Matemtica exercciosresolvidos 01m2geometriamtricaplana 140715083803 phpapp

Matemática Módulo 1 M1 M2 M3 M4 M5 M6 Geometria Métrica Plana 3 - 22 Trigonometria nos Triângulos 23 - 32 Conjuntos 33 - 36 Funções 37- 42 Função Polinomial 43 - 62 Função Modular 63 - 66 D T F O à D R T I F E C TER RCEIRÃOÃO FTD D M 12 T F M 1 E O R T I à E O TERCTD TERCEIR à de R o I n r E e d C F Ca R E T O s e d à D a Geometria Métrica Plana d R i T I v i F E At C O R à E D T ERCEIR T F O T 1 ERCEIRà 3 T Matrizes (Faap-SP) O proprietário de uma área quer dividi-la em três lotes, conforme a figura. (ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, ao seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir: a) 30 cm c) 50 cm e) 90 cm d) 80 cm X b) 45 cm Rua A 20 24 36 a b Rua c B 60 cm = 0,6 m Depois Antes 1,8 s 0,6 Po 2,0 1,5 = 1,8 2,0 9 1,8 → Po = = 6,0 0,6 0,6 14243 6,0 1,8 1,5 9 1,8 = → s= = 0,45 Θ s = 0,45 m ou 45 cm s 6,0 1,5 1 a 0 b 0 c = 120 1,8 2,0 Devemos ter: a b c = = 20 24 36 Po Po Sabendo-se que as laterais dos terrenos são paralelas e que a 0 b 0 c = 120 m, os valores de a, b e c, em metros, são, respectivamente: a) 40, 40 e 40 c) 36, 64 e 20 e) 30, 46 e 44 X d) 30, 36 e 54 b) 30, 30 e 60 2 De 1 e 2 , obtemos: a b c 120 a b c a0b0c = = = Θ = = = 20 0 24 0 36 20 24 36 80 20 24 36 Daí, obtemos: a = 30 m, b = 36 m e c = 54 m. 2 4 (UFSC) Na figura abaixo, o é paralelo a 3. Nessas condições, determine o valor de x 0 y. (MACK-SP) C C E 10 E 15 60) D B A Na figura acima, os ângulos assinalados são iguais, AC = 2 e AB = 6. A medida de 2 é: a) 6 5 b) 7 4 c) 9 5 X d) 3 2 e) x 10 A y D 18 B Os triângulos ACB e DEB são semelhantes. Logo: 5 4 y 0 18 AC AB 15 = Θ = Θy=9 DE DB 10 18 AC CB 15 10 0 x = Θ = Θ x = 20 DE EB 10 x Assim: x 0 y = 20 0 9 = 29 Do enunciado, temos a figura: C E 2 60) 2 60) 60) 60) D 2 60) A 6 B Os triângulos AEB e DCB são semelhantes. 6 3 AE Então: = Θ AE = . 2 8 2 3 Matemática M1 Geometria Métrica Plana 5 7 (UEL-PR) Após um tremor de terra, dois muros paralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramente abalados. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas, como mostra a figura abaixo. Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barras se interceptam? Despreze a espessura das barras. a) 1,50 m b) 1,75 m c) 2,00 m X d) 2,25 m 9m e) 2,50 m (Fuvest-SP) Um lateral L faz um lançamento para um atacante A, situado 32 m à sua frente em uma linha paralela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, segue uma trajetória retilínea, mas não paralela à lateral, e quando passa pela linha de meio-de-campo, está a uma distância de 12 m da linha que une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha de meio-de-campo está à mesma distância dos dois jogadores, a distância mínima que o atacante terá de percorrer para encontrar a trajetória da bola será de: A a) 18,8 m X b) 19,2 m c) 19,6 m 12 m d) 20 m 32 m e) 20,4 m 3m Da figura, temos: B L • #ABF Κ #CDF 9 a0b = x b A menor distância do atacante à trajetória da bola está na perpendicular à trajetória que contém a posição do atacante. Na figura é a medida do segmento d. Assim, considerando os dados da figura em metros, temos: 1) No triângulo LMB, retângulo em M: (LM)2 0 (MB)2 = (LB)2 Θ 162 0 122 = (LB)2 Θ LB = 20 m 1 9 C E 3 x A a • #EFA Κ #CDA 3 a0b = x a 2 2) Da semelhança dos triângulos LPA e LMB: AP AL AP 32 = → = BM BL 12 20 96 AP = 5 A AP = 19, 2 m D b F De 1 , vem: a0b= 9b x 3 16 Substituindo 3 em 2 , vem: 9b 9b 3 x = Θ 3a = x 9 Θ a = 3b x a x P 12 M B 16 De 1 , vem: 9 9 3b 0 b = Θ = 4 Θ x = 2,25 m x b x L 8 (MACK-SP) As bases de um trapézio isósceles medem 7 e 13. Se a altura do trapézio é 4, o seu perímetro é: 6 (UFSM-RS) Um fio de antena está preso no topo de um prédio de 16 metros de altura e na cumeeira de uma casa ao lado, a 4 metros de altura. Considerando o terreno plano (horizontal) e sabendo que a distância entre a casa e o prédio é 9 metros, o comprimento do fio é, em metros: a) 12 X b) 15 c) Fazendo a figura, vem: 337 d) 20 a) 27 e) 25 5 D 5 4 7 3 E 13 e) 40 B F 3 2 0 4 2 = 5. O perímetro do trapézio ABCD, isósceles, é: AB 0 BC 0 CD 0 DA = 7 0 5 0 13 0 5 = 30 C 4m 9m Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos: x2 = 92 0 122 x2 = 81 0 144 x2 = 225 x = 15 m Matemática d) 30 7 4 Dessa forma, AD = BC = h = 16 m 9 X 3 C Os triângulos ADE e BCF da figura são retângulos, congruentes e de catetos medindo 3 e 4. 16 − 4 = 12 m B c) 20 A A x b) 25 4 M1 Geometria Métrica Plana 9 10 (UFBA) A figura mostra a posição de um avião observado a partir de dois pontos, A e B, localizados no solo e distantes 1 km um do outro. Sabe-se que, nesse instante, o avião dista, respectivamente, 88 km e 9 km dos pontos A e B. Nessas condições, determine a altura do avião, em relação ao solo, no instante considerado. gratificação (em reais) 88 m (UFF-RJ) A Cerâmica Marajó concede uma gratificação mensal a seus funcionários em função da produtividade de cada um convertida em pontos; a relação entre a gratificação e o número de pontos está representada no gráfico a seguir. 9 km 310 110 0 30 50 90 100 no de pontos A B 1 km Observando que, entre 30 e 90 pontos, a variação da gratificação é proporcional à variação do número de pontos, determine a gratificação que um funcionário receberá no mês em que obtiver 100 pontos. Representando, temos: D A gratificação y que um funcionário recebe quando obtém 100 pontos é a mesma que a recebida quando obtém 90 pontos. gratificação (em reais) C 88 y h B 310 110 9 A 0 E 30 50 D A 1 B 90 no de pontos x C Usando o teorema de Pitágoras, temos: #CBD Θ 92 = h2 0 x2 1 #ACD Θ ( 88 )2 = (x 0 1)2 0 h2 2 De 1 , vem: h2 = 92 − x2 Θ h2 = 81 − x2 Substituindo em 2 , vem: 88 = (x 0 1)2 0 81 − x2 88 = x2 0 2x 0 1 0 81 − x2 88 = 2x 0 82 x = 3 km Portanto: h2 = 81 − 32 Θ h2 = 81 − 9 h2 = 72 Θ h = 72 Θ h Λ 8,5 km Observando o gráfico, temos que os triângulos ACD e ABE são semelhantes; logo: CD DE = BE EA y − 110 90 − 30 = 310 − 110 50 − 30 60 y − 110 = 200 20 y − 110 =3 200 y = 710 reais 5 Matemática M1 Geometria Métrica Plana 11 (EEM-SP) Um cabo deverá ligar o ponto A, situado na margem esquerda do rio, ao ponto D, situado na margem direita do mesmo rio, 240 metros rio abaixo (conforme a figura). Suponha que as margens do rio sejam paralelas e que sua largura seja de 70 metros. Esse cabo deverá ser esticado pela margem esquerda do rio, de A até B, 100 metros rio abaixo. Do ponto B atravessará perpendicularmente a margem do rio para o ponto C. De C seguirá ao longo da margem direita até D. 13 (PUC-SP) Uma estação de tratamento de água (ETA) localiza-se a 600 m de uma estrada reta. Uma estação de rádio localiza-se nessa mesma estrada, a 1 000 m da ETA. Pretende-se construir um restaurante, na estrada, que fique à mesma distância das duas estações. A distância do restaurante a cada uma das estações deverá ser de: a) 575 m e) 750 m X c) 625 m b) 600 m d) 700 m Seja R a posição do restaurante, situado na estrada e eqüidistante das duas estações. A partir do enunciado, podemos construir a seguinte figura: 240 m 100 m A (ETA) B 70 m A 1 000 m C D x 600 m rádio estrada Calcule o comprimento total do cabo e determine qual seria seu comprimento se ele fosse esticado diretamente de A até D. B R x C Sendo AB = 1 000 m, AC = 600 m e AR = BR = x, temos: I) teorema de Pitágoras no #ABC: BC2 0 6002 = 1 0002 → BC = 800 Seja x o comprimento total do cabo. Assim: x = AB 0 BC 0 CD x = 100 0 70 0 140 x = 310 m Seja y o comprimento do cabo esticado de A até D. Logo: (AD)2 = (240)2 0 (70)2 (AD)2 = 62 500 ( AD ) 2 = 62 500 AD = 250 m II) teorema de Pitágoras no #ARC: AR2 − RC2 0 6002 → x2 = (800 − x)2 0 6002 → x = 625 m 14 (Unifesp-SP) No triângulo ABC da figura, que não está desenhada em escala, temos: A BhC ≅ CjE, AlF ≅ BlF, AC = 27, BC = 9, BE = 8, BD = 15 F e DE = 9. 12 (UFC) Calcule o comprimento do raio r . 0 de uma esfera inscrita num cone circular reto cujo raio da base mede a = 5 e a geratriz mede b = 7. (Utilize cm como unidade de comprimento.) a) Mostre que os triângulos ABC e BEC são semelhantes e, em seguida, calcule AB e EC. b) Calcule AD e FD. O problema reduz-se a calcular o raio da circunferência inscrita num triângulo isósceles com base 2a . 0 e lados congruentes de medida b. Por semelhança de triângulos, obtemos a igualdade: D 15 8 B 27 9 E 9 C A x E r O a) Os triângulos ABC e BEC são semelhantes, pois têm dois ângulos respectivamente congruentes: h=jek=k Da semelhança dos triângulos, temos que: AB BC AC = = , ou seja, BE EC BC b AB 9 27 = = 8 EC 9 Ι AB = 24 e EC = 3 r C D a B 7 x b x 7 r = = Θ Θ x= 䉭ADB Κ 䉭AEO Θ 5 r a r 5 Usando o teorema de Pitágoras, temos: 2  7r  0 r  0 52 b2 = (x 0 r)2 0 a2 Θ 72 =   5  144r2 = 25 9 24 5 6 r= cm 6 Matemática b) Na figura, temos que: AD = AC − DC, ou seja, AD = 27 − 12 Ι AD = 15. No triângulo ADB, sendo AD = BD e AlF = BlF, podemos concluir que DF é a altura relativa à base AB do triângulo isósceles ADB. Logo, AF = BF = 12 e AzB = 90). Assim, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ADF, temos que: (FD)2 0 122 = 152 Ι FD = 9 6 M1 Geometria Métrica Plana 15 (Unicamp-SP) Dois navios partiram ao mesmo tempo, de um mesmo porto, em direções perpendiculares e a velocidades constantes. Trinta minutos após a partida, a distância entre os dois navios era de 15 km e, após mais 15 minutos, um dos navios estava 4,5 km mais longe do porto que o outro. a) Quais as velocidades dos dois navios, em km/h? b) Qual a distância de cada um dos navios até o porto de saída, 270 minutos após a partida? 16 (UFRN) Considere a posição da escada na figura ao lado. Sabendo que h = 200 cm, e que o comprimento da escada é H H cm, calcule . 17 20 cm h h 4 a) Do enunciado, temos a figura, cotada em km: N1 C B x Os triângulos ABC e ADE são semelhantes. AC AB x 20 = Θ = AE AD H−x 200 1 x = 10 H−x x 20 15 A x H−x h = 200 P N2 y2 0 6y − 432 = 0 2 E 2 H = 55 17 Portanto: 2 Ainda, do enunciado, temos: y 9 45 x 9 45 = 0 4,5 Θ x = y 0 6 60 60 De 1 e 2 , vem: (y 0 6)2 0 y2 = 900 1  H  H −  = 42 500  11  2H 2 H2 H2 − 0 = 42 500 11 121 100H2 = 5 142 500 x 30 Θ PN1 = 2 60 y 30 PN2 = y 9 Θ PN2 = 2 60 Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo PN1N2, temos: (PN1)2 0 (PN2)2 = (N1N2)2 = 152 Θ x2 0 y2 = 900 H 11 De 1 e 2 , vem: Do enunciado, temos: PN1 = x 9  y 0   2 h = 50 4 D Sejam x e y as velocidades, em km/h, dos navios que se deslocam sobre as retas PN1 e PN 2 , respectivamente. 2 x= No #ADE, temos: (H − x)2 = 2002 0 502 Θ (H − x)2 = 42 500 P: porto N1: posição de um dos navios 30 minutos após a partida N2: posição do outro navio no mesmo instante  x    2 10x = H − x H 55 17 = = 55 17 17 1 2 yδ = 18 y φ = −24 (não convém) 17 (Vunesp-SP) O comprimento c de uma circunferência é dado pela fórmula c = 2πr. Um ciclista, cuja bicicleta tem pneus de 20 cm de raio, deu 7 500 pedaladas. Usando a aproximação π = 3 e supondo que cada pedalada corresponde a uma volta completa do pneu, a distância percorrida pelo ciclista foi de: a) 4,5 km c) 45 km e) 900 km d) 150 km X b) 9 km Em 2 , temos: x = y 0 6 Θ x = 18 0 6 Θ x = 24 As velocidades são 18 km/h e 24 km/h. b) As distâncias são iguais a: 270 Θ d1 = 81 km d1 = 18 9 60 270 d2 = 24 9 Θ d2 = 108 km 60 De acordo com os dados, em cada volta o ciclista andou: C = 2 9 π 9 r Θ C = 2 9 3 9 0,2 Θ C = 1,2 m Como ele deu 7 500 voltas, temos: 7 500 9 1,2 = 9 000 m = 9 km 7 Matemática M1 Geometria Métrica Plana 18 (UERJ) José deseja construir, com tijolos, um muro de jardim com a forma de uma espiral de dois centros, como mostra a figura ao lado. 20 (UFG) Os diâmetros das rodas dianteira e traseira de uma bicicleta medem 54 cm e 70 cm, respectivamente. Em determinado momento, marca-se, em cada roda, o ponto de contato com o solo. Ao deslocar-se em linha reta, calcule a menor distância a ser percorrida pela bicicleta, para que os pontos marcados nas rodas toquem novamente o solo, ao mesmo tempo. 1m Para construir essa espiral, escolheu dois pontos que distam 1 m um do outro. A espiral tem 4 meias-voltas e cada tijolo mede 30 cm de comprimento. Considerando π = 3, o número de tijolos necessários para fazer a espiral é: X a) 100 b) 110 c) 120 d) 130 As distâncias percorridas pelas rodas traseira e dianteira são, respectivamente: C1 = 2πR1 70 C1 = 2π 9 2 C1 = 70π C2 = 2πR2 C2 = 2π 9 A primeira parte da espiral é uma semicircunferência de raio 1 m. Seu comprimento é: C1 = π 9 R1 Θ C1 = 3 9 1 = 3 Θ 3 m C2 = 54π A menor distância a ser percorrida pela bicicleta, para que os pontos marcados nas rodas toquem novamente o solo, ao mesmo tempo, pela primeira vez, é dada pelo menor múltiplo comum de 70π e 24π. Logo: A segunda parte da espiral (R2 = 2 m) tem comprimento: C2 = π 9 R2 Θ C2 = 3 9 2 = 6 Θ 6 m A terceira parte da espiral (R3 = 3 m) tem comprimento: C3 = π 9 R3 Θ C3 = 3 9 3 = 9 Θ 9 m 70, 54 35, 27 35, 9 35, 3 35, 1 7, 1 1, 1 A quarta parte da espiral (R4 = 4 m) tem comprimento: C4 = π 9 R4 Θ C4 = 3 9 4 = 12 Θ 12 m O comprimento total da espiral é: C = C1 0 C2 0 C3 0 C4 Θ C = 3 0 6 0 9 0 12 = 30 Θ 30 m O número de tijolos de comprimento 30 cm = 0,3 m é: 30 300 n= Θn= = 100 0,3 3 2 2 X b) c) 1 2 d) 5 2 e) 5 2 2 Fazendo as figuras: 5 5 5 R r R r= 5 5 2 5 r= 2 r 5 5 Aplicando o teorema de Pitágoras, vem: 5 2 = R2 0 R2 52 R2 = 2 R= R= Logo: 59 2 2 9 2 5 2 2 R = r 5 2 2 5 2 = 2 Matemática 2 3 3 3 5 7 1 890 mmc (70π, 54π) = 1 890π cm 19 (UESPI) Dado um quadrado de lado 5 cm, a razão entre os raios dos círculos circunscrito e inscrito ao quadrado, nessa ordem, é: a) 54 2 8 Geometria Métrica Plana M1 23 (Acafe-SC) A base de um triângulo mede 72 cm e sua altura, em cm, é h. Se a base for aumentada em 48 cm e a altura em 32 cm, obtém-se um novo triângulo, cuja área é o triplo da área do primeiro. O valor da altura h, em cm, é: X c) 80 a) 12 b) 64 d) 20 e) 40 21 (UEM-PR) Uma pista de atletismo tem a forma circular e seu diâmetro mede 80 m. Um atleta treinando nessa pista deseja correr 10 km diariamente. Determine o número mínimo de voltas completas que ele deve dar nessa pista, a cada dia. O comprimento da pista é igual a: C = 2πR C = 2 9 3,14 9 40 C = 251,2 m Como ele deve percorrer 10 km = 10 000 m, o número de voltas completas é: 10 000 Λ 39,8 voltas 251, 2 72h Θ A1 = 36h 2 (72 0 48) 9 (h 0 32 ) A2 = 2 Sendo A2 = 3A1, vem: 120(h 0 32 ) = 36h 2 60h 0 1 920 = 36h h = 80 cm A1 = Ele deve dar aproximadamente 40 voltas. 22 (Vunesp-SP) Considere os pontos do plano (0, 0), (0, 1), (2, 1), (2, 3), (5, 3) e (7, 0). Representando geometricamente esses pontos no plano cartesiano e ligando-os por meio de segmentos de retas obedecendo à seqüência dada, após ligar o último ponto ao primeiro obtém-se uma região limitada do plano. Se a unidade de medida é dada em centímetros, a área dessa região, em cm2, é: X d) 14 a) 9 b) 10 c) 13 e) 15 24 Do enunciado, temos a figura: Seja A a área da sala retangular. Logo: A = 45 9 3,2 9 0,25 Θ A = 36 m2 (Unicentro-PR) Um construtor calculou que serão necessárias 45 tábuas de 3,2 m de comprimento por 0,25 m de largura para revestir todo o piso de uma sala retangular. O proprietário, preferindo comprar peças quadradas de granito com 0,40 m de lado, necessitará, para revestir todo o piso, de uma quantidade mínima de peças igual a: a) 62 b) 84 c) 120 d) 208 X e) 225 Seja x a área de cada peça quadrada. Logo: x = 0,40 9 0,40 Θ x = 0,16 m2 y (cm) Portanto: 36 N= Θ N = 225 peças 0,16 D C 3 S2 1 A B S1 0 G 2 S3 F 5 E 7 x (cm) S1: área do retângulo ABGO S2: área do retângulo CDFG S3: área do triângulo DEF A área S pedida, em cm2, é tal que: S = S 1 0 S2 0 S3   1 9 2 9 3  Ι S = 14 cm2 S = (2 9 1) 0 (3 9 3) 0    2 9 Matemática M1 25 Geometria Métrica Plana 27 (PUC-SP) A figura abaixo representa um terreno com a forma de um trapézio isósceles, cujas dimensões indicadas são dadas em metros. (UFJF-MG) A densidade demográfica de certa cidade é de 0,002 habitante por metro quadrado. A 10 B 25 Se essa cidade ocupa uma área de 180 km2, o número de habitantes é: a) 36 milhões d) 3,6 milhões b) 9 milhões e) 60 mil X c) 360 mil Sendo 180 km2 = 180 9 106 m2, temos: 1 m2 —— 0,002 hab. 180 9 106 —— x 0, 002 1 = 180 9 10 6 x D 40 C Pretende-se construir uma cerca paralela ao lado i, para dividir o terreno em duas superfícies de áreas iguais. O comprimento dessa cerca deverá ser aproximadamente igual a: X b) 29 a) 26 c) 33 d) 35 e) 37 x = 0,36 9 106 x = 360 000 habitantes Sendo x o comprimento da cerca, em metros, temos a figura, em que AD e BG são paralelos: 26 (UFF-RJ) Num terreno retangular com 104 m2 de área, deseja-se construir um jardim, também retangular, medindo 9 m por 4 m, contornado por uma calçada de largura L, como indica a figura. E 15 A 10 B 15 F cotada em metros h 25 I x ⫺ 10 J H 10 calçada D No triângulo retângulo ADE, temos: (DE)2 0 (AE)2 = (AD)2 (DE)2 0 152 = 252 Ι DE = 20 Os triângulos BIJ e BGC são semelhantes. Logo: x − 10 h 2 = Ιh= 9 (x − 10) 1 30 20 3 L Como a área do trapézio ABJH é igual à metade da área do terreno, devemos ter: (10 0 x) 9 h 1 (10 0 40 ) 9 20 2 = 9 2 2 2 De 1 e 2 , temos: L 4 (10 0 x) 9 L 9 L (4 0 2L)(9 0 2L) = 104 → 36 0 8L 0 18L 0 4L = 104 4L2 0 26L − 68 = 0 → 2L2 0 13L − 34 = 0 2 −13 Σ 169 0 272 4 Lδ = 2 Lφ = − 34 4 ΙL=2m Matemática C L Calcule o valor de L. L= 30 40 jardim L 10 G 10 2 9 (x − 10) = 500 Ι x = 3 850 Λ 29 M1 Geometria Métrica Plana 28 (UERJ) Uma empreiteira deseja dividir um grande terreno em vários lotes retangulares de mesma área, correspondente a 156 m2. Em cada lote, será construída uma casa retangular que ocupará uma área de 54 m2, atendendo à exigência da prefeitura da cidade, de que seja construída mantendo 3 m de afastamento da frente e 3 m do fundo do lote, bem como 2 m de afastamento de cada uma das laterais. a) Indique as dimensões de cada casa a ser construída, de modo que cada lote tenha o menor perímetro possível. b) O piso da área não ocupada pela casa, em cada lote, será revestido por lajotas quadradas de 40 cm de lado, vendidas apenas em caixas, contendo, cada uma, onze unidades. Sabendo que há uma perda de 10% de lajotas durante a colocação, especifique o número mínimo de caixas necessárias, por lote, para revestir o piso da área não ocupada pela casa. 29 (Vunesp-SP) Em um acidente automobilístico, foi isolada uma região retangular, como mostrado na figura. y x Se 17 m de corda (esticada e sem sobras) foram suficientes para cercar 3 lados da região, a saber, os dois lados menores de medida x e um lado maior de medida y, dados em metros, determine: a) a área (em m2) da região isolada, em função do lado menor; b) a medida dos lados x e y da região retangular, sabendose que a área da região era 36 m2 e a medida do lado menor era um número inteiro. a) a) y 3m y x 2m CASA x 123 2m x 9 y = 54 (x 0 6)(y 0 4) = 156 1 9 b) S = x(17 − 2x) = 36 → 2x2 − 17x 0 36 = 0 → x = 4 ou x = → 2 → x = 4, pois x 7 Β. Se x = 4, então y = 17 − 2 9 4 = 9 Ι x = 4 m e y = 9 m. 3m Resolvendo o sistema, temos: xy 0 4x 0 6y 0 24 = 156 54 0 4x 0 6y 0 24 = 156 4x 0 6y = 78 2x 0 3y = 39 2 De 2 , vem: y = x Tem-se que: x 0 y 0 x = 17 → y = 17 − 2x A área da região é: S = x 9 y ou S = x 9 (17 − 2x), com 0 , x , 8,5. 30 (UERJ) Uma folha de papel retangular, como a da figura 1, de dimensões 8 cm Ο 14 cm, é dobrada como indicado na figura 2. 39 − 2 x 3 A B A Substituindo em 1 , obtemos: x1 = 6 2x2 − 39x 0 162 = 0 x2 = 13,5 E De 2 , vem: y1 = 9 e y2 = 4. B Logo, x = 6 m e y = 9 m. b) área não ocupada = área do lote − área de casa área não ocupada = 156 m2 − 54 m2 = 102 m2 área da lajota = 1 600 cm2 = 0,16 m2 número de lajotas necessárias para revestir o piso da área não ocu102 = 637,5 lajotas pada = 0,16 100% 110% D C D Figura 1 C Figura 2 Se o comprimento CE é 8 cm, a área do polígono ADCEB, em cm2, é igual a: a) 112 b) 88 d) 24 X c) 64 637,5 637,5 lajotas Λ 701, 25 lajotas → x = 11 9 x 10 701,25 lajotas 0 11 lajotas = 63,75 caixas Número mínimo de caixas: 64 caixas Da figura, temos: A 8 cm 6 cm (AE)2 = 82 0 62 Θ (AE)2 = 100 Θ AE = 10 cm E Como AB = 8 cm, vem: (AE)2 = (AB)2 0 (BE)2 Θ 100 = 64 0 (BE)2 BE = 6 cm B D 8 cm C A área da figura mais escura é dada por: área do retângulo ABCD menos duas vezes a área do triângulo ABE: 8 9 14 − 2 9 11 896 = 112 − 48 = 64 cm 2 2 Matemática M1 Geometria Métrica Plana 31 33 (FGV-SP) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e CFD é um triângulo retângulo em F. Calcule a área S do retângulo ABCD, sabendo que AB = 2AD = 4AE e DF = 6 m. (MACK-SP) Em um trapézio ABCD, os pontos P, Q, M e N são médios dos lados AB, BC, CD e DA , respectivamente. A razão entre a área do quadrilátero PQMN e a área do trapézio é: 1 a) 4 X b) 1 2 1 c) 3 2 d) 3 C 4 e) 5 D Considere o trapézio ABCD, cujas bases são AB e DC e cuja a altura mede 2h. A P F B h N A Do enunciado, temos a figura, cotada em metros: h D E B Q C α 4x D C M 6 2x A área S1 do quadrilátero PQMN é igual à soma das áreas dos triângulos NPQ e NMQ. Logo: F 1 S1 = 2 9 9 NQ 9 h Ι S1 = NQ 9 h 1 2 A área S2 do trapézio ABCD é tal que: (AB 0 DC) 9 2h Ι S2 = NQ 9 2h 2 S2 = 2 S1 é tal que: De 1 e 2 , uma razão pedida S2 S1 S1 NQ 9 h 1 Ι = = S2 NQ 9 2h S2 2 Como os triângulos CFD e AFE são semelhantes, temos: FE AE FE x 3 = → = → FE = DF CD 6 4x 2 Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo DAE, temos: NQ : base média do trapézio ABCD; AB 0 DC NQ = 2 3 5 x 5 = 3 06Θx= 2 2 Logo: B Sendo DE = FE 0 FD: 3 5 Θ AB = 6 5 e 2 3 5 Θ AD = 3 5 AD = 2x = 2 9 2 Portanto, a área S pedida, em m2, é tal que: S = AB 9 AD Θ S = 6 5 9 3 5 Θ S = 90 m2 32 (UFG) Determine um triângulo isósceles, cujo perímetro é 18 cm e a área é 12 cm2, sabendo que a medida de seus lados são números inteiros. Fazendo a figura e observando os dados do problema, tem-se: 14243 123 x h x 2y x=9−y → (9 − 2y)y2 = 16 9(x − y)y2 = 144 Sendo y um número inteiro positivo e menor que 9, o único valor possível é y = 4; logo, x = 5. Portanto, o triângulo tem um lado medindo 8 cm e os outros lados medindo 5 cm. Matemática α x (DE)2 = (AE)2 0 (AD)2 Θ (DE)2 = x2 0 (2x)2 Θ DE = x 5 AB = 4x = 4 9 Perímetro: 2x 0 2y = 18 → x 0 y = 9 Área: hy = 12 Pitágoras: h2 = x2 − y2 = 9(x − y) E 12 A M1 Geometria Métrica Plana 34 36 (Unipa-MG) Um casal adquiriu um terreno pela planta retangular, de 10 m Ο 20 m, pagando R$ 50 000,00. Quando o topógrafo foi medir, observou que as medidas do terreno eram diferentes. No desenho abaixo, a área destacada é a real. Pode-se concluir que o prejuízo do casal foi de: b a a a) R$ 2 000,00 b) R$ 5 000,00 c X c) R$ 7 000,00 a=1m b=9m d) R$ 9 000,00 c c = 19 m e) R$ 11 000,00 a b (FGV-SP) a) Num triângulo eqüilátero ABC, unindo-se os pontos médios de i e de o, obtém-se um segmento de medida igual a 4 cm. Qual a área do triângulo ABC? b) Num triângulo retângulo ABC, de hipotenusa p, a altura relativa à hipotenusa é 6. Se BH = 3 cm e HC = 8 cm, qual a medida do cateto o? a) 9 19 20 19 1 1 35 10 9 N a B • Cálculo do valor do metro quadrado do terreno: 50 000,00 = 250,00 /m 2 Θ R $ 250,00 / m 2 10 9 20 1 4 M Pelos dados, temos: 1 Sejam σ a medida do lado do triângulo eqüilátero ABC, M o ponto médio do lado i e N o ponto médio do lado o. I. Como MN = 4 cm, temos σ = 8 cm, pois os triângulos AMN e ABC são semelhantes e a razão de semelhança é 1 : 2. II. Sendo S a área do triângulo ABC, temos: σ2 3 82 3 S= = → S = 16 3 4 4 A C σ Ι S = 16 3 cm 2 b) • Cálculo da área real do terreno: 19 9 1 9 19 A = 10 9 20 − 2 9 −29 2 2 A = 200 − 9 − 19 A = 172 m2 A B • Prejuízo: P = (200 − 172) 9 250 Θ P = 7 000 3 No triângulo retângulo ABC, temos: (AC)2 = HC 9 BC (AC)2 = 8 9 11 AC = 2 22 cm H 8 C A Portanto, o prejuízo foi de R$ 7 000,00. E B 37 (UFAC) Na figura, ABCD é um retângulo e E é um ponto do segmento i. Da figura, podemos concluir que: (UFMG) Observe as figuras: 30 C I. Se AE = EB, então a área do triângulo ACE é um quarto da área do retângulo ABCD. II. O valor da área do triângulo CDE é o mesmo da soma das áreas dos triângulos ACE e EBD. III. A área do triângulo CDE é metade da área do retângulo ABCD, independentemente da posição em que o ponto E esteja no segmento i. Com relação às afirmações I, II e III, pode-se dizer que: X a) todas são verdadeiras. b) todas são falsas. c) apenas I é verdadeira. d) as afirmações II e III são falsas. e) apenas II e III são verdadeiras. 90 40 40 110 12 Nessas figuras, estão representadas as vistas frontal e lateral de uma casa de madeira para um cachorrinho, com todas as medidas indicadas em centímetros. Observe que o telhado avança 12 cm na parte da frente da casa. Considerando-se os dados dessas figuras, a área total do telhado dessa casa é de: a) 0,96 m2 X b) 1,22 m2 c) 1,44 m2 d) 0,72 m2 A largura de cada parte do telhado mede: x 30 cm D II. Verdadeira I. Verdadeira x2 = 302 0 402 Θ x = 50 cm A 40 cm E x x B E A Cada parte do telhado é um retângulo de dimensões: B 1 2 2 50 cm 122 cm C S ACE = A área é igual a: S = 122 9 50 = 6 100 cm2 A área total é igual a: 2S = 2 9 6 100 = 12 200 cm2 = 1,22 m2 1 9 S ABCD 4 III. Verdadeira S1 0 S2 = 13 D C 1 D SCDE = S1 0 S2 SACE 0 SEBD 1 9 S ABCD 2 Matemática M1 Geometria Métrica Plana 38 (UCSal-BA) No centro de uma praça circular, de 90 m de raio, foi montado um tablado, também circular e com 12 m de raio, no qual se realizou um espetáculo musical. Considerando que todas as pessoas que foram ao espetáculo restringiram-se à faixa da praça exterior ao tablado, que teve uma ocupação média de 4 pessoas por metro quadrado, quantas pessoas estiveram presentes a esse espetáculo? (Use π = 3.) a) 90 576 c) 93 128 e) 98 576 b) 92 462 X d) 95 472 40 (Furb-SC) “Lixo é basicamente todo e qualquer resíduo sólido proveniente das atividades humanas ou geradas pela natureza em aglomerados urbanos. O lixo faz parte de nossa vida, e tratá-lo bem é uma questão de bom senso, cidadania, e bem-estar, agora, e principalmente no futuro.” (www.loucosporlixo.com.br) Pensando nisso, um grupo teatral quer representar uma peça sobre a importância da reciclagem do lixo. Eles querem montar um cenário no qual 3 paredes de 4 m de altura por 5 m de comprimento deverão ser revestidas de CDs defeituosos. Sabendo-se que cada CD possui 12 cm de diâmetro, quantos CDs, aproximadamente, serão necessários para revestir essas paredes? (Use π = 3,14.) a) 5 200 c) 5 400 e) 5 600 d) 5 500 X b) 5 300 Do enunciado, temos: 90 m 12 m • Área do cenário: A = 3 9 4 9 5 = 60 m2 • Área de cada CD: A1 = π 9 R2 A1 = 3,14 9 (0,06)2 A1 = 0,011304 m2 A área da coroa circular é: S = πr 22 − πr 12 • O número de CDs necessários é: 60 N= Θ N Λ 5 308 0,011304 S = π( 90 2 − 12 2 ) S = 3 9 (8 100 − 144) S = 23 868 m2 O número de pessoas é: n = 4 9 23 868 = 95 472 pessoas 41 (Cefet-PR) Uma indústria necessita produzir lâminas de máquinas moedoras de carne, conforme a especificação a seguir. cm 39 (IBMEC-SP) Um CD comum, que comporta em média 80 minutos de música, tem 12 cm de diâmetro, sendo que não é possível gravar em seu círculo interno de diâmetro 4 cm. Considerando que o tempo total de música que pode ser gravada num CD é diretamente proporcional à sua área de gravação, se duplicarmos as medidas dos diâmetros do CD e do círculo interno em que não se pode gravar, será possível gravar neste novo CD: a) 160 minutos de música b) 240 minutos de música X c) 320 minutos de música d) 400 minutos de música e) 480 minutos de música 6 4 2 2 4 6 8 cm A área da lâmina está diretamente relacionada com a potência do motor da máquina. Considerando que o contorno da lâmina somente é constituído de semicírculos, sua área, em cm2, é igual a: c) π e) (4 0 12π) X a) 16 b) 16π d) (4 0 16π) Considere: Si: área de gravação de um CD comum, em cm2 Sf: área de gravação do novo CD, em cm2 Temos: Si = π 9 62 − π 9 22 Ι Si = 32π Sf = π 9 122 − π 9 42 Ι Sf = 128π Sendo t o tempo em minutos procurado, temos: 128 π 9 80 t= Ι t = 320 min 32 π Completando a figura abaixo, obtemos um quadrado de lado 4 cm. 6 4 4 6 Logo, a área da lâmina é: 4 9 4 = 16 cm2 Matemática 14 Geometria Métrica Plana 44 (UFJF-MG) Uma janela foi construída com a parte inferior retangular e a parte superior no formato de um semicírculo, como mostra a figura abaixo. Se a base da janela mede 1,2 m e a altura total 1,5 m, dentre os valores abaixo, o que melhor aproxima a área total da janela, em metros quadrados, é: a) 1,40 X b) 1,65 c) 1,85 1,5 d) 2,21 e) 2,62 Em questões como a 42, as alternativas verdadeiras devem ser marcadas na coluna I e as falsas, na coluna II. 42 (Unicap-PE) Deseja-se construir um oleoduto, ligando duas cidades, A e B (observe a figura abaixo). Há três possibilidades de trajetos: em linha reta, com o custo total por km, em real, de 2 700,00; em arco (semicircunferência), com custo total por km, em real, de 1 600,00; em forma de L, ACB, com custo total por km, em real, de 1 700,00. Assim: I – II 0 – 0 O trajeto em arco é o mais caro. B 1 – 1 O trajeto em forma de L é o mais caro. 2 – 2 O trajeto i é o mais barato. 3 – 3 Os trajetos em arco e em forma de L têm o mesmo custo. A C 4 – 4 O trajeto mais barato é em L. 1,2 Pelos dados, vem: 0,6 0,6 1,5 Pelos dados, temos: M1 B 3,14 9 ( 0,6 ) 2 2 A = 1,08 0 0,57 A = 1,65 m2 A = 12 , 9 0,9 0 0,6 0,9 0,9 R x 1,2 R A x C 0 0. Falsa. Aplicando o teorema de Pitágoras, vem: (2R)2 = x2 0 x2 Θ 4R2 = 2x2 x2 = 2R2 45 (MACK-SP) Na figura, ABCD é um paralelogramo cujo lado p é tangente, no ponto B, à circunferência de diâmetro AD = 6. A área da região assinalada é: a) 11 B b) 12 C X c) 9 d) 8 e) 10 x =R 2 Substituindo 2 por 1,41, vem x = 1,41R. • Trajeto i: 2R 2 700 9 2R = 5 400R 2 πR • Trajeto em arco: = πR 2 1 600 9 3,14R = 5 024R • Trajeto em forma de L: 2x = 2 9 1,41R = 2,82R 2,82R 9 1 700 = 4 794R 1 2 3 4 1. 2. 3. 4. Falsa Falsa Falsa Verdadeira Portanto: I 0 1 2 3 4 A D A área da região assinalada é igual à área do triângulo BCD na figura abaixo: II 0 1 2 3 4 B 6 C 3 43 (UESPI) Um trabalhador gasta 3 horas para limpar um terreno circular de 6 metros de raio. Se o terreno tivesse 12 metros de raio, quanto tempo o trabalhador gastaria para limpar tal terreno? a) 6 h b) 9 h d) 18 h e) 20 h X c) 12 h A 3 3 D Logo: As áreas são iguais a: S 1 = πR 21 Θ S 1 = π 9 6 2 = 36 π m 2 S= 693 ΙS=9 2 S 2 = πR 22 Θ S 2 = π 9 12 2 = 144 π m 2 Portanto: tempo 3h x área 3 36 = 36π Θ x 144 144π x = 12 h 15 Matemática M1 Geometria Métrica Plana 46 47 (UFMT) A etiqueta do CD mostrado na figura tem a forma de uma coroa circular cujo diâmetro da circunferência externa mede 11,8 cm e o da circunferência interna, 3,6 cm. Considerando π = 3,14, determine o número inteiro mais próximo da medida (em cm2) da área da etiqueta. (UFPE) Na ilustração a seguir, o triângulo ABC é eqüilátero, a circunferência maior está inscrita no triângulo e as duas menores são tangentes à maior e a dois lados do triângulo. Se o triângulo tem lado medindo 18, qual o maior inteiro menor que a área da região colorida? (Dado: use as aproximações 3 Λ 1,73 e π Λ 3,14.) A C 3,6 cm 11,8 cm As medidas dos raios são: d1 = 2r1 Θ 11,8 = 2r1 Θ r1 = 5,9 cm d2 = 2r2 Θ 3,6 = 2r2 Θ r2 = 1,8 cm A área da etiqueta é igual a: S = πr 21 − πr 22 Θ S = π(r 21 − r 22 ) S = 3,14(5,92 − 1,82) S = 99,1298 cm2 Ι S = 99 cm2 B Da figura, temos: 18 A r2 r2 C r1 9 r1 18 48 (Vunesp-SP) A figura reA B presenta um canteiro de forma circular com 5 metros de raio. O canteiro tem uma região retanO gular que se destina à plantação de flores e uma outra região, C D sombreada na figura, na qual se plantará grama. Na figura, O é o centro do círculo, OB é o raio, o retângulo está inscrito no círculo e CD mede 8 metros. a) Determine a medida do lado BD e a área da região retangular destinada à plantação de flores. b) Sabendo-se que o metro quadrado de grama custa R$ 3,00, determine quantos reais serão gastos em grama (para facilitar os cálculos, use a aproximação π = 3,2). M 9 B A altura do triângulo eqüilátero é igual a: σ 3 18 3 Θ h1 = Θ h1 = 9 3 2 2 1 da altura: O raio r1 é igual a 3 1 1 h Θ r1 = 9 9 3 Θ r1 = 3 3 r1 = 3 1 3 As circunferências menores estão inscritas em triângulos eqüiláteros de alturas iguais a: h2 = h1 − 2r1 Θ h2 = 9 3 − 6 3 = 3 3 h1 = x: medida de BD, em metros Sf: área destinada à plantação de flores, em metros quadrados O raio das circunferências menores é igual a: 1 1 r Θ r2 = 9 3 3 Θ r2 = 3 3 3 1 A soma das áreas das circunferências é igual a: r2 = S = πr12 0 2πr22 Θ S = π 9 (3 σ2 O Sc: área do círculo de centro O e raio OB , em metros quadrados 3 )2 0 2π( 3 )2 Θ S = 33π Sg: área destinada à plantação de grama, em metros quadrados A área da região colorida é igual à diferença entre as áreas do triângulo eqüilátero ABC e a soma das áreas das circunferências: B A 5 C 4 x x 2 M 5 4 D 8 R: quantia, em reais, a ser gasta com a plantação de grama Assim: 18 2 3 A= −S ΘA= − 33π Θ A Λ 36,51 4 4 O menor inteiro é 36. 3  x a)    2 2  x 0 4 2 = 52 →    2 2 =9→ x =3→ x=6 2 6 m (medida do lado BD) Sf = CD 9 BD → Sf = 8 9 6 → Sf = 48 m2 (área da região com flores) b) Sc = π(OB)2 → Sc = 3,2 9 52 → Sc = 80 Sg = Sc − Sf → Sg = 80 − 48 → Sg = 32 R = Sg 9 3,00 → R = 32 9 3,00 → R = R$ 96,00 (valor gasto com a grama) Matemática 16 M1 Geometria Métrica Plana 49 (FMTM-MG) Na figura, a medida dos segmentos OA e OB é 4 cm. O ângulo AOB tem 90) e OCA e OCB são semicircunferências. A área da superfície sombreada é: a) (4 − π) cm2 B b) (6 − π) cm2 2 X c) (2π − 4) cm 2 d) (π − 3) cm C e) (2π − 5) cm2 O Pelos dados, temos: 51 (UFSCar-SP) Considere a região R, pintada de preto, construída no interior de um quadrado de lado medindo 4 cm. Sabendo-se que os arcos de circunferência que aparecem nos cantos do quadrado têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada raio mede 1 cm, pede-se: a) a área da região interna ao quadrado, complementar à região R; b) a área da região R. A Do enunciado, temos: B a) A área pedida é igual a quatro vezes a área do triângulo T mais quatro vezes a área do setor S: 1 1 49 9292049 9 π 9 12 2 4 Logo, a área pedida é (8 0 π) cm2. b) A área da região R é igual à área do quadrado menos a área obtida no item a, ou seja, 42 − (8 0 π). Logo, a área de R é (8 − π) cm2. 4 1 2 4 C 2 2 O A hachurada = 4 1 2 D T 1 A 2 1  π 9 22 292  π 9 42 π 9 22 − 920 −  92  4 2  4 2 2 2 S 1 Ahachurada = 4π − 4π 0 2(π − 2) = (2π − 4) Θ (2π − 4) cm2 C 52 (Fafeod-MG) A figura ao lado ilustra um triângulo ABC, inscrito numa circunferência de centro O e raio 2,5 cm, sendo CB igual a 3 cm. 50 (Vunesp-SP) Uma empresa tem o seguinte logotipo: A B O Assumindo π = 3,14, é correto afirmar que a área, em cm2, da região hachurada na figura é: a) 12,625 X b) 13,625 c) 19,625 d) 15,625 Se a medida do raio da circunferência inscrita no quadrado é 3 cm, a área, em cm2, de toda a região pintada de preto é: 9π 9π 9π a) 9 − c) 18 − e) 36 − 2 4 2 9π 9π d) 36 − X b) 18 − 4 4 AB é o diâmetro da circunferência, pois passa pelo centro O, logo o triângulo ABC é retângulo em C. Substituindo os valores na figura, vem: C B 3 3 B A x A 3 45) 3 B A 3 45) 3 3 2,5 2,5 B Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos: (AB)2 = (BC)2 0 (AC)2 52 = 32 0 x2 25 = 9 0 x2 x2 = 16 x=4 B A área S, em centímetros quadrados, da região pintada de preto é dada por S = 2A 0 4B, em que: 45 ) 9π A= 9 π 9 32 = 360 ) 8 393 9 9π B= −A= − 2 2 8 Assim: Portanto, a área hachurada vale: 394 A hachurada = A círculo − A triângulo Θ A = π 9 (2,5 ) 2 − 2 A = 6,25π − 6  9 9π 9π  049 −   2 8 8  9π 9π 9π S= 0 18 − → S = 18 − cm 2 4 2 4 Substituindo π, vem: A = 6,25 9 3,14 − 6 A = 19,625 − 6 A = 13,625 cm2 S=29 17 Matemática M1 Geometria Métrica Plana 53 (UFPE) Na figura abaixo, o ângulo BhC mede 60° e AB = AC. Se a circunferência tem raio 6, qual o inteiro mais próximo da área da região colorida? (Dados: use as aproximações π Λ 3,14 e 3 Λ 1,73.) B 55 (FGV-SP) Em uma cidade do interior, a praça principal, em forma de um setor circular de 180 metros de raio e 200 metros de comprimento do arco, ficou lotada no comício político de um candidato a prefeito. Admitindo uma ocupação média de 4 pessoas por metro quadrado, a melhor estimativa do número de pessoas presentes ao comício é: c) 100 mil e) 40 mil X a) 70 mil b) 30 mil d) 90 mil C Do enunciado, temos a figura (cotada em metros): 60⬚ A 180 praça A área da região colorida é:  π 9 62 6 2 9 sen 120°  −  S = 2   3 2 S = 24π − 18 3 S = 24 9 3,14 − 18 9 1,73 S = 44,22 200 1 9 200 9 180, ou seja, 18 000. 2 Sendo x o número de pessoas presentes ao comício, do enunciado temos que x = 4 9 18 000, ou seja, x = 72 000. Logo, a melhor estimativa está na alternativa a. A área da praça, em m2, é igual a 54 (ENEM) Um engenheiro, para calcular a área de uma cidade, copiou sua planta numa folha de papel de boa qualidade, recortou e pesou numa balança de precisão, obtendo 40 g. Em seguida, recortou, do mesmo desenho, uma praça de dimensões reais 100 m Ο 100 m, pesou o recorte na mesma balança e obteve 0,08 g. praça de área conhecida planta 56 (UA-AM) Um setor circular de raio 5 cm tem arco de comprimento 8 cm. Então a sua área é: a) 30 cm2 c) 10 cm2 X e) 20 cm2 2 2 b) 40 cm d) 80 cm Com esses dados foi possível dizer que a área da cidade, em metros quadrados, é, aproximadamente: a) 800 c) 320 000 X e) 5 000 000 b) 10 000 d) 400 000 A massa da planta da cidade é 40 g. A área da praça de dimensões 100 m por 100 m é 10 000 m2 e o recorte da planta tem massa 0,08 g. S 10 000 = → S = 5 000 000 40 0,08 S setor = Logo, a área da cidade é 5 000 000 m2. Matemática 18 σ 9R 895 Θ S setor = = 20 Θ S = 20 cm 2 2 2 M1 Geometria Métrica Plana 57 (Unicamp-SP) Um terreno tem a forma de um trapézio retângular ABCD, conforme mostra a figura, e as seguintes dimensões: AB = 25 m, BC = 24 m, CD = 15 m. D 59 (UCSal-BA) Na figura abaixo tem-se o quadrilátero ABCD, no qual AB = 3 cm, AD = 4 cm, CD = 12 cm, i Η # e 7 Η a. C A área e o perímetro desse quadrilátero são, respectivamente: a) 36 cm2 e 24 cm X b) 36 cm2 e 32 cm D c) 48 cm2 e 24 cm 2 d) 72 cm e 32 cm e) 72 cm2 e 37 cm C B A a) Se cada metro quadrado desse terreno vale R$ 50,00, qual é o valor total do terreno? b) Divida o trapézio ABCD em quatro partes de mesma área, por meio de três segmentos paralelos ao lado BC. Faça uma figura para ilustrar sua resposta, indicando nela as dimensões das divisões no lado i. A B C Da figura, temos: D 15 C 12 cm 24 10 A 15 E D B 25 4 cm a) Atrapézio = Atriângulo 0 Aretângulo A 3 cm B 10 9 24 0 15 9 24 2 Atrapézio = 120 0 360 = 480 A trapézio = (DB)2 = 32 0 42 Θ (DB)2 = 9 0 16 Valor total do terreno: 480 9 50,00 = R$ 24 000,00 DB = 25 = 5 cm (BC)2 = 122 0 52 Θ (BC)2 = 144 0 25 BC = 169 = 13 cm 1 da área do trapézio, b) No item a, observamos que a área do triângulo é 4 e assim a figura pedida é: D 15 A área do quadrilátero é: 394 12 9 5 0 = 6 0 30 = 36 cm 2 2 2 O perímetro é: 3 0 4 0 12 0 13 = 32 cm S = S ABD 0 S BCD = C 24 A 10 5 5 5 60 (UFLA-MG) Obtenha o valor de x, de forma que as áreas S1 e S2 sejam iguais. B 0,5 4 S1 S2 x 58 (UFAL) Na figura, temse a planta de um terreno com forma de trapézio e área de 240 m2. Determine o perímetro do terreno. A trapézio x 8,5 Pelos dados, vem: y C 15 m 4 20 m (20 0 x ) 9 15 = = 240 Θ x = 12 m 2 8 15 12 4 y 8−x 0,5 B x F G A 8 Os triângulos AEG e ADF são semelhantes. Logo: y x = Θ 4x = 8y Θ x = 2y 8 4 x = 12 15 D E Fazendo a figura, temos: y 0,5 Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: y2 = (15)2 0 (8)2 = 17 m S2 = x9y 2y 9 y Θ S2 = 2 2 S2 = y2 Portanto, o perímetro do terreno vale: p = 20 0 15 0 12 0 17 = 64 m S1 0 S2 = 4 9 0,5 0 8 9 4 Θ S1 0 S2 = 18 20 Como S1 = S2, temos: 18 =9 2 2 Portanto, y = 9 Θ y = 3 e x = 2 9 3 = 6 S1 = S2 = 19 Matemática M1 Geometria Métrica Plana 61 (UCSal-BA) Na figura têm-se dois lotes de terrenos planos, com frentes para duas ruas e cujas divisas são perpendiculares à Rua Bahia. Se as medidas indicadas são dadas em metros, a área da superfície dos dois lotes, em metros quadrados, é: X GRANDE s oa x − 5 2 MÉDIA ag l aA Ru a) 350 b) 380 c) 420 d) 450 e) 480 62 (ENEM) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas. x 2m lote B lote A 10 12 8 2m Rua Bahia PEQUENA área do círculo: πr2 Do enunciado, vem: C 25 B x As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuar reciclagem do material. A partir dessas informações, podese concluir que: a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II. b) a entidade I recebe metade do material da entidade III. c) a entidade II recebe o dobro do material da entidade III. d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III. X e) as três entidades recebem iguais quantidades de material. y B A 10 12 8 G − z x A a 25 F D E 20 O quadrilátero ABEF é semelhante ao quadrilátero ACDF, logo: 8 x = Θ 20 x = 25 9 8 Θ x = 10 25 20 10 25 10 25 = Θ = Θ z = 25 x z z 10 a 0 10 a 0 25 a = = 10 y 25 a 0 25 a 50 = Θ 25 a = 10 a 0 250 Θ 15 a = 250 Θ a = 10 25 3 Os raios das tampas grandes, médias e pequenas são, respectivamente, 1 1 me m. 2 4 Em metros quadrados, as sobras SI, SII e SIII das tampas grandes, médias e pequenas são, respectivamente, tais que: SI = 4 − π 9 12 = 4 − π 1 m, 50 50 0 10 3 3 = Θ y = 16 10 y Portanto: Área do lote A = Área do lote B = (10 0 16 ) 9 8 2 = 104 (25 0 16 ) 9 12 2 2  1 SII = 4 − 4 9 π 9   = 4 − π  2 = 246 2  1 SIII = 4 − 16 9 π 9   = 4 − π  4 Supondo que a quantidade de chapas quadradas usadas diariamente para produzir as tampas grandes seja a mesma para as tampas médias e para as tampas pequenas, as sobras serão iguais, pois SI = SII = SIII. Área total dos dois lotes: 104 0 246 = 350 m2 Matemática 20 Geometria Métrica Plana 64 (UFAL) Considerando uma circunferência circunscrita a um hexágono regular de lado 2 cm, analise as afirmativas abaixo. I – II 0 – 0 A área do círculo limitado pela circunferência é 6π cm2. 1 – 1 Unindo-se o centro da circunferência a dois vértices consecutivos do hexágono, obtém-se um triângulo de área 3 cm 2 . 2 – 2 O comprimento de um arco que une dois vértices 2π consecutivos do hexágono é cm. 3 3 – 3 A maior diagonal do hexágono mede 6 cm. 4 – 4 A medida de cada ângulo interno do hexágono é 120). 63 (Unifor-CE) A parte superior de um tablado tem a forma de um trapézio isósceles com 56 m de perímetro e cujos lados paralelos medem 12 m e 24 m. Se a superfície desse tablado for inteiramente revestida de uma camada de verniz, ao preço de R$ 6,50 o metro quadrado, a quantia a ser desembolsada por esse serviço será: X c) R$ 936,00 a) R$ 916,00 e) R$ 986,00 b) R$ 920,00 d) R$ 950,00 Fazendo a figura, vem: A x F 12 h 6 B x h 12 E 6 D M1 C 0 0. Falsa Do enunciado, temos: 24 Perímetro do trapézio: 12 0 24 0 x 0 x = 36 0 2x A Logo: 36 0 2x = 56 2x = 20 x = 10 B Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BCD, vem: 102 = h2 0 62 h2 = 100 − 36 h2 = 64 h=8 σ F σ = R = 2 cm S = πR2 Θ S = π 9 22 = 4π cm2 O C E D Cálculo da área do trapézio: (12 0 24 ) 9 8 A= = 144 m 2 2 Portanto, o valor pago será: V = 144 9 6,50 Θ R$ 936,00 1 1. Verdadeira E D 2 π 60) = rad 3 O F C a6 R 60) 60) A  R (a 6 ) 2 0   = R 2 Θ a 26 0 12 = 2 2  2  a 26 0 1 = 4 σ1 a6 = S= R 9 a6 29 3 = = 2 2 3 cm 3 cm 2 B R 2 M 2 2. Verdadeira σ1 = εR Θ σ1 = π 2π cm 92= 3 3 3 3. Falsa D = 2R = 2 9 2 = 4 cm 4 4. Verdadeira ângulo interno = 60) 0 60) = 120) Portanto: 21 I 0 1 2 3 4 II 0 1 2 3 4 Matemática M1 Geometria Métrica Plana 67 (UFV-MG) A figura ao lado ilustra um terreno em forma de trapézio, com as medidas em quilômetros (km), de três de seus lados. (UFAC) Para responder às questões de números 65 e 66, utilize as informações seguintes. Na figura abaixo tem-se parte da planta de um bairro, na qual as ruas são paralelas entre si. As quadras A, B, C, D e E têm as medidas de alguns de seus lados indicadas em metros. Avenida N Av en ida M 100 E 120 290 200 13 D 12 Rua X A 100 13 B Portanto, a área do trapézio é: 65 Quantos metros percorre-se, seguindo-se em linha reta da esquina da Avenida N com a Rua U até a esquina da Avenida N com a Rua Z? a) 570 b) 580 d) 600 e) 610 X c) 590 S= 66 200 A M da K Ave ni J 100 290 B 200 C C I 112,5 120 B D 100 D H E E G F (UFF-RJ) Os lados MQ e NP do quadrado MQPN estão divididos em três partes iguais, medindo 1 cm cada um dos segmentos ( MU , UT , TQ , NR, RS e SP ). Unindo-se os pontos N e T, R e Q, S e M, P e U por segmentos de reta, obtém-se a figura ao lado. Rua U A Avenida N L 150 (22 0 13 ) 9 12 Θ S = 210 km 2 2 68 A área da quadra B, em metros quadrados, é igual a: X c) 73 000 a) 74 500 e) 70 800 b) 73 100 d) 72 200 Rua V Rua W Rua X N Rua Z S R P Logo , A M 1 U 1 112,5 IH HG 125 = Θ = Θ EF = 90 DE EF EF 100 J M 290 M U T Q T 1 UT x H → x= = = . 3 3 MQ H H 9 3 0 H = 3; logo, H = ex= 3 4 4 1 Q MQ 9 H = 2 39 2 9 4 19 2 = 3 4 = 3 cm 2 . 8 27 cm 2 8 Portanto, a área da região sombreada pode ser calculada por: A = 2 9 (área de MBQ − 3 9 área de UDT) = (JK)2 = (KM)2 0 (JM)2 2502 = 2002 0 (JM)2 JM = 150 m  27 3 =29 − 3 9  = 4,5 cm 2  8 8 C A área é: ( 440 0 290 ) 9 200 S= = 73 000 m 2 2 22 H ; então: 3 y 0 x 0 H − x = 3 cm x Área de MBQ = B Matemática P Pela simetria da figura, y = UT 9 x Assim, área de UDT = = 2 • A distância percorrida é: AB 0 BC 0 CD 0 DE 0 EF = 120 0 200 0 80 0 100 0 90 = 590 Θ 590 m 200 S 3 D JI IH 100 IH = Θ = Θ IH = 125 CD DE 80 100 200 C H JK JI 250 100 = Θ = Θ CD = 80 BC CD CD 200 290 R Os triângulos UDT e MBQ são semelhantes. y B LK KJ 150 JK = Θ = Θ JK = 250 AB BC 120 200 K N Calcule a área da região sombreada na figura. Rua Y Usando o teorema de Tales, temos: 250 C (BC)2 = 152 − 122 (BC)2 = 225 − 144 BC = 81 BC = 9 km E Rua Z • 15 12 Rua W Rua Y 112,5 e) 205 Rua V C D 15 Rua U A B 12 A área do terreno, em km2, é igual a: X d) 210 a) 220 b) 200 c) 215 200 150 13 D T F O à R D I T E F C R O D à TE T R F D I M 2 T E F O C M 2 à R O E ERCEIR CEIRà T O Trigonometria nos T R à E de R T o I n r E D e d C T F Ca R E T O s e d à a D Triângulos d R i T I v i t F E A C O R à E D T E1RCEIR T F O 3 à T R I E TERC Trigonometria nos Triângulos (UEPB) Duas avenidas retilíneas A e B se cruzam segundo um ângulo de 30∞. Um posto de gasolina C situado na avenida B a 400 m do ponto de encontro das avenidas se encontra a que distância da avenida A? a) 300 m c) 150 m X e) 200 m b) 250 m d) 250 m (UEM-PR) Um balão parado no céu é observado sob um ângulo de 60). Afastando-se 3 metros, o observador passa a vê-lo sob um ângulo ε tal que 1 tg ε = . Determine a altura do 2 balão. Multiplique o resultado por 11( 6 − A 3 ). h 3m A D 30⬚ No triângulo ABC, temos: x 400 m 3 Θh= 3x 1 No triângulo ABD, temos: C ε B D 3 sen 30∞ = h = x tg 60 ) = h x 1 x = Θ Θ x = 200 m 400 2 400 C h 1 = x03 2 2h = x 0 3 2h − 3 = x 2 tg ε = 60) B x Substituindo 2 em 1 , vem: h= 3 ( 2h − 3 ) h = 2 3h − 3 3 2 3h − h = 3 3 h(2 3 − 1) = 3 3 h= 3 3 9 2 3 −1 ( Portanto, 11 6 − 2 (EEM-SP) Quantos degraus de 19 cm de altura são necessários para substituir uma rampa de 9,5 m de extensão com inclinação de 30)? Fazendo a figura, vem: sen 30 ) = 9,5 30) m = 2 3 01 ) 3 h= ( 3 (6 0 3 11 11 6 − ) ) ( 3 939 60 11 3 ) = 3( 36 − 3 ) = 99 m 4 (UFMG) No triângulo ABC, o ângulo AjC é reto, 3 . BC = 5 6 e cos ( BhC ) = 15 Considerando esses dados, calcule o comprimento do h 9,5 cateto AB . 1 h = Æ h = 4, 75 m 2 9,5 h 2 3 01 Representando o triângulo ABC, temos: y 2 = x 2 0 ( 5 6 ) Θ y 2 = x 2 0 150 2 A Logo, o número de degraus é: x cos (BhC ) = Θ y 4,75 N= = 25 0,19 N = 25 degraus y x 5 6 C 1 3y 15 2 9y 2 0 150 Θ y 2 = 375 Θ y = 5 15 15 Portanto: x= 23 x = Θx= y 15 Substituindo 2 em 1 , temos: y2 = B 3 3 9 5 15 15 Θ x = 15 Matemática M2 Trigonometria nos Triângulos 5 (UFJF-MG) Na preparação de um show de música popular, os técnicos escolheram o melhor ponto P, do palco, onde, em caso de emergência, o cantor deveria ficar. Para localizar a linha L onde se colocariam os seguranças do cantor, foram feitas as seguintes medidas (ver figura abaixo): AB = 20 m, BM = 30 m e o ângulo BhP = 60°. (Use 3 = 1,7.) 6 (UFAC) Se a medida do ângulo BhC é igual a 60), AB = AC e BC = 10, então a área do triângulo ABC da figura vale: d) 10 3 b) e) 5 3 X c) P L a) 10 3 25 3 60) B 10 C Usando a figura, temos: área de segurança M sen 30 ) = x x h 5 5 1 5 Θ = Θ x = 10 x x 2 Assim: 30) 30) A A 5 3 h h Θ = Θh=5 3 2 10 x A área do triângulo é: cos 30 ) = S= b9h 10 9 5 3 ΘS= = 25 3 2 2 B Na emergência, a distância aproximada dos seguranças situados em M ao ponto P será: X e) 4 m a) 2 m c) 8 m b) 10 m d) 6 m Do enunciado, temos: P L x 7 (UCSal-BA) A autora alegrava-se em conseguir estimar o comprimento de objetos inacessíveis como, por exemplo, a altura x da torre mostrada na figura abaixo. área de segurança M 30 m x A 60⬚ 20 m B ε Do triângulo ABP, temos: 20 m x 0 30 tg 60° = 20 x 0 30 3 = 20 x 0 30 1,7 = 20 x=4m A partir do conhecimento de relações trigonométricas e sabendo que sen ε = 0,6428 e cos ε = 0,7660, ela podia encontrar que x, em metros, era aproximadamente igual a: X b) 17 a) 16 c) 18 d) 19 e) 20 Observando a figura, temos: x 1 tg ε = 20 Mas: 0,6428 sen ε tg ε = Θ tg ε = Λ 0,84 cos ε 0,7660 2 Substituindo 2 em 1 , vem: x = 0, 84 Θ x = 16,8 m 20 Portanto, a altura da torre era aproximadamente 17 m. Matemática 24 M2 Trigonometria nos Triângulos 8 (UFMT) Um rebite é produzido com as dimensões indicadas na figura. Calcule o valor, em cm, da dimensão C. 10 (UERJ) Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura abaixo. P 90) C 2 cm 12 cm 13 cm 60) 30) A A F 1 1 1 E CB 1 1 1 45) 2 1 No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 30) com a direção AB. Após a embarcação percorrer 1 000 m, no ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60) com a mesma direção AB. Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a embarcação e o farol será equivalente, em metros, a: 12 1 B (Adaptado de BONGIOVANNI, Vincenzo et alii. Matemática e Vida. São Paulo: Ática, 1990.) 1 D 1 000 m 13 No #DEF, temos: EF 1 Θ 1= Θ ED = 1 cm ED ED Portanto: tg 45 ) = BD = BE 0 ED Θ BD = 1 0 1 = 2 cm a) 500 No #ABD, temos: AB AB Θ 1= Θ AB = 2 cm 2 BD Logo: C = 2AB = 2 9 2 = 4 cm tg 45 ) = X b) 500 3 d) 1 000 3 c) 1 000 Da figura, temos: P y 9 (EEM-SP) Pelas extremidades A e B de um segmento i, traçam-se perpendiculares, e sobre elas tomam-se os segmentos AC = 2 cm e BD = 3 cm. Em i toma-se o ponto E tal que os ângulos AzC e BzD sejam congruentes. Calcule os comprimentos dos segmentos 2 e &, sabendo-se que AB = 10 cm. y 3 = 3 x 0 1 000 De 2 , vem: y = C e 3 = y x 2 3 x. y= 3 9 500 Θ y = 500 3 m ε 10 − x B 1442443 10 2 . x 3 No triângulo DEB, temos tg ε = . 10 − x No triângulo CEA, temos tg ε = 1 Logo: 2 E C 3 3x = Θ x = 500 m x 0 1 000 3 3 ε 60) x De 1 , vem: D x B A menor distância é y. y y tg 30 ) = e tg 60 ) = x 0 1 000 x Pelos dados do problema, temos: A 30) 1 000 m A Logo: 2 3 = Θx=4 x 10 − x Portanto, AE = 4 cm e BE = 6 cm. 25 Matemática M2 Trigonometria nos Triângulos 12 (MACK-SP) Uma estação E, de produção de energia elétrica, e uma fábrica F estão situadas nas margens opos1 km. Para fornecer energia a tas de um rio de largura 3 F, dois fios elétricos a ligam a E, um por terra e outro por água, conforme a figura. Em questões como a 11, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas. 11 (UFPR) Uma pessoa de 2 m de altura, passeando pela cidade, caminha em linha reta em uma rua horizontal, na direção da portaria de um edifício. A pessoa pára para ver o topo desse edifício, o que a obriga a olhar para cima num ângulo de 30° com a horizontal. Após caminhar 49 m, pára uma segunda vez para ver o topo do edifício e tem de olhar para cima num ângulo de 45° com a horizontal. Suponha que cada andar do edifício tenha 3 m de altura. Utilize 3 Λ 1,7. Nessa situação, é correto afirmar: (01) O edifício tem menos de 30 andares. (02) No momento em que a pessoa pára pela primeira vez, ela está a 160 m da portaria do edifício. (04) Quando a pessoa pára pela segunda vez, a distância em que ela se encontra da portaria é igual à altura do edifício. (08) Se, depois da segunda vez em que pára, a pessoa caminhar mais 35 m em direção à portaria, para ver o topo do edifício será necessário erguer os olhos num ângulo maior do que 60° com a horizontal. 01. Correto fio 2 F E 60⬚ fio 1 1 km Supondo-se que o preço do metro do fio de ligação por terra é R$ 12,00 e que o metro do fio de ligação pela água é R$ 30,00, o custo total, em reais, dos fios utilizados é: X a) 28 000 c) 15 800 e) 25 000 b) 24 000 d) 18 600 Do enunciado, temos a figura: D cotada em km h F 45⬚ β fio 2 1 3 A E 2m 30⬚ 45⬚ B C x⫽h α 120⬚ 60⬚ fio 1 H G 1 2m E 49 m No triângulo retângulo EGF, temos: 1 O triângulo BCD é isósceles. Logo, x = h. 3 1, 7 h h h = = Θ Θ h Λ 64 m Θ 3 49 0 h 3 49 0 h 49 0 h Logo, a altura do edifício é 64 0 2 = 66 m. O número de andares é: 66 : 3 = 22 andares tg 30° = 3 FG Ι tg ε = EG 1 No triângulo EHF, temos: tg ε = ε 0 120° 0 ψ = 180° Ι ε = 30° 1 2 De 1 e 2 , vem que 30° 0 120° 0 ψ = 180°, ou seja, ψ = 30°. 02. Incorreto Ela está a (66 0 49) = 115 m da portaria do edifício. Sendo ε = ψ, então o triângulo EHF é isósceles e, portanto, EH = HF. No triângulo retângulo GHF, temos: 1 04. Incorreto Na segunda vez ela está a 64 m da portaria do edifício, portanto essa distância é diferente da altura do edifício (66 m). 3 3 GF 2 Θ Θ HF = = HF 3 HF 2 2 Logo, EH = . 3 Do enunciado, o custo C, em reais, dos fios utilizados é tal que: sen 60° = 08. Correto α 29 m 14243 64 m C= 64 Λ 2,2 29 ε . 60° tg 60° = 3 = 1,7 tg ε = ε é maior que 60°, pois 2,2 . 1,7. Portanto: 1 0 8 = 9 Matemática 26 2 2 9 103 9 12 0 9 103 9 30 Θ C = R$ 28 000,00 3 3 M2 Trigonometria nos Triângulos 13 (Unemat-MT) A rampa de acesso a um estacionamento de automóveis faz um ângulo de 30) com o solo e, ao subi-la, um carro desloca-se horizontalmente 8 m de distância, conforme o desenho. 14 (FGV-SP) Na figura estão representados dois quadrados de lado d e dois setores circulares de 90° e raio d: d d C d Dados: h sen 30 ) = ε = 30) cos 30 ) = 8m D 1 2 F E 3 2 d Sobre os dados, julgue os itens: 1. A altura da rampa, representada por h, no desenho, é B Sabendo que os pontos A, E e C estão alinhados, a soma dos comprimentos do segmento CF e do arco de circunferência 5, em função de d, é igual a: 8 3 m. 3 2. O comprimento da rampa inclinada, por onde sobem os carros, é o dobro da altura h. 3. Na mesma rampa, se o ângulo formado com o solo fosse de 60), ou seja, o dobro de ε, então a altura h também seria o dobro. de X Do enunciado, temos: (12 0 π ) d 24 (2 3 0 π ) e) d 12 (2 3 0 π ) d 6 (3 0 π ) d b) 6 (4 3 0 π ) c) d 12 d) a) B x d 2 A d d h C d ε = 30) 8 C D A 1. Verdadeiro No triângulo retângulo ABC, temos: h tg 30 ) = 8 h sen 30 ) = 8 cos 30 ) 1 h 2 = 8 3 2 1 = 3 h= d α E α F d 2 B No #ABE, retângulo em B, tem-se: d 1 BE = 2 = Θ ε = 30° sen ε = d 2 AE Assim: 3 CF d 3 CF = e = tg ε Θ Θ CF = d 3 3 EF 5 30° π = 9 2π Θ 5 = 9d AE 360° 6 Portanto:  2 3 0π d 3 πd 0 =  9d CF 0 5 =   3 6 6 h 8 8 3 m 3 2. Verdadeiro No triângulo retângulo ABC, temos: h h 1 sen 30 ) = Θ = x x 2 x = 2h 3. Falso A α Bδ xδ hδ No triângulo retângulo AδBδCδ, temos: hδ tg 60 ) = 8 hδ 3 = 8 hδ = 8 3 m hδ xδ 3 8 3 = 2 xδ xδ = 16 m sen 60 ) = 60) Cδ 8 Aδ 27 Matemática M2 Trigonometria nos Triângulos 17 (Vunesp-SP) Dois terrenos, T1 e T2, têm frentes para a rua R e fundos para a rua S, como mostra a figura. O lado p do terreno T1 mede 30 m e é paralelo ao lado 1 do terreno T2. A frente o do terreno T1 mede 50 m e o fundo 7 do terreno T2 mede 35 m. Ao lado do terreno T2 há um outro terreno, T3, com frente para a rua Z, na forma de um setor circular de centros E e raio I. 15 (Cesupa-PA) A água utilizada em um sítio é captada de um igarapé para a casa, que está distante dele 70 metros. Deseja-se construir uma piscina a 50 metros da casa e pretende-se captar a água do mesmo ponto do igarapé até a piscina. Sabendo que o ângulo formado pelas direções casa–piscina e igarapé–piscina é de 60°, a quantidade de encanamento necessária será, em metros, igual a: X d) 80 a) 30 b) 45 c) 60 D P 35 x B Rua Z 60⬚ T3 50 m T2 F 30 Rua S T1 120 50 C E A Rua R I Determine: a) as medidas do fundo i do terreno T1 e da frente CE do terreno T2; b) a medida do lado 1 do terreno T2 e o perímetro do terreno T3. 70 m C Usando a lei dos cossenos, temos: 702 = x2 0 502 − 2 9 x 9 50 9 cos 60° 1 2 xδ = 80 xφ = −30 (não serve) 4 900 = x2 0 2 500 − 100x 9 x2 − 50x − 2 400 = 0 Do enunciado, temos a figura, cotada em m: D Logo, x = 80 m. 35 B Rua Z G T3 T2 60⬚ F 16 (UEMA) Em um triângulo de vértices A, B e C, AB = 6 cm, BC = 10 m e o ângulo interno formado pelos lados i e p mede 60). A medida do cosseno do ângulo interno formado pelos lados o e p é: 1 7 1 a) e) X c) 19 2 19 5 19 3 5 b) d) 19 3 19 Fazendo a figura, vem:  1 (AB)2 = (30)2 0 (50)2 − 2 9 30 9 50 9  −  Θ AB = 70 e AD = 105 m  2 Pelo teorema de Tales, temos: CE AC CE 50 = = Θ Θ CE = 25 m BD AB 35 70 x O comprimento do arco DGF , em m, é igual a 10 ) 2 C 1 → x 2 = 36 0 100 − 60 2 − 2 9 10 9 2 19 → 36 = 100 0 76 − 40 19 9 cos ε 40 19 cos ε = 140 → cos ε = Matemática 140 40 19 → cos ε = 60° 9 2 9 π 9 45, ou 360° seja, 15π. Portanto, o perímetro do terreno T3, em m, é igual a 45 0 45 0 15π, ou seja, 15 9 (6 0 π). ε Aplicando novamente a lei dos cossenos, vem: (AB)2 = (BC)2 0 (AC)2 − 2(BC) 9 (AC) 9 cos ε ( A a) Aplicando o teorema dos cossenos ao triângulo ACB, temos: (AB)2 = (BC)2 0 (AC)2 − 2 9 BC 9 AC 9 cos 120° Aplicando a lei dos cossenos, temos: (AC)2 = (AB)2 0 (BC)2 − 2(AB) 9 (BC) 9 cos 60) 6 2 = 10 2 0 2 19 50 DE AD DE 105 = = Θ Θ DE = 45 e EF = 45 BC AB 30 70 60) x 2 = 76 → x = 2 19 120⬚ C b) Do item anterior, temos AB = 70 e AD = 105. Os triângulos ADE e ABC são semelhantes. Logo: 6 x 2 = 6 2 0 10 2 − 2 9 6 9 10 9 E Rua R A B 30 60⬚ Rua S T1 7 2 19 28 M2 Trigonometria nos Triângulos 18 (UFPR) Em um triângulo ABE, a medida do lado 2 é 3, a do ângulo Ê é 75), e a do ângulo  é 45). Dois pontos, C e D, pertencem ao lado i. Sabe-se que a dis- 20 (UFRN) Ao se tentar fixar as extremidades de um pedaço de arame reto, de 30 m de comprimento, entre os pontos M e P de um plano, o arame, por ser maior do que o esperado, entortou, como mostra a figura abaixo. tância o é 2 e que o segmento I é perpendicular a i. Nessas condições, é correto afirmar: (01) (02) (04) (08) P A medida do ângulo B̂ é igual a 60). AD . ED E EB = 6 75) EC = 5 20 N 3 M 2 A D C B 01. Correto h 0 z 0 j = 180) Θ 45) 0 75) 0 j = 180) Θ j = 60) AD Θ AE 2 3 2 AD = Θ AD = 2 3 2 cos 45 ) = 1442443 2 ED 3 2 = Θ ED = 2 3 2 MR 10 NT RS: cos 60 ) = 20 MR: cos 30 ) = AD = ED Cálculo de SP PT 20 NR TS: sen 30 ) = 10 3 2 3 2 = EB 2 PT: sen 60 ) = ED sen 60 ) = Θ Θ EB = 6 EB 08. Correto Usando a lei dos cossenos no triângulo AEC, temos: (EC)2 = (AE)2 0 (AC)2 − 2 9 AE 9 AC 9 cos 45) 2 (EC)2 = 9 0 2 − 6 (EC)2 = 5 EC = 5 3 =5 3 2 1 NT = 20 cos 60 ) = 20 = 10 2 • NT = RS • RS = 10 MR = 10 cos 30 ) = 10 MS: MS = MR 0 RS = 5 3 0 10 = 10 0 5 3 m 04. Correto No triângulo retângulo ADB, temos: (EC ) 2 = 3 2 0 ( 2 ) − 2 9 3 9 2 9 NR = 10 sen 30 ) = 10 • NR = TS • TS = 5 1 =5 2 Ι SP = PT 0 TS = 10 3 0 5 = 5 0 10 3 m 2 2 b) Observando que h é a hipotenusa do triângulo retângulo MPS, podese usar: (MP)2 = (MN)2 0 (NP)2 − 2 9 (MN) 9 (NP) 9 cos (MNP) (MP)2 = 102 0 202 − 2 9 10 9 20 9 cos 150)  3  (MP ) 2 = 100 0 400 − 400 9  − 2  19 MP = (UFPI) Em um triângulo, um dos ângulos mede 60° e os lados adjacentes a esse ângulo mede em 1 cm e 2 cm. O valor do perímetro desse triângulo, em centímetros, é: 5 3 3 = 10 3 2 PT = 20 sen 60 ) = 20 Portanto: 1 0 4 0 8 = 13 a) 3 0 b) 5 0 X c) 3 0 S a) Cálculo de MS 02. Incorreto ED sen 45 ) = Θ AE R A partir desses dados, calcule, em metros: a) o comprimento dos segmentos MS e SP ; b) quanto o arame deveria medir para que tenha o mesmo tamanho do segmento MP. 60) 45) 60) 10 30) d) 3 0 e) 5 0 500 0 200 3 = 10 5 0 2 3 m 21 (UEMA) Considere um triângulo ABC inscrito numa circunferência de raio unitário cujos lados medem a = 3 , b = 1 e c = 2. Determine a soma 2h 0 3j 0 k, em que h, j e k são ângulos internos desse triângulo. 7 7 3 A Desenhando o triângulo ABC, vem: c= r=1 60° 1 1 2 A b= Fazendo a figura, temos: O 2 B B a= 3 C Aplicando a lei dos senos, temos: 3 1 2 a b c = = = 2R Θ = = = 2 91= 0 sen h sen j sen k sen h sen j sen k Logo: x C Aplicando a lei dos cossenos, vem: x2 = 12 0 22 − 2 9 1 9 2 cos 60° 1 x2 = 1 0 4 − 4 9 2 x2 = 3 x = 3 cm 3 sen h 1 sen j = 2 Θ sen h = = 2 Θ sen j = 3 Θ h = 60 ) 2 1 Θ j = 30 ) 2 2 = 2 Θ sen k = 1 Θ k = 90 ) sen k Portanto: 2h 0 3j 0 k = 2 9 60) 0 3 9 30) 0 90) = 300) O valor do perímetro do triângulo é: 1 0 2 0 3 = 3 0 3 cm 29 Matemática M2 Trigonometria nos Triângulos 22 (Fatec-SP) No centro de uma praça deve ser pintada uma linha com o formato de um polígono regular, não convexo, como mostra o projeto a seguir. 23 (UFMT) Para determinar a altura de um morro, um topógrafo adotou o seguinte procedimento: ■ Escolheu dois pontos, A e B, situados no mesmo plano vertical que passa por C. ■ Mediu a distância i, encontrando 162 m. ■ Com auxílio de um teodolito mediu os ângulos ε, ψ e ι, encontrando, respectivamente, 60), 90) e 30). A figura ilustra o procedimento descrito. C h A ι ψ Se os vértices pertencem a circunferências de raios 4 m e 2 m, respectivamente, o comprimento total da linha a ser pintada, em metros, é igual a: a) 5 − 2 b) 8 9 5− ( c) 16 9 ( 5− 2 2 ) d) 4 9 X e) ) ( 16 9 ( 5−2 2 5−2 2 ) ε B horizontal D Qual a altura do morro (h), em metros, encontrada pelo topógrafo? ) Da figura, temos: C 60) 30) C x h A 30) 16 2 D B E F 90) 60) horizontal B D Usando a lei dos senos no #ABC, temos: A O m 1 3 sen 30 ) sen 60 ) 2 2 = Θ = Θ x = 54 3 m 162 162 x x H No #BDC, temos: sen 60 ) = G Se o polígono ABCDEFGH é regular, e as circunferências têm raios de 4 m e 2 m, então no triângulo AOB tem-se: OA = 4 m, OB = 2 m e AOB = 45° Assim, AB2 = OA2 0 OB2 – 2 9 OA 9 OB 9 cos 45° AB2 = 42 0 22 − 2 9 4 9 2 9 2 2 AB2 = 20 − 8 2 Θ AB = 2 9 5−2 2 O perímetro do polígono é 8 9 AB = 16 9 Matemática 5−2 2 m 30 h Θ x 3 h = Θ h = 81 m 2 54 3 M2 Trigonometria nos Triângulos 24 26 (MACK-SP) Três ilhas, A, B, e C, aparecem num mapa, em escala 1 : 10 000, como na figura. (MACK-SP) Supondo lo da figura vale: a) 1,15 b) 1,25 c) 1,30 X d) 1,35 e) 1,45 30) B 30) 3 = 1, 7 , a área do triângu- 45) 2 105) A 12 cm C C Das alternativas, a que melhor aproxima a distância entre as ilhas A e B é: a) 2,3 km d) 1,4 km X e) 1,7 km b) 2,1 km c) 1,9 km 45) 30) A 2 B Da figura, temos: Se: 1 m = 100 cm 1 km = 1 000 m = 1 000 9 100 = 105 cm e 1 cm no mapa = 10 000 cm = 0,1 km então: 12 cm no mapa corresponderá a 1,2 km, ou seja, AC = 1,2 km. h 0 j 0 k = 180° → 105° 0 30° 0 k = 180° → k = 45° Aplicando a lei dos senos, temos: 1, 2 AC AB = → = sen 30° sen 45° 1 2 Substituindo 2 Λ 1,41, vem: 45) H No #ABH: sen 30 ) = 1 BH BH Ι = Ι BH = 1 2 2 2 cos 30 ) = AH Ι 2 3 AH = Ι AH = 2 2 3 No #BHC: HC = BH Ι HC = 1 A área do #ABC é: 1 1 1 9 ( AC ) 9 (BH ) = 9 ( AH 0 HC ) 9 (BH ) = 9 ( 3 0 1) 9 1 2 2 2 2,7 , ou seja, 1,35. Fazendo-se 3 = 1,7, a área é 2 AB 2 2 AB Λ 1,7 km 27 Belo Horizonte A N 12) 30) 110) d 30) M C B 30 Se BC = 80 m, AC = 120 m e MN = 40 m, a área livre para a construção, em metros quadrados, é de: a) 1 400 d) 2 000 b) 1 600 e) 2 200 X c) 1 800 0 25 (Furb-SC) Florianópolis, Curitiba e Belo Horizonte, respectivamente, capitais de Santa Catarina, Paraná e Minas Gerais, estão localizadas conforme a fiCuritiba gura ao lado. A partir dos dados fornecidos, qual a distância entre Florianópolis e Belo Horizonte? a) 1 700 km Dados: b) 2 395 km cos 110) = −0,34 X c) 1 395 km sen 110) = 0,93 cos 12) = 0,97 d) 2 700 km sen 12) = 0,20 e) 2 390 km (Mack-SP) No terreno ABC da figura, uma pessoa pretende construir uma residência, preservando a área verde da região assinalada. Florianópolis Os triângulos ABC e ANM são semelhantes. A Da figura, temos: A 120 0, 93 0, 20 sen 110 ) sen 12 ) = Θ = Θ d = 1 395 km 300 300 d d A1 30) B 80 A2 C N 30) 40 M 120 80 = → AM = 60 m AM 40 A1 = 80 9 120 80 9 120 1 9 sen 30° → A 1 = 9 → A 1 = 2 400 m 2 2 2 2 40 9 60 40 9 60 1 9 sen 30° → A 2 = 9 → A 2 = 600 m 2 2 2 2 Portanto, a área livre para a construção é: A = A2 − A1 → A = 2 400 − 600 → A = 1 800 m2 A2 = 31 Matemática M2 Trigonometria nos Triângulos 28 30 (Unicamp-SP) Um homem de 1,80 m de altura sobe uma ladeira com inclinação de 30), conforme mostra a figura. No ponto A está um poste vertical de 5 m de altura, com uma lâmpada no ponto B. (Fuvest-SP) No paralelogramo ABCD abaixo, temse que AD = 3 e DhB = 30°. Além disso, sabe-se que o ponto P pertence ao lado DC e à bissetriz do ângulo DhB. P D C B C A B sombra 1,80 m 5m a) Calcule d. b) Determine i sabendo que a área do quadrilátero ABCP é 21. 30) A Do enunciado, temos a figura: D P Pede-se que: a) calcule o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 m ladeira acima; b) calcule a área do triângulo ABC. C 150) 3 15) 15) A 3 15) 3 AB = DC PC = AB − 3 30) E B Sendo x o comprimento da sombra do homem, em metros, depois que ele subiu 4 m ladeira acima, e S a área, em metros quadrados, do triângulo ABC, tem-se: a) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo ADP, temos: (AP)2 = (AD)2 0 (DP)2 − 2 9 (AD) 9 (DP) 9 cos 150°  (AP) 2 = 3 2 0 3 2 − 2 9 3 9 3  − 3  Ι AP = 3 2 0 2  3 b) No triângulo retângulo BEC, temos: CE 1 CE 3 Ι = Ι CE = BC 2 3 2 Como a área do trapézio ABCP é igual a 21, temos: B E C 60) 1,80 m 5m x D sen 30° = A a) Os triângulos ABC e DEC são semelhantes. Assim: AC AB 5 40x = → = DC DE x 1, 80 1 3 31 9 (AB 0 AB − 3) 9 = 21 Ι AB = 2 2 2 25 36 40x = → 16 x = 36 → x = → x = 2, 25 m x 9 16 29 (UEPB) Se um painel retangular foi afixado um cartaz de formato triangular, como mostra a figura, a área S ocupada pelo cartaz é igual a: 5 3 m2 2 b) 10 m2 c) 5 m2 4m b) S = S= d) 10 3 m 2 X e) 5 3 m 2 S 120) 5m S= 4 9 5 9 sen 120° 2 S= 20 9 2 3 2 S = 5 3 m2 Matemática 60) 30) 1 9 (AB 0 PC) 9 CE = 21 2 a) 4m 32 AB 9 AC 9 sen 60 ) 2 5 9 ( 4 0 2, 25 ) 9 4 3 =S= 125 3 m2 16 D T F O à D R T I F E C TER RCEIRÃOÃO FTD D M 3 T F M 3 E O R T I à E O TERCTD TERCEIR à de R o I n r E e d C F Ca R E T O s e d à D a Conjuntos d R i T I v i F E At C O R à E D T E1RCEIR T F O 4 à T R I E C TER MATEMÁTICA CAD ATV — 1 BIM — 2a PROVA — SETUP Conjuntos (Unicruz-RS) Dados: A = {1, 3, 4, 5, 7, 8}, B = {1, 3, 5, 6, 9}, C = {5, 6, 7, 8, 9}, temos que A 5 (B 5 C) resulta: a) {5, 6, 9} c) {1, 3} e) {7, 8} X b) {5} d) {1, 3, 4, 7, 8} (UESC-BA) Dados os conjuntos A = {−1, 0, 1, 2, 3, 4} e B = {x; x = n2, n 7 A}, pode-se afirmar: a) 4 7 A − B d) A 6 B = A b) 1 7 B − A X e) A 5 B = {0, 1, 4} c) 25 7 A 6 B n n n n n n 2 (ECM-AL) Sendo A = {x 7 Μ, x = 2n 0 1}, B = {x 7 Μ, x é divisor de 18} e C = {x 7 Μ, x é múltiplo de 3}, então (B − A) 5 C é: a) {6, 9, 18} c) {6, 9} e) % X b) {6, 18} d) {6} a) b) c) d) e) Determinando os conjuntos, vem: A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ...} B = {1, 2, 3, 6, 9, 18} C = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} Logo, B − A = {2, 6, 18} e (B − A) 5 C = {6, 18} 2 5 6 B = {0, 1, 4, 9, 16} Falso. A − B = {−1, 2, 3} Θ 4 8 (A − B) Falso. B − A = {9, 16} Θ 1 8 (B − A) Falso. A 6 B = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 9, 16} Θ 25 8 (A 6 B) Falso. A 6 B ϑ A Verdadeiro. A 5 B = {0, 1, 4} (ITA-SP) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: I. % 7 U e n (U) = 10 II. % 3 U e n (U) = 10 III. 5 7 U e {5} 3 U IV. {0, 1, 2, 5} 5 {5} = 5 Pode-se dizer, então, que é(são) verdadeira(s): a) apenas I e III d) apenas IV b) apenas II e IV e) todas as afirmações X c) apenas II e III Observe que: I. % 3 U, mas % 8 U II. n (U) = 10 III. 5 7 U Θ {5} 3 U IV. {0, 1, 2, 5} 5 {5} = {5} Assim sendo, I e IV são falsas e II e III são verdadeiras. 6 (Esam-RN) Considerando-se os conjuntos A = {x 7 Μ, x é divisor de 30}, B = { x 7 Μ, x é par} e C = {x 7 Μ, x é múltiplo de 4}, é correto afirmar: 01) B 3 C e B 5 C = % 02) B 3 C e C 3 B 03) B 3 C ou B 6 C = Μ 04) A 3 C ou A 5 C ϑ % X 05) A Φ B ou C 3 B Do enunciado, temos: C 1 B −1 Θ x = (−1)2 Θ x = 1 0 Θ x = 02 Θ x = 0 1 Θ x = 12 Θ x = 1 2 Θ x = 22 Θ x = 4 3 Θ x = 32 Θ x = 9 4 Θ x = 42 Θ x = 16 5 3 (Unifor-CE) Sejam os conjuntos A, B e C tais que B 3 A, B 5 C = %, A 5 C = {3}, C − A = {1, 4}, B − C = {2, 6} e A 6 C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Nessas condições, é verdade que: X a) A − C = {2, 5, 6, 7} b) B 6 C = {1, 2, 4, 6} c) A 5 B = {2, 3, 6} d) C − B = {1, 4} e) !BA = { 5 , 7 } A = = = = = = 144424443 Sendo x = n2, temos: A 5 B 5 C = {5} 3 4 7 A − C = {2, 5, 6, 7} A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ..., 30, ...} C = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...} Logo, A Φ B e C 3 B. 33 Matemática M3 Conjuntos 7 (MACK-SP) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam os produtos A ou B, sendo que algumas delas utilizam A e B. O produto A é usado por 12 dessas pessoas e o produto B, por 10 delas. O número de pessoas que utilizam ambos os produtos é: X e) 7 a) 5 b) 3 c) 6 d) 8 De acordo com as informações acima, decida se cada uma das afirmativas abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F). F 1. Nessa pesquisa foram entrevistadas 600 pessoas. V 2. Nessa pesquisa 55 entrevistados aprovaram os dois produtos. V 3. Em Uberaba, 100 entrevistados aprovaram somente o produto B. 4. Em Uberlândia, 270 entrevistados aprovaram somente F o produto A ou somente o produto B. Se x for o número de pessoas que utilizam os produtos A e B, então: A B 12 − x Uberlândia 10 − x x A B 95 (12 − x) 0 x 0 (10 − x) = 15 → x = 7 (UFPel-RS) Um levantamento epidemiológico foi realizado em cinco praias paulistas freqüentadas por grande número de famílias com crianças menores de 10 anos. Os principais aspectos do estudo foram relacionar a incidência de doenças gastrintestinais em banhistas com os índices de contaminação fecal das praias do litoral paulista. A pesquisa, feita com 2 100 pessoas, teve por objetivo detectar o número de pessoas com sintomas de vômitos (V), diarréia (D) e febre (F), conforme o quadro abaixo. F V 127 136 137 DeV DeF 46 FeV D, V e F 51 22 52 (30) (75) 51 30 55 F Logo, o número de pessoas que não apresentaram sintomas é: 2 100 − (62 0 29 0 22 0 24 0 30 0 51 0 55) = 1 827 (100) 20 Fazendo o diagrama, vem: Matemática Português 9 (UFU-MG) Numa pesquisa realizada em Uberlândia e Uberaba, para avaliar dois novos produtos, foram consultadas 50 pessoas a mais em Uberlândia. Verificou-se que, das pessoas consultadas em Uberlândia, 120 delas aprovaram o produto A, 150 aprovaram o produto B, 25 aprovaram os produtos A e B e 30 não aprovaram nenhum dos dois produtos. Em Uberaba, verificou-se que, das pessoas consultadas, 130 aprovaram o produto B, 105 aprovaram o produto A e 20 não aprovaram nenhum dos dois produtos. Matemática 130 ⫺ x (UFOP-MG) Num concurso público para Técnico do Tesouro Nacional, foram inscritos 2 500 candidatos. O único critério de eliminação era nota inferior a 3,0 na prova de Matemática ou na prova de Português. Após a apuração dos resultados, verificou-se que foram eliminados 330 candidatos, sendo 236 em Matemática e 210 em Português. Pergunta-se: a) Quantos candidatos foram eliminados nas duas provas simultaneamente? b) Quantos candidatos foram eliminados apenas na prova de Matemática? c) Quantos candidatos não foram eliminados? 22 29 x 10 D 24 105 ⫺ x Em Uberlândia, temos: n1 = 95 0 25 0 125 0 30 Θ n1 = 275 pessoas Em Uberaba, temos: n2 = 275 − 50 Θ n2 = 225 pessoas Logo: 105 − x 0 x 0 130 − x 0 20 = 225 Θ x = 30 1. Falsa 275 0 225 = 500 pessoas 2. Verdadeira 25 0 30 = 55 pessoas 3. Verdadeira 130 − 30 = 100 pessoas 4. Falsa 95 0 125 = 220 pessoas Com base no texto e em seus conhecimentos, é correto afirmar que o número de pessoas entrevistadas que não apresentaram nenhum dos sintomas pesquisados é: X c) 1 827 a) 1 529 e) 1 929 b) 2 078 d) 1 951 f) I.R. 62 125 B 30 Fonte: Adaptado da revista Discutindo Ciência, ano 1, no 1. V A 25 8 D Uberaba 236 − x x 210 − x Logo: a) 236 − x 0 x 0 210 − x = 330 Θ x = 116 b) 236 − 116 = 120 c) 2 500 − 120 − 116 − (210 − 116) = 2 170 34 M3 Conjuntos 11 (UFES) Uma empresa tem 180 funcionários. Dentre os funcionários que torcem pelo Flamengo, 25% também torcem pelo Cruzeiro. Dentre os funcionários que 1 torcem pelo Cruzeiro, também torce, simultaneamen8 te, pelo Flamengo e pelo Rio Branco. Nessas condições: a) mostre que, no máximo, 16 funcionários da empresa torcem, simultaneamente, pelo Flamengo, pelo Cruzeiro e pelo Rio Branco; b) admitindo que, dentre os funcionários da empresa, ■ 80 torcem pelo Flamengo, ■ 20 torcem pelo Rio Branco e não torcem nem pelo Flamengo nem pelo Cruzeiro, ■ 60 não torcem nem pelo Flamengo, nem pelo Cruzeiro nem pelo Rio Branco, calcule o número de funcionários que torcem, simultaneamente, pelo Flamengo, pelo Cruzeiro e pelo Rio Branco. 12 (UFAL) As alternativas verdadeiras devem ser marcadas na coluna V e as falsas, na coluna F. O resultado de uma pesquisa mostrou que, em um grupo de 77 jovens, há: – um total de 32 moças – 4 moças que trabalham e estudam – 15 rapazes que trabalham e não estudam – 13 moças que não estudam nem trabalham – 10 rapazes que estudam e não trabalham – 25 jovens que não trabalham nem estudam – 15 jovens que estudam e não trabalham Nesse grupo, o número de: V–F 0 – 0 rapazes é 50. 1 – 1 rapazes que não trabalham nem estudam é 12. 2 – 2 moças que trabalham e não estudam é 9. 3 – 3 rapazes que trabalham e estudam é 9. 4 – 4 moças que estudam e não trabalham é 4. a) Sejam: a: número de funcionários que torcem pelo Flamengo e não torcem nem pelo Cruzeiro nem pelo Rio Branco b: número de funcionários que torcem pelo Cruzeiro e não torcem nem pelo Flamengo nem pelo Rio Branco c: número de funcionários que torcem pelo Rio Branco e não torcem nem pelo Flamengo nem pelo Cruzeiro d: número de funcionários que torcem simultaneamente pelo Flamengo e Rio Branco e não torcem pelo Cruzeiro e: número de funcionários que torcem simultaneamente pelo Flamengo e Cruzeiro e não torcem pelo Rio Branco f: número de funcionários que torcem simultaneamente pelo Cruzeiro e Rio Branco e não torcem pelo Flamengo g: número de funcionários que torcem simultaneamente pelo Flamengo, Cruzeiro e Rio Branco h: número de funcionários que não torcem nem pelo Flamengo, nem pelo Cruzeiro nem pelo Rio Branco Temos: 13 M T 10 15 R 0 1 2 3 4 Então, tem-se que a 0 b 0 c 0 d 0 e 0 f 0 g 0 h = 180,  25   (a 0 d 0 e 0 g) = e 0 g, isto é, a 0 d = 3(e 0 g), e   100  0. 1. 2. 3. 4. 5 8 10 E 12 Falsa. R = 12 0 10 0 15 = 37 Verdadeira. Veja a figura. Falsa. São 10. Falsa. São 8. Falsa. São 5. Portanto:  1   (b 0 e 0 f 0 g) = g, isto é, b 0 e 0 f = 7g.  8 Substituindo a 0 d = 3(e 0 g) e b 0 e 0 f = 7g em a 0 b 0 c 0 d 0 e 0 f 0 g 0 h = 180, obtém-se c 0 3e 0 11g 0 h = 180 e, portanto, 11g < 180. Logo, g < 16. b) Como h = 60, c = 20 e a 0 d 0 e 0 g = 80, então b 0 f = 20, já que a 0 b 0 c 0 d 0 e 0 f 0 g 0 h = 180. Substituindo b 0 f = 20 em b 0 e 0 f = 7g, obtém-se 7g − e = 20. Substituindo a 0 d = 3(e 0 g) em a 0 d 0 e 0 g = 80, obtém-se e = 20 − g. Substituindo e = 20 − g em 7g − e = 20, obtém-se g = 5. 4 13 V 0 1 2 3 4 F 0 1 2 3 4 (UFF-RJ) O número π −  3 a) 1,   2 1  b)  , 1 2  X 3 c)  , 2  2  2 pertence ao intervalo:  3  e) − , 0  2  d) (−1, 1) Substituindo π = 3,14 e π− 35 2 = 1,41, vem: 3  2 = 3,14 − 1, 41 = 1, 73, que pertence ao intervalo  , 2  . 2  Matemática M3 Conjuntos 14 15 (UEMA) Dados os conjuntos A = {x 7 ς\−1 < x < 3} e B = {x 7 ς\2 , x < 4}, onde ς é o conjunto dos números reais, podemos afirmar que A − B é o conjunto: d) {x 7 ς\2 < x < 3} X a) {x 7 ς\−1 < x < 2} b) {x 7 ς\−1 < x , 3} e) {x 7 ς\−1 , x , 2} c) {x 7 ς\2 , x , 4} (Acafe-SC) Analise os conjuntos apresentados e as proposições abaixo. A = {x 7 Β 兩 (2x 0 6)(x − 2)(x − 1) = 0} B = {x 7 ς 兩 x2 − 3x 0 2 < 0} I. A 5 B = {1, 2} II. A 6 B = {−3, 1, 2} III. B 3 A IV. B − A = ]1, 2[ São corretas as proposições: X a) I e IV c) II e III e) I, III e IV b) I, II e III d) II e IV Se: (2x 06)(x − 2)(x − 1) = 0 Θ x = −3 ou x = 2 ou x = 1 A = {−3, 2, 1} Se x2 − 3x 0 2 < 0, vem: xδ = 2 x2 − 3x 0 2 = 0 ou xφ = 1 1 − B = {x 7 ς 兩 1 , x , 2} I. Correta A 5 B = {1, 2} II. Incorreta A 6 B = {−3} 6 [1, 2] III. Incorreta BΦA IV. Correta B − A = ]1, 2[ Representando os conjuntos, vem: −1 2 −1 2 3 4 A B A−B A diferença A − B é: A − B = {x 7 ς\−1 < x < 2} 2 16 (Cefet-MA) A um aluno foi proposto que ele resolvesse o seguinte exercício: “Obtenha A 5 B e A 6 B para A = {x 7 ς 兩 x < −2 ou x > 2} e B = {x 7 ς 兩 −5 , x < 4}”. O aluno encontrou a seguinte solução: −2 2 4 −5 −5 A −2 2 4 B A ∩ B = [−5, −2] ∪ [2, 4] A∪B=ς a) O aluno errou ao determinar o conjunto A 6 B. b) O aluno acertou o exercício. X c) O aluno errou ao determinar o conjunto A 5 B. d) Somente o cálculo do conjunto A 5 B está correto. e) O aluno errou o cálculo da determinação dos dois conjuntos. O aluno errou ao calcular A 5 B: A 5 B = ]−5, −2] 6 [2, 4] Matemática 36 D T F O à D R T I F E C O TER RCEIRà ÃO FTD D M4 4 T F M E O R T I à E R I C E R C E O T R à E de R T o I n r E D e d C T F Ca R E T O s e d à a D Funções d R i T I v i t F E A C O R à E D T E1RCEIR T F O 2 à T R I E TERC Funções (UFSM-RS) Considere a função f: ς Θ ς definida por f(x) = 123 (UFMA) Considere as seguintes afirmações: I. Uma função é uma relação que associa a cada elemento do seu domínio um único elemento no seu contradomínio. II. Toda relação é uma função. III. Dada uma função sobrejetora, então seu contradomínio é diferente de sua imagem. IV. Uma função será injetora se, e somente se, elementos distintos do domínio possuírem imagens distintas. Assinale a alternativa correta: a) I, II e III estão corretas. b) I e II estão corretas. c) III e I estão corretas d) II, III e IV estão corretas. X e) I e IV estão corretas. 2x, se x 7 Χ x2 − 1, se x 8 Χ O valor de f(π) 0 f ( 2 ) − f (1) é : a) π 2 0 2 π − 2 d) 2π 0 1 b) 2 π 0 2 2 − 2 π2 − 2 e) 2 2 − π 0 1 X c) Pelos dados, temos: f(π) ⫽ π2 ⫺ 1 f( 2 ) = ( 2 ) 2 −1= 2 −1=1 f(1) = 2 9 1 = 2 Logo: f( π ) 0 f ( ) 2 − f(1) = π 2 − 1 0 1 − 2 = π 2 − 2 I. Correta Para que uma relação seja função, ela deverá associar a cada elemento do seu domínio um único elemento do seu contradomínio. II. Incorreta Uma relação não será função se um elemento do seu domínio associar mais de um elemento do seu contradomínio. 3 (Fuvest-SP) Uma função f satisfaz a identidade f(ax) = af(x) para todos os números reais a e x. Além disso, sabe-se que f(4) = 2. Considere ainda a função g(x) = f(x − 1) 0 1 para todo número real x. a) Calcule g(3). b) Determine f(x), para todo x real. c) Resolva a equação g(x) = 8. III. Incorreta Uma função é sobrejetora quando sua imagem é igual ao seu contradomínio. IV. Correta Elementos distintos devem corresponder a imagens distintas. 1 f(ax) = af(x), ? a 7 ς, ? x 7 ς 2 f(4) = 2 3 g(x) = f(x − 1) 0 1, ? x 7 ς a) De 1 e 2 , temos: a = 2 e x = 2 Θ f(2 9 2) = 2 9 f(2) Θ f(4) = 2f(2) = 2 Θ f(2) = 1 Em 3 , x = 3 Θ g(3) = f(2) 0 1 Θ g(3) = 2. b) Em 1 , se x = 4 Θ f(4 9 a) = a 9 f(4) Θ f(4a) = 2a. x . 2 x −1 c) Em 3 , g(x) = 0 1 = 8 Θ x = 15. 2 Então: f(x) = 37 Matemática M4 Funções 4 5 (EEM-SP) Uma função satisfaz a relação f(2x) = 2f(x) 0 f(2), para qualquer valor real de x. Sabendo-se que f(4) = 6, calcule f(16). (UEM-PR) Sejam Μ = {1, 2, 3, ...} e B = {0, 1, 2}. Considere a função f : Μ Θ B, dada por f(x) = y, em que y é o resto da divisão de x por 3. É incorreto afirmar que: a) f é uma função sobrejetora. b) f(73) = 1 X c) f é uma função injetora. d) f(1) = 1 e) f(102) = 0 Fazendo x = 2, vem: f(2 9 2) = 2f(2) 0 f(2) f(4) = 3f(2) 6 = 3f(2) f(2) = 2 Fazendo x = 4, vem: f(8) = 2f(4) 0 f(2) f(8) = 2 9 6 0 2 f(8) = 14 Numa divisão de um número natural por 3 o resto pode ser: 0, 1 ou 2 (valores de y). Para que y seja: 0 Θ x deve ser múltiplo de 3, isto é, 3, 6, 9, ... 1 Θ x deve ser 1, 4, 7, 10, ... 2 Θ x deve ser 2, 5, 8, 11, ... Fazendo x = 8, vem: f(16) = 2f(8) 0 f(2) f(16) = 28 0 2 f(16) = 30 y 2 1 0 4 8 12 16 x a) Correto A função f(x) é sobrejetora, pois o contradomínio é igual à imagem. CD = Im = {0, 1, 2} b) Correto 73 13 1 6 (Acafe-SC) Dadas as funções reais f(x) = 2x − 6 e g(x) = ax 0 b, se f[g(x)] = 12x 0 8, o valor de a 0 b é: X b) 13 a) 10 c) 12 d) 20 e) 8 3 24 Θ f(73) = 1 c) Incorreto Não é injetora, pois f(1) = 1 e f(3) = 1. Elementos diferentes do domínio levam a imagens iguais. f[g(x)] = f(ax 0 b) = 2(ax 0 b) − 6 = 2ax 0 2b − 6 Daí, vem: f[g(x)] = 12x 0 8 Θ 12x 0 8 = 2ax 0 2b − 6 Igualando os coeficientes, temos: 2a = 12 Θ a = 6 2b − 6 = 8 Θ b = 7 Logo: a 0 b = 6 0 7 = 13 d) Correto 1 1 3 0 Θ f(1) = 1 e) Correto 102 12 0 3 34 Θ f(102) = 0 Matemática 38 Funções 7 (UFRN) Embora o Brasil tenha uma das maiores jazidas de sal do mundo, sua produção anual em milhões de toneladas ainda é inferior à da Alemanha, da Austrália, do Canadá, da China, dos EUA, da França, da Índia e do México. O gráfico abaixo mostra a produção de sal nesses países, no ano 2000. 8 (UFES) O banco Mutreta & Cambalacho cobra uma Tarifa para Manutenção de Conta (TMC) da seguinte forma: uma taxa de R$ 10,00 mensais mais uma taxa de R$ 0,15 por cheque emitido. O banco Dakah Tom Malah cobra de TMC uma taxa de R$ 20,00 mensais mais uma taxa de R$ 0,12 por cheque emitido. O senhor Zé Doular é correntista dos dois bancos e emite, mensalmente, 20 cheques de cada banco. A soma das TMCs, em reais, pagas mensalmente por ele aos bancos é: a) 10,15 b) 20,12 c) 30,27 X d) 35,40 e) 50,27 Produção mundial de sal em 2000 Milhões de toneladas 50 43 40 30 30 0 Sendo x o número de cheques emitidos, temos: yMC = 10 0 0,15x 20 10 M4 16 9 6 Bra yDTM = 20 0 0,12x 15 13 9 7 Se x = 20, vem: yMC = 10 0 0,15 9 20 Θ yMC = 13 reais Ale Aus Can Chi EUA Fra Índ yDTM = 20 0 0,12 9 20 Θ yDTM = 22,40 reais Méx Logo: 13 0 22,40 = 35,40 reais Considerando esses principais países produtores, a melhor aproximação do percentual de participação do Brasil na produção mundial de sal em 2000 foi de: b) 5% c) 6% d) 11% X a) 4% A produção mundial é igual a 6 0 16 0 9 0 13 0 30 0 43 0 7 0 15 0 9 = 148 milhões. Logo, a participação do Brasil é 6 Λ 0,04 ou 4%. 148 39 Matemática M4 Funções 9 11 (UFPel-RS) O exaustivo empreendimento que é organizar uma festa de casamento vem ganhando acréscimos constantes: bufê, música e ainda um mar de lembrancinhas. Bem-casados, incrementados com crepom e fitas de cetim, é o doce que não pode faltar em uma cerimônia de casamento. O preço de venda dessa iguaria é de R$ 1,60, do qual R$ 0,72 é o preço de custo. (UFMA) Considere as funções f: ς Θ ς e g: ς Θ ς, definidas por f(x) = Ax2 0 3x − 5 e g(x) = Bx2 0 5x − 2, com A ϑ 0 e B ϑ 0. Sabendo-se que f(3) = g(3), é correto afirmar que o valor de B − A é igual a: a) −2 c) 0 d) 1 e) 2 X b) −1 f(3) = A 9 32 0 3 9 3 − 5 Θ f(3) = 9A 0 4 1 g(3) = B 9 32 0 5 9 3 − 2 Θ g(3) = 9B 0 13 2 Fazendo 2 = 1 , vem: g(3) = f(3) 9B 0 13 = 9A 0 4 9B − 9A = 4 − 13 9(B − A) = −9 B − A = −1 Fonte: revista Veja, no 22, 1o jun. 2005. De acordo com o texto e seus conhecimentos, é correto afirmar que uma doceira, para obter um lucro de R$ 1 320,00, deverá fabricar _________ bem-casados. Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna da sentença acima. a) 1 833 c) 1 692 e) 568 X d) 1 500 b) 825 f) I.R. Preço de venda = 1,60x Preço de custo = 0,72x Lucro = 1,60x − 0,72x Θ lucro = 0,88x Para ter lucro de 1 320 reais, temos: 1 320 = 0,88x Θ x = 1 500 bem-casados 10 (Unifor-CE) Sobre os preços dos ingressos para certo espetáculo, foi estabelecido que, na compra de: ■ até um máximo de 20 ingressos, o preço unitário de venda seria R$ 18,00; ■ mais de 20 unidades, cada ingresso que excedesse os 20 seria vendido por R$ 15,00. Nessas condições, a expressão que permite calcular, em reais, o gasto de uma pessoa que compra x ingressos, x . 20, é: a) 15x c) 15x 0 90 e) 18x − 90 d) 18x − 60 X b) 15x 0 60 f(x) = 20 9 18 0 15(x − 20) f(x) = 360 0 15x − 300 f(x) = 15x 0 60 Matemática 40 M4 Funções 12 (UFSC) Seja f uma função polinomial do 1o grau, decrescente, tal que f(3) = 2 e f[f(1)] = 1. Determine a abscissa do ponto onde o gráfico de f corta o eixo x. 13 (Faap-SP) Tabela de Conversão para tamanhos de Chapéus Masculinos. Sendo f(x) = ax 0 b, temos: f(3) = 2 Θ 3a 0 b = 2 1 f[f(1)] = 1 f(a 0 b) = 1 a(a 0 b) 0 b = 1 a2 0 ab 0 b = 1 2 De 1 e 2 , vem: 3a 0 b = 2 Θ b = 2 − 3a a2 0 a(2 − 3a) 0 2 − 3a = 1 −2a2 − a 0 1 = 0 1 aδ = 2 2a2 0 a − 1 = 0 aφ = −1 1 não serve, pois a função f é decrescente. O valor a = 2 Se a = −1, vem: b = 2 − 3a Θ b = 2 − 3 9 (−1) Θ b = 5 Logo, f(x) = −1x 0 5. A função f corta o eixo x quando y = 0. Logo: 0 = −1x 0 5 Θ x = 5 Inglaterra França EUA 6 1 2 53 6 5 8 6 5 8 54 6 3 4 7 8 7 7 55 56 57 58 7 8 7 7 6 6 3 4 6 1 8 7 1 8 1 4 7 1 4 59 7 3 8 7 3 8 60 7 1 2 O quadro acima fornece uma tabela para conversão de tamanho de chapéus masculinos para três países. A função g(x) = 8x 0 1 converte os tamanhos ingleses para os fran1 ceses, e a função f(x) = x converte os tamanhos fran8 ceses para os tamanhos americanos. Com base no exposto, assinale a afirmativa correta: a) A função h(x) = g[f(x)] = x2 0 1 fornece a conversão de tamanhos ingleses para americanos. 1 X b) A função h(x) = f[g(x)] = x 0 fornece a conversão 8 de tamanhos ingleses para americanos. c) A função h(x) = f[g(x)] = x2 0 1 fornece a conversão de tamanhos ingleses para americanos. d) A função h(x) = f[g(x)] = 8x 0 1 fornece a conversão de tamanhos ingleses para americanos. 1 e) A função h(x) = f[g(x)] = x fornece a conversão de 8 tamanhos americanos para ingleses. Pelos dados, temos: g(x) Ingleses f(x) Franceses Americanos h(x) 1 1 9 (8x 0 1) = x 0 8 8 (que fornece a conversão de tamanhos ingleses para americanos). h(x) = f[g(x)] = f(8x 0 1) = 41 Matemática M4 14 Funções 15 (UFPR) Considere as seguintes afirmativas a res- (UFU-MG) Considere a função f(x) = 2x2 0 1 para x > 0. Sendo g a função inversa de f, então, pode-se afirmar que o número real g[f(6)] 0 f[g(6)] pertence ao intervalo: X b) [4, 13] a) [0, 4) c) [20, 36) d) [36, 73] x : 1− x I. O ponto x = 1 não pertence ao conjunto D. peito da função f: D Θ ς definida por f(x) = 1  1 . II. f   = x x−1 III. f(x) ϑ −1, qualquer que seja x 7 ς. x01 IV. A função inversa de f é f−1(x) = . x Assinale a alternativa correta: X a) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. d) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. e) Todas as afirmativas são verdadeiras. Cálculo da função g, inversa de f : y = 2x2 0 1 x = 2y2 0 1 2y2 = x − 1 x −1 y2 = 2 y= Logo: f(6) = 2 9 62 0 1 Θ f(6) = 73 II. Correta  1 f  =  x 1− 1 x  1 Θf  =  x 1  1 1 x Θf  =  x x −1 x −1 x g(6) = 6−1 2 g(6) = 5 2 g(6) = III. Correta 5 2 9 2 2 = f(6) 0 f[g(6)] = 73 0 x = −1 Θ x = −1 0 x Θ 0 = −1 f(x) = −1 Θ 1− x Logo, f(x) ϑ −1, ? x 7 ς. 10 2 10 146 0 10 = 2 2 Portanto:  146 0 10   = g   2 IV. Incorreta y x Θx= y= 1− x 1− y x − xy = y x = xy 0 y x = y(x 0 1) 146 0 10 2 2 = 146 0 10 4 Λ 6, 11 16 (UFSM-RS) Sendo as funções f: ς Θ ς, definida por f(x − 5) = 3x − 8 e g: ς Θ ς definida por g(x) = 2x 0 1, assinale verdadeiro (V) ou falso (F) em cada uma das afirmações a seguir. x y= x 01 f−1(x) = x −1 2 g(x) = f −1(x) = I. Correta Se x = 1, teremos divisão por zero. Logo, 1 7 D. 1 x x −1 2 x x 01 I. f(x − 6) = 3x 0 11 1 1 II. g −1(x) = x 0 2 2 III. f(2) − g−1(7) = 10 A seqüência correta é: a) F – V – F b) F – V – V X c) F – F – V d) V – V – F e) V – F – V Fazendo x − 5 = a, temos x = 5 0 a. Logo: f(x − 5) = 3x − 8 Θ f(a) = 3(5 0 a) − 8 ou f(x) = 3(5 0 x) − 8 Daí, temos: I. Falso. f(x − 6) = 3(5 0 x − 6) − 8 = 3(x − 1) − 8 = 3x − 11 II. Falso. g(x) = 2x 0 1 Θ y = 2x 0 1 Θ x = 2y 0 1 x −1 y= 2 1 1 g −1 (x) = x− 2 2  7 1 −1 −  = 21 − 11 = 10 III. Verdadeiro. f(2) − g (7) = 3( 5 0 2 ) − 8 −   2 2 Matemática 42 D T F O à D R T I F E C O TER RCEIRà ÃO FTD D M5 5 T F M E O R T I à E R I C E R C E O T R à E de R T o I n r E D e d C T F Ca R E T O s e d à a D Função Polinomial d R i T I v i t F E A C O R à E D T E1RCEIR T F 4 O à T R I E TERC Função Polinomial (Furg-RS) Seja g uma função do tipo g(x) = ax 0 b, com x 7 ς. Se g(−2) = −4 e 2g(3) = 12, os valores de a e b são, respectivamente: 1 a) − e 0 c) 0 e 2 X e) 2 e 0 2 1 1 d) b) 0 e e0 2 2 (UCSal-BA) Um restaurante cobra de seus clientes um preço fixo por pessoa: R$ 15,00 no almoço e R$ 12,00 no jantar. Certo dia, dos 120 clientes que compareceram a esse restaurante, x foram atendidos no jantar. Se foram gastos R$ 6,00 no preparo de cada refeição, a expressão que define o lucro L, em reais, obtido nesse dia, em função de x, é: a) L(x) = 120x − 720 d) L(x) = −4x 0 720 b) L(x) = 1 440x − 720 X e) L(x) = −3x 0 1 080 c) L(x) = −6x 0 1 440 g(−2) = −4 Θ −4 = −2a 0 b g(3) = 6 Θ 6 = 3a 0 b Resolvendo o sistema, obtemos: a=2eb=0 Preço unitário (em reais) Número de pessoas Venda Almoço 15 120 − x PA = 15(120 − x) Jantar 12 x PJ = 12x Custo 2 PA Θ preço do almoço; PJ Θ preço do jantar (UFMS) Para custear seus estudos, um estudante oferece serviços de digitação de textos. O preço a ser pago pela digitação de um texto inclui uma parcela fixa e outra parcela que depende do número de páginas digitadas. Se a parcela fixa for de R$ 4,00 e cada página digitada custar R$ 1,60, então a quantidade de páginas digitadas de um texto, cujo serviço de digitação custou R$ 39,20, será igual a: X e) 22 a) 29 b) 24 c) 25 d) 20 Lucro = venda − custo L = PA 0 PJ − custo L = 15(120 − x) 0 12x − 720 L = 1 800 − 15x 0 12x − 720 L = −3x 0 1 080 P = 4 0 1,60x Logo: 4 0 1,60x = 39,20 1,60x = 35,20 x = 22 5 (UENF-RJ) Sabe-se que, nos pulmões, o ar atinge a temperatura do corpo e que, ao ser exalado, tem temperatura inferior à do corpo, já que é resfriado nas paredes do nariz. Através de medições realizadas em um laboratório foi obtida a função TE = 8,5 0 0,75 9 TA, 12∞ < TA < 30∞, em que TE e TA representam, respectivamente, a temperatura do ar exalado e a do ambiente. Calcule: a) a temperatura do ambiente quando TE = 25 ∞C; b) o maior valor que pode ser obtido para TE. 3 (UEPA) O empregado de uma empresa ganha mensalmente x reais. Sabe-se que ele paga de aluguel R$ 120,00 3 e gasta de seu salário em sua manutenção, poupando 4 o restante. Então: a) encontre uma expressão matemática que defina a poupança P em função do seu salário x; b) para poupar R$ 240,00, qual deverá ser o seu salário mensal? Sendo ganho mensal = x; aluguel = 120; manutenção = 3x ˆ x Ê ΘP= − 120 a) Poupança Θ P = x − Ë 120 0 4 ¯ 4 b) Sendo P = 240 Θ 240 = 120 9 6 = 720 a) 25 = 8,5 0 0,75 9 TA Θ TA = 22 ∞C b) TE = 8,5 0 0,75 9 30 Θ TE = 31 ∞C 3x , temos: 4 x − 120 Θ x = R$ 1 440,00 4 43 Matemática M5 Função Polinomial 6 (UERJ) Uma panela, contendo um bloco de gelo a −40 )C, é colocada sobre a chama de um fogão. A evolução da temperatura T, em graus Celsius, ao longo do tempo x, em minutos, é descrita pela seguinte função real: 14243 T(x) = Analisando os gráficos, pode-se concluir que: a) o gráfico II representa um crescimento real maior do que o do gráfico I. b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo o II incorreto. c) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo o gráfico I incorreto. X d) a aparente diferença de crescimento nos dois gráficos decorre da escolha das diferentes escalas. e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam escalas diferentes. 20x − 40 se 0 < x , 2 0 se 2 < x < 10 10x − 100 se 10 , x < 20 100 se 20 , x < 40 O tempo necessário para que a temperatura da água atinja 50 )C, em minutos, equivale a: a) 4,5 b) 9,0 d) 30,0 X c) 15,0 Ambos os gráficos apresentam, no eixo das ordenadas (y), o número total de linhas telefônicas e, no eixo das abscissas (x), o tempo. Podemos con∆y cluir que as taxas de crescimento , tomadas em qualquer intervalo, são ∆x iguais nos dois gráficos. A aparente diferença de crescimento nos gráficos decorre somente da escolha de escalas diferentes. Pelos dados, vem: 10x − 100 = 50 10x = 150 x = 15 min 7 (ENEM) Para convencer a população local da ineficiência da Companhia Telefônica Vilatel na expansão da oferta de linhas, um político publicou no jornal local o gráfico I, abaixo representado. 8 (Vunesp-SP) Apresentamos a seguir o gráfico do volume do álcool em função de sua massa, a uma temperatura fixa de 0 )C. Gráfico I volume (cm3) 50 no total de linhas telefônicas (40, 50) 2 200 2 150 2 100 2 050 2 000 Jan. Abr. Ago. Dez. (0, 0) A companhia Vilatel respondeu publicando dias depois o gráfico II, onde pretende justificar um grande aumento na oferta de linhas. O fato é que, no período considerado, foram instaladas, efetivamente, 200 novas linhas telefônicas. a) Como o gráfico da função é uma semi-reta com origem no ponto (0, 0), podemos representá-la por uma igualdade de forma V = k 9 m, em que V representa o volume (em cm3) correspondente a uma massa m (em gramas) de álcool, e k é uma constante. 5 , pois o gráfico passa pelo Temos que 50 = k 9 40, ou seja: k = 4 ponto (40, 50). 5 m. Portanto, uma lei da função apresentada no gráfico é V = 4 5 9 m , portanto, m = 24 g. b) Com V = 30, temos: 30 = 4 no total de linhas telefônicas 2 200 2 150 2 100 2 050 Abr. Matemática Ago. massa (g) Baseado nos dados do gráfico, determine: a) a lei da função apresentada no gráfico; b) qual é a massa (em gramas) de 30 cm3 de álcool. Gráfico II 2 000 Jan. 40 Dez. 44 Função Polinomial (UA-AM) Dada a função f(x) = 14243 9 11 x 0 2, se x > 1 3, se 0 , x , 1 −x 0 3, se x < 0 (ESPM-SP) Do centro de uma cidade até o aeroporto são 40 km por uma grande avenida. Os táxis que saem do aeroporto cobram R$ 3,60 pela bandeirada e R$ 0,80 por quilômetro rodado. Os que saem do centro cobram R$ 2,00 pela bandeirada e R$ 0,60 por quilômetro rodado. Dois amigos se encontraram num restaurante que fica nessa avenida, sendo que um tomou o táxi que sai do aeroporto e o outro tomou o que parte do centro e, para surpresa dos dois, os seus gastos foram exatamente iguais. A distância do restaurante ao aeroporto é: a) 10 km c) 14 km e) 18 km X d) 16 km b) 12 km para que valores de x f(x) é crescente? a) {x 7 ς; 0 < x < 1} d) {x 7 ς; x < 0} b) ς e) {x 7 ς; 0 , x , 1} X c) {x 7 ς; x > 1} Construindo o gráfico da função f(x), temos: y 6 Do enunciado, temos: 5 4 aeroporto 3 restaurante x1 2 2 3 4 5 C2 = 2 0 0,60x2 Daí, vem: x 321 1 centro x2 C1 = 3,60 0 0,8x1 1 −5 −4 −3 −2 −1 0 M5 x1 0 x2 = 40 1 3,60 0 0,8x1 = 2 0 0,60x2 2 De 1 , temos: Observando o gráfico, temos que a função f(x) é crescente para x > 1. x2 = 40 − x1 Substituindo em 2 , obtemos: 3,60 0 0,8x1 = 2 0 0,60(40 − x1) 3,60 0 0,8x1 = 2 0 24 − 0,60x1 10 (UERN) Um botânico mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os dias. Ligando os pontos, colocados por ele, num gráfico, resulta a figura abaixo. x1 = 16 km altura (em cm) 12 (UFMT) Num acidente no litoral brasileiro, o navio Virgínia II sofreu uma fissura no casco atingindo um dos tanques que continha óleo cru. Considere que a mancha provocada pelo vazamento tenha a forma de um disco circular de raio R e que o raio cresce em função do tempo t obedecendo à relação R(t) = 16t 0 1. Sendo A a área ocupada pela mancha após 5 minutos do início do vazamenA to, calcule . 81π 2 1 0 5 10 tempo (em dias) Se mantida sempre essa relação entre tempo e altura, a planta terá, no trigésimo dia, uma altura igual a: a) 5 b) 150 c) 15 d) 30 X e) 6 A função é do 1o grau. Logo, y = ax 0 b. x = 5 e y =1 Θ 1 = 5a 0 b 1 x = 10 e y = 2 Θ 2 = 10a 0 b Quando t = 5 min, temos: R(5) = 16 9 5 0 1 Θ R = 81 2 A área da mancha é: A = πR2 Θ A = π 9 812 Θ A = 812 π Portanto: A 812 π = = 81 81π 81π Daí, vem: 10a 0 b = 2 −5a − b = −1 0 5a = 1 1 a= 5 1 1 0 b Θ 1 = 1 0 b Θ b = 0. , temos: 1 = 5 9 5 5 1 Portanto: y = x 0 0. 5 1 y= x 5 1 y= 9 30 5 y = 6 cm Se a = 45 Matemática M5 Função Polinomial 13 (UFPel-RS) O sistema de telefonia móvel no Brasil vem crescendo a cada ano. Dados mostrados na Folha de S.Paulo, em 25 de abril de 2004, apontam a empresa X como uma das maiores prestadoras desse serviço. O gráfico abaixo, publicado nesse jornal, mostra o preço de cada celular, em função da quantidade vendida. Considerando-se a venda de 3 650 aparelhos telefônicos, determine o preço de cada unidade. De acordo com o gráfico, quanto ao pagamento relativo ao consumo mensal de água de uma residência, é correto afirmar que, se o consumo: a) for nulo, a residência estará isenta do pagamento. b) for igual a 5 m3, o valor pago será menor do que se o consumo for igual a 10 m3. c) for igual a 20 m3, o valor pago será o dobro do que se o consumo for igual a 10 m3. X d) exceder 25 m3, o valor pago será R$ 16,70 acrescido de R$ 3,60 por m3 excedente. e) for igual a 22 m3, o valor pago será R$ 15,00. preço em R$ 700 A 600 500 a) Incorreto. Se o consumo for nulo (V = 0), o valor mensal será R$ 4,70. B 400 b) Incorreto. Se o consumo for de 5 m3, o valor pago será igual ao do consumo de 10 m3, isto é, R$ 4,70. 300 c) Incorreto. 10 m3 R$ 14,70 200 20 m3 R$ 11,70 100 R$ 11,70 não é o dobro de R$ 4,70. 0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 d) Correto. A taxa por metro cúbico para o volume que exceder 25 m3 é: 34,70 − 16,70 18 = = 3,60 taxa = 30 − 25 5 Daí, obtemos: Preço = 16,70 0 3,60V nº de aparelhos A função é do tipo y = ax 0 b. x = 2 000 Θ 600 = 2 000a 0 b y = 600 e) Incorreto. Entre 20 m3 e 25 m3, temos: 16,70 − 11,70 Preço = 11,70 0 V Θ Preço = 11,70 0 1V 25 − 5 x = 5 000 Θ 400 = 5 000a 0 b y = 400 Para V = 2 m3, vem: Preço = 11,70 0 1 9 2 = 13,70 Daí, vem: 600 = 2 000a 0 b 400 = 5 000a 0 b } –––––––––––––––– 200 = −3 000a a =− e 1 15 1  2 200  0bΘb= 600 = 2 000 9 −  15  3 Portanto: 15 (UEL-PR) Uma turma de torcedores de um time de futebol quer encomendar camisetas com o emblema do time para a torcida. Contataram um fabricante que deu o seguinte orçamento: ■ Arte-final mais serigrafia: R$ 90,00, independentemente do número de camisetas. ■ Camiseta costurada, fio 30, de algodão: R$ 6,50 por camiseta. Quantas camisetas devem ser encomendadas com o fabricante para que o custo por camiseta seja R$ 7,00? a) 18 b) 36 c) 60 X d) 180 1 2 200 x0 15 3 Se x = 3 650, vem: y =− y =− 1 2 200 9 3 650 0 Θ y = R$ 490,00 15 3 14 (UFJF-MG) Para desencorajar o consumo excessivo de água, o Departamento de Água de certo município aumentou o preço desse líquido. O valor mensal pago em reais por uma residência, em função da quantidade de metros cúbicos consumida, é uma função cujo gráfico é a poligonal representada abaixo. A função é: f(x) = 90 0 6,50x O custo a R$ 7,00 é: 7x. R$ Portanto: 7x = 90 0 6,50x 0,5x = 90 x = 180 34,70 16,70 11,70 4,70 10 Matemática 20 25 30 m3 46 Função Polinomial 18 16 (Unimep-SP) Certo professor tem a opção de escolher entre duas formas de receber seu salário: Opção A: um fixo de R$ 300,00 mais R$ 20,00 por aula dada, ou Opção B: R$ 30,00 por aula dada, sem remuneração fixa. Quantas aulas mensais, no mínimo, o professor deve ministrar para que a opção B seja mais vantajosa? X c) 31 a) 20 b) 30 d) 32 e) 29 (Fuvest-SP) Seja f a função que associa, a cada número real x, o menor dos números x 0 3 e −x 0 5. Assim, o valor máximo de f(x) é: X c) 4 a) 1 b) 2 d) 6 e) 7 Seja a função definida por f(x) = mínimo {x 0 3, −x 0 5}. Esboçando-se os gráficos das funções g e h tais que g(x) = x 0 3 e h(x) = −x 0 5, tem-se: y M5 g(x) = x 0 3 Sendo x o número de aulas dadas, temos: A Θ yA = 300 0 20x 5 4 B Θ yB = 30x 3 Daí, vem: yB . yA Θ 30x . 300 0 20x Θ 10x . 300 Θ x . 30 O professor deverá ministrar, no mínimo, 31 aulas. 0 −3 1 5 h(x) = −x 0 5 x O valor máximo da função f é 4, que se obtém para x = 1, pois: 123 123 y=x03 → y = −x 0 5 x=1 y=4 17 (FGV-SP) A receita mensal de vendas de uma empresa (y) relaciona-se com os gastos mensais com propaganda (x) por meio de uma função do 1o grau. Quando a empresa gasta R$ 10 000,00 por mês de propaganda, sua receita naquele mês é de R$ 80 000,00; se o gasto mensal com propaganda for o dobro daquele, a receita mensal crescerá 50% em relação àquela. a) Qual a receita mensal se o gasto mensal com propaganda for de R$ 30 000,00? b) Obtenha a expressão de y em função de x. a) A receita mensal (g) relaciona-se com o gasto mensal segundo a equação y = mx 0 n. Assim: Se x = 10 000, temos y = 80 000. Se x = 2 9 10 000 = 20 000, temos: y = 80 000 0 50% de 80 000 y = 80 000 0 0,50 9 80 000 y = 80 000 0 40 000 y = 120 000 Logo: 123 y = mx 0 n Θ 80 000 = 10 000m 0 n 120 000 = 20 000m 0 n Resolvendo o sistema, obtemos: m = 4 e n = 40 000. Portanto, y = 4x 0 40 000. Se a receita mensal for x = 30 000, teremos: y = 4 9 30 000 0 40 000 Θ y = 160 000 Θ R$ 160 000,00 b) y = 4x 0 40 000 47 Matemática M5 Função Polinomial 19 (UFSM-RS) Na figura, é indicado o preço pago por uma corrida de táxi, em função da distância percorrida. 21 (UFF-RJ) O gráfico da função f está representado na figura a seguir. reais y 4 10 6,25 3 6 km 0 Nessas condições, o valor a ser pago num trajeto de 5 km é, em reais: a) 8,00 b) 8,13 c) 8,50 X d) 8,75 e) 9,00 Se x = 3, então f(x) = 6,25. Logo, 6,25 = 3x 0 b. 6 8 x Sobre a função f é falso afirmar que: a) f(1) 0 f(2) = f(3) d) f(4) − f(3) = f(1) b) f(2) = f(7) X e) f(2) 0 f(3) = f(5) c) f(3) = 3f(1) Como o gráfico é uma função do 1o grau, é do tipo f(x) = ax 0 b. Se x = 6, então f(x) = 10. Logo, 10 = 6x 0 b. 4 1 2 Pelo gráfico, temos: Se 0 < x < 4 Θ f(x) = 1x Se 4 , x < 6 Θ f(x) = 4 Se 6 , x < 8 Θ f(x) = −2x 0 16 Multiplicando 1 por −2, vem: 123 −12,5 = −6x − 2b { 10 = 6x 0 b −2,5 = −b Θ b = 2,5 Logo: a) Verdadeiro f(1) = 1 9 1 = 1 f(2) = 1 9 2 = 2 f(3) = 1 9 3 = 3 Portanto: f(1) 0 f(2) = f(3). Substituindo b = 2,5 em 2 , vem: 10 = 6a 0 2,5 Θ 6a = 7,5 Θ a = 1,25 Logo: f(x) = 1,25x 0 2,5. Portanto, se x = 5, vem: f(5) = 1,25 9 5 0 2,5 = 8,75 Θ R$ 8,75 b) Verdadeiro f(7) = −2 9 7 0 16 = 2 Portanto: f(2) = f(7). c) Verdadeiro 3f(1) = 3 9 1 = 3 Portanto: f(3) = 3f(1). d) Verdadeiro f(4) = 1 9 4 = 4 Portanto: f(4) − f(3) = f(1). e) Falso f(5) = 4 Portanto: f(2) 0 f(3) = 2 0 3 = 5 ϑ f(5). 20 (UFRJ) Um motorista de táxi cobra, em cada corrida, o valor fixo de R$ 3,20 mais R$ 0,80 por quilômetro rodado. a) Indicando por x o número de quilômetros rodados e por P o preço a pagar pela corrida, escreva a expressão que relaciona P com x. b) Determine o número máximo de quilômetros rodados para que, em uma corrida, o preço a ser pago não ultrapasse R$ 120,00. 22 (Unicruz-RS) Se resolvermos a inequação 2(4x − 9) − 2(x 0 2) . −4, obtemos para x o valor: a) x . 1 c) x ϑ 0 e) x , 3 b) x , 1 X d) x . 3 2(4x − a) − 2(x 0 2) . −4 8x − 18 − 2x − 4 . −4 Θ 6x . 18 Θ x . 3 a) P = 3,20 0 0,80x b) P < 120 Θ 3,20 0 0,80x < 120 Θ 0,80x < 116,80 x < 146 Θ 146 km O número máximo é 146 quilômetros. 23 (UFSC) A soma dos dígitos do número inteiro m tal 8 que 5m 0 24 . 5 500 e − m 0 700 . 42 − m é: 5 Devemos ter: 5m 0 24 . 5 500 Θ 5m . 5 476 Θ m . 1 095,2 8 − m 0 700 . 42 − m Θ m , 1 096,66... 5 Logo, m = 1 096. A soma dos dígitos é: 1 0 0 0 9 0 6 = 16. Matemática 48 Função Polinomial 24 (Unesp-SP) Como resultado de uma pesquisa sobre a relação entre o comprimento do pé de uma pessoa, em centímetros, e o número (tamanho) do calçado brasileiro, Carla obteve uma fórmula que dá, em média, o número inteiro n (tamanho do calçado) em função do comprimento c, do pé, em cm. 5 Pela fórmula, tem-se n = [x], em que x = c 0 7 e [x] 4 indica o menor inteiro maior ou igual a x. Por exemplo, se c = 9 cm, então x = 18,25 e n = [18,25] = 19. Com base nessa fórmula: a) determine o número do calçado correspondente a um pé cujo comprimento é 22 cm; b) se o comprimento do pé de uma pessoa é c = 24 cm, então ela calça 37. Se c . 24 cm, essa pessoa calça 38 ou mais. Determine o maior comprimento possível, em cm, que pode ter o pé de uma pessoa que calça 38. M5 25 (MACK-SP) Uma parede, medindo 2,80 m por 1,80 m, deve ser revestida por ladrilhos quadrados, de lado 10 cm, que são vendidos em caixas com 36 unidades. Considerando que há uma perda, por quebra durante a colocação, de 10% dos ladrilhos, o número mínimo de caixas que devem ser compradas é: X a) 16 b) 18 c) 12 d) 24 e) 22 Do enunciado, podemos concluir que, se não houvesse perda, seriam 280 9 180 ladrilhos, ou seja, 504 ladri100 lhos. Ainda, na tentativa de colocar x ladrilhos, são perdidos 0,1x ladrilhos. Como devemos revestir com efetivamente 504 ladrilhos, temos: x − 0,1 9 x > 504 0,9x > 504 Ι x > 560 necessários para o revestimento 560 , ou seja, n > 15,6. 36 Como n é um número inteiro, seu valor mínimo é 16. Logo, o número n de caixas deve ser tal que n > a) Para um pé com 22 cm de comprimento o número do calçado é: 5 9 22 0 n=  4  7  = [34,5] = 35  b) A pessoa que calça 38 tem o comprimento c, em cm, do pé de forma que: 5  5 c 0 7 < 38 n =  c 0 7  = 38 Θ 37 , 4  4 5 c < 31 30 , 4 120 , 5x < 124 24 , x < 24,8 Assim, o maior comprimento possível, em cm, que pode ter o pé de uma pessoa que calça 38 é 24,8. 26 (Unisinos-RS) Para que a equação x2 − 2mx 0 1 = 0 não tenha raízes reais, a seguinte condição deve ser satisfeita: a) m = 1 e) m , −1 X c) −1 , m , 1 b) m = −1 d) m . 1 Condição: ∆ , 0 Θ b2 − 4ac , 0 Substituindo os valores, vem: (−2m)2 − 4 9 1 9 1 , 0 Θ 4m2 − 4 , 0 { { −1 } 1 x S = {m 7 ς\−1 , m , 1} 49 Matemática M5 Função Polinomial 29 (UFPB) O gráfico da função 1 1 2 x 0 x, representado na figura abaixo, y = f(x) = − 5 200 descreve a trajetória de um projétil, lançado a partir da origem. 27 (Unifor-CE) Seja a equação x2 0 4x 0 k = 0, em que k é uma constante real. Se uma das raízes dessa equação é igual à terça parte da outra, então o número k é tal que: a) k < −4 c) 0 , k < 2 e) k . 4 b) −4 , k < 0 X d) 2 , k < 4 Devemos ter: 144424443 x1 0 x2 = − x1 9 x2 = x1 = b Θ x1 0 x2 = −4 a c Θ x1 9 x2 = k a 1 x 3 2 y (km) 1 2 3 y = f(x) H De 1 e 2 , vem: x1 0 x2 = −4 Θ 0 1 x 0 x 2 = − 4 Θ x 2 0 3x 2 = −12 Θ x2 = −3 3 2 A x (km) Sabendo-se que x e y são dados em quilômetros, a altura máxima H e o alcance A do projétil são, respectivamente: X a) 2 km e 40 km d) 10 km e 2 km b) 40 km e 2 km e) 2 km e 20 km c) 2 km e 10 km De 3 , vem: 1 9 (− 3 ) Θ x 1 = −1 x1 = 3 De 2 , vem: x1 9 x2 = k Θ (−1) 9 (−3) = k Θ k = 3 Se y = 0, temos: 0 =−  1 1 1 2 1 x0  =0 x 0 x Θ x  − 5 200 200 5 xδ = 0 xφ = 40 Logo, A = 40 km. A altura máxima é o valor máximo da função. Portanto: 28 (UERJ) A função que descreve a dependência temporal da posição s de um ponto material é representada pelo gráfico abaixo. b Θ xV = xV = − 2a yV = − s (m) 12 8 4 0 −4 1 2 3 4 5 t (s) Sabendo que a equação geral do movimento é do tipo s = A 0 Bt 0 Ct2, os valores numéricos das constantes A, B e C são, respectivamente: a) 0, 12, 4 c) 12, 4, 0 b) 0, 12, −4 X d) 12, −4, 0 Do gráfico, temos: 14243 t=1es=8Θ t=2es=4Θ t=3es=0Θ 8=A0B0C 4 = A 0 2B 0 4C 0 = A 0 3B 0 9C Daí, vem: A = 12, B = −4 e C = 0. Matemática 50 − 1 5  1  2 9 −   200  Θ xV = 20 km 1 1 9 202 0 9 20 Θ yV = −2 0 4 Θ yV = 2 km 200 5 M5 Função Polinomial 30 (UFSM-RS) Um laboratório testou a ação de uma droga em uma amostra de 720 frangos. Constatou-se que a lei de sobrevivência do lote de frangos era dada pela relação v(t) = at2 0 b, em que v(t) é o número de elementos vivos no tempo t (meses). Sabendo-se que o último frango morreu quando t = 12 meses após o início da experiência, a quantidade de frangos que ainda estavam vivos no 10o mês era: a) 80 b) 100 c) 120 e) 300 X d) 220 32 (Vunesp-SP) A temperatura T de um forno, após ser desligado, varia com o tempo t, de acordo com a expressão T = 1 000 − 15t2, no qual T é dado em graus Celsius e t, em minutos, até atingir a temperatura ambiente. a) Obtenha a taxa de variação média de T, considerando o período entre 3 e 5 minutos após o desligamento do forno. b) Verifique o valor do tempo em que a temperatura atinge 50% de seu valor inicial. Pelos dados, temos: Consideremos t = 0 no instante em que o forno foi desligado. v(0) = 720 a) Com T(t) = 1 000 − 15t2, temos: a 9 02 0 b = 720 b = 720 T(3) = 1 000 − 15 9 32 = 865 1 T(5) = 1 000 − 15 9 52 = 625 Nesse intervalo, a taxa de variação média é dada por: v(12) = 0 a 9 122 0 b = 0 144a 0 b = 0 2 T( 5 ) − T(3) 625 − 865 = = −120 °C/min 5−3 2 Substituindo 1 em 2 , vem: 144a 0 720 = 0 − 720 a= 144 a = −5 Logo, a quantidade de frangos que ainda estavam vivos no 10o mês era: v(10) = −5 9 102 0 720 Θ v(10) = 220 b) Com t . 0 e T(t) = 1 000 − 15t2 = 500 15t2 = 500 t2 = 31 (UFPB) Um míssil foi lançado acidentalmente do ponto A, como mostra a figura, tendo como trajetória o gráfico da função f(x) = −x2 0 70x, em que x é dado em km. (Unicamp-SP) Uma piscina, cuja capacidade é de 120 m3, leva 20 horas para ser esvaziada. O volume de água na piscina, t horas após o início do processo de esvaziamento, é dado pela função V(t) = a(b − t)2 para 0 < t < 20 e V(t) = 0 para t > 20. a) Calcule as constantes a e b. b) Faça o gráfico da função V(t) para t 7 [0, 30]. y = f(x) g(x) B Se a piscina de volume 120 m3 leva 20 horas para ser esvaziada, então: V(20) = 0 = a 9 (b − 20)2 → V(0) = 120 = a 9 (b − 0)2 b = 20, pois a ϑ 0 → a 9 b2 = 120 123 x 123 40 123 A 10 3 100 Θt= min 3 3 33 y y= 1 T(0), temos: 2 a = 0,3 b = 20 O volume de água na piscina, t horas após o início do processo de esvaziamento, é dado pela função V(t) = 0,3(20 − t)2 para 0 < t < 20 e V(t) = 0 para t > 20. O gráfico da função é: Desejando-se destruí-lo num ponto B, que está a uma distância horizontal de 40 km de A, utiliza-se um outro míssil que se movimenta numa trajetória descrita, segundo o gráfico da função g(x) = kx. Então, para que ocorra a destruição no ponto determinado, deve-se tomar k igual a: X b) 30 a) 20 c) 40 d) 50 e) 60 V (m3) 120 Se x = 40 km, temos: y = −402 0 70 9 40 Θ y = 1 200 km Substituindo x = 40 km e y = 1 200 km em g(x) = kx, temos: 1 200 = k 9 40 Θ k = 30 0 51 20 30 t (h) Matemática M5 Função Polinomial 34 (Unemat-MT) Uma empresa apresenta o lucro mensal de acordo com a equação L = −t2 0 25t, em que t é a quantidade de toneladas vendidas mensalmente e L (lucro) é dado na proporção de 1 (um) por R$ 1 000,00 (um mil reais). Então, podemos dizer: F 1. Quanto maior for a venda mensal, maior será o lucro. V 2. O lucro obtido com a venda de 10 toneladas é de R$ 150 000,00, porém é o mesmo lucro obtido com a venda de 15 toneladas. F 3. Se a venda mensal for maior que 20 toneladas, a empresa terá um lucro superior a R$ 175 000,00. V 4. O lucro máximo que essa empresa pode ter é de R$ 156 250,00. Quais sentenças são falsas e quais são verdadeiras? (ENEM) O quadro abaixo refere-se às questões 35 e 36. Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se: R(x) = k 9 x 9 (P − x), em que k é uma constante positiva característica do boato. 35 O gráfico cartesiano que melhor representa a função R(x), para x real, é: a) 1. Falsa A função L = −t2 0 25t pode ser crescente ou decrescente conforme o valor de t. Observe o gráfico: t=0 L = 0 Θ −t2 0 25t = 0 Θ t(−t 0 25) = 0 ou t = 25 d) R R x x L (R$) 156,25 b) X e) R R V x c) 0 12,5 25 x R t (toneladas) b 25 = = 12,5 toneladas 2a 2 Quanto maior a venda no intervalo 0 , t < 12,5, maior será o lucro, e quanto maior a venda no intervalo 12,5 < t < 25, menor será o lucro. tV = − x Da expressão matemática dada do enunciado, temos: R(x) = kx(P − x) R(x) = −kx2 0 kPx Como k . 0, R(x) é representada por um arco de parábola com a concavidade voltada para baixo. alternativa e 2. Verdadeira L(10) = −102 0 25 9 10 Θ L(10) = 150, ou seja, R$ 150 000,00 L(15) = −15 2 0 25 9 15 Θ L(15) = −225 0 375 = 150, ou seja, R$ 150 000,00 3. Falsa Vide gráfico acima. 4. Verdadeira L(12,5) = −(12,5)2 0 25 9 (12,5) Θ L(12,5) = 156,25 ou R$ 156 250,00 36 Considerando o modelo anteriormente descrito, se o público-alvo é de 44 000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a: a) 11 000 c) 33 000 e) 44 000 X b) 22 000 d) 38 000 R(x) = kx(44 000 − x) R(x) = −kx2 0 44 000kx O número de pessoas para a qual a rapidez de propagação é máxima é dado por: x= −( 44 000k ) 2(−k ) = 22 000 A rapidez será máxima quando o boato for conhecido por 22 000 pessoas. Matemática 52 Função Polinomial M5 38 (UEM-PR) Considere a função f definida por f(x) = x2 − 2x − 3 para todo x real. É incorreto afirmar que: a) o vértice do gráfico da função f é (1, −4). X b) a função f é negativa para todos os valores de x pertencentes ao intervalo [−1, 3]. c) a imagem da função f é o intervalo [−4, ∃[. d) a intersecção da reta de equação y = x − 3 com o gráfico de f são os pontos (0, −3) e (3, 0). e) todas as raízes da função f são números inteiros. Em questões como a 37, as alternativas verdadeiras devem ser marcadas na coluna I e as falsas, na coluna II. 37 (UFG) Uma agência de turismo deseja fretar um ônibus de 50 lugares. Duas empresas, A e B, candidatamse para fazer a viagem. Se for contratada a empresa A, o custo da viagem terá uma parte fixa de R$ 280,50, mais um custo, por passageiro, de R$ 12,00. Se for contratada a empresa B, o custo terá um valor fixo de R$ 250,00, mais um custo (C), por passageiro, dado por C(n) = 35 − 0,5n, em que n é o número de passageiros que fará a viagem. De acordo com essas informações, julgue os itens a seguir: I – II 1 – 1 Se todos os lugares do ônibus forem ocupados, será mais caro contratar a empresa B. 2 – 2 Caso contrate a empresa B, o custo máximo da viagem será R$ 862,50. 3 – 3 Para um mesmo número de passageiros, os valores cobrados pelas empresas A e B serão diferentes. 4 – 4 Para um custo de R$ 700,50, a empresa A levará mais que o dobro de passageiros que a empresa B. b 2 Θ xV = =1 2a 2 2 f(1) = 1 − 2 9 1 − 3 Θ f(1) = −4 = xV xV = − 14243 a) Correto V(1, −4) b) Incorreto x2 − 2x − 3 = 0 xδ = 3 xφ = −1 f(x) , 0 Θ ]−1, 3[ −1 − 3 c) Correto Im = [−4, ∃[ d) Correto x2 − 2x − 3 = x − 3 Θ x2 − 3x = 0 Θ x(x − 3) = 0 11. Verdadeira Empresa A custo = 280,50 0 50 9 12,00 = 880,50 Θ R$ 880,50 Empresa B C(50) = 35 − 0,5 9 50 = 15,00 custo = 250 0 50 9 15,00 = 1 000,00 Θ R$ 1 000,00 xδ = 0 xφ = 3 Os pontos de intersecção são: x = 0 Θ y = x − 3 = 0 − 3 = −3 Θ (0, −3) x = 3 Θ y = x − 3 = 3 − 3 = 0 Θ (3, 0) e) Correto As raízes são os números inteiros −1 e 3. 22. Falsa 33. Verdadeira 280,50 0 n 9 12 = 250 0 n(35 − 0,5n) n2 − 46n 0 61 = 0 (não existe n inteiro) Logo, os valores das empresas A e B são sempre diferentes. 44. Verdadeira 700,50 = 280,50 0 n 9 12 Θ n = 35 700,50 = 250,00 0 n(35 − 0,5n) Θ n2 − 70n 0 901 = 0 nδ = 53 nφ = 17 O número de passageiros da empresa A é 35, e o da empresa B é 17; logo, n(A) . 2 9 n(B). Portanto: I 1 2 3 4 II 1 2 3 4 53 Matemática M5 Função Polinomial 40 (Furg-RS) Um jogador de futebol se encontra a uma distância de 20 m da trave do gol adversário, quando chuta uma bola que vai bater exatamente sobre essa trave, de altura 2 m. Se a equação da trajetória da bola em relação ao sistema de coordenadas indicado na figura é y = ax2 0 (1 − 2a)x, a altura máxima atingida pela bola é: Em questões como a 39, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas. 39 (UFPR) Um grupo de estudantes decidiu viajar de ônibus para participar de um encontro nacional. Ao fazerem uma pesquisa de preços, os estudantes receberam de uma empresa uma proposta, na qual o preço de cada passagem depende do total de passageiros: cada passageiro pagará R$ 90,00 mais o valor de R$ 5,00 por lugar que eventualmente ficar vago no ônibus. Sabendo que o ônibus tem 52 lugares, é correto afirmar: (01) Se viajarem 30 passageiros, cada um deles pagará R$ 110,00. (02) Se o total de passageiros for x, o preço (em reais) de cada passagem será calculado pela expressão 90 0 5(52 − x). (04) Se viajarem 40 pessoas, a empresa deverá receber um total de R$ 6 000,00, referente ao pagamento das passagens. (08) Se viajarem x pessoas, o valor total (em reais) que a empresa deverá receber, referente ao pagamento das passagens, é calculado pela expressão 300x − 5x2. (16) O valor total máximo que a empresa poderá receber pelo pagamento das passagens ocorrerá quando o total de passageiros for igual a 35. P(20, 2) 2 20 Fazendo x = 20 e y = 2, temos: 1 2 = a 9 400 0 (1 − 2a)20 Θ a = − 20 Substituindo, temos: y =−   1 2 1  1 2 11 x 0 1 − 2 9  − x 0 x  x Θ y =−  20   20 20 10  A altura máxima é: ∆= 121 1 121 −49 90 Θ ∆= 100 20 100 yV = − (01) Incorreto 52 − 30 = 22 lugares vagos y = 90 0 22 9 5 = 90 0 110 = R$ 200,00 (02) Correto Sendo x o número de passageiros, o número de lugares vagos é 52 − x. Logo: f(x) = 90 0 5(52 − x) (04) Correto f(40) = 90 0 5(52 − 40) = 90 0 5 9 12 = 150 O total é igual a: 150 9 40 = R$ 6 000,00 (08) Incorreto Devemos ter: x[90 0 5(52 − x)] = x[90 0 260 − 5x] = 350x − x2 (16) Correto Sendo o valor igual a 350x − 5x2: −b −350 −350 xv = Θ xv = = = 35 pessoas 2a 2(−5 ) −10 Portanto: 2 0 4 0 16 = 22 Matemática y a) 6,00 m b) 6,01 m X c) 6,05 m d) 6,10 m e) 6,50 m 54 ∆ Θ yV = 4a 121 100 Θ y V = 6,05 m 1   49 −  20  − x Função Polinomial 41 42 (Acafe-SC) Sobre o gráfico da função, definida por f(x) = −x20 4x − 5, de ς em ς, a alternativa correta é: X a) Todo ponto pertencente ao gráfico possui ordenada negativa. b) O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo e vértice V(2, 1). c) O ponto (0, 5) pertence ao gráfico. d) A parábola tangencia o eixo OX . e) Todo ponto da parábola pertence ao primeiro ou segundo quadrante. (IBMEC-RJ) A figura mostra os gráficos de f: ς Θ ς 兩 f(x) = x2 0 bx 0 c e g: ς Θ ς 兩 g(x) = ax − 2, com a, b, c números reais. y x 0 y −5 −2 −1 −2 V 14243 x 0 1 2 3 M5 b −4 = =2 V(2, −1) 2a −2 yV = −22 0 4 9 2 − 5 = −1 xV = − Sabendo que o ponto V é o vértice da parábola, que f(−1) = 0 e que a função f apresenta mínimo para x = 1, determine: a) a 0 b 0 c b) f[g(x)] 1 2 3 f(x) = x2 0 bx 0 c Θ f(−1) = 0 Θ f(3) = 0 xV = 1 x 123 0 −1 123 y (−1, 0) Θ 0 = 1 − b 0 c Θ 0 = 8 0 4b Θ b = −2 Θ c = −3 (3, 0) Θ 0 = 9 0 3b 0 c −2 g(x) = ax − 2 Θ g(−1) = 0 Θ 0 = −a − 2 Θ a = −2 a) a 0 b 0 c = −2 − 2 − 3 = −7 123 −5 b) f(x) = x2 − 2x − 3 f[g(x)] = (−2x − 2)2 − 2(−2x − 2) − 3 Θ g(x) = −2x − 2 f[g(x)] = 4x2 0 12x 0 5 alternativa a 55 Matemática M5 Função Polinomial 43 44 (UFF-RJ) Um muro, com 6 metros de comprimento, será aproveitado como parte de um dos lados do cercado retangular que certo criador precisa construir. Para completar o contorno desse cercado o criador usará 34 metros de cerca. Determine as dimensões do cercado retangular de maior área possível que o criador poderá construir. (UFSE) Para analisar as afirmativas abaixo, considere a função f, de ς em ς, definida por f(x) = 2x 0 3. I – II 3 0 – 0 A função inversa de f é definida por f−1(x) = x − . 2 1 – 1 A função composta f 䡩 f é definida por f[f(x)] = 4x 0 6. 2 – 2 A função g definida por g(x) = [f(x)]2 tem por gráfico uma parábola de concavidade para cima e que y  3  intercepta o eixo das abscissas nos pontos  − , 0   2  3  e  , 0 . 2  3 – 3 O vértice da parábola definida por y = x2 − 2x 0 6 pertence ao gráfico de f. 4 – 4 Se o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B, a função quadrática cujo gráfico x x06 6 y O perímetro do cercado é dado por 6 0 x 0 y 0 x 0 6 0 y. Como o muro de 6 m será aproveitado, tem-se que 34 = x 0 y 0 x 0 6 0 y, ou seja, y = 14 − x. A área do cercado é dada por: A = (x 0 6)y = (x 0 6)(14 − x) = −x2 0 8x 0 84, 0 < x , 14, que pode ser representada graficamente por um arco de parábola, com concavidade −8 = 4 , que voltada para baixo e vértice no ponto de abscissa x V = 2 9 (−1) fornece o maior valor para a área. Portanto, o valor de y no cercado é y = 14 − x = 14 − 4 = 10. Logo, o cercado de maior área será o quadrado de lado igual a 10 m. 9  contém os pontos A, B e  , 0  é definida por 2  4 2 4 y = − x 0 x 0 3. 9 3 00. Falsa y = 2x 0 3 Θ x = 2y 0 3 x−3 x 3 = − y= 2 2 2 x 3 − f−1(x) = 2 2 11. Falsa f[f(x)] = f(2x 0 3) = 2 9 (2x 0 3) 0 3 Θ f[f(x)] = 4x 0 9 22. Falsa g(x) = [f(x)]2 Θ g(x) = (2x 0 3)2 Θ g(x) = 4x2 0 6x 0 9 Como a = 4 . 0, a concavidade é voltada para cima. 4x2 0 6x 0 9 = 0 ∆ = 62 − 4 9 4 9 9 ∆ = −108 A função g(x) não tem raízes reais. Portanto, ela não intercepta o eixo das abscissas. 14243 33. Verdadeira Sendo y = x2 − 2x 0 6, temos: b 2 xV = − Θ xV = =1 V(1, 5) 2a 2 2 yV = 1 − 2 9 1 0 6 = 5 Para f(x) = 2x 0 3, temos: x = 1 Θ f(1) = 2 9 1 0 3 = 5 Logo, o ponto (1, 5) pertence ao gráfico de f(x). 44. Verdadeira f(x) = 0 Θ 2x 0 3 = 0 Θ x = − x = 0 Θ f(0) = 3 Θ B(0, 3) 3  3  Θ A  − , 0  2  2  9   3  Se y = ax2 0 bx 0 c passa pelos pontos  − , 0  , (0, 3) e  , 0  ,  2   2  3442441 temos: 9a 3 4 − b0c a =− 0= 4 2 9 4 3=c Θ b= 3 81 9 0= a0 b0c c=3 4 2 Logo: 4 2 4 x 0 x03 9 3 Portanto: I II 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 y =− Matemática 56 Função Polinomial M5 46 45 (UCSal-BA) Um futebolista chutou uma bola que se encontrava parada no chão e ela descreveu uma trajetória parabólica, indo tocar o solo 40 m adiante, como mostra a figura. (UEM-PR) Considere a função: ς Θ ς definida por f(x) = x2 − 6x 0 5. É correto afirmar que: a) as coordenadas do ponto de máximo são (3, −4). b) o domínio da função é o conjunto ς − {1,5}. c) a função é sobrejetora, mas não injetora. X d) a função é negativa para todos os pontos cuja abscissa está entre suas raízes. e) a função é decrescente para todo x 7 ς, com x > 3. altura (m) 7,5 0 10 b 6 = =3 2a 2 yV = 32 − 6 9 3 0 5 Θ yV = −4 40 distância (m) xV = − Se, a 10 m do ponto de partida, a bola atingiu a altura de 7,5 m, então a altura máxima, em metros, atingida por ela, foi de: X b) 10 a) 12 c) 9,2 d) 8,5 e) 8 b) Incorreto O domínio é o conjunto dos números reais. c) Incorreto A função não é sobrejetora, pois o conjunto imagem Im = {y 7 ς 兩 y > −4} não é igual ao contradomínio CD = ς. Pelo gráfico, temos: f(0) = 0, f(40) = 0 e f(10) = 7,5 d) Correto Logo: f(0) = 0 Θ a(0)2 0 b(0) 0 c = 0 Θ c = 0 f(40) = 0 Θ a(40)2 0 b(40) 0 0 = 0 −40a − b = 0 y = x2 − 6x 0 5 Θ 0 = x2 − 6x 0 5 x1 = 5 ou x2 = 1 (: −40) 1 e 0 f(10) = 7,5 Θ a(10)2 0 b(10) 0 0 = 7,5 100a 0 10b = 7,5 40a 0 4b = 3 V(3, −4) Como a = 1 . 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. Portanto, V(3, −4) é ponto de mínimo e não de máximo. Como a função é do 2o grau, podemos escrever: f(x) = ax2 0 bx 0 c, com a ϑ 0 1 600a 0 40b = 0 14243 a) Incorreto As coordenadas do vértice são: 0 1 (: 2,5) − 5 2 Resolvendo o sistema formado por 1 e 2 , vem: 123 y,0Θ1,x,5 −40a − b = 0 0 40a 0 4b = 3 e) Incorreto Para x > 3, a função é crescente. 3b = 3 Θ b = 1 Substituindo b = 1 em 1 , vem: − 40a − 1 = 0 Θ a = −1 −1 2 , logo f(x) = x 0x 40 40 Portanto, a altura máxima atingida pela bola é: yV = −∆ Θ yV = 4a −1 −1 = = 10 metros −1 −1 10 40 49 57 Matemática M5 Função Polinomial 48 47 (UFMG) A seção transversal de um túnel tem a forma de um arco de parábola, com 10 m de largura na base e altura máxima de 6 m, que ocorre acima do ponto médio da base. De cada lado são reservados 1,5 m para passagem de pedestre, e o restante é dividido em duas pistas para veículos. As autoridades só permitem que um veículo passe por esse túnel caso tenha uma altura de, no máximo, 30 cm a menos que a altura mínima do túnel sobre as pistas para veículos. Calcule a altura máxima que um veículo pode ter para que sua passagem pelo túnel seja permitida. (Unicap-PE) Considere a função definida por f(x) = x2 0 x, tendo como domínio o conjunto dos números reais. I – II 0 – 0 Existe um número real a tal que f(a) = 1. 1 – 1 A função é par. 2 – 2 Considerando o domínio da função, ela é sobrejetora. 3 – 3 Considerando o domínio da função, ela admite inversa. 4 – 4 A função possui uma raiz não-nula. A figura mostra a seção transversal desse túnel. A abscissa x mede o comprimento, em metros, na base do túnel, a partir de seu ponto médio, e a ordenada y representa a altura, em metros, a partir da base do túnel. 00. Verdadeira −1 0 5 2 −1 − 5 a2 = 2 a1 = f(a) = 1 Θ a 0 a = 1 Θ a 0 a − 1 = 0 2 2 y 6 11. Falsa f(−x) = (−x)2 0 (−x) Θ f(−x) = x2 − x Θ f(x) ϑ f(−x) A função não é par. 22. Falsa O gráfico de f(x) é: f −5 0 5 x 2 A equação da parábola é: y = ax2 0 bx 0 c. Como a parábola passa pelo ponto de coordenadas (0, 6), fazendo x = 0 na equação acima, obtemos c = 6. Como a parábola passa também pelos pontos (−5, 0) e (5, 0), temos, substituindo, sucessivamente, x = −5 b=0e a =− 6 . 25 A equação da parábola é, então, y = − y =− 6 ( x 2 − 25 ). 25 123 e x = 5 na equação y = ax2 0 bx 0 6, 1 25a − 5b = −6 e segue-se que 25a 0 5b = −6 6 2 x 0 6, ou seja, 25 Ela não é sobrejetora, pois o conjunto imagem é diferente do contradomínio. { Im = y 7 ς 兩 y > − De cada lado do ponto médio da base do túnel são destinados 3,5 m para as pistas de veículos. Logo, a altura mínima sobre as pistas de veículos é igual ao valor de y quando fazemos x = 3,5 na equação da parábola. Essa altura é, 6 6 então, em metros, igual a − ( 3,5 2 − 25 ) = 9 12,75 = 3,06. 25 25 Portanto: 3,06 3,5 5 x pistas para veículos Para que a passagem de um veículo pelo túnel seja permitida, sua altura deve ser, em metros, no máximo, igual a 3,06 − 0,30 = 2,76 Θ 2,76 m. Matemática } e CD = ς 44. Verdadeira A função tem uma raiz não-nula. x = −1 y 0 1 2 33. Falsa Ela não tem inversa, pois f(x) não é bijetora. 6 −5 −3,5 x − 1 2 58 I 0 1 2 3 4 II 0 1 2 3 4 M5 Função Polinomial 51 49 (UFES) Sabendo-se que a imagem da função y = x2 0 5x 0 (k 0 4) é o conjunto {y 7 ς\y > −1}, podemos afirmar que o valor de k é: a) 0,25 b) 0,50 c) 0,75 d) 1,00 X e) 1,25 (UFOP-MG) Um triângulo ABC é retângulo em C e seus catetos medem a e b, conforme a figura abaixo. B Determine y = MN, de modo que o retângulo CMNP, inscrito nesse triângulo, tenha área máxima. N a P Cálculo do ∆: ∆ = b2 − 4ac ∆ = 52 − 4 9 1 9 (k 0 4) ∆ = 25 − 4(k 0 4) ∆ = 25 − 4k −16 ∆ = 9 − 4k y C A M b O valor mínimo é: Pelos dados, temos: yV = B a−y x a P N y y b−x x A M b C Aretângulo CMNP = x 9 y Os triângulos ABC, NBP e ANM são semelhantes. Logo, se #ABC Κ #NBP, então: a b = a−y x ax = ab − by by = ab − ax a y=a− x 1 b −∆ −( 9 − 4k ) 4k − 9 Θ yV = Θ yV = 4a 4 91 4 O conjunto imagem é: y > yV Θ y > −1 yV = −1 4k − 9 = −1 4 4k − 9 = −4 4k = 5 5 k= 4 k = 1,25 2 Substituindo 1 em 2 , vem:  a  −a 2 A = x 9 a − x Θ A = x 0 ax  b  b b −a Θ xV = −a 2 b b em 1 , vem: Substituindo x = 2 a b a y=a− 9 = 2 2 b xV = 52 (Unitau-SP) Para quais valores de x é satisfeita a inequação −3 0 4x − x2 > 0? X d) 1 < x < 3 a) 1 , x , 3 b) x , 1 ou x . 3 e) qualquer x real c) x < 1 ou x > 3 29 −3 0 4x − x2 > 0 Θ x2 − 4x 0 3 < 0 As raízes são: 50 (Unitau-SP) O conjunto imagem, Im, da função y = x2 − 4x 0 3 é: a) Im = {y 7 ς\y > 2} d) Im = {y 7 ς\y < −1} b) Im = {y 7 ς\y < 2} e) Im = ς X c) Im = {y 7 ς\y > −1} x1 = 3 x2 = 1 x2 − 4x 0 3 = 0 { Portanto, 1 < x < 3. ∆ = b2 − 4ac ∆ = (−4)2 − 4 9 1 9 3 ∆ = 16 −12 = 4 −(−4 ) −b xV = Θ xV = =2 2a 291 −∆ −4 = −1 yV = Θ yV = 4a 4 91 { 1 } 3 x 53 (FGV-SP) Quantos números inteiros satisfazem a inequação x2 − 10x , −16? a) 3 b) 4 d) 6 e) 7 X c) 5 Esboço de gráfico x2 − 10x , −16 x2 − 10x 0 16 , 0 y { 3 Podemos observar que y > −1 para todo x 7 ς. Portanto, Im = {y 7 ς\y > −1}. 2 0 −1 { 2 } 8 x sinal de x2 − 10x 0 16 Assim, 2 , x , 8. Logo, os números inteiros que satisfazem a inequação são 3, 4, 5, 6 e 7. Portanto: 5 números x V(2, −1) 59 Matemática M5 54 Função Polinomial 56 (UFRJ) Seja p: ς Θ ς dada por p(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3). Para que valores de x se tem p(x) > 0? (Unifor-CE) O número de soluções inteiras e não2 2  2  2 n n nulas da inequação  −  ,   0 é:   n  2 n 2 X a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 Vamos analisar o sinal de p(x) verificando o sinal de cada um de seus fatores pelo quadro: Desenvolvendo, temos: 4 2 n 4 n2 n −29 9 0 , 2 0 4 2 n2 n 2 n 4 4 n2 n −20 , 2 0 4 2 n2 n n2 n − −2,0 4 2 n2 − 2n − 8 , 0 Raízes: n2 − 2n − 8 = 0 1 2 − 0 0 0 − − 0 0 − − − 0 − { − { 1 { n1 = 4 n2 = −2 { −2 } 3 2 3 S = {x 7 ς\1 < x < 2 ou x > 3} x 4 57 (FGV-SP) O maior número inteiro que satisfaz a 5 inequação . 3 é: x−3 d) divisível por 3 X a) um múltiplo de 2 b) um múltiplo de 5 e) divisível por 7 c) um número primo Entre −2 e 4, temos os números inteiros −1, 0, 1, 2 e 3. Os não-nulos são −1, 1, 2 e 3. Portanto: 4 números 5 .3 x−3 5 −3 . 0 x−3 −3 x 0 14 .0 x−3 55 (FGV-SP) Uma função quadrática f tem um gráfico cujo vértice é o ponto (3, −4). Sabe-se que 2 é uma raiz da função. a) Obtenha a expressão da função f. b) Para que valores de x tem-se f(x) . 0? { } 14 3 3 Portanto, 3 , x , } x sinal de −3x 0 14 x−3 14 . 3 Logo, o maior número inteiro que satisfaz a inequação é o 4. a) Do enunciado, pode-se concluir que o gráfico da função quadrática f é: y 58 2 (UCSal-BA) No universo ς, o conjunto solução de 2x − 1 < 0 é: 2 − 3x 3 x 0 X −4 (3, −4) Daí, tem-se que 4 é a outra raiz de f. Então: f(x) = a(x − 2)(x − 4) Como f(3) = −4, então a(3 − 2)(3 − 4) = −4 Ι a = 4 Logo, f(x) = 4(x − 2)(x − 4), ou seja, f(x) = 4x2 − 24x 0 32.   1 2 a)  −∃,  6  , 0∃  2 3   1 2  d)  ,  2 3    2  1 b)  −∃, −  6  , 0∃  3  2   e) %  2 1 c)  − ,   3 2 b) Do gráfico do item a, f(x) . 0 se x , 2 ou x . 4. Sendo 2x − 1 < 0, temos: 2 − 3x 1 2 − 0 0 0 0 − } 0 1 2 Matemática 60 2 3 } 2 3   2  1  S =  −∃, 6  , 0∃  2    3  M5 Função Polinomial 59 60 (Unilasalle-SP) No conjunto dos números reais (ς), x 0 2x − 3 < 3 é: x01 2 o conjunto solução da inequação x2 0 1 . Existe(m) valor(es) real(is) para x tal(is) x03 que f(x) seja maior que 1? Em caso afirmativo, determine o(s) possível(is) valor(es) de x para que isso ocorra. Caso contrário, justifique sua resposta. f(x) = a) {x 7 ς 兩 x < −2, −1 < x < 3} b) {x 7 ς 兩 −2 < x , −1, x > 3} X c) {x 7 ς 兩 x < −2, −1 , x < 3} d) {x 7 ς 兩 −2 < x < 3} { e) x 7 ς 兩 − 7 3 < x , −1, x > 2 2 (UEM-PR) Considere uma função real dada por Devemos ter: x2 0 1 .1 x03 } x2 0 1 −1. 0 x03 x 2 0 2x − 3 −3<0 x 01 x2 0 1 − x − 3 .0 x03 x 2 0 2x − 3 − 3x − 3 <0 x 01 x2 − x − 2 .0 x03 Raízes: x2 − x − 6 <0 x 01 xδ = 2 xφ = −1 x2 − x − 2 = 0 As raízes são: x 0 3 = 0 Θ x = −3 Logo: xδ = 3 xφ = −2 x2 − x − 6 = 0 x 0 1 = 0 Θ x = −1 Logo: −3 3 −2 0 − − − } 0 −2 −1 −1 − 0 0 0 } 0 0 0 − 0 − −1 − 0 0 0 − { −3 2 −1 −1 { 2 3 S = {x 7 ς 兩 −3 , x , −1 ou x . 2} S = {x 7 ς 兩 x < −2 ou −1 , x < 3} 61 Matemática M5 Função Polinomial 63 61 (Unifor-CE) No universo ς, o conjunto solução da x2 − 4 inequação < 0 é: x02 a) {x 7 ς\x , −2} b) {x 7 ς\x > 2} X c) {x 7 ς\x < 2 e x ϑ −2} d) {x 7 ς\x , −2 ou x > 2} e) {x 7 ς\−2 , x < 2} x2 − 4 = 0 Θ x = 2 ou x = −2 { } x0 } 2 0 − 0 − 0 0 } } −2 0 x1 Ι x < 2 e x ϑ −2 0 2 Para f(x) = g(x) , temos: −x 0 2 = x2 Θ x2 0 x − 2 = 0 Daí, temos: (UCSal-BA) No universo ς, o conjunto solução da 1 , 2 é: inequação x 0 x a) {x 7 ς\x . 1} X d) {x 7 ς\x , 0} b) {x 7 ς\0 , x , 1} e) {x 7 ς\x . 0} c) {x 7 ς\x , 1} x , −2 Θ f(x) , g(x), portanto 1 ,2 x 1 x0 −2,0 x 2 x 0 1 − 2x ,0 x x 2 − 2x 0 1 ,0 x x0 • x2 − 2x 0 1 = 0 Θ x = 1 •x=0 { { x 1 } 0 x Fazendo o quadro de sinais, temos: 0 1 0 0 0 − 0 0 } 0 0 S = {x 7 ς\x , 0} 0 1 Matemática x1 = 1 x2 = −2 f(x) ,1 g(x) f(x) ,1 x . 1 Θ f(x) , g(x), portanto g(x) f(x) .1 −2 , x , 1 Θ f(x) . g(x), portanto g(x) f(x) , 1 para: Portanto, teremos g(x) x 7 ς − [−2, 1] 62 { x Da análise do gráfico onde estão representadas as funções f(x) = −x 0 2 e g(x) = x2, pode-se concluir que o conjunf(x) , 1 é: to solução da inequação g(x) 01) ]−2, 1[ − {0} 02) ]−1, 2[ − {0} 03) ς − [−1, 1] 04) ς − [−1, 2] X 05) ς − [−2, 1] x −2 Fazendo o quadro de sinais, temos: −2 g f { x 2 y x 0 2 = 0 Θ x = −2 { −2 (Uneb-BA) 62 D T F O à D R T I F E C TER RCEIRÃOÃO FTD D M6 6 T F M E O R T I à E R I C E R TE TD TERC C E I RdÃerO de o n R F Ca E T O s e d à a Função Modular d R i I v i E At C O R à E D R T T I F E C O R T E1 ERCEIRà T 3 FTD Função Modular (UERJ) O volume de água em um tanque varia com o tempo de acordo com a seguinte equação: V = 10 − 4 − 2t − 2t − 6 , t 7 ς0 Nela, V é o volume medido, em m3, após t horas, contadas a partir de 8 h de uma manhã. Determine os horários inicial e final dessa manhã em que o volume permanece constante. Em questões como a 3, as alternativas verdadeiras devem ser marcadas na coluna I e as falsas, na coluna II. (Unicap-PE) Se x é um número real, representamos o valor absoluto de x por x . I – II 0 – 0 x = x2 1 – 1 x 0 1 = 2 Θ x = 1 ou x = −3 2 – 2 x , 4 Π x , −4 ou x . 4 3 – 3 x . 2 Π −2 , x , 2 4 – 4 Não existe x real tal que x . −3. Representando na reta numerada, temos: 4 − 2t = 0 Θ 2t = 4 Θ t = 2 2t − 6 = 0 Θ 2t = 6 Θ t = 3 0 2 2<t,3 3 t>3 x 00. Verdadeira Se: • 0 , t , 2 Θ V = 10 − (4 − 2t) 0 (2t − 6) = 10 − 4 0 2t 0 2t − 6 = 4t • 2 < t , 3 Θ V = 10 0 (4 − 2t) 0 (2t − 6) = 10 0 4 − 2t 0 2t − 6 = 8 • t > 3 Θ V = 10 0 (4 − 2t) − (2t − 6) = 10 0 4 − 2t − 2t 0 6 = −4t 0 20 Portanto, o volume é constante (V = 8 m3) no intervalo 2 , t , 3. Como as horas são contadas a partir de 8 h, temos: 2 0 8 , t , 3 0 8 Θ 10 , t , 11 Então, o volume permanece constante entre 10 h e 11 h. x 2 = x se x > 0 e x 2 = −x se x , 0, temos que 兩x兩 = x2 . 11. Verdadeira 兩x 0 1兩 = 2 x 0 1 = 2 Θ x = 1 ou x 0 1 = −2 Θ x = −3 22. Falsa 兩x兩 , 4 Θ −4 , x , 4 33. Falsa 兩x兩 . 2 Θ x , −2 ou x . 2 2 (UFSC) Sejam as funções f(x) = x − 1 e g(x) = (x2 0 4x − 4). a) Calcule as raízes de f[g(x)] = 0. b) Esboce o gráfico de f[g(x)], indicando os pontos em que o gráfico intercepta o eixo cartesiano. 2 2 a) f[g(x)] = (x 0 4x − 4) − 1 = x 0 4x − 5 f[g(x)] = 0 Θ x 2 0 4x − 5 = 0 Θ x 2 0 4x − 5 = 0 44. Falsa 兩x兩 . −3 Θ ? x 7 ς Portanto: xδ = −5 ou xφ = 1 I 0 1 2 3 4 II 0 1 2 3 4 Portanto, as raízes são −5 e 1. b) O gráfico de f[g(x)] é: f[g(x)] 9 (0, 5) (−5, 0) (1, 0) −2 x 0 −5 63 Matemática M6 4 Função Modular 6 (Unifesp-SP) Considere a função 123 f(x) = (UFV-MG) A soma das soluções reais da equação 兩x2 0 3x 0 2兩 − 兩6x兩 = 0 é igual a: a) 3 c) −3 d) 6 X b) −6 1, se 0 < x < 2 −2, se −2 < x , 0 A função g(x) = f(x) − 1 terá o seguinte gráfico: a) X y d) 兩x2 0 3x 0 2兩 − 兩6x兩 = 0 Θ 兩x2 0 3x 0 2兩 = 兩6x兩 Daí, vem: ou x2 0 3x 0 2 = −6x x2 0 3x 0 2 = 6x x2 0 9x 0 2 = 0 x2 − 3x 0 2 = 0 ∆ = 81 − 8 = 73 ∆ = 9−8 = 1 y 1 2 x= −2 −2 2 −1 b) 2 e) 2 2 xδ = 2 xφ = 1 x= −9 Σ 73 2  −9 0 73   −9 − 73  2 0 10   0  = 2 2 4 0 2 − 9 0 73 − 9 − 73 = = 2 −12 = = −6 2 y 1 −2 3Σ 1 3Σ1 = 2 2 Logo: x y 1 x −2 −2 c) x 2 x y 1 −2 123 f(x) = 2 1, se 0 < x < 2 −2, se −2 < x , 0 123 f(x) = x 7 (UESPI) A soma dos valores reais de x que satisfazem a igualdade 3 x 0 1 = x − 1 é igual a: 1, se 0 < x < 2 2, se −2 < x , 0 123 g(x) = f (x) − 1 = 0, se 0 < x < 2 1, se −2 < x , 0 X 1 −2 0 2 x Portanto: −2 − x2 − 8 − 4 = 0 Θ x2 − 8 = 4 • x2 − 8 = −4 x2 = 8 −4 x2 = 4 x = 2 ou x = −2 x = 2 3 ou x = −2 3 O produto das raízes é: 2 9 (−2 ) 9 ( 2 3 ) 9 (−2 3 ) = 48 Matemática 3 2 • 3(x 0 1) = −(x − 1) 3x 0 3 = −x 0 1 4x = −2 1 x =− 2 (Furg-RS) O produto de todas as raízes da equação x 2 − 8 − 4 = 0 é: a) 4 b) −4 c) −8 d) −48 X e) 48 x = 12 ou x = − 12 b) − Daí, vem: • 3(x 0 1) = (x − 1) 3x 0 3 = x − 1 2x = −4 x = −2 5 Daí, vem: • x2 − 8 = 4 x2 = 4 0 8 x2 = 12 5 2 c) −5 Devemos ter: 3(x 0 1) = (x − 1) ou 3(x 0 1) = −(x − 1) y Então, o gráfico da função g(x) será: a) − 64 −4 − 1 1 5 = =− 2 2 2 d) −3 e) −2 Função Modular 9 8 (FGV-SP) A e B são subconjuntos do conjunto dos números reais (ς), definidos por: A = {x 7 ς 兩 2x 0 1 = 兩x 0 1兩 − 兩x兩}; B = {x 7 ς 兩 2 < 兩兩x 0 1兩 − 2兩} Determine o intervalo real que representa A 5 B , sendo A e B os complementares de A e B, respectivamente, em relação a ς. x X 2 M6 (UFPI) A soma das raízes da equação 0 2 x − 15 = 0 é : a) 0 b) −2 c) −4 d) 6 e) 2 Fazendo x = y, vem: y1 = 3 y2 = −5 y2 0 2y − 15 = 0 Daí, vem: I. Seja o conjunto A = {x 7 ς 兩 2x 0 1 = 兩x 0 1兩 − 兩x兩}: x = 3 ou x = − 5 1o para x > 0, temos: 2x 0 1 = x 0 1 − x Θ x = 0, portanto V1 = {0}. x = 3 ou x = −3 2o para −1 < x < 0, temos: 2x 0 1 = x 0 1 − (−x) Θ ? x 7 ς, portanto V2 = {x 7 ς 兩 −1 < x < 0}. Ξx A soma das raízes é: −3 0 3 = 0 3o para x < −1, temos: 2x 0 1 = (−x − 1) − (−x) Θ x = −1, portanto V3 = {−1}. Dessa forma, o conjunto A = V1 6 V2 6 V3 = {x 7 ς 兩 −1 < x < 0} e A = {x 7 ς 兩 x , −1 ou x . 0}. II. Seja o conjunto B = {x 7 ς 兩 兩x 0 1兩 −2 兩 > 2}, então: 兩x 0 1兩 − 2 < −2 ou 兩x 0 1兩 −2 > 2 Θ Θ 兩x 0 1兩 < 0 ou 兩x 0 1兩 > 4 Θ x 0 1 = 0 x 0 1 < −4 ou x 0 1 > 4 Θ x = −1 ou x < −5 ou x > 3 10 (UFAC) Qualquer solução real da inequação x 0 1 , 3 tem uma propriedade geométrica interessante, que é: a) A sua distância a 1 é maior que 3. b) A sua distância a −1 é maior que 3. X c) A sua distância a −1 é menor que 3. d) A sua distância a 1 é menor que 3. e) A sua distância a 3 é menor que 1. ou Dessa forma, o conjunto B = {x 7 ς 兩 x = −1 ou x < −5 ou x > 3} e B = {x 7 ς 兩 −5 , x , 3 e x ϑ −1}. III. A intersecção A 5 B resulta: Devemos ter −3 , x 0 1 , 3. Logo: x 0 1 , 3 Θ x , 2 e x 0 1 . −3 Θ x . −4 Logo: −5 −1 0 3 x −4 −3 −2 −1 A 0 1 2 3 Qualquer solução real tem a distância a −1 menor que 3. B A∩B A 5 B = {x 7 ς 兩 −5 , x , −1 ou 0 , x , 3}. 11 (Faap-SP) A produção diária estimada x de uma refinaria é dada por x − 200 000 < 125 000, em que x é medida em barris de petróleo. Os níveis de produção máximo e mínimo são: a) 175 000 < x < 225 000 b) 75 000 < x < 125 000 X c) 75 000 < x < 325 000 d) 125 000 < x < 200 000 e) x < 125 000 ou x > 200 000 Devemos ter: x − 200 000 < 125 000 x − 200 000 < 125 000 1 ou x − 200 000 > −125 000 2 De 1 , vem: x − 200 000 < 125 000 Θ x < 325 000 De 2 , vem: x − 200 000 > −125 000 Θ x > 75 000 Portanto: 75 000 < x < 325 000. 65 Matemática M6 Função Modular (02) Correta g(x) = −x 0 1 Θ y = −x 0 1 x = −y 0 1 y = −x 0 1 g−1(x) = g(x) Em questões como a 12, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas. 12 (UFBA) Considere as funções reais f e g, tais que: f(x) = ax2 0 bx 0 c, a ϑ 0, tem apenas uma raiz real, seu gráfico tem por eixo de simetria a reta x = 1 e passa pelo ponto (2, 1). ■ g(x) = mx 0 n e g[f(x)] = −x2 0 2x Nessas condições, pode-se afirmar: (04) Incorreta f ( x ■ x 2 − 2 x 01= 0 y − 2y 0 1 = 0 Θ y =1 Logo: x = 1 Θ x = − 1 ou x = 1 A equação tem duas raízes distintas. (08) Incorreta f(x) − g(x) > 0 Θ x 2 − 2x 0 1 − − x 0 1 > 0 − x 0 1 < x 2 − 2x 0 1 Como x − 2x 0 1 > 0, para qualquer x real, temos: −x 0 1 < x2 − 2x 0 1 Θ x2 − x > 0 x1 = 0 Raízes: x2 − x = 0 Θ x(x − 1) = 0 x2 = 1 2 y (01) O gráfico da função h(x) = f(x) é )=0Θ 2 1 { 0 1 x } 0 (02) g (x) = g(x) (04) A equação f ( x ) = 0 tem 4 raízes distintas. (08) O conjunto solução da inequação f(x) − g(x) > 0 é ]−∃, 0] 6 [2, 0∃[. (16) A função r(x) = f[g(x)] é crescente para x < 0. −1 { (16) Incorreta r(x) r(x) r(x) r(x) Do enunciado, temos: x 1 Θ x < 0 ou x > 1 ]−∃, 0] 6 [1, ∃] = f[g(x)] Θ r(x) = f(−x 0 1) = (−x 0 1)2 − 2(−x 0 1) 0 1 = x2 − 2x 0 1 0 2x − 2 0 1 = x2 y f(x) = x2 O gráfico é: f(x) f(x) = ax2 0 bx 0 c 0 x Essa função é crescente para x > 0. 0 1442443 xV = − b b Θ 1= − Θ b = − 2a 2a 2a ∆ = 0 Θ b2 − 4ac = 0 Portanto: 1 0 2 = 3 x V 1 x=1 1 13 (Uneb-BA) O conjunto solução da inequação 6 − 3 x , 3 x − 1 é: 2 3 (2, 1) Θ 4a 0 2b 0 c = 1 a) % b) −∃, −1 De 1 e 2 , vem: (−2a)2 − 4ac = 0 Θ 4a2 − 4ac = 0 Θ 4a(a − c) = 0 Daí, 4a = 0 Θ a = 0 (não serve) a−c=0 Θ a=c 4 X c) Substituindo 1 e 4 em 3 , temos: 4a 0 2 9 (−2a) 0 c = 1 Θ c = 1 d) ]0, 0∃[ e) ς  3  , 0∃   2 Devemos ter: −3(x − 1) , 6 − 3x , 3(x −1) Logo, a = c Θ a = 1. De b = −2a, temos: b = −2 9 1 Θ b = −2 Portanto, f(x) = x2 − 2x 0 1. 2 Sendo g[f(x)] = −x2 0 2x, temos: g(x2 − 2x 0 1) = −x2 0 2x Θ m(x2 − 2x 0 1) 0 n = −x2 0 2x mx2 − 2mx 0 m 0 n = −x2 0 2x De 1 , vem: 6 − 3x , 3(x −1) 6 − 3x , 3x − 3 −6x , −9 9 x. 6 3 x. 2 Comparando os coeficientes, temos: 123 m = −1 m 0 n = 0 Θ −1 0 n = 0 Θ n = 1 Logo, g(x) = −x 0 1. (01) Correta h(x) = h(x) = f(x) Θ h(x) = ( x − 1) x 2 − 2x 0 1 De 2 , vem: 2 6 − 3x . −3(x − 1) 6 − 3x . −3x 0 3 6.3 +x7ς h(x) = x − 1 O gráfico é: 1 y Fazendo 1 5 2 , obtemos: 1 3   3 S =  x 7 ς\x .  ou S =  , 0∃  2 2   0 Matemática 1 2 x 66