetor e Equação de Poisson A lei de Gauss é um indicador global de presença de cargas: Φ= I S ~ · d~s = qint E ε0 3.7. DIVERGÊNCIA DE UM VETOR E EQUAÇÃO DE POISSON 39 Figura 3.22: Casca esférica Queremos agora achar um indicador local que analise a presença de fontes num ponto P. Considere um ponto P: Vamos colocar uma gaussiana ∆Σ de volume infinitesimal ∆V, a carga dentro deste volume é ρ∆V, então: Φ∆Σ = I ∆Σ ~ s = qint = E.d~ ε0 Z V 1 ρ∆V ⇒ ε0 ∆V 1 lim ∆V →0 ∆V I ∆Σ I ~ s= 1 E.d~ ∆V Z ρ∆V ε0 V ~ s = ρ(P ) E.d~ ε0 (3.4) Este limite caracteriza que a densidade de fontes do campo em P independe de ∆Σ e é uma caracterı́stica local do campo. Para um vetor qualquer, definimos a divergência como sendo: 1 ∆V →0 ∆V ~ v = lim div~v (P ) = ∇.~ I ~v .d~s → onde ∆V é um volume arbitrário que envolve o ponto P e d s (elemento orientado de superfı́cie). De acordo com a Equação 3.4 40 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO Figura 3.23: Esquema para aplicação da Lei de Gauss 3.7. DIVERGÊNCIA DE UM VETOR E EQUAÇÃO DE POISSON 41 Figura 3.24: Continuação Figura 3.25: Gaussiana e volume infinitesimal ~ E ~ = ρ ∇. εo Equação de Poisson ou a forma local da Lei de Gauss → → O divergente de E num ponto P é o fluxo para fora de E por unidade de volume nas vizinhanças do ponto P. Mas sempre que for calcular o divergente nós temos que calcular pela definição? 42 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO Figura 3.26: Paralelepı́pedo infinitesimal ~ v = lim 1 ∇.~ ∆V →0 ∆V I ~v .d~s Não. Vamos ver a forma do ~ v ∇.~ em coordenadas cartesianas: Segundo a definição ∆V é qualquer. Vamos considerar um paralelepı́pedo de lados ∆x, ∆y e ∆z centrado no ponto P (x,y,z). → Vamos calcular o fluxo de v na face 2: vx (2).∆y.∆z 3.7. DIVERGÊNCIA DE UM VETOR E EQUAÇÃO DE POISSON 43 → Fluxo v na face 1: −vx (1).∆y.∆z Observe que vx (2) 6= vx (1) 1 1 ∂vx vx (2) = vx (x + ∆x, y, z) = vx (x + y + z) + ∆x 2 2 ∂x 1 ∂vx 1 ∆x vx (1) = vx (x − ∆x, y, z) = vx (x + y + z) − 2 2 ∂x Fluxo sobre 1 e 2: X f luxos = ∂vx ∆x∆y∆z ∂x Da mesma forma se considerarmos as outras faces:   ∂vy ∂vx ∂vz Φtotal = ∂x + ∂y + ∂z ∆x∆y∆z   ∂vy ∂vz x ∆V Φtotal = ∂v + + ∂x ∂y ∂z   H ∂vy ∂vz x Φtotal = ∂ ~v • d~s = ∂v ∆V + + ∂x ∂y ∂z Superfı́cie infinitesimal = ∆Σ ~ v = ∂vx + ∂vy + ∂vz ∇~ ∂x ∂y ∂z Por outro lado se somarmos para todos os elementos: ~ v ∆V = ∇~ Z ~ v dV ∇~ V Ao somarmos os fluxos sobre todos os elementos notamos que contribuições às superfı́cies internas são iguais a zero. 44 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO X I i Z ∆ P ~v d~s = I ~v d~s S i ~ v dV = ∇~ I ~v d~s S V Vimos que a definição de divergente é: ~ v = lim 1 div~v (P ) = ∇.~ ∆Vi →0 Vi I ~v .d~si Si → sendo v um campo vetorial qualquer, Vi é o volume que inclui o ponto em questão e Si a superfı́cie que envolve este volume Vi . → → Significado de ∇ . v : a) Fluxo por unidade de volume que sai de Vi no caso limite de Vi infinitésimo; b) Densidade de fluxo desse valor através da região; c) Grandeza escalar que pode variar de ponto para ponto. 3.8 Teorema de Gauss e forma diferencial da Lei de Gauss Φ= I F~ d~s = n I X F~ d~si = i=1 S i S n X i=1 ∆Vi H F~ d~si Si ∆Vi Fazendo lim e Vi −→ 0 N →∞ I S F~ d~s = Z ~ F~ dV ∇ V Teorema de Gauss ou Teorema de Divergência Já tı́nhamos visto a equação de Poisson: 3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS45 ~ E ~ = ρ ∇. εo Vamos usar o teorema da divergência para chegar neste resultado: I ~ s= Ed~ s R ρdV V ε0 Pelo teorema da divergência: I s ~ s= Ed~ Z V 1 ~ EdV ~ ∇ = ε0 Z ρdV V Como o volume é qualquer, temos: ~ E ~ = ρ ∇. εo sendo a relação local entre densidade de carga e campo elétrico O DIVERGENTE EM COORDENADAS CARTESIANAS: Figura 3.27: Divergente 46 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO F~ = Fx î + Fy ĵ + Fz k̂ ~ F~ = lim 1 ∇ Vi →0 Vi → I F~ d~si si → Queremos saber o ∇ . F no ponto P Sabemos que: ∂Fy Fy (x, y + ∆y, z) − Fy (x, y, z) = ∂y ∆y Fy (x, y + ∆y/2, z) = Fy (x, y, z) + ∂Fy ∆y ∂y 2 Fluxo por 2: ~ = Fy (x, y + ∆y/2, z)∆x∆z = F~ A  ∂Fy ∆y Fy (x, y, z) + ∂y 2  ∆x∆z Fluxo por 1:   ∂Fy ∆y ~ ~ ∆x∆z F A = −Fy (x, y − ∆y/2, z)∆x∆z = − Fy (x, y, z) − ∂y 2 Somando fluxo 1 + fluxo 2: ∂Fy ∆x∆y∆ ∂y Somando fluxo 3 + fluxo 4: ∂Fx ∆x∆y∆z ∂x Somando fluxo 5 + fluxo 6: 3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS47 ∂Fz ∆x∆y∆z ∂z Figura 3.28: Superfı́cies consideradas Fluxo total que sai do volume Vi  ~ F~ = lim 1 ∇ ∆Vi →0 ∆Vi ∂Fx ∂Fy ∂Fz + + ∂x ∂y ∂z   ∂Fx ∂Fy ∂Fz + + ∂x ∂y ∂z ∆x∆y∆z  ∆Vi = ∂Fx ∂Fy ∂Fz + + ∂x ∂y ∂z F~ = Fx î + Fy ĵ + Fz k̂ ~ = ∂ î + ∂ ĵ + ∂ k̂ Operador nabla: ∇ ∂x ∂y ∂z Em coordenadas esféricas: (r,θ,ϕ): ~ F~ = 1 ∂ (r2 Fr ) + 1 ∂ (senθFθ ) + 1 ∂Fϕ ∇ r2 ∂r rsenθ ∂θ rsenθ ∂ϕ Em coordenadas cilı́ndricas: (r,ϕ,z): ~ F~ = 1 ∂ (rFr ) + 1 ∂Fϕ + ∂Fz ∇ r ∂r ρ ∂ϕ ∂z 48 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO Exemplo 3.3. Seja um cilindro com densidade volumétrica de cargas positivas uniforme. Figura 3.29: Cilindro com densidade volumétrica de cargas uniforme Resolução. E2πrL = ρπa2 L ρπr2 L ↔ E2πrL = ε0 ε0 − → ρr ρπa2 L E = r̂ (r < a) ↔ E2πrL = 2ε0 ε0 ~E ~ (r < a) = 1 ∂ (rEr ) = 1 ∂ ∇ r ∂r r ∂r  ρr r 2ε0  ~E ~ = ρ ∇ ε0 ~E ~ (r > a) = 1 ∂ (rEr ) = 1 ∂ ∇ r ∂r r ∂r ~E ~ =0 ∇  ρa2 r 2ε0 r  3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS49 O divergente do campo só é diferente de zero onde há carga! CARGA PONTIFORME ~ = E ~E ~ = ∇ 1 q r̂ 4πε0 r2 q 1 ∂ 2 (r Er ) = 0 , r 6= 0 4πε0 r2 ∂r Não faz sentido calcular o campo em cima dela mesma (a carga), já que ela gera o campo. 50 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO Capı́tulo 4 Potencial Eletrostático 4.1 Introdução A utilização do campo elétrico, como visto no capı́tulo anterior, para resolução de problemas pode ser bastante complexa, principalmente devido ao fato de o campo elétrico ser um campo vetorial. Dessa forma, o potencial elétrico entra como uma excelente forma de simplificar os cálculos a serem realizados e possibilitar a resolução de problemas ainda mais omplexos de eletrostática. Inicialmente, porém, relembremos alguns conceitos básicos: 4.1.1 Recordação da Mecânica Sendo P1 e P2 pontos e c um caminho que liga P1 a P2. O trabalho realizado por uma força ao longo deste caminho de P1 a P2 é: (c) WP1 →P2 = ZP2 F~ ·d~l P1 (c) Dessa forma, pelo teorema do trabalho-energia cinética temos: 51 52 CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO (c) ∆T = WP1 →P2 (c) T2 − T1 = WP1 →P2 Ou seja, o trabalho é igual à variação da energia cinética entre os pontos. Assim temos que, se a força F~ for conservativa, pela conservação da energia mecânica temos: ∆V + ∆T = cte = ∆Emec = 0 WP1 →P2 = −∆U ∆U = − ZP2 F~ ·d~l P1 Que só depende dos pontos inicial e final. 4.2 Definição do Potencial eletrostático Logo, assim como associamos à força Peso um campo escalar U da energia potencial gravitacional, podemos associar à força eletrostática um campo escalar V, pois esse se trata também de um campo conservativo, da seguinte forma: W = ZB F~ele · d~l A ∆U = − ZB A ~ · d~l qE (4.1) 53 4.2. DEFINIÇÃO DO POTENCIAL ELETROSTÁTICO O que nos leva à ∆U =−− ∆V = q ZB ~ · d~l E (4.2) A Ou seja Potencial = EnergiaPotencialEletrostatica carga Porém a escolha do nı́vel o qual o potêncial é nulo é arbitrário, sendo normalmente escolhido o infinito, assim, é conveniente escolher V (∞) = 0. Exemplo: 4.2.1 Cálculo do pontencial eletrostático gerado por uma carga pontual q Sabe-se que: ~ = E 1 q r̂ 4πε0 r2 Logo: V (r2 ) − V (r1 ) = − ZP2 P1 ~ ~l = − E·d ZP2 P1 q 1 q dr = 2 4πε0 r 4πε0 Então, estabelecendo r1 → ∞ e V (∞) = 0 temos que: V (r) = q 1 4πε0 r  1 1 − r2 r1  54 CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO 4.3 Cálculo do Campo a partir do potencial Como vimos, definimos o potencial eletrostático através do campo elétrico, mas, dado o potencial é possı́vel obter o campo elétrico? A resposta é sim, da seguinte forma: Sabe-se pelo teorema do gradiente que: ∆V = − ZP2 ~ ·d~l ∇V P1 Mas: ∆V = − ZP2 ~ ~l E·d P1 Logo, como a igualdade é verdadeira para quaisquer pontos P1 e P2 , temos: ~ = −∇V ~ E (4.3) que nos dá o vetor campo elétrico a partir do campo escalar V. Vale notar que isso só é possı́vel devido ao fato de o campo elétrico ser conservativo. 4.3.1 Equipontenciais Nesse momento, faz-se necessário introduzir o conceito de equipontenciais. Basicamente, as equipotenciais são regiões com o mesmo potencial eletrostático. ~ · d~l implica que, se E⊥d ~ ~l: Além disso, deve-se notar que a equação dV = E dV = 0 ⇒ V = cte Logo, as equipotenciais são perpendiculares ao campo. 4.4. POTENCIAL DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS 4.4 55 Potencial de uma distribuição de cargas O cálculo do potencial é, muitas vezes, menos trabalhoso que o cálculo do campo elétrico. Dessa forma, veremos a seguir diversas formas de calcular o potencial elétrostático e alguns exemplos de aplicação. Sempre lembrando ~ = −∇V ~ que E Sabe-se, como o princı́pio da superposição é válido para o campo elétrico, o mesmo acontece para o campo eletrostático, assim temos que: Figura 4.1: Esquema V (P ) = n X i=1 qi 4πε0 ri Logo: 1 V (P ) = 4πε0 Z dq r Que, Para uma distribuição: Volumétrica: dq = ρdv Superficial: dq = σdS Linear: dq = λdl Agora, vejamos alguns exemplos de aplicação: (4.4) 56 CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO 4.4.1 Anel isolante uniformemente carregado Figura 4.2: Anel isolante carregado com densidade linear λ Assim: 1 V (P ) = 4πε0 V (P ) = Z2π 0 λρdθ (ρ2 + z 2 )1/2 Q 4πε0 (ρ2 + z 2 )1/2 ~ = −∇V ~ , então: Assim, como E ~ = E 4.4.2 Qz 4πε0 (ρ2 + z 2 )3/2 ẑ Disco uniformemente carregado: a uma distância z do centro Como dq = σds = σr′ dr′ dθ e r = (z2 + r′2 )1/2 então: 1 V = 4πε0 Z2π ZR 0 0 σr′ dr′ dθ πσ = 2 ′2 1/2 (z + r ) 4πε0 ZR 0 2r′ dr′ (z 2 + r′2 )1/2 4.4. POTENCIAL DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS 57 Figura 4.3: disco isolante carregado com densidade superficial σ i  σ  2 σ h√ 2 ′2 1/2 R 2 V = z + R − |z| = 2(z + r ) 0 4ε0 2ε0 Vale notar que, se lim |z| >> R então: √   2 !1/2  R 1 R2 2 2 + ... z + R = |z| 1 + = |z| 1 + z 2 z2 Logo: V ≈ σ R2 1 Q = 2ε0 z |z| 4πε0 |z| Ou seja, caso observemos o disco de muito longe, ele irá se comportar ~ cada vez mais com uma carga pontual. Além disso podemos obter E:   ∂ z σ z ~ E=− V = −√ ∂z 2ε0 |z| R2 + z 2 Desse exemplo nós podemos tirar algumas conclusões: 58 CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO ⇒ Normalmente é mais difı́cil achar o potencial em outros pontos fora do eixo de simetria, pois a integral não é tão simples apesar de bem conhecida e tabelada (integrais elı́pticas). ⇒ O campo, assim como o potêncial, pode ser difı́cil de calcular caso não haja simetria. Além disso, ambos o potencial e o campo elétrico se aproximam daqueles gerados por cargas pontuais com o aumento da distância. Calculemos agora o exemplo do potencial no bordo do disco: 4.4.3 Disco uniformemente carregado: Cálculo no Bordo Figura 4.4: disco isolante carregado com densidade superficial σ Assim: dq = σr(2θ)dr Z 1 dq V = 4πε0 r 1 V = 4πε0 Z σ(2θ)dr 4.4. POTENCIAL DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS 59 Porém, pela geometria do triângulo: r = 2R cos θ dr = −2Rsenθdθ Logo: 1 V = 4πε0 Z0 Rσ σ2θ(−2Rsenθ)dθ = πε0 π/2 Zπ/2 Rσ θsenθdθ = [senθ − θ cos θ]π/2 0 πε0 0 Vborda = 4.4.4 Rσ πε0 Casca esférica Temos: r2 = z 2 + R2 − 2zR cos θ dq = σds = σR2 senθdθdφ Assim: 1 V (z) = 4πε0 Z2π Zπ 0 0 σR2 senθdθdφ (z 2 + R2 − 2zR cos θ)1/2 π 2πσR2 2  2 (z + R2 − 2zR cos θ)1/2 0 4πε0 2zR i i p √ σR hp σR h√ 2 z + R2 + 2zR − z 2 + R2 − 2zR = (z + R)2 − (z − R)2 V (z) = ε0 2z ε0 2z p σR2 sez > R ⇒ z − R > 0 ⇒ (z − R)2 = z − R ⇒ V (z) = ε0 z p σR σR sez < R ⇒ z−R < 0 ⇒ (z − R)2 = −(z−R) ⇒ V (z) = [z + R − (R − z)] = 2ε0 z ε0 V (z) = 60 CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO Figura 4.5: disco isolante carregado com densidade superficial σ O potencial da esfera é constante.(Assim temos: ( dentro Q Q σR2 = 4πεo z ,r > R ,r > R εo z 4πεo z 2 e E(z) = V (z) = Q σR = 4πεo R ,r < R 0,r < R εo Podemos então, construir os gráficos de E e V em função de r obtendo assim: 4.5 Dipolo elétrico e expansão multipolar dos campos elétricos Por definição, um dipolo elétrico está relacionado com o potencial elétrico gerado por um sistema de duas cargas. Exemplo: Encontre o potencial elétrico em um ponto arbitrário no eixo x. 4.5. DIPOLO ELÉTRICO E EXPANSÃO MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELÉTRICOS61 Figura 4.6: gráfico de E e V por r Figura 4.7: Esquema Assim:   1 q 1 (−q) q 1 1 + = − V (x) = 4πε0 |x − a| 4πε0 |x − a| 4πε0 |x − a| |x − a| Que, sendo V0 = q 4πε0 a então: V (x) = V0 x a 1 − −1 Assim pode-se construir o gráfico: x a 1 −1 62 CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO Figura 4.8: Gráfico de V/V0 em função de x Que diverge no local onde as cargas se encontram. Agora, iremos analisar o caso anterior, mas com a posição de referência sendo em qualquer ponto do plano. Assim temos: Figura 4.9: Esquema   1 1 q − V = 4πε0 r+ r− 2 Mas r± = r2 + a2 ∓ 2ra cos θ. Considerando uma posição na qual r >> a 4.5. DIPOLO ELÉTRICO E EXPANSÃO MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELÉTRICOS63 temos: −1/ 2  a 2 1
a 1 1 − /2   = r2 + a2 ∓ 2ra cos θ = 1 + ∓ 2 cos θ r± r {z r } |r  x 1 mas se x << 1 então (1 + x)− /2 ≃ 1 − 12 x, e como 1 1 = r± r Logo:  1  a 2 a 1− ± cos θ 2 r r a r << 1 então:    ⇀ p·r̂ p cos θ 1  a 2 a q2a cos θ 1  a 2 a q = = + cos θ − 1 + + cos θ ≈ 1− V ≈ 4πε0 r 2 r r 2 r r 4πε0 r2 4πε0 r2 4πε0 r2 ⇀ Na qual p = 2aq k̂ é o momento dipolo elétrico. Vale notar também que V cai com r2 e não com r, o que é razoável, que V decresça mais rápido que o potencial de uma única carga, pois conforme estamos mais e mais longe do dipolo, este parece mais e mais com uma pequena unidade de carga zero. Calculando o campo, sabendo que o gradiente em coordenadas esféricas é dado por: ∂ ~ = ∂ r̂ + 1 ∂ θ̂ + 1 ϕ̂ ∇ ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ Então: Er = − ∂V 1 ∂V p sin θ p cos θ 1 p sin θ , Eθ = − =+ =+ =+ 3 2 ∂r 2πε0 r r ∂θ r 4πε0 r 4πε0 r3 64 CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO ~ = p cos θ r̂ + p sin θ θ̂ E 2πε0 r3 4πε0 r3 A seguir faremos uma análise mais aprofundada do assunto, aplicando o mesmo raciocı́nio anterior, poderemos deduzir que: Em monopolo V cai com 1/r Em um dipolo V cai com 1/r2 Em um quadripolo V cai com 1/r3 E assim sucessivamente... Consideremos agora uma distribuição de cargas na vizinhança na origem do sistema de coordenadas, finita, e pode ser totalmente encenada por uma esfera de raio a que é pequeno comparado à distância até o ponto de observação. Assim temos que: Figura 4.10: Esquema Na qual ρ = ρ(r′ ). Logo: 1 V (r) = 4πε0 Mas,se r >> r′ Z V ρ(r′ ) dv ′ |~r − ~r′ | 4.5. DIPOLO ELÉTRICO E EXPANSÃO MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELÉTRICOS65 −1 |~r − ~r′ | ′ −1 |~r − ~r | 1 ≈ r 1 1 = (r2 − 2~r.~r′ + r′2 )− /2 = r  1 1− 2  ~r.~r′ r′2 −2 2 + 2 r r  ≈  ′ 2 !−1/2 r ~r.~r 1−2 2 + r r ′ 1 r |{z} Potencialdemonopolo + ~r.~r′ r3 |{z} Potencialdedipolo,sendo~ p=~ r′ q→ p~.r̂ 2 Logo, O potencial devido à uma distribuição de carga arbitrária pode sempre ser expresso em termos de uma expansão de multipólos. Assim, pela Lei dos Cossenos:  2 |~r′ − ~r| = r2 + r′2 − 2rr′ cos θ′ | {z } r Note que foram definidos duas distâncias, uma r e outra r não se confunda! r2 = r2 !  ′ 2 r′ r − 2 cos θ′ 1+ r r !1/  ′ 2 2 r′ r − 2 cos θ′ r=r 1+ r r 1 r = r (1+ ∈) /2 , ∈= +...  ′ 2 r r′ − 2 cos θ′ r r Logo:   1 1 1 3 2 5 3 1 −1/2 = (1+ ∈) = 1 − ∈ + ∈ − ∈ +... r r r 2 8 16 r 66 CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO " #  2  4  2  3 1 1 r′ 3 r′ r′ 3 r′ 3 r′ ′ 2 ′ ′ = 1− + cos θ + + cos θ − cos θ + ... r 2 r r 8 r 2 r 2 r " #  ′ 2 2 ′ 1 r′ (3 cos θ − 1) r = 1 + cos θ′ + + ... r r r 2 Que, utilizando então os polinômios de Legendre: 1 Pl (x) = l 2 l!  d dx l Podemos escrever: ∞
l x2 − 1 1 1X = Pn (cos θ′ ) r r n=0 Logo: 1 V (r) = 4πε0 Z  ′ n r r  ′ n ∞ ρ(r′ )dv ′ X r ′ Pn (cos θ ) r r n=0 Z ∞ 1 X 1 n (r′ ) Pn (cos θ′ ) ρ(r′ )dv ′ V (r) = n+1 4πε0 n=0 r Note que temos agora a expansão multipolar do potencial em termos de 1/r, na qual: n = 0, contribuição de monopólo n = 1, dipolo n = 2, quadrupolo Com o menor termo não nulo da expansão nos dá aproximadamente o potencial a grandes distâncias, e os termos sucessivos aumentam a precisão do resultado. Nota-se também que o termo de dipolo é dado por: Vdip 1 1 r̂ · = 4πεo r2 Z ~r′ ρ (r′ ) dr′ {z } | p ~=momentode dipolodadistribuicao 4.6. CIRCULAÇÃO DO CAMPO ELÉTRICO 67 pois r′ cos θ = ~r′ · r̂ 4.6 Circulação do campo elétrico Como visto no capı́tulo zero sabemos que: I Γi   ~ ~ ~c.dl = ∇x~c .n̂∆S Onde ~c é um campo vetorial qualquer. Dessa forma, como sabemos que I ~ ~l = 0, ∀Γ E.d Γ Então: Z  S  ~ E ~ .d~s = 0, ∀S ∇x ~ E ~ =0 ∇x Essa equação resume basicamente toda a eletrostática, visto que, ela mostra que o campo elétrico é conservativo (na eletrostática) e permite que o ~ ∇V ~ =0 campo elétrico seja o gradiente de uma função potencial, visto que ∇x (o rotacional de um gradiente é sempre nulo). 68 CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO Capı́tulo 5 Equações da Eletrostática e Energia 5.1 Introdução Neste momento, já foram vistas praticamente todas as equações e fórmulas referentes à eletrostática. Dessa forma, nesse capı́tulo estudaremos algumas das relações entre o potêncial eletrostático, o campo elétrico e as densidades de carga dos corpos. Além disso, serão abordadas as equações de Laplace e Poisson, que oferecem mais uma forma de efetuar cálculos, as condições de contorno da eletrostática e as equações que fornecem a energia potencial eletrostática de um configuração de cargas 5.2 Equações de Laplace e Poisson Como já vimos: ~ ×E ~ =0 ∇ ~ E ~ = ρ ∇· ε0 69 (5.1) (5.2) 70 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA Além disso, vimos que: ~ ×E ~ = 0 P ermite ~ = −∇V ~ ∇ → E (5.3) Assim, substituindo 5.3 em 5.2, obtemos: ~ ∇V ~ =−ρ ∇· ε0 ~ 2V = − ρ ∇ ε0 (5.4) A equação acima é chamada equação de Poisson e relaciona o potencial eletrostático com a densidade de carga pontual. Com ela é possı́vel calcular, em cada ponto, o potencial eletrostático, desde que se conheçam as condições de contorno do problema, de forma a resolver as equações diferenciais que serão obtidas. A equação de Laplace vem diretamente da equação de Poisson, quando ρ = 0. Assim: ~ 2V = 0 ∇ 5.3 (5.5) Resumo das equações da eletrostática A partir de duas observações experimentais, notadamente o princı́pio da superposição e a Lei de Coulomb, foi possı́vel depreender todas as outras fórmulas da eletrostática. Abaixo, segue um resumo de todas as equações vistas até aqui: 5.4 Condições de Contorno Definidas as equações de Laplace e Poisson, devemos agora verificar de que forma as grandezas involvidas se comportam. Vale ressaltar que algumas 5.4. CONDIÇÕES DE CONTORNO 71 Figura 5.1: Equações da eletrostática dessas formas já foram comentadas. 5.4.1 Relação entre campos logo acima e abaixo de uma superfı́cie carregada Nós notamos estudando alguns exemplos que o campo elétrico apresenta em alguns casos uma descontinuidade. Isto ocorre quando temos uma superfı́cie carregada. Imagine uma superfı́cie arbitrária Considere a gaussiana desenhada com área A extremamente pequena e espessura ǫ. Assim, pela lei de Gauss temos: I S ~ S ~ = qint = σA E·d ε0 ε0 Os lados não contribuem para o fluxo, somente o topo e o fundo. De forma que quando ε → 0: Em particular, quando não há uma superfı́cie carregada E ⊥ é contı́nua, 72 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA Figura 5.2: Esquema de uma superfı́cie carregada com uma gaussiana ~ é descontı́nua Figura 5.3: A componente normal de E exemplo: esfera sólida uniformemente carregada. Consideremos agora a circulação de E na mesma superfı́cie: I ~ ~l = 0 E·d quando ε → 0. Assim: ~ ~ ~k ~k E acima ·dl1 + Eabaixo ·dl2 = 0 73 5.4. CONDIÇÕES DE CONTORNO ~k ~k d~l1 = −d~l2 → E acima = Eabaixo Logo a componente paralela do campo é contı́nua, então: σ ~ ~ n̂ E acima −Eabaixo = ε0 (5.6) onde n̂ é o vetor unitário perpendicular à superfı́cie de cima para baixo. 5.4.2 Relação entre os potenciais Ao contrário do que acontece com o campo, o potencial é contı́nuo, pois: ∆V = − Zb ~ ~l E·d a Vb − Va = − Zb ~ ~l E·d a E quando ε → 0 então Rb a ~ ~l → 0, Logo E·d Vb = Va → Vabaixo = Vacima 5.4.3 (5.7) Alguns outros comentários Além das condições já mencionadas, vale lembrar também de alguns pontos: * Já vimos que, na maioria dos casos V (∞) = 0 * Quando há distribuição de cargas não pontual V 6= ∞ 74 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA 5.5 Exemplos de aplicação das Equações de Poisson e Laplace Com as condições de contorno em mãos, somos capazes de aplicar as equações de Poisson e Laplace para alguns exemplos. 5.5.1 Exemplo 1 Considere duas placas infinitas paralelas, condutoras, uma colocada em x = 0 e outra em x = L. Seja o potencial em x > 0 igual a V0 e em x = L igual a zero. Determinar o potencial e o campo entre as placas considerando duas situações: Densidade de carga entre as placas igual à zero; Densidade de carga entre as placas é contante igual à ρ. Figura 5.4: Esquema No primeiro caso temos ρ = 0 assim, pela equação de Laplace: ∇2 V = d2 V =0 dx2 Logo: V = ax + b Assim, pelas condições do problema, como para x = 0, V = V0 , então: 5.5. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE75 b=V Além disso, como para x = L, V = 0, então a=− V0 L Logo: V (x) = − V0 +V L Podemos calcular também o campo, assim: ~ =− d E dx   V0 V0 − x + V0 î = î L L No segundo caso temos ρ = ρ0 , assim, pela equação de Poisson: ∇2 V = − ρ0 d2 V ρ0 =− → 2 ε0 dx ε0 Logo: V =− ρ0 x 2 + ax + b 2ε0 Aplicando as condições de contorno: ( V (0) = V0 → b = V0 V (L) = 0 → a = − VL0 + ρ0 L 2ε0 Logo:   ρ0 x2 V0 ρ0 L V (x) = − x + V0 + − + 2ε0 L 2ε0 Também podemos calcular o potencial, assim: 76 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA ~ =− d E dx 5.6       ρ0 ρ0 x 2 V0 ρ0 L V0 ρ0 L x + V0 î = î − + − + x+ − 2ε0 L 2ε0 2ε0 L 2ε0 Energia Potencial Eletrostática Nós vimos que U = qV para uma carga q num ponto de um campo préestabelecido de potencial V. Mas e para uma distribuição qualquer de cargas? 5.6.1 Energia Potencial Eletrostática de uma distribuição de cargas Vamos imaginar um conjunto de cargas no infinito e vamos trazer as cargas uma a uma do infinito (considera-se V (∞) = 0 para as suas posições, formando uma configuração escolhida, assim: Para trazer a primeira carga q1 , W = 0 Para trazer a segunda carga, como: V =− Zr ~ ~l = E·d ∞ temos; W = 1 q1 q2 4πε0 r12 Para a terceira temos:W = Assim sucessivamente... q3 4πε0  q1 r13 + 1 q 4πε0 r q2 r23  Logo, obtemos a energia potencial da configuração qualquer de cargas pontuais: U= 1 X q i qj 1 1 X X qi q j = 4πε0 i<j rij 4πε0 2 i j6=i rij (5.8) Na qual o 1/2 surge para compensar o fato de que, no somatório duplo, temos os termos qi qj e qj qi que são contados duas vezes. 77 5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA Percebe-se pela fórmula 5.8 porém, que: X 1 qj 4πε0 rij j6=i Representa o potêncial de todas as outras cargas na posição da carga i. Assim: U= 1X qi Vi 2 i representa a energia potencial eletrostática na posição i. Logo, caso tenhamos uma distribuição contı́nua, podemos extender o somatório para: 1 U= 2 5.6.2 Z ρV dv (5.9) Exemplo Uma esfera de raio R possui uma densidade de carga ρ(r) = kr (onde k é uma constante). Ache a energia da configuração. Para calcular a energia, devemos inicialmente obter o potencial. Esse Rr ~ ~l ou pelas pode ser obtido de duas formas, ou seja, utilizando V (r) = − E·d equações de Poisson e Laplace. Rr ~ ~l temos: Resolvendo por V (r) = − E·d ∞ Z S ~ S ~ = qint E·d ε0 1 E4πr = ε0 2 Ef ora = ZR kr4πr2 dr 0 k R4 r̂ ε0 4r2 ∞ 78 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA Além disso; E= k r4 kr2 → E = r̂ dentro ε0 4r2 4ε0 Precisamos de V para valores de r < R, assim: V (r) = − Zr ~ ~l = − E·d V (r) = − ∞ ~ f ora ·d~l − E ∞ ∞ ZR ZR kR4 dr − 4ε0 r2 Zr R Zr ~ entre ·d~l E R k kr2 dr = (4R3 − r3 ) 4ε0 12ε0 Com o potencial em mãos, podemos aplicar a equação 5.9, assim: 1 U= 2 1 U= 2 ZR Z2π Zπ 0 0 ZR 4π Z ρV dv krV (r)r2 sin θdθdϕdr (5.10) 0 Logo: 1 U= 2 0 k2 r3 πk 2 7 (4R3 − r3 )dr = R 12ε0 7ε0 Caso quisessemos calcular pelas equações de Laplace e Poisson, temos: Para r < R: ∇2 V = − ρ ε0 Para r > R: ∇2 V = 0 Para o primeiro caso r < R temos: 79 5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA V = V (r) → ∂V ∂V = =0 ∂θ ∂ϕ Mas o termo em r do operador ∇2 em coordenadas esféricas, com a consideração acima, é dado por: 1 ∂ ∇V = 2 r ∂r 2 Logo: 1 d ∇V = 2 r dr 2  r  r 2 ∂V 2 dV dr ∂r   =− ρ ε0 Assim, temos que: 1 d r2 dr r2  r  2 dV dr kr d =− → ε0 dr  r 2 dV dr  =− kr4 dV kr2 A dV =− +A→ =− + 2 dr 4ε0 dr 4ε0 r Logo: Vdentro (r) = − kr3 A − +B 12ε0 r Para r > R, temos que: 1 d r2 dr  ∇2 V = 0  dV 2 dV r = 0 → r2 =C dr dr Vf ora (r) = − C +D r Aplicando as condições de contorno: ( Vf ora (∞) = 0 Vf ora (R) = Vdentro (R) kr3 ε0 80 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA Além disso, como se trata de uma distribuição volumética: ( ′ Ef ora (R) = Edentro (R) ⇒ Vf′ora (R) = Vdentro (R) V (0) 6= ∞ Assim: Vf ora (∞) = 0 → D = 0 Vdentro (0) 6= ∞ → A = 0 Vdentro (R) = Vf ora (R) → − Logo: B= kr2 4ε0 r=R = C r2 r=R 4 → C = − kr 4ε0 kR4 kR3 kR3 + = 4ε0 R 12ε0 3ε0 Dessa forma: Vdentro (r) = − kR3 k kr3 + = (4R3 − r3 ) 12ε0 3ε0 12ε0 Vf ora (r) = kR4 4ε0 r Para o cálculo de U procede-se da mesma forma que no caso 5.10, encontrandose o mesmo resultado 5.6.3 Relação entre Energia e Campo Elétrico Uma pergunta interessante de se fazer é onde está localizada a energia eletrostática? Também poderı́amos perguntar: e o que importa? Qual o significado de uma pergunta como essa? Se temos um par de cargas interagindo, a combinação tem certa energia. É necessário dizermos que a energia está localizada em uma das cargas ou na outra, ou em ambas, ou no meio? Pode ser que estas perguntas não façam sentido, porque realmente só sabemos que a energia se conserva. A idéia de que a energia está localizada em alguma parte 5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA 81 não é necessária também pode aparecer. Mas será mesmo que a pergunta não tem nenhuma utilidade? Vamos supor que tenha sentido dizer, em geral, que a energia está localizada em certo lugar, como ocorre com a energia térmica. Então poderı́amos estender o princı́pio da conservação da energia com a idéia de que se a energia contida dentro de um volume dado varia, poderı́amos explicar a variação mediante o fluxo de energia que entra ou sai deste volume. Poderı́amos chamar de princı́pio de conservação local de energia. Esse princı́pio diria que a energia dentro de qualquer volume varia unicamente da quantidade que flui para fora ou para dentro deste volume. Terı́amos, portanto, uma lei muito mais detalhada que o simples enunciado da conservação de energia total. Também há uma causa f̈ı́sicap̈ara que possamos decidir onde está localizada a energia. De acordo com a teoria da gravitação, toda massa é uma fonte de atração gravitacional. Também sabemos que se E=mc2, então massa e energia são equivalentes. Toda energia é uma fonte de força gravitacional. Se não pudéssemos localizar todas as massas não poderı́amos dizer onde estão localizadas as fontes de campo gravitacional, a teoria da gravitação estaria incompleta. Se nos restringimos à eletrostática, não há maneira de decidir onde está a energia se na carga ou no campo. Porém, com o atual conhecimento, não somos ainda capazes de responder a esses questionamentos, as equações de Maxwell para a eletrodinâmica são necessárias para nos dar mais informações. Por enquanto ficaremos somente com esta resposta: A energia está localizada no espaço onde está o campo elétrico. O que é razoável, pois quando as cargas aceleram elas irradiam campos elétricos. Quando a luz ou as ondas de rádio viajam de um ponto a outro, transportam sua energia com elas. Mas não há carga nas ondas. Desta forma, é interessante localizar a energia no campo eletromagnético e não nas cargas. Dessa forma, torna-se conveniente encontrar a energia eletrostática em função do campo elétrico, assim, como: 82 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA ∇2 V = − então: 1 U= 2 Z ρ ε0 ε0 ρV dv = − 2 Mas, matematicamente temos: Z V ∇2 V dv   2 2 2 V ∇2 V = V ∂∂xV2 + ∂∂yV2 + ∂∂zV2 =    2

∂V ∂V 2 ∂ ∂ + V − ∂V V ∂V − + = ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ~ ~ ) − (∇V ~ )·(∇V ~ ) = ∇·(V ∇V ∂ ∂z V ∂V ∂z
− ∂V ∂z
2 = Logo; ε0 U= 2 Z ~ )·(∇V ~ )dv − ε0 (∇V 2 Mas, pelo teorema da divergência, temos: Z ~ ~ )dv = ∇·(V ∇V I Z ~ ~ )dv ∇·(V ∇V ~ )·d~s (V ∇V s v Agora, devemos fazer uma rápida análise. Para uma distribuição finita de cargas, sabemos que: V ∝ 1/r na melhor das hipóteses (Se a carga total for zero, V ∝ 1/r2 ou mais...). Além disso, ∇V ∝ 1/r2 e ds ∝ r2 portanto a integral: ε0 − 2 Z ~ ~ )dv ∇·(V ∇V é proporcional à 1/r, assim, caso integremos no espaço, teremos que essa integral se anula e: ε0 U= 2 Z R3 ~ )·(∇V ~ )dv (∇V 5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA 83 ~ então: Logo, como ∇V = E, ε0 U= 2 Z ~ Edv ~ E· (5.11) R3 Nos dá a energia potencial eletrostática da configuração em função do Campo elétrico. Vale notar também que devemos integrar em todo o espaço, e não só na região que contém 5.6.4 Princı́pio da Superposição Vimos que campo e potencial obedecem o chamado princı́pio da superposição, porém, devido ao fato da energia ser quadrática nos campos, ela não obedece o princı́pio da superposição, temos, pois, que: Wtotal ε0 = 2 Z ε0 E dv = 2 2 Z ~1 + E ~ 2 )2 dv (E (5.12) Vejamos um exemplo: Considere duas cascas esféricas concêntricas de raio a e b. Suponha que a interna possui uma carga q e a externa -q ambas uniformemente distribuı́das na superfı́cie. Calcule a energia desta configuração. Assim: ε0 U= 2 Z E 2 dv R3 Mas Logo:    0, r < a q 1 E= ,a < r < b 4πε0 r 2   0, r > b 84 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA ε0 U= 2 Zb a q2 1 2 q2 r 4πdr → U = 16π 2 ε20 r4 8πε0 Percebe-se contudo que, se calcularmos: U1 = ε0 2 R R3  1 1 − a b  E12 dv e U2 = ε0 2 R R3 U 6= U1 + U2 Como era de se esperar, o princı́pio da superposição não foi válido. E22 dv Capı́tulo 6 Condutores 6.1 Breve Introdução Em um mau condutor, como vidro ou borracha, cada elétron está preso a um particular átomo. Num condutor metálico, de forma diferente, um ou mais elétrons por átomo não possuem restrições quanto a movimentação através do material. Eles estão livres para estar na parte do condutor que desejarem. ( Em condutores lı́quidos, como a água com cloreto de sódio, água com sal de cozinha, são os ı́ons que fazem esse movimento. Um condutor perfeito poderia ser um material que possuı́sse a propriedade de ser uma fonte ilimitada de cargas livres. Na vida real, não existem condutores perfeitos, mas muitas substâncias estão muito próximas de ser. A partir dessa pequena definição, pode-se descobrir algumas propriedades eletrostáticas de condutores ideais. Elas serão listadas logo abaixo. 6.2 Propriedades dos Condutores Essas propriedades estão relacionadas com condutores em equilı́brio eletrostático, ou seja, quando não há movimento ordenado de cargas elétricas no seu interior e na sua superfı́cie. Seus elétrons livres encontram-se em 85 86 CAPÍTULO 6. CONDUTORES movimento aleatório. Propriedade 1 (Propriedade Básica). Um condutor é um sólido que possui muitos elétrons livres. Os elétrons podem se deslocar no interior da matéria, mas não deixar a superfı́cie. Propriedade 2. O Campo elétrico dentro do condutor em equilı́brio eletrostático é nulo. ( E = 0 dentro do condutor ) Se tivesse campo dentro do condutor os elétrons iriam se mover e não estariam na situação eletrostática. Quando colocamos um condutor na presença de um campo externo as cargas dentro do condutor tenderão a se distribuir de forma que o campo no interior do condutor cancele o campo externo. Figura 6.1 Propriedade 3. A densidade volumétrica de carga dentro do condutor é zero.( ρ = 0 dentro do condutor ) ~ = 0 → ρ = 0, no interior do condutor não há cargas. ~ ·E ~ = ρ , se E ∇ ε0 Propriedade 4. As cargas ficam localizadas na superfı́cie do condutor. Propriedade 5. O condutor é uma equipotencial. ~ = 0 dentro do condutor, então E ~ = −∇V ~ Se E ~ é perpendicular à superfı́cie. Propriedade 6. E Se tivesse uma componente paralela a carga se moveria. Como, E = 0, H ~ E · d~l = 0 → Va = Vb . 87 6.3. CARGA INDUZIDA Figura 6.2 Propriedade 7. Vimos que a descontinuidade de E era ?/?0. Como Edentro = 0, então o campo imediatamente fora é proporcional à densidade de carga local. ~ = σ n̂ E ε0
Em termos de potencial: σ = ε0 − ∂V ∂n Observação 6.1. Esta equação permite calcular a densidade de carga superficial de um condutor. 6.3 Carga Induzida Um condutor é um sólido que possui muitos elétrons livres. Os elétrons podem se deslocar livremente. Quando se aproxima uma carga elétrica de um condutor carregado eletricamente, devido as fenômenos de atração e repulsão eletrostáticas, observa-se uma nova distribuição das cargas elétricas no condutor. A figura abaixo exemplifica o processo: 6.3.1 O campo numa cavidade de um condutor Consideremos um condutor com uma cavidade vazia de forma arbitrária. Consideremos uma superfı́cie gaussiana S. Em todo ponto de S temos que E = 0 (campo dentro do condutor = 0). Então o fluxo através de S = 0, logo a carga total dentro de S é zero. 88 CAPÍTULO 6. CONDUTORES Figura 6.3 Figura 6.4 Mas se a carga total é igual a zero, poderı́amos dizer que há igual quantidade de cargas positivas e negativas, havendo, assim, a presença de um H ~ · d~l 6= 0, o que não pode campo elétrico. Se tivéssemos esta situação, E Γ ser. Portanto, não pode haver campo dentro da cavidade, nem cargas na superfı́cie interna. Nenhuma distribuição estática de cargas externas pode produzir campo no interior do condutor. Agora vamos considerar uma cavidade com uma carga q dentro dela. Teremos cargas induzidas na superfı́cie interna, afim de cancelar o campo dentro do condutor ( Edentro = 0 ), Traçando uma gaussiana S que contém a cavidade, percebe-se que o fluxo nessa gaussiana é zero, porém, 89 6.3. CARGA INDUZIDA Figura 6.5 Figura 6.6 traçando-se outra gaussiana, contida na cavidade, percebe-se que o campo na cavidade não é zero. Fato Importante: Campo dentro do condutor é zero! A cavidade e seu conteúdo estão eletricamente isolados do mundo externo ao condutor. Nenhum campo externo penetra no condutor. Ele será cancelado pela carga induzida na superfı́cie externa ( da mesma forma que a cavidade vazia ). A cavidade está isolada do mundo externo ao condutor. Exemplo 6.1. Uma esfera condutora neutra centrada na origem possui uma cavidade de formato desconhecido. Dentro da cavidade há uma carga q. Qual é o campo fora? Haverá dependência com a forma da cavidade? Resolução. A carga +q induzida, por sua vez, na superfı́cie externa irá se 90 CAPÍTULO 6. CONDUTORES Figura 6.7 distribuir uniformemente na superfı́cie da esfera. (a influência assimétrica da carga +q interna foi cancelada pela carga -q induzida na superfı́cie interna). O campo externo será igual ao produzido pela superfı́cie esférica carregada com carga +q. ~ = E q r̂ 4πε0 r2 O condutor, dessa forma, cria uma barreira, não deixando passar nenhuma informação sobre como é a cavidade, revelando somente a carga total que a mesma possui. 6.4 Método das Imagens Suponha uma carga q a uma distância d de um plano condutor aterrado. Pergunta: Qual é o potencial na região acima do plano? Não é só 4πεq 0 r , pois haverá carga induzida no plano condutor e não sabemos quanta carga é induzida e como ela está distribuı́da. Outra situaç~ ao: : Carga e uma esfera condutora. 6.4. MÉTODO DAS IMAGENS 91 Figura 6.8 Figura 6.9 Antes de atacarmos este problema vamos recordar um problema muito mais simples que já estudamos: duas cargas +q e -q; e A e B superfı́cies equipotenciais. Figura 6.10 Considere a superfı́cie equipotencial A. Suponha que pegamos uma folha fina de metal da forma desta superfı́cie. Se a colocarmos exatamente no lugar da superfı́cie equipotencial e ajustamos o seu potencial a um valor 92 CAPÍTULO 6. CONDUTORES apropriado de forma que nada mudasse, nós não darı́amos conta de que a superfı́cie metálica estaria ali. Terı́amos a solução do novo problema: Figura 6.11 O campo no exterior ao condutor é exatamente o mesmo campo de duas cargas pontuais! ~ =0eE ~ é perpendicular à superfı́cie. Dentro E Então, para calcularmos os campos das situações discutidas, basta calcular o campo devido à uma carga q e uma carga -q imaginária localizada em um ponto apropriado. Caso mais simples: 6.4.1 Carga e o Plano Condutor Aterrado Figura 6.12 V (x, y, z) =   q 1  q  1 −

12 2 2 4πεo 2 2 2 2 2 x + (y − d) + z x + (y + d) + z 93 6.4. MÉTODO DAS IMAGENS Figura 6.13 , para y ≥ 0. Condição de contorno V (x, 0, z) = 0 V → 0parar̃ → ∞ 6.4.2 Densidade De Carga Induzida Na Superfı́cie Do Plano σ = −εo σ (x, y, z) = − ∂V ∂V = −εo ∂n ∂y y=0   1 εo q ∂  1  1 −

12 2 2 4πεo ∂y 2 2 2 2 2 x + (y − d) + z x + (y + d) + z σ (x, y, z) = −  − 12
− 21
 2 (y + d) 2 (y − d) q   3 −

32 2 2 4π 2 x2 + (y − d) + z 2 x2 + (y + d) + z 2 σ (x, y, z) = − q d 2π (x2 + d2 + z 2 ) 23 y=0 y=0 94 CAPÍTULO 6. CONDUTORES ⇒ σ é negativa como esperado. A carga total induzida Qinduzida = Z σds = −ε0 k2qd Z ds 3 (x2 + y 2 + z 2 ) 2 x2 + z 2 = d2 ds = rdθdr Qinduzida = −ε0 k2qd Z∞ Z2π 0 Qinduzida = −ε0 kqd2π Z∞ d2 0 rdθdr 3 (r2 + d2 ) 2 du −ε0 kqd 2π 3 = 4πε0 (u) 2   2 = −q d r2 + d2 = u du = 2rdr A carga q é atraı́da pelo plano, pois há carga negativa induzida. 2 Força de atração F~ = − 4πε q(2d)2 ĵ o Nós assumimos tudo igual ao sistema de duas cargas, mas cuidado, nem tudo é igual. A energia: 1 U= 2 Z E 2 dv Uduascargas = − 1 q2 4πεo 2d 95 6.5. PODER DAS PONTAS 2 1 q Ucargaeplanocondutor = − 8πε que é a metade. Por que? o 2d Somente a região de y¿0 possui E 6= 0 R∞ R∞ 2 E dv A integral U = 21 E 2 dv = 12 12 0 −∞ Tudo isso foi possı́vel, pois: Dado uma configuração de condições de contorno, a solução da equação de Laplace é única, de modo que, se alguém obtiver uma solução V (x, y, z) por qualquer meio e se este V satisfizer todas as condições de contorno, ter-se-á encontrado então uma solução completa do problema. 6.5 Poder das Pontas Figura 6.14 Figura 6.15 VA α Q′A RA VB α Q′B RB 96 CAPÍTULO 6. CONDUTORES VA = VB ⇒ Q′A Q′ = B RA RB 2 ′ 2 ′ 4πRA σA 4πRB σB Q′A = = RA RA RB ⇒ RA σA′ = RB σB′ ⇒ σA′ RB = ′ σB RA ⇒ 6.6 σA′ = RB ′ σ RA B Carga Na Superfı́cie e Força Em Um Condutor ~ = σ n̂ (Campo externo ) e vimos que σ = −εo ∂V . Já vimos que E εo ∂n Na presença de um campo elétrico, uma superfı́cie carregada irá sentir uma força. ~ ⇒ Força por unidade de área f~ = σ E. Mas temos um problema: o campo é descontı́nuo na superfı́cie. Qual devo ~ acima , E ~ abaixo usar: E Resposta: Você deve usar a média dos dois:   ~ acima + E ~ abaixo ~ media = 1 σ E f~ = σ E 2 Capı́tulo 7 Capacitores 7.1 Introdução Capacitor é um dispositivo que armazena energia potencial. Capacitores variam em forma e tamanho, mas a configuração básica consiste de dois condutores de cargas opostas. O exemplo mais simples de um capacitor consiste de dois condutores planos de área A paralelos entre si e separados por uma distância d. Figura 7.1 A experiência mostra que a quantidade de carga Q num capacitor é linearmente proporcional à diferença de potencial entre as placas. Q ∝ |∆V | Q = C |∆V | 97 98 CAPÍTULO 7. CAPACITORES em que C - constante de proporcionalidade chamada capacitância [C] = F (Farad) Fisicamente, capacitância é a medida da capacidade de armazenar carga elétrica para uma diferença de potencial ∆V . Observação 7.1. Lembremos que se chama de carga de um capacitor a carga de uma de suas placas em valor absoluto, pois a carga total é zero. Observação 7.2. 1F é uma unidade muito grande como veremos adiante nos exemplos. Figura 7.2 Observação 7.3. Se considerarmos o encerramento completo de um condutor pelo outro, teremos a capacitância independente de qualquer fator externo. Se tivéssemos, ao invés disso, diante de duas placas assimétricas não encerradas uma na outra, como mostra a figura acima, poderı́amos estar intrigados com a seguinte questão; qual é a carga que faz o papel de Q, em função da qual se deve definir a capacitância? A resposta é: a carga que deveria ser transferida do condutor 1 ao condutor 2 para igualar seus potenciais. 7.2. ENERGIA DE UM CAPACITOR CARREGADO 7.2 99 Energia de um capacitor carregado Considere um capacitor de placas paralelas, inicialmente descarregado. Paulatinamente, este capacitor está sendo carregado, por meio da transferência de cargas de uma placa para a outra. Seja, q a quantidade de carga transferida até um instante qualquer t. Neste instante a capacitância é dada por: C = de potencial entre as placas. q ∆V , sendo ∆V a diferença Num instante posterior o trabalho necessário para a transferência de uma carga dq é: dW = ∆V dq = q dq C O trabalho total realizado na transferência de uma carga Q será: W = ZQ q 1 Q2 dq = C 2C 0 1 W = CV 2 2 em que W - trabalho realizado para carregar o capacitor de uma carga Q. É igual a energia que o capacitor possui quando tem uma carga Q. V - Diferença de potencial final entra as placas. 7.3 Cálculos de Capacitâncias 7.3.1 Capacitor de placas paralelas C= Q |∆V | 100 CAPÍTULO 7. CAPACITORES Figura 7.3 Q = σA ∆V = Ed = C= σd εo σAεo Q = |∆V | σd C= Aεo d Só depende de fatores geométricos!! ⇒ Capacitância aumenta com a área A ⇒ quanto maior for a área, maior armazenamento de carga ⇒ Capacitância inversamente proporcional à distância d. C = 1F, d = 1mm, A =? A ≈ 100Km2 Energia: ε0 U= 2 Z E 2 dv = Como : C = ε0 A d ε0 σ 2 ε0 E 2 V = Ad 2 2 ε20 e 1 U = CV 2 2 V2 = σ 2 d2 ε20 101 7.3. CÁLCULOS DE CAPACITÂNCIAS 7.3.2 Capacitor Cilı́ndrico Figura 7.4 L >> b − a C =? ∆V = − Zb ~ · d~l E a ~ =? E Figura 7.5 I E2πrL = ~ s = Qint E.d~ ε0 Q ~ = Q 1 r̂ ⇒E εo 2πεo L r Q Q ln (r)|ba = − ln ∆V = − 2πεo L 2πεo L   b a 102 CAPÍTULO 7. CAPACITORES Q |∆V | = ln 2πεo L   b a 2πεo L Q
= |∆V | ln ab

Sendo b = d + a ⇒ ln ab = ln ad + 1 ≈ ad C= C= 7.3.3 2πεo La εo A = d d Capacitor Esférico Figura 7.6 ∆V = − Zb ~ · d~l E a I E4πr2 = Q 1 ∆V = − 4πεo r b = a ~ s = Qint E.d~ ε0 Q ~ = 1 Q r̂ ⇒E εo 4πεo r2 Q (a − b) Q (b − a) ⇒ |∆V | = 4πεo ab 4πεo ab 7.4. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES C= 4πεo ab (b − a) limites b − a = d << a 7.4 7.4.1 Associação de Capacitores Capacitores em Paralelo Figura 7.7 Mesmo potencial: Q1 = C1 V Q2 = C2 V Q3 = C3 V Q1 + Q2 + Q3 = (C1 + C2 + C3 ) V Q = Ceq V 103 104 CAPÍTULO 7. CAPACITORES Ceq = C1 + C2 + C3 Para n capacitores em paralelo: Ceq = n X Ci i=1 7.4.2 Capacitores em Série Figura 7.8 V = V1 + V2 Q = Ceq V = Ceq (V1 + V2 ) = Ceq  Q1 Q2 + C1 C2 Mas: Q1 + Q2 = Q ⇒ Q Q Q = + Ceq C1 C2 1 1 1 = + Ceq C1 C2 Para n capacitores em série :  105 7.4. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES n X 1 1 = Ceq Ci i=1 Exercı́cio 7.1. Um capacitor tem placas quadradas de lado a, que formam um ângulo θ entre si. Mostrar que para θ pequeno, a capacitância é dada por εo a2 d  aθ 1− 2d  Figura 7.9 Suponha que o capacitor em questão é o capacitor equivalente de uma associação de capacitores em paralelo. Figura 7.10 ≡ 106 CAPÍTULO 7. CAPACITORES Figura 7.11 Figura 7.12 Ci = εo A εo adx = di di sendo di = d + xtgθ Ceq = X i Ci = εo a Za dx εo a = ln (d + xtgθ)|a0 d + xtgθ tgθ 0 εo a ln Ceq = tgθ  d + atgθ d  107 7.4. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES θpequeno ⇒ tgθ ≈ θ   εo a aθ C= ln 1 + θ d Mas aθ d é pequeno e ln (1 + x) = x − εo a C= θ  aθ a2 θ2 − d 2d2  x2 2 + x3 3 εo a2 = d + ...−1 ≤ x ≤ 1  aθ 1− 2d  Se θ = 0 voltamos ao resultado inicial para capacitores de placas paralelas: C= εo a2 d 108 CAPÍTULO 7. CAPACITORES Capı́tulo 8 Dielétricos 8.1 Introdução Até agora, só discutimos campos elétricos no vácuo ou na presença de con~ = 0. Porém, o que acontece se trabalharmos dutores, dentro dos quais E com isolantes? Cavendish, em 1773, e Faraday, independentemente, em 1837 1 descobriram que a capacitância de um capacitor aumenta caso seja colocado um isolante entre as placas, a capacitância aumenta por um fator que depende tão somente do tipo de material colocado. Mas por qual motivo isso ocorre? Nesse capı́tulo estudaremos mais profundamente as propriedades desses materiais dielétricos, e a sua aplicação na construção de capacitores, além de estudar alguns dos fenomenos relacionados, como a polarização. 8.2 Campo no interior de um dielétrico Nessa seção veremos mais a fundo o motivo que leva a esse aumento da capacitancia, dessa forma, devemos considerar dois tipos de materiais, os compostos por moléculas polares e os apolares: 1 Nussenzveig, Herch Moysés, Curso de Fı́sica básica - Volume 3, 1a Edição, pág 86 109 110 8.2.1 CAPÍTULO 8. DIELÉTRICOS moléculas polares As moléculas polares são aquelas que apresentam um momento de dipolo permanente p~. Esse dipolo, quando colocado na presença de um campo elétrico tende a se alinhar com este devido a um torque resultante, que pode ser observado na figura abaixo: Figura 8.1: Dipolo molecular imerso em um campo O alinhamento das moléculas do material na direção do campo elétrico externo é chamado de polarização elétrica. 8.2.2 moléculas apolares Essas moléculas não apresentam momento dipolo permanente, porém, também estão sujeitas à uma polarização, devido ao surgimento de um dipolo induzido: 8.3. POLARIZAÇÃO 111 Figura 8.2: Ao ser imersa em um campo, surge um dipolo induzido na molécula 8.3 Polarização Com o que vimos na Seção 8.2 existem dois tipos de dipolo, um induzido (no caso das moléculas apolares), ou um permanente (caso das moléculas polares, como a água). Esses dipolos podem ser então polarizados pela presença de um campo elétrico, como percebe-se na figura abaixo: Figura 8.3: Material polarizado Assumimos aqui que todos os dipolos estão alinhados com o eixo do cilindro, o que nem sempre é verdade. Dessa forma, precisamos descobrir a influência desses dipolos no campo elétrico resultante. 8.3.1 Definição do vetor Polarização Definimos o vetor polarização como sendo: 112 CAPÍTULO 8. DIELÉTRICOS N − → 1 X P = p~i V i=1 (8.1) Na qual p~i são os dipolos, induzidos ou permanentes, presentes nos materiais. Perceba que P~ possui sentido que aponta das cargas negativas para as positivas. No caso do cilindro apresentado, considerando N dipolos orientados p~ podemos dizer que: N − → 1 X p~i P = V i=1 Dessa forma, no total, terı́amos que as cargas de cada dipolo iriam se anular dentro do cilindro, restando somente as cargas externas. Assim terı́amos: Figura 8.4: Esquema Mas como podemos calcular Qp , ou seja, a carga polarizada? Considerando um grande momento dipolo igual à soma de todos os vetors dipolo menores N p. Assim, pela definição de vetor dipolo: Qp h = N p. Mas Qp = σp A. Dessa forma, podemos dizer que, no caso das placas paralelas: σp = P~ (8.2) Caso as placas não sejam paralelas, sendo A′ a nova área e A a área do 113 8.3. POLARIZAÇÃO caso paralelo, considerando o vetor n̂ perpendicular à superfı́cie e o ângulo θ que este faz com o vetor hatk, temos: A′ cosθ = A ⇒ σp = Qp cosθ = P~ cosθ = P~ · n̂ A (8.3) ~ = −P~ /ε0 podemos dizer que: Além disso, pela lei de Gauss, como E Qp = − I P~ · d~s (8.4) Que, pelo teorema da divergência: ∇ · P~ = −ρp (8.5) Dessa forma, precebe-se a importância do vetor polarizaçào, visto que ele permite o cálculo da densidade superficial de carga polarizada, sem a necessidade do conhecimento dos dipolos moleculares. Além disso, podemos dizer que: ~ ~p = − P (8.6) E εo ~ é dado por: Dessa forma, o campo total E ~ ~ <E ~ externo ~ =E ~ externo − P → E E εo (8.7) O que mostra que a polarização diminui o campo elétrico final, causando assim, o efeito observado por Cavendish (vide Seção 8.1). 8.3.2 Susceptibilidade Elétrica e constante dielétrica Agora, sabemos que o vetor polarização pode nos ajudar a descobrir alguns dos efeitos macroscópicos causados pelo uso de dielétricos. Como já dito, foi observado que a capacitância variava por um valor que dependia basicamente da natureza do material estudado. Assim, pode-se montar a seguinte 114 CAPÍTULO 8. DIELÉTRICOS equação: ~ P~ = χE (8.8) Além disso, foi observado que χ é normalmente linear, sendo denominado susceptibilidade elétrica. Com isso, pela equação 8.7, chamando Eexterno de E0 temos:   ~ P χ ~o = E ~+ ~ 1+ E =E εo ε | {z o } (8.9) K Dessa forma, temos a relação entre a susceptibilidade elétrica e a constante dielétrica, definida a partir da razão entre as diferentes capacitâncias observadas com e sem dielétricos nos capacitores, ou seja: k= ǫ → ǫ = ǫ0 + χ ǫ0 (8.10) Onde ǫ é chamada a permissividade elétrica do meio. Observação: Há vários livros que definem: ~ P~ = εo χe E Logo, temos que: χ = χe εo e, nesse caso: ε = εo (1 + χe ) | {z } (8.11) K 8.4 Lei de Gauss e vetor deslocamento elétrico Como o campo não se mantém o mesmo na presença de um dielétrico, como é possı́vel equacioná-la? Primeiramente relembremos a lei de Gauss: 8.4. LEI DE GAUSS E VETOR DESLOCAMENTO ELÉTRICO I ~ s = Qint E·d~ εo 115 (8.12) Mas a carga elétrica é composta pela carga livre inicial mais a carga polarizada, assim: I ~ s = Q + Qp E·d~ εo (8.13) Aplicando no caso especı́fico de um capacitor temos: EA =  Q + Qp εo  ⇒E=  σ + σp εo  Mas, já vimos que: Eo σ σ = = K εo K ε E= p = σε , então: Logo, como : σ+σ εo I ~ · d~s = Qlivre εE I ~ · d~s = Qlivre D (8.14) ~ = εE ~ obtemos: Difinindo o vetor deslocamento elétrico como sendo D Além disso, sabemos que: (8.15) ~ = εE ~ = εo K E ~ = εo (1 + χe ) E ~ = εo E ~ + P~ D Logo: ~ = εo E ~ + P~ D (8.16) Além disso, pelo teorema da divergência, podemos obter que: ~ ·D ~ = ρlivre ∇ (8.17) 116 CAPÍTULO 8. DIELÉTRICOS Outra forma de chegarmos à mesma resposta seria, partindo da equação 8.13, e sabendo da equação 8.4 obtemos que: I   ~ + P~ · d~s = Qlivre εo E (8.18) ~ = Eε ~ + P~ obteremos a equação 8.15 Assim, definindo D Vale notar também que o vetor deslocamento elétrico é igual ao vetor ~ 0 , ou seja, o campo externo vezes a permissividade do vácuo. Logo, D ~ ε0 E depende tão somente das cargas externas e não da natureza do material, fornecendo assim, uma excelente ferramenta de cálculo para os casos envolvendo ~ e E, ~ nos dá condições, dielétricos. Além disso, a relação existente entre D conhecida a permissividade elétrica do meio ε, de descobrir tanto o próprio ~ quanto o vetor polarização, podendo assim, obter as cargas polaricampo E zadas e as finais. Um outro fator interessante é que as equações que utilizam o vetor deslocamento podem ser utilizadas mesmo que não haja meio dielétrico, mas elas cairão nas equações já vistas em capı́tulos anteriores. 8.5 Energia eletrostática em dielétricos Analisaremos agora qual o comportamento da energia elétrostática armazenada no campo caso exista um dielétrico no meio. Assim, sabemos que: 1 U= 2 Z ρe V dv v − →− → Mas ρe = ∇. D Assim, temos que: 1 U= 2 Z − →− → ( ∇. D )V dv − → − → − →− → − →− → Mas ∇.( D V ) = ( ∇. D )V + D . ∇V Logo: (8.19) 117 8.6. CONDIÇÕES DE CONTORNO 1 U= 2 Z − →− → 1 ( ∇. D )V dv = 2 Z − → − → 1 ∇.( D V )dv − 2 Z − →− → D . ∇V dv − → − → Porém E = − ∇V . Assim, como fizemos no caso da energia eletrostática sem dielétricos, podemos fazer v → ∞. Assim: 1 U= 2 Z − →− → D . E dv (8.20) R3 8.6 Condições de Contorno Da mesma forma que definimos algumas condições de contorno para problemas de eletrostática, devemos agora rever essas condições para o caso da presença de um dielétrico. Assim, recordando: Figura 8.5: Esquema Vimos que: ⊥ ⊥ Eacima − Eabaixo = σ ε0 Era obtido a partir da Lei de Gauss. Assim, com a Lei reescrita, podemos obter: 118 CAPÍTULO 8. DIELÉTRICOS Figura 8.6: Esquema 2 ⊥ ⊥ Dacima A − Dabaixo A = σl A Logo: ⊥ ⊥ Dacima − Dabaixo = σl (8.21) Porém, pela circulação, obtemos: // // Eacima = Eabaixo Mas, como: → − → − − → D P − E = ε0 ε0 Então, obtem-se: // // ⊥ ⊥ Dacima A − Dabaixo A = Pacima − Pabaixo (8.22) Dessa forma, temos agora todas as ferramentas necessárias para realizar o estudo de muitos dos problemas de eletrostática, inclusive os que envolvem dielétricos, principalmente, aqueles que envolvem o cálculo de capa- 8.6. CONDIÇÕES DE CONTORNO 119 citâncias de diversos capacitores, totalmente ou parcialmente preenchidos com dielétricos. 120 CAPÍTULO 8. DIELÉTRICOS Capı́tulo 9 Corrente elétrica e Resistência 9.1 Transporte de Carga e Densidade de Corrente As correntes elétricas são causadas pelo movimento de portadores de carga. A corrente elétrica num fio é a medida da quantidade de carga que passa por um ponto do fio por unidade de tempo. I= dq dt [I] = A (Ampere) 9.1.1 Conceito De Densidade De Corrente Consideremos uma área a. Perguntamos: Quantas partı́culas carregadas passam por unidade de tempo? Consideremos inicialmente que cada partı́cula possui carga q e velocidade ~u e temos n partı́culas por m3 . 121 122 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Figura 9.1 Para o intervalo de tempo ∆t temos que a resposta será: todas as partı́culas dentro de um volume de prisma. V olume = base × altura V olume =~a · ~u∆t = au∆t cos θ Densidade de partı́culas = n, então o número de partı́culas,∆N , que passa pela área a no intervalo ∆t é: ∆N = n~a · ~u∆t Considerando que cada partı́cula possui carga q: ∆Q = nq~a · ~u∆t corrente = Caso geral: ∆Q = nq~a · ~u = I (a) ∆t 9.1. TRANSPORTE DE CARGA E DENSIDADE DE CORRENTE 123 Consideremos que há partı́culas diferentes com cargas diferentes, velocidades diferentes em número diferente. Então a corrente será dada por: I (a) = n1 q1~a · ~u1 + n2 q2~a · ~u2 + ... + nN qN ~a · ~uN I (a) = N X i=1 I (a) = ~a · Chamamos N P ni qi~a · ~ui = N X ni qi~ui i=1 ~ ni qi~ui de densidade de corrente J. i=1 N X ni qi~ui = Densidade de corrente i=1 J~ = N X ni qi~ui i=1 h i A J~ = 2 m I (a) = ~a · J~ Examinemos agora a contribuição da densidade de corrente para o caso de elétrons que podem ter diferentes velocidades. qi = −e J~ = −e N X ni~ui i=1 A velocidade média dos elétrons é dada por: 124 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA h~ue i = 1 X ni~ui Ne i Ne = N umero de eletrons por unidade de volume J~e = −eNe h~ue i A corrente de elétrons que passará através da área a dependerá somente da velocidade média dos portadores (lembrando que esta de trata de uma média vetorial). A corrente I que atravessa qualquer superfı́cie S é exatamente igual à integral de superfı́cie: I= Z J~ · d~s S I é o ”fluxo”associado ao vetor J~ 9.2 Equação da Continuidade da Carga elétrica Figura 9.2 Consideremos uma superfı́cie fechada qualquer S, que delimita um volume V. Dentro do volume V temos uma quantidade de carga total igual a: 9.2. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE DA CARGA ELÉTRICA Z 125 ρdv V Como H S J~ · d~s é igual à vazão instantânea de carga para fora do volume. I d J~ · d~s = − dt S Z ρdv V Usando o Teorema de Gauss temos: I ~ · Jdv ~ =−d ∇ dt Z ρdv V V Mas como ρ = ρ (x, y, z, t) e a superfı́cie que limita o volume permanece no mesmo lugar: d dt Z ρdv = Z ∂ρ dv ∂t Então: Z ~ · Jdv ~ = ∇ Z  ∂ρ − ∂t V V  dv Como a equação é válida para qualquer V : ~ · J~ = − ∂ρ ∇ ∂t Equaç~ ao da Continuidade da carga Portanto, O Princı́pio da Conservação da Carga é traduzidos pelas equações: I S d J~ · d~s = − dt Z V ρdv (9.1) 126 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA e ~ · J~ = − ∂ρ ∇ ∂t 9.2.1 (9.2) Caso De Corrente Estacionária Corrente não varia com o tempo!!! Figura 9.3 Suponha que temos um fio por onde passa uma corrente estacionária (não varia com o tempo). Se considerarmos o volume V, a quantidade de carga ∆Q que entra num intervalo de tempo ∆t deve ser igual à que sai no mesmo intervalo. ∆Q dentro do volume = 0 ⇒ ∂ρ =0 ∆t ∂t ~ · J~ = 0 ∇ Esta equação nada mais é do que a 1a Lei de Kirchoff , também conhecida como Lei dos Nós, da teoria de circuitos elétricos. Figura 9.4 9.3. CONDUTIVIDADE ELÉTRICA E A LEI DE OHM 127 Figura 9.5 9.3 Condutividade Elétrica e a Lei de Ohm Consideremos que a corrente elétrica é produzida pela presença de um campo elétrico. ~ produz uma força no portador de carga → se movimenta ⇒ corrente E elétrica Se há corrente elétrica ou não, depende da natureza fı́sica do sistema em que o campo atua, ou seja, o meio. Uma das mais antigas descobertas experimentais sobre a corrente elétrica na matéria foi feita por G. S. Ohm, em um trabalho publicado em 1827 intitulado: ”Die Galvanische Ketle Mattematisch Bearbeitet”, e é expressa através da Lei de Ohm: V = RI Observação 9.1. ( OBSERVAÇÃO IMPORTANTE ) Esta equação provém da observação experimental do comportamento de muitas substâncias familiares, nós não a deduzimos das leis fundamentais do eletromagnetismo. 9.3.1 Um Modelo Para a Condução Elétrica ⇒ Modelo De Drude = Modelo Clássico Linha do tempo: 128 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA 1827 - Ohm 1897 - J.J. Thompson → descoberta do elétron. Impacto imediato nas teorias da estrutura da matéria e sugeriu um mecanismo para a condução em metais. 1900 - Drude construiu sua teoria para a condutividade elétrica utilizando a teoria cinética dos gases para um metal, considerando um gás de elétrons livres. (Annalen der Phynik 1, 566 (1900) e Annalen der Phynik 3, 369 (1900)) Suposições: Figura 9.6 Cada átomo contribui com z elétrons para a condução → carga = -ez Na ausência de campo elétrico os elétrons se movem em todas as direções, ao acaso, com velocidades que são determinadas pela temperatura. O elétron deverá se mover em linha reta até que sofra uma colisão. As colisões no modelo de Drude, como na teoria cinética, são eventos instantâneos que alteram abruptamente a velocidade do elétron. Não há relação (tanto em módulo quanto em direção e sentido) entre a velocidade ~u do elétron em t = 0 e sua velocidade depois da passagem de um certo intervalo de tempo. Isto corresponde a dizer que após um tempo t o vetor velocidade do 9.3. CONDUTIVIDADE ELÉTRICA E A LEI DE OHM 129 elétron poderá ser encontrado apontando em qualquer direção independente da direção que tinha em t = 0. A probabilidade de um elétron sofrer uma colisão em um intervalo de tempo dt é dt , onde τ = tempo médio entre as colisões. τ ~ ao sistema. Agora vamos aplicar um campo elétrico uniforme E Com a presença de um campo elétrico, o elétron ficará sujeito a uma força elétrica. Figura 9.7 Seja: ~u = velocidade imediatamente após a colisão. Após um determinado t, o elétron sofre um incremento de momento igual a: ~ p~t = −eEt Momento original logo após a colisão era: p~o = me~u me = massa do elétron Então, momento total após um determinado tempo t deve ser: 130 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA ~ p~ = me~u − eEt Com isso, o momento total do sistema será: X p~ = X me~ui + i X i  ~ ti −eE O momento médio de todos os elétrons: h~pi = h~pi = h~pi = me Mas: P 1 Ne 1 X p~ Ne  1 X ~ i me~ui − eEt Ne i 1 X ~ui Ne i ! ~ − eE 1 X ti Ne i ! ~ui = velocidade média dos elétrons imediatamente após a colisão i → deve ser igual a zero, pois ~ui tem as direções distribuı́das totalmente ao acaso e, portanto, tem contribuição nula para a média. P 1 ti = tempo médio entre as colisões = τ Ne i ~ h~pi = −eEτ eτ ~ E = velocidade média = velocidade de drift ou de ”arrasto”. h~ui = − m e Já vimos que a densidade de corrente pode ser escrita como: J~ = −Ne e h~ui Ne e2 τ ~ J~ = E me Seja: 9.3. CONDUTIVIDADE ELÉTRICA E A LEI DE OHM σ= Então: e2 Ne τ me Lei de Ohm ~ J~ = σ E onde σ = condutividade elétrica. ~ é equivalente a escrever V = RI. Vejamos que escrever J~ = σ E Consideremos um fio de secção transversal A: Figura 9.8 V = El e I = JA J = σE = σ V l V l I =σ ⇒V = I A l σA |{z} R Então: 131 132 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA V = Ri Definimos resistividade como sendo o inverso da condutividade: ρ= 1 σ R= ρl A Temos: ⇒ De fato a resistência deve ser diretamente proporcional a l e inversamente proporcional a A. R= comprimento × resistividade areadasecaotransversal Na realidade a resistividade de um material varia com a temperatura T. ρ = ρo [1 + α (T − To )] α = coeficiente de temperatura da resistividade α > 0 para metais α < 0 para semicondutores Figura 9.9 9.4. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES 9.4 9.4.1 Associação de Resistores Associação em Paralelo Figura 9.10 V = Req Ieq Req = V I1 + I2 + I3 I1 I2 I3 1 1 1 1 = + + = + + Req V V V R1 R2 R3 N X 1 1 = Req Ri i=1 9.4.2 Associação em Série V = V1 + V2 = R1 I + R2 I V = (R1 + R2 ) I Req = (R1 + R2 ) 133 134 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Figura 9.11 Req = N X Ri i=1 Exercı́cio 9.1. Um material condutor possui condutividade dada por: σ(x) = σa + (σb − σa ) x l onde σa e σb são constantes. O condutor possui comprimento l e área de secção transversal constante. Determine a resistência entre as faces A e B do condutor. Figura 9.12 R= l ρl ⇒ R(x) = A σ(x)A 135 9.4. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES Figura 9.13 n Req = Σ Ri ⇒ R = i=1 Zl dx 1 = σ(x)A A 0 Zl 0 dx σa + σb −σa l
x ⇒  l σb R= ln A(σb − σa ) σa Exercı́cio 9.2. Um material condutor é moldado na forma de um tronco de cone. O raio da base menor é a e o raio da base maior é b. O comprimento é l e a resistividade é uniforme. Determine a resistência entre as bases.  Figura 9.14 R= ρ R= π Zl 0 R dR ⇒dR = dx ρdx πr 2 (x) ⇒ r (x) = a + ρ ⇒R=

2 π a + b−a x l R= ρl se πab  l b−a a=b ⇒R= b−a x l   1 1 − + ⇒ b a ρl πa2 136 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Exercı́cio 9.3. Um material é moldado na forma de uma cunha, como ilustra a figura abaixo. O material possui uma resistividade ρR . Determine a resistência entre as faces A e B Figura 9.15 R= ρ R= w Zl 0 se b → a, Z dR ρdx a+ (b−a) x l  w l ρ
⇒R= ln b−a w (b − a) a+ l x dx (b − a) → 0 ⇒ ln ⇒R= 9.5 dR =  b a
= ln b−a a   b a
+1 ≈ b−a a ρl (b − a) ρl = w (b − a) a aw Força Eletromotriz É necessário se gastar energia elétrica para manter uma corrente constante em um circuito fechado. A fonte de energia é chamada de fonte de força eletromotriz (fem - sı́mbolo ε ). Exemplos: baterias, células solares, etc Matematicamente: ε ≡ dw dq Ou seja, o trabalho para mover uma unidade de carga na direção do potencial mais alto. 137 9.5. FORÇA ELETROMOTRIZ [ε] = V (volt) Considere o circuito: Figura 9.16 Assumindo que a bateria não possui resistência interna, então a diferença de potencial VA − VB = V = ε Corrente: I = ε R No entanto, uma bateria real sempre possui um resistência interna r. Neste caso, a diferença de potencial nos terminais da bateria é: Vc − Va = ∆V = ε − rI Figura 9.17 No circuito todo: ε − rI − RI = 0 ⇒ I = ε r+R 138 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Figura 9.18 . Voltagem cai ao passar por cada resistor. . Nos fios é constante. 9.5.1 Potência A potência é dada por: dq dW =V dt dt Taxa de Transferência de Energia Como P = V I é sempre válido: Usando a Lei de Ohm: → P = I 2R A potência gasta pela bateria: P = Iε = I (IR + Ir) = I 2 R + I 2 r Potência da fonte é igual a Potência dissipada em R + Potência dissipada em r. 9.5.2 Potência Máxima Transmitida P = RI 2 139 9.6. LEIS DE KIRCHOFF Figura 9.19 I= P = ε R+r Rε2 (R + r)2 dP 2Rε2 dP ε2 − =0 =0→ = dR dR (R + r)2 (R + r)3 ⇒ R + r = 2R R=r 9.6 Leis de Kirchoff As leis de Kirchoff: 1- Dos nós: ΣIentram = ΣIsaem 2- Das malhas: Σ circuito fechado ∆V = 0 Nos circuitos temos: Va > Vb ⇒ ∆V = Vb − Va = −RI 140 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Figura 9.20 Figura 9.21 Va < Vb ⇒ ∆V = Vb − Va = +ε Exercı́cio 9.4. Qual o valor de I1 , I2 e I3 ? Figura 9.22 Consideremos que o sentido das correntes são como mostrados na figura. Pela lei das malhas: Começando em A: V1 − R1 I1 − R3 I1 + R3 I2 = 0 Começando em B: −R3 I2 + R3 I1 − R2 I2 + V2 = 0 141 9.7. CIRCUITO R-C Temos duas equações e duas incógnitas, I1 e I2 I3 = I1 − I2 Se I1 der negativo, então o sentido da corrente é oposto ao que supomos inicialmente, o mesmo para I2 . 9.7 9.7.1 Circuito R-C Carregando um capacitor Considere o circuito abaixo: Figura 9.23 Bateria com uma fem ε constante e resistência interna nula. Inicialmente o capacitor está completamente descarregado q( t=0 ) = 0 e a chave passa para a posição (1). A corrente começa a circular: I (0) = ε R A medida que o tempo passa ( t ¿ 0 ), o capacitor vai carregando até atingir a carga máxima ( t = tf ) Q = Cε Analisemos o que ocorre entre os dois instantes ( 0 ¡ t ¡ tf ). Pela Lei da Malhas: ε − I (t) R − q(t) C =0 Podemos resolver a equação em termos da corrente ou da carga. Escolhendo a carga: 142 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Figura 9.24 ε − RI (t) − I (t) = q (t) =0 C dq (t) dq q ⇒ε−R − =0 dt dt C q dq 1 dt dq ε− ⇒ = = ⇒ dt R C εC − q RC Integrando ambos os lados, temos: Zq 0 dq 1 =− q − εC RC Zt 0 t −( RC ) q − εC = −εC e dt ⇒ ln  q − εC −εC   =− t −( RC ) ⇒ q (t) = εC 1 − e   t q (t) = Q 1 − e− RC Onde Q é a carga máxima armazenada no capacitor. I (t) = dq dt I (t) =   −t q (t) = Q 1 − e RC Q −t εC −t e RC = e RC RC RC t RC  143 9.7. CIRCUITO R-C Figura 9.25 I (t) = ε −t e RC R Figura 9.26 τ = RC é uma medida do tempo de decaimento da função exponencial. Depois de t = τ a corrente cai de um fator de 1e = 0, 368. Tensão no Capacitor Vc (t) =    t t q (t) Q 1 − e− RC = ε 1 − e− RC = C C    q (t → ∞) = Cε = Q t→∞⇒ Vc (t → ∞) = ε   I (t → ∞) = 0 144 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Figura 9.27 Depois de um tempo t = τ a diferença de potencial entre os capacitores aumenta de um valor igual a (1 − e−1 ) = 0, 632 do seu valor final. Vc (τ ) = 0, 632ε 9.7.2 Descarregando um capacitor Considerando que a chave permaneceu por um longo tempo na posição (1), vamos mudar a chave para a posição (2). Figura 9.28 Podemos prever que a corrente terá o mesmo comportamento que o processo anterior, com a diferença que mudará de sentido. t ε Idescarga (t) = −Icarga (t) = − e− RC R Montando a equação: 145 9.7. CIRCUITO R-C q (t) − RI (t) = 0 C I (t) = − dq dt dq (t) q (t) −R =0 C dt q (t) dq dt dq (t) =− ⇒ =− ⇒ dt RC q RC Zq dq =− q Q   q t ln =− ⇒ Q RC t q (t) = Qe− RC Vc (t) = t t q (t) Q = e− RC = εe− RC C C I (t) = − t ε dq = e− RC dt R Figura 9.29 Zt 0 dt RC 146 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Figura 9.30 Figura 9.31 Figura 9.32 t < 0 ⇒ Req = R1 + R2 147 9.7. CIRCUITO R-C τ = Req C = (R1 + R2 ) C   t q (t) = εC 1 − e−( τ ) Figura 9.33 Figura 9.34 τ ′ = R2 C t q ′ (t) = εCe− τ ′ Corrente entre A e B como função do tempo depois que o circuito é fechado. 148 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA ε = R1 I1 ⇒ I1 = ε R1 q (t) − R2 I2 (t) = 0 C q (t) dq2 (t) + R2 =0 C dt Figura 9.35 dq2(t) dt − t =− ⇒ q2 (t) = εCe R2 C q2 R2 C I2 (t) = − I = I1 + I2 = ε − R tC e 2 R2 ε − R tC ε + e 2 R1 R2 Capı́tulo 10 Magnetostática 10.1 Campo Magnético Por meio de experimentos, notou-se que os portadores de carga sofriam influências de outra força, fora aquela resultante da ação do campo elétrico. Tal força dependia não só da posição da partı́cula mas também da velocidade de seu movimento, e ela recebeu o nome de força magnética. Portanto, Em todo ponto do espaço temos duas quantidades vetoriais que determinam a força resultante que atua sobre uma carga: • A primeira delas é a força elétrica, a qual fornece uma componente da força independente do movimento da carga. É possı́vel descrevê-la, como já foi visto, em termos do campo elétrico. • A segunda quantidade é uma componente adicional à força denominada força magnética, que será apresentada a seguir. Foi visto que o campo elétrico pode ser definido como a força elétrica por unidade de carga: ~ ~ = Fe E q 149 (10.1) 150 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Isso pôde ser feito devido à existência de monopólos elétricos. Porém o ser humano não observou, até hoje, monopolos magnéticos: Todos os corpos magnetizados possuem um pólo Norte e um pólo Sul. Por causa disso, o campo magnético deve ser definido de outra maneira. Observando o movimento de cargas elétricas em campos magnéticos, notou-se que: • A força magnética é proporcional à carga da partı́cula: Fm ∝ q • A força magnética é sempre perpendicular ao sentido de deslocamento da partı́cula: F~m · ~v = 0 • Se o deslocamento da partı́cula é paralelo à uma direção fixa, a força magnética é nula. Caso contrário, a força magnética é proporcional à componente da velocidade que é perpendicular à essa direção. Em sı́ntese: sendo θ o ângulo entre o vetor velocidade (~v ) e essa direção fixa: Fm ∝ v sin θ (10.2) Todo esse comportamento pode ser descrito por meio da definição do vetor ~ 1 , cuja direção especifica simultaneamente a direção fixa campo magnético B mencionada e a constante de proporcionalidade com a velocidade e a carga.   ~ F~m = q ~v × B (10.3) Utilizando as equações 10.1 e 10.3, demonstra-se que a força resultante 1 h i ~ = T (tesla). 1T = 104 G (gauss)= wb (weber) Unidade do campo magnético: B m2 10.2. FORÇA MAGNÉTICA EM FIOS 151 aplicada sobre uma carga elétrica é dada por: F~ = F~e + F~m (10.4)   ~ ~ ~ F = q E + ~v × B (10.5) A equação 10.5 representa a Força de Lorentz, um dos axiomas da teoria eletromagnética. Sua importância advém do fato dela ser a ponte entre a dinâmica e o eletromagnetismo. Observação: A força magnética NÃO realiza trabalho, pois ela é sempre perpendicular ao deslocamento da partı́cula.   ~ ~ ~ dW = Fm · dl = q ~v × B · ~v dt = 0 Segue que a força magnética não pode alterar apenas a direção da velocidade da carga (~v ). Fica então a pergunta: Como um ı́mã pode mover outro? Veremos isso mais adiante. 10.2 Força magnética em fios Vamos considerar um condutor pelo qual passa uma corrente elétrica I, ~ Pode-se dizer que a quantidade de carga imerso em um campo magnético B. que passa pela secção transversal do fio em um tempo dt é: dq = I dt (10.6) De acordo com a equação 10.3, a força magnética aplicada nesse elemento de carga é:   ~ dF~m = dq ~v × B Substituı́ndo 10.6 em 10.7, temos: (10.7) 152 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA   ~ dF~m = I dt ~v × B   ~ ~ dFm = I ~v dt × B   ~ dF~m = I d~l × B (10.8) ~ possui a mesma direção e sentido da corrente. Então integrando Onde dl a equação 10.8 ao longo do comprimento do fio, encontramos a força aplicada nesse corpo: Z   ~ F~m = I d~l × B (10.9) Γ Figura 10.1: Fio imerso em campo magnético Como exemplo, façamos uma análise para o caso no qual a corrente e o campo são constantes. ~ não variam, a integral apresentada em 10.9 fica da seguinte Como I e B maneira:  F~m = I  Z  Γ   ~ d~l × B (10.10) Se somarmos todos os vetores elementares de comprimento ( d~l) de um fio, obtemos como resultado o vetor ~l, que liga as duas extremidades desse 10.3. TORQUE EM ESPIRAS 153 objeto. Portanto, a equação 10.10 torna-se:   ~ ~ ~ Fm = I l × B (10.11) Nota-se que, para fios fechados (espiras), o vetor ~l é nulo, portanto a força magnética resultante é zero. Figura 10.2: Força resultante na espira fechada é nula Observação: A força magnética resultante é nula, mas o torque não o é! 10.3 Torque em espiras ~ de tal Considere uma espira retangular imersa em um campo magnético B forma que seus fios estejam paralelos aos vetores do campo, como mostrado na figura 10.3. Vamos calcular a força em cada lado da espira: Figura 10.3: Espira retangular 154 Lado 1: Lado 2: CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA   ~ =0 F~1 = I ~l1 × B     ~ = IBa −î × ĵ F~2 = I ~l2 × B F~2 = −IBak̂ Lado 3: Lado 4:   ~ =0 F~3 = I ~l3 × B     ~ = IBa î × ĵ F~4 = I ~l4 × B F~4 = IBak̂ Agora é possı́vel calcular o torque das forças F~2 e F~4 em relação ao eixo que passa pelo centro da espira e é perpendicular aos fios 1 e 3, como mostrado na Figura 10.4. Figura 10.4: Cálculo do torque Lado 2: τ~2 = ~r2 × F~2 =  τ~2 = Lado 4: τ~4 = ~r4 × F~4 = b − ĵ 2  × −IBak̂ IBab î 2  b ĵ 2    × IBak̂   155 10.3. TORQUE EM ESPIRAS τ~4 = − IBab î 2 Então, o torque total é: ~τ = τ~2 + τ~4 = IBabî Nota-se que o produto ab é a área da própria espira. Pode-se estender o resultado acima para uma espira qualquer de área A percorrida por uma ~ um vetor normal à superfı́cie da espira com módulo igual corrente I. Sendo A à A, o torque nesse objeto é dado por: ~×B ~ ~τ = I A (10.12) Para uma espira com N voltas, temos: ~×B ~ ~τ = N I A (10.13) Observando-se a importância do primeiro fator do membro direito da equação 10.13 , define-se o momento de dipolo magnético ~µ como sendo: ~ ~µ = N I A (10.14) Logo a equação 10.13 pode ser escrita como2 : ~ ~τ = ~µ × B (10.15) Exercı́cio 10.1. Em um dado instante, percebeu-se que uma bobina de N ~ apresentou uma aceleração angular voltas imersa em um campo magnético B de rotação igual à α. Sendo I seu momento de inércia, calcule a área da bobina. Considere θ como sendo o ângulo entre o plano da bobina e o vetor ~ B Podemos calcular o torque de duas maneiras: 2 analogia com a equação do momento de dipolo para a eletrostática 156 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Figura 10.5: Espira imersa no campo magnético τ = Iα ~ ~τ = ~µ × B Logo: ~ Iα = ~µ × B (10.16) Calculando o momento de dipolo magnético: ~ = N iA~n µ = iA Substituı́ndo 10.17 em 10.16 : Iα = N iAB ~n × ~j Iα = N iAB cos θ Então a área é: A= Iα N iB cos θ (10.17) 157 10.4. O MOVIMENTO CYCLOTRON 10.4 O Movimento Cyclotron Um dos mecanismos utilizados em aceleradores de partı́culas emprega campos magnéticos para que elas descrevam movimentos circulares. Tais aceleradores são conhecidos como Cyclotrons. ~ com uma velocidade ~v Uma partı́cula lançada em um campo magnético B ~ como mostrado na Figura 10.6, realizará esse tipo de moperpendicular à B, vimento, no qual a força magnética desempenha o papel de força centrı́peta. Pode-se dizer então que: Figura 10.6: Movimento de uma partı́cula no Cyclotron Fm = qvB = mv 2 R (10.18) Os aceleradores de partı́culas permitem a obtenção de certas caracterı́sticas importantes desses corpos, tais como o momento linear. Sendo p = mv o momento linear de uma partı́cula, pode-se manipular a equação 10.18 e chegar ao seguinte resultado: p = qBR (10.19) Desse modo, basta lançar a partı́cula no campo e medir o raio de seu 158 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA movimento para medir o seu momento linear. Sabe-se que a freqüência angular do movimento circular é ω = v/R. Manipulando a equação 10.18, também é possı́vel determinar a freqüência cyclotron: qB (10.20) m Outro aspecto interessante relativo à esse movimento e que, caso a partı́cula apresente uma componente da velocidade paralela ao campo magnético, ela descreverá uma trajetória helicoidal. ω= Figura 10.7: Movimento helicoidal Exercı́cio 10.2. Um feixe de partı́culas transitando por uma região com ~ e campo elétrico E ~ não sofre acelerações. Depois, campo magnético B retirou-se o campo magnético, então as partı́culas passaram a executar um movimento circular uniforme de raio R. Dê a relação carga/massa dessas partı́culas No primeiro caso, as forças elétricas e magnéticas devem equilibrar-se para que não haja acelerações. Ou seja, a Força de Lorentz deve ser nula:   ~ + ~v × B ~ =0 F~ = q E ~ + ~v × B ~ =0 E E = vB E (10.21) v= B Para o segundo caso, temos um movimento cyclotron. De acordo com 10.5. A AUSÊNCIA DE MONOPOLOS MAGNÉTICOS 159 a equação que fornece o momento linear das partı́culas nesse movimento, temos: mv = qBR v q = m BR (10.22) Encontramos a relação carga/massa por meio da substituição de 10.21 em 10.22: E q = 2 m B R Esse foi o processo pelo qual J. J. Thomson descobriu o elétron estudando o comportamento de raios catódicos, em 1897. 10.5 A Ausência de monopolos magnéticos Como foi dito anteriormente, nunca observaram-se monopolos magnéticos, e tal fenômeno foi tomado como outro axioma da teoria eletromagnética. Isso pode ser descrito matematicamente do seguinte modo, sendo S uma superfı́cie fechada e V o volume delimitado por essa superfı́cie: I ~ · dS ~=0 B S Aplicando o Teorema de Gauss, encontramos que: I S ~ · dS ~= B Z ~ ·B ~ dV = 0 ∇ V ~ ·B ~ =0 ∇ (10.23) A equação 10.23 pertence às equações de Maxwell. Os principais significados contidos nessa equação são: 160 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA • Ausência de monopólos magnéticos • As linhas do campo magnético sempre são fechadas ~ ·E ~ = ρ . Conclui-se que não há análogo Na eletrostática, vimos que ∇ ǫ0 magnético para a carga elétrica. Não há cargas magnéticas por onde o campo magnético possa emergir (nunca divergem de nenhum ponto!), pois ele só surge na presença de correntes elétricas. Observa-se também que as linhas de campo magnético são sempre fechadas. Além disso, pelo fato de o fluxo através de uma superfı́cie fechada ser igual a zero, todas as linhas que entram nessa superfı́cie devem sair. As linhas nunca começam ou terminam em algum lugar. 10.6 O Efeito Hall Em 1979, E.H. Hall tentou determinar se a resistência de um fio aumentava quando este estava na presença de um campo magnético, uma vez que os portadores de carga deveriam se acumular num lado do fio. Vamos analisar tal fenômeno por meio da experiência ilustrada na Figura 10.8. Figura 10.8: Efeito Hall Considere um condutor no qual o sentido da corrente é perpendicular ao campo magnético. Os portadores de carga negativa acumular-se-ão em uma das extremidades do condutor, logo a extremidade oposta apresentará uma ~ H no carga positiva, o que resultará no surgimento de um campo elétrico E interior do condutor. Os elétrons serão deslocados até que as forças elétricas e magnéticas entrem em equilı́brio, ou seja: 161 10.6. O EFEITO HALL F~e = F~m Aplicando as equações 10.1 e 10.3, temos:   ~ H = −e ~v × B ~ −eE ~ H = ~v × B ~ E (10.24) Considerando o campo constante no interior do condutor, podemos medir a diferença de potencial entre as duas extremidades, denominada ddp Hall, como sendo: ǫH = EH d (10.25) Nota-se que essa voltagem existe no sentido transversal à corrente. É possı́vel utilizar o Efeito Hall para investigar a natureza dos portadores de carga no condutor, como mostrado nas Figuras 10.9 e 10.10, uma vez que podemos prever como as cargas devem se comportar sob ação de campos magnéticos. Figura 10.9: Efeito Hall para portadores de carga negativa 162 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Figura 10.10: Efeito Hall para portadores de carga positiva 10.7 A Lei de Biot Savart 10.7.1 Introdução Na eletrostática, a Lei de Coulomb permite analisar como se dá a relação entre o campo elétrico e as cargas elétricas. Será que existe uma lei correspondente para a magnetostática? A resposta é sim, e ela é conhecida como a Lei de Biot-Savart, que será discutida a seguir. Como foi visto anteriormente, definimos o campo magnético por meio da força magnética. Agora queremos defini-lo por meio de sua fonte, que é a corrente elétrica. Figura 10.11: Movimento da carga em relação à um ponto P Observe a Figura 10.11. Experimentalmente, pode-se constatar que: B∝ qv r2 ~ v B⊥~ ~ r B⊥~ 163 10.7. A LEI DE BIOT SAVART Com base nisso, pode-se dizer que o elemento do campo magnético produzido por um elemento de de carga em movimento obedece à seguinte relação: ~v × r̂ r2 ~ ~ ∝ dq dl × r̂ dB dt r2 ~ ~ ∝ dq dl × r̂ dB dt r2 ~ ~ ∝ I dl × r̂ dB r2 ~ ~ = µ0 I dl × r̂ dB 4π r2 Z d~l × r̂ µ0 ~ I B= 4π r2 ~ ∝ dq dB (10.26) (10.27) A equação 10.27 é denominada lei de Biot-Savart. A escolha da constante de proporcionalidade foi feita de modo a facilitar os cálculos subseqüentes. No sistema MKS: µ0 N = 10−7 2 4π A Onde µ0 é a permeabilidade magnética do vácuo. 10.7.2 Formas Alternativas A Lei de Biot-Savart também pode ser escrita em termos da distribuição de corrente. Sabendo que I = j dS, a equação 10.27 fica da seguinte maneira: ~ = µ0 B 4π Z jdS d~l × r̂ r2 (10.28) Vamos aplicar a equação 10.28 para a situação ilustrada na Figura ???x. Neste caso, o sistema Oxyz é um referencial fixo, enquanto o sistema Ox′ y ′ z ′ 164 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA ~ = ~r − r~′ . estão situados no elemento de carga em estudo. Observe que R Como ~j e d~l possuem a mesma direção, podemos dizer que j d~l = ~j dl. Além disso, sabendo que dl dS = dV , pode-se dizer que a Lei de Biot-Savart fica da seguinte maneira:   Z ~j r~′ × R̂ ~ (~r) = µ0 B dv ′ 4π R2 Vamos aplicar o divergente em relação ao sistema Oxyz: ~ ·B ~ (~r) = µ0 ∇ 4π Z     ~j r~′ × R̂ ~ ·  dv ′ ∇ R2 (10.29) Aplicando a regra do divergente do produto vetorial3 ao divergente presente no membro direito da equação 10.29 :     ~j r~′ × R̂   ~ × ~ ·  = −~j r~′ · ∇ ∇ R2 R̂ R2 ! + R̂ ~ ~ ~′  ·∇×j r R2 ! R̂ = 0 pois o rotacional do R2   ~ × ~j r~′ = 0 pois o rotacional está gradiente é sempre nulo. Além disso ∇ aplicado em Oxyz enquanto ~j refere-se ao sistema Ox′ y ′ z ′ . Obtemos então   R̂ 1 ~ × ~ Nota-se que 2 = ∇ − . Logo ∇ R R que: ~ ·B ~ =0 ∇ Isso corrobora a validade da Lei de Biot-Savart.       ~ ×A ~ ~ ×B ~ +B ~· ∇ ~×B ~ = −A ~· ∇ ∇· A 3~ 165 10.7. A LEI DE BIOT SAVART 10.7.3 Aspectos Interessantes Um resultando interessante pode ser obtido ao combinar a Lei de Biot-Savart com a equação 10.3 na seguinte situação: imagine uma carga q1 movendo-se com velocidade ~v1 tendo ao seu redor uma outra carga q movendo-se com velocidade ~v . Qual a força magnética que q imprimirá em q1 ? A análise inicia-se por meio da integração da equação 10.26, empregando, antes, a constante de proporcionalidade. Encontramos então que: ~ = µ0 q ~v × r̂ B 4π r2 (10.30) Substituı́ndo a equação 10.30 na equação 10.3 aplicada para a carga q1 : ~ = q1~v1 × F~m = q1~v1 × B  µ0 ~v × r̂ q 4π r2  Multiplicando e dividindo o membro direito por µ0 :   qq r̂ 1 F~m = µ0 ǫ0~v1 × ~v × 4πǫ0 r2 Mas, pela Lei de Coulomb: qq1 r̂ F~e = 4πǫ0 r2 −1 Além disso, sabendo que c2 = µ−1 0 ǫ0 , temos: ~v1 F~m = × c  ~v × F~e c  Se considerarmos v << c, encontramos que: vv1 F~m ≤ 2 F~e c (10.31) A equação 10.31 diz que para velocidades pequenas comparadas com a velocidade da luz, a interação magnética será muito menor que a interação 166 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA elétrica. Como Fm << Fe , pode parecer, à primeira vista, que a força magnética poderia ser desprezada em comparação com a força elétrica, porém existem sistemas de partı́culas onde isso não é assim. De fato, numa corrente de condução, onde estão presentes cargas positivas e negativas em iguais densidades, o campo elétrico macroscópico é nulo, porém o campo magnético das cargas em movimento não o é. Outro aspecto importante que pode ser derivado por meio da Lei de BiotSavart é uma relação entre o campo elétrico e o campo magnético gerado por uma mesma partı́cula. Multiplicando o numerador e o denominador da equação 10.30 por ǫ0 : ~ = µ0 ǫ0 q ~v × r̂ B 4πǫ0 r2 ~ ~ = ~v × E B c2 10.7.4 Aplicações da Lei de Biot-Savart Agora vejamos alguns exemplos nos quais se aplica a Lei de Biot-Savart: Exercı́cio 10.3. Calcule, por meio da Lei de Biot Savart, o campo elétrico nas vizinhanças de um fio reto. Figura 10.12: Campo gerado por um fio reto 167 10.7. A LEI DE BIOT SAVART Podemos escrever a Lei de Biot-Savart do seguinte modo: ~ = µ0 B 4π Z Z µ0 d~l × r̂ d~l × ~r I 2 = I 3 r 4π r Para o fio reto, vale: d~l = dxî ~r = −xî + dĵ Então, fazendo as devidas substituições:   l Z/2 dxî × r −xî + dĵ ~ = µ0 I B 3 4π (x2 + d2 ) /2 −l/ 2 ~ = µ0 B 4π l Z/2 (x2 −l/ 2 ~ = µ0 Id 1 B 4π d2 ddx I + 3 d2 ) /2 k̂ l 2 x 1 (x2 + d2 ) /2 −l 2 Logo o campo é: ~ = µ0 I B 4πd  l 2 l + d2 4 1/ 2 k̂ Note que se considerarmos o fio como sendo infinito (l >> d), o campo será: 168 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA ~ = µ0 I k̂ B 2πd Exercı́cio 10.4. Calcule, por meio da Lei de Biot Savart, o campo elétrico no eixo de uma espira circular. Figura 10.13: Campo gerado por uma espira circular Podemos escrever a Lei de Biot-Savart do seguinte modo: ~ = µ0 B 4π Para a espira, vale: Z Z µ0 d~l × r̂ d~l × ~r I 2 = I 3 r 4π r d~l = a dθθ̂ ~r = −aî + z ĵ Pela simetria do problema, só teremos campo paralelo ao eixo da espira. Logo precisamos calcular apenas uma componente do campo gerado por cada elemento de corrente: ~ = dB ~ 1 cos α dB 169 10.7. A LEI DE BIOT SAVART Onde: cos α = √ a a2 + z 2 Então, aplicando a Lei de Biot-Savart (para calcular apenas o elemento de campo): µ0 d~l × ~r cos α I 4π r3 Fazendo as devidas substituições: ~ = dB ~ = dB µ0 4π Ia (z 2 3 a2 ) /2 + adθk̂ Integrando de 0 a 2π para cobrir toda a espira, encontramos o campo desejado: µ0 Ia2 ~ = B 2 (a2 + 3 z 2 ) /2 k̂ Exercı́cio 10.5. Para criar regiões com campos magnéticos constantes em laboratório, empregam-se as bobinas de Helmholtz, esquematizadas na Figura 10.14.Calcule o valor do campo ao longo do eixo das bobinas e o ponto no qual o campo é magnético é maximo : O campo gerado por uma espira circular é: ~ (z) = B µ0 Ia2 2 (a2 + 3 z 2 ) /2 k̂ Então, usando o princı́pio da superposição para as duas espiras, o campo ao longo do eixo é:  2 ~ (z) = µ0 Ia  B  2 1 3 (a2 + z 2 ) /2 + 1    k̂
3/2 2 a2 + (2b − z) 170 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Figura 10.14: Bobinas de Helmholtz Para calcular o ponto no qual o campo magnético apresenta valor máximo, basta encontrarmos o valor de z tal que a derivada da função acima se anula:  ~ (z) dB µ0 Ia2  3 = − dz 2 2 Vemos que: 2z 5 (a2 + z 2 ) /2 − 3 2  2 (2b − z) (−1)   k̂
5/2 2 a2 + (2b − z) ~ (z) dB =0⇒z=b dz Agora veremos a condição para que o campo nesse ponto seja aproximadamente constante. Derivando mais uma vez a função do campo magnético: ~ (z) d2 B dz 2 z=b = 0 ⇒ a2 − 4b2 = 0 ⇒ 2b = a A condição é que a separação das bobinas seja igual ao raio. Fazendo a expansão em séries de Taylor, é possı́vel calcular o quão próximo esse campo está de um campo constante: 10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE 171 Sabendo que B ′′ (a/2) = B ′′′ (a/2) = 0, a expansão fica: a 1  a 4 ∂ 4 B ~ B (z) ≈ B + z− + ... 2 24 2 ∂z 4 z= a 2# "  a a/ 4 z − 144 2 ~ (z) = B 1− B 2 125 a A partir desse resultado, é possı́vel inferir que, para |z − a/2| < a/10 ⇒ B (z) 6= B (a/2), o campo varia em menos de uma parte e meia em dez mil. 10.8 A Lei Circuital de Ampère 10.8.1 Introdução As experiências de Oersted, além de comprovarem que correntes elétricas geram campos magnéticos ao seu redor, motivou a comunidade cientı́fica a compreeender a relação entre fenômenos elétricos e magnéticos. Após tais experimentos, uma semana foi tempo suficiente para que Ampere deduzisse a apresentasse sua lei. Enquanto que a Lei de Biot-Savart corresponde à Lei de Coulomb, a Lei de Ampère faz a vez da Lei de Gauss na magnetostática. Considere um fio infinito por onde passa uma corrente I, como mostrado na Figura 10.15. Utilizando a Lei de Biot-Savart, demonstrou-se que o campo gerado nesse caso é dado por: Figura 10.15: Fio infinito 172 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA ~ = µ0 I θ̂ B 2πr Calcularemos a circulação do campo magnético por meio de vários caminhos ao redor do fio. Considerando, inicialmente, o caminho como sendo um cı́rculo: Figura 10.16: Caminho ao redor do fio para cálculo da circulação I ~ · d~l = µ0 I 2πr = µ0 I B 2πr Γ Vamos calcular a circulação pora outro caminho: Figura 10.17: Caminho ao redor do fio para cálculo da circulação I Γ ~ · d~l = B I Γ1 ~ · d~l + B I Γ2 ~ · d~l + B I Γ3 ~ · d~l + B I ~ · d~l B Γ4 ~ e d~l são paralelos para os fios 2 e 4, as integrais para Como os vetores B Γ2 e Γ4 são nulas. Logo temos o seguinte resultado: 173 10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE I Γ ~ · d~l = µ0 I πr1 + 0 + µ0 I πr2 = µ0 I B 2πr1 2πr2 Mais um caminho para calcular: Figura 10.18: Caminho ao redor do fio para cálculo da circulação I ~ · d~l = B I Γ1 Γ ~ · d~l + B I Γ2 ~ · d~l + B I Γ3 ~ · d~l + B I ~ · d~l B Γ4 A mesma observação feita para os fios 2 e 4 anteriormente valem para esse caso. Então temos: I Γ ~ · d~l = µ0 I θr1 + 0 + µ0 I (2π − θ) r2 = µ0 I B 2πr1 2πr2 Obsevou a semelhança dos resultados? Então vamos generalizá-los para um caminho qualquer. Figura 10.19: Caminho ao redor do fio para cálculo da circulação 174 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Em coordenadas cilı́ndricas: d~l = drr̂ + r dθθ̂ + dz k̂ ~ = B θ̂, encontramos que: Sabendo que B ~ · d~l = Br dθ = µ0 I r dθ = µ0 I dθ B 2πr 2π Fazendo a integral ao redor do fio: I ~ · d~l = B Γ I µ0 I dθ = 2π Z2π µ0 I µ0 I dθ = 2π 2π 2π 0 Γ Disso resulta a Lei de Ampère: I ~ · d~l = µ0 Iint B (10.32) Γ Observação: Na Lei de Coulomb, utilizávamos SUPERFÍCIES que envolviam as cargas para fazer o cálculo do campo elétrico, mas na Lei de Ampère, precisamos criar CURVAS que envolvam os condutores a fim de calcular o campo magnético. Assim como a Lei de Coulomb, a Lei de Ampère sempre é válida. No entanto sua maior utilidade se dá em casos nos quais é possı́vel notar simetria no campo magnético, como será mostrado no exercı́cios mais adiante. 10.8.2 A forma diferencial da Lei de Ampère Aplicando o Teorema de Stokes no membro esquerdo da equação 10.32: I Γ ~ · d~l = B Z Z  S  ~ ×B ~ · dS ~ ∇ Analisando o membro direito da equação 10.32: (10.33) 175 10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE µ0 I = µ0 Z Z ~ ~j · dS (10.34) S Pela própria Lei de Ampère, podemos igualar 10.33 e 10.34, encontrando que: Z Z   ~ ×B ~ · dS ~ = µ0 ∇ S Z Z ~ ~j · dS S Finalmente, temos a forma diferencial da Lei de Ampère: ~ ×B ~ = µ0~j ∇ (10.35) Se aplicarmos o divergente na equação 10.35   ~ ×B ~ = µ0 ∇ ~ · ~j ~ · ∇ ∇ ~ · ~j = 0 ∇ Percebe-se algo importante diante desse resultado: a Lei de Ampère é válida apenas para correntes estacionárias4 10.8.3 Aplicações da Lei de Ampère Seguem alguns exemplos nos quais é fundamental a aplicação da Lei de Ampère para a resolução dos problemas: Exercı́cio 10.6. Calcule o campo magnético, em todo o espaço, gerado por um ciclindro infinito percorrido por uma corrente I. Devido à simetria cilı́ndrica do problema, podemos escolher amperianas circulares para calcular o campo no interior e ao redor do fio, pois o campo magnético será constante ao longo de toda a curva, facilitando a integração. 4 corrente estacionária: dρ =0 dt 176 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Figura 10.20: Cilindro condutor • Para r > R (Figura 10.21): Figura 10.21: Amperiana fora do cilindro H Γ1 ~ · d~l = µ0 I → B2πr = µ0 I B ~ = µ0 I θ̂ B 2πr • Para r < R (Figura 10.22): H 2 ~ · d~l = µ0 Iint → B2πr = µ0 I πr B Γ2 πR2 µ Ir 0 ~ = B θ̂ 2πR2 10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE 177 Figura 10.22: Amperiana dentro do cilindro Sintetizando os resultados na forma de um gráfico: Figura 10.23: Campo magnético gerado por um cilindro infinito Exercı́cio 10.7. Calcule o campo magnético, em todo o espaço, gerado por um cabo coaxial percorrido por correntes de mesma intensidade mas de sentidos opostos em cada face. Vamos dividir o espaço em 4 regiões e aplicar a Lei de Ampère para cada uma delas: • Para r < a: Para determinar a corrente interna à amperiana, vamos considerar que 178 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Figura 10.24: Cabo coaxial a densidade de corrente ao longo do cabo é constante e igual à j, logo sendo πr2 a área delimintada pela amperiana: j= I Iint = πr2 πa2 Iint = r2 a2 Aplicando a Lei de Ampère: B2πr = µ0 I r2 ~ = µ0 Ir θ̂ →B 2 a 2πa2 • Para a < r < b: A corrente interna à amperiana será sempre a corrente total que passa pelo cabo interno, logo pela Lei de Ampère: ~ = µ0 I θ̂ B2πr = µ0 I → B 2πr • Para b < r < c: A corrente interna à amperiana será a corrente total que passa pelo cabo interno menos a corrente que passa pela porção do cabo externo 179 10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE delimitada pela curva. Considerando também a densidade de corrente constante no cabo externo: Iint = I − r 2 − b2 c 2 − b2 Aplicando a Lei de Ampère: µ0 Iπ (r2 − b2 ) ~ = µ0 I B2πr = µ0 I − θ̂ → B 2 2 π (c − b )   2πr 2 2 c − r ~ = µ0 I θ̂ B c 2 − b2  r 2 − b2 1− 2 c − b2  θ̂ • Para r > c: A corrente interna à amperiana será a soma das correntes que passam pelo cabo interno e pelo cabo externo. Como as duas correntes possuem a mesma intensidade mas possuem sentidos opostos, a soma sempre será nula. Então, pela Lei de Ampère: ~ =0 B Exercı́cio 10.8. Considere dois solenóides infinitos concêntricos de raios a e b. Calcule o campo magnético em todo o espaço. As correntes de cada solenóide possuem mesma intensidade mas têm sentidos contrários. Primeiro vamos analisar o campo gerado por um solenóide para depois empregar o princı́pio da superposição Observa-se que a corrente no interior da amperiana (Figura: 10.26) depende do número de espiras englobadas: Iint = N I Aplicando então a Lei de Ampère: 180 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Figura 10.25: Solenóides Figura 10.26: Amperiana no interior do solenóide Z Γ ~ · d~l = B Z ~ · d~l + B Z ~ · d~l + B Γ1 Γ2 | {z } | {z } ~ =0poisB=0 Logo: Z ~ d~l =0poisB⊥ Z Γ3 ~ · d~l + B Z ~ · d~l B Γ4 | {z } ~ d~l =0poisB⊥ ~ · d~l = µ0 I → Bdentro l = µ0 N I → Bdentro = µ0 N I = µ0 nI B l Γ N indica a densidade de espiras do solenóide l Agora, façamos uma amperiana para calcular o campo fora do solenóide onde n = 10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE 181 (Figura: 10.27) : Figura 10.27: Amperiana externa ao solenóide Note que, neste caso, a corrente interna à curva é zero. Portanto o campo magnético fora do solenóide infinite é nulo: Bf ora = 0 Agora, vamos usar o princı́pio da superposição para calcular o campo para os dois solenóides. • Para r < a : Neste caso, temos a influência dos campos dos dois solenóides. Sendo ~ 1 o campo gerado pelo solenóide interno e B ~ 2 o campo gerado pelo B solenóide externo: ~ =B ~1 − B ~ 2 = µ0 In1 − µ0 In2 B ~ = µo I (n1 − n2 ) B • Para a < r < b : Aqui, temos influência apenas do solenóide externo 182 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA ~ = −µ0 In2 B (10.36) • Para r > b : Como estamos fora de ambos os solenóides, o campo neste caso é nulo ~ =0 B Exercı́cio 10.9. Considere um cilindro de raio a com uma cavidade cilı́ndrica de raio b. A distância entre os centros dos cilindros é d. Sendo j a densidade de corrente no condutor, qual é o campo magnético no interior da cavidade? Figura 10.28: Condutor com cavidade Considere como sendo ~x a posição do ponto em questão em relação ao eixo do condutor e ~y como sendo a posição do ponto em relação ao eixo da cavidade: Para resolver esse exercı́cio, será necessária a utilização do princı́pio da superposição. Observe que a configuração final do sistema pode ser obtida se somarmos dois cilindros com sentidos de correntes opostos, como apresentado na Figura 10.30 : Portanto, devemos calcular o campo gerado pelo cilindro maior em um ponto que dista x do seu eixo e somar com o campo gerado pelo cilindro 10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE Figura 10.29: Posicionamento do ponto Figura 10.30: Princı́pio da superposição menor em um ponto que dista y de seu centro. • Cilindro maior Figura 10.31: Lei de Ampère para cilindro maior 183 184 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA H− → → − B · d l = µ0 Iint Γ B1 2πx = µ0 jπx2 → ~ 1 = µ0 jx − B θ 2   → − ~ x = µ0 − j ×→ x B 2 • Cilindro menor Figura 10.32: Lei de Ampère para cilindro menor H− → → − B · d l = µ0 Iint Γ B2 2πy = µ0 jπy 2 → ~ 2 = µ0 jy − ϕ B 2 −  µ → → ~2 = 0 j × − B y 2 Como os sentidos das correntes são opostos, o campo resutante será: − → − → − → B = B1 − B 2   − → µ0 − µ0 − → − → − j ×→ x − j ×→ y B = 2  − →2 µ0 − → − → → j ×(x −− y) B = 2 Mas a seguinte relação sempre é válida: ~x − ~y = d~ . Portanto o campo no interior da cavidade é constante e igual à: → − → µ0  − → − B = j × d 2 185 10.9. POTENCIAL VETOR Exercı́cio 10.10. Calcule o campo no centro da seção circular de um toróide de N espiras. Figura 10.33: Toróide Vamos passar uma amperiana no interior do toróide Figura 10.34: Amperiana no toróide Temos que a corrente interna à amperiana será Iint = N I. Logo Z 10.9 ~ · d~l = µ0 Iint → B2πr = µ0 N I → B ~ = µ0 N I θ̂ B 2πr Potencial Vetor As 4 equações que sintetizam a teoria eletromagnética vistas até agora são: ELETROSTÁTICA ~ ·E ~ = ρ0 ∇ ǫ0 (10.37) ~ ×E ~ =0 ∇ (10.38) 186 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA MAGNETOSTÁTICA ~ ·B ~ =0 ∇ (10.39) ~ ×B ~ = µ0~j ∇ (10.40) Para a eletrostática, devido à equação 10.38, percebe-se que o campo elétrico é um campo conservativo. Logo foi possı́vel definir o potencial elétrico da seguinte forma:   ~ ×E ~ =0⇒E ~ = −∇V ~ ∇ Aplicando esse resultado à equação 10.38: Segue que:   ~ ·E ~ =∇ ~ · −∇V ~ ∇ = −∇2 V ∇2 V = − ρ0 ǫ0 Será que é possı́vel definir um potencial análogo para o campo magnético? ~ ·B ~ = 0. A partir disso, pode-se inferir que B ~ é um campo Sabe-se que ∇ rotacional. Em outras palavras, é possı́vel encontrar um campo vetorial tal que seu rotacionalresulta no campo magnético. Esse campo é denominado  ~ , que é definido do seguinte modo: potencial vetorial A   ~ ~ ~ ~ ~ ∇·B =0⇒B = ∇×A (10.41) Aplicando esse resultado à equação 10.40:     ~ ·A ~ − ∇2 A ~ ~ ×A ~ =∇ ~ ∇ ~ ×B ~ =∇ ~ × ∇ ∇ Como pode-se determinar mais de um campo que satisfaça a equação ~ tal que ∇ ~ ·A ~ = 05 . 10.41, é permitido escolher adequadamente um campo A 5 Denomina-se isso como escolha de calibre, ou escolha de gauge 187 10.9. POTENCIAL VETOR Segue então que: ~ ×B ~ = −∇2 A ~ ∇ ~ = −µ0~j ∇2 A (10.42) ~ não é o operador Laplaciano, pois está sendo aplicado Observação: ∇2 A a um campo vetorial. Na verdade, temos que:     ~ ×A ~ ~ ·A ~ −∇ ~ × ∇ ~=∇ ~ ∇ ∇2 A Particularmente, para coordenadas cartesianas: ∇2 Ax = −µ0 jx ∇2 Ay = −µ0 jy ∇2 Az = −µ0 jz Outras formas de expressar o potencial vetor em função das densidades de corrente6 são: • Densidade volumétrica   Z ~j r~′ dv ′ ~ (~r) = µ0 A 4π ~r − r~′ (10.43)   Z ~k r~′ ds′ ~ (~r) = µ0 A 4π ~r − r~′ (10.44) • Densidade superficial ~r:posição do ponto em relação ao referencial fixo. r~′ : posição do ponto em relação a um elemento de carga. (ver Figura 10.11) 6 188 • Densidade linear CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA   Z I~ r~′ dl′ ~ (~r) = µ0 A 4π ~r − r~′ (10.45) Façamos alguns exemplos: Exercı́cio 10.11. Calcule o potencial vetor para um fio finito percorrido por uma corrente I. Figura 10.35: Fio finito Vamos aplicar a equação que fornece o potencial vetor em função da densidade linear de carga (equação 10.45 ): √ R ~ ~ = µ0 Idz k̂ , comr = z 2 + s2 A 4π r √
R dz µ I µ I ~ = 0 ln z + z 2 + s2 z2 k̂ → A ~= 0 ~ = µ0 I ln √ k̂ → A A z 1 4π 4π 4π z 2 + s2 z2 + z1 + ~ Observe que se aplicarmos o rotacional ao resultado, obtemos o vetor B: p p z22 + s2 z12 + s2 ! k̂ 10.10. CONDIÇÕES DE CONTORNO NA MAGNETOSTÁTICA 189   ∂A ∂A s z ~ ×A ~= ∇ − θ̂.Assim, ∂z " ∂s !# p 2 2 z + s z + ∂A ∂ µ I 2 z 0 2 ~ =∇ ~ ×A ~=− p θ̂ B θ̂ = − ln ∂s ∂s 4π z1 + z12 + s2 ~ B Exercı́cio 10.12. (Griffths, pág , ex: 5.23) Qual densidade de corrente proˆ em coordenadas cilı́ndricas (k é cons~ = k phi, duziria um vetor potencial A tante)? ~ para Para resolver esse exercı́cio, primeiro aplicaramos o rotacional em A ~ para determinar o campo magnético. Depois aplicaremos o rotacional em B determinar a densidade de corrente, de acordo com as equações da magnetostática. Observação: aplicar o rotacional em coordendadas cilı́ndricas ~ = Bz k̂ ~ =∇ ~ ×A ~ = 1 ∂ (ρAρ) k̂ = Aφk̂ = k k̂ B Aφ = k ⇒ B ρ ∂ρ ρ ρ    1 ∂Bz 1 ~ k ~ ~ ~ ~ ~ ∇×B = − ∇ × B = µ0 J ⇒ j = φ̂ φ̂ = + µ0 µ0 ∂ρ µ 0 ρ2 10.10 Condições de Contorno na Magnetostática Vimos que existe uma descontinuidade no campo elétrico em de superfı́cies carregadas, no sentido perpendicular à essa superfı́cie. Da mesma forma, o campo magnético também é descontı́nuo numa superfı́cie de corrente. Para facilitar a análise desse fenômemo, vamos dividı́-lo em 3 etapas, uma para cada componente do campo magnético7 : 7 // //corrente // //superficie B ⊥ = B ⊥superf icie , B// = B//corrente , B⊥ = B⊥corrente 190 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA 10.10.1 Componente perpendicular à superfı́cie Considere uma superfı́cie percorrida por uma corrente I, cuja densidade superficial é ~k. Vamos envolver uma porção dessa superfı́cie por um retângulo cujas faces possuem área A, como mostrado na Figura 10.36. Figura 10.36: Superfı́cie fechada para cálculo do fluxo de B ⊥ Como não há monopólos magnéticos: I ~ · dS ~=0 B S Considerando apenas a componente do campo perpendicular à superfı́cie, teremos fluxo apenas na face superior e inferior do retângulo, portanto: I ~ · dS ~ = B⊥ A − B⊥ A = 0 B acima abaixo S ⊥ ⊥ Bacima = Babaixo Logo essa componente é contı́nua. 10.10.2 Componente paralela à superfı́cie e paralela à direção da corrente Para a mesma superfı́cie descrita anteriormente, vamos traçar uma amperiana da forma como está apresentada na Figura 10.37 . 10.10. CONDIÇÕES DE CONTORNO NA MAGNETOSTÁTICA 191 // Figura 10.37: Amperiana para cálculo de B// Nota-se que a corrente que passa pelo interior da amperiana é nula. Então, aplicando a Lei de Ampère (10.32): I // ~ · d~l = B // B //acima l − B//abaixo l = 0 Γ // // B//acima = B//abaixo Logo essa componente também é contı́nua. 10.10.3 Componente paralela à superfı́cie e perpendicular à direção da corrente Agora, ainda na mesma superfı́cie, traçaremos uma outra amperiana, desta vez em outra direção, como mostrado na Figura 10.38 . ⊥ Figura 10.38: Amperiana para cálculo de B// A corrente que passa pelo interor da amperiana é Iint = kl. Aplicando a 192 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Lei de Ampère (10.32) encontramos que: I // ~ · d~l = B // B ⊥acima l − B⊥abaixo l = µ0 Iint Γ // // B⊥acima l − B⊥abaixo l = µ0 kl // // B⊥acima − B⊥abaixo = µ0 k   // // ~ ~ ~ B⊥acima − B⊥abaixo = µ0 k × ~n Conclui-se que o campo magnético, na direção paralela à superfı́cie e perpendicular ao sentido da corrente, é descontı́nuo. 10.11 Expansão em multipólos Assim como foi feito para o campo elétrico, buscaremos uma forma de expres1 sar o potencial vetorial em uma série de potências de , onde r é a distância r do multipolo até o ponto em questão. A idéia é que esta equação seja útil para analisar o comportamento do campo magnétic à grandes distâncias. Considere a espira apresentada na Figura 10.39 . Figura 10.39: Posição do ponto P em relação à espira Vimos na Seção 10.9 que o potencial vetor, para densidades lineares, é dado por: 193 10.11. EXPANSÃO EM MULTIPÓLOS   I I~ r~′ dl′ ~ (~r) = µ0 A 4π ~r − r~′ (10.46) Γ Podemos reescrever o denominador do integrando da seguinte maneira: ∞ 1 1X √ = = − → − → r n=0 r2 + r′2 − 2rr′ cos θ′ r − r′ 1  ′ n r pn cos θ′ r (10.47) Onde pn é o Polinômio de Legendre8 . Considerando a corrente constante e substituı́ndo 10.47 em 10.46 , encontramos a expressão de multipólos magnéticos: I ∞ µ0 I X 1 n ~ A (~r) = (r′ ) pn cos (θ′ ) d~l′ n+1 4π n=0 r Γ É interessante notar que o termo correspondente ao monopólo (n=0) é 1 H ~′ dl = 0, o que está de acordo com os observações. Então, o termo mais r Γ importante da sequência corresponde ao dipolo magnético (n=1): ~ dipolo = µ0 I A 4πr2 I  Γ  µ0 ~µ × r̂ r̂ · r~′ d~l′ = 4πr2 Onde µ é o momento de dipolo magnético definido na equação 10.14. 8 Pn (x) = 1 n 2 n!  d dx n
n x2 − 1 194 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Capı́tulo 11 Lei da Indução Com as experiências de Oersted, viu-se que correntes elétricas geram campos magnéticos. Ficou então a seguinte dúvida: Pode o campo magnético gerar corrente? Michael Faraday (1791-1867), um dos maiores fı́sicos experimentais, interessou-se em descobrir e estudar essa relação. Em 1831, Faraday montou dois solenóides, com 70 metros de fio de cobre em cada. Os dois foram concatenados, mas um foi ligado à um gerador, enquanto o outro foi conectado a um galvanômetro, como mostrado na Figura 11.1 . Figura 11.1: Solenóides concatenados 195 196 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Notou-se quando uma corrente contı́nua passava pelo solenóide 1, o galvanômetro não acusava passagem de corrente. No entanto, sempre que a chave era ligada ou desligada, surgia uma corrente no circuito 2. Isso levou Faraday a supor que a força eletromotriz no circuito 2 resultava de uma variação do campo magnético no interior dos solenóides. Continuando seus experimentos, ele construiu o circuito apresentado na Figura 11.2 . Figura 11.2: Experimento de Faraday Quando um ı́mã era aproximado ou afastado do solenóide, observava-se uma deflexão do galvanômetro. Se o ı́mã permanecesse imóvel em relação ao circuito, a deflexão era nula. Ainda nesse experimento, Faraday notou que a área dos solenóides também influenciava na força eletromotriz induzida. Suas descobertas podem ser sintetizadas em termos matemáticos da seguinte maneira: ǫind ∝ dB dt ǫind ∝ A Para melhor compreender esse fenômeno, precisamos definir o que é fluxo magnético. 11.1 O Fluxo Magnético Vimos que a força eletromotriz depende tanto da variação do campo magnético ~ e a área quanto da área dos solenóides. A grandeza que relaciona o vetor B 197 11.2. A LEI DE LENZ S permeada por esse campo é denominada de fluxo magnético , e é definida como: ~ ·S ~ = BS cos θ φB = B (11.1) Até agora, tendo em vista as constatações de Faraday, podemos dizer que: |ǫind | = dφB dt (11.2) Substituı́ndo 11.1 em 11.2 : dA dθ dB A cos θ + B − BA sen θ (11.3) dt dt dt Percebe-se então que é possı́vel induzir corrente em uma espira imersa em um campo magnético por meio dos seguintes métodos: |ǫind | = • variando a intensidade do campo. • variando a área como tempo ~eB ~ com o tempo • variando o ângulo entre os vetores A Ainda podemos analisar o fenômeno da indução levando em conta a corrente induzida. Sabe-se que ǫind = RIind , logo: Iind = 11.2 1 dφB R dt A Lei de Lenz Vimos que a variação do fluxo magnético gera corrente elétrica em condutores. Mas o que determina o sentido da corrente induzida? Isso é explicado pela Lei de Lenz: A corrente induzida produz um campo magnético que tende se opôr à variação do fluxo magnético que a gerou 198 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Considere o exemplo da Figura 11.3. Se o ı́mã aproxima-se da espira, o fluxo magnético no interior desta aumentará, então deve surgir uma corrente no sentido anti-horário para reduzir o fluxo. Caso o ı́ma afaste-se da espira, o fluxo no interior desta diminuirá, logo, pela Lei de Lenz, surge uma corrente no sentido horário. Figura 11.3: Deflexão do galvanômetro Se aplicarmos a Lei de Lenz na 11.2 , teremos a Lei de Faraday: ǫind = − dφB dt (11.4) O sinal negativo representa a resistência que o circuito apresenta à variação do fluxo magnético É interessante notar que se fizermos a integral de linha do campo elétrico na espira, teremos: I ~ · d~l = ǫind E (11.5) Γ Ora, vimos na eletrostática que essa integral de linha deveria ser nula sempre! Qual será a inconsistência? Na verdade, não há inconsistência. Ocorre que o campo elétrico estudado na eletrostática tem natureza diferente do campo elétrico induzido. O campo elétrico oriundo de cargas elétricas sempre é conservativo, por isso a integral de linha em um circuito fachado é nula. Mas, devido à equação 11.5, nota-se que o campo elétrico induzido pela variação de fluxo magnético 199 11.2. A LEI DE LENZ não é conservativo. Por isso, é importante distinguir os dois tipos campos elétricos. Seguem alguns exemplos da aplicação da Lei de Lenz: Exercı́cio 11.1. Suponha uma barra condutora, deslizando sem atrito sobre um trilho condutor, em meio a um campo magnético perpendicular ao plano dos trilhos, conforme mostrado na Figura 11.4 . Calcule: a força eletromotriz induzida, a corrente induzida a força magnética e a velocidade da barra em função do tempo. Figura 11.4: Trilho magnético • Força eletromotriz Temos que o fluxo magnético na barra é dado por: φB = BA = Blx portanto a força eletromotriz é: |ǫind | = dφB dx = Bl = Blv dt dt • Corrente induzida: Iind = Blv ǫind = R R • Força magnética: Temos que a força em fios é dada por: 200 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO 2 2 ~ = Iind Bl = B l v − î F~ = I~l × B R (11.6) • Velocidade do fio: Aplicando a segunda lei de Newton ao reultado da equação 11.6 : m dv B 2 l2 v = dt R Resolvendo essa equação diferencial separável:   R v(t) dv R t B 2 l2 B 2 l2 v(t) = − = − dt → ln t v0 0 v Rm v0 Rm B 2 l2 t/ Rm v(t) = v0 e− Vemos então que a força tende à frear à barra. Exercı́cio 11.2. Considere um campo magnético uniforme que aponta pra dentro da folha e está confinado numa região circular de raio R. Suponha que ~ aumenta com o tempo. Calcule o campo elétrico induzido a magnitude de B em todo o espaço: Figura 11.5: Campo magnético Vimos que o campo elétrico induzido pode ser calculado por: I Γ ~ ind · d~l = ǫind = − dφB E dt 201 11.2. A LEI DE LENZ Então precisaremos descrever curvas fechadas para calcular o campo elétrico induzido. Pela simetria do problema, fazermos circunferências de raio r. • Para r < R : Figura 11.6: Curva para cálculo do campo induzido Como a circunferência aborda apenas uma porção do campo, a variação fluxo no seu interior será: φB = Bπr2 → dB 2 dφB = πr dt dt Logo: I ~ ind · d~l = dB πr2 E dt Γ Eind 2πr = dB r dB 2 πr → Eind = dt dt 2 • Para r > R : Como a circunferência aborda todo o campo, a variação fluxo no seu interior será: φB = BπR2 → Logo: dφB dB 2 = πR dt dt 202 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Figura 11.7: Curva para cálculo do campo induzido I ~ ind · d~l = dB πR2 E dt Γ Eind 2πr = dB R2 dB 2 πR → Eind = dt dt 2r Sintetizando os resultados na forma de um gráfico; Figura 11.8: Campo induzido vs distância 11.3 Geradores As experiências de Faraday lançaram os princı́pios de funcionamento de motores elétricos e geradores de eletricidade. ~ rotacionando Considere uma espira imersa em um campo magnético B θ com uma velocidade angular constante ω = . Substiuı́ndo θ na equação t 11.3 , temos que: 203 11.4. EFEITOS MECÂNICOS |ǫind | = ωBA sen ωt Em termos de corrente induzida: Iind = ωBA sen ωt R Calculando a potência gerada para N espiras: P = I|εind | = (N BAω sin(ωt))2 R Observa-se que a bobina gerará corrente alternada. Para evitar isso, empregam-se comutadores no circuito. Isso que foi visto é o princı́pio de funcionamento de vários tipos de usinas de geração de energia, como as hidrelétricas, termoelétricas, eólicas e nucleares. Todas elas envolvem a transferência de energia mecânica de um fluido (água, vento) para a bobina, fazendo-a girar. 11.4 Efeitos Mecânicos A indução magnética, quando aliada a outros fenômenos fı́sicos, pode resultar em efeitos interessantes. Vejamos alguns exemplos 11.4.1 As correntes de Foucault Considere uma chapa metálica e um pente metálico, inicialmente em movimento uniforme, entrando em cum campo magnético, conforme esquematizado na Figura 11.9 . Experimentalmente, observa-se que o chapa metálica sobre uma redução de velocidade mais acentuada que o pente. Por quê? Isso ocorre pois, durante a imersão no campo magnético, a variação do fluxo magnético no interior da chapa é maior do que no pente. Logo a corrente 204 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Figura 11.9: Objetos aproximando-se de um campo magnético induzida, a corrente de Foucault nesse caso, na chapa é superior. Mas a ação do campo magnético sobre a corrente induzida gera uma força que tende a frear o objeto, portanto a chapa sofre uma maior redução de velocidade. Figura 11.10: Correntes de Foucault Pode-se dizer também que as correntes de Foucault resultam em uma maior dissipação por efeito Joule, aquecendo o material que imerge em um campo magnético. 11.4.2 Atrito Magnético Se uma espira condutora é solta em queda livre sobre um imã permanente, a corrente induzida criará um dipolo magnético que tende a ser repelido pelo imã, produzindo uma força de freamento da espira análoga a uma força de atrito viscoso (ver Figura 11.11) . 11.5. INDUTÂNCIA MÚTUA 205 Figura 11.11: Comportamento da espira em queda 11.4.3 Canhão Magnético Considere um solenóide enrolado em um eixo isolante e, acoplado nesse mesmo eixo, uma espira. Quando uma corrente passar pela espira, o fluxo do campo magnético no interior da espira será alterado. A corrente induzida fará com que a espira seja lançada no sentido oposto ao do solenóide. Figura 11.12: Canhào Magnético 11.5 Indutância Mútua Induntância mútua refere-se ao surgimento de uma corrente induzida em um circuito em função da passagem de corrente elétrica em um outro circuito. Considere duas espiras em repouso. Se aplicarmos uma corrente I1 na dφ21 espira 1, ocorrerá uma variação do fluxo de campo magnético na espira dt 2, surgindo então uma força eletromotriz induzida ǫ2 dada por: 206 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Figura 11.13: Exemplo de indutância mútua ǫ2 = − dφ21 dt Mas a variação do fluxo do campo magnético depende de uma variação de corrente na espira 1: dI1 dφ21 ∝ dt dt Então podemos substituir essa proporcionalidade por uma igualdade por meio da definição da constante de indução mútua M21 1 : dI1 dφ21 = M21 dt dt M21 = dφ21 dI1 (11.7) (11.8) Experimentalmente, observa-se que a constante de indução mútua depende apenas da geometria das espiras e também da distância entre elas. Neumann deduziu uma fórmula que permite determinar essa constante. Temos que o fluxo do campo magnético pode ser calculado por: 1 [M21 ] = H(henry) = T m2 A 207 11.5. INDUTÂNCIA MÚTUA φ21 = Z Z Z Z  ~ · dS ~2 = B S2 S2  ~2 ~ ×A ~ 1 · dS ∇ Aplicando o Teorema de Stokes: φ21 = Z Z   ~2 = ~ ×A ~ 1 · dS ∇ S2 I ~ 1 · d~l2 A Γ2 Pela equação 10.45 : φ21 µ0 = I1 4π µ0 φ21 = dt 4π I I I I d~l1 · d~l2 r d~l1 · d~l2 dI1 r dt (11.9) Comparando as equações 11.9 e 11.7 encontramos a Fórmula de Neumann: M21 µ0 = 4π I I d~l1 · d~l2 r (11.10) Como podemos comutar os fatores da fórmula, conclui-se que: M12 = M21 = M Isso indica que, independentemente das formas e posições das espiras, o fluxo através de 2 quando uma corrente I passa em 1 é idêntico ao fluxo através de 1 quando a passamos a corrente I ao redor de 2. No entanto, ainda é mais interessante calcular M por meio da equação 11.8 do que pela Fórmula de Neumann, como veremos nos exemplos a seguir. Exercı́cio 11.3. Calcule a indutância mútua entre duas espirar coplanares e concêntricas de raios R1 e R2 , com R1 >> R2 . Para calcular a indutância mútua, precisamos calcular uma relação entre a variação de corrente em uma espira e a variação do fluxo magnético na 208 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Figura 11.14: Espiras coplanares e concêntricas outra espira. Sabemos que a campo magnético no centro de uma espira circular é B = µ0 I . Como R1 >> R2 , pode-se considerar que o campo no interior da espira 2R1 2 é constante, logo o fluxo no seu interior será: φ21 = BA = µ0 I πR2 2R1 2 Então temos que: µ0 dφ21 = πR2 dI 2R1 2 Logo a indutância mútua é: M= µ0 πR22 2R1 Exercı́cio 11.4. Calcule a indutância mútua entre dois solenóides concêntricos de desnsidades de espiras n1 e n2 . Para calcular a indutância mútua, precisamos calcular uma relação entre a variação de corrente em um solenóide e a variação do fluxo magnético no outro. Sabemos que a campo magnético no interior do solenóide 1 é B = µ0 In1 . Como o campo no interior do solenóide 2 é constante, o fluxo no seu interior será: 11.5. INDUTÂNCIA MÚTUA 209 Figura 11.15: Solenóides concêntricos φ21 = BAn2 l = µ0 In1 n2 lπR22 Então temos que: dφ21 = µ0 n1 n2 lπR22 dI Logo a indutância mútua é: M = µ0 n1 n2 lπR22 Exercı́cio 11.5. Calcule a indutância mútua entre dois toróides concatenados com N1 e N2 enrolamentos. Figura 11.16: Toróides concatenados Para calcular a indutância mútua, precisamos calcular uma relação entre a variação de corrente em um toróide e a variação do fluxo magnético no outro. 210 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO µ 0 N1 I Sabemos que a campo magnético no interior do toróide 1 é B = . 2πr Considerando que o campo no interior do toróide apresenta simetria cilı́ndrica, o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral: Figura 11.17: Elemento de área na seção do toróide φ21 = N2 φ21 = R ~ 1 · d~s2 = N2 B b µ0 N1 N2 I1 h ln( )I 2π a Rb µ0 N1 I1 hdr 2πr a Então temos que: µ 0 N 1 N2 b dφ21 = h ln( ) dI 2π a Logo a indutância mútua é: M= 11.6 µ0 N1 N2 b h ln( ) 2π a Auto-Indutância Considere novamente uma espira de N voltas pela qual passa uma corrente I. Se ocorre alguma alteração na corrente, o fluxo através da espira varia 11.6. AUTO-INDUTÂNCIA 211 com o tempo, então, de acordo com a lei de Faraday, uma força eletromotriz induzida surgirá para gerar um campo no sentido oposto à variação do fluxo ~ inicial. Então podemos dizer que o próprio campo opõe-se a qualquer de B mudança da corrente, e assim temos o fenômeno da auto-indutância. Figura 11.18: Efeitos da auto-indutância Definimos matematicamente a auto-indutância L2 da seguinte maneira: dφB dI dI dφB = =L dt dI dt dt dφB (11.11) L= dI Do mesmo modo que a indutância mútua, a auto indutância depende apenas de fatores geométricos da espira em questão. Exercı́cio 11.6. Calcule a auto-indutância de um solenóide. Figura 11.19: Solenóide Para calcular a auto-indutância, precisamos calcular como uma variação 2 [L] = H(henry) 212 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO de corrente no solenóide varia o fluxo magnético no interior do próprio solenóide. Sabemos que a campo magnético no interior desse objeto é B = µ0 In. Como o campo no interior do solenóide é constante, o fluxo no seu interior será: φB = BAnl = µ0 In2 lπR2 Então temos que: dφB = µ0 n2 lπR2 dI Logo a auto-indutância é: L = µ0 n2 lπR2 Exercı́cio 11.7. Calcule a auto-indutância de um toróide de seção retangular. Figura 11.20: Toróide Para calcular a auto-indutância, precisamos calcular como uma variação de corrente no toróide varia o fluxo magnético no interior do próprio toróide. µ0 N I Sabemos que a campo magnético no interior desse objeto é B = . 2πr Considerando que o campo no interior do toróide apresenta simetria cilı́ndrica, o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral: 11.7. ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES 213 Figura 11.21: Elemento de área na seção do toróide φB = N Z ~ · d~s = B Zb µ0 N 2 I µ0 N 2 I b hdr = h ln( ) 2πr 2π a a Então temos que: µ0 N 2 b dφ21 = h ln( ) dI 2π a Logo a auto-indutância é: L= 11.7 µ0 N 2 b h ln( ) 2π a Associação de Indutores Indutores são componentes eletrônicos que apresentam elevada indutância. Devido à Lei de Lenz, tais elementos evitam variações bruscas de corrente, sendo essa uma das principais funções desempenhadas pelos indutores em circuitos eletrônicos. Sabe-se que a diferença de potencial nos terminais de um indutor tem a mesma magnitude da força eletromotriz induzida nele, ou 214 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO seja: V =L dI dt (11.12) Quando um circuito apresenta mais de um indutor associado, é possı́vel substituı́-los por um indutor equivalente, a fim de simplificar os futuros cálculos relativos ao circuito. Mas para calcular a indutância equivalente, devemos levar em conta tanto os efeitos de auto-indução quanto de indutância mútua entre os componentes da associação. Faremos, como exemplo, a associação de dois indutores em série e dois indutores em paralelo. 11.7.1 Dois indutores em série Figura 11.22: Exemplo de indutância mútua Em uma associação em série, a corrente é a mesma em todos os indutores. L dI dI dI dI dI dI = L1 + M + L2 + M = (L1 + L2 + 2M ) dt dt dt dt dt dt 11.7. ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES 215 Observe que o primeiro e o terceiro termo referem-se às auto-indutâncias de 1 e 2, respectivamente, já o segundo e o quarto termo referem-se às indutâncias mútuas. Segue então que: L = L1 + L2 + 2M 11.7.2 (11.13) Dois indutores em paralelo Figura 11.23: Exemplo de indutância mútua Em uma associação em paralelo, a diferença de potencial é a mesma para todos os indutores. Calculando a ddp para cada ramo: dI1 dI2 +M (11.14) dt dt dI2 dI1 +M (11.15) V2 = L2 dt dt Multiplicando as duas equações pela constante de indutância mútua: V1 = L1 dI2 dI1 + M2 dt dt dI2 dI1 V2 M = L2 M + M2 dt dt Multiplicando agora a equação 11.14 por L2 e a 11.15 por L1 : V1 M = L1 M (11.16) (11.17) 216 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO dI1 dI2 + M L2 dt dt dI1 dI2 + M L1 V2 L1 = L2 L1 dt dt V1 L2 = L1 L2 (11.18) (11.19) Mas, da associação em paralelo, temos que: V = V1 = V2 I = I1 + I2 Logo, subtraı́ndo 11.16 de 11.19 e 11.17 de 11.18, encontramos que: dI2 − M2 dt dI1 − M2 V (L2 − M ) = L1 L2 dt V (L1 − M ) = L1 L2 dI2 dt dI1 dt (11.20) (11.21) Somando as equações 11.20 e 11.21: V (L1 + L2 − 2M ) = L1 L2 − M 2 L= L1 L 2 − M 2 L1 + L2 − 2M
dI dt (11.22) Nota-se que, se desconsiderarmos os efeitos da indutância mútua, a associação de indutores é idêntica à associação de resistores. 11.8 Circuito R-L Considere o circuito da Figura 11.24, com as condições iniciais: 217 11.8. CIRCUITO R-L Figura 11.24: Circuito R-L t = 0 , I(t) = 0 V t = ∞ , I(t) = R A equação do circuito é: V − RI − L dI =0 dt (11.23) V L dI −I = R R dt t Z ZI(t) dI R − dt = L I − VR 0 0  I(t) V R ln I − = − t R 0 L R V V −Lt I(t) − = − R R 218 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO I(t) =  R V  1 − e− L t R (11.24) Quanto maior for a indutância L do indutor no circuito, maior será o tempo para a corrente se aproximar da máxima Imax = V /R. Figura 11.25: Gráfico de corrente de um circuito R-L 11.9 Circuito L-C Considere o circuito da Figura 11.26, com o capacitor inicialmente carregado com uma carga Q0 , ou seja, as condições iniciais: t = 0 , Q(t = 0) = Q0 t = 0 , I(t = 0) = 0 A equação do circuito é: dI Q −L =0 C dt Como o capacitor está descarregando, I = −dQ/dt, e portanto: (11.25) 219 11.9. CIRCUITO L-C Figura 11.26: Circuito L-C 1 d2 Q + Q=0 dt2 LC (11.26) Que é a equação de um oscilador harmônico, cuja solução é: Q(t) = Q0 cos(ωt) Onde: ω2 = I(t) = − Análise de energia: 1 LC dQ = ωQ0 sen(ωt) dt I0 = Q0 ω (11.27) 220 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Figura 11.27: Gráfico de corrente e carga no capacitor em um circuito L-C Q2 1 UE = Ucapacitor = CV 2 = 2 2C 2 Q cos2 (ωt) UE = 2C L LQ20 ω 2 Q2 1 sen2 (ωt) = 0 sen2 (ωt) UB = Uindutor = LI 2 = I02 sin2 (ωt) = 2 2 2 2C Q2 U = UE + UC = 2C Figura 11.28: Energia em um circuito L-C 11.10. ANALOGIA COM SISTEMA MECÂNICO 11.10 Analogia com sistema mecânico Analogia com sistema mecânico massa-mola: d2 x K + x=0 dt2 M 1 2 K 2 U = mv + x 2 2 d2 Q 1 + Q=0 2 dt LC 1 1 2 U = LI 2 + Q 2 2C Figura 11.29: Analogia do circuito LC com sistema mecânico. m L 1/k C x Q v = ẋ I = Q̇ 2 mv /2 LI 2 /2 kx2 2 Q2 2C 221 222 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO d2 x = −kx + mg dt2 x(t) = h + A cos(ω0 t) x(0) = h + A ẋ(0) = 0 dI Q + =V dt C q(t) = q1 + (q0 − q1 ) cos(ω0 t) q(0) = q0 q̇(0) = 0 Molas em série Capacitores em paralelo m x = x1 + x2 = F  1 K1 + Molas em paralelo 11.11 1 K2 L  q = ε(C1 + C2 ) Capacitores em série Circuito R-L-C Considere o circuito da Figura 11.30, com o capacitor inicialmente com carga Q0 . A equação do circuito é: Q dI − RI − L = 0 C dt 223 11.11. CIRCUITO R-L-C Figura 11.30: Circuito R-L-C : Fazendo I = − dQ dt d2 Q R dQ Q + + =0 2 dt L dt LC (11.28) Com a condição inicial: Q(0) = Q0 O análogo mecânico à este circuito é o oscilador amortecido: dx d2 x + 2β + ω02 x = 0 dt2 dt (11.29) Cuja solução é dada por: −βt x(t) = e   q q 2 2 2 2 A1 exp( β − ω0 t) + A2 exp(− β − ω0 t) A análise deve ser dividida em três casos: • ω02 > β: subcrı́tico • ω02 = β: crı́tico • ω02 < β: supercrı́tico (11.30) 224 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Figura 11.31: Comportamentos do oscilador amortecido. 11.11.1 Subcrı́tico ω12 = ω02 − β 2 , ω12 > 0 Q(t) = e−βt [A1 exp(iω1 t) + A2 exp(−iω1 t)] A solução pode ser reescrita como: Q(t) = Ae−βt cos(ω1 t − δ) Que corresponde a uma oscilação de freqüência angular ω1 , com uma amplitude decrescente com o tempo de um fator e−βt . 11.11.2 Crı́tico Q(t) = (A + Bt)e−βt 11.11.3 Supercrı́tico Q(t) = e−βt [A1 exp(ω2 t) + A2 exp(−ω2 t)] 11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS 225 Figura 11.32: Oscilador amortecido subcrı́tico. 11.12 Energia em Campos Magnéticos Vimos anteriormente que a energia elétrica podia ser escrita em termos do campo elétrico, o que nos fornecia a interpretação da energia armazenada no campo. Agora vejamos como seria a energia magnética em termos do campo. Sabemos que: φB = LI Por outro lado: φB = Z ~ · d~s = B S Aplicando o Teorema de Stokes: Z S ~ × A) ~ · d~s (∇ 226 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Z ~ × A) ~ · d~s = (∇ S φB = I I ~ · d~l A Γ ~ · d~l = LI A Γ A energia magnética é dada por: 1 I U = LI 2 = 2 2 I ~ · d~l A Γ ~ Sabendo que Id~l = Jdv: I U= 2 Z ~ · J)dv ~ (A V ~ ×B ~ = µ0 J, ~ então: Mas ∇ 1 U= 2µ0 Z ~ · (∇ ~ × B)dv ~ A V Utilizando a identidade: ~ · (A ~ × B) ~ = B ~ · (∇ ~ × A) ~ −A ~ · (∇ ~ × B) ~ ∇ ~ · (∇ ~ × B) ~ = B ~ · (∇ ~ × A) ~ −∇ ~ · (A ~ × B) ~ =B ~ ·B ~ −∇ ~ · (A ~ × B) ~ A Temos:   Z Z 1  ~ ~ ~ · (A ~ × B)dv ~  B·B− ∇ U= 2µ0 V V 227 11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS Aplicando o teorema da divergência: 1 U= 2µ0 Z ~ ·B ~− 1 B 2µ0 V Z ~ × B)d~ ~ s (A S Fazendo V → todo espaço, o segundo termo tende a zero, portanto: 1 UB = 2µ0 Z B 2 dv (11.31) R3 A densidade de energia do campo magnético é dado por: uB = B2 2µ0 (11.32) Note a similaridade das energias dos campos elétrico e magnético: 1 2 UE = UB = 1 2 Z Z V V ρV dv ε = 2 Z E 2 dv 3 Z  1 ~ ~ A · J dv = B 2 dv 2µ0 3 Exemplo 11.1. Cabo coaxial. Calcular a energia armazenada em uma seção de comprimento l. Resolução. Pela lei de Ampère, o campo magnético no cabo é dado por: 228 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO I ~ · d~l = µ0 I B B2πr = µ0 I µ0 I B = 2πr   µ0 I θ̂ B = 2πr 0 ,a < r < b , r < a ou r > b A densidade de energia é dada por: u= µ0 I 2 B2 µ20 I 2 = = 2µ0 2µ0 4π 2 r2 8π 2 r2 A energia armazenada em um trecho será:    0 ≤ θ ≤ 2π ZZZ  µ0 I 2 rdθdrdz, a ≤ r ≤ b U =  8µ0 π 2 r2   0≤z≤l   Zb µ0 I 2 1 µ0 I 2 b U = 2πl dr = l ln 2 8π r 4π a a Pelo método anterior, terı́amos que, primeiro, calcular a auto-indutância: 229 11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS φ = Z ~ · d~s = B ZZ µ0 I drdz, 2πr (   µ0 I b φ = l ln 2π a   µ0 l b dφ = ln L = dI 2π a A energia armazenada será então: LI 2 2   b µ0 I 2 l ln U = 4π a U = a≤r≤b o≤z≤l 230 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Capı́tulo 12 Equações de Maxwell 12.1 Introdução Até Faraday, o campo elétrico e o campo magnético eram tratados independentemente. Com a Lei da indução de Faraday, vimos que a variação do campo magnético com o tempo gera campo elétrico. I ~ · d~l = − d E dt Z ~ · d~s B S Γ O campo elétrico e magnético não são mais tratados independentemente, sendo assim chamado de campo eletromagnético. Em aproximadamente 1860 J.C. Maxwell constatou uma inconsistência entre as equações até então e na equação da continuidade. As equações que conhecemos até agora, na forma diferencial, são: 231 232 CAPÍTULO 12. EQUAÇÕES DE MAXWELL ~ ~ ×E ~ = − ∂B ∇ ∂t ~ ~ ∇ × B = µ0 J~ ~ ·E ~ = ρ ∇ ε0 ~ ·B ~ = 0 ∇ E a equação da continuidade (Equação 9.2): ~ · J~ + ∂ρ = 0 ∇ ∂t Se aplicarmos o divergente na lei de Ampère, temos: ~ · (∇ ~ × B) ~ = µ0 ∇ ~ · J~ ∇ ~ · J~ = 0 ∇ Ou seja, a lei de Ampère, na forma atual, não é sempre válida, mas somente para corrente estacionária. É possı́vel também verificar a inconsistência a partir da forma integral da lei de Ampère. 233 12.2. MODIFICAÇÃO NA LEI DE AMPÈRE Considere o carregamento do capacitor na figura.Vamos aplicar a Lei de Ampère, mas vamos considerar duas superfı́cies abertas e distintas, ambas delimitadas pela mesma curva γ: (a) H ~ · d~l = µ0 I~ B (b) H ~ · d~l = 0 B Figura 12.1: Duas superfı́cies possı́veis para aplicar a lei de Ampère. As duas integrais deveriam ter o mesmo valor, pois tem o mesmo bordo! Assim, há uma inconsistência na lei de Ampère, que requer uma modificação feita por Maxwell. 12.2 Modificação na lei de Ampère Podemos encontrar essa modificação de duas formas. Primeira Forma Retomando o exemplo anterior, vimos que: I S1 J~ · d~s1 − I J~ · d~s2 6= 0 S2 ~ 1 e dS ~2 e que S1 e S2 juntas formam Então, considerando o sentido de dS uma superfı́cie fechada, utilizando a equação da continuidade: 234 CAPÍTULO 12. EQUAÇÕES DE MAXWELL (a) H ~ · d~l = µ0 I~ B (b) H ~ · d~l = 0 B Figura 12.2: Duas superfı́cies possı́veis para aplicar a lei de Ampère. I d J~ · d~s = − dt S Z ρdv 6= 0 A corrente de transporte, ou de condução, não se anula, pois a carga está se acumulando no capacitor, ou seja ∂ρ 6= 0. ∂t A lei de Ampère original implica em ∇·J~ = 0, mas nesse caso, ∇·J~ = − ∂ρ . ∂t Então algo dever ser adicionado à lei de Ampère para torná-la consistente com a conservação da carga neste caso. Podemos calcular ρ da lei de Gauss: 235 12.2. MODIFICAÇÃO NA LEI DE AMPÈRE ~ ·E ~ = ρ ⇒ ρ = ε0 ∇ ~ ·E ~ ∇ ε0 ~ ~ ·E ~ =∇ ~ · −ε0 ∂ E ~ · J~ = −ε0 ∂ ∇ ∇ ∂t ∂t ! ~ ~ · J~ + ε0 ∂ E = 0 ∇ ∂t ! ~ Maxwell então substituiu J~ da Lei de Ampère por J~′ = J~ + ε0 ∂∂tE . Então, chegamos na lei de Ampère-Maxwell: ~ ~ ×B ~ = µ0 J~ + µ0 ε0 ∂ E ∇ ∂t (12.1) Ou, na forma integral: I ~ · d~l = µ0 I + µ0 ε0 ∂ B ∂t Z ~ · d~s E (12.2) Então: I ~ · d~l = µ0 I + µ0 ε0 dφE B dt O termo adicional µ0 ε0 dφdtE , Maxwell chamou de corrente de deslocamento, apesar dela não significar corrente no sentido que conhecemos. Significado: A variação de campo elétrico, mesmo na ausência de corrente, gera campo magnético Segunda Forma Novamente considerando S1 e S2 , no caso de um capacitor de placas paralelas. 236 CAPÍTULO 12. EQUAÇÕES DE MAXWELL C= A Q = ε0 ⇒ ε0 A = Q Vd ⇒ ε0 E = V d dQ dE = ε0 A dt dt 1 dQ dE J~D = = ε0 A dt dt Q A Enquanto o capacitor está carregando o campo elétrico varia no tempo. ~ por S2 varia no tempo: O fluxo de E 12.3. EQUAÇÕES DE MAXWELL 237 ~ ×B ~ = µ0 (J+?) ~ ~ ×B ~ = µ0 (J~ + J~D ) ∇ ⇒∇ ~ ~ ×B ~ = µ0 J~ + µ0 ε0 ∂ E ∇ ∂t Desta forma, Maxwell construiu uma teoria unificada e consistente. Ao conjunto formado pela Lei de Ampère modificada e as outras 3 já conhecidas, dá-se o nome de Equações de Maxwell. 12.3 Equações de Maxwell As equações de Maxwell no vácuo são: 12.3.1 Forma diferencial ρ ε0 ~ ~ ∇·B = 0 ~ ~ ×E ~ = − ∂B ∇ ∂t ~ ·E ~ = ∇ ~ ~ ×B ~ = µ0 J~ + µ0 ε0 ∂ E ∇ ∂t 238 12.3.2 CAPÍTULO 12. EQUAÇÕES DE MAXWELL Forma integral I I I I ~ · d~s = Qint E ε0 ~ · d~s = 0 B ~ · d~l = − d E dt Z ~ · d~s B S ~ · d~l = µ0 I + µ0 ε0 ∂ B ∂t Z ~ · d~s E Estas equações formam a base de todos os fenômenos eletromagnéticos e em conjunto com a equação da força de Lorentz e a 2a lei de Newton descrevem de forma completa a dinâmica clássica da interação de partı́culas carregadas e seus campos eletromagnéticos. 12.4 Equações de Onda As equações de Maxwell, para ρ = 0 e J~ = ~0 são: ~ ·E ~ = ∇ ~ ·B ~ = ∇ 0 (I) 0 (II) ~ ∂B (III) ∂t ~ ~ ×B ~ = µ0 ε0 ∂ E (IV) ∇ ∂t ~ ×E ~ = ∇ − Aplicando o rotacional em III, temos: 239 12.4. EQUAÇÕES DE ONDA ~ ×∇ ~ ×E ~ =−∂∇ ~ ×B ~ ∇ ∂t ~ ×∇ ~ ×E ~ =∇ ~ · (∇ ~ · E) ~ −∇ ~ 2E ~ ⇒ −∇ ~ 2E ~ =−∂ ∇ ∂t ! ~ ~ 2E ~ − ∂ µ0 ε 0 ∂ E = 0 ∇ ∂t ∂t ~ ∂E µ0 ε 0 ∂t ! Que é a equação de onda para o campo elétrico: 1 =c µ0 ε 0 2~ ~ 2E ~ − 1 ∂ E =0 ∇ c2 ∂t2 v=√ 2~ ~ 2E ~ − 1 ∂ E =0 ∇ c2 ∂t2 (12.3) O campo eletromagnético no vácuo se propaga à velocidade da luz, o que foi uma das principais evidências para se concluir que a luz é uma onda eletromagnética. ~ basta aplicar o rotacional em IV: Para B, ~ ×∇ ~ ×B ~ =∇ ~ ·∇ ~ ·B ~ −∇ ~ 2B ~ ∇ ~ ×E ~ ~ 2B ~ = µ0 ε 0 ∂ ∇ −∇ ∂t 2~ ~ 2B ~ − µ0 ε 0 ∂ B = 0 ∇ ∂t2 240 CAPÍTULO 12. EQUAÇÕES DE MAXWELL ~ 1 ∂2B 2~ ~ ∇ B− 2 2 =0 (12.4) c ∂t O campo magnético se propaga no vácuo com velocidade c. Isso mostra que a luz é uma onda eletromagnética, caracterizando assim a natureza ondulatória da luz. Maxwell fez a unificação de dois campos da fı́sica até então distintos, o Eletromagnetismo e na Óptica. Sem Maxwell não entenderı́amos radiação eletromagnética. A relatividade restrita originou-se dos Equações de Maxwell. Capı́tulo 13 Materiais Magnéticos 13.1 Propriedades Magnéticas da Matéria Apresentaremos neste tópico uma discussão qualitativa tentando não usar a mecânica quântica. No entanto, devemos ter em mente que: Não é possı́vel compreender os efeitos magnéticos da matéria do ponto de vista da fı́sica clássica! As propriedades magnéticas dos materiais são fenômenos completamente quânticos. Apesar disso, faremos uso de descrições clássicas, embora erradas, para termos uma visão, ainda que muito limitada, do que está acontecendo. Inicialmente, vamos pressupor já conhecidos alguns conceitos: 1. Átomo: núcleo no centro e elétrons orbitando ao seu redor; 2. Elétron é negativamente carregado 3. O elétron possui um momento angular intrı́nseco que é denominado spin. Vejamos então inicialmente: 241 242 CAPÍTULO 13. MATERIAIS MAGNÉTICOS Figura 13.1: Produção de campo magnético pelo elétron. Efeitos devido às órbitas dos elétrons - Elétrons nos átomos produzem campos magnéticos. Os elétrons giram ao redor do núcleo em órbitas, o que é o mesmo se tivéssemos espiras de corrente. Por outro lado, correntes produzem campo magnético. Normalmente, no entanto, este é um efeito pequeno, pois no total há um cancelamento, visto que as órbitas estão aleatoriamente orientadas. - O que acontece então se colocarmos o material na presença de um campo ~ Pelo que já estudamos sabemos que, pela lei de Lenz, teremos externo B? correntes induzidas, de sentido tal a se opor ao aumento do campo. Desta forma, os momentos magnéticos induzidos nos átomos são opostos ao campo magnético. Desta forma o efeito resultante é: o campo magnético total resultante é menor. 13.2. MOMENTOS MAGNÉTICOS E MOMENTO ANGULAR 13.2 243 Momentos magnéticos e Momento angular Consideremos uma carga q se movendo numa órbita circular. Figura 13.2: Carga em órbita circular. O momento angular clássico orbital é: ~ = ~r × p~ L ~ = mvr |L| Por outro lado, sabemos que a corrente é: I= qv q carga = 2πr = tempo 2πr v Sabemos também que o momento magnético é: µ = IA = Iπr2 = qv 2 qvr πr = 2πr 2 Das equações acima, temos: ~µ = No caso do elétron, temos: ~ qL 2m (13.1) 244 CAPÍTULO 13. MATERIAIS MAGNÉTICOS Figura 13.3: Momento magnético da órbita do elétron. ~µ = − ~ eL 2me (13.2) Isto é o que se espera classicamente e como milagre também vale quanticamente. Além do momento angular orbital, elétrons possuem um momento angular intrı́nseco (spin), que associado a este há um momento magnético: ~µs = − e ~ S me (13.3) Algumas propriedades: • Lei de Lenz não se aplica, pois este campo está associado ao elétron por si mesmo. ~ não pode ser medido. Entretanto, sua componente ao • O próprio S longo de qualquer eixo pode ser medida. ~ é quantizada. • Uma componente medida de S Quantização de Sz : 13.2. MOMENTOS MAGNÉTICOS E MOMENTO ANGULAR 245 Sz = m s ~ 1 ms = ± 2 h ~ = 2π Sendo h a constante de Plank, cujo valor é de 6, 63 × 10−34 J.s. Portanto, o momento magnético de spin será dado por: ems ~ e~ =± = ±µB me 2me eh J e~ = = 9, 27 × 10−24 = 2me 4πme T µs,z = − µB A constante µB é chamada magnéton de Bohr. Momentos magnéticos de spins de elétrons e de outras partı́culas são então expressos em termos de µB . ~ não pode ser Da mesma forma que o spin, o momento angular orbital L medido, apenas a sua componente ao longo de qualquer eixo. L = ml ~ ml = 0, ±1, ±2, · · · Onde ml é o número quântico magnético orbital. µ=− eL eml ~ =− = −ml µB 2me 2me Vimos durante o nosso curso que se colocássemos uma espira passando corrente num campo magnético, esta sentia uma força, e observamos a tendência ~ do alinhamento do momento magnético ~µ com B. 246 CAPÍTULO 13. MATERIAIS MAGNÉTICOS Figura 13.4: Torque causado por um campo magnético em uma espira. ~ ~τ = ~µ × B Desta forma, se colocarmos um material composto por átomos que possuem um momento magnético permanente, inicialmente orientado em direções distribuı́das ao acaso, na presença de um campo magnético, esses momentos magnéticos se orientarão na direção do campo, resultando em uma magnetização diferente de zero. Então como resultado teremos que o campo magnético resultante será maior que o original. A grandeza magnetização é definida como o dipolo magnético por unidade de volume: 1 X d~µ ~µi = ∆v→0 ∆v dv i ~ = lim M O que implica em: ~µtotal = Z v Análise dimensional: ~ dv M (13.4) 247 13.3. MATERIAIS DIAMAGNÉTICOS h h i ~ B i ~ = momento magné tico = corrente x á rea = A = M volume comprimento m µ0 (13.5) Perceba que esta grandeza é análoga à polarização de materiais dielétricos. Resumo até então • Lei de Lenz nas órbitas dos elétrons se opõe ao aumento do campo no material. Isto pode ser pensado como se o elétron fosse acelerado ou retardado em sua órbita. • Torque magnético agindo em elétrons individualmente aumentando o campo magnético no material. Ou seja, temos dois comportamentos opostos. Qual deles é mais importante? Isto dependerá das propriedades do material (estrutura quı́mica, se há elétrons livres, etc). Podemos, no entanto notar que é muito mais custoso mudar as órbitas dos elétrons que seus spins. A este respeito, podemos separar os materiais em três categoriais: 1. Materiais diamagnéticos; 2. Materiais paramagnéticos; 3. Materiais ferromagnéticos. 13.3 Materiais Diamagnéticos São materiais que apresentam uma magnetização oposta ao campo magnético. • O campo magnético no interior do material é menos intenso que o externo. 248 CAPÍTULO 13. MATERIAIS MAGNÉTICOS Figura 13.5: Substâncias diamagnéticas são repelidas do campo magnético, deslocando-se para a região de campo magnético menos intenso. • Lei de Lenz ganha do efeito do spin. O diamagnetismo é muito fraco e difı́cil de se ver. A Lei de Lenz sempre está presente em todos os materiais. O efeito do spin, se estiver presente, será sempre mais forte. Logo, os materiais diamagnéticos são aqueles onde não há o efeito do spin. Exemplos de materiais diamagnéticos: • Orbitais que possuem os elétrons emparelhados ⇒ não há momento magnético resultante. 13.4 Materiais Paramagnéticos São materiais nos quais a magnetização aumenta na presença de um campo externo. • O campo magnético no interior do material é mais intenso que o externo. • Efeito de spin ganha da Lei de Lenz. Os átomos possuem um momento magnético resultante e permanente ~µ. Na ausência de campo externo estes momentos estão orientados de forma ~ 13.5. MAGNETIZAÇÃO E O CAMPO H 249 Figura 13.6: Substâncias paramagnéticas são atraı́das para região de campo magnético mais intenso. aleatória, e o momento de dipolo magnético resultante do material é nulo. Entretanto, se uma amostra do material for colocada em um campo magnético externo, os momentos tendem a se alinhar com o campo, o que dá um mo~ ext . mento magnético total ~µtotal não nulo na direção do campo externo B 13.5 ~ Magnetização e o campo H Relembrando a definição de magnetização (Equação 13.4): ~ = d~µ = momento de dipolo magné tico M dv unidade de volume ~ , tal que: Definimos um novo campo magnético H   ~ +M ~ ~ = µ0 H B ~ ~ ~ ≡ B −M H µ0 ~ campo magnético total = indução magnética • B: ~ campo magnético devido às correntes externas • H: (13.6) (13.7) 250 CAPÍTULO 13. MATERIAIS MAGNÉTICOS ~ : magnetização, componente de B ~ devido às propriedades do mate• M rial. ~ caiu do céu? Você pode estar se perguntando, mas esta formula de H Podemos chegar nela da seguinte forma: Como um dos exercı́cios da lista, você deve ter obtido que o potencial vetor de um único dipolo é dado por: ~ (~r) = µ0 ~µ × R̂ A 4π R̂ Se pensarmos num material, então cada elemento de volume possui um ~ dv, logo: momento de dipolo magnético M ~ (~r) = µ0 A 4π Z ~ ′ M (~r ) × R̂ ′ dv R2 Utilizando a identidade:   R̂ 1 ~ = 2 ∇ R R ′ Temos: ~ (~r) = µo A 4π   Z  1 ′ ′ ~ ~ dv ′ M (~r ) × ∇ R Utilizando a identidade:       ~ ~ ×M ~ −M ~ × ∇f ~ × fM ~ ∇ = f ∇       ~ ×M ~ −∇ ~ × fM ~ ~ ~ × ∇f = f ∇ ⇒M Ficamos com: ~ 13.5. MAGNETIZAÇÃO E O CAMPO H 251  !  Z Z     ′ ~ 1 ~′ ~ (~r) = µ0 ~ ′ × M (~r ) dv ′ ~ (~r′ ) dv ′ − ∇ A ∇ ×M  4π  R R Z ~′ I ~ ′ ~ (~r′ ) µ0 µ0 ∇ ×M M (~r ) × n̂′ ′ ′ ~ A (~r) = dv + ds 4π R 4π R Relembrando, tı́nhamos escrito: ~ (~r) = µ0 A 4π Z ~ ′ J (~r ) ′ ds R Desta forma, podemos identificar dois termos: ~ (~r) = µ0 A 4π Z ~ I ~κM (~r′ ) ′ JM (~r′ ) ′ µ0 dv + dv R 4π R ~′×M ~ (~r′ ): Densidade de corrente de magnetização; • J~M (~r′ ) = ∇ ~ (~r′ ) × n̂′ : Densidade superficial de corrente de magne• ~κM (~r′ ) = M tização. Similar a: ~ · P~ ρp = −∇ σp = p~ · n̂ Havendo corrente de magnetização e, simultaneamente, correntes livres (que não podemos controlar), o campo de indução magnética tem a sua origem em ambas: 252 CAPÍTULO 13. MATERIAIS MAGNÉTICOS ~ ×B ~ = µ0 ∇  J~livre + J~M | {z }  densidade de corrente total   ~ ×M ~ ~ ×B ~ = µ0 J~livre + ∇ ∇ ~ ×B ~ −∇ ~ × µ0 M ~ = µ0 J~livre ∇   ~ − µ0 M ~ ~ × B ∇ = µ0 J~livre | {z } ~ µ0 H ~ × µ0 H ~ = µ0 J~livre ∇ ~ = J~livre ~ ×H ∇ (13.8) Então agora a nomenclatura ficou: ~ campo de indução magnética; • B: ~ campo magnético proveniente da contribuição devida às correntes • H: livres; ~ : magnetização devido às corrente de magnetização. • M Podemos determinar um campo a partir de seu gradiente e de seu rotacional. Já obtemos o rotacional, e podemos determinar seu gradiente a partir de sua definição (Equação 13.7): ~ B ~ −M µ0 ~ ~ ~ = ÷B − ÷M ÷H µ0 ~ = −÷M ~ ÷H ~ = H 13.6. MATERIAIS MAGNÉTICOS LINEARES 253 ~ Observação 13.1. Deve-se tomar cuidado com a analogia entre os campos H ~ Apesar da similaridade entre as expressões de seus rotacionais, devee B. mos lembrar que um campo não é determinado somente pelo seu rotacional. Em especial, mesmo que não haja nenhuma corrente livre, na presença de ~ pode ser não nulo. materiais magnéticos, o campo H 13.6 Materiais Magnéticos Homogêneos, Lineares e Isotrópicos ~ do material varia linearmente com o campo Neste caso, a magnetização M ~ magnético H: ~ = χM H ~ M Onde χM é a susceptibilidade magnética do meio, que é uma grandeza adimensional. Assim:   ~ +M ~ ~ = µo H B   ~ ~ = µo H + χ M H ~ = µo (1 + χM ) H ~ = µo µr H ~ = µH ~ B Cuidado com a notação: Aqui, µ é a permeabilidade magnética do meio (não confundir com o momento magnético). O sinal de χM depende do tipo de material: ~ = µo (1 + χM ) H ~ B 254 CAPÍTULO 13. MATERIAIS MAGNÉTICOS • Em materiais diamagnéticos, B < H, e portanto: χM < 0 • Em materiais paramagnéticos, B > H, e portanto: χM > 0 13.7 Materiais Ferromagnéticos ~ eH ~ o distingue do paramagnetismo. Em materiais A não linearidade entre M ~ eH ~ não possuem uma relação simples. A magnetização ferromagnéticos, M permanece mesmo após o campo magnético ser desligado. Razão: Mecânica Quântica ⇒ termo de troca ⇒ interação dos spins de átomos. A interação de troca produz um forte alinhamento de dipolo atômico adjacente em um material ferromagnético. Os momentos magnéticos de muitos átomos tendem a se alinhar em pequenas regiões iguais a domı́nios ( 0.1mm), no entanto estes domı́nios, se nenhum campo magnético externo for aplicado, estão alinhados aleatoriamente orientados, resultando numa magnetização do material nula. Por isso que o ferro não atrai nenhum metal a princı́pio. F e: sólido policristalino Se magnetizarmos uma amostra de F e colocando-a em um campo magnético externo de intimidade gradualmente crescente, haverá um crescimento em tamanho dos domı́nios que estão orientados ao longo do campo externos. A curva que descreve a relação entre H e B para um material ferromagnético é chamada de histerese ou ciclo de histerese. De a até b mostra o comportamento da amostra se magnetizando. Após H1 diminui-se H até H = 0 (ponto c): valor de B diminui conforme b → c muito mais lentamente do que inicialmente tinha aumentado. Em c, há uma 13.7. MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS ~ =0 (a) Antes: M 255 ~ = (b) Após: M 6 0 Figura 13.7: Orientação dos domı́nios de um material ferromagnético na presença de campo magnético. Figura 13.8: Alinhamento dos domı́nios do material na presença de campo magnético externo. magnetização remanescente B 6= 0. Para se conseguir B = 0 aplica-se um ~ com sentido inverso. Se aumentar H ~ em módulo atinge-se o ponto campo H ~ novamente, B diminui em módulo de acordo com d → e, e d. Se zerar H mesmo em e, B 6= 0. Temperatura de Curie A temperatura de Curie TC é a temperatura acima da qual o material ferromagnético perde a sua magnetização. • T > TC : fase desordenada paramagnética 256 CAPÍTULO 13. MATERIAIS MAGNÉTICOS Figura 13.9: Ciclo de histerese de materiais ferromagnéticos. • T < TC : fase ordenada ferromagnético A transição de fase é abrupta. Para T > TC , o movimento aleatório dos momentos magnéticos se torna tão forte que eles não conseguem mais se alinhar para formar os domı́nios. Para o Fe, TC = 770o C. A Tabela 13.1 mostra a temperatura de Curie para outros materiais ferromagnéticos. Material Co Fe MnBi Ni MnSb CrO2 MnAs Gd Temperatura de Curie (K) 1388 1043 630 627 587 386 318 292 Tabela 13.1: Temperatura de Curie de materiais ferromagnéticos 257 13.8. ENERGIA EM MEIOS MAGNÉTICOS 13.8 Energia armazenada no campo magnético na presença de meios magnéticos Vimos que: 1 Um = 2 Z ~ J~livre · Adv V ~ × H, ~ então: Mas J~l = ∇ 1 Um = 2 Z  V  ~ ×H ~ · Adv ~ ∇ Aplicando a identidade:       ~ ×H ~ ·A ~ ~ ×A ~ ·H ~ − ∇ ~×H ~ = ∇ ~ · A ∇ Chegamos em: Um 1 = 2 Z  V Um 1 = 2 Z Z    1 ~×H ~ dv ~ ~ ~ ~ · A ∇ × A · Hdv − ∇ 2 V ~ · Hdv ~ −1 B 2 V Z V  ~ ~ ~ ∇ · A × H dv  Fazendo V → todo espaço, o segundo termo tende a zero, portanto: 1 UB = 2 Z R3 ~ · Hdv ~ B (13.9)