Improving the Extended Finite Element Method in the Crack Problems via the Remeshing Process

Journal of Ferdowsi Civil Engineering, Vol.31, No.3, 2018. Improving the Extended Finite Element Method in the Crack Problems via the Remeshing Process K. Modabber1* H. Moslemi2 1-Introduction The challenging and complex nature of the numerical analysis of crack problems has attracted the interest of many researchers in the past decades and several techniques have been proposed for these problems. One of these techniques is the extended finite element method in which the crack tip field modeling is improved by the enrichment of shape functions, and the crack can intersect the elements. On the other hand, we have adaptive the finite element method which aims to improve the accuracy of displacement and stress fields near the crack tip by remeshing the process. Researchers have reported the drawbacks of the two techniques. In this paper, the drawbacks of the previous techniques are covered with proper combination of these two techniques. By this combination, the crack can pass through the elements and there is no need for crack tracking by mesh. In addition, the estimated error is limited to desirable bands, and the stress intensity factor can be computed numerically with an acceptable accuracy. 2- Combined adaptive and extended finite element method In the extended finite element method (XFEM), the displacement shape functions are enriched to the model of the discontinuities and cracks. Thus, there is no need to remesh the model in each step of the crack growth. These enrichment functions are categorized into two classes: the enrichment functions for elements that are intersected by crack and the function used for the element of the crack tip. In the crack problems, the discretization error is high in the crack tip region due to the stress singularity in this region. Thus, the evaluation of the stress intensity factor is of difficulty and is less concerned with the theoretical values. Therefore, the adaptive finite element method will reduce the solution via the mesh modification and find the critical regions which demand finer mesh. In this paper, a recovery based method is employed to recover the finite element solution and achieve more accurate results. In this approach, the error is estimated as the difference between the recovered values and finite element solutions. After the error estimation, an optimum mesh is generated according to the estimated error. In this mesh, the 1* elements with higher estimated error are refined and more course elements are generated in the regions with fewer errors. The stress intensity factor is employed to illustrate the intensity of the singular stresses near the crack tip. The interaction integral is one of the most accurate techniques for evaluation of the stress intensity factor. This method is an improved version of J-integral method which evaluates the J-integral with an auxiliary field which is simpler and more accurate. In this paper, the crack is modeled using XFEM and the crack passes through the elements. After commutating the stresses, the domain error is estimated. If the estimated error exceeds the error under discussion, the mesh is refined via adaptive mesh refinement and the problem is reanalyzed. Throughout these steps, the crack can pass through the elements. When the estimated error yields an acceptable value, the stress intensity factor will be calculated using the interaction integral method. With this combination, there is no need to track the crack path by elements and the stress intensity factor is evaluated on the base of more accurate stresses. In all of the analysis steps, the finite element mesh will remain unchanged and become independent from the crack path to benefit from XFEM. In case the mesh error exceeds the error in question, mesh will be regenerated. For example, it may demand only two steps of mesh refinement out of the ten steps of crack growth. The refined mesh does not conform to the crack path. 3- Numerical example In this section, a numerical example is investigated so as to illustrate the accuracy and efficiency of the proposed technique. This example is one of the classic fracture mechanics problems and its theoretical stress intensity factor is available. It is a tensile rectangular plate with an edge crack. In this example, the adaptive and extended finite elements are combined and it is shown that in two steps of crack growth, the estimated error exceeds the error under consideration and the mesh refinement is needed. The refined meshes in these two steps are shown in Fig. 1. The dense mesh near the crack tip of each step indicates that the proposed algorithm has properly detected the critical points of the problem and reaches a proper mesh. Corresponding Author, MSC Student, Structural Engineering, Shahed University. Tehran, Iran. Email: [email protected] 2 Assistant Professor, Civil Engineering, Shahed University, Tehran, Iran. K. Modabber - H. Moslemi Fig.1 Mesh refinement steps The variation of estimated error in different steps of the crack growth is shown in Fig. 2. It can be seen that in the steps where the error is beyond the error under consideration, the mesh refinement would reduce the error. The stress intensity factor is evaluated by the combined method and the results are given in Table 1 and are compared with theoretical values. Fig.2 Variation of the estimated error with crack length Table 1. Stress intensity factors in the edge crack problem Crack growth step 1 Estimated 2 10.51 3 4 4 KI Analytical KII Numerical 7.55 8.69 0.365 9.73 11.77 -0.54 13.69 13.28 16.25 - 0.24 16.74 18.21 22.99 1.06 10.02 20.36 22.99 0.52 5 12.95 30.73 33.238 1.68 6 17.55 9.20 32.58 47.90 48.60 48.60 6.11 -1.6 error 7.47 KI Numerical refined 6 refined 4- Conclusions According to the results obtained in this research, the following concluding remarks could be listed: 1. In the proposed method, the crack can be modeled, being independent of the structural mesh. 2. The fracture mechanics parameters were obtained more accurately with the proposed algorithm and the crack path is more coincident with the analytical results. 3. Adaptive mesh refinement is accomplished only in some steps where the estimated error exceeds the error under consideration. 4. The proposed algorithm automatically detects the critical regions of the problem and refines the mesh in such regions. 

‫نشریۀ مهندسی عمران فردوسی‬ ‫‪DOI: 10.22067/civil.v32i1.60546‬‬ ‫سال سی و یکم‪ ،‬شمارۀ سوم‪7931 ،‬‬ ‫بهبود روش اجزای محدود بسطیافته در آنالیز مسائل ترک با تولید مجدد شبکه‬ ‫کامران‬ ‫مدبر(‪)7‬‬ ‫حميد‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫مسلمی‬ ‫چکیده روش اجزای محدود بسطیافته یکی از تکنيکهای بسيار مؤثر برای مدلسازی مسائل دارای ترک میباشد‪ .‬در این روش باتوجه به‬ ‫استفاده از توابع غنیسازی برای مدلکردن ناپيوستگی ميدان جابهجایی‪ ،‬دیگر ترک بهصورت یک ماهيت هندسی مدل نمیشود و نيازی نمیباشد‬ ‫که شبکۀ اجزای محدود در هر مرحله مسير ترک را دنبال کند‪ .‬ولی مشکل اساسی در این روش عدم کنترل برروی ميزان خطای حل عددی‬ ‫میباشد‪ .‬به این منظور بهکمک روش توليد مجدد شبکۀ تطابقی‪ ،‬در مواردی که خطای حل بيش از حد قابل قبول است‪ ،‬شبکۀ اجزای محدود‬ ‫مجددا توليد میشود و مسئله با شبکۀ جدید حل میشود تا بتوان به دقت مطلوب دست یافت‪ .‬این توليد مجدد شبکه کامال مستقل از دنبال‬ ‫کردن مسير ترک میباشد و ممکن است در چند مرحله از رشد ترک‪ ،‬مسئله با یک شبکۀ یکسان حل شود‪ .‬الگوریتم ذکرشده باعث میشود که‬ ‫بدون مشکالت دنبال کردن مسير ترک‪ ،‬دقت حل نيز در حد مطلوبی باقی بماند‪ .‬پارامتر ضریب شدت تنش که نقش کليدی در تعيين مسير رشد‬ ‫ترک دارد‪ ،‬با کمک روش ترکيبی محاسبه شدهاست و بهبود قابل توجهی در دقت محاسبۀ عددی این پارامتر مشاهده شدهاست‪.‬‬ ‫واژههای كلیدی‬ ‫اجزای محدود بسطیافته‪ ،‬آناليز مسائل ترک‪ ،‬اجزای محدود تطابقی‪ ،‬توابع غنیسازی‪ ،‬اصالح مش‪.‬‬ ‫‪Improving the Extended Finite Element Method in the Crack Problems‬‬ ‫‪via the Remeshing Process‬‬ ‫‪H. Moslemi‬‬ ‫‪K. Modabber‬‬ ‫‪Abstract Challenging and complex nature of the numerical analysis of crack problems have attracted‬‬ ‫‪the interest of many researchers in past decades and several techniques have been proposed for these‬‬ ‫‪problems. One of these techniques is the extended finite element method in which the crack tip field‬‬ ‫‪modeling is improved by enrichment of shape functions and the crack can intersect the elements. On‬‬ ‫‪the other hand, we have adaptive finite element method which aims to improve the accuracy of‬‬ ‫‪displacement and stress fields near the crack tip by remeshing process. Researchers have reported the‬‬ ‫‪drawbacks of each of these two techniques. In this paper the drawbacks of the previous techniques are‬‬ ‫‪covered with proper combination of these two techniques. By this combination the crack can pass‬‬ ‫‪through the elements and there is no need for crack tracking by mesh. In addition the estimated error is‬‬ ‫‪limited to desirable bands and stress intensity factor can be computed numerically with acceptable‬‬ ‫‪accuracy.‬‬ ‫;‪Keywords Extended Finite Element Method; Crack Problems; Adaptive Finite Element Method‬‬ ‫‪Enrichment functions, Remeshing.‬‬ ‫‪‬تاریخ دریافت مقاله‪ 35/3/5‬تاریخ پذیرش آن ‪ 39/4/71‬میباشد‪.‬‬ ‫(‪ )7‬کارشناس ارشد سازه‪ ،‬مهندسی عمران‪ ،‬دانشگاه شاهد‪ ،‬تهران‪.‬‬ ‫(‪)2‬نویسنده مسئول‪ :‬استادیار‪ ،‬گروه مهندسی عمران‪ ،‬دانشکدۀ فنی مهندسی‪ ،‬دانشگاه شاهد‪ ،‬تهران‪.‬‬ ‫‪Email: [email protected]‬‬ ‫‪06‬‬ ‫بهبود روش اجزای محدود بسطیافته در‬ ‫مقدمه‬ ‫حل مسائل ترک بهدليل وجود ناپيوستگی در ميدان‬ ‫جابهجایی و تکين بودن ميدان تنش در نوک ترک همواره‬ ‫جزو مسائل چالشبرانگيز در رشتههای مختلف مهندسی‬ ‫بودهاست‪ .‬بهخصوص در استفاده از روشهای عددی‪،‬‬ ‫روشهایی که در مسائل بدون ترک بهخوبی جواب مسئله‬ ‫را مدل میکنند‪ ،‬در مسائل دارای ترک جوابهای واگرا‬ ‫و کامال دور از جواب تحليلی مسئله را میدهند‪ .‬بنابراین‬ ‫برای بهبود روشهای عددی در تحليل مسائل ترک‬ ‫تکنيکهای مختلفی توسط محققان مختلف پيشنهاد‬ ‫آناليز‪..‬‬ ‫مشبندی در دو روش اجزای محدود معمولی و بسطیافته‬ ‫را به تصویر میکشد]‪.[3‬‬ ‫برای مدلسازی ناپيوستگی در ميدان جابهجایی ترک از‬ ‫افزودن جمالتی به تابع جابهجایی در روش اجزای‬ ‫محدود کالسيک استفاده میشود‪ .‬این جمالت توابع‬ ‫غنیسازی نام دارند‪ .‬توابع غنیسازی مورداستفاده در‬ ‫روش اجزای محدود بسطیافته به دو دسته تقسيم‬ ‫میشوند‪ .‬دستۀ اول توابع برای مدلسازی المانهایی‬ ‫میباشد که ترک از آنها عبور کردهاست و دستۀ دوم برای‬ ‫المانهایی میباشد که نوک ترک در آنها واقع شدهاست‪.‬‬ ‫گشتهاست‪ .‬یکی از این تکنيکها روش اجزای محدود‬ ‫بسطیافته میباشد که ایدۀ اصلی این روش برمبنای اصل‬ ‫تقسيمبندی جزء واحد است که توسط بابوشکا و ملنک‬ ‫ارائه گردید]‪.[1‬‬ ‫بهموازات این روش‪ ،‬تکنيک اجزای محدود‬ ‫تطابقی یا همان روش اصالح مش برای مدلسازی دقيق‬ ‫رفتار مسائل دارای ترک مورداستفاده قرار گرفتهاست‪ .‬این‬ ‫روش نيز سعی دارد با ارائۀ اصالح شبکه‪ ،‬خطاهای ایجاد‬ ‫شده را که تحت تأثير نحوۀ شبکهبندی میباشند کاهش‬ ‫دهد‪.‬‬ ‫شکل ‪ 7‬تطبيق و عدم تطبيق مشبندی در دو روش اجزای‬ ‫روش اجزای محدود بسطیافته یکی از تکنيکهای‬ ‫محدود کالسيک و بسطیافته‬ ‫موفق درزمينۀ آناليز مسائل ترک میباشد‪ .‬مهمترین مزیتی‬ ‫که این روش نسبت به روش اجزای محدود معمولی دارد‬ ‫این است که دیگر نيازی به مشبندی مجدد در مسئله به‬ ‫هنگام رشد ترک نيست‪ .‬در مسائلی که بااستفاده از روش‬ ‫اجزای محدود معمولی آناليز میشوند در هر مرحله از‬ ‫رشد ترک هندسۀ مسئله کامال تغيير مییابد چرا که‬ ‫بایستی خود ترک در این مسائل مستقيما مدل گردد و‬ ‫همين موضوع باعث برهم خوردن هندسۀ مسئله درزمانی‬ ‫میشود که ترک رشد میکند ]‪.[2‬‬ ‫اما در روش اجزای محدود بسطیافته با تغيير توابع‬ ‫شکل و افزودن جمالتی به معادلۀ جابهجایی‪ ،‬ترک یا‬ ‫ناپيوستگی مدل میشود و نيازی به مشبندی مجدد در‬ ‫هر مرحله از رشد ترک وجود ندارد‪ .‬شکل (‪ )7‬تفاوت‬ ‫نشریۀ مهندسی عمران فردوسی‬ ‫بليچکو ]‪ [4‬برای ترک االستيک و برای مسائل ایزوتروپ‬ ‫رابطۀ (‪ )7‬را بهعنوان رابطۀ نهایی برای غنیسازی معرفی‬ ‫کردهاست‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)7‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ N (x)H(x)a‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪iNcut‬‬ ‫‪(x)b i,‬‬ ‫‪U   Ni (x)U i ‬‬ ‫‪iN‬‬ ‫‪  N (x)B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪iNfront ‬‬ ‫در روابط فوق ‪ N‬مجموعۀ نقاط موجود در روش‬ ‫اجزای محدود استاندارد میباشد‪ Ncut .‬مجموعۀ نقاطی‬ ‫هستند که ترک از المانهای آنها عبور کردهاست و‬ ‫دراصطالح آنها را بریدهاست‪ .‬این نقاط در شکل (‪ )2‬با‬ ‫دایره مشخص شدهاست‪ Nfront .‬مجموعۀ نقاطی است که‬ ‫سال سی و یکم‪ ،‬شمارۀ سوم‪7931 ،‬‬ ‫کامران مدبر ‪ -‬حميد مسلمی‬ ‫‪16‬‬ ‫نوک ترک در المانهای آنها قرار گرفتهاست این نقاط نيز‬ ‫در شکل (‪ )2‬با عالمت مربع مشخص گردیدهاست]‪.[3‬‬ ‫همچنين در رابطۀ (‪ Ni )7‬توابع شکل استاندارد در‬ ‫روش اجزای معمولی استاندارد میباشد‪ H .‬نيز تابع پرش‬ ‫هویساید میباشد‪ .‬تابع هویساید در نقاط باالی ترک‬ ‫مقدار ‪ +7‬و در نقاط پایين ترک مقدار ‪ -7‬را به خود‬ ‫میگيرد‪ .‬تابع ‪ Bα‬نيز از حل تحليلی االستيک نوک ترک‬ ‫نشئت گرفتهاست و بهصورت زیر بيان میگردد‪:‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪[Bα ] = [ rsin , rcos , rsin sinθ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫]‪rcos sinθ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫شکل ‪ 9‬زیرالمان مثلثی منطقۀ ترک‬ ‫البته در المانهایی که منطقۀ المانهای معمول را به‬ ‫المانهای غنیشده مرتبط میسازند و به آنها المانهای‬ ‫مخلوط (‪ )Blending Elements‬گفته میشود‪ ،‬مشکالتی‬ ‫در همگرایی جوابها مشاهده میشود که این مشکالت‬ ‫را میتوان با اصالح توابع غنیسازی کاهش داد‪ .‬به‬ ‫اینصورت که توابع غنیسازی در المانهای استاندارد‬ ‫صفر میشوند‪ ،‬در المانهایی که همۀ گرههای آنها‬ ‫غنیسازی میشوند‪ ،‬بدون تغيير میمانند و در المانهای‬ ‫مخلوط بهصورت پيوسته تغيير میکنند‪.‬‬ ‫روش اجزای محدود تطابقی‬ ‫شکل ‪ 2‬نقاط تحت تأثير توابع عادی غنیسازی و‬ ‫توابع نوک ترک‬ ‫بهدليل وجود ناپيوستگی توابع هویساید که در‬ ‫ماتریس شکل ایجاد میگردند‪ ،‬انتگرالگيری بهروشهای‬ ‫عادی‪ ،‬نظير استفاده از روش گاوس کارساز نيست و دقت‬ ‫الزم در انتگرالگيری وجود ندارد‪ .‬در این خصوص‬ ‫روشهای متعددی پيشنهاد شدهاست که یکی از آنها‬ ‫روش پيشنهادی دالبو میباشد‪ .‬در این روش المانی که از‬ ‫آن ترک عبور کردهاست به زیر المانهای مثلثی تقسيم‬ ‫میشود و انتگرالگيری براساس این زیرالمانها محاسبه‬ ‫میگردد‪ .‬شکل (‪ )9‬نمونهای از تقسيمبندی این‬ ‫زیرالمانها را بهتصویر میکشد]‪.[5‬‬ ‫روش اجزای محدود تطابقی بهعنوان یک تکنيک موفق‬ ‫در آناليز مسائل ترک به کار میرود‪ .‬اساس کار این روش‬ ‫اصالح مش و معرفی مشبندی مناسب براساس شرایط‬ ‫و نوع مسئله میباشد‪ .‬اصوال در مسائلی که ترک وجود‬ ‫دارد بهدليل تمرکز باالی تنش در اطراف نوک ترک خطا‬ ‫در آن محدوده زیاد میباشد و لذا پاسخ مسئله بهخصوص‬ ‫فاکتور شدت تنش خطای نسبتا باالیی خواهد داشت و با‬ ‫مقدار تحليلی خود فاصله دارد‪ .‬بر همين اساس روش‬ ‫اجزای محدود تطابقی با اصالح مش و یافتن نقاط‬ ‫حساس مسئله که نياز به ریزسازی بيشتر دارند‪ ،‬مقدار‬ ‫خطای مسئله را کاهش میدهد و درنتيجه جوابها به‬ ‫مقدار تحليلی آن نزدیکتر میگردد‪ .‬معموال از دو نوع‬ ‫رویکرد برای اصالح مش در روش اجزای محدود تطابقی‬ ‫استفاده میشود‪ -7 :‬روشهای مبتنی بر باقیماندهها‬ ‫سال سی و یکم‪ ،‬شمارۀ سوم‪7931 ،‬‬ ‫نشریۀ مهندسی عمران فردوسی‬ ‫‪06‬‬ ‫بهبود روش اجزای محدود بسطیافته در‬ ‫آناليز‪..‬‬ ‫(‪ )Residual Based Methods‬و ‪ -2‬روشهای مبتنی بر‬ ‫جواب قابل قبول باشد‪ .‬ازاینرو بهجای خطای‬ ‫روشهای مبتنی بر باقیماندهها که درابتدا توسط بابوشکا‬ ‫عددی از تابع خطا روی دامنه است‪ .‬یکی از معروفترین‬ ‫محدود در معادالت حاکم بر سيستم قرار داده میشود و‬ ‫میگردد‪.‬‬ ‫بهبود جوابها (‪ .)Recovery Based Methods‬در‬ ‫و رینبولت ارائه گردید]‪ ،[6‬نتایج حل بهروش اجزای‬ ‫خطا بهصورت نرم انرژی و با محاسبۀ باقیماندههای‬ ‫محلی این معادالت برروی مجموعهای از المانها‬ ‫(‪ )patch‬محاسبه میشود‪ .‬از سوی دیگر در روشهای‬ ‫مبتنی بر بهبود جواب که نخستين بار توسط زینکوویچ‬ ‫نقطهبهنقطه نرم خطا تعریف میشود که بهصورت انتگرال‬ ‫نرمهای خطا‪ ،‬نرم ‪ L2‬میباشد که بهصورت زیر تعریف‬ ‫در این مقاله از این نوع رویکرد برای اصالح مش استفاده‬ ‫شدهاست‪.‬‬ ‫در این روش برای ارزیابی خطا‪ ،‬بایستی از ميزان‬ ‫اختالفی که بين جوابهای بهبودیافته و جوابهای قبلی‬ ‫وجود دارد استفاده میگردد‪ .‬برای این کار ابتدا مسئله را‬ ‫با همان مشبندی اوليه آناليز میکنيم‪ .‬برای بهبود‬ ‫جوابها کافيست بااستفاده از روابط توابع شکلی جواب‬ ‫بهبود یافته را محاسبه نمایيم‪ .‬این رابطه بهصورت زیر بيان‬ ‫خواهد شد]‪.[8‬‬ ‫(‪)9‬‬ ‫‪σ  Nσ‬‬ ‫‪ T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e    e ed  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)5‬‬ ‫به این ترتيب نرم تابع خطای تنش برابر خواهد بود با‪:‬‬ ‫(‪)9‬‬ ‫و ژو ارائه گردید‪ ،‬از یک فرایند بازیابی اطالعات استفاده‬ ‫میشود تا مقادیر دقيقتری برای متغيرها بهدست آید]‪.[7‬‬ ‫‪1/2‬‬ ‫‪1/2‬‬ ‫*‬ ‫ˆ * ‪* ˆ T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪eσ = σ - σˆ =   (σ - σ‬‬ ‫‪(σ - σ)dΩ ‬‬ ‫‪Ω‬‬ ‫‪‬‬ ‫پس از تخمين خطای مسئله میتوان یک شبکۀ بهينه‬ ‫برمبنای خطای برآوردشده ایجاد نمود‪ .‬بدین ترتيب که‬ ‫در نقاط با خطای باالتر المانهای ریزتر و در مناطق با‬ ‫خطای پایين از المانهای درشتتر استفاده نمود‪ .‬با‬ ‫تعریف یک خطای هدف مطلوب‬ ‫‪aim‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫میتوان‬ ‫تراکم المانهای متصل به گرههای مختلف را تعيين نمود‬ ‫و شبکۀ جدید را تعيين نمود‪.‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫‪  eσ i aim ‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪  h i old‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪σ i‬‬ ‫=‬ ‫‪new‬‬ ‫‪h ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫*‬ ‫*‬ ‫*‬ ‫که * ‪ ‬تنش بهبودیافته‪ ،‬تابع ‪ N‬شکل و ‪ ‬مقادیر‬ ‫تنش در گرهها میباشد‪.‬‬ ‫از آنجاییکه جوابهای بهبود یافته دارای تقریب‬ ‫مناسبتری نسبت به جوابهای واقعی مسئله میباشد‪ ،‬لذا‬ ‫می توان از اختالف دو جواب بهعنوان خطای تقریب‬ ‫مسئله استفاده نمود‪.‬‬ ‫(‪) 4‬‬ ‫*‬ ‫ˆ‪e  σ  σ‬‬ ‫̂‪ σ‬جواب روش اجزای محدود در گرهها میباشد‪.‬‬ ‫تعریف فوق مقدار خطای برآوردشده را در تکتک نقاط‬ ‫دامنه میدهد‪ ،‬ولی برای ریزسازی شبکه معيار مناسبی‬ ‫نمیباشد‪ ،‬چرا که ممکن است در یک نقطۀ خاص مثل‬ ‫نوک ترک تنش بهسمت بینهایت برود که خطا در این‬ ‫نقطه بسيار باال خواهد بود‪ ،‬ولی درمجموع خطای کل‬ ‫نشریۀ مهندسی عمران فردوسی‬ ‫برآورد فاکتور شدت تنش با ترکیب روش اجزای‬ ‫محدود بسطیافته و تطابقی‬ ‫پارامتر فاکتور شدت برای بيان ميزان تمرکز تنش در‬ ‫اطراف نوک ترک بهکار میرود و نقش تعيينکنندهای در‬ ‫مسير رشد ترک دارد‪ .‬مفهوم فاکتور شدت تنش برای‬ ‫اولينبار توسط اروین در سال ‪ 7351‬برای سنجش مقدار‬ ‫تکينگی استفاده شد]‪ .[9‬برای محاسبۀ فاکتور شدت تنش‬ ‫بهصورت تحليلی بایستی از روابط االستيک موجود‬ ‫استفاده نمود که تنها برای الگوها و مسائل خاص حل‬ ‫شدهاست و در سایر مسائل عموما از روشهای عددی‬ ‫برای برآورد ضریب شدت تنش استفاده میشود‪ .‬از‬ ‫روشهای متداول عددی برای برآورد این ضریب میتوان‬ ‫بهروش همبستگی تغييرمکانها ( ‪Displacment‬‬ ‫سال سی و یکم‪ ،‬شمارۀ سوم‪7931 ،‬‬ ‫کامران مدبر ‪ -‬حميد مسلمی‬ ‫‪16‬‬ ‫‪ ،)Correlation Method‬روش گسترش ترک مجازی‬ ‫(‪ ،)Virtual crack extension method‬روش انتگرال‬ ‫بستۀ ترک اصالحشده (‪Modified crack closure‬‬ ‫‪ ،)integral‬روش ‪-J‬انتگرال‪ ،‬روش انتگرال متقابل‬ ‫(‪ )Interaction integral method‬اشاره داشت]‪ .[2‬در این‬ ‫مقاله از روش انتگرال متقابل برای برآورد ضریب شدت‬ ‫تنش استفاده شدهاست‪.‬‬ ‫روش انتگرال متقابل یکی از دقيقترین روشها‬ ‫برای محاسبۀ فاکتور شدت تنش میباشد‪ .‬این روش‬ ‫بهنوعی روش ‪ J‬انتگرال را ارتقا میدهد و بااستفاده از یک‬ ‫ميدان کمکی میتواند پارامتر ‪ J‬را بهدقت و بهسادگی‬ ‫محاسبه نماید‪.‬‬ ‫انتگرال اندرکنش متقابل ‪ M‬برای اجسام االستيک‬ ‫توسط پائولينو در سال ‪ 2004‬ارائه گردید]‪ .[10‬مزیتی که‬ ‫این روش نسبت به سایر روشها دارد این است که‬ ‫همزمان و با یک انتگرالگيری پارامتر فاکتور شدت تنش‬ ‫در هر دو مود محاسبه میگردد‪ .‬در این روش بایستی یک‬ ‫فضای کمکی متأثر از تنش و کرنش در مسئله تعریف‬ ‫نمود‪ .‬این فضای کمکی بهنحوی در مسئله تعيين میگردد‬ ‫که معادالت تعادل و شرایط مرزی بدون نيرو برروی‬ ‫سطح ترک در منطقۀ *‪ A‬را ارضا نماید‪ A* .‬مساحت‬ ‫معادلی است که در آن انتگرال گرفته میشود‪ .‬در این‬ ‫روش انتگرال ‪ J‬از ترکيب انتگرال مسئلۀ اصلی و مسئلۀ‬ ‫کمکی و انتگرال اندرکنش بهدست میآید‪:‬‬ ‫‪J = J + J aux + M‬‬ ‫(‪)8‬‬ ‫‪act‬‬ ‫جمالت ‪ J act‬و ‪ J aux‬مربوط به وضعيت واقعی و کمکی‬ ‫است و ‪ M‬نيز انتگرال متقابل میباشد که مقدار آن برابر‬ ‫‪aux‬‬ ‫‪aux‬‬ ‫) ‪(K I K I + K II K II‬‬ ‫(‪)70‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪E‬‬ ‫=‪M‬‬ ‫‪ K aux‬قرار میگيرد و برای‬ ‫‪ K aux‬و‬ ‫برای مد ‪=1 ،I‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪II = 0‬‬ ‫‪ K aux‬قرار میگيرد؛ بنابراین‪:‬‬ ‫‪ K aux‬و‬ ‫مد‪= 0 ، II‬‬ ‫‪II = 1‬‬ ‫‪I‬‬ ‫(‪)77‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪E‬‬ ‫=‪K‬‬ ‫‪2‬‬ ‫بهجای ‪ E‬برای حالت کرنش مسطح از‬ ‫) ‪(1- ν 2‬‬ ‫‪E‬‬ ‫و‬ ‫برای تنش مسطح نيز از ‪ E‬استفاده میشود‪.‬‬ ‫در این برآورد مدلسازی ترک با روش اجزای‬ ‫محدود بسطیافته صورت میگيرد و هندسۀ ترک از ميان‬ ‫المانها عبور میکند‪ .‬پس از برآورد تنشها و پيش از‬ ‫محاسبۀ ضریب شدت تنش‪ ،‬خطای دامنه بهروش اجزای‬ ‫محدود تطابقی تخمين زده میشود و درصورتیکه خطای‬ ‫دامنه بيش از محدوده قابلقبول باشد‪ ،‬شبکه با روش‬ ‫ارائهشده در بند (‪ )2‬مجدد توليد میشود و آناليز شبکه‬ ‫مجدد انجام میگيرد‪ .‬در تمامی این مراحل مسير ترک‬ ‫میتواند از بين المانها عبور نماید‪ .‬زمانیکه خطای‬ ‫تخمين زدهشده در حد قابل قبول رسيد‪ ،‬میتوان بااستفاده‬ ‫از روش انتگرال متقابل‪ ،‬ضریب شدت تنش را محاسبه‬ ‫نمود‪ .‬با این ترکيب دیگر نيازی به دنبال کردن مسير ترک‬ ‫توسط المانها نيست و همچنين برآورد ضریب شدت‬ ‫تنش برمبنای تنشهای با دقت قابل قبول انجام میگيرد‪.‬‬ ‫در تمامی مراحل آناليز‪ ،‬شبکۀ اجزای محدود بدون‬ ‫توجه به مسير ترک بدون تغيير باقی میماند تا بتوان از‬ ‫مزایای روش اجزای محدود بسطیافته استفاده نمود‪ .‬تا‬ ‫زمانیکه خطای شبکه از حد قابلقبول بيشتر شود و توليد‬ ‫مجدد شبکه انجام گيرد‪ .‬بهاینترتيب ممکن است در ده‬ ‫است با‪:‬‬ ‫مرحله رشد ترک نياز به دو مرحله توليد مجدد شبکه‬ ‫‪aux‬‬ ‫‪¶q‬‬ ‫‪aux ¶u i‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M = A* [σij i‬‬ ‫‪+σ‬‬ ‫] ‪- W δ1j‬‬ ‫‪dΓ‬‬ ‫‪ij ¶x‬‬ ‫‪¶x1‬‬ ‫‪¶x j‬‬ ‫‪1‬‬ ‫گردد‪ .‬شبکۀ توليدی جدید بدون نياز به تطابق با مسير‬ ‫‪¶u‬‬ ‫(‪) 3‬‬ ‫برای ارتباط انتگرال اندرکنش و ضریب شدت تنش‬ ‫از تعریف ضریب زیر استفاده میشود]‪.[10‬‬ ‫سال سی و یکم‪ ،‬شمارۀ سوم‪7931 ،‬‬ ‫ترک توليد میشود‪.‬‬ ‫مدلسازی عددی‬ ‫در این بخش برای بيان صحت و کارایی تکنيک‬ ‫نشریۀ مهندسی عمران فردوسی‬ ‫‪06‬‬ ‫بهبود روش اجزای محدود بسطیافته در‬ ‫معرفیشده دو مثال عددی مورد بررسی قرار گرفتهاند‪.‬‬ ‫این دو مثال از مسائل کالسيک مکانيک شکست هستند‬ ‫و ضرایب شدت تنش آن بهصورت تحليلی نيز موجود‬ ‫میباشد‪ .‬برای آناليز اجزای محدود از المان چهارگوش‬ ‫چهارگرهی استفاده شدهاست و انتگرالگيری اصالح شده‬ ‫با چهار نقطۀ گاوس صورت گرفتهاست‪ .‬فرایند اصالح‬ ‫مش نيز براساس معيار ارائهشده در بند ‪ 2‬صورت‬ ‫گرفتهاست‪ .‬همچنين خطای هدف در هر دو مسئله برابر‬ ‫‪ 75‬درصد درنظر گرفته شدهاست‪ .‬مثال نخست‪ ،‬مسئلۀ‬ ‫ترک لبهای تحت کشش و مثال دوم‪ ،‬ترک ميانی ‪ 45‬درجه‬ ‫تحت کشش در نظر گرفته شدهاست‪ .‬در مثال اول تنها‬ ‫مود اول فعال شدهاست اما مثال دوم مسئلۀ ترکيب مودها‬ ‫میباشد و کارایی این تکنيک را در زمان فعال شدن هر‬ ‫آناليز‪..‬‬ ‫برای نشان دادن کارایی تکنيک ارائهشده مسئله یک مرتبه‬ ‫تنها با روش اجزای محدود بسطیافته و بدون ترکيب با‬ ‫روش تطابقی انجام شدهاست و بار دوم در ترکيب دو‬ ‫روش صورت پذیرفتهاست‪ .‬شبکۀ اوليهای که برای آناليز‬ ‫اجزای محدود بسطیافته استفاده شدهاست‪ ،‬در شکل (‪)5‬‬ ‫نشان داده شدهاست‪ .‬در این شکل مشخص است که ترک‬ ‫از بين المانها عبور کردهاست‪.‬‬ ‫دو مود شکست نشان میدهد‪.‬‬ ‫ورق مستطیلی با ترک لبهای‬ ‫در این مثال یک ورق مستطيلی بهطول‬ ‫‪2h = 100cm‬‬ ‫شکل ‪ 5‬شبکۀ اجزای محدود بسطیافتۀ اوليه‬ ‫‪b = 25cm‬‬ ‫و ارتفاع‬ ‫مدلسازی شدهاست که دارای یک ترک‬ ‫لبهای بهطول اوليۀ‬ ‫‪a = 8Cm‬‬ ‫میباشد (شکل ‪ .)4‬نمونۀ‬ ‫موردنظر از دو طرف با تنش یکنواخت‬ ‫‪2‬‬ ‫‪cm‬‬ ‫‪kg‬‬ ‫‪σ =1‬‬ ‫کشيده میشود‪ .‬برای رشد ترک نيز در هر مرحله یک گام‬ ‫رشد ترک بهطول‬ ‫درنظر گرفته شدهاست‪.‬‬ ‫‪2cm‬‬ ‫پارامترهای مکانيکی نظير مدول االستيسيته و ضریب‬ ‫پواسون‪ ،‬بهترتيب برابر‬ ‫میباشند‪.‬‬ ‫‪kg‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪E = 1000‬‬ ‫‪cm‬‬ ‫و ‪  0.3‬‬ ‫معياری که برای رشد ترک در هر دو فاز درنظر‬ ‫گرفته شدهاست براساس معيار حداکثر تنش محيطی‬ ‫میباشد که در آن زاویۀ انحراف ترک برمبنای ضریب‬ ‫شدت تنش دو مود شکست بهصورت زیر محاسبه‬ ‫میشود]‪.[11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪)72‬‬ ‫‪ θ  1 KI 1  KI ‬‬ ‫‪±‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ +8‬‬ ‫=‪‬‬ ‫‪ 2  4 K II 4  K II ‬‬ ‫‪tan ‬‬ ‫تخمين خطا در هر مرحله از رشد ترک صورت‬ ‫گرفتهاست ولی اصالح شبکهای انجام نشدهاست و‬ ‫درنتيجه با رشد ترک ميزان خطا افزایش یافته و از مقدار‬ ‫خطای هدف ‪ 75‬درصد نيز فراتر رفتهاست که نمودار‬ ‫تغييرات آن در شکل (‪ )9‬آورده شدهاست‪ .‬علت این امر‬ ‫حرکت نقاط حساس مسئله (منطقۀ اطراف ترک) با رشد‬ ‫ترک میباشد‪ .‬چون منطقۀ ریزشدۀ قبلی دیگر با نقاط‬ ‫شکل ‪ 4‬ورق مستطيلی با ترک لبهای‬ ‫نشریۀ مهندسی عمران فردوسی‬ ‫حساس جدید مسئله منطبق نيستند خطای حل شروع به‬ ‫افزایش مینماید که با اصالح مجدد شبکه این مسئله‬ ‫سال سی و یکم‪ ،‬شمارۀ سوم‪7931 ،‬‬ ‫کامران مدبر ‪ -‬حميد مسلمی‬ ‫‪16‬‬ ‫برطرف میشود‪.‬‬ ‫در هر مرحله از رشد ترک مقدار ضریب شدت تنش‬ ‫بااستفاده از روش انتگرال متقابل محاسبه شده و در‬ ‫جدول (‪ )7‬آورده شدهاست‪ .‬همچنين این مقدار با مقدار‬ ‫تحليلی این مود که از رابطۀ زیر بهدست‬ ‫مقایسه شدهاست‪.‬‬ ‫میآید]‪[11‬‬ ‫‪K I = ασ πa‬‬ ‫(‪)79‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪α = 1.12 - 0.23   +10.6   - 21.7   + 30.4   ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ b  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫بدیهی است که در این مسئله مود دوم فعال نشدهاست و‬ ‫شکل ‪ 9‬تغييرات خطا با رشد ترک بدون اصالح شبکه‬ ‫ضریب شدت تنش آن صفر است‪.‬‬ ‫جدول ‪ 7‬مقادیر ضرایب شدت تنش بدون ترکيب روشها‬ ‫مرحله‬ ‫درصد خطا‬ ‫‪ KI‬تحليلی‬ ‫‪ KI‬عددی‬ ‫‪ KII‬عددی‬ ‫مختصات نوک ترک‬ ‫اول‬ ‫‪17412‬‬ ‫‪879379‬‬ ‫‪1755‬‬ ‫‪079959‬‬ ‫(‪43730‬و ‪)3733‬‬ ‫دوم‬ ‫‪70757‬‬ ‫‪777118‬‬ ‫‪3719‬‬ ‫‪-075480‬‬ ‫(‪43739‬و‪)77733‬‬ ‫سوم‬ ‫‪79793‬‬ ‫‪797251‬‬ ‫‪79728‬‬ ‫‪-072425‬‬ ‫(‪50704‬و‪)79738‬‬ ‫چهارم‬ ‫‪79714‬‬ ‫‪227383‬‬ ‫‪78720‬‬ ‫‪770943‬‬ ‫(‪43737‬و‪)75738‬‬ ‫پنجم‬ ‫‪27791‬‬ ‫‪997273‬‬ ‫‪90720‬‬ ‫‪479989‬‬ ‫(‪43727‬و‪)71785‬‬ ‫ششم‬ ‫‪29752‬‬ ‫‪417993‬‬ ‫‪92799‬‬ ‫‪-977385‬‬ ‫(‪48788‬و‪)73782‬‬ ‫شکل ‪ 1‬شبکۀ اصالحشده در طول رشد ترک‬ ‫سال سی و یکم‪ ،‬شمارۀ سوم‪7931 ،‬‬ ‫نشریۀ مهندسی عمران فردوسی‬ ‫‪00‬‬ ‫بهبود روش اجزای محدود بسط‬ ‫حال در مرحلۀ دوم ترکيب روشهای اجزای‬ ‫یافته در آناليز‪..‬‬ ‫با مقایسۀ مقادیر جداول )‪ 7‬و ‪ (2‬واضح است که‬ ‫محدود بسطیافته و تطابقی انجام گرفت و مالحظه گردید‬ ‫استفاده از روش ترکيبی بهمقدار قابلتوجهی خطای‬ ‫فراتر رفت و نياز به اصالح شبکه وجود دارد‪ .‬شبکۀ‬ ‫رشد ترک را با دقت باالتری پيدا میکند‪.‬‬ ‫که در دو مرحله از رشد ترک‪ ،‬خطا از حد مجاز ‪ 75‬درصد‬ ‫اصالحشده در این دو مرحله در شکل )‪ (1‬نشان داده‬ ‫شدهاست که تراکم المانها در نوک ترک هرمرحله‪ ،‬نشان‬ ‫میدهد روش تطابقی بهخوبی نقاط حساس مسئله را‬ ‫یافته و شبکۀ مناسبی توليد کردهاست‪.‬‬ ‫محاسبه ضرایب شدت تنش را کاهش میدهد و مسير‬ ‫الزم به ذکر است باتوجه به آناليز خطی مسئله‪،‬‬ ‫آناليز مجدد روی تمامی شبکهها انجام گرفتهاست و‬ ‫نيازی به فرایند انتقال اطالعات نمیباشد‪.‬‬ ‫ورق مربعی با ترک مورب‬ ‫ميزان تغييرات خطا در مراحل مختلف رشد ترک‬ ‫در شکل )‪ (8‬آورده شدهاست که مالحظه میشود در‬ ‫مدلسازی دوم عددی مورد بررسی ترک مورب ‪45‬درجه‬ ‫منجر به افت خطا شدهاست‪ .‬حال با روش ترکيبی مجددا‬ ‫دارد‪ .‬این مسئله به این لحاظ اهميت دارد که یک مسئلۀ‬ ‫مقایسۀ آن با مقادیر تحليلی در جدول (‪ )2‬نشان داده‬ ‫کارایی تکنيک ارائهشده در این گونه مسائل را نشان‬ ‫مراحلی که خطا باالی خطای هدف است‪ ،‬اصالح شبکه‬ ‫در داخل یک ورق مربعی میباشد که تحت کشش قرار‬ ‫برآورد ضریب شدت تنش انجام شدهاست که نتایج و‬ ‫مود ترکيبی است که هر دو مود در آن فعال میشوند و‬ ‫شدهاست‪.‬‬ ‫میدهد‪ .‬در این مثال عرض صفحه ‪ b = 50cm‬و ارتفاع‬ ‫‪ 2h = 50cm‬درنظر گرفته میشود‪ .‬طول اوليۀ ترک نيز‬ ‫‪a = 10 2cm‬‬ ‫میباشد‪ .‬نمونۀ مورد نظر از دو طرف با‬ ‫تنش یکنواخت برابر‬ ‫‪cm2‬‬ ‫‪σ = 1 kg‬‬ ‫کشيده میشود‪ .‬برای‬ ‫‪2cm‬‬ ‫در نظر‬ ‫بهترتيب‬ ‫برابر‬ ‫رشد ترک نيز در هر مرحله یک گام با طول‬ ‫گرفته شدهاست‪ .‬سایر پارامترهای مکانيکی نظير مدول‬ ‫االستيسيته‬ ‫‪cm2‬‬ ‫شکل ‪ 8‬تغييرات خطا با رشد ترک با روش ترکيبی‬ ‫و‬ ‫ضریب‬ ‫پواسون‬ ‫‪ E = 1000 Kg‬و ‪ ν = 0.3‬میباشند (شکل ‪.)3‬‬ ‫جدول ‪ 2‬مقادیر ضرایب شدت تنش با ترکيب روشها‬ ‫مرحله‬ ‫درصد خطا‬ ‫‪ KI‬تحليلی‬ ‫‪ KI‬عددی‬ ‫‪ KII‬عددی‬ ‫مختصات نوک ترک‬ ‫اول‬ ‫‪1741‬‬ ‫‪87937‬‬ ‫‪17554‬‬ ‫‪07995‬‬ ‫(‪43730‬و‪)3733‬‬ ‫دوم‬ ‫‪70757‬‬ ‫‪777118‬‬ ‫‪37199‬‬ ‫‪-07548‬‬ ‫(‪43739‬و‪)77733‬‬ ‫سوم‬ ‫‪79793‬‬ ‫‪797251‬‬ ‫‪797289‬‬ ‫‪-07242‬‬ ‫(‪50704‬و‪)79738‬‬ ‫چهارم‬ ‫‪79714‬‬ ‫‪227383‬‬ ‫‪787208‬‬ ‫‪77094‬‬ ‫‪-‬‬ ‫چهارم اصالحشده‬ ‫‪70702‬‬ ‫‪227383‬‬ ‫‪207999‬‬ ‫‪07571‬‬ ‫(‪50704‬و‪)75738‬‬ ‫پنجم‬ ‫‪72735‬‬ ‫‪997298‬‬ ‫‪907194‬‬ ‫‪77798‬‬ ‫(‪43783‬و‪)71738‬‬ ‫ششم‬ ‫‪71755‬‬ ‫‪487900‬‬ ‫‪927585‬‬ ‫‪97773‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ششم اصالحشده‬ ‫‪3720‬‬ ‫‪487900‬‬ ‫‪417307‬‬ ‫‪-77929‬‬ ‫(‪43788‬و‪)73738‬‬ ‫نشریۀ مهندسی عمران فردوسی‬ ‫سال سی و یکم‪ ،‬شمارۀ سوم‪7931 ،‬‬ ‫کامران مدبر ‪ -‬حميد مسلمی‬ ‫‪16‬‬ ‫بهدست میآید ]‪ [11‬مقایسه شدهاست و در جداول (‪ 9‬و‬ ‫‪ )4‬آورده شدهاست‪ .‬باتوجه به وجود دو نوک ترک در‬ ‫مسئله این برآورد برای هر دو نوک ترک ابتدایی و انتهایی‬ ‫انجام شدهاست‪.‬‬ ‫(‪)74‬‬ ‫‪K I = K II = 0.5σ πa‬‬ ‫جدول ‪ 9‬مقادیر ضرایب شدت تنش با شبکۀ اوليه‬ ‫شکل ‪ 3‬ورق مربعی با ترک مورب‬ ‫مطابق مثال قبل این مسئله نيز به دو صورت آناليز‬ ‫میشود؛ بار نخست با اعمال روش اجزای محدود‬ ‫بسطیافتۀ تنها و مرحلۀ دوم با اعمال روش ترکيبی‪ .‬از‬ ‫آنجایی که مقدار تحليلی ضریب شدت تنش فقط در‬ ‫مرحلۀ اول و قبل از رشد ترک موجود میباشد لذا برای‬ ‫بيان همگرایی ضریب شدت تنش‪ ،‬گام اول یک بار با مش‬ ‫اوليه و بار دوم با مش اصالحشده حل میشود که این دو‬ ‫شبکه در شکلهای (‪ 70‬و ‪ )77‬نشان داده شدهاند‪.‬‬ ‫نوک ابتدای ترک‬ ‫نوک انتهای ترک‬ ‫تحليلی‬ ‫‪KI‬‬ ‫‪KII‬‬ ‫‪KI‬‬ ‫‪KII‬‬ ‫‪KI‬‬ ‫‪KII‬‬ ‫‪2.35‬‬ ‫‪2.35‬‬ ‫‪2.62‬‬ ‫‪2.56‬‬ ‫‪2.71‬‬ ‫‪2.68‬‬ ‫جدول ‪ 4‬مقادیر ضرایب شدت تنش با شبکۀ اصالحشده‬ ‫تحليلی‬ ‫‪KI‬‬ ‫‪2.35‬‬ ‫‪KII‬‬ ‫‪2.35‬‬ ‫نوک ابتدای ترک‬ ‫نوک انتهای ترک‬ ‫‪KII‬‬ ‫‪2798‬‬ ‫‪KII‬‬ ‫‪2759‬‬ ‫‪KI‬‬ ‫‪2754‬‬ ‫‪KI‬‬ ‫‪2748‬‬ ‫شکل ‪ 70‬شبکۀ اجزای محدود بسطیافتۀ اوليه‬ ‫شکل ‪ 72‬تغييرات خطا با رشد ترک بدون اصالح شبکه‬ ‫نتایج دو جدول حاکی از افزایش دقت پس از‬ ‫اعمال اصالح شبکه میباشد‪ .‬پس از محاسبۀ ضرایب‬ ‫شدت تنش فرایند رشد ترک انجام گردید که مشاهده شد‬ ‫شکل ‪ 77‬شبکۀ اجزای محدود بسطیافته اصالح شده‬ ‫ترک از حالت مورب شروع به چرخش بهصورت مستقيم‬ ‫مقادیر ضرایب شدت تنش بااستفاده از هر دو شبکه‬ ‫تنها نشاندهندۀ افزایش خطا در مراحل مختلف رشد ترک‬ ‫محاسبه شدهاست و با مقدار تحليلی آن که از رابطۀ (‪)74‬‬ ‫نشریۀ مهندسی عمران فردوسی‬ ‫کرد‪ .‬فرایند رشد ترک با روش اجزای محدود بسطیافته‬ ‫میباشد که در شکل (‪ )72‬نشان داده شدهاست‪.‬‬ ‫سال سی و یکم‪ ،‬شمارۀ سوم‪7931 ،‬‬ ‫‪06‬‬ ‫بهبود روش اجزای محدود بسطیافته در‬ ‫درحالیکه با ترکيب روش با اجزای محدود تطابقی در‬ ‫دو مرحله (گامهای ‪ 4‬و ‪ 9‬رشد ترک) مقدار خطای مسئله‬ ‫در محدودۀ مجاز نگه داشته شدهاست که در شکل (‪)79‬‬ ‫نمایش داده شدهاست‪.‬‬ ‫آناليز‪..‬‬ ‫در روش اجزای محدود بسطیافته کنترلی برروی ميزان‬ ‫خطای مسئله وجود ندارد‪ ،‬و در روش اجزای محدود‬ ‫تطابقی با هر گام از رشد ترک شبکه متناسب با مسير‬ ‫ترک باید دوباره از ابتدا تشکيل شود‪ .‬با ترکيب این دو‬ ‫روش میتوان بهشدت این مشکالت را کاهش داد‪ .‬به این‬ ‫صورت که مدلسازی هندسۀ ترک با روش بسطیافته‬ ‫انجام شود و ترک از داخل المانها عبور کند و دیگر با‬ ‫رشد ترک شبکه تغيير نکند‪ .‬ولی در هر گام از مسئله که‬ ‫خطای حل بيش از حد قابل قبول گردد‪ ،‬فرایند اصالح‬ ‫مش صورت پذیرد‪ .‬این توليد مجدد شبکه کامال مستقل‬ ‫از دنبال کردن مسير ترک است و ممکن است در چند‬ ‫مرحله از رشد ترک‪ ،‬مسئله با یک شبکۀ یکسان حل شود‪.‬‬ ‫نتایج مدلسازیهای عددی نشان دادند که درصورت‬ ‫شکل ‪ 79‬تغييرات خطا با رشد ترک با روش ترکيبی‬ ‫ترکيب این روشها‪ ،‬خطای حل بهميزان قابل توجهی‬ ‫کاهش مییابد و برآورد ضرایب شدت تنش با دقت‬ ‫بيشتری انجام خواهد شد‪ .‬این تکنيک هم در ترکهای‬ ‫نتیجهگیری‬ ‫روش اجزای محدود بسطیافته و روش اجزای محدود‬ ‫تطابقی هر کدام قابليتهای باالیی برای حل مسائل آناليز‬ ‫تکمود و هم در مودهای ترکيبی قابليت برآورد دقيق را‬ ‫نشان دادهاست‪.‬‬ ‫ترک دارند‪ ،‬ولی درمقابل دارای نقاط ضعفی نيز میباشند‪.‬‬ ‫مراجع‬ ‫‪1. Melenk, JM., Babuška, I, "The Partition of Unity Finite Element Method: Basic Theory and‬‬ ‫‪Applications", Comp Methods Appl Mech Eng. Vol. 139, No. 1, pp. 289-314, (1996).‬‬ ‫‪2. Mohammadi, S., "Extended Finite Element, Method for Fracture Analysis of Structures", 1st edn. Black‬‬ ‫‪well Publishing Ltd. (2008).‬‬ ‫‪3. Sundararajan, N., "Enriched Finite Element Methods: Advances & Applications", Cardiff University.‬‬ ‫‪(2011).‬‬ ‫‪4. Moes, N., Dolbow, J., Belytschko, T., "A Finite Element Method for Crack Growth without Remeshing",‬‬ ‫‪Int. J. Numer. Methods Eng. Vol. 46, No. 1, pp. 133–150, (1999).‬‬ ‫‪5. Dolbow, J., "An Extended Finite Element Method with Discontinuous Enrichment for Applied‬‬ ‫‪Mechanics", Northwestern university, (1999).‬‬ ‫‪6. Babuška, I., Rheinboldt, W.C., "A‐posteriori Error estimates for the Finite Element Method", Int. J.‬‬ ‫‪Numer. Methods Eng. Vol. 12, No. 10, pp. 1597-1615, (1978).‬‬ ‫نشریۀ مهندسی عمران فردوسی‬ ‫سال سی و یکم‪ ،‬شمارۀ سوم‪7931 ،‬‬ ‫ حميد مسلمی‬- ‫کامران مدبر‬ 16 7. Zienkiewicz, O.C., Boroomand, B., Zhu, J.Z., Recovery Procedures in Error Estimation and Adaptivity Part I: Adaptivity in linear problems. Comp Methods Appl Mech Eng. Vol. 176, No. 1, pp. 111-125, (1999). 8. Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L., "The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics", Butterworth-heinemann, (2005). 9. Sih, G., Paris, C.P., Irwin, G.R., "On Cracks in Rectilinearly Anisotropic Bodies", Int. J. of Fract Mech. Vol. 1, No. 3, pp. 189-203, (1965). 10. Paulino., GH., Kim, J.H., A New Approach to Compute T-stress in Functionally Graded Materials by means of the Ineraction Integral Method on Cracks in Rectilinearly Anisotropic Bodies, Eng. Fract Mech, Vol. 71, No. 1, pp. 1907-1950, (2004). 11. Unger, J.F., Eckardt, S., Könke, C., Modelling of Cohesive Crack Growth in Concrete Structures with the Extended Finite Element, Comp Methods Appl Mech Eng. Vol. 196, No. 4, pp. 4087-4100, (2007). ‫نشریۀ مهندسی عمران فردوسی‬ 7931 ،‫ شمارۀ سوم‬،‫سال سی و یکم‬ ‫‪06‬‬ ‫نشریۀ مهندسی عمران فردوسی‬ ‫بهبود روش اجزای محدود بسطیافته در‬ ‫آناليز‪..‬‬ ‫سال سی و یکم‪ ،‬شمارۀ سوم‪7931 ،‬‬