Solucionario actividades mate

Actividad No. 1 Conceptos básicos del Cálculo Individual – extra aula Propósito: Introducción a las ecuaciones diferenciales. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte escrito a mano que contenga las definiciones correctas. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora Descripción de la actividad: Definir los siguientes conceptos. 1. Notación de la derivada. 2. Notación de la derivada de orden superior. 3. Función 4. Ecuación 5. Ecuación diferencial 6. Solución general de una ecuación diferencial. 7. Solución particular de una ecuación diferencial. 8. Orden de una ecuación diferencial ordinaria. 9. Grado de una ecuación diferencial ordinaria. 10. Linealidad de una ecuación diferencial ordinaria. 1 SOLUCIÓN: Actividad No. 1 Conceptos: 1. Notación de la derivada: ′ Si y = f(x) la derivada se denota por: Si = , � , � = � � � , � = � � ; ′ ; ; las derivadas parciales se denotan por: = = , = = , ; 2. Notación de la derivada de orden superior: Si = La segunda derivada: La tercera derivada: ′′ ′′′ ; ; ′′ ′′′ A partir de la 4ta. Derivada: ; ; ; D2xy ; D3xy ; ; Dnxy 3. Función: Dados dos conjuntos A y B una función entre ellos es una asociación f que a cada elemento A le asigna un único elemento B. 4. Ecuación: Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. 5. Ecuación diferencial: Es aquella ecuación que contiene derivadas o diferenciales 6. Solución general de una ecuación diferencial: Fa ilia de las solu io es de u a e ua ió dife e ial de o de es a uella función con n constantes arbitrarias que al sustituirla en la ecuación diferencial la reduce a una identidad. 7. Solución particular de una ecuación diferencial: Es la solución cuyas constantes arbitrarias toman un valor específico. 2 8. Orden de una ecuación diferencial ordinaria: Es la derivada más alta contenida en una ecuación diferencial. 9. Grado de una ecuación diferencial ordinaria: Es la potencia a la que está elevada la derivada más alta, siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada en forma polinomial. 10. Linealidad de una ecuación diferencial ordinaria: Se presenta cuando: a) La va ia le depe die te LJ͟ y todas sus derivadas son de 1er. Grado. b) Cada coeficiente de ͞LJ͟ y sus derivadas depende solamente de la variable independiente ͞dž͟ (Puede ser constante). 3 Actividad No. 2 Orden, grado y linealidad Individual – en el aula Propósito: Identificar el orden y linealidad de una ecuación diferencial. Criterio de evaluación: Se evaluará la respuesta correcta a las ecuaciones diferenciales propuestas. Tiempo estimado para la actividad: 10 minutos Descripción de la actividad: Determine el orden, grado y linealidad de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales. 1. (1-� �” – ��’ + � = Cos(x) 2. x − + = 3. t5y4 – t3�” + � = 4. 5. = √ + ⁄ = [ + ] ⁄ 4 SOLUCIÓN: Actividad No. 2 Ecuación diferencial (1- ) – ’ + = Cos(x) − x t5y4 – t3 = ) ⁄ = Grado 1 Linealidad Lineal 3 1 No Lineal 2 1 Lineal 1 3 No Lineal 1 12 No Lineal = ) = √ + ( ( ( + + Orden 2 [ + ( ) ) ] ⁄ 5 Actividad No. 3 Conocimiento Previo Individual – extra aula Propósito: Recordar reglas para derivar. Criterio de evaluación: Se evaluará de acuerdo a rúbricas de solución de problemas. Tiempo estimado para la actividad: 45 minutos Descripción de la actividad: I.-Calcule ya sea explícita o implícitamente según amerite el caso. 1. y = [ ] + − 2. y = 3. Cos(y) - 4. 4 – 7xy = = + I.-Deriva como cociente y después como producto la siguiente función. 5. y = + 6 SOLUCIÓN: Actividad No. 3 =[ 1. = [ .− = = . = [ = [ ] + − + ][ − − − − − . = − − − ´= ´+ = − ´− = = ´[ = ´[ − ] ] = ��n � �´ − �( + ��n � − − = − �´ = ( )+ = −��n � �´ − ] + = ) + ´ + + ] + − + ´ + + ] 7 II. Deriva como cociente y después como producto la siguiente función. . + = Como cociente − ´= [ − ´= ´= − ( ( + ) ) + ] + Como producto = = = = − − − − + + [ − + + + − ] − 8 Comprobación de la Equipo – en el aula solución Propósito: Comprobar la solución de una ecuación diferencial. Criterio de evaluación: Cada equipo expondrá la solución de su problema propuesto. Tiempo estimado para la actividad: 30 minutos Actividad No. 4 Descripción de la actividad: Compruebe si la ecuación dada es solución de la ecuación diferencial correspondiente. = 1. cy = - 25y = 0 2. y = Asen(5x) + Bcos(5x) 3. y = c1 4. y = c 5. − = − +c2 − + + 2x − − + 9 − + = + = = SOLUCIÓN: Actividad No. 4 = 1. cy = cy´ =2x x( )= 2( ) = y´= 2. y = Asen(5x) + Bcos(5x) - 25y = 0 y´= 5Acos(5x) - 5Bsen(5x) y´´= -25 Asen(5x) - 25Bcos(5x) - 25y = 0 -25 Asen(5x) - 25Bcos(5x) - 25( Asen5x + Bcos5x) = 0 -50 Asen5x - 50Bcos5x =0 y´= 2c1 y´´= 4c1 − c2 + 4c1 4x 8 + + y´´=4c1 − +c2 3. y = c1 c2 − + + 2x +4 c2 + 2x − c2 => No es solución − + 4x − + 8x + 8x + + 2x + 4x + 8x − = + 4x = − + 8x ) −8(c1 + 8x +c2 − +2(2c1 + 2x − c2 ) =12 =12 10 − + 12 =12 − 4. y = c − y´= ( ) − 5. = − − − − + [ − − − − = )+ − = = ´=− [− ( ( − − − − 8 − ) − [ + − + − = − + − − − ´= − − − − − + − = − = − ]− − ]− + − ][ = − − + + [ + − = ]+ + = ]− ] + − − + − + − = ]+ [ = = − − = − − ]− = − 11 − − ]− = ]− = − ]− ]− ] = Origen de las ecuaciones Individual – en el aula diferenciales Propósito: Observar qué tipo de ecuaciones generan algunas soluciones conocidas. Criterio de evaluación: Se revisará que se tengan las respuestas correctas. Tiempo estimado para la actividad: 30 minutos Actividad No. 5 Descripción de la actividad: Encontrar las ecuaciones diferenciales que tienen como soluciones generales. 1. y = 3 – cx 2. = 3. y = 4. y = + + 5. y = sen(x) + 6. y = + + + c�� + c�� 12 SOLUCIÓN: Actividad No. 5 1. y= 3 – cx -Se deriva una vez y´= – c -Se sustituye 2 en 1 y= 3 + y´x y´x= y – 3 Ecuación Diferencial = 2. + -Se deriva 2 veces por las constantes = ´ = ´´ = + + = − [ ´ = − − + + = ´ =− + ´ = − − Despejando c1 = ] − − ´ -Sustituyendo en 3 ´´ = [ − − ´´ = ´ − ] − ´ => = => ´´ = => − − − − − ´´ − 13 ´ ´ + ´ = + 3. y = � � -Se deriva dos veces por las constantes y= + c�� ´= − ��n ´´ = − − c�� � [ = ´´ = − + = ´´ = − + + ´´ = c�� − c�� � => + 4. y = c�� ] − c�� � + + -Se deriva 3 Veces por las tres constantes = + ´ = + ´´ = ´´´ = Ecuación Diferencial 5. y = sen(x) + + � � -Se deriva dos veces por las constantes = + + c�� ´= + − ´´ = − − − -Se toman 2 ecuaciones [ = + + c�� ´´ = − − − ] = ´´ = − ´´ + = 14 = + 6.- y = -Se deriva una sola vez ´= + + = De x √ + + + se despeja + .− = luego como + y Regresamos a: ´= + + + + Como del triangulo √ ´= [ .− ]+ Co esto a se eli i o √ .− ´= [ ]+ [ ´=√ .− = . ℎ = √ .− aho a se despeja √ .− + ] -Se eleva todo al cuadrado [ ´ − = √ .− ] ´ − ´+ = − ´ − ´+ = − ´ − ´+ + = ´ − ´+ + = Ecuación diferencial 15 = . ℎ Actividad No. 6 Integradora 1 Individual – extra aula Propósito: Aplicación de conceptos básicos de ecuaciones diferenciales. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta a los problemas propuestos. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora Descripción de la actividad: I. Determinar el orden, grado y linealidad de la ecuación diferencial dada. 1) 2) = √ + � ′′′ − � ′ + = √� + II. Determinar si la ecuación es solución de la ecuación diferencial escrita a su derecha. 3) = √ − 4) = ; ′ = + III. Encuentre la ecuación diferencial cuya solución general se da. 5) = 6) = + + = − 16 − √ − = SOLUCIÓN: Actividad No. 6 I. Determinar el orden, grado y linealidad de la ecuación diferencial dada. = √ + 1) Orden= 2; Grado = 2; Linealidad: No � ′′′ − � ′ + = √� + Orden= 3; Grado = 1; Linealidad: Si II. Determinar si la ecuación es solución de la ecuación diferencial escrita a su derecha. = 3) ′ − = ′ √ − = − √ − Sustituyendo en la ecuación diferencial dada, resulta: √ − [ − ]= √ − − Eliminando √ − del lado derecho de la ecuación, queda: − = − − = − Por lo tanto, Si es solución 4) = = ; = + Sustituyendo en la ecuación diferencial dada, resulta: + √ − = 17 √ − = � + = No es solución III. Encuentre la ecuación diferencial cuya solución general se da. ′ ′′ ′ = = = + ′′ ′ = ′ ′ ′ = ′ − = = = = ´´ ′′ + + + = ′′ ′′ ′′ ′ + ′′ ′ + ′′ ′ + ′′ ′′ − − − − ′ − − ′ − − − ′′ = = ′′ + ′ = − + = ′ = − − − + + + + ′′ ′′ ′′ − − ′ − ′ − − ′ 18 = 6) ´= ′′ ′′ ′′ = = = − ′′ + − ( ) = ′ − ′( ) ′ =− ′ ´´ + ´ = 19 Actividad No. 7 Recuerdo Matemático Individual – extra aula Propósito: Activar el conocimiento previo. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta a los problemas propuestos. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora Descripción de la actividad: I.- En las 5 ecuaciones que abajo se describen, expresarlas de tal manera que del lado iz uie do uede u a fu ió de del lado de e ho u a fu ió de Ejemplo: xy2 + x = xy3 + y3 xy2+x=xy3+y3 x(y2+1)=y3(x+1) + = + Problemas Propuestos 1) xy + 3x – y - 3 = xy - 2x + 4y – 8 2) = − + − − 3) + + + = + 4) = II.-Evaluar las siguientes Integrales 1)∫ 2)∫ 3)∫ √ − 4) ∫ √ + − + 5) ∫ + 6) ∫ 20 − √ − − SOLUCIÓN: Actividad No. 7 Parte I . xy + 3x – y - 3 = xy - 2x + 4y – 8 + − + = − + − + = + − + − . . = = − − + + + + . = = = + + − − − + + + = + + + − − − − + = = = Parte II .∫ ∫ ∫ 2.∫ ∫ + √ √ = = + √ √ ∫ ��n � + c ��n √ + c =√ = − => 21 = √ 3.∫ + ∫ + ∫ ∫ [−�C�� � + ∫ − �C�� � + ��n � − [ − + − − + − − + − − + + 4. ∫ ∫ − − − = = = = = = + − − + + + − ] − + + + + + + − + = =− − + ]+ ∫ + = = => => = − − − + =− − + + =− =− + = = = ∫ 1 = �+ − + �− ∫ �+ + ∫ �− = 5. ∫ − �n | + | + �n[ − ] + + − − + − + + − − + 22 = ∫[ + 6. ∫ √ √ − ∫√ + + ∫ ∫ = = − − ] + ∫ = � � � => � =∫ − − − + = − + + �n |� − | + c − � � ∫ − � � ∫ � � ∫ �− ∫ � + �− √ + ∫ � � ]+ − => � � � √ = − � = � �− � + �+ √ − + 23 [ �− − − Actividad No. 8 Separación de variables Individual – extra aula Propósito: Resolver ecuaciones diferenciales por el método de separación de variables. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta a los problemas propuestos. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora Descripción de la actividad: I.- Resolver las ecuaciones diferenciales dadas − 1) 2) 3) 4) 5) = = + − = = = + − 24 SOLUCIÓN: Actividad No. 8 1.= dy ∫ ∫ − − −∫ − − − − = d� = = − + = + = = = = = ∫ − = 3.- = + ∫ =∫ = =∫ − =∫ − = = + ∫ ∫ ∫ = + ∫ ∫ ∫ = = − 2.- − − −∫ = + − + + − + ∫ + − − − ∫ − − = = + = 25 − − − + − = = = = = ∫ = = − ∫ +∫ +∫ − =∫ − − �n| − | − = + �n| − | − = − = 4.d� = = = ∫ −∫ − − � −� � −� + + = + d� = = ∫ + + = d� = ∫ + + = + + �n + 26 − − + − = + + = = + + � + + � 5.- = = − − ∫− − + = − − = =∫ = 27 Ecuaciones diferenciales Individual – en el aula separables Propósito: Descripción escrita de manera clara y ordenada Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la descripción clara y ordenada. Tiempo estimado para la actividad: 30 minutos Actividad No. 9 Descripción de la actividad: Describe el procedimiento que se debe aplicar para resolver una ecuación diferencial separable. 28 SOLUCIÓN: Actividad No. 9 1) Agrupa la ecuación diferenciales 2) Factorizar y verificar que ningún factor contenga las dos variables. 3) Multiplicar toda la ecuación por un factor que se forma con el inverso de los factores que contienen una variable distinta al diferencial. 4) Integrar y simplificar. 29 Actividad No. 10 La homogénea Individual – en el aula Propósito: Identificar las ecuaciones diferenciales homogéneas Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta a los problemas propuestos. Tiempo estimado para la actividad: 10 minutos Descripción de la actividad: I. Demuestre si la función dada es o no homogénea y mencione el grado. 1) F(x,y) = x2+y2Cos( ) 2) F(x,y) = x7Seny - y3Senx II. Identifique cual de las siguientes ecuaciones diferenciales es homogénea y justifica su respuesta 1) 2) 3) 4) = − + �� + − 5) (� + − + � ) − =√ = − − = +( + ) 30 = SOLUCIÓN: Actividad No. 10 I.- Función 2 Homogénea 2 F(x,y) = x +y Cos( ) Si F(x,y) = x7Seny - y3Senx No II.- Función − �� + (� + � − ) = − − + + =√ Homogénea = − +( + − ) Si Si = No = No Si 31 Actividad No. 11 En palabras es mejor Individual – extra aula Propósito: Elaboración de reporte escrito de manera clara y ordenada Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la descripción clara y ordenada. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora Descripción de la actividad: Describe el procedimiento que se debe aplicar para resolver una ecuación diferencial homogénea. 32 SOLUCIÓN: Actividad No. 11 Procedimiento que se debe aplicar para resolver una ecuación diferencial homogénea: 1) Representar la expresión dada en la forma general de la ecuación diferencial, es decir, agrupada en base a diferenciales. 2) Verificar si es o no homogénea. 3) Identificar la variable del diferencial que tenga menos términos, para hacer la sustitución de: = = y diferenciar la sustitución elegida. 4) Sustituir en la ecuación diferencial la variable elegida y su diferencial. 5) Efectuar operaciones y simplificar. 6) Resolver la ecuación separable resultante. 7) “ustitui v e la solu ió ge e al o te ida si plifi a . 33 Actividad No. 12 Ec. Diferencial exacta Individual – extra aula Propósito: Activar el conocimiento sobre derivadas parciales. Criterio de evaluación: Se evaluará según rúbrica de solución de problemascoevaluación. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora Descripción de la actividad: Activar el conocimiento previo I.- Encuentra las primeras derivadas parciales. 1) 2) 3) 4) 5) , = , =− + , = , = , = − − + + −√ + + + II.- Exprese el diferencial total de las funciones anteriores. III.- Evalué las integrales parciales. − 1) ∫ 2) ∫ 3) ∫ √ 4) ∫ + 5) ∫ �n | | 34 SOLUCIÓN: Actividad No. 12 I. Encuentra las primeras derivadas parciales . , � = � . , = − . � = � + ( ) + , = � = � + � = � + � = � − − ( )+ � = � + ( ) ( )] + ( ) + [− = + � = � ( )+ + − � = � + + [− , � = � − � = � . + =− + � =− + � � = � − − ( ) − ( )+ ( )+ − − + − − ]+ ( )+ ( )+ ( )+ − − 35 − � =− � − � =− � − + + − � = � − � = � + � = � +( − ) � = � � = � . , � = � � = � � = � � = � − + , = = − − − − − − − − − − − − − − − − − − −√ + + + − + + − + 36 II. Exprese el diferencial total de las funciones anteriores � 1. =− + , = , = 5. . =[ , + − + + − − − = =[ III. − � � + , =[ 4. � � , entonces el diferencial total está dado por: = = 3. = , , = 2. = − − + + ( + + − −√ + ] ] + + ] + ) +[ +[ + +( − ) +[ − + + ] ] + Evalúe las siguientes integrales parciales: 1) ∫ ∫ − − = ∫ −∫ = 37 ∫ − ∫ ] ∫ − = − + 2) ∫ Integrando por partes, en donde: = ; = ; = ∫ = ∫ = 3) ∫ √ + Considerando que: ∫ √ + 4) ∫ ∫ 5) ∫ = ∫ √ − + = = − − − ∫ − = ; + ; = = ; +ℎ + = ; = ℎ− ( ) = = ; +√ = , entonces: + + + | | ∫ | | = ∫ ∫ | | = − = ∫ − Resolviendo por partes la primera integral, resulta: −∫ ( )− +ℎ 38 ∫ = − − + Actividad No. 13 Diferencial exacta Equipo – aula Propósito: Aprender el proceso para resolver ecuaciones diferenciales. Criterio de evaluación: Se evaluará de acuerdo a la rúbrica de solución de problemas. Tiempo estimado para la actividad: 45 minutos. Descripción de la actividad: Se distribuye el grupo en equipos máximo 4 elementos, se designa una ecuación diferente a cada equipo para que la resuelva y des pues de 15 minutos cada equipo expondrá su resultado al grupo. I.- Determine si la ecuación diferencial dada es exacta si es así resuelva. − 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) + − + + + + + = + − + + + + = − − + + − + + − = = = = + − = − = = II.-Obtenga una Ecuación Diferencial exacta a partir de una función f(x,y) 39 SOLUCIÓN: Actividad No. 13 . − = , , , =∫ − = ∫− = ∫ ´ − ⁄ + = , = − . ( ( ( − − + − . ( + ( + ( + , , , − + + + +− ) ) � é + ) + ) + )= = − + − + + )= =∫ − + =− + = + + + + � − + − =− + ⁄ + − − � = + ´ +− = + = + + ´ = − − − + + − + = − = + + = = ≠ − é = = + � − + + + ´ 40 = = + + + ∫ ´ =− + + + ∫ ´ , . − + . + = = ∫ = , = = + =∫ = = + − = + = + = = + + + = = −∫ + − + , + + = , + ´ =∫ = , = + = = ; = = + = = + + ´ + ´ + + + − − + ≠ = − 41 − + =− . + + , , + + =∫ + = + = + + = + . + + , , + ∫ ´ , + =∫ = , = − = + − − + + = + = − + + =∫ = − = + ´ = + + = + + Solución General + = Solución Particular + − − + + − = + = + + ´ − − + + − + − + − + = − − + − + + − = − + + ´ + + ´ + + − = = + ´ + = =∫ = + + = + + + + + = = , = = , ∫ ´ + = − + Solución General + − = Solución Particular 42 − − = = Actividad No. 14 Ec. Diferencial exacta Individual – extra aula Propósito: Elaboración de reportes en forma escrita de manera clara y ordenada. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la descripción del procedimiento de manera clara y ordenada. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora Descripción de la actividad: Describe el procedimiento que se debe aplicar para resolver una ecuación diferencial exacta. 43 SOLUCIÓN: Actividad No. 14 1) Dada la ecuación diferencial se comprueba que es exacta 2) Aplicamos la definición ʃ fx=M(x,y) o ʃ fyN(x,y) 3) I teg a os o espe to a o o espe to a =ʃ o =ʃ 4) Al esultado lo de iva os o espe to a o o espe to a o fy = f y= ∫ ∫ 5) Igualamos el nuevo resultado a N o/a M 6) Integramos por última vez la ecuación. 44 Actividad No. 15 Conocimiento Previo Individual - extra aula Propósito: Encontrar, si existe el factor integrante para que una ecuación diferencial se convierta en exacta. Criterio de evaluación: Se evaluará según rubrica de reporte Tiempo estimado para la actividad: 20 min. Descripción de la actividad: Investigar que es un factor integrante de una ecuación diferencial. Realizar un reporte para entregar. 45 SOLUCIÓN: Actividad No. 15 Investigar que es un factor integrante de una ecuación diferencial. Realizar un reporte para entregar. Si existe una función , tal que , + , , se llama factor integrante de la ecuación diferencial 46 = es exacta, entonces + = Actividad No. 16 Ec. Diferencial lineal Individual – Extra aula Propósito: Identificar y resolver ecuaciones diferenciales lineales. Criterio de evaluación: Se evaluará según rubrica de resolución de problema, Tiempo estimado para la actividad: 2 horas Descripción de la actividad: Determine si la ecuación diferencial dada es lineal, si es así resuélvala. 1) + = + = 2) 3) ´ = + + 4) − = 5) + 6) − 7) = 8) c�� 9) + 10) − + + − − − = + = = = + = 47 SOLUCIÓN: Actividad No. 16 . + = ∫ . = [ . = + ∫ [ [ [ ]−∫ − + + ∫ [ [ − = . − = − ´= ] = ] + + = [ = − = . = = . = = ] =∫ − ∫ = ] ]− ∫ − = ] − = =∫ + No es lineal + + 48 . =− − = −∫ [ − ∫ [ − − − − − � − − [− + = [ + − − + + − − =∫ − = +∫ − −∫ − + + = =− − − − + − ] −∫ −[ − − . ]−∫ − − − [ − = − =− − − = − = − − − � − − ] � ]= = ] = − − = + + = + + ] + + + = 49 − = + −( − = − . .= + − + − − − =− =− = − =− . .= − = − = =∫ = − − = − − + − −� = − − + + −∫− − + − − = − � + ∫ + − − − − + ∫ + − − = −∫− − − + + =∫ − + − = − − + − − + [− − − ∫ − − − − = − − + − − + + − + − − − = − − + − + + − + + + + + − − − + + + + + + + − + − + = − ∫ =∫ = = = − + − + − − = ∫ − + + − − − 6. − ) + + + = = − − + + = = + =∫ − = − + = + + + = + = 50 + ]+ − + − + [ . = = − = + =∫ −∫ = = − [ − − . C�� [C�� ] = = = = − − + + + + −∫ + . .= = = = ; ]+ = − = = + = + + = = = ; = = + ∫ = + = = ��c ∫ = −ln = + =∫ + = = ] =∫ [ = + ∫ . .= = = = = + + + − ln + = + ] = 51 − = + ln = [ . + + + + − = = ] − − =− = = ∫− + = −[ =− =− = [ [ + + − . − − − + − + + = + − + + − ∫ − + + + = − . .= ]+ = − + =− + + = = ] = = = ] + − − −∫ = = = � + � 52 + ∫ +∫ − [ = −∫ + ]+ Actividad No. 17 Bernoulli Individual – extra aula Propósito: Investigar y aplicar el procedimiento para resolver una ecuación diferencial de Bernoulli Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta a los problemas propuestos Tiempo estimado para la actividad: 1 hora Descripción de la actividad: La ecuación diferencial de Bernoulli es aquella que tiene la forma: + = ≠ , ≠ Determine un procedimiento para resolverla y aplíquelo en la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales. 1) 2) 3) + + − = = = − , = 53 SOLUCIÓN: Actividad No. 17 + 1) = +( ) − = ( ) Ecuación de Bernoulli: =− = = − = / − − = = − → Sustitución − ( + = [ [ = / +( ) = ∫ ]= ]=( ) + . = + ∫ = + + [ − / = → + + ) → � = + − =( ) + + − = = = + ( + + ) = ]= + + + 54 = / [ + = ]= − = [− [ + [ + + / + = + − d[ = −∫ − = = = = = − ]= − = − + / ] − + + + + = = ]+ + + − 3. [ ] → + − + − =− = − / + = − / + = + → , = = = − − ]= → = 55 + + ∫ − − − =∫ = + − = − = − − = + + + = + + = + = ; + Solución general = / = = = + = Solución particular 56 Actividad No. 18 Integradora - 2 Individual – extra aula Propósito: Identificar y resolver los diferentes tipos de ecuaciones. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga diferenciales con la solución correcta a los problemas propuestos. Tiempo estimado para la actividad: 2 horas Descripción de la actividad: En cada una de las ecuaciones diferenciales propuestas identifique su tipo(separación de variables, homogéneas, exacta, lineal, Bernoulli) y resuelva por el método que corresponde) 1) 2) − 3) ´ + + 4) 5) ´ + 6) 7) 8) − + √ = = − + + − = = =− + 9) ´ = 10) − − =√ = − = +( − √ + ) 57 = SOLUCIÓN: Actividad No. 18 . − − Homogéneas = = / [ − − − − =− (− − − − − Exacta � � − = + − + = = − =− ∫ =∫ ∫ =∫ − − = = − + − − + − − − + − − + ) − − − − − − =∫ ∫ = = ] − + = = − + − − + + + = − − − = + = + − + = � =− � = � − =− + − + 58 = . ( )− = − ( ) Ec. Diferencial separable ∫ + = . + = = = = − ln + �n −� = + + + = − − = − − = − ( )∫ − − − + − ´+ ( ) − + + = � − =∫ = ∫ − − =∫ =∫ − − → = =( ) + =− + 59 + − = = − − − − − = = − = = = ( )− = ( )− Al se u a o sta tes i dete i ada la e ua ió = ( )− . ´+ + + = F. I = F. I = F. I = F. I = F. I = [ + ( ) ( ∫ ( = = ; ∫ ( + Lineal = ∫� ∫ = ) = ] + ( ) )=( ) ) = ( )∫ = =( ) 60 ueda a =( ) =( ) + + = = . + − + ( )+ = “epa a ió de va ia les + [ ∫ = = ][ + +∫ + = = = = =∫ ] Ho ogé ea t = [ ∫ + = t + + + + = ][ + +∫ + = = = = = + ] =∫ 61 = = → = = E a tas + = = ∫ +� � = = = = → = =∫ ∫ = +� +� =∫ = +� = Li eal [ [ . +( ) ∫ = = = +( ) =( ) � ]= ´+ + = ] → =− = − = , = − 62 ∫ = = −∫� = −∫ = − ∫ = = = ∗ − = − = = = − − − ∫ − − − = − − − = − − − − − − =− = − ( )= − − ( )= − [( ) = − = = +( ) + − − − − = − − = − =− ∫ =− − + − =− = − − = − =− ∫ − � − − =− − − − ∗ ∗ +( ) − − − ∗ − − − − + + + + + ] + → = 63 − − = + Nota 1 para tener la respuesta del libro Si − = − + − [( ) = − � = t + + → = √ [ ∫ + = = → + − = ∫ + ∴ = =√ − − =√ − t t . √ − = = = + + ] − = − √ − = ∴ = ∴ = √ − = − − − t + =√ =√ ][ . √ − − − ] =∫ = = =∫ 64 − = − . [ ( = ( )− )− − = − . . . . − = = = = )− − − [ =− = [ . − = = = =− = = . � ]( ) −∫ . = ; ; = − � � − ∫ = − − − + = =− [ ( + = = − . = − ][ ∗ − � → −∫ ∴ − ] − =∫ + + ] − − + + + = = = ]( � ) 65 + = , −∫� = = = = [ − − = − − − = = − ]= = � = − ( )= [ − − − = + − = − = + Bernoulli + . ´= = + + − − = − − − − − − = − ∫ [ −∫ − − = −∫ = = = − = ∫ = + − − − − + ]+ + − − = = − − + − ∴ = + ] + + = + = + � = 66 = − − ∫ − − =− =− − − [ − − = . = = + = ∫ = = + + ][ = + √ + √ + + + + √ = + − ⁄ = − ⁄ + − ] − = =− = = − √ =− [ =− ⁄ √ √ [ =− [ =− [ ∫ =∫ √ + =∫ √ + = = − + ℎ− ( ) + 67 + + − + − + + + ⁄ + − ⁄ ⁄ + ⁄ + √ ] ] ⁄ + ] − ⁄ ] ∫ = ∫[ − + Solución ℎ− ℎ− ( ) + √ + + + Simplificar a logaritmos ∫ �n √ �n ln + − ∫ +√ + + +√ + ( +√ + + +√ + = ] = ℎ− √ √ + = = + − (− ) +√ − ∫ + ) ( +√ = = 68 + )= = + ℎ− + Actividad No. 19 Desarrollo Examen de Medio Curso Propósito: Resolver ecuaciones diferenciales lineales correctamente. Criterio de evaluación: Se evaluará que el examen contenga la solución correcta a los problemas propuestos. Tiempo estimado para la actividad: 100 minutos 69 Actividad No. 20 Aplicación (Teórica) Individual – extra aula Propósito: Conocimiento previo para la aplicar las ecuaciones diferenciales en problemas cotidianos. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la respuesta correcta a cada pregunta dada. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora Descripción de la actividad: Contesta las siguientes preguntas: 1) Explique en qué consiste el método del carbono 14 para calcular la antigüedad de un fósil. 2) Defina semivida o vida media de un material radiactivo. 3) Si un ser vivo muere ¿cuándo se considera fósil? 4) ¿Quién fue Tutankhamón? 5) Defina las Leyes de Kirchhoff. 6) ¿Cuál es la temperatura promedio del ser humano vivo? 7) Enuncie la segunda Ley de Newton. 8) ¿Qué es la salmuera y para qué se usa? 70 SOLUCIÓN: Actividad No. 20 1) Explique en qué consiste el método del carbono 14 para calcular la antigüedad de un fósil. Todo ser vivo tiene una cantidad constante de C- 14, cuando muere deja de absorber C-14, el cual se empieza a desintegrar de manera gradual a través del tiempo. El método del C-14 consiste en tomar una muestra de un fósil para determinar que porcentaje tiene de su cantidad original. 2) Defina semivida o vida media de un material radiactivo. Intervalo de tiempo que tiene que transcurrir para que la magnitud de la masa inicial disminuya a la mitad, por proceso de desintegración natural y espontáneamente. 3) Si un ser vivo muere ¿cuándo se considera fósil? Cuando tiene una antigüedad mayor a 13,000 años. 4) ¿Quién fue Tutankhamón? Fue un faraón egipcio que reinó de 1336 a 1327 A.C. 5) Defina las Leyes de Kirchhoff. 1ª. Ley: La suma de las corrientes en un nodo es igual a cero. 2da. Ley: La suma de las caídas de voltaje en una malla es igual a cero. 6) ¿Cuál es la temperatura promedio del ser humano vivo? 37°C 7) Enuncie la segunda Ley de Newton. La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa. 8) ¿Qué es la salmuera y para qué se usa? Es una solución salina y se usa para la elaboración de pilas voltaicas, la conservación de alimentos, en sistemas de refrigeración, para curtir pieles, deshacer el hielo en carreteras, etc. 71 Actividad No. 21 Aplicaciones (Problemas) Individual – extra aula Propósito: Aplicación de las ecuaciones diferenciales a problemas de ingeniería o de la vida cotidiana. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta a los problemas propuestos. Tiempo estimado para la actividad: 2horas Descripción de la actividad: Resolver los siguientes problemas: Tiro vertical 1. Una pelota que pesa ⁄ lb se lanza verticalmente hacia arriba desde un punto que se encuentra 6 pies arriba de la superficie terrestre con una velocidad inicial de 20 � ⁄ . A medida que asciende actúa sobre ella la resistencia del aire que es numéricamente igual a ⁄ v (en libras), donde v es la velocidad (en pies por segundo). ¿A qué altura llegará la pelota? Ley de enfriamiento de Newton 2. Por razones obvias, la sala de disección de un forense se mantiene fría a una temperatura constante de 5°C. Mientras se encontraba realizando la autopsia de la victima de un asesinato, el propio forense es asesinado, y el cuerpo de la victima robado. A las 9:35 A.M. el ayudante del forense descubre su cadáver a una temperatura de 23 °C. Dos horas después, su temperatura es de 18.5 ° C. supuesto que el forense tenia en vida la temperatura normal de 37 °C. ¿A que hora fue asesinado? Mezclas 3. Un depósito contiene inicialmente 400 litros de una solución salina con una concentración de 250 gramos de sal por litro. En el deposito entra constantemente solución con una concentración de 500 g/l a razón de 20 l/min y la mezcla, la cual se supone se mantiene con una concentración uniforme, fluye del deposito con una rapidez igual que con la que penetra. Determínese la cantidad de sal que contiene el depósito en un instante cualquiera t, así como el tiempo que tiene que transcurrir para que esta cantidad llegue a valer 150 kg. 72 Circuito R - C 4. Un circuito R-C tiene una fuerza electromotriz de 200 Cos 2t voltios, una resistencia -2 faradios. Si consideramos q(0)=0, halla la de Ω u a apa idad de corriente en el circuito en un tiempo t. Ley de crecimiento poblacional 5. Se sabe que la población de un estado crece a una tasa proporcional al número de habitantes que viven actualmente en el estado. Si después de 15 años la población se ha duplicado y después de 25 años, la población es de 200,000 habitantes. Halle el número de habitantes que tenia inicialmente el estado. Vida media 6. La sustancia radiactiva Carbono 14 se desintegra en cada instante a una velocidad proporcional a la cantidad presente, tomando como semivida del C-14 5600 años (tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la cantidad inicial). Estimar la edad de un fragmento de pata de silla de la tumba de Tutankhamon que contiene 66.3% de su C-14 inicial. Considere Y(t) = cantidad de C-14 en el tiempo t, donde t son años y Y(0) = Y0 = cantidad inicial. 73 SOLUCIÓN: Actividad No. 21 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales 1. Una pelota que pesa ⁄ lb se lanza verticalmente hacia arriba desde un punto que se encuentra 6 pies arriba de la superficie terrestre con una velocidad inicial ⁄ de 20 . A medida que asciende actúa sobre ella la resistencia del aire que es numéricamente igual a ⁄ v (en libras), donde v es la velocidad (en pies por segundo). ¿A qué altura llegará la pelota? Solución: Aplicando la Ley = = donde Considerando las dos fuerzas que actúan el peso mg y la resistencia del aire K , se tiene la ecuación =− − Simplificando se obtiene la ecuación lineal + =− Resolviendo con el factor integrante, � Como = �� �b���n� , = Aplicando la condición =− , = Así =− + = , � , �� ���n� =− + = − − Haciendo = , se obtiene llega a la altura que se pregunta. Por otro lado calculando − + =∫ =− = . , que es el tiempo donde la pelota − − 74 + = Aplicando la condición Así, Sustituyendo =− Se tiene que = . = . − − = se tiene + Por lo tanto, la altura a la que llegara la pelota es . 2. Por razones obvias, la sala de disección de un forense se mantiene fría a una temperatura constante de 5°C. Mientras se encontraba realizando la autopsia de la victima de un asesinato, el propio forense es asesinado, y el cuerpo de la victima robado. A las 9:35 A.M. el ayudante del forense descubre su cadáver a una temperatura de 23 °C. Dos horas después, su temperatura es de 18.5 ° C. supuesto que el forense tenia en vida la temperatura normal de 37 °C. ¿A que hora fue asesinado? Solución: = Fórmula − ∞ t1= tiempo transcurrido desde que el forense murió hasta haber sido descubierto por su ayudante, 9:35 A.M. Datos, ∞ = , = Resolviendo = − Usando la condición = , = por separación de variables = + , se tiene que c = 32 Así, = + Aplicando = , se tiene , = + 75 + = . De donde simplificando, = Aplicando + Simplificando, . (Ecuación 1) = = . , se tiene + . = + + (Ecuación 2) Dividiendo la ecuación 1 entre la ecuación 2 . = + , d�����and� � = Por lo tanto a las 9:35 A.M. habían pasado 4 horas de haber muerto, es decir, el forense fue asesinado a las 5:35 A.M. 3. Un depósito contiene inicialmente 400 litros de una solución salina con una concentración de 250 gramos de sal por litro. En el deposito entra constantemente solución con una concentración de 500 g/l a razón de 20 l/min y la mezcla, la cual se supone se mantiene con una concentración uniforme, fluye del deposito con una rapidez igual que con la que penetra. Determínese la cantidad de sal que contiene el depósito en un instante cualquiera t, así como el tiempo que tiene que transcurrir para que esta cantidad llegue a valer 150 kg. Solución: Sea R1= Cantidad de sal que entra en el deposito R2= Cantidad de sal que sale del deposito Q (t)= Cantidad de sal que hay en el deposito en el tiempo t Considerando los datos se tiene, = ⁄ � = . ⁄ ⁄ � = ⁄ � = Así la rapidez de cambio de la cantidad de sal en el depósito es 76 ⁄ � ( ⁄) = − , = Resolviendo por separación de variables = = Aplicando la condición , + = , ��n���� −⁄ �� ���n� ��� c = − Con lo cual Ahora si − = − = − −⁄ −⁄ Despejando, t = 13.9 minutos 4. Un circuito R-C tiene una fuerza electromotriz de 200 cos 2t voltios, una -2 faradios. Si consideramos q(0)=0, esistencia de 5 Ω una capacidad de halla la corriente en el circuito en un tiempo t. Solución: Ecuación de circuito R dq/dt+1/c q= E, sustituyendo los datos 50dq/dt+1/.01 q = 200cos2t 50 dq/dt + 100q = 200cos2t dq/ dt + 2q = 4cos2t Resolviendo esta ecuación lineal, multiplicado por el factor integrante e2t (dq/dt + 2q)e2t = 4e2t cos2t d(qe2t)/dt = 4e2tcos2t 77 d(qe2t) = 4e2t cos2tdt ∫d(qe2t)= ∫4e2tcos2tdt qe2t = 4e2t/8(2cos2t + 2sen2t)+ c q = cos2t + sen2t + ce-2t Aplicando la condición q(0)= 0 q(0) = cos(0)+ sen(0)+ ce0 0 = 1 + 0 + c, c=-1 así, q(t)= cos2t + sen2t - e-2t, derivando i = dq/dt i(t)= 2(cos2t - sen2t + e-2t) 5. Se sabe que la población de un estado crece a una tasa proporcional al número de habitantes que viven actualmente en el estado. Si después de 15 años la población se ha duplicado y después de 25 años, la población es de 200,000 habitantes. Halle el número de habitantes que tenia inicialmente el estado. Solución: Sea P(t) = Población en el tiempo t dP  KP , resolviendo por separación de variables dt P(t )  ce Kt Si t=0, P(0)  ce 0 P(0)  c, es decir c es la poblacion inicial . Si t=15, P(15)  ce 15K 2c  ce 15K 2  e15K , despejando k K ln 2  0.046209812037 15 78 Si t=25, P(25)  ce 25k 200000  ce 25k despejando , c  62996.05 Por lo tanto la población inicial es 62,996 habitantes. 6. La sustancia radiactiva Carbono 14 se desintegra en cada instante a una velocidad proporcional a la cantidad presente, tomando como semivida del C-14 5600 años (tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la cantidad inicial). Estimar la edad de un fragmento de pata de silla de la tumba de Tutankhamon que contiene 66.3% de su C-14 inicial. Considere Y(t) = cantidad de C-14 en el tiempo t, donde t son años y Y(0) = Y0 = cantidad inicial. Solución: Ecuación diferencial del problema: dY  KY dt Resolviendo por separación de variables Y (t )  ce Kt , aplicando la condición Y (0)  Y0 Si t=0, Y (0)  ce 0 Y0  c, asi Y (t )  Y0 e Kt 1 Aplicando la condición, Y (5600)  Y 0 2 Y (5600) Y 0 e 5600K 1 Y0  Y0 e 5600K 2 1  e 5600K , despejando K 2 K  0.000124 Por lo tanto, Y (t )  Y0 e 0.000124t 79 Haciendo Y (t )  0.663Y0 0.663Y0  Y0 e 0.000124t 0.663  e 0.000124t , despejando t t  3314 años Actividad No. 22 Conocimiento previo Individual – extra aula Propósito: Introducción a las Ecuaciones diferenciales lineales. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta a los problemas propuestos. Tiempo estimado para la actividad: 30 minutos Instrucciones: 80 I. Determine si el conjunto de funciones es linealmente independiente o linealmente dependiente: = 1. ; = 2. = 3. II. = ; = = + ; = + ; − + = √ + + ; Comprobación de soluciones generales 4. ¿Es ′′ 5. ¿Es ´´´ + − = ′ = ′′ − = √ ; − + la solución general de la ecuación diferencial = ?. Compruebe su respuesta. − + + la solución general de la ecuación diferencial = ?. Justifique la respuesta. 6. Demuestre que = ecuación diferencial ′′ + = + + − es la solución general de la SOLUCIÓN: Actividad 22 1. =| = ; + = − = + ; + − |= | + − − 81 + + |+ − | + | + = [ = [ = ( = − + 2. = | � � = − ≠ = 3. | = 4. ( − + − � � − = + + ; = |= − − = + + + − | + = − + = − + − = = ′′ = ′ ; − = − = − )] + [ − − ] − − − − ]+ − − )− − = + , , − ≠ ∴ + ≠ | | [ + [ (− − − − − − − − − ( ∴ → , , ′′ − , + 0 =0 | − + − + | + − − )= ′ − 82 )= − . . = √ ; + | + − − | − | − − ) + (− − − − | − + + = √ + − − + ∴ − + − ( ; = −( − − − = − − + − )] − − = + − − − − − | | )] − − . ∴ � . = − ′ =− ′′ = ∴ = | − − = → − − ′′ − + |=− − − ′ + − − =− − 0 =0 − − 5. No es la solución general ya que = ′′ + 6. = ′ =− → − ′′ =− 0 =0 = = ′′ =− ′ ′ ′′ ∴ = = = = |= − � � + = − ≠ + , = = ′′ → − + + = ≠ = ′′ − = = ∴ = − = − ∴ + = − + 0 =0 + + − ′′ → = | − − ∴ , + , = ∴ ′ = − ∴ � . = =? � . ∴ � . , � ′′ + = Actividad No. 23 Conocimiento previo Individual – extra aula Propósito: Solución de ecuaciones polinomiales, como introducción al tema de e ua ió dife e ial li eal ho ogé ea de o de o oefi ie tes o sta tes. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta a los problemas propuestos. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora Instrucciones: 83 Encontrar todas las raíces de cada una de las ecuaciones dadas, describiendo el procedimiento utilizado. − 1) − − 2) + + 3) + + − − = + − = = Sugerencia; Utilizar la regla de los signos de Descartes, la división sintética, factorización, productos notables o cualquier herramienta algebraica y de ser posible, comprobar dichas raíces mediante el uso de un software. SOLUCIÓN: Actividad 23 = = − 2) − + = ± √ , − ; Un par de raíces irracionales (conjugadas) y una racional. − ± ; , ; + − í + � = � � 84 í � � � � . 3) + + = − , ± ; , ±√ irracionales. − − = ; Una raíz racional, un par de raíces imaginarias y un para de raíces Actividad No. 24 Desarrollo Individual – en el aula Propósito: Comprensión del tema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de o de o oefi ie tes o sta tes, Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta al problema propuesto. Tiempo estimado para la actividad: 10 minutos Instrucciones: 85 E o t a la solu ió ge e al de la e ua ió dife e ial li eal ho ogé ea de o de coeficientes constantes dada: � − �� + ′′′ − ′′ + ′ o = SOLUCIÓN: Actividad 24 E o t a la solu ió ge e al de la e ua ió dife e ial li eal ho ogé ea de o de coeficientes constantes dada: . � − �� + ′′′ − ′′ + ′ = Escribiendo la ecuación con el operador y factorizando la ecuación. 86 o � − �� − + ′′′ + − ′′ = + ′ = Las raíces están dadas por: = ; = � � � La solución general está dada por: = = + + + + + + ; =± � + + Actividad No. 25 Aplicaciones (Problemas) Individual – extra aula Propósito: Aplicación de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden o oefi ie tes o sta tes a problemas de ingeniería o de la vida cotidiana. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta a los problemas propuestos. Tiempo estimado para la actividad: 15 minutos Movimiento armónico simple. 87 Uno de los casos en donde se presenta este movimiento es en el sistema masa – eso te, ua do u ue po de asa m ue está sujeto al e t e o de u eso te fle i le se desplaza hacia abajo una cierta distancia y luego se suelta, teniendo un movimiento oscilatorio alrededor de la posición de equilibrio, considerando que no hay pérdida de energía por fricción. Resorte Libre Posicion de equilibrio Cuerpo en movimiento L L L+ S S X X<0 X=0 X>0 L = Longitud del resorte S = Deformación inicial del resorte X = Desplazamiento del cuerpo en función del tiempo Las oscilaciones son motivo de estudio por tener aplicación en los sistemas de amortiguación y suspensión de autos, sismógrafos, detectores de movimiento, medición de la aceleración gravitacional local, localización de cavernas, posición angular de la información en un CD, etc. La ecuación diferencial que se asocia con este sistema, masa – resorte, bajo las condiciones del movimiento armónico simple es: =− En donde: m es la masa del cuerpo y K es la constante de deformación del resorte. Problema propuesto: Se encontró experimentalmente que un peso de 8 lb. estira un resorte 2 pies. Si el peso se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida de 1 pie/s. Determine: a) La ecuación diferencial y las condiciones iniciales que describen el movimiento. b) La ecuación del movimiento y su gráfica c) La posición, velocidad y aceleración del peso 3 segundos después. SOLUCIÓN: Actividad 25 88 a) Por ley de Hooke se calcula la constante k = = = = Considerando que el peso del cuerpo es de 8 lb se determina la masa a partir del peso = mg, . resulta que m = Sustituyendo en la ecuación diferencial del modelo, tenemos que: + + = = Las condiciones iniciales están dadas por: ′ = = b)La solución general de la ecuación diferencial esta dada por: + = = ± = + Sustituyendo las condiciones iniciales, resulta que: = = Por lo tanto, la función de posición que describe dicho movimiento es: = c)Posición: Velocidad: ´ = = Aceleracion: ′′ = − Nota: ft = feet = pie sec = seconds = segundos 4t = =− . = . = . = Actividad No. 26 Aplicaciones (Problemas) Individual – extra aula Propósito: Aplicación de las ecuaciones diferenciales lineales de orden o coeficientes indeterminados a problemas de ingeniería o de la vida cotidiana. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta a los problemas propuestos. Tiempo estimado para la actividad: 15 minutos Circuito LRC en Serie 89 Un circuito LRC en serie, tiene dispositivos interconectados entre sí como muestra la figura. Necesitamos determinar la carga g(t) y la corriente i(t). L representa la inductancia de una bobina, con unidades en henrios, R representa una resistencia en ohms, C representa un capacitor en faradios y E una fuerza electromotriz. Utilizando la ley de Kirchoff y evaluando el circuito tenemos que: � + �+ = ) � Donde: � = , = Sustituyendo en 1) � + + � + + �= = Es muy importante destacar que hay similitud del circuito LRC con un movimiento vibratorio y en base a éste análisis la correspondencia será: Movimiento vibratorio Posición x m masa β a o tigua ie to K constante del resorte F(t) fuerza externa v velocidad Circuito LRC en serie q carga L inductancia R resistencia C capacitancia E(t) fuerza electromotriz i corriente eléctrica Problema propuesto Un circuito en serie consta de un inductor de 0.25H, una resistencia de 40Ω, un capacito de 4 x − y una fuerza electromotriz dada por E(t) = 5sen 100t v. Si la corriente inicial y la carga inicial en el capacitor son ambas cero, determine la carga en el capacitor. Utilice el modelo matemático: + + 90 = SOLUCIÓN: Actividad 26 [ . + + + + , � − = ] = 91 . + + + + =− + =− −+ = − , , = = + =− → � La solución general es: = − + − De las condiciones iniciales ′ = = = − Derivando q(t) ′ = − − − = = + + Cuando t= = � ’t= + − = − − − + + + − = Entonces la carga del capacitor es: ′ = − ( + )− Actividad No. 27 Desarrollo Individual – extra aula Propósito: Resolver ecuaciones diferenciales lineales por coeficientes indeterminados y variación de parámetros Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta a los problemas propuestos. Tiempo estimado para la actividad: 20 minutos Resolver la siguiente ecuación diferencial por dos métodos diferentes 92 ′′ + ′ − SOLUCIÓN: Actividad 27 Ecuación diferencial lineal no homogénea 1) Método de coeficientes indeterminados ′′ + ′− = ( + − ) = ( + − ) = 93 = + − = + − = + = ; − = =− ; = − = + + ( ( − ) = − ) = + ( − − + − ) + + = = − =− = = + − = ′ = − + − = = ′′ = = = − 2) Variación de parámetros ′′ ( + ′ − = + − ) = + − = + − = + = ; − = =− ; = − = + − = ; = 94 =| = ′ ′ − =| = ′= − − − |=| ′ =| ′ |=| |=| − − |=( − − |= − ′ =− ∫ )− − = − ∫ ) ′= − = − ′= ′=− − =− =− = = ) − (− )( ( |=( =− − ( − (− = − − − )( − )= − + )=− − = = ) − − = =− =− + − − − − =− + − =− + − Actividad No. 28 Desarrollo Individual – extra aula Propósito: Resolver ecuaciones diferenciales lineales por coeficientes indeterminados y variación de parámetros Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta a los problemas propuestos. Tiempo estimado para la actividad: 20 minutos Resolver la siguiente ecuación diferencial por dos métodos diferentes ′′ + ′ = 95 SOLUCIÓN: Actividad 28 Ecuación diferencial lineal homogénea 1) Variación de parámetros ′′ + ′= + = + = + = = − 96 = ±√− =± = + = = = = + = = =| = ′ ′ |=| =| ′ =| ′ ′ ′ ∫ ′ = =− = =− + + é |= − |= |=| =− − = =− = = ′ = = = ∫− = −∫( =− ∫ − =− + = + =− − = |= |=| − = − =− + ∫ ) =∫ =∫ + ∫� � + + = − = = = + ∗ + + + 97 − ∗ ∗ ; = =− + =− � = + � = + + + − − + − 2) Coeficientes indeterminados ′′ + = + = + = + = = ± [ � � ] a=0, b=1 = + = � � + �� + � = �� + � = ′ = � � + − �� + � ′′� = − �� + + � � − � � − ′′� = − �� + � � − � � − ′′ − �� �� � − + + � � − � � − � � =− = � � � � + � = � � + = 2A = 0 A=0 -2B=0 B=− =− − � � Actividad No. 29 Desarrollo Individual – extra aula Propósito: Resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas de orden superior. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta a los problemas propuestos. Tiempo estimado para la actividad: 30 minutos Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: ′′ ′ 1) + − ′′′ − + + = ′′ ′ − 2) − − = 3) ′′ + = ��c 98 SOLUCIÓN: Actividad 29 + − + − + − − = = √ = ±√ = ±√ 1) ( = + ′′′ − − − ′′ ′ + − − + = + ) = + = � + − + − = √ + + ( , =− −√ 99 − )= . ; = ±√ 2) ′′ − ′ − = − ) = ( − − − = ±√ + = = � ′ +√ = = =− ′ = ′′ = ′′ = ′′ − ′ − = − − -4 = − − − − ′ − − √ + + − − − = = ±√ � √ −√ − + − − − + − − − − + − − − − − + − − ± √ = −√ + − ( = − + − − + − − − =− = + + − − = − − + + − + − + + − − + − √ − = − + + = − − + − + − − −√ − − + − + − − = − − + − − − − + − − − − − � � − − − − − − − − = − − − − − − ] + 100 − + − (− ) − (− ) + =− − − − )−( − − ∓ ∓ =− − − − − =− ′′ + = ��� + = ��� ( + ) = ��� Ec. Diferencial homogénea ( + ) = Ec. Característica + = [ = ± = = ; = = � � + Ec. Diferencial no homogénea − − − − (− ) = − −√ + − − − − − ±√ − + + = = + − − ) + ) = ��� =� � , = ( �=| ′ ′ W=1 � =| � � � = − ��� ′ � = � =− � � � � ′ = = = � ′ = ′ ∫ � � � ′ =− =− = + = |= =− ′ � � + � | � | � � + +� | ′ ∫ � � + − � � � � =− = =� | = = = |= � � =− =� � � = ��� � � − ��� �� ��� = = − � � � � � � ��� − |= � � |=| − ��� ��� � =| � � |=| − = ′ = = =∫ = + |+ | + + + � | |+ Actividad No. 30 Aplicaciones (Problemas) Individual – extra aula Propósito: Aplicación de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas de orden a problemas de ingeniería o de la vida cotidiana. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta a los problemas propuestos. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora I. Investigar el modelo matemático que describe cada uno de los siguientes movimientos: 101 1) Sistema mas-resorte: movimiento libre amortiguado 2) Péndulo simple 3) Sistema resorte-masa: movimiento forzado II. Resolver los siguientes problemas, considerando los modelos matemáticos anteriores. 1) Se encontró experimentalmente que un cuerpo de 8lb estira un resorte 1ft. Si la constante B del amortiguamiento es 2.5 encuentra la ecuación por debajo de la posición de del movimiento si el peso se desplaza equilibrio y se suelta, e identifique ¿Cuál de los casos se presenta? 2) Determine la ecuación de la posición angular para una masa de un péndulo simple a partir de la siguiente condición inicial: � � = ; �´ =− 3) Un resorte vertical con constante k de 6 ⁄ tiene suspendida una − . Se aplica una fuerza externa por f t =40sen2t, t≥0. masa de Considere que B es 2 y que inicialmente el cuerpo esta en reposo en su posición de equilibrio. Determine la posición del cuerpo en función del tiempo (t>0). SOLUCIÓN: Actividad 30 I. Investigación 1) Movimiento libre amortiguado : : + + = 102 : + � �= + = = Caso I: Sobre amortiguado si � − > Caso II: Críticamente amortiguada si � − Caso III: Sobre amortiguado si � − < = 2) Péndulo simple El estudio del péndulo físico nos lleva a una de las formas para medir la aceleración gravitacional local, detección de minerales ferromagnéticos en el subsuelo, la localización de cavernas y ríos subterráneos. Todo esto en base a localización de las variaciones en la aceleración gravitacional local, es decir en el periodo de oscilación. Un péndulo físico consta de una cuerda de longitud L y una masa m. cuando la masa se deja en libertad desde un ángulo inicial � , oscila de un lado a otro con un periodo T. Las unidades de longitud m, masa kg, aceleración ⁄ , La ecuación diferencial para el péndulo simple es: � + �= . La ecuación diferencial para el péndulo simple, para ángulos menores a 10° con respecto a la vertical. Considerando que aproximadamente el seno del ángulo en radianes es aproximadamente igual al ángulo � en radianes ( �≅ � . � + 103 �= . 3) Movimiento forzado + + = + � + = �= = : : : = II. Problemas: 1) Se encontró experimentalmente que un cuerpo de 8lb estira un resorte 1ft. Si la constante B del amortiguamiento es 2.5 encuentra la ecuación del movimiento si el peso se desplaza por debajo de la posición de equilibrio y se suelta, e identifique ¿Cuál de los casos se presenta? Datos Peso = 8lb F=kx = = = . = = peso = mg = = = La ecuación diferencial del movimiento es: + + + . = + = 104 = / = . − Las condiciones iniciales son: ´ = = La ecuación auxiliar será: + + = : − ±√ − = = − ± √ De modo que = − ( ´ − = Como ´ = √ ∶ ( = = − √ √ = + ∴ = − − ± √− = − ± √ , √ ) √ )− − ( √ + √ ) − ( ) =√ = √ Por consiguiente, la ecuación diferencial que describe el movimiento esta dada por: − = ( √ + √ √ ) 2) Determine la ecuación de la posición angular para una masa de un péndulo simple a partir de la siguiente condición inicial: � � = ; �´ =− � + �= � �+ . �= + . )� = = −√ . = − . = + �= . + �= . + � =( . + � = + � =( + ) � � � = , = = . ( �´ = . . . . = = . � , �´ = . =− , ( )= . � . − . ) 105 . = . , = (− ) = (− ) = = . . − . . 3) Un resorte vertical con constante k de 6 ⁄ tiene suspendida una masa de − . Se aplica una fuerza externa por f t =40sen2t, t≥0. Considere que B es 2 y que inicialmente el cuerpo esta en reposo en su posición de equilibrio. Determine la posición del cuerpo en función del tiempo (t>0). + + = + � + = �= : : : Datos K=6 ; + = + = − = ; = = : � = ´ = La ecuación auxiliar es + + = En donde las raíces serán -2±2i√ De modo que la ecuación que describe el movimiento esta dada por: = − ( √ ) √ + Usando el método de coeficientes indeterminados, la solución particular es: = + =− + ´ ′′ =− − Sustituyendo en la ecuación diferencial resulta que: A=-5 y B=5. Por lo tanto: =− + La solución general esta dada por = + − = − ( √ + √ )+ Sustituyendo las condiciones iniciales, resulta que: 106 = = Actividad No. 31 − = , √ + − Desarrollo 107 Examen Ordinario Propósito: Resolver ecuaciones diferenciales lineales correctamente. Criterio de evaluación: Se evaluará que el examen contenga la solución correcta a los problemas propuestos. Tiempo estimado para la actividad: 100 minutos 108