ECONOMETRIA I Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante I. INTRODUCCION Econometria Dos palabras de origen griego: Economía y Medida (Koutsoyiannis, 1977:3). Término introducido por Ragnar Frisch en 1926, de origen noruego, para referirse a estudios económicos que hacen uso de métodos estadísticos. Desde sus orígenes y por su propia definición, la econometría se ha movido entre los campos de las teorías económica y estadística. Así, en la medida en que ha sido empleada tanto para proponer nuevas formulaciones como para apoyar o, en su caso, refutar planteamientos ya hechos en la propia teoría económica, la econometría se ha nutrido de las aportaciones de economistas cuyo campo de acción es fundamentalmente la teoría económica (algo semejante puede decirse de quienes centran su interés en la política económica). Pero, simultáneamente, en la medida en que la econometría supone la aplicación de la teoría estadística, diversos estadísticos han incursionado en el terreno de aquella haciéndola evolucionar. (Fuente: Para una breve historia de la econometría, José Fernández García*/ Claramartha Adalid Díaz de Urdanivia) En la literatura podrían darse otras definiciones como: 1. Aplicación de la Estadística matemática a la información económica para dar soporte empírico a los modelos construidos por la Economía Matemática y obtener resultados numéricos. 2. Análisis cuantitativo de fenómenos económicos reales, basados en el desarrollo simultáneo de la teoría y la observación, relacionados mediante métodos apropiados de inferencia. Es un apoyo para disipar la imagen de la Economía, considerada como una materia donde se hacen afirmaciones y supuestos que para diferentes economistas tienen diferentes interpretaciones. Una clasificación desde el punto de vista estadístico podría ser: 1 Magen Infante Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante Clásica Econometría Teórica Bayesiana Clásica Econometría Aplicada Bayesiana En este curso desarrolla el enfoque clásico y aplicado Econometría Aplicada Utiliza herramientas de la Estadística para estudiar modelos de algunos campos especiales de la economía, los negocios u otros. En particular, puede estudiar temas conocidos como: 1. Empleo 2. Desempleo 3. Crecimiento económico 4. Consumo 5. Producción 6. Inversión 7. Demanda y oferta 8. Inflación 9. Importaciones 10. Portafolio, etc. 2 Magen Infante Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante II. QUE ES UN MODELO ECONOMETRICO Modelo Es una representación simplificada de la realidad, estructurada de tal forma que permita comprender el funcionamiento total o parcial de esa realidad o fenómeno. Es una representación formal de ideas o conocimientos acerca de un fenómeno (teorías) que generalmente se traducen bajo la forma de un conjunto de ecuaciones matemáticas. Carneiro de Matos, Orlando; 2da Edición; Editora Atlas S.A., Sao Paulo - Brasil 1997 Clasificación de los modelos Como visto anteriormente, es una representación simplificada de la realidad, que involucra: A. Por la Forma funcional a. Lineales.- aquellos donde los parámetros son expresados en forma lineal o pueden ser transformados a lineales. b. No lineales.- lo contrario de lo anterior. B. Por el número de ecuaciones a. Uniecuacionales.- El modelo consta de solo una ecuación. Y  a  bX  cW b. Multi-ecuacionales.- El modelo consta de varias ecuaciones. Y  a  bX  cW Z  d  eW  fQ Y  Zt C. Por la asociación de las variables con el tiempo a. Estaticos.- Todas las variables se refieren a un mismo periodo de tiempo. Yt  a  bX t  cWt b. Dinámicos.- Las variables se refieren a distintos periodos de tiempo. Yt  a  bX t 1  cWt D. Por la finalidad a. Previsión. b. Decisión. 3 Magen Infante Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante Modelo econométrico Como visto anteriormente, es una representación simplificada de la realidad, que involucra: a) Relaciones o ecuaciones.- Modelo matemático. b) Variables.- Características de interés observables que pueden tomar distintos valores. c) Parámetros.- (o coeficientes) son valores que permanecen constantes y son desconocidos de aquella relación matemática. d) Término aleatorio.- (perturbación aleatoria) que representa a todas las características que no han podido ser incluídas en el modelo o relación matemática. Proceso metodológico de la Econometría Fuente: Adaptación de Intrilligator 1978 4 Magen Infante Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante Proceso metodológico de la Econometría Fuente: Adaptación de Maddala 1996 5 Magen Infante Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante Proceso Metodológico de la Econometría Teoría Económica 1ra ETAPA: Especificación o Construcción del Modelo Observación del Mundo Real Formulación de Hipótesis Modelo Matemático Modelo Econométrico 2da ETAPA: Estimación del Modelo Colecta de Datos Apropiados Estimación de los Parámetros del modelo 3ra ETAPA: Evaluación del Modelo Estimado Evaluación de Resultados: Hipótesis del modelo No Aceptables Revisión de la Metodología Desistencia de las Hipótesis Aceptables Inferencia, Previsión ó Toma de Decisiones Fuente: Adaptaciσn de Carneiro de Matos, Orlando; 2da Ediciσn; Editora Atlas S.A., Sao Paulo - Brasil 1997 6 Magen Infante Ejemplo: Proceso metodológico de la econometría 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante Planteamiento de la teoría o de la hipótesis. Especificación del modelo matemático de la teoría. Especificación del modelo econométrico de la teoría. Obtención de datos. Estimación de parámetros del modelo econométrico. Pruebas de hipótesis. Pronóstico o predicción. Utilización para fines de control o política. 1. Planteamiento de la teoría o de la hipótesis. Se establece un conjunto de hipótesis, leyes o conjeturas sobre el comportamiento de un fenómeno de la vida real ya existente o contribuciones de nuevas teorías. 2. Especificación del modelo matemático de consumo. Es una representación formal de las ideas o conocimientos anteriormente mencionadas acerca de las teorías que generalmente se traducen bajo la forma de un conjunto de ecuaciones matemáticas. 3. Especificación del Modelo Econométrico de Consumo Es la misma especificación anterior pero incorporando un término aleatorio a la relación matemática, éste término consideraría todos los elementos que por alguna razón no pueden ser considerados en la relación matemática. El modelo matemático dado en el paso 2, supone que existe una relación exacta ó determinística entre las variables, lo que no es cierto en la mayoría de los casos. 4. Obtención de Información Para estimar los valores desconocidos de la relación econométrica, se necesitan datos, generalmente se toman datos muestrales. 5. Estimación del modelo econométrico Los datos o informaciones obtenidas en el paso 4 permiten estimar los valores desconocidos de la relación matemática para tomar decisiones. 6. Prueba de hipótesis Para comprobar si los valores estimados concuerdan con la teoría. 7. Proyección o predicción Si el modelo escogido confirma la teoría, este modelo se puede utilizar para predecir valores futuros o desconocidos. 8. Usos del modelo para fines de control o de política Un modelo final estimado puede ser utilizado para fines de control o de política. 7 Magen Infante Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante Ejemplo 1: Teoría Keynesiana del Consumo. (D. Gujarati) a) Planteamiento de la teoría o de la hipótesis. KEYNES plantea: “La ley sicológica fundamental…. Consiste en que los hombres y mujeres como regla general y en promedio, están dispuestos a incrementar su consumo a medida que su ingreso aumenta, pero no en la misma cuantía del aumento en su ingreso”. En otras palabras, Keynes postula que la “propensión marginal a consumir” (PMC), es decir, la tasa de cambio del consumo generado por una unidad de cambio en el ingreso, es mayor que cero pero menor que uno. b) Especificación del modelo matemático de consumo. Keynes postuló una relación positiva entre el consumo y el ingreso. Sin embargo, no especificó la relación funcional entre las dos. Por ejemplo, la forma más simple de la función Keynesiana de consumo podría ser: Y  1   2 X 0  2  1 (planteada por un Economista matemático). 1  parámetro intercepto del modelo  2  parámetro pendiente del modelo, mide la PMC (Propensión Marginal a Consumir). Y Función Keynesiana de Consumo }  2  PMC } 1 1  Intercepto X c) Especificación del Modelo Econométrico de Consumo El modelo matemático dado en el paso 2, supone que existe una relación exacta ó determinística entre el consumo y el ingreso. Pero las relaciones entre las variables económicas son en general inexactas. Un econometrista modificaría la función determinística así  Y  1   2 X   0  2  1 = término de perturbación o de error, es una variable aleatoria. El término de  representa todos aquellos factores que afectan el consumo pero que no son considerados en el modelo en forma explícita. Este último sería 8 Magen Infante Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante el llamado Modelo de Regresión Lineal, el cual será estudiado a lo largo del curso. d) Obtención de Información Para estimar los valores desconocidos de  1 y  2 se necesitan datos, por ejemplo: Mes Y=Consumo X=Ingreso Enero 2009 2505.6 3761.3 Febrero 2009 . . . Diciemb 2009 2870.7 . . . 3248.9 4280.8 . . . 4822.1 e) Estimación del modelo econométrico A través de un análisis de regresión se obtendrán estimadores para  1 y  2 del modelo teorico Y  1   2 X   0  2  1 por ejemplo, se puede obtener: Yˆ  1.5  0.70 2 X (Interpretar modelo ajustado) donde ̂ 1 =-1.5 estimador de 1 y ̂ 2 = 0.70 estimador de 2 f) Prueba de hipótesis Si el modelo ajustado es una aproximación razonablemente buena de la realidad, se necesitan criterios apropiados para encontrar si los valores estimados obtenidos en una ecuación como la anterior, concuerda con las expectativas de la teoría que está siendo probada. Del modelo anterior, Keynes esperaba que la PMC sea menor que 1. Se quiere responder a la pregunta ¿es 0.70 estadísticamente menor que 1? Si lo es, puede apoyar la teoría de Keynes. Estos criterios son conocidos como parte de la Inferencia Estadística. g) Proyección o predicción Si el modelo escogido confirma la teoría, este modelo se puede utilizar para predecir valores futuros o desconocidos de la variable dependiente Y, siendo que se conoce el valor de X (variable predoctora) y se utilizan los estimadores ̂ 1 y ̂ 2 anteriormente hallados. 9 Magen Infante Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante h) Usos del modelo para fines de control o de política Un modelo estimado como Yˆ  1.5  0.70 2 X puede ser utilizado para fines de control o de política. El gobierno por ejemplo podría manejar la variable de control X  Ingreso para producir el nivel deseado de la variable objetivo. Y  Consumo. En resumen, en esta sección hemos visto el “planteamiento de un modelo” para un fenómeno de la realidad y la “estimación de este modelo” para luego interpretarlo. Más adelante estudiaremos algo sobre modelos. Ejercicio: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Responda: ¿Qué es un modelo? ¿Qué diferencia hay entre un modelo matemático y un modelo econométrico? ¿Qué es un modelo no lineal? ¿Cuáles son las etapas del proceso metodológico de la econometria? ¿Cuáles son los pasos del proceso metodológico de la econometría? ¿Qué cree usted que es Especificación de un modelo? Carneiro de Matos, Orlando; 2da Edición; Editora Atlas S.A., Sao Paulo - Brasil 1997 10 Magen Infante Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante III. CARACTERISTICAS DE LOS DATOS EN ECONOMETRÍA Se puede encontrar los siguientes términos como características de los datos cuantitativos que podrían ser empleados en análisis de problemas de econometría: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Series de Tiempo Datos de Corte Transversal Datos Agrupados Datos de Panel Datos Agregados Variables Ficticias Variables Aproximadas 1. Series de tiempo Esta información se obtiene de la observación de la variable en diferentes periodos de tiempo. En usual, que las series de tiempo tengan periodicidad diaria, semanal, mensual, trimestral y anual. Las series de tiempo suelen estar altamente correlacionadas debido a su evolución paralela en el tiempo. 2. Datos de corte transversal Consiste en datos de una o más variables recogidos en un periodo de tiempo fijo y determinado, registrados una sola vez para cada unidad. Puede ser, un día, una semana, un mes, un año, un periodo determinado para registrar una sola vez los datos. 3. Datos Agrupados Los datos agrupados contienen información de corte transversal y de series de tiempo juntos. Por ejemplo: En cada mes, se tomaron 3 registros de cada una de las 4 variables o características. Unidad de tiempo ENERO V1 V2 V3 V4 FEBRERO MARZO 4. Datos de Panel (ó longitudinales) Este es un tipo especial de datos agrupados, en la cual la misma unidad de corte transversal es observada a través del tiempo. 11 Magen Infante Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante 5. Datos Agregados Se dice de datos agregados cuando un economista cuenta con información agregada, desconociendo el método empleado para generarla. Ejemplo: Se quiere estimar las “Importaciones de un país”, (México por ejemplo) se deflacta las variables “Importaciones mexicanas” por el “Índice de precios del productor” para bienes en los Estados Unidos. Nota: Se produce un sesgo de sub o sobreestimación en el valor real de las importaciones ya que el “índice citado” difiere del “índice global de precios”. El “índice global” podría calcularse, pero el costo y dificultad en hacerlo podría no ser justificado. 6. Variables Ficticias Son variables que toman valor 1 para una submuestra y 0 para la otra. 7. Variables Aproximadas En ocasiones no se cuenta con información sobre alguna variable que interviene en el modelo econométrico. Una posible solución es utilizar una aproximación a esta variable bajo el supuesto de que su comportamiento es similar. A este tipo de datos se le llama variable “proxy” y depende de la verificación del supuesto. Observación: En ocasiones, economistas con experiencia estudiando las estructuras de economía en países desarrollados donde se encuentra disponible gran parte de la información, no se percatan de las restricciones de información que puedan existir en países como el nuestro por ejemplo. Si éstos mismos profesionales desarrollan modelos para un país como el nuestro por ejemplo, es posible que no tenga la importancia práctica. 12 Magen Infante Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante IV. MODELO LINEAL SIMPLE Modelo con dos variables Un modelo linear es un intento de hacer un análisis cuantitativo de la relación que existe entre la variable dependiente, con las variables explicativas para un conjunto de valores observados de ambos tipos de variables. Un modelo lineal simple considera sólo una variable explicativa. Otras denominaciones de la variable respuesta  Respuesta  Dependiente  Salida  Endógena  Regresiva  Explicada Otras denominaciones de la variable explicativa  Estímulo  Independiente  Entrada  Exógena  Regresora  Explicativa  Predeterminada Objetivo: Determinar un modelo con “parámetros numéricos” que permita estimar o aproximar el valor de una variable Y en base a otra variable X. Y  1   2 X   Y X  variable dependiente o variable respuesta. variable explicativa error aleatorio Ejemplo 3: (D. Gujarati) Supóngase un pueblo pequeño viven sólo 60 familias. Se realiza un censo en este poblado porque interesa a gobierno estudiar la relación entre el Gasto de consumo 13 Magen Infante Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante familiar semanal Y; y el Ingreso familiar semanal X (luego de los impuestos de ley). En otras palabras, se quiere predecir el nivel de la media del Gasto de consumo semanal por familia (de la población) conociendo el ingreso semanal de la familia. E (Y / X  x)  1   2 x E (Consumo / X  ingreso)  1   2ingreso Se dividen las familias en 10 grupos, donde cada grupo tiene ingresos aproximados y se registran las Gastos de consumo de cada familia para cada nivel de Ingresos. Todos los registros son semanales. X_i X_1 X_2 Y 80 100 55 65 Gasto de 60 70 Consumo 65 74 Familiar 70 80 por 75 85 semana 88 E(Y/X=x) 65 Ingresos familiares semanales X_3 X_4 X_5 X_6 X_7 X_8 120 140 160 180 200 220 79 80 102 110 120 135 84 93 107 115 136 137 90 95 110 120 140 140 94 103 116 130 144 152 98 108 118 136 145 157 113 125 140 160 115 162 77 89 100 113 125 137 149 161 Y 1 60 173 nj 60 E (Y )  X_9 X_10 240 260 137 150 145 152 155 165 165 168 175 180 180 185 191 173 E (Y / X i )  Y i  1,2,3,..., n j nj j  1,2,3,...,10 i 1 i Así, tenemos: (para las familias) La Esperanza o Promedio E (Y / X 1  80)  65 es el Consumo promedio semanal de las familias que ganan 80 nuevos soles. Similarmente, El consumo promedio de las familias que ganan 160 es 113. El consumo promedio de las familias que ganan 260 es 173. 14 Magen Infante Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante Función de regresión poblacional (FRP) Muestra cómo el valor de Y varía en relación a los valores de la variable X. Su forma estocástica es la siguiente: Y  1   2 X   1 y 2 son parámetros fijos, desconocidos (valores poblacionales) Se denominan coeficientes de regresión, intercepto, coeficiente de la pendiente de la recta, etc. Así, el valor esperado de Y varía también de acuerdo a la variación de X y se denomina Línea de Regresión Poblacional. E (Y / X )  1   2 X Interpretación: E(Y / X  80)  65 valor promedio de Y para X  80 La Regresión Poblacional para un valor particular de la variable dependiente es: Yi  1   2 X  i Si en el modelo Yi  1   2 X  i reemplazamos cada uno de los valores de consumo cuando el ingreso es X  80 , nos da las siguientes expresiones: Y1  55  1   2 X  1 Y2  60  1   2 X   2 Y3  65  1   2 X  3 Y4  70  1   2 X   4 Y5  75  1   2 X  5 La diferencia entre cada valor observado y cada valor promedio se debe al término de perturbación i i  Yi  E (Yi / X )  Yi  ( 1  2 X ) 15 Magen Infante Interpretación de Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante i Suponga que conseguimos conocer los valores de i conoce el valor del término de perturbación posible(s) de las que también depende 1 y  2 , entonces sólo faltaría que representa a toda otra variable(s) Yi que no están incluidas en el modelo porque es imposible medirlas. También,  i representa efectos aleatorios que no dependen de las variables, denominada perturbación estocástica o término de error estocástico. 1. Gráfica de la FRP.- Línea de Regresión Poblacional o Curva de Regresión Poblacional. Es el lugar geométrico de las esperanzas de la variable dependiente para los valores fijos de las variables explicativas La FRP en dos variables (en su forma estocástica) es Yi  1   2 X  i . E (Y / X )  1   2 X Se grafica la esperanza de la FRP en dos variables: Y E (Y / X i ) 149 Línea de Regresión Poblacional * Gasto de Consumo 101 semanal * 65 * * : Media condicional X 80 140 Ingreso semanal Esperanza Poblacional de Y dado Otra forma de escribir la FRP 220 X i : Cómo varía la Yi  1   2 X  i esperanza de Y variando X. es Yi  E (Y / X )  i Los valores de Yi están agrupados alrededor del valor esperado de todos los valores de Y para un dado X i . 16 Magen Infante Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante Función de regresión muestral (FRM) Es la que se obtiene a partir de una muestra de observaciones (no de la población), y se necesita estimar los parámetros del modelo lineal simple poblacional (o de la FRP), a partir de la información proporcionada por la muestra. Su forma estocástica es la siguiente: Yi  ˆ1  ˆ 2 X  ˆ i ̂1 es un estimador de 1 ̂ 2 es un estimador de  2 ̂ i es un estimador de  i Yˆi aproxima (o es el ajuste de) Yi La Función de Regresión Muestral es: Yˆi  ˆ1  ˆ2 X Ŷi  estimador de E (Y / X i ) ̂1  estimador de 1 ̂ 2  estimador de  2 ̂i  Al término de perturbación obtenido de la muestra se le dice Residual. ˆ i  Yi  ( ˆ1  ˆ2 X ) El i se estima a partir de los residuales ̂ i así: ˆ i  Yi  Yˆi Cuando no se dispone de toda la información poblacional, se toman muestras de Y para valores dados de X. Si se toman dos muestras aleatorias de Y para valores de X dados y se trazan dos diagramas de dispersión de las muestras en el mismo gráfico y se trazan las “Líneas de Regresión Muestral” para cada muestra, se tiene: 17 Magen Infante Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante FRM1 . . .. .. .. . . . . . . FRM2 .. . . . .. . . Y .. . . .. X Características: 1.- Cada línea se conoce como “línea de regresión muestral”. 2.- Cada línea intenta representar la Función de Regresión Poblacional. 3.- Muestralmente, sólo se considerar como aproximaciones de la verdadera FRP. 4.- Para n muestras, habrán n FRM, posiblemente todas diferentes. Luego de obtener la información de una muestra y sustituirla en los estimadores, se obtienen valores de ̂ 1 y ̂ 2 , a los que se les denomina valores estimados o estimativas. 3. Estimación Dado que el objetivo principal es estimar la FRP: Hallando la FRM: Yi  1   2 X  i Yi  ˆ1  ˆ2 X  ˆ i , Como la FRM es apenas una aproximación de la FRP, se desea una regla o un método que haga que esta aproximación sea lo más ajustada posible. En otras palabras, se busca construir una FRM tal que ̂ 1 y ̂ 2 estén lo más cercano posible a los verdaderos valores de 1 y  2 , aunque nunca se llegue a conocer los valores de 1 y  2 . 18 Magen Infante Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante Función de regresión muestral Y Yi Yˆi E(Y / X i ) i  ̂ i . . FRM: Yˆi  ˆ 1  ˆ 2 X i . FRP: E (Y / X i )   1   2 X i Xi X 4. Método de Estimación El método para la construcción de esta FRM es posible tanto para el caso bivariado Yi  1   2 X i  i como para el caso multivariado con k variables explicativas o independientes Yi  1   2 X i1   3 X i 2     k X ik  i también visto en forma matricial para n observaciones como Y  Xβ  μ . El método más utilizado para hallar la FRM es el Método de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO). Para utilizar el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) en la estimación de los parámetros, se requiere que el modelo sea “lineal en los parámetros” y se les conoce simplemente como “Modelos de Regresión Lineal”. Es posible que algunos modelos no presenten linealidad en los parámetros. Sin embargo, es posible, a través de una transformación adecuada obtener un modelo lineal en todos los parámetros, entonces, al modelo antes de la transformación se le considera como un Modelo de Regresión Lineal. 19 Magen Infante Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante 5. Linealidad Antes de obtener el modelo que mejor se ajuste al modelo real, conviene graficar las observaciones de tal forma que permita lograr una configuración a priori para facilitar la elección de la forma funcional apropiada. Las funciones reconocidas con más frecuencia son: (1) Lineal Y   0  1 X   (2) Cuadrática Y   0  1 X   2 X 2   1  X Y   0  1 ln( X )   (3) Hiperbólica o recíproca (4) Semilogarítmico Y   0  1 Y  ln(  0 )  1 ln( X )   (5) Semilogarítmico inverso ln(Y )   0  1 X   (6) Logarítmico o logarítmico doble (7) Logarítmico recíproco ln(Y )  ln(  0 )  1 ln( X )   ln(Y )   0  1 1  X En los modelos de dos variables, la forma funcional puede deducirse a partir del diagrama de dispersión, pero en un modelo de Regresión Múltiple, no es fácil determinar la forma funcional apropiada porque gráficamente no se puede visualizar los diagramas de dispersión. Todos los casos anteriores son funciones de regresión lineal en los parámetros. 20 Magen Infante Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante Y Y y   0  1 x   2 x 2 y   0  1 x y   0  1 x y   0  1 x   2 x 2 X Y X Y y   0  1 / x ln y   0  1 x ln y   0  1 x y   0  1 / x X Y y  ln  0  1 ln x X Y y  ln  0  1 ln x ln y  ln  0  1 ln x ln y  ln  0  1 ln x X X Ejemplo: En el ejemplo de Consumo, i podría ser otras variables de las cuales también dependería el modelo como por ejemplo: Y  1   2 X  (  Riqueza, tamaño de la familia, consumo de un periodo anterior, Variación de precios al consumo, tasa de interés, etc. ) . 21 Magen Infante Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante Ejemplo: Cuáles de los siguientes modelos pueden ser considerados lineales: (A, B,  y  son parámetros) (1) (2) (3) (4) Y  AX  e ln Y  ln A   ln X   Y     X Y    X    Ejemplo: Escriba 2 modelos no lineales con dos variables explicativas. Laboratorio 1) Buscar una base de datos de por lo menos 5 variables explicativas (con la variable dependiente son 6 variables). 2) Importar datos hacia R-project 22 Magen Infante Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante VI. MODELO LINEAL GENERAL CLASICO Modelo lineal general Suponga que existe una relación lineal entre una variable Y , (k  1) variables explicativas X 1 , X 2 ,  X k y un término de perturbación . Modelo teórico: Y  1  2 X 1  3 X 2    k X k   Para n observaciones se tiene un sistema de n ecuaciones de la forma: Yi  1   2 X i1  3 X i 2    k X ik  i i  1,2...., n Y1  1   2 X 11  3 X 12     k X 1k  1 Y2  1   2 X 21  3 X 22     k X 2k  n   Yn  1   2 X n1  3 X n 2     k X nk  n matricialmente: Y1  1 Y  1  2          Yn  1 X 11  X 21    X n1  X 1k    0   1  X 2 k   1    2              X nk    k    n  En notación matricial: Yn1  Xn( k 1)β( k 1)1  μ n1 . o simplemente se puede escribir: Y  Xβ  μ 23 Magen Infante Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante Escalarmente: Yi  Variable aleatoria observable i  1,2...., n X ij  Variables no aleatorias observables fijas  j  parámetros desconocidos i  i  1,2...., n , j  1,2...., k j  1,2...., k error aleatorio no observable i  1,2...., n Matricialmente: Y  Vector aleatorio observable X  Matriz de valores observables fijos β  Vector de parámetros desconocidos μ  Vector de errores aleatorios no observables Supuestos del Modelo Lineal General Clásico Escalarmente (i) E ( μi )  0 (ii) Var ( μi )   i  1,2, , n 2 constante (iii) Cov( μi  j )  0 i j (iv) μi  N (0,  ) 2 (homocedasticidad) (no correlación entre los errores) (distribución normal) (v) No existe relación lineal exacta entre los X 1 , X 2 ,, X k (vi) los parámetros  0 , 1 ,  2 , ,  k permanecen constantes a los largo de toda la muestra (estabilidad) Matricialmente  1  0     (i) E (μ)          0   n  0   1      2    E ( μμ ´) E       1 n   I (ii)      n    1 2   E (μμ´)  E 21      n1 12  1n    22   2 n   n2      nn   24 Magen Infante Econometría I –VERANO - 2014-III EPIES-FIECS – Msc. Magen Infante  Var ( 1 ) Cov( 1 , 2 )  Cov( 1 , n )    ( , ) ( ) ( , ) Cov Var Cov       n 2 1 2 2           ( , ) ( , ) ( ) Cov   Cov    Var  n n n 1 2    2 0  0    0 2  0      2I      2 0 0     (iii) X nk 1 1    1 X 11  X 21    X n1  X 1k  X 2 k     X nk  matriz de números determinísticos (iv) Rango( X)  k  1 ( k  1 =nro columnas de X nk ) ( n  k  1 ) El supuesto Rango( X)  k  1 asegura que ninguna de las columnas de la matriz X nk deben ser linealmente independientes.  1    2 2 (v) μ      N (0,  I ) en consecuencia: Y  N ( Xβ,  I)    n 25 Magen Infante